Elektrimõõtmised konspekt

ELEKTRIMÕÕTMISED ELECTRICITY MEASUREMENTS

3. parandatud ja täiendatud trükk

LOENGU KONSPEKT

Koostas: Toomas Plank

TARTU 2005

3

Sisukord

Sissejuhatus......................................................................................................................................... 5 MÕÕTMISTEOORIA ALUSED ........................................................................................................ 6 1. Mõõtmine, mõõtühikud, mõõtühikute vahelised seosed.............................................................. 6

1.1. Mõõtmine ............................................................................................................................ 6 1.2. Mõõtühikud ja nende süsteemid.......................................................................................... 6 1.3. Dimensioonvalem................................................................................................................ 8 1.4. Suured ja väikesed ühikud................................................................................................... 9

2. Tõeline väärtus ja mõõdis. Viga ja määramatus........................................................................ 11 3. Mõõtetulemus kui juhuslik suurus............................................................................................. 13

3.1. Histogramm....................................................................................................................... 14 3.2. Dispersioon ja standardhälve............................................................................................. 16 3.3. Ekse................................................................................................................................... 17 3.4. Aritmeetilise keskmise standardhälve ja A–tüüpi määramatus......................................... 18 3.5. Usaldusnivoo leidmine histogrammi alusel....................................................................... 19

4. Jaotusfunktsioonid. jaotusfunktsiooni hüpoteesi kontrollimine................................................ 20 4.1. Normaaljaotus.................................................................................................................... 20 4.2. Ühtlane jaotus.................................................................................................................... 20 4.3. Kolmnurkjaotus................................................................................................................. 21 4.4. Usaldusnivoo hindamine jaotusfunktsiooni alusel ............................................................ 22 4.5. Jaotusfunktsiooni hüpoteesi kontrollimine........................................................................ 22

5. Kaalutud keskmiste meetod ....................................................................................................... 25 6. Juhuslikud ja süstemaatilised efektid......................................................................................... 26

6.1. Süstemaatilised efektid...................................................................................................... 26 6.2. Juhuslikud efektid.............................................................................................................. 26

7. Mõõtevahendid ja nende lubatud vigade normeerimine............................................................ 28 7.1. Normaal- ja töötingimused................................................................................................ 29 7.2. Täpsusklass........................................................................................................................ 30 7.3. B-tüüpi määramatus........................................................................................................... 31

8. Mõõtetulemuse esitamine koos määramatuse hinnanguga........................................................ 33 8.1. Näited B-tüüpi määramatuse leidmisest ja vastuse esitamisest......................................... 34

9. Mõõtetulemuse määramatus kaudmõõtmisel ............................................................................. 36 9.1. Otsesed ja kaudsed mõõtmised.......................................................................................... 36 9.2. Kaudmõõtmise määramatus sõltumatute sisendsuuruste korral ........................................ 36 9.3. Summa ja vahe määramatus.............................................................................................. 37 9.4. Korrutise ja jagatise määramatus....................................................................................... 37 9.5. Kaudmõõtmise määramatus sõltuvate sisendsuuruste korral ............................................ 38

10. Mõõtetulemuste graafiline töötlemine....................................................................................... 40 10.1. Katsepunktide lähendamine lähenduskõveraga................................................................. 40 10.2. Määramatuse ristide lisamine katsepunktidele.................................................................. 40 10.3. Teoreetilise mudeli kontrollimine..................................................................................... 41 10.4. Vähimruutude meetodil leitud sirge tõusu ja algordinaadi kasutamine füüsikaliste

suuruste mõõtmiseks......................................................................................................... 42 11. Eksperimendi planeerimise elemente......................................................................................... 43 ELEKTRIMÕÕTMISED................................................................................................................... 44 12. Elektriskeemides kasutatavate tingmärkide tähendus................................................................ 44 13. Osutmõõteriist............................................................................................................................ 46

4

14. Testri kasutamine mõõtmisteks, mõõtepiirkonna valik ............................................................. 47 14.1. Testri kasutamine voltmeetrina......................................................................................... 48 14.2. Testri kasutamine oommeetrina ........................................................................................ 48 14.3. Testri kasutamine ampermeetrina...................................................................................... 48

15. Ostsilloskoop.............................................................................................................................. 49 15.1. Analoogostsilloskoop........................................................................................................ 49 15.2. Digitaalostsilloskoop......................................................................................................... 50

16. Laboratoorsed tööd koos juhendite ja indeksitega..................................................................... 51 17. Kasutatud kirjandus ................................................................................................................... 52 LISA ................................................................................................................................................ 53 18. t-jaotus........................................................................................................................................ 53

5

Sissejuhatus

Elektrimõõtmiste kursusel on kolm peamist eesmärki: � tutvustada põhilisi elektrinähtusi, � tutvustada mõõtevahendeid ja -meetodeid, � õpetada eksperimendi tehnikat ja katsetulemuste töötlemist.

Nende eesmärkide täitmiseks on kursus jagatud kolme ossa. � Loengutes räägitakse elektrimõõtmistest ja mõõtetulemuste usaldatavuse hindamisest

erinevate mõõtevahendite ja erinevate mõõtmisviiside korral. � Praktikumides tuleb üliõpilasel loengus omandatud teadmiste kinnistamiseks sooritada 6

laboratoorset tööd peatükis 16 toodud nimekirjast. � Seminarides õpime praktikumitöid andmetöötlusele esitatavate nõuete kohaselt vormistama

kasutades inseneritarkvara paketti MathCAD.

Mõõtmisteooria alused

MÕÕTMISTEOORIA ALUSED 1. Mõõtmine, mõõtühikud, mõõtühikute vahelised seosed

1.1. Mõõtmine Tänapäeval tegeldakse mõõtmisega väga erinevates eluvaldkondades: alates füüsikast ja keemiast ning lõpetades majanduse ja sotsiaalteadustega. Näiteks:

� vee kulu mõõtmine, � tarbitud sooja- või elektrikoguse mõõtmine, � pinge mõõtmine vooluvõrgus; aga ka � rahvaloendus, � kliendi rahulolu mõõtmine.

Võib öelda, et mõõtmine on igasuguse kvantitatiivse informatsiooni hankimine eksperimentaalsel teel. Mõõtmiste käigus me võrdleme mõõdetava suuruse väärtust mingi teise, samanimelise, suurusega. Seda võrdluseks vajalikku teist suurust nimetakse mõõtühikuks.

Mõõdetava suuruse väärtuse võib esitada kujul

Y = y [Y] , (* )

kus [Y] on mõõtühik, ja y kujutab endast arvu, mitu korda mõõdetav suurus erineb ühikust. Võrrandit (* ) nimetatakse mõõtmiste põhivõrrandiks.

1.2. Mõõtühikud ja nende süsteemid Mõõtmiste juures on väga oluline mõõtühiku valik. Põhimõtteliselt võiks ühikuks valida ükskõik millise sama liiki füüsikalise suuruse väärtuse ja seejärel mõõta, mitu korda on mõõdetav objekt meie ühikust suurem või väiksem. Vanasti seda ka tehti.

Esimesed mõõtühikud tekkisid koos inimühiskonna arenguga � pikkusühikud: kasutati erinevate kehaosade pikkusi – vaks, küünar, jalg; � massiühikud: igapäevases elus kasutatavad esemed jne.

Ühtsed riiklikud mõõtühikud võeti kasutusele vanas Egiptuses ja Babüloonias. Näiteks Egiptuses kasutati pikkusühikuna vaarao küünart (kaugus küünarnukist väljasirutatud sõrmeotseni). Egiptlased oskasid ka mõõtühikuid tuletada. Näiteks pindala mõõtsid nad ruutühikutes. Kordsed ühikud võeti kasutusele Babüloonias. Ajaühikud tund, minut ja sekund pärinevad samuti vanast Babülooniast.

Materiaalse kultuuri ajalugu tunneb tohutut hulka erisuguseid ühikuid, eriti pikkuse, pindala, massi ja ruumala mõõtmiseks. Selline ühikute mitmekesisus on mingil määral säilinud tänapäevani.

Näide 1. Te kõik teate massiühikut tonn. Kui mitu kilogrammi vastab ühele tonnile? Kas 907,2 kg, 1000 kg või 1016 kg? Vastus sõltub teie asukohariigist:

� nn. meetersüsteemi tonn = 1000 kg; � Briti (pikk) tonn = 2240 naela = 1016 kg; � Ameerikas (lühike) tonn = 2000 naela = 907,2 kg.

Näide 2. Nii inglased kui ameeriklased kasutavad mahuühikut gallon, aga:

� Inglismaal 1 gallon = 4,54609 liitrit;


7

� Ameerikas 1 gallon = 3,78543 liitrit.

Näide 3. Laialdaselt kasutatakse mahuühikut barrel (tõlkes: vaat, tünn), aga tuleb eristada nn. kuiva barrelit ja naftabarrelit:

� kuiv barrel = 115,628 liitrit; � naftabarrel = 158,988 liitrit.

Suure hulga erisuguste ühikute puhul on probleemiks nendest ühikutest arusaamine. Kui igal inimesel oleksid omad ühikud, millega ta mõõteobjekte võrdleb, siis oleks teistel inimestel väga raske neid mõõtetulemusi kasutada. Sellepärast on vajalikud inimestevahelised kokkulepped ühikuteks valitavate suuruste osas. Tänapäeva maailmas peaksid sellised kokkulepped olema ülemaailmsed, s.t. tuleks valida sellised ühikud, mis kehtiksid kõikides maades.

Tänapäeval enim levinud mõõtühikute süsteem on SI (prantsuse keeles: Système International d’Unités, tõlkes “ rahvusvaheline ühikute süsteem”). See võeti kasutusele 1960 aastal, XI Rahvusvahelisel Kaalude ja Mõõtude Peakonverentsil.

SI süsteemi põhiühikuteks on: � L pikkusühik m � M massiühik kg � T ajaühik s � I voolutugevuse ühik A � � temperatuuri ühik K � J valgustugevuse ühik cd

1971.a. lisati neile kuuele veel ainehulga N ühik: � N ainehulga ühik mol

Rahvusvahelise süsteemi põhiühikud on defineeritud tabelis 1.

Tabel 1. Rahvusvahelise süsteemi põhiühikud.

Dimensiooni tähis

SI ühik

Definitsioon

L m Pikkusühik meeter on teepikkus, mille valgus läbib vaakumis 1/299 792 458 s jooksul.

M kg Massiühik kilogramm võrdub rahvusvahelise kilogrammi etaloni massiga.

T s Ajaühik sekund on tseesium-133 aatomi põhiseisundi kahe ülipeenstruktuurinivoo vahelisele üleminekule vastava kiirguse 9 192 631 770 perioodi kestus.

I A Voolutugevuse ühik amper on muutumatu elektrivoolu tugevus, mis hoituna vaakumis teineteisest 1 m kaugusele paigutatud kahes lõpmata pikas paralleelses ja tähtsusetult väikse ümara ristlõikega sirgjuhtmes, tekitab nende juhtmete vahel jõu 2·10-7 N juhtme jooksva meetri kohta.

� K Temperatuuri ühik kelvin on 1/273,16 osa vee kolmikpunkti termodünaamilisest temperatuurist.

