Engineering Mathematics IIelearning.kocw.net/contents4/document/lec/2013/ChonNam/... · 2013-07-19 · Engineering Mathematics II School of Mechanical Engineering 11.1 Fourier Series

Bong-Kee Lee School of Mechanical Engineering

Chonnam National University

Engineering Mathematics II

11. Fourier Series, Integral, and Transforms

School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II

11.1 Fourier Series

주기함수(periodic function)

– 함수 f(x), • 모든 실수 x에 대하여 정의

• 어떤 양수 p가 존재하여, 모든 x에 대하여 f(x + p)=f(x)

– 예. sin x, cos x (주기 2π)

– 주기함수가 아닌 예. x, x2, x3, ex, cosh x, ln x 등

– 주기함수의 성질

주기함수 (periodic function)

주기 (period)

□ 함수 f(x)의 주기가 p이면, 모든 x에 대하여 f(x + np) = f(x) (n=1, 2, 3, …) □ f(x)와 g(x)의 주기가 p이면, af(x)+bg(x)의 주기도 p이다. (a, b: 임의의 상수)


11.1 Fourier Series

삼각급수(trigonometric series)

– 삼각함수 계(trigonometric system) • 주기 2π인 함수들로 이루어진 계

– 삼각급수(trigonometric series)

• 삼각급수가 수렴할 경우, 그 합은 주기가 2π인 주기함수

,sin,cos,,2sin,2cos,sin,cos,1 nxnxxxxx

1

0

22110

sincos

2sin2cossincos

n

nn nxbnxaa

xbxaxbxaa

계수(coefficient)

1

0 sincosn

nn nxbnxaaxf 푸리에 급수 (Fourier series)


11.1 Fourier Series

푸리에 급수(Fourier series)

– 푸리에 계수(Fourier coefficients) • 푸리에 급수의 계수들

• 오일러 공식(Euler formulas)에 의하여 결정할 수 있음

1

0 sincosn

nn nxbnxaaxf

,3,2,1

sin1

cos1

2

10

n

nxdxxfb

nxdxxfa

dxxfa

n

n


11.1 Fourier Series


– Ex. 1 주기적인 직사각형파(rectangular wave)

xfxf

xk

xkxf

2&

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

00

0

0

0

0

coscos1sinsin

1

sinsin1

sin1

00sinsin1

coscos1

coscos1

cos1

002

1

2

1

2

1

n

nxk

n

nxknxdxknxdxk

nxdxxfnxdxxfnxdxxfb

an

nxk

n

nxknxdxknxdxk

nxdxxfnxdxxfnxdxxfa

akdxdxkdxxfdxxfdxxfa

n

n

n


11.1 Fourier Series


45

1

3

11

5

1

3

11

4

2

5sin5

13sin

3

1sin

4

5sin5

43sin

3

4sin

4sin

even 0

odd 4

even 0

odd 2cos1

even 1

odd 1cos

cos12

1coscos1coscos1

1

0

0

kkf

xxxk

xk

xk

xk

nxbxf

n

nn

k

b

n

nn

n

nn

nn

knn

n

k

n

nxk

n

nxkb

n

n

n

n


11.1 Fourier Series


– 삼각함수 계의 직교성(orthogonality) • 삼각함수 계는 구간 –π ≤ x ≤ π 에서 직교한다.

– 푸리에 급수에 의한 표현

mnmnmxdxnx

mnmxdxnx

mnmxdxnx

or 0cossin

0sinsin

0coscos

□ 함수 f(x)에 대하여, : 주기가 2π 인 주기함수 & 구간 –π ≤ x ≤ π 에서 구분연속(piecewise continuous) & 각 점에서 좌도함수(left-hand derivative)와 우도함수(right-hand derivative)를 가짐 ⇒ 함수 f(x)의 푸리에 급수는 수렴한다. : f(x)가 불연속인 점을 제외한 모든 점에서의 급수 합 = f(x) : 불연속인 점에서의 급수의 합 = f(x)의 좌극한값과 우극한값의 평균


