1 ENG04030 ENG04030 AN ANÁ LISE DE CIRCUITOS I LISE DE CIRCUITOS I Aulas 21 Aulas 21 – Circuitos de 1 Circuitos de 1ª ordem: an ordem: aná lise lise no dom no domí nio do tempo nio do tempo Circuitos de 1 Circuitos de 1ª ordem (RL e RC), resposta natural ordem (RL e RC), resposta natural (comportamento livre) de circuitos RL e RC (comportamento livre) de circuitos RL e RC Sérgio Haffner rgio Haffner ENG04030 ENG04030 - AN ANÁLISE DE CIRCUITOS I LISE DE CIRCUITOS I SHaffner2010 SHaffner2010 – – [email protected][email protected]Comportamento de capacitores e Comportamento de capacitores e indutores indutores C e L têm capacidade de armazenar energia C e L têm capacidade de armazenar energia C C – armazena energia no campo el armazena energia no campo elétrico (carga) trico (carga) L L – armazena energia no campo magn armazena energia no campo magnético (fluxo) tico (fluxo) C e L reagem C e L reagem às varia s variaç ões em seu estado de ões em seu estado de opera operaç ão ão v(t) = = v n (t) + + v f (t ) ) e i(t) = i = i n (t) + + i f (t) duas componentes duas componentes resposta natural: resposta natural: i n (t) e e v n (t) independente da fonte independente da fonte resposta for resposta forçada: ada: i f (t) e e v f (t) dependente da fonte dependente da fonte nos circuitos est nos circuitos estáveis, segue o padrão da fonte veis, segue o padrão da fonte ser será estudada a resposta ao degrau estudada a resposta ao degrau
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ENG04030 ANÁLISE DE CIRCUITOS I - Inicial — … Haffner/aula21.pdf1 ENG04030 ANÁLISE DE CIRCUITOS I Aulas 21 – Circuitos de 1 ª ordem: an álise no dom ínio do tempo Circuitos
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ENG04030ENG04030ANANÁÁLISE DE CIRCUITOS ILISE DE CIRCUITOS I
Aulas 21 Aulas 21 –– Circuitos de 1Circuitos de 1ªª ordem: anordem: anáálise lise no domno domíínio do temponio do tempo
Circuitos de 1Circuitos de 1ªª ordem (RL e RC), resposta natural ordem (RL e RC), resposta natural (comportamento livre) de circuitos RL e RC(comportamento livre) de circuitos RL e RC
SSéérgio Haffnerrgio Haffner
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Comportamento de capacitores e Comportamento de capacitores e
indutoresindutoresC e L têm capacidade de armazenar energiaC e L têm capacidade de armazenar energia�� C C –– armazena energia no campo elarmazena energia no campo eléétrico (carga)trico (carga)
�� L L –– armazena energia no campo magnarmazena energia no campo magnéético (fluxo)tico (fluxo)
C e L reagem C e L reagem ààs varias variaçções em seu estado de ões em seu estado de operaoperaççãoão
�� Forma de onda não depende da condiForma de onda não depende da condiçção inicialão inicial
�� DuraDuraçção depende da constante de tempo (ão depende da constante de tempo (ττ, dada em segundos, dada em segundos))
( )0 0v t V=
( )( )0
1
0
t tRCv t V e
−−
=
( )( )0
0
t t
v t V e
RC
τ
τ
− −
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Circuito RC Circuito RC –– resposta naturalresposta naturalsolusoluçção a partir da expressão da respostaão a partir da expressão da respostaCircuito sem fontes no qual a condiCircuito sem fontes no qual a condiçção inicial ão inicial éé
EquaEquaçção do não do nóó superior (corrente saindo positiva)superior (corrente saindo positiva)
A soluA soluçção desta equaão desta equaççãoão
diferencial tem a seguinte formadiferencial tem a seguinte forma
Substituindo a soluSubstituindo a soluçção na equaão na equaçção homogênea, temão homogênea, tem--sese
