Engineering Mathematics IIelearning.kocw.net/contents4/document/lec/2013/ChonN… · · 2013-07-19Engineering Mathematics II School of Mechanical Engineering 9.1 Vectors in 2- and

Bong-Kee Lee School of Mechanical Engineering

Chonnam National University

Engineering Mathematics II

9. Vector Differential Calculus. Grad, Div, Curl

School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II

9.1 Vectors in 2- and 3-Spaces

스칼라와 벡터

– 스칼라(scalar) • 적당한 측도를 단위로 하여 그것의 크기에 의하여 결정되는 양

• 길이, 온도, 전압 등

– 벡터(vector) • 크기와 방향에 의하여 결정되는 양

• 힘, 속도 등

• 표시: 방향성분(directed line segment)을 포함하는 화살표로 표기

• 노름(norm, 유클리드 노름): 벡터의 길이 또는 크기

• 단위 벡터(unit vector): 길이가 1인 벡터

a



벡터

– 상등(equality) • 두 벡터 a, b가 같다. → 두 벡터 a, b의 방향과 크기가 같다.

→ 평행 이동한 벡터는 본래의 벡터와 상등이다.

• 두 벡터의 관계

상등관계 길이는 같지만 방향이 다른 벡터

방향은 같지만 길이가 다른 벡터

길이와 방향이 모두 다른 벡터


zyxA ,,:

111 ,,: zyxP

222 ,,: zyxQ


벡터

– 성분(component) • x, y, z 직교좌표계(Cartesian coordinate system) 상의 시작점 P와

끝점 Q를 갖는 벡터 a의 성분 → 세 개의 좌표상의 차이

– 위치 벡터(position vector) • 직교좌표계에서 점 A의 위치벡터 r

→ 시작점이 원점이고 끝점이 A인 벡터

2

3

2

2

2

1

321

123122121

,,

,,

aaa

aaa

zzayyaxxa

a

a



벡터

– 벡터의 합

• 벡터 합의 기본 성질

(순서를 갖는 실수로 된 삼중수로서의 벡터) □ 고정된 직교좌표가 주어지면 각 벡터는 해당하는 성분으로 된 순서를 갖는 삼중수로 유일하게 결정됨 □ 실수로 이루어진 순서를 갖는 삼중수에 대하여 정확하게 한 개의 벡터가 대응됨 □ 원점은 방향이 없고 길이가 영인 영벡터(zero vector)에 대응됨

332211321321 ,,,,&,, babababbbaaa baba

0aawvuwvu

aa00aabba

db

ca교환법칙

결합법칙



벡터

– 스칼라 곱(실수에 의한 곱)

• 스칼라 곱의 기본 성질

→ 벡터 합과 스칼라 곱의 기본 성질에 의하여,

321321 ,,&,, cacacaccaaa aRa

aaaaa

aababa

1dkckcb

ckkccccca

aa

0a

1

0

b

a



벡터

– i, j, k: 직교좌표계에서 각 축의 양의 방향에 놓인 단위 벡터

– 벡터공간 R3

• 모든 벡터 a=[a1, a2, a3]=a1i+a2j+a3k (a1, a2, a3: 실수)의 집합은 벡터의 합과 스칼라 곱이 정의된 3차원 실수 벡터공간 R3을 형성함 (일반 벡터공간의 하나) → i, j, k: R3의 표준기저(standard basis)

kjiakji 321321 ,,1,0,0,0,1,0,0,0,1 aaaaaa


9.2 Inner Product (Dot Product)

벡터의 내적(점곱; inner product, dot product)

– (정의)두 벡터의 길이와 두 벡터가 이루는 사잇각의 코사인 값의 곱

• 성분에 의한 표기

• 직교(orthogonal)

0b0a

0b0ababa

or 0

,cos

332211321321 ,,,,, babababbbaaa baba

0ba : 벡터 a와 벡터 b는 직교한다 → a와 b는 직교 벡터 (영벡터는 모든 벡터에 직교함) (필요충분조건) 영벡터가 아닌 두 벡터의 내적이 영 ⇔ 두 벡터가 서로 직교