N mol Mool on süsteemi ainehulk, mis sisaldab sama arvu elementaarseid koostisosakesi nagu on aatomeid 0,012 kilogrammis süsiniku isotoobis 12C. Mooli kasutamisel peab koostisosakeste tüüp olema täpsustatud. Need võivad olla aatomid, molekulid, ioonid, elektronid, mingid teised osakesed või kindla koosseisuga grupid neist osakestest.


8

J cd Kandela on valgustugevus, mis kiiratakse kindlas suunas monokromaatilisest allikast kiirgussagedusel 540·1012 Hz, kui allika kiirgustugevus selles suunas on 1/683 W/sr.

Enne SI süsteemi loomist oli füüsikute hulgas enamlevinuks CGS süsteem, mille põhiühikuteks on:

� L pikkusühik cm � M massiühik g � T ajaühik s

Tegelikult tuuakse veel sisse temperatuuri � ühik K (kelvin), ainehulga N ühik mol (mool) ja valgusvoo � ühik lm (luumen).

Lisaks põhiühikutele kasutatakse veel tuletatud ühikuid. Füüsikas on erinevate suuruste vahel hulk seoseid – füüsika valemeid. Need seosed ja seaduspärasused on aluseks ka põhi– ja tuletatud ühikute vaheliste seoste määramisel.

Näide 5. Juhti läbinud laeng Q on arvutatav juhti läbiva voolu I ja aja t korrutisena Q = I t. SI süsteemis mõõdetakse voolu amprites ja aega sekundites. Laengu ühikuks saame nüüd [Q]SI = A s = C. Täispikkade tuletatud ühikute kasutamine igapäevaelus on suhteliselt kohmakas, seetõttu on mitmetele enamkasutatavatele tuletatud ühikutele antud oma erinimetus ja -tähis. Eelmises näites toodud SI süsteemi laengu ühikut kutsutakse kuloniks. Erinimetusega tuletatud ühikute tähised on toodud tabelites 2 ja 3.

1.3. Dimensioonvalem Mitme mõõtühikute süsteemi olemasolu tekitab vajaduse teisendada ühikuid ühest süsteemist teise. On selge, et põhiühikute muutmine toob kaasa ka tuletatud ühikute muutumise. Näiteks võttes teepikkuse ühikuks meetri asemel kilomeetri ja ajaühikuks sekundi asemel tunni, saame kiirusühikuks kilomeetri tunnis (1 m s-1 = 3,6 km h-1). Seetõttu on ilmselt soovitav leida niisugune seos, mis näitaks, kuidas muutub põhiühikute muutmisel meid huvitava suuruse tuletatud ühik. Niisuguseid seoseid kutsutakse dimensioonvalemiteks.

Dimensioonvalem - matemaatiline avaldis, mis näitab, mitu korda muutub tuletatud ühik, kui põhiühikute muutused on ette antud. Üldkujul võib dimensioonvalemi üles kirjutada järgmiselt:

dim Y = L��M��T��I��N��J� . NB! Tähised kir jutatakse alati sellises jär jekorras. Kui mõni tähis on puudu, siis astendajat 0 ei kirjutata. Mitmete tuletatud ühikute dimensioonvalemid on toodud tabelites 2 ja 3.

Tabel 2. Mõned er inimetusega tuletatud mõõtühikud ja nende dimensioonvalemid

Suurus Tähis Mõõtühik Ühiku nimetus

SI dimensioonvalem

Sagedus f Hz herts dim f = T-1

jõud, kaal F N njuuton dim F = L M T-2

rõhk, meh. pinge p Pa paskaal dim p = L-1M T-2

töö, soojus, energia A J džaul dim A = L2M T-2

võimsus P W vatt dim A = L2M T-3


9

valgusvoog � lm luumen dim � = J

heledus L nt nitt dim L = L-2J

valgustatus E lx luks dim E = L-2J

neeldunud kiirguse doos D Gy grei dim D = L2T-2

nurk � rad radiaan dim � = 1

ruuminurk � sr steradiaan dim � = 1

Näide 6. Dimensioonvalem pinge jaoks avaldub järgmiselt:

132 I T M Ldim ��U .

SI süsteemi põhiühikute asendamisel dimensioonvalemisse saame pinge ühikuks SI süsteemis

132

SI A s kg m][ ��U .

Seda ühikut nimetatakse voldiks.

Näide 7. Eespool nägime, et laeng Q avaldub valemiga Q = I t. SI süsteemi ühikuks saime [Q]SI = A s = C. Dimensioonvalemiks võime seega kirjutada dim Q = T I.

Tabel 3. enamlevinud elektr iliste ja magnetiliste suuruste mõõtühikud ja dimensioonvalemid SI süsteemis.

Suurus Tähis Mõõtühik Ühiku nimetus

SI dimensioonvalem

el.pinge, potentsiaal, potentsiaalide vahe, elektromotoorjõud

U, �, V volt dim U = L2M T-3I-1

el. Takistus R � oom dim R = L2M T-3I-2

el. juhtivus G S siimens dim G = L-2M-1T3I2

elektrilaeng Q C kulon dim Q = T I

induktiivsus L H henri dim L = L2M T-2I-2

el. mahtuvus C F farad dim C = L-2M-1T4I2

magnetvoog, magn. induktsiooni voog � Wb veeber dim � = L2M T-2I-1

magnetvoo tihedus, mag. induktsioon B T tesla dim B = M T-2I-1

1.4. Suured ja väikesed ühikud Mõõdetavate suuruste väärtus võib olla kord suur ja kord väike. Seetõttu on otstarbekas omada ka mitmesuguse suurusega ühikuid sama liiki füüsikalise suuruse mõõtmiseks.

Näide 4. Pikkuse mõõtmiseks kasutatakse toll’ i, jalg’a, jard’ i, miili’ i, mere miil’ i:


10

� toll: 1’ ’ = 0,0254 m � 1 jalg = 0,3048 m = 12’ ’ � 1 jard = 0,9144 m = 3 jalga = 36’ ’ � miil = 1 609,344 m= 1 760 jardi = 5 280 jalga = 63 360’ ’ � mere miil: 1 nam � 1 850 m � 2 025 jardi � 6 080 jalga � 72 900’ ’

Oleks hea, kui ühtedelt ühikutelt teistele üleminek oleks võimalikult lihtne. Niisugusteks mõõtühikuteks said meetermõõdustiku ühikud, mis loodi Prantsuse revolutsiooni ajal 1791.aasta kevadel “kõikideks aegadeks, kõigile inimestele, kõigi riikide jaoks” (prantsuse keeles: pour tous les temps, pour tous les peuples, pour tous les pays). Meetermõõdustiku ehk kümnendsüsteemi oluliseks omaduseks on see, et ühe ja sama suuruse erinevad mõõtühikud suhtuvad üksteisesse nagu kümne täisarvulised astmed. Kasutatavate kümnendliidete selgitus on toodud tabelis 4. Hoolimata meetermõõdustiku ilmsetest eelistest kasutatakse mitmetes maades tänaseni kohalikku süsteemi (Inglismaa, USA).

Tabel 4. Kümnendliited kordsete mõõtühikute moodustamiseks.

Aste Nimetus Tähis Aste Nimetus Tähis

1024 jotta- Y 10-24 jokto- y

1021 zetta- Z 10-21 zepto- z

1018 eksa- E 10-18 atto- a

1015 peta- P 10-15 femto- f

1012 tera- T 10-12 piko- p

109 giga- G 10-9 nano- n

106 mega- M 10-6 mikro- �

103 kilo- k 10-3 milli- m

102 hekto- h 10-2 senti- c

101 deka- da 10-1 detsi- d


11

2. Tõeline väär tus ja mõõdis. Viga ja määramatus

Mõõdetava suuruse tõeline väär tus on väärtus, mis on kooskõlas antud konkreetse mõõdetava suuruse definitsiooniga. Tõeline väärtus on ideaalsuurus. Me ei saa seda eksperimentaalselt määrata, me saame anda ainult hinnangu selle suuruse väärtuse jaoks koos hinnanguga väärtuste võimaliku jaotumise kohta. Seda mõõtmise teel antud hinnangut mõõdetava suuruse väärtuse kohta nimetatakse mõõdiseks või mõõteväärtuseks. Mõõdise all mõistetakse üksikmõõtmise või –vaatluse töötlemata tulemust. Kui mõõdisele lisatakse parand või leitakse mõõdiste aritmeetiline keskmine, siis saadakse juba mõõteväärtus.

Hinnangut, mida saab anda inimkonna käsutuses oleva parima mõõtevahendi ehk etaloniga, nimetatakse leppeliseks tõeliseks väär tuseks xl.

Mõõtetulemuse x ja mõõdetava suuruse tõelise väärtuse xt vahe on mõõtetulemuse viga.

� x = x – xt .

Viga on ideaalsuurus, reaalses elus ei saa me enamasti teada tema tegelikku väärtust. Saame anda ainult tõenäosusliku hinnangu väärtuste vahemiku kohta, milles asub mõõdetava suuruse tõeline väärtus soovitud (nõutud) tõenäosusega. Selle väärtuste vahemiku ulatust iseloomustab mõõtemääramatus.

Mõõtemääramatus (pr. incertitude de mesure, ingl. uncertainty of measurement, sks. die Unsicherheit, die Me�unsicherheit) – mõõtetulemusega seotud parameeter, mis iseloomustab mõõtetulemusele omistatavat mõeldavate väärtuste hajumist.

Sõna määramatus tähendab “kahtlust” ja seega mõiste mõõtemääramatus oma laiemas tähenduses väljendab kahtlust mõõtetulemuse kehtivusse.

Mõisteid mõõdis ja mõõdetava suuruse tõeline väärtus, viga ja mõõtemääramatus illustreerib joonis 17.

Mõõtetulemus on mõõteväärtus koos (mõõte)määramatusega, s.t oluline on kogu vahemik mõõteväärtus – mõõtemääramatus kuni mõõteväärtus + mõõtemääramatus.

Näide 1. Oletame, et mõõtsime mõõdulindiga keerupaari kaabli pikkuseks 76,65 m ja mõõtemääramatuseks saime 0,04 m. Siis võime mõõtetulemuse koos tema määramatusega üles kirjutada kujul l = 76,65 m u(l) = 0,04 m. Määramatuse tähises antakse sulgudes suuruse tähis, mille määramatusega on tegemist.

Näide 2. Oletame, et mõõtsime sama keerupaari kaabli pikkuse kasutades käte siruulatust. Tulemuseks saime 77 m ja mõõtemääramatuse hinnanguks 2 m. Nüüd võime mõõtetulemuse koos tema määramatusega üles kirjutada kujul l = 77 m u(l) = 2 m.


12

Kummas näites saadud tulemus on parem, õigem? Ilmselt on mõõdulindiga mõõtes saadud tulemus täpsem, aga kui meil puuduks info mõõtemääramatuse kohta, siis ei saaks me sellele küsimusele vastata. Seega on määramatuse suuruse kohta käiv info hädavajalik mõõtetulemuse osa. Mõõtepraktikas on määramatusel palju võimalikke allikaid, millest võiks nimetada

� ebatäpsust skaalanäiduga mõõtevahendi lugemi võtmisel � mõõtevahendi piiratud lahutusvõimet ja/või madalat tundlikkuse läve � mõõtevahendi kaliibrimisel kasutatud etalonide ja etalonainete ebatäpseid väärtusi � mõõteprotsessis vajalike konstantide ja parameetrite väärtuste ebatäpsust � lähendeid ja eeldusi, mis kuuluvad mõõteprotseduuri ja –meetodi koosseisu � puudulikke teadmisi keskkonnatingimuste mõjust mõõteprotseduurile jne.