11.2 Functions of Any Period p=2L

임의의 주기(p=2L)을 가지는 함수

– 주기가 2π인 함수를 주기가 2L인 함수로 단순히 주기의 척도만을 변화시킴

1

0 sincosn

nn xL

nbx

L

naaxf

,3,2,1

sin1

cos1

2

10

n

dxL

xnxf

Lb

dxL

xnxf

La

dxxfL

a

L

Ln

L

Ln

L

L




– Ex. 1 주기적인 직사각형파

242&

210

11

120

LLp

x

xk

x

xf

,11,7,32

,9,5,12

even0

2sin

2

2sin

2sin

2sin

2cos

2

1

2cos

2

1cos

1

24

1

4

1

2

1

1

1

1

1

2

2

1

1

2

20

nn

k

nn

kn

n

n

knxn

n

k

xn

n

kdxxn

kdxxn

xfdxL

xnxf

La

kkdxdxxfdxxf

La

L

Ln

L

L




– Ex. 1 주기적인 직사각형파

xxxxkk

xk

xk

xk

xkk

xL

nbx

L

naaxf

nn

n

k

xn

n

kdxxn

kdxxn

xfdxL

xnxf

Lb

n

nn

L

Ln

2

7cos

7

1

2

5cos

5

1

2

3cos

3

1

2cos

2

2

2

7cos

7

2

2

5cos

5

2

2

3cos

3

2

2cos

2

2

sincos

02

cos2

cos

2cos

2sin

2

1

2sin

2

1sin

1

1

0

1

1

1

1

2

2


11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions

푸리에 코사인 급수 & 푸리에 사인 급수

– 푸리에 코사인 급수(Fourier cosine series) • 주기가 2L 인 우함수(even function; g(-x)=g(x))의 푸리에 급수

– 푸리에 사인 급수(Fourier sine series) • 주기가 2L 인 기함수(odd function; h(-x)=-h(x))의 푸리에 급수

,3,2,1 cos2

,1

cos

000

1

0

ndxL

xnxf

Ladxxf

La

xL

naaxf

L

n

L

n

n

,3,2,1 sin2

sin

0

1

ndxL

xnxf

Lb

xL

nbxf

L

n

n

n




– 합과 스칼라곱 • 함수의 합인 f1+f2 의 푸리에 계수는 f1 과 f2 각각에 해당하는 푸리

에 계수의 합과 같다.

• 함수 cf 의 푸리에 계수는 f 의 해당 푸리에 계수에 c 를 곱한 것과 같다.

– Ex. 3 톱니파(sawtooth wave)

21

21

&

2 &

fxf

fff

xfxfxxxf




xxxxxx

xxx

nxbaxL

nbf

baaf

nnn

n

dxn

nx

n

nxxnxdxxdx

L

xnxf

Lb

aaxf

n

n

n

n

nn

L

n

n

3sin3

12sin

2

1sin23sin

3

22sinsin2

3sin3cos3

22sin2cossincos2

sinsin

0,:

cos2cos2

coscos2sin

2sin

2

0function odd:

1

0

1

02

00

001

01



반구간 전개(half-range expansions)

– 주어진 함수(L)를 주기적인 함수(주기 2L)로 확장 • 주기적인 우함수로 확장(even periodic extention)

• 주기적인 기함수로 확장(odd periodic extention)

• 함수 f는 길이 2L의 주기 구간의 반구간 범위 내에서 주어짐

주어진 함수(0≤x≤L)

주기가 2L인 우함수로 확장

주기가 2L인 기함수로 확장




– Ex. 4

LxL

xLL

k

Lxx

L

k

xf

2

2

20

2

1cos2

cos24

2coscos1

2cos

4

2coscos

2sin

21

2cos

2sin

2

4

coscos4

cos2

24

222211

cos

2222

2

2

22

22

22

22

2

2/

2/

020

2

22/

2/

022/

2/

000

1

0

nn

n

knn

n

n

L

L

k

nn

n

Ln

n

Ln

n

Ln

n

L

L

k

dxL

xnxLdx

L

xnx

L

kdx

L

xnxf

La

kL

L

kdxxLxdx

L

kdxxL

L

kxdx

L

k

Ldxxf

La

xL

naaxf

L

L

LL

n

L

L

LL

L

LL

n

n




xL

xL

xL

k

xL

kx

L

kx

L

kxf

n

n

kn

n

Ln

n

Ln

n

Ln

n

L

L

k

dxL

xnxLdx

L

xnx

L

kdx

L

xnxf

Lb

xL

nbxf

xL

xL

kkx

L

kx

L

kkxf

L

L

LL

n

n

n

5sin

5

13sin

3

1sin

8

5sin

5

83sin

3

8sin

1

8

2sin

8

2sin

2cos

22sin

2cos

2

4

sinsin4

sin2

sin

6cos

6

12cos

2

116

2

6cos

6

162cos

2

16

2

222

222222

2222

22

22

22

2

2/

2/

020

1

2222222


11.4 Complex Fourier Series

복소 푸리에 급수(complex Fourier series)