9.2 Inner Product (Dot Product)

벡터의 내적(점곱; inner product, dot product)

– 길이

– 각도

– 내적의 일반적 성질

aaaaaaaababa 2

0cos0

bbaa

ba

ba

bababa

coscos

2222

2121

2)7

)6

)5

)4

00

0)3

)2

)1

bababa

baba

baba

cbcacba

aaa

aa

abba

cbcacba

qqqq 선형성

대칭성

양의 성질

분배법칙

Cauchy-Schwarz 부등식

삼각부등식

평행사변형 등식 내적의 응용: 예제2~예제6


9.3 Vector Product (Cross Product)

벡터의 외적(벡터곱; vector product, cross product)

– (정의) • a, b가 같은 방향 또는 반대 방향이거나 두 벡터 중 하나가 영벡터,

• 그 이외의 경우,

• 성분에 의한 표기

direction

sinlength bababa

0ba

오른손 법칙에 의하여 결정 : a, b와 동시에 수직인 벡터

122131132332

321

321

321321

,,

,,,,,

babababababa

bbb

aaa

bbbaaa

kji

ba

ba




– 표준기저의 벡터곱

– 벡터곱의 일반 성질

jkiijkkij

jikikjkji

cbacba

baab

cbcacba

cabacba

bababa

)4

)3

)2

)1 lll

분배법칙

반교환법칙

결합법칙

외적의 응용: 예제3~예제5




– 스칼라 삼중적(혼용 삼중적; scalar triple product, mixed triple product)

• 성질과 응용

– 내적 연산과 외적 연산을 서로 바꾸어도 불변이다.

– 기하학적 해석(geometric interpretation)

– 일차독립성(linear independence)

321

321

321

321321321 ,,,,,,,,

ccc

bbb

aaa

cccbbbaaa cbacbacba

cbacbacba

cba : 벡터 a, b, c에 의해 결정되는 평행육면체의 체적(부피)

(필요충분조건) For a, b, c R3 : a, b, c 일차독립 ⇔ (a b c) 0


9.4 Vector and Scalar Functions and Fields. Derivatives

벡터 미적분

– 벡터함수 • 임의의 점 P에서,

- 벡터함수(vector function)

- 스칼라함수(scalar function)

(P: 정의역 내의 한 점 / 함수의 정의역: 3차원 공간, 곡면, 곡선)

– 벡터장(vector field): 주어진 영역에서의 벡터함수

– 스칼라장(scalar field): 주어진 영역에서의 스칼라함수

– 직교좌표를 이용한 표기

PvPvPvP 321 ,, vv

Pff

zyxff

zyxvzyxvzyxvzyx

,,

,,,,,,,,,, 321

vv

예제1~예제3



벡터 미적분

– 수렴(convergence) • “벡터열 a(n)은 수렴한다”

: 무한수열 a(n)에 대하여 한 벡터 a가 존재하여 이 성립

→ 극한벡터(limit vector)

•

– 연속성(continuity) • “벡터함수 v(t)는 t=t0에서 연속(continuous)이다”

⇔ v(t)가 t0 부근(t0를 포함하여도 무방)에서 정의되고 을 만족

• v(t)=[v1(t), v2(t), v3(t)]가 t0에서 연속

⇔ 성분함수 v1(t), v2(t), v3(t)]가 t0에서 연속

0lim

aa nn

nnaa

lim

0limlim00

lvlv tttttt

00

lim tttt

vv



벡터함수의 도함수(derivative)

– 벡터함수 v(t)가 t에서 미분가능(differentiable)

• 벡터 미분 공식

tvtvtvt

tttt

t',','lim' 321

0

vvv

'''')5

''')4

''')3

''')2

'')1

wvuwvuwvuwvu

vuvuvu

vuvuvu

vuvu

vv

cc



벡터함수의 편도함수(partial derivative)

kjiv

kjiv

kjiv

mlmlmlmlllll

n

tt

v

tt

v

tt

v

ttt

v

t

v

t

v

t

ttvvv

vvvvvv

3

2

2

2

1

22

321

0321

321321

&

,,at abledifferenti :,,

,,


9.5 Curves. Arc Length. Curvature. Torsion

미분기하학(differential geometry)

