Elektromagnetik Alan Teorisi Elektrostatik alan (statik elektik alan) Statik alan teorisi Zamanla değişim yok Magnetostatik alan (statik magnetik alan) Dalga Teorisi denince dinamik alan (zamanla değişim var) akla geliyor. Matematiksel Temeller + = + = + ÖR: (2,0,2) , (0,2,1) - = ? = -2 + 2 - O K bir sabit ise = k Skaler Çarpım : 1) 2) ve olarak verilirse
21
Embed
Elektromagnetik Alan Teorisi - Erdinç Kuruoğlu · Web viewElektromagnetik Alan Teorisi Elektrostatik alan (statik elektik alan) Statik alan teorisi Zamanla değişim yok Magnetostatik
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Elektromagnetik Alan Teorisi
Elektrostatik alan (statik elektik alan) Statik alan teorisi
Zamanla değişim yok Magnetostatik alan (statik magnetik alan)
Dalga Teorisi denince dinamik alan (zamanla değişim var) akla geliyor.
Matematiksel Temeller + = + = +
ÖR: (2,0,2) , (0,2,1) - = ?
= -2 + 2 -
O K bir sabit ise = k
Skaler Çarpım :
1)
2) ve olarak verilirse
Ör: kuvvetinin uygulama noktası vektörü kadar yer değiştirirse yapılan iş ne olur? ( İş = Kuvvet yol ) (Nt) (m)
14 Joule
Vektörel Çarpım
ise vektörü hem hem de ’ ye diktir (Sağ el sistemi).
1)2)
3)
ise
Karışık çarpım:
1) (Dairesel permütasyon) 2) Skaler çarpım komütatif (değişme özelliği) olduğundan 3) Tek permütasyon yapıldığında işaret değişir
Karışık çarpım paralel yüzün hacmini verir.
İki katlı vektörel çarpım:
(BAC-CAB)
Koordinat Sistemleri :
Kartezyen Koordinatlar: (x,y,z)
(Birim vektör)
z
y
x
P(x,y,z) noktasından çok küçük diferansiyel artımlarla (dx,dy,dz) elde edilen yeni nokta (x+dx, y+dy, z+dz) olur.
R P(x,y,z)
Silindirik Koordinatlar: ; 0 ;
cos(90-)= sin ; cos(90+)= -sin
x = rcos r =
y = rsin
z = z z = z
Küresel Koordinatlar: ( R,, ) 0 R <+ ; 0 0
(silindirik)
= (kartezyen) (silindirik)
= (kartezyen)
P1(2,5,4)
(kartezyen)
Örnek : Koordinat sistemi seçiminin önemine işaret eden örnek:
F = ’ ye hareket ettirilirken yapılan iş ?
1.Çözüm:
= J
2.Çözüm:
(1.1)‘den (2.1)’e y sabit y = 1
r =
(2.1) ‘den (2,2) ‘ye x sabit x = 2
bu problemde x = y ve dx = dy olduğundan
= J ]
ise korunumlu alan Örnek: ‘den ‘ye
a) ve yoluyla b) yoluyla ( her şey z = 4 düzleminde gerçekleşiyor.)
Çözüm : a) L1 üzerinde dx = dz = demek ki 1. ve 3.
integraller sıfır. (x = 2 ve z = 4 ) ise = -168 J
L2 yolunda dy = dz =0, y=2 ve z= 4 W2 = W1,2=W1 +W2 = -158 [J]
b) L3 yoluyla dz = 0 y=mx+n ’de (x,y) yerine sırasıyla (2,5) ve (3,2) konursa y= -3x+11 olarak bulunur.
P2(3,2,4)P3(2,2,4) L2
L1 L3
x
y
y→-3x+11
dy →-3dx konursa
L1-L2 ile L3 yolu ile elde edilen iş aynı değil.( korunumlu
alan değil).
ÖDEV: W= F.dl = ? F= axxy+ay(3x-y2)(a) P1→P2’ye (1). yoldan (b) (2). yoldan bulunuz. Alan korunumlu mu?
ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR VE YÜZEYLER
x,y,z → (-,) f(x,y,z) sürekli ve türevli . Belli P0(x0,y0,z0) gibi bir değeri vardır. f’in bu değere sahip bulunduğu (x,y,z) noktalarının kümesine yüzey denir. f yüzeyi değişkenlerden birini örneğin z’i içermiyorsa f(x,y)= sabit bağıntısı ile tanımlı S yüzeyi, z= düzleminde f(x,y) ile tanımlı C eğrisine değen eksenine paralel olan doğruların oluşturduğu yüzeyden ibaret olur. Bu S yüzeyine dik kesiti C olan silindirdir.
t sonlu ve sonsuz aralıkta değişmek üzere f(t), (t), (t) t’nin sürekli fonksiyonlarını gözönüne alalım. Kartezyen koordinatları sırasıyla f(t), (t) ve (t)’ye eşit P(x,y,z) noktası t değiştikçe uzayda sürekli olarak konum değiştirir. Bu şekil bir eğri adını alır. x=f(t), y=(t), z= (t)şimdi parametrik denklemi yukarıdaki gibi verilen C eğrisi üzerinde birbirine çok yakın P ve P’ noktalarını göz önüne alalım. P noktası t, P’ noktası t+t değerine karşı gelsin. PP’/t vektörünün bileşenleri
, P noktasında teğet olan bir vektördür.
