Energia, magnitúdo a intenzita tektonického zemetrasenia · momentové magnitúdo 10 0 0[] 2 log 9.1 ; W 3 M =− =MMNm. vráťme sa k šíreniu trhliny. trhlina, sklz trenie pôsobí

Energia, magnitúdoa intenzita

tektonického zemetrasenia

Peter Moczo

Katedra astronómie, fyziky Zeme a meteorológieFMFI UK Bratislava

Oddelenie seizmológieGeofyzikálny ústav SAV

spontánny vznik a spontánne šírenie trhliny na zlome,vyžarovanie seizmických vĺn každým bodom šíriacej sa trhliny,

šírenie seizmických vĺn v Zemia kmitavý pohyb povrchu Zeme

tektonické zemetrasenie

reprezentačná teoréma

časo-priestorovo závislá diskontinuita v posunutí ( trhlina )na zlomovej ploche

( , ) ( , ) ( , )u u uξ τ ξ τ ξ τ+ + − −⎡ ⎤ = −⎣ ⎦

( )( , , ,0)

, ( , ) npn i ijpq j

q

G x tu x t d u c d

τ ξτ ξ τ ν

ξ

∞

−∞ Σ

∂ −⎡ ⎤= Σ⎣ ⎦ ∂∫ ∫

spontánnosť trhliny: napätie na zlome je spojité

reprezentačná teoréma

tenzor hustoty momentu

( )( , , ,0)

, ( , ) npn i ijpq j

q

G x tu x t d u c d

τ ξτ ξ τ ν

ξ

∞

−∞ Σ

∂ −⎡ ⎤= Σ⎣ ⎦ ∂∫ ∫

[ ]pq i ijpq jm u c ν=

( )( , , ,0)

, npn pq

q

G x tu x t d m d

τ ξτ

ξ

∞

−∞ Σ

∂ −= Σ

∂∫ ∫

( ), ,n pq np qu x t m G dΣ

= ∗ Σ∫

reprezentačná teoréma

tenzor momentu

( ), ,n pq np qu x t m G dΣ

= ∗ Σ∫

aproximácia bodového zdroja

( ), ,n np q pqu x t G m dΣ

∗ Σ∫

pq pqM m dΣ

= Σ∫

( ), ,n pq np qu x t M G∗

skalárny seizmický moment

tenzor momentu

[ ] [ ]0 ;n u u nν ⋅ = =

tangenciálna trhlina v izotrópnom prostredí

[ ] ( )

[ ] ( )

[ ] ( )[ ] ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

pq p q q p

p q q p

p q q p

p q q p

M u t n n d

u t n n d

u t n n A

u t n n A s t

μ ν ν

μ ν ν

μ ν ν

μ ν ν

Σ

Σ

∞

= + Σ

+ Σ

= +

= +

∫

∫

tenzor hustoty momentu

[ ] ( )pq p q q pm u n nμ ν ν= +

[ ]0 ( )M u t Aμ ∞=

tenzor momentu

( )0 ( )pq p q q pM M n n s tν ν= +

( ) ( )0, ( ) ,n p q q p np qu x t M n n s t Gν ν+ ∗

reprezentačná teoréma

skalárny seizmický moment možno určiť,ak poznáme tenzor momentu

1 22

012 pq

pqM M

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠∑

nehovorí nič priamoo dynamike seizmického zdroja,

t.j. o šírení trhliny

kvantifikuje nevratné statické posunutie na zlome

v princípe nerozlišuje malý sklz na veľkej plocheod veľkého sklzu na malej ploche

0M

možno určiťzo spektier seizmických vĺn

príklad: povrch homogénneho polpriestoru

3/

0 0/,

//,

0

4

hypocentrálna vzdialenosťhustota

rýchlosť šírenia P/S vĺn

vyžarovacia charakteristika

nízkofrekvenčná hodnotaamplitúdového spektrakorigovaná na odozvu seizmometra, útlm a voľný povr