– 공간곡선이나 곡면을 연구하는 학문 • 상대성이론, 항공, 지리학, 측지학, 기존 공학설계 및 컴퓨터를 이

용한 설계, 역학 등의 분야에서 중요한 역할 수행

– 매개변수 표현법(parametric representation) • 공간에서 움직이는 물체의 경로인 곡선(C)을 표현

• 예: 원(예제1), 타원(예제2), 직선(예제3), 원나선(예제4)

t

tztytxtztytxt

'

,,

r

kjir

: 공간곡선 상의 임의의 점에서의 접선벡터(tangent vector)



곡선

– 접선(tangent) • 곡선 C 위의 한 점 P에서의 접선

→ 점 P에 근접한 곡선 C 상의 점 Q에 대하여 P, Q를 지나는 직선 L의 극한

• 접선벡터

• 점 P에서의 곡선 C의 접선 방정식(벡터로 표현)

t

tttt

t

rrr

0lim'

'

'

'

0' if

r

ru

r

r

t

t

: 점 P에서의 곡선 C의 접선벡터

: 점 P에서의 곡선 C의 단위접선벡터

'rrq ww

매개변수



곡선

– 길이(length) • n개로 나누어진 선분들의 길이의 합으로 이루어진 수열의 극한

– 호의 길이

• 선소(linear element), ds

– 선소를 매개변수로 이용할 경우 (매개변수 t → s),

dt

ddtl

b

a

rrrr ' ''

td

dtdts

t

a~'

~''

rrrr

2222

2222

2

' dzdydxdddsdt

dz

dt

dy

dt

dxt

dt

d

dt

d

dt

ds

rrr

rr

ds

dss

tt

rru

r

ru '

'

'



역학에서의 곡선. 속도와 가속도

– r(t): 움직이는 물체의 경로 C

– v(t)=r’(t): 곡선 C의 접선벡터인 속도 벡터(velocity vector)

– a(t)=v’(t)=r’’(t): 속도의 도함수인 가속도 벡터(acceleration) • 접선가속도(tangential acceleration), atan

• 법선가속도(normal acceleration), anorm

– 원심력(예제7), Coriolis 가속도(예제8)

tttsds

d

dt

sds

dt

ds

ds

d

dt

dss

dt

d

dt

dt

dt

dss

dt

ds

ds

d

dt

dt

tannorm

2

22

aaauu

uu

uv

aurr

v



곡선의 곡률과 비틀림

– 곡률(curvature) • 곡선 C의 P점에서의 단위접선벡터의 변화율

– 비틀림(torsion) • C상의 P점에서의 접촉평면(osculating plane, u와 u’에 의해 구성

된 평면)의 변화율

dsdsss ' ''' ru : P점에서 곡선 C의

직선(접선)에서의 이탈 정도

: P점에서 곡선 C의 평면에서의 이탈 정도

sssss

ss

sssss

'1

'1

' & '

uupub

up

bbp

단위 주법선벡터 (unit principal normal vector)

단위 종법선벡터 (unit binormal vector)


9.6 Calculus Review: Functions of Several Variables

연쇄법칙

평균값 정리

v

z

z

w

v

y

y

w

v

x

x

w

v

w

u

z

z

w

u

y

y

w

u

x

x

w

u

w

vuzzvuyyvuxxzyxfwvuzvuyvuxfw

&

,,,,,,,, ,,,,,

dt

dz

z

w

dt

dy

y

w

dt

dx

x

w

dt

dw

tzztyytxxzyxfwtztytxfw

,,,,, ,,

함수 f(x, y, z)가 xyz 공간 내의 정의역 D에서 연속이고, 연속인 1차 편도함수를 가진다. 두 점 P0:(x0, y0, z0), P(x0+h, y0+k, z0+l)이 D에 속해 있고, 이 두 점을 연결한 선분 P0P도 D에 속해 있다. 그러면 선분 P0P 상의 임의의 점에서 편미분 값들은 다음을 만족한다.

z

fl

y

fk

x

fhzyxflzkyhxf

000000 ,,,,


9.7 Gradient of a Scalar Field. Directional Derivative

기울기(gradient)