Bileşenleri de f’(t), ’(t), ’(t) olur. Bu demektir ki bileşenleri f’(t), ’(t), ’(t) olan vektörü C eğrisine P(f,,) noktasında teğettir. C’nin üzerinde belirli bir P0 noktasından itibaren ölçülen yay uzunluğu S olsun. C’nin parametrik denklemi S cinsinden de yazılabilir. vektörü birim vektördür.
Gradyant: R → R3
dl=dx.ax+dy.ay+dz.az
burada
O halde df=gradf. yazılabilir.
del operatörü , olarak tanımlanır.(ax,ay,az birim vektörler)
S kalan alanın maksimum değişme yönünü gösterir. Yüzeye dik bir vektörü verir. Diğer koordinat sistemlerinde de gradyant olgusu benzer benzer şekilde tanımlanır.Örneğin silindirik koordinatlarda
dl=dr.ar+r.d.a+dz.az
df=gradf.dl
(ar,a,az birim vektörler)
küresel koordinatlarda;
(aR,a,a birim vektörler)
Belirli bir doğrultuda türev f.u= Örneğin; u=ax için türev f/x
Örnek: E=V olarak verilmektedir. E’yi (1,1,0) noktası için hesaplayınız.
a-) V=V0.ex.sin(. ) b-) V=V0.R.cos
V0.ex.sin(. )= V0.ex
(ax,ay,az birim vektörler)
a-) E(1,1,0)=(ax-ay. /4).
b-) E=-[ar. +a. +a. ]. V0.R.cos
V0.R.cos→ V0.z önceden yazılsaydı, kartezyen koordinatlarda
E= -V= -az ( V0.z) = - az.V0
Bir vektör alanının Diverjansı: R3→R
Hacim sıfıra giderken, söz konusu hacmi sınırlayan kapalı yüzeyden dışarı çıkan net akı miktarına A vektör alanının diverjansı denir.
divA Kartezyen koordinatlarda ; .A= + +
en genel olarak; .A = [ (h2.h3.A1)+ (h1.h3.A2)+ (h1.h2.A3)]
Diverjans teoremi:
Bir vektör alanının diverjansının hacim integrali hacmi sınırlayan yüzey üzerinden söz konusu vektörün dışarı doğru toplam akı miktarına eşittir.
Örnek: A = axx2+ayxy+azyz için diverjans teoreminin doğruluğunu aşağıdaki şekilde verilen küp üzerinde test edin.
1. ön yüz: x=1 dS = axdy.dz önyüz A.dS =
2. arka yüz: x=0, dS = - ax.dy.dz arkayüz A.dS =0
3. Sol yüz: y=0, dS = - ay.dx.dz sol yüz A.dS =0
4. Sağ yüz: y=1, dS = ay.dx.dz sağ yüz A.dS =
5. Üst yüz: z=1, dS = dx.dy. az üst yüz A.dS =
6. Alt yüz: z=0, dS = - ax.dx.dy alt yüz A.dS = 0
Hepsini toparlarsak; =1+0+0+1/2+1/2+0=2
Diğer yolla ise bu problem için çok daha kısa bir şekilde aynı sonuca ulaşabiliriz.
Kartezyen koordinatlarda Diverjans:
y
z
x
1
1
1
div olduğuna göre
Silindirik Koordinatlarda diverjans
Küresel Koordinatlarda diverjans
Ödev : olduğunu göster.
Örnek 2: vektörü için diverjans teoremini doğrulayın
= 3 (Kort.)
olduğu görülür.
Örnek: F (x,y,z) = ay vektör alanı nedeniyle z = 0’dan z = 2m’ye uzanan ve yarı çapı 2m olan kapalı silindirden dışarı çıkan net akıyı hesaplayın.
böylelikle
dır.
Bir vektör Alanını Rotasyoneli R3 R3
Yüzey alanı sıfıra giderken birim yüzey alanda oluşan maksimum net sirkülasyon verir. Yönü yüzey alanı net sirkülasyonu maksimum yapan yüzey alanına diktir.
Sirkülasyon yok Saat yönünde sirkülasyon var Saatin tersi yönünde sirkülasyon’nin yönü parmaklarken baş parmağın yönü ’i gösterir.
Kartezyen Koordinatlarda Rotasyonel
’yı diferansiyel
alan içinde yaklaşık sabit alınırsa
aynı işlemler xz ve yz düzlemlerinde de yapılırsa
(yz düzlemi) (xz düzlemi)
Silindirik Koordinatlarda Rotasyonel
dan hareketle aşağıdaki gibi yazılabilir.
Küresel Koordinatları
olduğunu
göster. (Markus Zahn ,EM Field Theory)
STOKES TEOREMİ
Açık bir yüzey üzerinden bir vektör alanın rotasyonelinin yüzey integrali aynı yüzeyi çevreleyen kapalı
çevre üzerinden söz konusu vektör alanının çizgisel integraline eşittir.
Örnek : vektör alanı için yarıçapı 3 olan çeyrek dairesel disk üzerinde Stokes
teoremini doğrulayın.
Şimdi de ’yi bulalım.
demek ki sağlıyor.
Örnek : vektör alanı için L kapalı eğrisi ile sınırlanan
a) xy düzlemindeki düz dairesel düzlem için
b) Yarım küre yüzeyi için
c) Silindir yüzeyi için i hesaplayınız.
L kapalı eğrisi için L üzerinde r = R
a)
b)
c) doğrultusunda olduğundan yanal yüzeylerden bir katkı gelmez. Ayrıca z’e de bağlı
olmadığından sadece silindirin üst sınırındaki daire üzerinden integral olarak sonuca ulaşırızki bu (a) şıkkı ile
aynıdır.
Örnek : için ’i hesaplayın. Şekilde sonuç 0 ve yönü