Ellära och Elektronik Moment AC-nät Föreläsning 4apachepersonal.miun.se/~bornor/ee/ee4.pdf · • Sambandet Q = CU ger för i • Spänningen u över kondensatorn erhålls ...

1

© Copyright 2008 Börje Norlin

1

Ellära och Elektronik Moment AC-nät

Föreläsning 4Kapacitans och Induktans

Uppladdning av en kondensatorMedelvärde och Effektivvärde

Sinusvåg över kondensator och spole


2

Kondensatorer• För att lagra elektrisk laddning

• Tillverkas i många olika varianter

2


3

Kondensatorer och kapacitans• Plattor med isolerande

material emellan, skdielektrikum.

• Kapacitans C = Q / U Där Q laddning och U spänning (C mäts i Farad F)

• Geometriskt gäller C = εrε0A/d därε0=8,85·10-12 F/m


4

Kapacitans• Ström är laddningsrörelse, dvs• Sambandet Q = CU ger för i

• Spänningen u över kondensatorn erhålls genom att integrera strömmen

dtdqi =

dtduCCu

dtd

dtdqi ===

( ) ( ) ( ) tdtiCC

qtut

′′+= ∫0

10

3


5

Kapacitans• Kondensatorn är spänningströg

– Oladdad kondensator leder ström ”obehindrat”.– Laddningen lagras i form av ett elektriskt fält som ger en spänning

för att motverka strömmen.

• Uppladdning av kondensator– När brytaren slås till så börjar ström flyta ”mot” kondensatorn– Elektroner ”trängs” på nedre plattan, på övre finns ”hål”– Spänningen över kondensatorn ökar, kondensatorn ”laddas upp”.


6

Uppladdning av kondensator

V12V

C16.8uF

A BT

G

XSC1

R1

4.7kohm

J1

Key = Space

• Kondensatorn laddas upp

– När brytaren slås till övre läget

• Kondensatorn laddas ur– När brytaren slås i

nedre läget• Oscilloskopet mäter

– Spänningen över kondensatorn och spänningen efter brytaren

4


7

Uppladdningskurva• Spänningen 2 V slås till• Kondensatorn börjar att

laddas upp• Uppladdningen följer

ekvationen

• E: batterispänningent: tiden, R: resistans, C: kapacitansen

– På miniräknare kan ex

ibland heta INV ln, eftersom det är motsatsen till naturlig logaritm ln

( ) ( )RCtC eEtU −−⋅= 1


8

Urladdningskurva• Kondensatorn kopplas till

jord• Kondensatorn börjar att

laddas ur• Urladdningen följer

ekvationen

• E: batterispänningent: tiden, R: resistans, C: kapacitansen

( ) RCtC eEtU −⋅=

5


9

Beräkning av tidskonstant• Kondensatorn har INGEN egen tidskonstant

– Uppladdningstiden beror på BÅDE kondensatorn och resistorn

• Tidskonstanten• Ex τ = RC = 6.8⋅E-6 ⋅ 4.7⋅E3 = 32 ms• När t = τ blir exponenten i uppl.ekv. -t/RC = -τ/τ = -1• I ekvationen UC = 2 ⋅ (1-e-1) = 2 ⋅ 0.63 = 1.26 V• MAN KAN MÄTA TIDSKONSTANTEN τ

– Mät tiden tills spänningen når 63 % av batteriets spänning

CR⋅=τ


10

Mätning av tidskonstant• Tidkonstant

– Mät tiden till 63 %

• Lättare mätning– Mät tiden till 10 % och 90 %

32 ms

63 %

%)63(t=τ

2,2%)10(%)90( tt −

=τ

10 %90 %

6


11

Spolar


12

Induktans• Spänningen över en spole blir

• Inför induktansen L (Henry H) för att få ett uttryck för spänningen som funktion av strömmen

( )imot prop flöde magnetiskt Φ

och varvantalNDär

==Φ

=dtdNtu

( )dtdiL

dtdiNktu ==

7


13

Induktans• Strömmen genom spolen erhålls genom att

integrera spänningen

• Slutsats: Spolen är strömtrög– Ström genom en spole bygger upp ett magnetfält

som inducerar spänning för att motverka strömändringen.