Mõõtetulemuse määramatus koosneb paljudest komponentidest, mis jagatakse kahte tüüpkategooriasse:

� A - tüüpi määramatus, mida hinnatakse statistiliste meetodite abil,

� B - tüüpi määramatus, mida hinnatakse muul viisil.

Mõõtetulemuse standardmääramatust, mis on saadud paljude komponentide väärtuste põhjal, nimetatakse liitmääramatuseks (combined uncertainty). Tema arvulise väärtuse saab leida ruuteeskirja järgi:

22BAC uuu �� .

Usaldusnivoo näitab, kui suure tõenäosusega asub leppeline tõeline väärtus xl vahemikus xm – u kuni xm + u. Siin tähistab xm mõõtetulemust. Näiteks usaldusnivoo 68% näitab, et leppeline tõeline väärtus asub 68 juhul 100-st vahemikus xm – u kuni xm + u. ja 32 juhul 100-st väljaspool nimetatud vahemiku (vaata joonis 1).

Joonis 1. Usaldusnivoo 68%.

Usaldusnivoo tõstmiseks kasutatakse kattetegurit. Liitmääramatuse läbikorrutamisel katteteguriga k saadakse laiendmääramatus U:

U = k uC.

Kattetegur k sõltub mõõtetulemuste jaotusest ja soovitavast usaldusnivoost.

Näide 3. Normaaljaotuse eeldusel on usaldusnivoo p = 90 % korral kattetegur k = 1,65. p = 95 % korral on kattetegur k = 1,96 ja usaldusnivoo p = 99 % korral k = 2,58.

x m

x m - u x m + u

x

68 %

x l 32 % x l


13

3. Mõõtetulemus kui juhuslik suurus

Juhuslik suurus on suurus, mis sõltub juhuslikust sündmusest ja mille väärtust pole enne juhusliku sündmuse toimumist võimalik kindlaks määrata. Näiteks täringu viske puhul ei tea me kunagi täpselt ette, mitu silma saame. Nii on täringuviske resultaat juhuslik suurus. Tingituna juhuvigadest on ka üksikmõõtmise tulemus juhuslik suurus.

Näide 1. Oletame, et mõõtsime multimeetriga füüsikahoones 8 minuti jooksul n = 100 korda vahelduvpinget. Katsetulemuste jaotus on kujutatud joonisel 2. Näeme, et vahelduvpinge väärtus ei ole ajas konstantne vaid fluktueerub mingi väärtuse ümber, s.t on juhuslik suurus. Antud näites on selle põhjuseks nii juhuvead kui ka vahelduvpinge väärtuse sõltuvus kogu võrgus tarbitavast võimsusest.

Joonis 2. Võrgupinge muutumine ajas.

Mõõtetulemus on reaalse katse tulemus. Mõõtetulemuste kogum annab informatsiooni mõõdetud suuruse võimalike väärtuste tõenäosuslikust jaotusest. Sellises käsitluses on mõõteväärtus nagu koordinaat, millega pannakse paika mõõtetulemusele omistatavate väärtuste kese arvteljel. Hinnatava füüsikalise suuruse iseloomustamiseks võime enamasti kasutada aritmeetilist keskväärtust. Oletame et me mõõtsime suuruse X väärtuse n korda, siis ar itmeetiline keskväärtus avaldub valemiga

0 1 2 3 4 5 6 7 8 228

228.2

228.4

228.6

228.8

aeg, /min/

Pin

ge, /

V/ U

Katsepunktid Keskmine


14

n

x

n

xxxx

n

ii

n��

�� 121 �

,

kus xi on üksikmõõtmiste tulemused.

Üksikmõõtmiste tulemused erinevad keskväärtusest. Neid erinevusi ii xxx ��o� nimetatakse

hälveteks.

3.1. Histogramm Mõõtetulemuste e mõõdiste jaotumist keskväärtuse ümber saab kirjeldada histogrammiga. Histogramm on tulpdiagramm, mis näitab, kui sageli esinevad ühed või teised tulemused. Histogrammi ehitamiseks peame kogu mõõtetulemuste esinemise vahemiku jagama võrdseteks lõikudeks �x. Vahemike arv valitakse tavaliselt ligikaudu võrdseks ruutjuurega mõõtmiste arvust. Seejärel loendame, mitu korda mõõdetav suurus satub igasse lõiku ja joonistame iga lõigu kohale tabamuste arvuga võrdelise tulba.

Näide 2. Histogrammi ehitamine. Tuleme tagasi vahelduvpinge mõõtmise näite juurde (joonis 2). Oma katses saime 100 lugemit, millest vähim oli Emin = 228,10 V ja suurim Emax = 228,77. Jagame

mõõtetulemuste vahemiku Emin … Emax 10100 � lõiguks, seejärel loendame, mitu korda mõõtetulemus igasse lõiku sattus. Tulemused on esitatud tabelis 5.

Tabel 5. Loendustabel histogrammi joonistamiseks

Jrk Lõikude rajaväärtused [V]

�ni

1 228.100 228.167 3

2 228.167 228.234 3

3 228.234 228.301 8

4 228.301 228.368 7

5 228.368 228.435 14

6 228.435 228.502 18

7 228.502 228.569 10

8 228.569 228.636 21

9 228.636 228.703 12

10 228.703 228.770 4

Tabeli alusel joonistame histogrammi (joonis 3). Histogrammi rõhtteljele kantakse mõõtetulemuste vahemike �Ei otspunktidele (või keskpunktidele) vastavad väärtused. püstteljele kantakse suurused �ni /(n·�E), kus �ni on mõõtmiste arv, mis satub lõikku �Ei. Selliselt valitud ühikute kasutamisel on histogrammi alune pindala võrdne ühega (joonis 4).


15

Joonis 3. Histogrammi ehitamine.

Joonis 4. Histogrammi näide.

228.1 228.2 228.3 228.4 228.5 228.6 228.7 228.8 0

1

2

3

4

Üksikmõõtmiste histogramm

E , /V/

�n i

/(n·�

E),

/V-1

/


16

Mõõtmiste arvu suurendades ja samal ajal vahemiku laiust vähendades (joonis 5) sulavad piirjuhul

tulpade tippud siledaks kõveraks i

i

nx xn

nxf

��

��

lim,0

)( .

Saadud kõverat f (x) nimetatakse tõenäosuse tihedusfunktsiooniks (joonis 5 sinine joon).

228 228.2 228.4 228.6 228.8 2290

1.17

2.33

3.5



Mõõdised

Tõe

näos

use

tihe

dusf

unkt

sioo

n

Kmin Kmax

Mõõtmisi 100000� tulpade_arv 317�

.

Joonis 5. Tõenäosuse tihedusfunktsioon on tähistatud sinise joonega.

3.2. Dispersioon ja standardhälve Mõõtetulemuste hajumist iseloomustab parameeter mida kutsutakse dispersiooniks:

n

)(n

1i

2ti�

��

�xx

Dx ,

kus xt on mõõdetava suuruse tõeline väärtus.

Selle parameetri puuduseks on tema dimensioon – suuruse dispersiooni dimensiooniks on suuruse enda dimensioon ruudus. Näeme, et suurust ja tema dispersiooni on väga ebamugav võrrelda. Seetõttu kasutatakse mõõtmisteoorias mõõdiste hajumise iseloomustajana positiivset ruutjuurt dispersioonist – standardhälvet.

Mõõtmiste suure arvu korral saab suuruse �x ehk standardhälbe (ruutkeskmine hälve vanemas kirjanduses) leida valemist

n

)(n

1i

2ti�

��

�xx

x� .


17

Praktikas pole mõõtmiste arv tavaliselt väga suur, samuti pole teada mõõdetava suuruse tõelist väärtust. Seetõttu kasutatakse standardhälbe ligikaudse hinnanguna eksper imentaalset standardhälvet:

1n

)(n

1i

2i

�

��

��

xxsx .

Oluline on märkida, et üksikmõõtmiste eksperimentaalne standardhälve peaaegu ei sõltu mõõtmiste arvust (vaata eelmist valemit!), ta iseloomustab mõõtmismeetodi täpsust.

Üksikmõõtmiste standardhälbe ulatus võrrelduna jaotusfunktsiooni laiusega on näha joonisel 6. Matemaatiline standardhälve on piirjuht eksperimentaalsest standardhälbest:

xn

x slim��

��

228 228.2 228.4 228.6 228.8 2290

1.17

2.33

3.5



Mõõdised

Tõe

näos

use

tihe

dusf

unkt

sioo

n

Kmin Kmax


.

2•Sx

Joonis 6. Üksikmõõtmiste standardhälve.

3.3. Ekse Mõnikord juhtub, et mõõtetulemuste hulka satub ilmselgelt vale mõõdis ehk ekse.

Kuidas ekset ära tunda? Vaatame järgmist näidet. Oletame, et saime võrgupinge mõõtmisel sellise

tulemuse nagu on näidatud joonisel 7. Lisame sellele joonisele kaks visiirjoont, kohtadel E3sE �

ja E3sE � . Kõik mõõtetulemused, mis jäävad nende kahe visiirjoonega piiratud alast väljapoole,

võib lugeda ekseteks.


18

Antud näites on meil kaks ekset:

� E = 229.18 V (sest E > E3sE � );

� E = 227.96 V (sest E < E3sE � ).

Joonis 7. Võrgupinge muutumine ajas, ekse.

Ekse on põhjustatud mõõtja hooletusest, tähelepanematusest või mõnikord ka digitaalset mõõtesüsteemi mõjustanud häirest. Selline jämeda veaga tulemus tuleb edasisest andmetöötlusest kõrvaldada, lisades asjakohase märkuse mõõtmiste protokolli.

3.4. Aritmeetilise keskmise standardhälve ja A–tüüpi määramatus Siiani rääkisime, et üksikmõõtmise tulemus on juhuslik suurus. Samamoodi on juhuslik suurus ka juhuslike suuruste aritmeetiline keskmine. Näiteks kui on tehtud N mõõteseeriat, igaühes n

mõõtmist, ja leitud kõik N keskväärtust jx , siis seeriate aritmeetilise keskmise standardhälbe saab

leida valemist

N

xxN

iti

x

��

�� 1

2)(�

Matemaatilises statistikas näidatakse, et x

� ja x� on seotud valemiga

nx

x

�� .

0 1 2 3 4 5 6 7 8 227.8

228

228.2

228.4

228.6

228.8

229

229.2

Katsepunktid Keskmine

aeg, /min/

Pin

ge, /

V/

E+3 s

E -3 s


19

Analoogiliselt on seotud omavahel aritmeetilise keskmise standardhälbe hinnang ja mõõdise eksperimentaalne standardhälve. Saadud tulemus lubab hinnata aritmeetilise keskmise erinevust tõelisest väärtusest ka üheainsa seeria põhjal, mis koosneb n mõõtmisest:

1)n(n

)(

n

n

1i

2i

�

��

��

xxss x

x

Kuna suurus x

s on võrdeline n

1, siis saab teda vähendada mõõtmiste arvu suurendades.