itit

itit

it

it

eet

eet

tite

tite

2

1sin

2

1cos

sincos

sincos

,3,2,1

sin1

cos1

2

1

sincos

0

1

0

n

nxdxxfb

nxdxxfa

dxxfa

nxbnxaaxf

n

n

n

nn

,2,1,0

2

1

n

dxexfc

ecxf

inx

n

n

inx

n

,2,1,0

2

1 /

/

n

dxexfL

c

ecxf

L

L

Lxin

n

n

Lxin

n

복소 푸리에 급수

복소 푸리에 급수(주기 2L인 함수)

푸리에 급수




– Ex. 1

n

inxn

n

inx

n

nn

ninn

ininx

x

xinxininx

n

x

en

inecxf

n

in

in

in

in

nnneeein

eein

ein

dxedxexfc

xfxfxexf

2

2

1111

1

11

sinh

11

1sinh1sinh2

1

1

1

1

2

1

1cossincos 11

1

2

1

1

1

2

1

1

1

2

1

2

1

2

1

2 &

복소 푸리에 급수 (complex Fourier series)




xxxx

xxxx

en

inecexf

nxnnxeinein

nxinxinnxnnxnxinxinein

nxinxinnxnnxnxinxinein

n

inxn

n

inx

n

x

inxinx

inx

inx

2sin22cos21

1sincos

11

1

2

1sinh2

2sin22cos221

1sinhsincos2

11

1sinhsinh

1

11

sinh

sincos211

sincossincossincos11

sincossincossincos11

22

22

2

실 푸리에 급수 (real Fourier series)


11.5 Forced Oscillations

강제진동

– Ex. 1

trtr

tt

tttr

tryyytrkycymy

2&

02

02

25'05.0'''''

,5,3,1 cos4

25'05.0''

,5,3,1 cos4

5cos5

13cos

3

1cos

1

14coscos1

2

cos12

,0:tscoefficienFourier

2

2

2221

2

20

nntn

yyy

nntn

tr

tttntnn

tr

nn

aba

n

nn


11.5 Forced Oscillations

강제진동

531

222

2

2

2

2

05.025,2.0

,254

cos4

25'05.0''

sincos

as :,5,3,1 cos4

25'05.0''

yyyytyty

nnDDn

BDn

nA

ntn

yyy

ntBntAytyty

tyyyynntn

yyy

n

npsteady

n

n

n

n

n

nnn

n

nn

n

npsteady

pph

특성방정식의 모든 근이 음수 또는 음의 실수부를 가짐 (안정성)

미정계수법


11.6 Approximation by Trigonometric Polynomials

근사 이론(approximation theory)

– 푸리에 급수의 주된 응용 분야의 하나

– 어떤 함수의 근사값을 단순한 함수로 표현

– 기본 개념 • f(x): 주기가 2π 인 푸리에 급수로 표현 가능한 주기함수

→ N차 부분합: f(x)에 대한 근사값

– N차의 삼각다항식(N고정)을 이용하여 최적으로 함수 f를 근사화

N

n

nn

n

nn

nxbnxaaxf

nxbnxaaxf

1

0

1

0

sincos

sincos

xfnxBnxAAxFN

n

nn 1

0 sincos




– 제곱 오차(square error) • 구간 –π ≤ x ≤ π 에서 함수 F의 함수 f에 관한 제곱 오차

– 최소 제곱 오차 • 구간 –π ≤ x ≤ π 에서 F의 f에 관한 제곱 오차는 F의 계수가 f의

푸리에 계수이면 최소가 된다.