( ) ( ) ( )∫ ′′+=t

tdtuL

iti0

10


14

Induktion i spole ”urladdning”

V12V

A BT

G

XSC1

R1

4.7kohm

J1

Key = Space

L1150H

• Ström & magnetfält– Brytaren i övre läget

• Spolen skapar spänning – För att bevara

strömmen och magnetfältet

– När brytaren slås i nedre läget

• Oscilloskopet mäter – Spänningen över

spolen och spänningen efter brytaren

8


15

Urladdningskurva• Spolen kopplas till jord• Spolen ”behåller”

strömmen genom att ”bums” ändra sin spänningen

• Spänningsfallet över resistorn behålls


16

Induktion utan att jorda

• Avbrott – resistor mot jord• Spolen måste ge betydligt

mycket mer spänning• Kan överbrygga brott i kretsen

– I tändstiftet och i fördelardosan

V12V

A BT

G

XSC1

R1

4.7kohm

J1

Key = Space

L1150H

R2100kohm

9


17

Växelström/spänning

• Tidsberoende variabler skrivs med gemener, t.ex u(t) och i(t)


18

Sinusvågens period

• Avläsning av en period

10


19

Sinusvåg• Toppvärde û• Period T• frekvens f=T-1

• vinkelfrekvens ω=2πf

• fasvinkel ϕ


20

Sinusvåg över resistor• Spänning• Strömmen genom resistans bestäms av Ohms

lag även för växelspänning, dvs

• Det kan vi skriva som

• Strömmen i fasi fas med spänningen då ϕu = ϕi

( ) ( )ϕω += tutu sinˆ

( ) ( ) ( )ϕω +== tRu

Rtuti sin

ˆ

( ) ( )ϕω += titi sinˆ

11


21

Medelvärde• Medelvärdet av en växelspänning beräknas

genom integrering över en hel period.

– Resultatet divideras med periodtiden T för att erhålla ett normaliserat värde.

• Medelvärde kan mätas med en voltmeter inställd på DC.

( )∫=T

m dttuT

u0

1


22

Exempel medelvärde• Medelvärde av en

fyrkantsvåg– Amplitud 2 V och

period 2 s– 1:a halvan av kurvan

ger plus 2 till ytan– 2:a halvan av kurvan

ger minus 2 till ytan

• Spänningens medelvärde är 0 V

Tid (s)

u (V)

2

2

0

( )

( ) 02221

2221

1

2

1

1

0

0

=−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

==

∫∫

∫

dtdt

dttuT

UT

m

12


23

Effektivvärde• Frågeställning:

En likspänning U ger upphov till en effekt Pi en resistor R. Vilken växelspänning u(t)över samma resistor ger samma effekt?

• För växelspänningen gäller momentant att

• Eftersom strömmen och spänningen är i fas kan vi sätta ϕ=0.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ϕωϕω +⋅+=⋅= titutitutp sinˆsinˆ


24

Effektivvärde• Den momentana effekten är

• Den energi som utvecklas under en period blir

• Effekten definieras som P=W/t

( ) ( ) ( ) ( )tiutitutp ωωω 2sinˆˆsinˆsinˆ ⋅=⋅=

( )∫=T

dttpW0

( ) ( )∫∫ ⋅==TT

dttiuT

dttpT

P0

2

0sinˆˆ11 ω

13


25

Effektivvärde• Men trigonometri kan vi ändra uttrycket för P

• Om vi räknar fram värdet på integralen( ) ( )∫∫ −

⋅=

⋅=

TTdtt

Tiudtt

TiuP

00

2 2cos121ˆˆ

sinˆˆ

ωω

[ ]

( ) ( ) ( )( )0002

ˆˆ2

02sin22sin0

2ˆˆ

22sin

2ˆˆ

2cos12

ˆˆ

000 0

−−−⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−

⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

⋅=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

⋅= ∫ ∫

TTiuTT

Tiu

ttTiutdtdt

TiuP

TTT T

ωω

ωω

ωωω


26

Effektivvärde• Effekten av en växelspänning blir

• Effektivvärde är en storhet som för en given växelspänning ger en viss effekt. P=UeIe