Eespool nägime, et mõõdetava suuruse hinnanguna kasutatakse enamasti aritmeetilist keskmist. Selle keskmise hindamise täpsust iseloomustab keskmise standardhälve, mis valitaksegi määramatuse statistilise komponendi – A-tüüpi määramatuse – väärtuseks.

� �1)n(n

)(

n

n

1i

2i

A �

��

��

xxssxu x

x .

3.5. Usaldusnivoo leidmine histogrammi alusel Tõenäosust tulemuse sattumiseks mingisse vahemikku saab hinnata, kui mõõta histogrammi alune pindala (graafiku ühikutes!) selle vahemiku ulatuses. Seda protseduuri illustreerib keskväärtusest ühe standardhälbe kaugusele jäävate tulemuste tõenäosuse leidmise näite varal joonis 8. Histogrammi roheliseks värvitud osa pindalaks saame 0,655, mis tähendab, et tulemuse sellesse vahemikku sattumise tõenäosus on 65,5%.

Joonis 8. Usaldusnivoo hindamine histogrammi aluse pindala mõõtmise teel.

228.1 228.2 228.3 228.4 228.5 228.6 228.7 228.8 0

1

2

3

4

E , /V/

p = 0,035 + 0,14 + 0,18 + 0,10 + 0,20 = 65,5%

�ni/(�E n), /1/V/


20

4. Jaotusfunktsioonid. jaotusfunktsiooni hüpoteesi kontrollimine

4.1. Normaaljaotus Paljudes rakendustes loetakse juhuslike suuruste jaotus ligilähedaseks Gaussi ehk normaaljaotusele. Analüütilisel kujul avaldub normaaljaotus valemiga

��

��

! ��

2

2

2

)(exp

2

1)(

xx

xxxf

�"� ,

kus �x on parameeter, mis iseloomustab kõvera laiust ja mis on arvuliselt võrdne standardhälbega. Tõenäosuse tihedusfunktsiooni graafik, mis on saadud eksperimendist leitud keskväärtuse ja standardhälbe asendamisel valemisse 2.2 on kujutatud joonisel 4. Gaussi kõveral vastavad

punktidele xx �� ja xx �� käänupunktid, s.t. punktid kus kumerus läheb üle nõgususeks.

Graafiku alust pindala mõõtes saab näidata, et vahemikku x�#x jääb 68,27 % sündmustest.

Vahemikku x2�#x jääb 95,45 % ja vahemikku x3�#x 99,73 % sündmustest (vt. ka joonis 9).

Mida suurem on �x seda laiem ja madalam on f (x) graafik. Mida väiksem on �x seda kitsam ja kõrgem on f (x) graafik.

2• S x

x

x + �x x - �x

x - 2�x x + 2�x

68,3

x - 3�x x + 3�x

95,5%

99,7%

Joonis 9. Tõenäosuse tihedusfunktsioon normaaljaotuse kor ral.

4.2. Ühtlane jaotus Vaatleme nüüd teist olulist jaotust – ristkülikjaotust e. ühtlast pidevat jaotust (joonis 10).


21

Joonis 10. Ristkülikjaotus.

Ühtlase jaotuse korral on kõik sündmused võrdtõenäosed. Sellise jaotuse dispersioon avaldub

valemiga � �$ %3

�

12

)�

(� 22

tt ��

�xx

D . Standardhälbe väärtuseks saame selle jaotuse korral

�58,03

�x �� D .

4.3. Kolmnurkjaotus Vaatleme nüüd kolmandat olulist jaotust – kolmnurkjaotust (joonis 11).

Joonis 11. Kolmnurkjaotus.

Kolmnurkjaotuse korral, erinevalt ühtlasest jaotusest, ei ole enam kõik sündmused võrdtõenäosed – keskele satub tulemus suurema tõenäosusega kui jaotuse äärtesse. Kolmnurkjaotuse dispersioon

avaldub valemiga 6

� 2

�D . Standardhälbe väärtuseks saame selle jaotuse korral

�41,06

�x �� D .

x

x - � x x + � x

x - � x + � x

x l

58 %

x

x - � x x + � x

x - � x + � x

x l

65 %


22

4.4. Usaldusnivoo hindamine jaotusfunktsiooni alusel Analoogiliselt usaldusnivoo leidmisele histogrammi aluse pindala mõõtmise teel saab usaldusnivood hinnata ka jaotusfunktsiooni alust pindala mõõtes. Matemaatika terminites tähendab see meile huvipakkuvas vahemikus määratud integraali arvutamist jaotusfunktsiooni avaldisest.

Järgnevalt leiame usaldusnivoo tulemuse sattumiseks maksimaalselt ühe standardhälbe kaugusele keskväärtusest.

Normaaljaotuse korral saame usaldusnivooks 68,3%:

&&�

�

�

�

��

��

! ��

x

x

x

x

x

x xx

x

x

xxx

xxf�

�

�

� �"�683,0d

2

)(exp

2

1d)(

2

2

Vastav osa normaaljaotuse kõvera alla jäävast graafikust on joonisel 9 värvitud roheliseks.

Ühtlase jaotuse korral annab anloogiline arvutus usaldusnivooks 58%:

58,0d)( �&�

�

x

x

x

xjaotusühtlane xxf

�

�

Vastav osa jaotusfunktsiooni kõvera alla jäävast graafikust on joonisel 10 värvitud roheliseks.

Kolmnurkjaotuse korral saame usaldusnivooks 65%:

65,0d)( �&�

�

x

x

x

xotuskolmnurkja xxf

�

�

Vastav osa kolmnurkjaotuse kõvera alla jäävast graafikust on joonisel 11 värvitud roheliseks.

Soovides anda vahemikhinnangut kõrgemal usaldusnivool, tuleb standardhälvet korrutada katteteguriga. Praktikumis kasutatava usaldusnivoo p = 95 % korral on kattetegur k = 1,96 normaaljaotuse eeldusel, k = 1,65 ühtlase jaotuse eeldusel ja k = 1,9 kolmnurkjaotuse eeldusel. Kattetegurite sellised väärtused saadakse jaotusfunktsiooni aluse pindala leidmise (jaotusfunktsioonist määratud integraali arvutamise) pöördprotseduuriga, kusjuures otsitavaks on määratud integraali rajaväärtuses sisalduv kattetegur.

4.5. Jaotusfunktsiooni hüpoteesi kontrollimine Metroloogia esimene ülesanne on jaotusfunktsiooni hüpoteesi kontroll, kõigepealt normaaljaotuse hüpoteesi kontroll. Allpool toodud joonised illustreerivad jaotusfunktsiooni hüpoteesi kontrollimise ülesannet. Joonis 12 kujutab normaaljaotuse alusel jaotunud suurust. Seejuures on näha, et väikese arvu mõõtmiste korral on kokkulangevus normaaljaotuse analüütilise kõveraga väga ligikaudne.

228 228.2 228.4 228.6 228.8 2290

1.17

2.33

3.5



Mõõdised

Tõe

näos

use

tihed

usfu

nkts

ioon

Kmin Kmax


.

228 228.2 228.4 228.6 228.8 2290

1.17

2.33

3.5



Mõõdised

Tõe

näos

use

tihe

dusf

unkt

sioo

n

Kmin Kmax


.

Joonis 12. Kas see suurus on jaotunud normaaljaotuse kohaselt?


23

Kas joonisel 13 kujutatud suurus on jaotunud normaaljaotuse hüpoteesi kohaselt? Ilmselt mitte. Järgmisena kontrollime ühtlase jaotuse hüpoteesi – seekord edukalt (joonis 14).

228 228.2 228.4 228.6 228.8 2290

1.17

2.33

3.5



MõõdisedT

õenä

osus

e ti

hedu

sfun

ktsi

oon

Kmin Kmax


.

Joonis 13. Kas see suurus on jaotunud normaaljaotuse kohaselt?

228 228.2 228.4 228.6 228.8 2290

1.17

2.33

3.5



Mõõdised

Tõe

näos

use

tihe

dusf

unkt

sioo

n

Kmin Kmax


.

228 228.2 228.4 228.6 228.8 2290

1.17

2.33

3.5



Mõõdised

Tõe

näos

use

tihe

dusf

unkt

sioo

n

Kmin Kmax


.

228 228.2 228.4 228.6 228.8 2290

1.17

2.33

3.5



Mõõdised

Tõe

näos

use

tihe

dusf

unkt

sioo

n

Kmin Kmax


.

Joonis 14. Kas see suurus on jaotunud ühtlase jaotuse kohaselt?

Mis jaotuse kohaselt on jaotunud joonisel 15 kujutatud suurus? Kas ühtlase jaotuse, kolmnurkjaotuse või normaaljaotuse järgi? Vastus: ilmselt kolmnurkjaotuse alusel. Joonis 16 kujutab ligikaudu normaaljaotuse järgi jaotunud suurust.


24

228 228.2 228.4 228.6 228.8 2290

1.17

2.33

3.5



Mõõdised

Tõe

näos

use

tihed

usfu

nkts

ioon

Kmin Kmax


.

228 228.2 228.4 228.6 228.8 2290

1.17

2.33

3.5



Mõõdised

Tõe

näos

use

tihed

usfu

nkts

ioon

Kmin Kmax


.

Joonis 15. M is jaotuse kohaselt on jaotunud see suurus? Kas ühtlase jaotuse, kolmnurkjaotuse või normaaljaotuse järgi? Vastus – kolmnurkjaotuse alusel.

228 228.2 228.4 228.6 228.8 2290

1.17

2.33

3.5



Mõõdised

Tõe

näos

use

tihe

dusf

unkt

sioo

n

Kmin Kmax


.

Joonis 16. M is jaotuse kohaselt on jaotunud see suurus? Kas ühtlase jaotuse, kolmnurkjaotuse või normaaljaotuse järgi? Vastus – ligikaudu normaaljaotus.


25

5. Kaalutud keskmiste meetod

Praktikas hinnatakse sageli üht ja sama füüsikalist suurust erinevates tingimustes või erinevate meetoditega, kusjuures üksiktulemuste määramatused osutuvad erinevateks. On selge, et keskmise tulemuse arvutamisel tuleks täpsemaid tulemusi arvestada suurema kaaluga kui vähemtäpseid. Võimaluse selleks pakub kaalutud keskmiste meetod.

Sellisel juhul ei arvutata mitte tulemuste aritmeetilist keskmist, vaid nn. kaalutud keskmine:

�

�� n

n

g

xgx

1=ii

1=iii

,

kus gi on i-nda tulemuse kaal ja n on mõõtmiste arv. Kaaludeks gi võetakse arvud, mis on võrdelised üksikmõõtmiste määramatuste ruutude pöördväärtustega. Võrdetegur võib olla suvaline, tavaliselt võetakse ta võrdseks ühega. Sel juhul

)(

1

i2i

Cxu

g � .

Kaalutud keskmise määramatuse leiame valemist

��

n

gxu

1=ii

C

1)( .

Kaalutud keskmine osutub alati täpsemaks kui ka kõige täpsem üksiktulemus xi.

Näide: Olgu kahe erineva meetodi abil leitud ühe ja sama suuruse väärtused

x1 = 4,60(0,10)

x2 = 4,80(0,20)

Arvutame 1001,0

121 ��g ja 25

2,0

122 ��g

640,425100

8,4256,4100�

��

�x

089,025100

1)(C �

��xu

Lõpptulemuseks saime )089,0(640,4�x .