equaequaçção diferencial linear homogênea (todos os termos têm ão diferencial linear homogênea (todos os termos têm
relarelaçção de 1ão de 1ºº grau com a varigrau com a variáável dependente ou sua derivada)vel dependente ou sua derivada)
( ) ( )0s t tv t Ke
−=
( ){ } ( ) ( ) ( )
( )
( )( )
0 0 0 0
0
0 0
1
0 0
1 10 0
1 10
s t t s t t s t t s t t
s t t
t tRC
dKe Ke Ke s Ke
dt RC RC
s Ke sRC RC
v t V Ke K
− − − −
−
−−
+ = ⇒ + =
− + = ⇒ =
= = =( )
( )0
1
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t tRCv t V e
−−
=
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( )( )
( )( )
1 10 0
dv t dv tC v t v t
dt R dt RC+ = ⇒ + =
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No circuito da figura, sabendo que a chave ficou muito tempo fecNo circuito da figura, sabendo que a chave ficou muito tempo fechada, hada,
determinar o valor da tensão determinar o valor da tensão vv em em tt=200=200µµss
�� Determinar circuito antes (condiDeterminar circuito antes (condiççãoão
inicial) e depois (situainicial) e depois (situaçção final)ão final)
da abertura da chaveda abertura da chave
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ExercExercííciocio
Sabendo que a chave permaneceu muito tempo Sabendo que a chave permaneceu muito tempo
conectando o capacitor ao circuito da direita, antes de ser conectando o capacitor ao circuito da direita, antes de ser
deslocada para esquerda em deslocada para esquerda em tt=0=0, determinar:, determinar:
�� a expressão da tensão sobre o capacitor para a expressão da tensão sobre o capacitor para tt≥≥00
�� o valor da tensão em o valor da tensão em tt=2 =2 msms
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Circuito RL Circuito RL –– resposta naturalresposta naturalsolusoluçção direta da equaão direta da equaçção diferencialão diferencial
Circuito sem fontes no qual a condiCircuito sem fontes no qual a condiçção inicial ão inicial éé
EquaEquaçção da malha (sentido horão da malha (sentido horáário)rio)
( )( ) ( )
( )0 0di t di t R
Ri t L i tdt dt L
+ = ⇒ + =
( )0 0i t I=
( )( )0
1
0
t tL
Ri t I e
−−
=
( )
( )
( )
( )( ) [ ]
( ) ( ) ( )( )
( )
( )( ) ( ) ( )
000 0
0 00
0 0 0
0
ln
0
ln
ln ln ln
t t t t
ttt t
i t R Rt t t t
I L L
di t Rdt
i t L
di x R Rdy i x y
i x L L
i tR Ri t i t t t t t
L I L
i te e e
I
− −− −
−=
− −= ⇒ =
− −− = − ⇒ = −
= ⇒ =
∫ ∫
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Circuito RL Circuito RL –– resposta naturalresposta naturalsolusoluçção a partir da expressão da respostaão a partir da expressão da respostaCircuito sem fontes no qual a condiCircuito sem fontes no qual a condiçção inicial ão inicial éé
EquaEquaçção de malha (sentido horão de malha (sentido horáário)rio)
A soluA soluçção desta equaão desta equaççãoão
diferencial tem a seguinte formadiferencial tem a seguinte forma
Substituindo a soluSubstituindo a soluçção na equaão na equaçção homogênea, temão homogênea, tem--sese
( )0 0i t I=
( ) ( )0s t ti t Ke
−=
equaequaçção diferencial linear homogênea (todos os termos têm ão diferencial linear homogênea (todos os termos têm
relarelaçção de 1ão de 1ºº grau com a varigrau com a variáável dependente ou sua derivada)vel dependente ou sua derivada)
( )( ) ( )
( )0 0di t di t R
Ri t L i tdt dt L
+ = ⇒ + =
( ){ } ( ) ( ) ( )
( )
( )( )
0 0 0 0
0
0 0
0 0
0 0
0
s t t s t t s t t s t t
s t t
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L
d R RKe Ke Ke s Ke
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L L
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− − − −
−
−−
+ = ⇒ + =
− + = ⇒ =
= = =
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