• För sinusvåg gäller att

2ˆˆ iuP ⋅

=

2

ˆoch

2ˆ iIuU ee ==

14


27

Effektivvärde• Generellt; utgå från uttrycket för effekt

• Kan integralen delas upp i u- och i-faktorer?( ) ( )∫∫ ⋅==

TTdttiu

Tdttp

TP

0

2

0sinˆˆ11 ω

( ) ( )

( ) ( )∫∫

∫∫

⋅

=⋅⋅⋅=

TT

TT

dttiTudttu

Ti

dttiuT

dttiuT

P

0

2

0

2

0

2

0

2

sinˆˆsinˆ

ˆ

sinˆˆ1sinˆˆ1

ωω

ωω


28

Effektivvärde• Skriv effekten som två faktorer som beror av

en enda storhet vardera.

• Dessa faktorer kallas effektivvärden.

( ) ( )

( ) ( )∫∫

∫∫

⋅

=⋅=

TT

TT

dttiT

dttuT

dttiTudttu

TiP

0

22

0

22

0

2

0

2

sinˆ1sinˆ1

sinˆˆsinˆ

ˆ

ωω

ωω

15


29

Effektivvärde• Effektivvärdet för en godtycklig växelstorhet

av godtycklig vågform definieras:

• Effektivvärde kan mätas med en voltmeter inställd på AC. (förenklat påstående)

( )

( )∫

∫

=

=

T

e

T

e

dttiT

I

dttuT

U

0

2

0

2

1

1


30

Exempel effektivvärde• Effektivvärde av en

fyrkantvåg– Amplitud 2 V och

period 2 s– Både negativ och

positiv spänning ger samma positiva bidrag.

• Spänningens effektiv-värde är 2 V

Tid (s)

u (V)2

2

0

u2 (V)4

( )

224212

21

1

2

0

2

0

2

=⋅=

==

∫

∫

dt

dttuT

UT

RMS

16


31

Sinusvåg över kondensator• Strömmen genom kondensatorn ges av

• Strömmen är fasförskjuten 90° före spänningen.• Vi ser att för kondensatorn.• Inför reaktans XC = 1/ωC

( ) ( ) ( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=+=+==

2sinˆ

cosˆsinˆ

πϕωω

ϕωωϕω

tCu

tuCtudtdC

dtduCti

ωCui ⋅= ˆˆ


32

Sinusvåg över kondensator

17


33

Sinusvåg över kondensator• Med reaktansen kan Ohms lag användas.

• Enheten för reaktans är ohm.

CXuiˆˆ =

ΩAV

VAss

111

===⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−Cω


34

Ersättningskapacitans

NT

NT

CCCC

XXXX

ωωωω1111

21

21

+⋅⋅⋅++=

=+⋅⋅⋅++=

NT

NT

CCCCXXXXωωωω +⋅⋅⋅++=

=+⋅⋅⋅++=

21

21

1111

NT CCCC1111

21+⋅⋅⋅++= NT CCCC +⋅⋅⋅++= 21

Tvärt om jämfört med resistorer

18


35

Sinusvåg över spole• Strömmen genom spolen ges av

• Strömmen är fasförskjuten 90° efter spänningen.• Vi ser att för spolen.• Inför reaktans XL = ωL

( ) ( ) ( )

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=+−

=′+=′′= ∫∫

2sin

ˆcos

ˆ

sinˆ1100

πϕωω

ϕωω

ϕω

tL

utL

u

tdtuL

tdtuL

titt

Luiω

ˆˆ =


36

Sinusvåg över spole

19


37

Ersättningsinduktans

NT LLLLL +⋅⋅⋅+++= 321NT LLLLL11111

321+⋅⋅⋅+++=

NT

NT

LLLLXXXXωωωω +⋅⋅⋅++==+⋅⋅⋅++=

21

21

NT

NT

LLLL

XXXX

ωωωω1111

1111

21

21

+⋅⋅⋅++=

=+⋅⋅⋅++=

Samma sak som för resistorer

Ellära och Elektronik Moment AC-nät Föreläsning 4apachepersonal.miun.se/~bornor/ee/ee4.pdf · • Sambandet Q = CU ger för i • Spänningen u över kondensatorn erhålls ...

Documents