Nagu näha, ei mõjusta vähemtäpsete andmete lisamine mõõtetulemust oluliselt. Aritmeetiline keskmine oleks märksa halvem hinnang kui täpsem tulemus üksinda.


26

6. Juhuslikud ja süstemaatilised efektid

6.1. Süstemaatilised efektid Süstemaatilised efektid võib jagada kolmeks:

1. Efektid, mille põhjused on teada ja millede suurusi on võimalik piisavalt täpselt hinnata.

Näiteks � testri 0 võib olla paigast ära, � elektromotoorjõu mõõtmisel voltmeetri sisetakistuse arvestamata jätmine, � keha massi hindamisel üleslükkejõu arvestamata jätmine, � termomeetri skaala võib olla nihkes.

Võimaluse korral tuleb seda liiki efektid kindlasti kõrvaldada või äärmisel juhul kompenseerida parandite abil. Teadaoleva (aditiivse) süstemaatilise vea arvestamisel saame mõõtetulemuse parandatud väärtuseks qxx ��~ , kus q on aditiivset süstemaatilist viga arvestav parand.

Seejuures on parand ainult süstemaatilise vea hinnanguks, vea täpne väärtus pole teada. Aditiivne parand ei sõltu mõõtetulemuse väärtusest.

Mõnikord võib meil tegemist olla ka multiplikatiivse veaga, s.t. veaga mis kasvab võrdeliselt mõõtetulemuse kasvuga. Sellisel juhul tuleb parandatud mõõtetulemuse saamiseks mõõtetulemus parandusteguriga läbi korrutada xQx ��~ , kus Q on multiplikatiivset

süstemaatilist viga arvestav parandustegur.

Üldjuhul on parandatud tulemus esitatav kujul qxQx ��~ .

Nihkes skaalaga seadmete kasutamiseks lisatakse taatlemisel seadme dokumentatsioonile parandite tabel, kust saab leida vajaliku väärtuse parandi (või parandusteguri) jaoks.

2. Efektid, millede põhjused on teada, kuid suurused mitte. Siia alla käivad kõik riistavead. Need on põhjustatud ebatäpsest gradueerimisest. Sellist süstemaatilist viga saab vähendada, kui kontrollime mõõteriista mõne teise tunduvalt täpsema mõõteriistaga ja koostame vastava parandite tabeli.

3. Efektid, millede olemasolu on meile teadmata. Sellised efektid võivad esineda juhtudel, kui kasutatakse uut mõõtmismeetodit või kui on tegemist äärmiselt keeruliste mõõtmistega. Lihtsaks näiteks oleks traadi eritakistuse hindamine juhul, kui traadis on mingi pragu või mittehomogeensus. Sel juhul ei kirjelda traaditüki takistus õigesti materjali elektrijuhtivust. Hälbest vabaneda saab randomiseerimise teel, s.t. püütakse süstemaatiline hälve muuta osaliselt või täielikult juhuslikuks. Traadi näite puhul tuleks mõõta paljude traaditükkide takistus ja leida nende keskväärtus.

6.2. Juhuslikud efektid Juhuslik viga on põhjustatud mõõtetulemust mõjutavate parameetrite stohhastilisest muutumisest. Selliste juhuslike efektide tõttu saame kordusmõõtmisel varasemast erineva tulemuse. Juhuslikku viga pole võimalik kompenseerida parandi abil, küll aga saab teda vähendada kordusmõõtmiste arvu suurendamisega.

Juhuslik mõõteviga on ideaalsuurus. Reaalsete mõõtmiste puhul kasutame katsetulemuste hajumise ulatuse iseloomustamiseks A-tüüpi määramatust.

NB! Tuletame meelde, et ka A-tüüpi määramatus väheneb mõõtmiste arvu kasvades.


27

Mõisteid mõõdis ja mõõdetava suuruse tõeline väärtus, viga, parand ja mõõtemääramatus illustreerib joonis 17.

Joonis 17. Mõistete mõõdis ja mõõdetava suuruse tõeline väär tus, viga, parand ja mõõtemääramatus illustratsioon.

Parandamata mõõdised

Parandatud mõõteväärtused

Parandatud mõõte-väärtuste jaotus

PARAND

Mõõdiste eeldatav jaotus

Juhuslik viga

Süstemaatiline viga

Viga

Tõeline väär tus

Mõõdiste standardhälve uA

uC


28

7. Mõõtevahendid ja nende lubatud vigade normeer imine

Mõõtevahendid on tehnilised vahendid, millel on normeeritud metroloogilised omadused ja mis on ette nähtud mõõtmiseks.

Joonis 18. Digitaalnihik. M itmeväär tuselise mõõdu näitena võime vaadelda nihiku haarade vahele jäävat lõiku.

Joonis 19. Multimeeter . Mõõter iista näide.

Mõõtevahendid jaotatakse viide rühma: 1. mõõdud:

� üheväärtuselised mõõdud, näiteks kaaluvihid, normaalelement,

� mitmeväärtuselised mõõdud, näiteks joonlauad, takistussalved,

2. mõõteriistad (mõõturid), 3. mõõtemuundurid, 4. abimõõtevahendid, 5. mõõtesüsteemid või -kompleksid või

seadeldised. Mõõdud on seadeldised mingi füüsikalise suuruse reprodutseerimiseks. Näide: kaaluvihid, nihik (joonis 18).

Mõõter iist on mõõtevahend, mis võimaldab saada mõõteandmeid vaatlejale vahetult tajutaval kujul. Näide: osutmõõteriistad, klaas-vedelik termomeetrid, multimeeter (joonis 19).

Mõõtemuundur on ette nähtud mõõteinfo saamiseks, muundamiseks, edastamiseks ja pole varustatud vahendiga vaatlejale vahetu info saamiseks, kuna puudub näiduseadis. Näide: mõõtevõimendid. Mõõtemuundurite eriliigiks on andurid esmase mõõteinfo saamiseks. Näide: termopaar, niiskusmõõtja mahtuvuslik andur.


Abimõõtevahendid on seadmed, millega kontrollitakse mõõteriista töötingimusi, füüsikalisi mõjureid jne. Näiteks kuivelemendi elektromotoorjõu määramise töös kasutatakse normaalelementi elektromotoorjõu standardi reprodutseerimiseks, mõõtmised ise tehakse aga potentsiomeetri sisese pingeallikaga.

Mõõtesüsteem on mitmest eelpoolmainitud mõõtevahendist koostatud seadeldis.

7.1. Normaal- ja töötingimused Iga mõõtevahendi juurde kuulub pass ja rida dokumente, mis normeerivad

� mõõtepiirkonna(d), � mõõtediapasooni, � tundlikkuse, � normaaltingimused, � töötingimused, � hoiutingimused, � mõõtevea jne.

Mõõtevahenditele on kehtestatud lubatud mõõtevead. Kõige tähtsam nendest on põhiviga. Põhiviga on maksimaalselt lubatud viga normaaltingimustel. Universaalseid normaaltingimusi ei ole, need kehtestatakse individuaalselt igale mõõteriistale (temperatuuri–, niiskuse–, õhurõhu–, toitepinge vahemik jne.). Näiteks etalonnormaalelemendi puhul on lubatud temperatuurivahemik (23,000 ± 0,005)'C. Tavalistel seadmetel on see 20'C või 23'C ümbruses ± 0,1'C kuni ± 5'C.

Normaaltingimustes on mõõteriist kõige täpsem. Töötingimustes lisandub täiendav viga, nn. lisaviga. Hoiutingimuste piirkonnas mõõteriistaga enam mõõta ei saa, aga mõõteriista säilimine mõõtmiskõlbulikuna on veel tagatud. Kahjustavate tingimuste piiri ületamisel mõõteriist rikneb. Normaal-, töö-, hoiu- ja kahjustavate tingimuste vahekorda illustreerib joonis 20.

xnormaaltingimused

töötingimused

hoiutingimused

kahjustavad tingimused

Joonis 20. Mõõter iista normaal-, töö-, hoiu- ja kahjustavate tingimuste omavaheline vahekord.


30

Näide:

Wenzel´i manomeetri A200 passis tuuakse toitepinge, sageduse, temperatuuri ja õhuniiskuse väärtused, milliste täidetuse juures manomeetriga võib töötada:

Specifications

Parameter Min Typ Max Unit Mains supply voltage (230V-setup) 190 230 242 V Mains supply voltage (120V-setup) 99 120 130 V Frequency 50 60 Hz Power consumption 9 W ambient temperature (working) 0 40 'C ambient temperature (storage) -10 50 'C Humidity 0 90 % rel

7.2. Täpsusklass Mõõtevahendi täpsusklass on mõõtevahendi üldistatud karakteristik, mis määrab tema suurima lubatava põhi- ja lisavea, aga samuti teised täpsust mõjutavad omadused vastavalt mõõteliikidele kehtestatud standardile.

Selleks üldistatud karakteristikuks võib olla absoluutpõhiviga.

Absoluutviga defineeritakse mõõdu puhul valemiga

lx xx �� nom ,

kus xnom on nominaalväärtus ja xl leppeline tõeline väärtus, ja mõõteriista puhul valemiga

lx xx �� nait ,

kus xnait on mõõteriista näit.

Täpsusklassina kasutatakse absoluutviga peamiselt mõõtude puhul.

Mõõtevahendi täpsusklassi väljendavaks üldistatud karakteristikuks võib olla suhtpõhiviga.

Suhtviga defineeritakse valemiga

%100�

��l

xx x

.

Kui täpsusklass on suhtpõhivea kujul, siis on seadme esipaneelile või skaalale kantud täpsusklassi tähis (= suhtpõhivea väärtus) ringi sees. Vene päritolu seadmetel võib olla suhtpõhivea tähiseks ka venekeelne sõna KLASS (joonis 21).

0.50.50.5

Joonis 21. Suhtviga 0,5%.


31

Digitaalsete mõõteriistade täpsusklassi esitamisel kasutatakse enamasti valemit absoluutvea arvutamiseks. Näiteks digitaalse multimeetri viga kujul:

� ±0.25% RDG ± 2 D,

� ±0.25% Reading ± 2 Digit,

� ±0.25% ± 2 ct.

Sellist esitust tuleb mõista järgmiselt: Lugemi absoluutpõhiviga on 0,25 % lugemist pluss kaks korda mõõteriista lahutusvõime. Mõõteriista lahutusvõime all mõistetakse tema displeil kuvatava mõõdise viimase koha vähimat võimalikku nullist erinevat väärtust.

Näide:

Oletame, et saime multimeetriga mõõtes pinge väärtuseks E = 6,25 V. Siis absoluutpõhiviga

V04,0V02,0V016,0V01,02V25,6100

25,0�

E ��#�

Mõõtevahendi täpsusklass võib olla esitatud konstantide e ja f kaudu kujul: näiteks täpsusklass kujul 0.02 / 0.01. Nendest konstantidest tuleks arvutada suhtpõhiviga kasutades valemit:

% ,1nait

norm()

*+,

-��

��

!��#�

x

xfex .