P SP S

P SP S

d VM uR

d

V

R

u

θ ϕ

θ ϕ

π ρ

ρ

=

ch

0M

0u

momentové magnitúdo

( ) [ ]10 0 02 log 9.1 ;3WM M M N m= − =

vráťme sa k šíreniu trhliny

trhlina, sklz

trenie pôsobí proti sklzu

spontánnosť trhliny: napätie na zlome je spojité

napätie na zlome

0( ; , ) ( ; ) ( ; , )T T Tν ξ τ ν ξ ν ξ τ= + Δ

vnútri trhliny:v danom bode súvisí napätie so sklzom

prostredníctvom zákona trenia

[ ] [ ]( ; , ) , ,f d uT T u

dtν ξ τ θ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

( , ) ( , ) ( , )u u uξ τ ξ τ ξ τ+ + − −⎡ ⎤ = −⎣ ⎦

statické napätie

dynamické napätie

kritickávzdialenosť

jednoduchý príklad zákona treniapokles napätia so sklzom

sklz

n

ν

0V S∂ =

V

+− Σ

vertikálny rez referenčným objemom

stav po zemetrasení

možno predpokladať,že gravitačná sila sa počas zemetrasenia nezmení

00 ,ij j ifσ= +

stav pred zemetrasením

,i ij juρ τ=

počas zemetrasenia

( )0

,

, ;

i ij j i

i ij ij j i ij ijkl kl

u f

u f c

ρ σ

ρ σ τ τ ε

= +

= + + =

10 ,ij j ifσ= +

rovnice pohybu a rovnováhy

využitím symetrie

ijij

Wσε∂

=∂

objemová hustota energie deformácie

ijkl klijc c=

( )( )

0

0

ijij

ij ij

ij ij ij

ij ijkl kl ij

WdW d

d

d

c d

εε

σ ε

σ τ ε

σ ε ε

∂=

∂

=

= +

= +

0 12ij ij ijkl kl ijdW d cσ ε ε ε⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

0 12ij ij ijkl kl ijdW d cσ ε ε ε⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )( )

0 0

0

0

0

1212

121 ,2

ij ij ijkl kl ij

ij ij ij ij

ij ij ij

ij ij i j

W W c

u

σ ε ε ε

σ ε τ ε

σ σ ε

σ σ

− = +

= +

= +

= +

( )0 01 ,2 ij ij i jW W uσ σ= + +

objemová hustota energie deformácie

procesy v referenčnom objeme

počiatočná potenciálna energia v referenčnom objemesa uvolňuje v dôsledku a prostredníctvom

šírenia trhliny na zlomovej ploche Σ

uvoľnená potenciálna energia sa spotrebúva na- prácu na vytvorenie trhliny na fronte trhliny- prácu na prekonanie trenia- kinetickú energiu v objeme- prácu na ploche 0S

1. termodynamický zákon

0P eff f SE E A K Eγ− = + + +

práca na ploche

0P eff f SE E A K Eγ− = + + +

0S0

0 0S S qE E Eσ= +

- vyžiarená energia (radiation energy)- za určitých podmienok môže byť rovná

energii seizmických vĺn

šíriacich sa cez plochu

qE

0S

( )0

0q P S f effE E K E A Eσγ= − − + + +

energetická bilancia zemetrasenia

( )0

0q P S f effE E E A Eσγ= − Δ − + +

procesy v referenčnom objeme

objemová hustota potenciálnej energie= obj.h. energie deformácie + obj.h. gravitačnej energie

počiatočný stav0W

konečný stav

( )0 0 1 1 11 ,2 ij ij i j i iW u f uσ σ+ + −

celkový pokles potenciálnej energie v referenčnom objeme

( )0 1 11 ,2P ij ij i j

V

E u dVσ σ⎧ ⎫Δ = +⎨ ⎬⎩ ⎭∫

použitím Gaussovej integrálnej vety

( ) ( )0 1

0 1 1 0 1 11 12 2P ij ij i j ij ij i j

S

E u n dS u dSσ σ σ σ νΣ

⎡ ⎤Δ = + − + ⎣ ⎦∫ ∫

( ) ( )

