Eletromagnetismo Licenciatura: 4ª Aula (27/02/2014)vannucci/2014_Aula4_eletromag_cor.pdf · 2014-03-21 · Eletromagnetismo – Licenciatura: 4ª Aula (27/02/2014) Prof. Alvaro Vannucci

Eletromagnetismo – Licenciatura: 4ª Aula (27/02/2014) Prof. Alvaro Vannucci

Na aula anterior vimos que:

O potencial elétrico em pontos próximos de uma carga pontual Q:

0

1

4 'V r

r r

Q

Para uma distribuição contínua de cargas:

0

1( )

4 '

dqV r

r r

No caso de um dipolo elétrico ( sendo p Q l o momento de dipolo elétrico):

e, portanto:

Capacitores

Correspondem, basicamente, a dois condutores com cargas +Q e –Q, separados por

um meio dielétrico (vácuo, por exemplo):

Havendo cargas de sinais contrarios, então há uma diferença de

potencial entre os condutores e a constante de proporcionalidade,

entre a carga Q e a ddp V, é chamada de capacitância C, de forma

que :

O grande interesse que se tem pelo estudo dos capacitores é devido à possibilidade

deles armazenarem energia elétrica:

0 0

ˆcos

4 ² 4 ²dipolo

p p rV

r r

0

ˆˆ(2cos )4 ³

dipolo dipolo

pE V r sen

r

( )Coulomb

FaradVolt

QC

V

2 1²

2 2

QU CV

C

O capacitor de placas paralelas:

Um capacitor plano é dito ideal quando a área das placas condutoras for muito grande e a distância de separação for muito pequena, de forma que efeitos de borda podem ser desconsiderados.

Neste caso, o campo elétrico é constante e uniforme, de forma que (pela Lei de Gauss):

0

0 0

1 QE Q EA

A

(1)

Sendo que a ddp é dada por:

( )

d

o

V E dl E dl V Ed (2)

Substituindo (1) e (2) na expressão de capacitancia:

0 EQC

V

A

E

0placas

Paralelas

AC

dd

(3)

Agora, como a energia armazenada 1

²2

U CV , usando 2 e 3:

interno

00

01

2 2

1

2

²( )( ² ²) ( )( ²)

volume

do

capacitor

olume

A E UU E ud Ad

d VE

Onde u é a densidade volumética de energia no interior do capacitor.

De forma que a Energia Total associada a um campo elétrico existente em uma região do espaço qualquer, pode ser calculada:

0

2²

volume

U u dV E dV

Cavendish e Faraday descobriram, independemente, que a capacitância modifica-se quando um material dielétrico é inserido entre as placas de um capacitor isolado (desconectado da bateria, a carga é constante).

Eles observaram que se todo o espaço disponivel for preenchido pelo dielétrico, a capacitância aumenta por um fator K ( em relação ao ar\vácuo), e que K (denominado constante dielétrica) depende do tipo de material dieltrico utilizado:

C= K C0 ; sendo que para o ar/vácuo, Kvácuo = K0 = 1

(Note que só há dependência com os parâmetros geométricos do sistema)

- - - - - - - - --

--

+ + + + + +

dl

E

x

O

A

A

d

Mas como as cargas no capacitor se mantêm constantes e C=q\V , então um aumento na capacitância implica em uma diminuição na ddp.

Ou seja, sendo 0

0 0

0

( )

( )

Qvácuo C

V C Vdividindo

C VQdielétrico C

V

Agora, como C= K C0 0V

VK

(lembrando que K0 = 1)

Ainda, como0 0 0

0 0

V E d EV EE

V Ed V E K

Portanto, o campo resultante entre as placas também diminui!

Como entender fisicamente estes resultados?

Supor uma molécula na qual os “centros de carga” coincidam e vamos submetê-la a um campo elétrico externo uniforme e constante.

Note que o campo externo atuando nos seus prótons e elétrons provoca um deslocamento dos “centros de carga” da molécula:

Ou seja, com a aplicação do campo externo ocorre a Polarização da molécula, devido à criação e alinhamento dos pequenos dipolos elétricos.

Havendo N moléculas, tem-se N dipolos, de forma que a soma de todos os ip , por

unidade de volume do material, nos fornece o Vetor Polarização:

1

1 n

i

iolume

P pV

; unidade: ²

C

m

Experimentalmente, observa-se na grande maioria das situações que quanto mais intenso for o campo externo aplicado, maior será a polarização resultante; e também maior será, proporcionalmente, o campo resultante, de forma que :

0 resP E

Onde χ corresponde à susceptibilidade elétrica do meio.

Sem Eext

Com Eext

-

- -

-

- -

- +

+ - - - -

-

-

- -

- -

-

- -

- -

-

- - -

-

- - -

extE

Agora, e em situações nas quais existam tanto cargas livres quanto cargas de polarização, como calcular o campo elétrico resultante?

Vejamos, por exemplo, o capacitor de placas paralelas ideal, com um dado meio dielétrico:

De forma que o res ext indE E E ; sendo que o

indE

tende a enfraquecer o resE .

Note também que indE e P , igualmente, dependem

diretamente das cargas de polarização que se formam.

Se aplicarmos a Lei de Gauss a este problema, escolhendo a superficie gaussiana com sendo a pastilha cilíndrica mostrada na figura:

0 res int. livre polariz.total

ˆ·n dA QE Q Q

Como as cargas de polarização estão diretamente relacionadas com o vetor polarização que surge em decorrencia, o cálculo do seu fluxo através do cilindro:

polarizaçãoˆ·n dA QP

De forma que :

0 res livreˆ ˆ· ·n dA Q n dE AP 0 res livre

ˆE P n dA Q ( somente!)

Definindo: 0 resD E P “Vetor Deslocamento Elétrico”

Então:

int. livreˆ·n dAD Q

E será esta a equação que estaremos utilizando coma sendo a Lei de Gauss, por não depender explicitamente das cargas de polarização!

Note que usando: 0

0

0

1D E P

DE

EP

D E

Sendo ε a permissividade elétrica do meio.

No vácuo: χ=0 (P = 0) 0D E

E lembre-se sempre: D está associado apenas com as cargas livres.

++++++

------

------

++++++

extE

n̂

P

indE