Mõõtevahendi täpsusklassi väljendavaks üldistatud karakteristikuks võib olla taandpõhiviga. Taandviga defineeritakse valemiga

%100�

norm

��x

xx� ,

kus xnorm on normeeriv väärtus (võib olla näiteks mõõtepiirkonna ülemine piir või skaala pikkus).

Rõhuva enamuse osutmõõteriistade puhul on kasutusel see karakteristik. Seadme esipaneelile või skaalale on kantud täpsusklassi tähis (= taandpõhivea väärtus) ilma ringita. Näiteks 0,5 või 1,0 jne. Kasutusel on täpsusklasside rida (1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0)·10n, kus n = 1; 0; –1; –2;…

Mõõtevahendi täpsusklassi väljendavaks üldistatud karakteristikuks võib olla täpsusklass

detsibellides – x

x�� log20kl , dB.

Näide:

kl 0,5 dB tähendab et näitnäitnäit 00125,0

20

0,5exp

20

klexp xxxx ��

��

� !��

��

� !��

7.3. B-tüüpi määramatus Põhimõtteliselt saaks teha statistilisi uuringuid iga mõeldava veaallika kohta: kasutada erinevaid mõõtevahendeid, -meetodeid, -mudeleid jne ja anda määramatustele A-tüüpi hinnangu. Reaalses elus poleks selline aja ja ressursikulu enamasti majanduslikult põhjendatud. Seega on olemas vajadus “muul viisil” saadud määramatusehinnangu järele.

“Muul viisil” saadud määramatusehinnangute puhul võetakse aluseks aprioorne jaotus:


32

� Kui mõõdetava suuruse kohta on väga vähe infot, siis eeldatakse see olevat jaotunud ühtlase jaotuse alusel;

� Kui mõõdetava suuruse kohta on rohkem infot ja on põhjust eeldada, et tulemuse sattumine jaotuse keskossa juhtub suurema tõenäosusega kui jaotuse servadesse, siis kasutatakse kolmnurkjaotust, normaaljaotust või … jaotust.

Tööstuslikult valmistatud mõõteriistade puhul põhjendab ühtlase jaotuse eelduse kasutamist mõõteriistade kvaliteedikontrolli läbiviimise viis: mõõdetakse seadmega teatavat etaloniga ette antud väärtust ja kui mõõteväärtus satub etalonväärtusele lähemale kui absoluutpõhiviga, loetakse seade korrasolevaks. Kui mõõteväärtus jääb etalonväärtusest kaugemale kui absoluutpõhiviga, läheb mõõteriist praaki.

Jaotusfunktsiooni valiku aluseks on: � tootja poolt seadme passis antud informatsioon; � kaliibrimistunnistuses leiduv info; � varasemad mõõtetulemused; � kogemused teiste samalaadsete suuruste mõõtmisel ja/või mõõteriistade kasutamisel.

Olemasoleva info õige kasutamine B-tüüpi määramatuse hindamiseks eeldab kogemuste ja üldteadmiste olemasolu – neid saab omandada praktilise töö käigus.

Peale aprioorse jaotuse valikut arvutatakse mõõtevahendi täpsusklassi avaldisest absoluutpõhiviga. Kui eeldatakse, et mõõdised on jaotunud ühtlase jaotuse alusel, saadakse B-tüüpi määramatuseks (58% usaldusnivool)

� � xxxu �58,03

�B �� .

Kui eeldatakse, et mõõdised on jaotunud kolmnurkjaotuse alusel, saadakse B-tüüpi määramatuseks (65% usaldusnivool)

� � xxxu �41,06

�B �� .


33

8. Mõõtetulemuse esitamine koos määramatuse hinnanguga

Määramatuse hinnang mõõtmiste väikese arvu korral on üsna ebatäpne, seetõttu pole vahemikhinnangu väljakirjutamisel mõtet suurel arvul kehtivatel kümnendkohtadel. Tulemused esitatakse ümardatult. Arvude ümardamisel kasutatakse reeglit: arvud 1; 2; 3 ja 4 ümardatakse alla, teised üles. Täisarvude ümardamisel kirjutatakse ärajäetud numbrite asemele kordaja 10m, kus m näitab ärajäetud numbrite hulka. Näide: 32 548 � 33·103.

Tähendusega numbr iteks loetakse alati kõiki numbreid peale nulli. Nulli loetakse tähendusega numbriks, kui ta asub teiste arvude vahel, täisarvu või kümnendmurru lõpus. Arvu alguses olevaid ja ümardamise teel saadud nulle arvu lõpus ei loeta tähendusega numbriks.

Näide 1: 10 400 5 tähendusega numbrit. 104·102 3 tähendusega numbrit. 10 400,00 7 tähendusega numbrit. 0,01040 4 tähendusega numbrit.

ISO standardi alusel esitatakse määramatus alati ühe või kahe tähendusega numbri täpsusega: � tavalise mõõtmise korral jäetakse alles üks tähendusega number; � täppismõõtmiste korral jäetakse alles kaks tähendusega numbrit.

Kehtib ka info säilimise reegel: ümardamise käigus ei tohi tulemus (ega mõõtemääramatus) muutuda rohkem kui 10%. Kui muutus oleks suurem, siis esitatakse ka tavalise mõõtmise korral määramatus täpsusega kaks tähendusega numbrit.

Mõõtetulemus esitatakse alati määramatuse viimase komakoha täpsusega.

Näide 2: x = 73,3582768 uC = 0,0382765 Seega mõõtetulemuse võime kir jutada kujul x = 73,358(38).

Näide 3: x = 100,3476 uC = 0,5246 Selle mõõtetulemuse võime kir jutada kujul x = 100,35(52).

Näide 4: Peatükis 3 toodud vahelduvpinge mõõtmise näites kasutatud multimeetri TX3 täpsusklass on esitatud kujul ±(0.4% + 2 ct.). Multimeetri absoluutpõhiveaks saame

V934.001,02100

485,2284,0�

E �.�.

� .

Kokkuleppeliselt eeldame, et kõik multimeetriga loetud lugemid on jaotunud ühtlase jaotuse järgi. Saame B-tüüpi standardmääramatuseks (see ei ole statistiliste meetoditega saadud määramatus!)

V539.03

V934.0uB �� .

Oletame, et eksperimendist saime standardhälbeks


34

V 485,228

100

V 148,0

�

�

�

E

n

sE.

Siis aritmeetilise keskmise standardhälve V 015,0100

148,0��

n

ss E

E. See on statistiliste

meetoditega saadud tulemus, s.t see on A-tüüpi määramatus � � V 015,0A ��E

sEu . Järelikult

liitmääramatuseks saame V 54,0539,0015,0 2222 �� BAC uuu . Siin oleme arvesse

võtnud juhusliku hälbe ja mõõteriista ebatäpsuse, kuid arvesse võtmata jätnud süstemaatilise hälbe. Tulemuse esitame kujul

V )54,0(49,228�E ,

V )54(49,228�E

või täiuslikumas kirjaviisis

V 49,228�E

100�n %68�p

V 54,0C �u

� � V 02,0A �Eu , normaaljaotus

V 54,0B �u , ühtlane jaotus.

Teeme vahelduvpinge mõõtmise näites eelduse, et tulemused on jaotunud ühtlase jaotuse alusel (sest normaaljaotuse eeldusel leitud A-tüüpi määramatus on mitukümmend korda väiksem kui ühtlase jaotuse eeldusel leitud B-tüüpi määramatus). Laiendmääramatuseks saame siis

V89,0539,0015,065,1 22 ��U . Teame, et leppeline tõeline väärtus asub

tõenäosusega p vahemikus UxxUx �//� l . Seega võime oma näite puhul öelda, et leppeline

tõeline väärtus asub tõenäosusega p = 95 % vahemikus 227,60 V / xl / 229,38 V.

Tulemuse esitame kujul

1.6595%,

V, )89,049,228(

��

#�

kp

E,

näidates ära nii laiendmääramatuse, katteteguri kui ka usaldusnivoo. NB! Tähis #### on reserveer itud laiendmääramatuse tähistamiseks ja standardmääramatust sellise tähistusega kir ja panna ei tohi!

8.1. Näited B-tüüpi määramatuse leidmisest ja vastuse esitamisest Näide: Täpsusklass on esitatud absoluutpõhivea kujul.

Joonisel 18 kujutatud nihiku absoluutpõhiviga on ± 0,03 mm.


35

Oletame, et saime selle nihikuga silindri pikkust mõõtes lugemiks 25,07 mm. B-tüüpi määramatuse

jaoks saame ühtlase jaotuse eeldusel 95%-sel usaldusnivool � � mm 03,03

03,065.1B �

��xu .

Mõõtetulemuse võime esitada kujul x = 25,07(3) mm.

Joonis 22. Osutmõõter iist: volt-apmermeeter .

Näide: Täpsusklass on esitatud taandvea kujul.

Oletame, et mõõtsime voltmeetriga (joonis 22) alalispinge väärtuseks E = 2400 mV. Voltmeeteri klass olgu 0,2 ja skaala ulatus Esk = 3000 mV. Sel juhul avaldame esmalt taandpõhivea valemist absoluutpõhivea

100

� skEEE

�#� ja saame

mV0,6100

30002,0100

� sk ��

��

�EE

E

� .

Seejärel leiame ühtlase jaotuse eeldusel B-tüüpi määramatuse 95%-sel usaldusnivool valemist

� � mV7,53

mV0,665,1

3

�65,1

B ��

��

� EEu .

Mõõtetulemuse võime nüüd esitada kujul E = 2400(6) mV.

Näide: täpsusklass konstantide e ja f kaudu kujul: 0,05 / 0,02

Oletame, et mõõtsime arvvoltmeetriga vahelduvpinge efektiivväärtuseks Enait = 15,080 V. Olgu voltmeetri täpsusklass esitatud kujul 0,05 / 0,02 ja oletame, et kasutasime voltmeetri piirkonda Esk = 20 V. Sel juhul avaldame esmalt suhtpõhivea valemist absoluutpõhivea

V 0085,0100

080,151

080,15

2002,005,0

100

��(

)

*+,

-��

��

!��#�#�

EEE

ja seejärel leiame B-tüüpi

määramatuse ühtlase jaotuse eeldusel 95%-sel usaldusnivool valemist

� � V008,03

0085,065,1

3

�65,1

B ��

��

� EEu . Mõõtetulemuse võime nüüd esitada kujul

E = 15,080(8) V.


36

9. Mõõtetulemuse määramatus kaudmõõtmisel

9.1. Otsesed ja kaudsed mõõtmised Mõõtmised võivad olla otsesed või kaudsed.

� Otsemõõtmine on selline mõõtmine, mille puhul meid huvitava suuruse väärtus registreeritakse vahetult mõõtmisvahendi skaalalt või saadakse vahetult mõõduga võrdlemise teel.

� Kaudmõõtmine on mõõtmine, kus mõõtetulemus leitakse arvutuste teel (valemi abil) otsemõõdetud suurustest.

Näiteks pinge mõõtmine voltmeetriga on otsemõõtmine, sest pinge väärtus saadakse teada vahetult voltmeetri skaalalt. Samuti on otsemõõtmine pikkuse mõõtmine joonlaua või nihikuga. Seejuures võivad otsemõõtmised sisaldada arvutusi üleminekukordajate või skaala jaotise väärtuse arvutamiseks. Sellised arvutused ei muuda füüsikalise suuruse mõõtmist kaudmõõtmiseks.

