Equações diferenciais ordinárias

ANLISE DO COMPORTAMENTO DAS SOLUES DO

MODELO LOGSTICO COM LIMIAR E RESOLUO POR MEIO

DE UMA MAPLET PROGRAMADA VIA MAPLE

Adilandri Mrcio Lobeiro [email protected] UTFPR-CM, Universidade Tecnolgica Federal do Paran, COINF

Campo Mouro PR Eloy Kaviski [email protected] UFPR, Universidade Federal do Paran, Departamento de Hidrulica e Saneamento

Curitiba PR Liliana Madalena Gramani [email protected] UFPR, Universidade Federal do Paran, Departamento de Matemtica

Curitiba PR Oilson Alberto Gonzatto Junior [email protected] Bolsista UTFPR-CM, Universidade Tecnolgica Federal do Paran, Eng. Ambiental

Campo Mouro PR

Resumo: Uma variao observada na natureza pode, muitas vezes, ser estudada por

meio de modelos matemticos, a teoria das Equaes Diferenciais permite que este

estudo se torne uma anlise precisa acerca do comportamento de tal variao.

Apoiando-se nesta teoria e, com o intuito de facilitar o entendimento e a interpretao

geomtrica de um modelo matemtico que envolve Equaes Diferenciais, apresenta-se

o conceito de uma Equao Diferencial, seguida da conceituao de uma Equao

Diferencial Ordinria do tipo Quadratura e seus mtodos de soluo. Em seguida

apresentado um exemplo da modelagem matemtica de um fenmeno biolgico para

agregar a teoria prtica, o Modelo Logstico com Limiar e, por meio de uma Maplet

programada via software Maple 16 encontram-se as Solues Geral e Singulares da

equao.

Palavras-chave: Equao Logstica com Limiar, Equao Diferencial, Maplet, Maple.

1 INTRODUO

Uma das inmeras vantagens oferecidas pelo clculo de Newton e Leibnitz a

incorporao das noes de derivada e integral, tais noes possibilitam a descrio

matemtica de vrias propriedades dos fenmenos fsicos. Grande parte das teorias que

descrevem os fenmenos naturais contm o que so conhecidas como Equaes

Diferenciais, essas equaes esto presentes no apenas na Fsica, mas tambm na

Biologia, Sociologia e todas as disciplinas cientficas que se interessam em entender o

mundo que nos cerca (ROBINSON, 2004, p. 1).

O advento da computao na sociedade proporcionou inmeras vantagens que

foram desenvolvidas por sua versatilidade, hoje em dia o auxlio oferecido ao ensino-

aprendizagem pelas tcnicas computacionais de importncia fundamental. Tem-se a

possibilidade de manipular, armazenar e visualizar um conjunto de dados como jamais

foi possvel no passado. Tais dados passam a fazer parte de um contexto maior,

quebrando e/ou remodelando a ideia da formao particionada e necessariamente

isolada dos contedos. Isto favorece o entendimento e assimilao do conhecimento

disponibilizado nos meios acadmicos, pois foca o contexto do resultado, no o valor

isolado (TANEJA, 1997).

O passar dos anos e consequente avano da informtica, nos presenteou com

softwares muito mais especficos e aprimorados para clculos matemticos, um dos

grandes representantes nesta rea o software Maple (atualmente em sua 16 edio),

pois alm de ter sua prpria interface e ferramentas para resoluo de diversos

problemas matemticos j conhecidos, possui grande flexibilidade para

desenvolvimento computacional, um campo destacado pela construo de Maplets.

Maplets so interfaces produzidas para providenciar um acesso amistoso e

interativo s ferramentas do Maple, tal acesso possvel devido ao uso de botes, reas

de plotagem, caixas de texto entre outros. Ao desenvolver uma Maplet possvel para o

programador, personalizar e contextualizar os comandos a fim de torn-los intuitivos ao

usurio final, alm de ter em mos a possibilidade de moldar representaes grficas a

fim de facilitar o entendimento de certos contedos. Neste contexto, programa-se uma

Maplet capaz de solucionar uma conhecida equao diferencial ordinria da biologia, a

Equao Logstica com Limiar, que modela o crescimento ou decrescimento de

espcies.