– f(x, y, z)의 x, y, z 각 방향으로의 길이(거리)에 대한 변화율(기울기)의 벡터합

• 미분연산자 ∇ (nabla)

kjiz

f

y

f

x

f

z

f

y

f

x

fff

,, grad

kjizyx



방향도함수(directional derivative)

– 공간상의 임의의 방향으로의 함수의 변화율을 확인 • 공간상의 P점에서 단위벡터 b 방향으로의 함수 f 의 방향도함수

– 직선 L,

s

PfQf

ds

dffD

s

0limb

s: P-Q 사이의 거리 Q: b방향으로의 직선 위의 점

bkjir

bpkjir

''''

0

zyxs

sszsysxs

ffDffD

fz

f

y

f

x

fzyxz

z

fy

y

fxx

f

ds

dffD

zz

fy

y

fxx

fszsysxf

ds

d

ds

dffD

aa

b

b

ab

b

b

1 &

,,',',''''

''',,



기울기의 특성. 최대증가

곡면의 법선벡터로서의 기울기

f(P)=f(x, y, z): 연속인 1계 편도함수를 갖는 스칼라 함수 → grad f 가 존재하며, 크기와 방향은 직교좌표계의 선택과 무관 & grad f(P) 0 → 점 P 에서의 f 의 최대 증가 방향을 나타냄 (가장 큰 변화를 일으키는 방향을 가리킴)

f: 공간상의 미분가능한 스칼라 함수 & f(x, y, z)=c (상수): 곡면 S의 표현 → grad f(P) 0 → grad f(P): 점 P 에서의 곡면 S의 법선벡터 (접평면(tangent plane) 상의 모든 벡터와 수직)

'0''''

,,&

,,:

rr

r

ffzz

fy

y

fxx

f

ctztytxf

tztytxtC



퍼텐셜(potential), 퍼텐셜함수

– 스칼라장의 기울기로부터 얻어지는 벡터장(벡터함수): 스칼라장(스칼라함수) → 퍼텐셜(퍼텐셜함수)

• 보전적(conservative): 벡터장 내에서는 에너지 보존됨

• 인력장(Newton의 만유인력 법칙)

– 점 P0:(x0, y0, z0)와 P:(x, y, z)에 위치한 두 입자 사이의 인력

PfPfP gradv

0 &

,,

2

2

2

2

2

22

2

0

2

0

2

03

0

3

0

3

0

3

z

f

y

f

x

fff

r

c

yyyyxxrr

zz

r

yy

r

xxc

r

c

p

rp

라플라스 연산자(Laplace operator) 2

2

2

2

2

22

zyx

: 라플라스 방정식


9.8 Divergence of a Vector Field

발산(divergence)

– 미분 가능한 벡터함수 혹은 벡터함수로 정의된 벡터장의 발산

• 발산의 불변성

– div v의 값은 좌표계의 선택에 상관없이 공간내의 v 상의 점에 따름

• 라플라스 방정식: (기울기의 발산) = (라플라스 방정식)

z

v

y

v

x

vzyx

z

v

y

v

x

vvvv

zyxvvv

zyx

321

321321321

,, div

,,,,

vv

kjikjiv

*

*

*

*

*

*,, div 321321

z

v

y

v

x

v

z

v

y

v

x

vzyx

vv

fz

f

y

f

x

ff

z

f

y

f

x

fff 2

2

2

2

2

2

2

div,, grad

vv


9.9 Curl of a Vector Field

회전(curl)

– 미분 가능한 벡터함수 혹은 벡터함수로 정의된 벡터장의 회전

• 기울기, 발산, 회전

– 기울기장(gradient field)는 비회전(irrotational)임(영벡터)

– 벡터함수의 회전에 대한 발산은 영임

• 회전의 불변성

– curl v는 벡터이며, 방향과 크기는 공간에서 직교좌표계의 선택과 무관함

kji

kji

vvv

y

v

x

v

x

v

z

v

z

v

y

v

vvv

zyxvvv 123123

321

321 curl,,

0 ff gradcurl

0 curldiv vv

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