Oletame, et voolu töö leidmiseks mõõdame pinge E voltmeetriga, voolutugevuse I ampermeetriga ja aja t sekundkellaga.Töö arvutamine valemist A = E I t on kaudmõõtmine.

9.2. Kaudmõõtmise määramatus sõltumatute sisendsuuruste korral Olgu füüsikaline suurus Y funktsioon sõltumatutest (s.t. mittekorrelleeruvatest) sisendsuurustest X1, X2,…,Xn:

),,,( 21 nXXXfY �� .

Olgu meil mõõdetud suurused x1, x2,…,xn. Arvutatud suurus ),,,( 21 nxxxfy �� on kaudmõõdetud

suurus.

Soovides leida määramatuse u(y), peame peale funktsiooni kuju teadma veel sisendsuuruste määramatuste väärtusi: u(x1), u(x2), ..., u(xn). Sõltumatute sisendsuuruste korral avaldub suuruse Y määramatus valemiga

)()()()( 22

22

2

21

22

1n

nxu

x

fxu

x

fxu

x

fyu ��

�

��

!��

�

��

!��

�

��

!��

00

00

00

�

.

MathCADi keskkonnas käib kaudmõõtmise määramatuse arvutamine samamoodi (vt joonis 23).

Seejuures tuleb silmas pidada järgmist:

� Indeksiga suurusest (Suurus � [ � indeks) ei suuda MathCAD tuletist arvutada. Kui soovite seda siiski teha, siis peate selle indeksi defineerima nn. iluindeksina mis kirjutatakse MathCADi kujul Suurus � punkt � indeks.

� Analüütilise valemi saamiseks ei tohi teil olla suurustele antud numbrilisi väärtusi. Kui soovite nii analüütilist valemit kui ka arvulist lahendit, siis leidke kõigepealt analüütiline lahend ja andke suurustele numbrilised väärtused sellest analüütilisest lahendist ALLPOOL.

Järgnevalt vaatleme kahte erijuhtu – summa ja korrutise määramatuse arvutamist.


37

Joonis 23. Kaudmõõtmise määramatuse arvutamine MathCADi keskkonnas.

9.3. Summa ja vahe määramatus Olgu meil mõõdetud suurused x1, x2, ..., xn. Olgu meil ka valem suuruse Y arvutamiseks: Y = ± a1X1 ± a2X2 ± ... ± anXn.

Sellisel juhul avaldub mõõtetulemus kujul y = ± a1x1 ± a2x2 ± ... ± anxn

ja mõõtemääramatus

� � � � � � � �2222

22

21

21 ... nn xuaxuaxuayu �� .

NB! Veendu, et viimane valem kehtib sõltumata sellest kas meil on tegemist liikmete summa või vahega.

9.4. Korrutise ja jagatise määramatus Olgu meil mõõdetud suurused x1, x2, ..., xn. Olgu meil ka valem suuruse Y arvutamiseks: Y = AX1

a1 X2 a2 ... Xn

an.

Sellisel juhul avaldub mõõtetulemus kujul y = Ax1

a1 x2a2 ... xn

an.


38

ja mõõtemääramatus

� � � � � � � � 2

n

n2n

2

2

222

2

1

121 ... ��

�

��

!��

�

��

!��

�

��

!��

x

xua

x

xua

x

xuayyu .

NB! Veendu, et viimane valem kehtib sõltumata sellest kas meil on tegemist liikmete korrutise (s.t. astendaja on positiivne) või jagatisega (s.t. astendaja on negatiivne).

9.5. Kaudmõõtmise määramatus sõltuvate sisendsuuruste korral Olgu füüsikaline suurus Y funktsioon sõltuvatest (s.t. korrelleeruvatest) sisendsuurustest X1, X2,…,Xn:

),,,( 21 nXXXfY �� .

Olgu meil mõõdetud suurusted x1, x2,…,xn ja sisendsuuruste määramatuste väärtused u(x1), u(x2), ..., u(xn). Kaudmõõdetud suuruse ),,,( 21 nxxxfy �� määramatuse u(y) saame arvutada valemist

��

��

!��

��

!��

�

��

!��

�

��

!�� )()(2)()()( 212,1

212

2

2

21

2

2

1

xuxurx

f

x

fxu

x

fxu

x

fyu

00

00

00

00 ,

Viimases valemis r1,2 on korrelatsioonitegur, mis iseloomustab suuruste x1 ja x2 vahelise sõltuvuse tugevust. Korrelatsiooniteguri arvutamiseks peame mõõtma suurusi x1 ja x2 mitu korda. Mõõdise järjekorranumbri tähistamiseks peame suurustele x1, x2 lisama teise indeksi, k, mis tähistab suuruste järjekorranumbrit mõõteseerias. Seega x1 ja x2 asemel peame kirjutama x1,k ja x2,k.

Korrelatsiooniteguri saame arvutada valemist

� �

�

� �

�

��

��

n n

n

xxxx

xxxxr

1k 1k

22k2,

21k1,

1k2k2,1k1,

1,2

)()(

))((.

Korrelatsiooniteguri väärtus on vahemikus 11 ji, //� r . Kui hinnangud xi ja xj on sõltumatud, siis

r i,j = 0 ja kaudmõõtmise määramatuse valem võtab peatükis 9.2 toodud kuju. Sõltuvate sisendsuuruste korral r i,j 1 0.

Näide: Olgu meil vaja hinnata vahelduvvoolu keskmine võimsus. Selleks tuleks ampermeetriga mõõta vahelduvvoolu- ja voltmeetriga vahelduvpinge efektiivväärtused (vastavalt I ja E) ning fasomeetriga voolu ja pinge vaheline faasinihe 2. Võimsuse saab arvutada valemist

2cos�� EIP .

Liitmääramatus uC(P) on funktsioon E, I, 2, u(E), u(I) ja u(2).


39

� �

� � )()(sin)()cos()()cos(

)()()(cos2)()sin()()(cos)()(cos

)()(2)()()()(

22222

22222222222

IU,2

22

22

2

2222

22222

00

00

2020

00

00

uIEIuEEuI

IuEuIEuIEIuEEuI

IuEurI

P

E

Pu

PIu

I

PEu

E

PPu

��

��

��

� !��

� !��

�

��

!��

��

� !��

��

� !�

Et pinge ja voolu efektiivväärtused on teineteisest lineaarses sõltuvuses (E = I R), kus R on vooluahela takistus, mis fikseeritud sagedusel on konstant, siis korrelatsioonitegur rE,I = 1.

Oletame nüüd, et mõõtsime voolutugevuse väärtuseks I = 0,1 A (ampermeetri täpsusklass � = 345; mõõtediapasoon 0,15 A), pinge väärtuseks E = 100 V (voltmeetri täpsusklass � = 345; mõõtediapasoon 150 V) ja faasiks 2 = "/3 (fasomeetri täpsusklass = 0,6). Vastavad määramatused

avalduvad nüüd A3

0003,0)(B �Iu ; V

3

3,0)(B �Eu ja rad

3

0063,0)(B �2u .

Arvandmete asendamisel keskmise võimsuse ja tema määramatuse valemitesse saame

W00,53

cos1001,0 ��"

P ,

W04,03

0063,0

3sin1,0100

3

0003,0

3cos100

3

3,0

3cos1,0)(

2222

2

��

� !��

� !��

�

��

!��

� !��

��

� !�

"""Pu .

Tulemuse esitame kujul P = 5,00(4) W.

Et määramtused, mida siia valemisse panime, olid usaldusnivool 58%, saame ka tulemuse usaldusnivool 58%. Soovides kõrgemat usaldusnivood, peaksime määramatuse u(P) veel läbi korrutama katteteguriga.


40

10. Mõõtetulemuste graafiline töötlemine

10.1. Katsepunktide lähendamine lähenduskõveraga Katsetes kasutatakse sageli suuruste x ja y paare, kusjuures üks neist, näiteks y osutub x-i funktsiooniks. Seejärel kantakse leitud suurused graafikule ja püütakse leida sile joon, mis läbiks võimalikult palju katsepunkte ja kirjeldaks funktsiooni y = f(x).

0 2.2 4.4 6.6 8.8 110

2

4

6

8

KatsepunktidLähenduskõver

Vigane lähenduskõver

x

y

.

0 2.2 4.4 6.6 8.8 110

2

4

6

8

KatsepunktidLähenduskõver

Korrektne lähenduskõver

x

y

. .

A B

Joonis 24. Lähenduskõvera leidmine. A) punktist punkti kõver B) eksponentsiaalne sõltuvus.

10.2. Määramatuse ristide lisamine katsepunktidele Määramatuse väärtuse kandmiseks graafikule joonistame läbi iga katsepunkti horisontaalse lõigu [x – u(x), x + u(x)] ja vertikaalse lõigu [y – u(y), y + u(y)] (vaata joonis 25). Need lõigud moodustavad määramatuse risti.

Joonis 25. Määramatuse r ist.

x

y

x – u(x) x + u(x)

y + u(y)

y – u(y)


41

10.3. Teoreetilise mudeli kontrollimine Tihti tuleb graafiliselt kontrollida teatavaid teoreetiliselt tuletatud sõltuvusi. Sel puhul kantakse graafikule eksperimendist saadud punktid koos määramatuse ristidega. Samale graafikule kantakse ka teoreetiliselt arvutatud kõver, ilma üksikuid katsepunkte näitamata. Teoreetilise kõvera kokkulangemine eksperimendi punktidega määramatuse ristide täpsusega kinnitab eksperimendi kooskõla teooriaga.

Näide. Kontrollime, kas joonisel 26 esitatud katsepunkte saab lähendada sirgega või eksponentsiaalse kõveraga. Selleks joonistame graafiku, kus oleks peal nii katsepunktid kui ka nende määramatust väljendavad määramatuse ristid. Lisame ka mõlema hüpoteesi kohased kõverad.

Näeme, et sirgega ei õnnestu kõiki katsepunkte määramatuse piires lähendada, nii peame järeldama et lineaarse sõltuvuse hüpotees ei pea paika. Eksponentsiaalne kõver läheb läbi kõigist katsepunktidest (määramatuse täpsusega), seega võib öelda et eksponentsiaalse sõltuvuse hüpotees on sobiv seda füüsikalist nähtust kirjeldama.

0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

KatsepunktidLähenduskõverMääramatus

Mudel ei pea paika

x

y

.

0 2 4 6 8 100

2

4

6

8


Mudel peab paika

x

y

. A B

Joonis 26. Teoreetilise mudeli kontroll. A) lineaarne sõltuvus B) eksponentsiaalne sõltuvus.

Arvutiprogrammid võimaldavad katsepunkte lähendada ka keerulisemate kõveratega. Näiteks võimaldab tabelarvutuse programm Excel XP läbi katsepunktide parve tõmmata kas eksponentsiaalse, logaritmilise või astmefunktsiooni kõvera või kuni 6. järku polünoomi. MathCAD 2001i pakub kõvera tüüpide valikul veelgi laiemaid võimalusi. Seejuures peab eksperimentaator kindlustama, et läbi katsepunktide tõmmatud kõver oleks füüsikaliselt põhjendatud. Kõrget järku polünoomide kasutamisel, eriti veel siis kui katsepunkte on vähe, kipuvad kõveratele sisse tulema sellised jõnksud, mis füüsikaliselt ei ole põhjendatud. Seetõttu tuleb väga kriitiliselt suhtuda arvuti poolt väljastatava kõvera kujusse ja vajadusel joonistada kõver ise käsitsi arvuti ekraanil. Füüsika praktikumi tööde vormistamisel võiks aja kokkuhoiu mõttes soovitada ainult katsepunktide väljatrükkimist koos määramatuse ristidega. Sobiva kõvera läbi katsepunktide võib hiljem ise käsitsi joonistada.