– N이 증가함에 따라 f의 푸리에 급수 부분합은 제곱 오차 관점에서 점점 더 f를 잘 근사화하게 됨

dxFfE

2

N

n

nn baadxfE1

222

0

2 2*




– Bessel의 부등식(Bessel’s inequality)

– Parseval의 정리(Parseval’s theorem)

dxfbaa

n

nn

2

1

222

0

12

dxfbaa

n

nn

2

1

222

0

12


11.7 Fourier Integral

Ex.1

– 주기가 2L인 함수에서 주기가 L→∞가 될 경우

22

10

111

10

L

Lx

x

xL

xfL

Ln

Ln

LL

n

n

L

Ldx

L

xn

L

dxL

xn

Ldx

L

xnxf

La

Ldx

Ldxxf

La

bxf

xxfxf

L

Ln

L

L

n

LL

/

/sin2sin

2cos

2

cos1

cos1

1

2

1

2

1

0functioneven :&

otherwise0

111lim

1

0

1

1

1

10



Ex.1

1

0

/cos/

/sin21

/

/sin2&

1

n

L

n

LxnLn

Ln

LLxf

Ln

Ln

La

La

진폭 스펙트럼 (amplitude spectrum)



푸리에 적분(Fourier integral)

0

1

1

1

1

0

sinsincoscos1

lim

sinsincoscos1

2

1

1

sinsincoscos1

2

1

sincos

dwwvdvvfwxwvdvvfwxxfxf

vdvwvfwxwvdvwvfwxwdvvfL

LL

n

L

nwww

vdvwvfxwvdvwvfxwL

dvvfL

L

nwxwbxwaaxf

LL

n

L

LnLn

L

LnLn

L

LL

nn

n

L

LnLn

L

LnLn

L

LL

n

n

nnnnL

wvdvvfwBwvdvvfwA

dwwxwBwxwAxf

sin1

&cos1

sincos0





• 모든 유한 구간에서 구분연속

• 모든 점에서 좌도함수와 우도함수가 존재

• 아래 적분의 유한한 극한이 존재(절대 적분 가능, absolutely integrable)

→ f(x)는 푸리에 적분으로 표현이 가능

(f(x)가 불연속인 점에서의 푸리에 적분값은 그 점에서 f(x)의 좌극한값과 우극한값의 평균과 같음)

wvdvvfwBwvdvvfwA

dwwxwBwxwAxf

sin1

&cos1

sincos0

b

baadxxfdxxf

0

0

limlim




– Ex. 2

000

1

1

1

1

1

1

1

1

sincos2cos

sin2sincos

0cos11

sin1

sin1

sin2sin

11cos

1cos

1

dww

wwxwxdw

w

wdwwxwBwxwAxf

wvw

wvdvwvdvvfwBb

w

wwv

wwvdvwvdvvfwAa

v

v

v

v

10

11

x

xxf

10

14/

102/

2

sincossincos2

00

x

x

x

xfdww

wwxxfdw

w

wwx

Dirichlet의 불연속인자(discontinuous factor)




u

dww

wudw

w

wx

x

x

x

dww

wwx

00

0

sinSi

2

sin0

10

14/

102/sincos

사인 적분(sine integral)

axaxdt

t

tdt

t

t

dww

wxwdw

w

wxwdw

w

wwxdw

w

wwxxf

axax

aaa

1Si1

1Si1sin1sin1

sin1sin1sincos2sincos2

1

0

1

0

0000




– 푸리에 코사인 적분(Fourier cosine integral) • f(x)가 우함수일 때의 푸리에 적분

– 푸리에 사인 적분(Fourier sine integral) • f(x)가 기함수일 때의 푸리에 적분

wvdvvfwBwvdvvfwA

dwwxwBwxwAxf

sin1

&cos1

sincos0

00

cos0&cos2

wxdwwAxfwBwvdvvfwA

00

sinsin2

&0 wxdwwBxfwvdvvfwBwA




– Ex. 3 라플라스 적분 0,0 kxexf kx

kx

kx

kv

kx

kx

kv

edwwk

wxw

edwwk

wxwwxdwwBxf

wk

wwvdvewvdvvfwBb

ek

dwwk

wx

edwwk

wxkwxdwwAxf

wk

kwvdvewvdvvfwAa

2

sin

sin2sin

/2sin

2sin

2

2

cos

cos2cos

/2cos

2cos

2

0 22

0 220

2200

0 22

0 220

2200

라플라스 적분

라플라스 적분


11.8 Fourier Cosine and Sine Transforms

적분 변환(integral transform)