2 CONCEITOS BSICOS

2.1 Equaes Diferenciais

Este trabalho ser direcionado para equaes que contm derivadas ou diferenciais

de uma ou mais variveis dependentes em relao a uma nica varivel independente, as

quais so chamadas de Equaes Diferenciais Ordinrias (EDO). Limitando ainda a

ateno, s Equaes Diferenciais Ordinrias de Primeira Ordem, ou seja, as que

contm a primeira derivada como a derivada de maior ordem da equao, que podem

ser escritas da seguinte forma

(

) (1)

ou ainda, na forma explcita

( ) (2)

Uma EDO simples na forma (2) aquela onde independente da varivel , isto , ( ) ( ), ou ento,

( ) (3)

Resolver esta equao consiste em encontrar uma funo cuja derivada seja h(x),

isto , encontrar a primitiva de ( ). Integrando ambos os lados de (3), ou ainda, usando o segundo Teorema Fundamental do Clculo, obtm-se

( ) ( ) (4) onde ( ) ( ).

A funo dada desta forma a soluo geral da Equao (3). Geometricamente, a Equao (4) uma famlia de curvas e uma Soluo Particular a equao de uma dessas curvas. Estas curvas so denominadas curvas integrais da equao diferencial.

Da mesma forma, se independente da varivel , isto , ( ) ( ), tem-se

( ) (5)

que para resolver divide-se o processo em dois casos.

1. ( ) Para ( ) tem-se da Equao (5) que

( ) (6)

logo a Soluo Geral da equao, desde que a funo seja integrvel, dada por

( ) (7)

2. ( ) Se ( ) tem-se que existe tal que, ( ) . Neste caso, a soluo onde constante. De fato,

( )

( ) ( ) (8)

Tem-se que , onde constante, Soluo Singular da EDO.

2.2 Definio (Equao Quadratura)

Uma equao diferencial ordinria de primeira ordem da forma

( ) (9)

ou

( ) (10)

chamada de quadratura (MURPHY, 1960, p. 9).

2.3 Equaes Autnomas e Dinmica Populacional

Uma importante classe de Equaes Diferenciais de Primeira Ordem so aquelas

cuja varivel independente no aparece explicitamente. Tais equaes so chamadas

Equaes Autnomas (BOYCE e DIPRIMA, 2001, p. 75) e se do na forma

( ) (11)

Estas equaes sero discutidas no contexto de crescimento ou decaimento populacional

de uma dada espcie.

Crescimento Exponencial

Seja ( ) a populao de uma dada espcie no tempo . A mais simples hiptese referente variao da populao que a taxa de variao de proporcional ao valor corrente desta mesma funo, ou seja,

(12)

onde a constante de proporcionalidade chamada de taxa de crescimento ou declnio, dependendo de seu sinal, positivo ou negativo. Aqui, assume-se , desta forma, a populao estar crescendo.

Resolvendo a Equao (12) sujeita condio inicial

( ) (13)

obtm-se

(14)

O modelo matemtico constitudo pelas Equaes (12) e (13), conhecido como Problema de Valor Inicial (PVI) que tem a Equao (14) como sua soluo. Como o modelo prediz que a populao crescer exponencialmente por todo o tempo.

Sob condies ideais, a Equao (14) pode ser observada e experimentada para muitas populaes, pelo menos por perodos limitados de tempo. Contudo, ululante

que algumas condies ideais no continuam indefinidamente; eventualmente,

limitaes no espao, comida, suprimentos, ou outros recursos reduziro a taxa de

crescimento e daro fim ao crescimento exponencial.

Crescimento Logstico

Levando em conta o fato de que a taxa de crescimento depende da populao atual,

pode-se substituir a constante da Equao (12) por uma funo ( ) e ento, obtm-se uma equao modificada

( ) (15)

Deseja-se agora, escolher ( ) tal que ( ) quando o valor de pequeno, ( ) decresce com o crescimento de , e ( ) a medida que suficientemente grande. A mais simples funo tendo estas propriedades ( ) , onde uma constante positiva. Usando esta funo na Equao (15), obtm-se

( ) (16)

A Equao (16) conhecida como Equao de Verhulst ou Equao Logstica. conveniente escrever a equao logstica em sua forma equivalente

(

) (17)

onde . A constante chamada de taxa de crescimento intrnseca, isto , a taxa de crescimento na ausncia de qualquer fator limitante.