[ ]

1 0

0

1

0 1

0 1 1 0 1 1

0 1

1 12 2q ij ij i j ij ij i j

S

ij i jS

t

ij i jt

eff

E u dS u n dS

u n dS

dt u dS

Eγ

σ σ ν σ σ

σ

σ ν

Σ

Σ

⎡ ⎤= + − +⎣ ⎦

+

−

−

∫ ∫

∫

∫ ∫

vyžiarená energia (radiation energy)= pokles potenciálnej energie v celom referenčnom objeme !!

- práca počiatočného napätia na ploche - práca na prekonanie trenia- práca na vytvorenie trhliny na fronte trhliny

0S

( )0

0q P S f effE E E A Eσγ= − Δ − + +

( )

[ ]

1

1

0 1

0 1 112q ij ij i j

t

ij i jt

eff

E u dS

dt u dS

Eγ

σ σ ν

σ ν

Σ

Σ

⎡ ⎤= + ⎣ ⎦

−

−

∫

∫ ∫

vyžiarená energia (radiation energy)teda závisí od voľby objemu a teda aj od plochy 0SV

uvažujme pre jednoduchosť celý priestor; potom

možno ukázať, že táto energia

je ekvivalentná energii P a S vĺndostatočne ďaleko od zdroja (far field)

s rastúcou veľkosťou plochyklesá podiel

je to dôsledok toho, že plošná hustota tejto energie je rádovo 1 J/m2

1Σ

effEγ

tento člen preto zanedbáme

( ) [ ]1

1 0 1

0 1 112

t

q ij ij i j ij i jt

E u dS dt u dSσ σ ν σ νΣ Σ

⎡ ⎤= + −⎣ ⎦∫ ∫ ∫

[ ]

[ ]

[ ]

1

0 1

1

1

1

1 0

r

i

t

ij i jt

t

ij i jt

u

ij j i

dt u dS

dS u dt

dS d u

σ ν

σ ν

σ ν

Σ

Σ

⎡ ⎤⎣ ⎦

Σ

=

=

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

( ) [ ]1

1

0 1 112

0

iu

q ij ij i j ij j iE u d u dSσ σ ν σ ν⎡ ⎤⎣ ⎦

Σ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤= + −⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

∫ ∫

( ) [ ]1

1

0 1 112

0

iu

q ij ij i j ij j iE u d u dSσ σ ν σ ν⎡ ⎤⎣ ⎦

Σ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤= + −⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

∫ ∫

uvažujme jednoduchý model

( ) [ ] [ ]( )

[ ] [ ] [ ][ ]0 1

1

0,1,0 , ,0,0

, , , konštantné na ploche veľkosti

x

ij j i xy x

u u

u u u

u A

ν

σ ν σ σ

σ σ σ

= =

⇒

= =

− Σ

( ) [ ]1

0 1 112

0

u

qE u d u Aσ σ σ⎡ ⎤⎣ ⎦⎧ ⎫

⎪ ⎪⎡ ⎤= + −⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

∫

yσ0σ

1σ

0 1[ ]u0

yσ0σ

1σ

0 1[ ]u0

yσ0σ

1σ

0 1[ ]u0

potenciálna energia

disipovaná energia

vyžiarená energia

( )0 1 112 u Aσ σ ⎡ ⎤+ ⎣ ⎦

[ ]1

0

u

d u Aσ⎡ ⎤⎣ ⎦

∫

qE

statické napätie

dynamické napätie

kritickávzdialenosť

jednoduchý príklad zákona trenia:pokles napätia so sklzom

sklz

energia spotrebovanána vytvorenie trhliny

energia vyžiarenávo forme seizmických vĺn

energia spotrebovanána trenie

namiesto záveru

0

qEM

Shearer 2009