– 주어진 함수를 다른 변수에 종속하는 새로운 함수로 만드는 적분 형태의 변환 (예. 라플라스 변환)

– 푸리에 코사인 변환(Fourier cosine transform) • 우함수인 f(x)에 대하여,

wfwvdvvfwvdvvfwA

wxdwwAxf

cˆ2

cos22

cos2

&

cos

00

0

0

0

cosˆ2

cos2ˆ

wxdwwfxf

wxdxxfwff

c

cc

F 푸리에 코사인 변환

푸리에 코사인 역변환




– 푸리에 사인 변환(Fourier sine transform) • 기함수인 f(x)에 대하여,

wfwvdvvfwvdvvfwB

wxdwwBxf

sˆ2

sin22

sin2

&

sin

00

0

0

0

sinˆ2

sin2ˆ

wxdwwfxf

wxdxxfwff

s

ss

F 푸리에 사인 변환

푸리에 사인 역변환




– Ex. 1

ax

axkxf

0

0

w

awkwx

wkwxdxk

wxdxxfwf

w

awkwx

wkwxdxk

wxdxxfwf

ax

x

a

s

ax

x

a

c

1cos2cos

12sin

2

sin2ˆ

sin2sin

12cos

2

cos2ˆ

00

0

00

0




– 선형성

– 도함수의 코사인 및 사인 변환 • f(x): 연속이며 x축 상에서 절대 적분 가능

• f‘(x): 모든 유한 구간에서 구분연속

• x → ∞ 일 때, f(x) → 0

gbfabgaf

gbfabgaf

sss

ccc

FFF

FFF

02

''

0'2

''

'

02

'

2

2

wfxfwxf

fxfwxf

xfwxf

fxfwxf

ss

cc

ss

sc

FF

FF

FF

FF




– Ex. 3

22

22

222

2

22

2

2

20'

2''

''

''&'

0

wa

aef

afwa

afwffwffa

xfxfa

xfaeaxfaexf

aexf

ax

cc

c

cccc

axax

ax

FF

F

FFFF


11.9 Fourier Transforms. Discrete and Fast Fourier Transforms

푸리에 변환(Fourier transform)

– 푸리에 코사인 변환 & 푸리에 사인 변환: 실수 변환

– 푸리에 변환: 복소수 변환 • 복소 푸리에 적분(complex Fourier integral)

• 푸리에 변환

• 푸리에 역변환(inverse Fourier transform)

dwdvevfxf vxiw

2

1

ffdxexfwf iwx ˆ

2

1ˆ

F

ffdwewfxf -iwx

ˆˆ

2

1 1F




– 푸리에 변환의 존재 • f(x) 가 x 축 상에서 절대 적분 가능이고 모든 유한 구간에서 구분

연속 → f(x)의 푸리에 변환이 존재함

– Ex. 1

w

w

w

w

iw

wi

iw

eeee

iw

eiw

dxedxexfxfwf

xxf

iwiwiwiw

x

x

iwxiwxiwx

sin2

2

sin2

2

sin2

2

1

2

1

1

2

1

2

1

2

1ˆ

otherwise0

11

1

1

1

1

F




– 선형성

– 도함수의 푸리에 변환 • f(x): x축 상에서 연속

• f‘(x): x축 상에서 절대 적분 가능

• x → ∞ 일 때, f(x) → 0

gbfabgaf FFF

xfwxf

xfiwxf

FF

FF2''

'




– Ex. 3

– 합성곱(convolution)

• 합성곱 정리

– f(x)와 g(x)가 구분연속이고 유계(bounded)하며, x축 상에서 절대 적분 가능한 경우,

4/4/ 22

222

222

2

222

1

2

1

2

1'

2

1'

2

1

'2

1'

2

1

ww

xxx

xxx

x

eiw

eiw

eiweef

exfexe

xexf

FFFF

dppgpxfdppxgpfxgf *

dwewgwfxgfgfgf iwxˆˆ*2* FFF

Engineering Mathematics IIelearning.kocw.net/contents4/document/lec/2013/ChonNam/... · 2013-07-19 · Engineering Mathematics II School of Mechanical Engineering 11.1 Fourier Series

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