Busca-se inicialmente, as solues da Equao (17) da mais simples maneira, ou seja, as funes constantes. Se constante, tem-se para todo , ento, soluo constante da Equao (17) pode satisfazer a equao algbrica

(

) (18)

onde as solues constantes so ( ) e ( ) . Estas solues so chamadas Solues de Equilbrio da Equao (17), pois, elas no correspondem a qualquer mudana ou variao em com o aumento de . No caso da Equao (17), ( ) ( ) , ento, plotando o grfico de , tem-se uma parbola, conforme pode ser visto na Figura 1. Os zeros de so tambm chamados de Pontos Crticos.

Figura 1. ( ) por para ( ) .

Os interceptos ( ) e ( ) correspondem aos pontos crticos da Equao (18), e o vrtice da parbola ( ). Observe que para , ou seja, uma funo crescente neste intervalo; isto indicado pelas setas que apontam para a direita, prximas ao na Figura 1 ou pelas que apontam para cima na Figura 2. Similarmente, se , ento , o que indica um decrscimo da funo , indicado pelas setas que apontam para a esquerda na Figura 1, ou para baixo na Figura 2

Figura 2. Crescimento Logstico: por para ( ) .

Alm disso, da Figura 1, note que se est prximo de zero ou , ento a inclinao, ( ), prxima de zero, ento as curvas solues tm tangentes prximas

da horizontal. Elas tornam-se mais inclinadas conforme deixa as proximidades de zero ou . Estas observaes indicam que os grficos das solues da Equao (17) devem ter uma forma geral mostrada na Figura 2 independentemente dos valores de e .

Para esboar os grficos das solues da Equao (17) no plano , inicia-se com as solues de equilbrio, e ; depois desenha-se outras curvas que so crescentes quando , cuja concavidade muda quando elas interceptam a reta ; por fim, plota-se as curvas decrescentes, quando . Observa-se pela Figura 1 que as tangentes s curvas se aproximam da horizontal quando se aproxima de zero ou . Note que a cota superior que aproximada, mas nunca excedida por populaes crescentes comeando abaixo deste valor. Ento, natural referir-se a como sendo o Nvel de Saturao ou Capacidade de Sustentao Ambiental, para a

espcie em questo.

A soluo do PVI (19)

{

(

)

( )

(19)

dada por

( )

( ) (20)

conforme (BOYCE e DIPRIMA, 2001, p. 79).

Observa-se que, se , pela Equao (20), ( ) para todo . Se e fazendo na Equao (20), obtm-se ( ) . Assim, para cada , a soluo tende soluo de equilbrio, ( ) assintoticamente quando . Portanto a soluo constante ( ) dita uma soluo assintoticamente estvel da Equao (17) e o ponto dito um ponto de equilbrio ou ponto crtico, assintoticamente estvel.

Por outro lado, a situao para a soluo de equilbrio ( ) bem diferente. Mesmo solues que comecem muito prximas de zero, crescem quando aumenta e tende a quando . A soluo ( ) dita uma soluo de equilbrio instvel e um ponto de equilbrio, ou ponto crtico, instvel.

Um Limiar Crtico

Considere a equao

(

) (21)

onde e so constantes positivas. Observe que (exceto pela substituio do parmetro por ) esta equao difere da Equao Logstica (17) somente pela presena do sinal negativo no membro direito. Todavia as solues da Equao (21) comportam-se muito diferente das solues da Equao (17).

Para a Equao (21) o grfico de ( ) por , onde ( ) ( ) , a parbola mostrada na Figura 3.

Figura 3. ( ) por para ( ) .

Os interceptos no so os pontos crticos e , correspondendo s solues de equilbrio ( ) e ( ) . Se , ento e decresce com o aumento de . Por outro lado, se , ento , e cresce com o aumento de . E ainda, ( ) uma soluo de equilbrio assintoticamente estvel, e ( ) instvel. Alm disso, ( ) negativa para e positiva para , ento o grfico de por cncavo para cima e cncavo para baixo, respectivamente, nestes intervalos. Tambm, ( ) positiva para , ento o grfico de por tambm cncavo para cima. Para fazer uso de todas as informaes obtidas da Figura 3, conclui-se que os grficos das solues da Equao

(21) para diferentes valores de devem ter uma aparncia qualitativa como mostrada na Figura 4.

Figura 4. por para ( ) .

Pela Figura 4, fica claro que com o aumento de , ou se aproxima de zero ou cresce indefinidamente, dependendo se o valor inicial, , menor ou maior que . Assim, um Limiar, abaixo do qual, o crescimento no ocorre.

Pode-se confirmar estas concluses obtidas geometricamente observando a soluo

da Equao (21) sujeita condio inicial ( ) , dada por

( )

( ) (22)

Se , ento segue da Equao (22) que quando . Isto corrobora com a anlise geomtrica qualitativa. Se , ento o denominador no lado direito da Equao (22) zero para algum valor finito de . Denotando este valor por , e calculando ele com

( ) (23)

que d

(

) (24)

Logo, se a populao inicial estiver acima do limiar , o modelo limiar prediz que o grfico de por ter uma assntota vertical em ; em outras palavras, a

populao se torna infinita, em um tempo finito, que depende do valor inicial e do limiar . A existncia e localizao desta assntota no se apresentam na anlise geomtrica, ento, neste caso, a soluo explcita nos dar informaes qualitativas

adicionais to bem quanto informaes quantitativas.

As populaes de algumas espcies exibem o fenmeno limiar. Se h poucos

indivduos presentes, a espcie no capaz de se propagar com eficincia e a populao

torna-se extinta. Contudo, se uma populao maior que o nvel limiar puder ser reunida,

ento o crescimento pode ocorrer. Naturalmente, a populao no se torna ilimitada,

ento, eventualmente a Equao (21) deve ser modificada para levar isso em considerao.

Crescimento Logstico com Limiar

Como mencionado acima, o modelo com limiar representado pela Equao (21), pode necessitar de algumas alteraes para que o crescimento ilimitado no ocorra

quando estiver acima do limiar . A mais simples maneira de fazer isto introduzir outro fator que ter o efeito de tornar negativo quando for grande. Assim, consideraremos

(

) (

) (25)

onde e . O grfico de ( ) por , onde ( ) ( )( ) , ter trs pontos

crticos para esta situao: , e , correspondendo s solues de equilbrio ( ) , ( ) , e ( ) , respectivamente. Veja a Figura 5.

Figura 5. ( ) por para ( )( ) .

Observando a Figura 5 torna-se claro que para , e consequentemente est aumentando neste intervalo. O inverso tambm verdadeiro para e . Em consequncia, as solues de equilbrio ( ) e ( ) so assintoticamente estveis, e a soluo ( ) instvel. Plotando o grfico de por temos a aparncia qualitativa mostrada na Figura 6.

Figura 6. por para ( )( ) .

Se iniciar abaixo do limiar , ento declina para a extino definitiva. Por outro lado, se iniciar acima do limiar , ento eventualmente se aproxima de , o Nvel

de Saturao ou Capacidade de Sustentao Ambiental. Os pontos de inflexo no

grfico de por na Figura 6 correspondem aos pontos mximos e mnimos, e , respectivamente, no grfico de ( ) por na Figura 5. Estes valores podem ser obtidos pela diferenciao do lado direito da Equao (25) com respeito a , quando igualando seu resultado a zero, e resolvendo-o para . Obtm-se

( ) (26)

onde o sinal positivo corresponde a e o sinal negativo referente a .

3 APLICAO DA MAPLET DESENVOLVIDA VIA MAPLE 16

Do Modelo Logstico com Limiar discutido na seo 2, resolve-se a Equao (25) utilizando a Maplet programada via Maple 16. Na Figura 7, pode ser vista a tela inicial

do software desenvolvido, com a descrio de suas funes.

1. rea destinada ao registro das instrues dadas ao usurio; 2. rea para digitar a equao e clicar nos botes para utilizao do software; 3. rea onde informaes relevantes para a soluo so apresentadas ao usurio; 4. rea para visualizao grfica das solues; 5. rea para visualizao dos resultados obtidos a cada passo; 6. rea destinada ao registro de todas as etapas realizadas pelo usurio.

Figura 7. Tela inicial da Maplet

Com a Equao Logstica com Limiar digitada e classificada, pelo software, neste

caso, uma Quadratura, clica-se em Prximo Passo, visualiza-se a equao digitada na forma matemtica bem como as primeiras instrues para efetuar a resoluo, observe a

Figura 8.

Figura 8. Equao Classificada e processo de resoluo iniciado.

Ao clicar em Prximo Passo uma nova janela abrir, para auxiliar o usurio a separar a varivel dependente, observe o resultado na Figura 9.

Figura 9. Manipulador de Equaes.

Ao clicar em Devolver Resultado, retorna-se Maplet que apresenta as Solues Singulares da EDO, caso existam. Observe a Figura 10.

Figura 10. Solues Singulares da EDO.

Clicando em Prximo Passo, aplica-se a integral em ambos os membros da equao. Ao clicar novamente, surge a janela para auxiliar na resoluo destas integrais.

Figura 11. Mtodos de Integrao. Clicando em All Steps, h apresentao de todas as etapas realizadas

para a soluo da integral, mas pode optar-se por resolver passo a passo, clicando em Next Step.

O resultado obtido pelas duas integraes a chamada Soluo Geral, que pode ser

vista na Figura 12, onde C a constante de integrao.

Figura 12. Soluo Geral da EDO.

A seguir apresenta-se um exemplo do Modelo Logstico com Limiar, substituindo-

se as constantes e , por e , respectivamente, como pode ser visto na Figura 13.

Figura 13. Crescimento Logstico com Limiar para ( )( ) .

4 CONSIDERAES FINAIS

O entendimento da forma como as solues do Modelo Logstico com Limiar se

comportam possvel por meio de anlises geomtricas relativamente simples, contudo,

sua resoluo analtica no compartilha da mesma simplicidade. A Maplet para a

resoluo de EDOs do tipo abordado por esse trabalho foi desenvolvida com a ambio

de tornar este estudo menos dispendioso, destacando-se pelo fato de desenvolver a

soluo e guiar o usurio por todo o processo passo a passo, alm de possibilitar o

vislumbre grfico de tais solues. O trabalho contribui ainda com o fomento

utilizao de softwares matemticos como ferramenta adicional para controle e anlise

de problemas prticos.

Agradecimentos

Os autores agradecem UTFPR pelo incentivo realizado por meio de bolsas de estudo.

5 REFERNCIAS / CITAES

BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary

Value Problems. 7. ed. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2001.

MURPHY, G. M. Ordinary Differential Equations anTheir Solutions. New York:

Van Nostrand Reinhold Company, 1960.

ROBINSON, J. C. An Introduction to Ordinary Differential Equations. New York:

Cambridge University Press, 2004.

TANEJA, I. J. Maple V: Uma Abordagem Computacional no Ensino de Clculo.

Florianpolis: UFSC, 1997.

ANALYSIS OF THE BEHAVIOR OF SOLUTIONS OF THE

LOGISTIC MODEL WITH THRESHOLD AND RESOLUTION

THROUGH A PROGRAMED MAPLET BY WAY OF MAPLE

Abstract: A variation observed in nature can often be studied by means of mathematical

models, the theory of differential equations allows this study to become a precise

analysis of the behavior of such variation. Building on this theory and, in order to

facilitate understanding and geometric interpretation of a mathematical model

involving differential equations, we present the concept of a differential equation, then

the concept of an Ordinary Differential Equation type Quadrature and its methods

solution. Next is an example of mathematical modeling of a biological phenomenon to

aggregate theory to practice, the logistic model with threshold and, by means of a

programmed via software Maple Maplet 16 are the General and Singular Solutions of

the equation.

Key-words: Logistic Equation with Threshold, Differential Equation, Maplet, Maple.