Siinkohal tuleks märkida, et täiesti lubamatu on eksperimendist saadud katsepunktide suvaline nihutamine graafikul. Katsepunktid on konkreetsete mõõteriistadega ja konkreetsetes tingimustes saadud mõõtetulemused. Seetõttu tuleb nad graafikule kanda täpselt sellisel kujul, nagu nende väärtused katses määrati. Läbi katsepunktide joonistatav kõver on eksperimentaatori interpretatsioon mõõdetud füüsikalise suuruse käitumise kohta. Siin on eksperimentaatoril palju


42

suurem vabadus. Ainukeseks piiranguks on, et eksperimentaator oskaks oma seisukohta veenvalt põhjendada.

10.4. Vähimruutude meetodil leitud sirge tõusu ja algordinaadi kasutamine füüsikaliste suuruste mõõtmiseks

Kui meil on teada katsepunkte lähendava analüütilise valemi kuju, siis saame lähenduskõvera leidmise ülesande lahendit kasutada (füüsikaliste) suuruste mõõtmiseks.

Vaatame lineaarse regressiooni näidet.

Matemaatikud ütlevad, et sirge võrrand avaldub kujul:

bxay �� .

Siin tähistavad x ja y mõõdistepaari, a ja b aga sirge parameetreid: tõusu ja algordinaati. Tõusu a ja algordinaadi b leidmiseks saab kasutada MathCAD´i standardfunktsioone:

� �yxa��

,slope� ,

� �yxb��

,intercept� .

Sirge parameetrite a ja b tähendust selgitab joonis 27.

0 2 4 6 8 100

2

4

6

8


Lineaarne regressioon

x

y

.

bxay ��

bb

a = tan(�)a = tan(�)

Joonis 27. L ineaarne regressioon graafiliselt.

Joonis 28. Elektr iskeem takistuse R ja lisapingeallika pinge E0 leidmiseks lineaarse regressiooni meetodil.

Reaalses elus on teil üldvõrrandi

bxay ��

asemel füüsika võrrand. Näiteks joonisel 28 kujutatud elektriskeemi puhul võib kirjutada:

0ERIE ��

Siin mõõdate I ja E paare. R ja E0 on antud katses konstandid. Vastavuseks matemaatika ja füüsika vahel saame: x�I; y�E; a�R; b� E0.

A

E

R E 0

V


43

11. Eksper imendi planeer imise elemente

Tööde ettevalmistamisel tuleb endale selgeks teha, milliseid füüsikalisi nähtusi hakatakse uurima, milliseid suurusi hakatakse mõõtma, milline on seadmete töötamise põhimõte, millistele teoreetilistele alustele tugineb mõõtemeetod.

Laboratoorse töö juhendi põhjal koostatakse eksperimendi esialgne plaan, millest võiks leida vastuseid küsimustele

� millises järjekorras mõõtmisi läbi viia, � millised muudetavate (etteantavate) suuruste väärtused on sobiv valida, � millisele uuritava sõltuvuse piirkonnale on vaja osutada erilist tähelepanu, � milliseid suurusi on vaja mõõta suurema täpsusega, milliseid võib mõõta väiksema

täpsusega.

Seda esialgset plaani täpsustatakse mõõteriistadega tutvumisel enne tööle asumist.

Kui mitu korda tuleb mõõtmist korrata? Vastuse saamiseks selgitame välja, kumb määramatuse komponent, A-tüüpi või B-tüüpi määramatus, on ülekaalus. Kordusmõõtmiste arv valitakse tavaliselt nii suur, et oleks täidetud tingimus:

3B

Au

u / .

Elektrimõõtmised

ELEKTRIMÕÕTMISED

12. Elektr iskeemides kasutatavate tingmärkide tähendus

Tingmärk Tähendus Tingmärk Tähendus

Takisti

Sulavkaitse

Muuttakisti, reguleeritav

takisti

Reostaat

Kondensaator

Muutkondensaator, reguleeritav

kondensaator

Induktiivpool

Trafo

Alalispinge allikas, patarei

Pistik ja pesa

hõõglamp

lüliti

Maandus

Kereühendus

Elekrimõõtmised

45

V

Voltmeeter

A

Ampermeeter

Juhtmete ristumine ilma

elektrilise kontaktita

Juhtmete hargnemine

Diood

G

Generaator

Põhjalikum ülevaade elektriskeemides kasutatavatest tingmärkidest on antud L.Abo raamatus Raadioseadmete üksikosad, Tln, 1981, 384 lk.

Elekrimõõtmised

46

13. Osutmõõter iist

Joonis 29. Osutmõõter iist.

Lugemi võtmiseks tuleb osutmõõteriista puhul vaadata nii skaalat kui ka mõõtediapasooni lüliti asukohta. Vastuseks saadakse

soonMõõtediapaulatusSkaala

NäitLugem ��

Joonisel 29 toodud voltmeetri puhul saame lugemiks

mV 120,0 mV150150

0,120��E .

Täpsusklass on esitatud taandpõhivea kujul (0,2 ilma ringita). B-tüüpi määramatuseks saame ühtlase jaotuse eeldusel (usaldusnivoo 58%)

� � mV 0,2 3100

mV1502,0B �

��

�Eu .

Näit 120 ühikut Skaala ulatus 150 ühikut

Mõõtediapasoon 150 mV

Täpsusklass 0,2

Elekrimõõtmised

47

14. Testr i kasutamine mõõtmisteks, mõõtepiirkonna valik

Ületäitumine

Pinge, takistuseja mA piirkonnasvoolu mõõtmise

klemm

10A piirkonnas voolumõõtmise

klemm

Joonis 30. Multimeetr i M-830B kasutamine voltmeetr ina.

Mõõdetava suuruse väljavalimiseks tuleb diapasoonilüliti pöörata asendisse, kus tema “osuti” näitab soovitava suuruse tähise peale. Pinge mõõtmisel peaks osuti „vaatama“ piirkonda V, voolu mõõtmisel piirkonda A ja takistuse mõõtmisel piirkonda ��. Alalis- ja vahelduvpinge(voolu) mõõtmiseks on tavaliselt eraldi piirkonnad. Alalispinge piirkonda tähistavad tähed DC (ingl. Direct Current) või piktogramm ; vahelduvpinge piirkonda tähistavad tähed AC (ingl. Alternating

Current) või piktogramm ;

Vooluringi toimimiseks on alati vaja KAHTE juhet: üks juhe ühendatakse pesasse COM (ingl. Common - ühine), pinge mõõtmisel on teiseks pesaks tähega V märgitud pesa. Voolu mõõtmisel on teiseks pesaks tähega A tähistatud pesa ja takistuse mõõtmisel tähega � tähistatud pesa. Mõnikord on sama suuruse erinevates mõõtepiirkondades mõõtmiseks kasutusel mitu pesa. Sel juhul on ka see info kirjutatud pesa juurde. Näiteks joonisel 30 kujutatud multimeetril M-830B on üks pesa voolu mõõtmiseks mA piirkonnas ja teine pesa voolu mõõtmiseks 10A piirkonnas .

Lugemi võtmiseks tuleb multimeetri puhul vaadata nii seadme näiduseadist kui ka mõõtediapasooni lüliti asukohta. Vastuse numbriline väärtus saadakse seadme näiduseadiselt, ühik aga mõõtediapasooni lüliti asendi põhjal

ÜhikNäitLugem ��

Joonisel 30 toodud voltmeetri puhul saame lugemiks mV1569��E .

Kui meil pole teada mõõdetava suuruse ligikaudset väärtust, siis tuleks esimene mõõtmine teha maksimaalses mõõtepiirkonnas. Saadud ligikaudse mõõdise alusel valitakse õige mõõtepiirkond ja tehakse seal uus mõõtmine.

Mõõtediapasoon 2000 mV

Näit 1569

COMMON klemm

Väikseim jaotis on 1mV

Alalispinge

Elekrimõõtmised

48

Täpsusklassi leiame testri passist. 2000 mV alalispinge mõõtmise piirkonnas on see esitatud kujul (± 0.5%rdg±2D). B-tüüpi määramatuseks saame ühtlase jaotuse eeldusel (usaldiusnivoo 58%)

� � � �mV 6

3100

mV1215695,0B �

��

�Eu .

14.1. Testri kasutamine voltmeetrina

Joonis 31. Voltmeetr i ühendamine elektr iskeemi.

Voltmeeter ühendatakse skeemi alati rööbiti.

14.2. Testri kasutamine oommeetrina

Joonis 32. Oommmeetr i ühendamine elektr iskeemi.

Enne oommeetri kasutamist tuleb skeemist eemaldada kõik pingeallikad. Seejärel ühendatakse oommeeter mõõdetava takisti klemmidele.

14.3. Testri kasutamine ampermeetrina

Joonis 33. Ampermeetr i ühendamine elektr iskeemi.

Ampermeeter ühendatakse skeemi alati jadamisi.

� G

V

G

A

Elekrimõõtmised

49

15. Ostsilloskoop

Ajas aeglaselt muutuvate signaalide vaatamiseks saab kasutada arvutiga sidestatud multimeetrit. Ajas kiiresti muutuvate signaalide vaatamiseks kasutatakse ostsilloskoope.

15.1. Analoogostsilloskoop Analoogiliselt teleriga suunatakse ka analoogostsilloskoobis (joonis 34) elektronkiir luminofooriga kaetud ekraanile, mis hakkab selle tulemusena helenduma. Kiire juhtimiseks kasutatakse vertikaalseid ja horisontaalseid kallutusplaate (joonis 35), millede vahel tekitatakse elektriväli. Vertikaalsete plaatide vaheline elektriväli on võrdeline pingega ostsilloskoobi sisendis. Horisontaalsetele plaatidele antakse võrdeliselt ajaga muutuv pinge. Nii hakkab elektronkiire jälg liikuma ekraanil vasakult paremale. Püsiva kujutise saamiseks peab sama ostsillogrammi joonistama ekraanile vähemalt 10 korda sekundis. Seega saab analoogostsilloskoobiga vaadelda ainult perioodilisi signaale.

Joonis 34. Analoogostsilloskoop GOS-680.

Joonis 35. Elektronkiiretoru põhimõtteskeem.

Elekrimõõtmised

50

15.2. Digitaalostsilloskoop Digitaalostsilloskoobis (joonis 36) registreeritakse sisendpinge muutused diskreetsetel üksteisele järgnevatel ajahetkedel. Mõõdetud väärtused salvestatakse vahemälus. Hetk enne uut mõõtmist nihutatakse eelmised tulemused ühe koha võrra edasi. Käivitusimpulsi saabudes kuvatakse vahemälu sisu ekraanile. Erinevalt analoogostsilloskoobist saab siin soovi korral näha ka signaali kuju enne käivitusimpulssi.

Digitaalostsilloskoopi iseloomustavateks põhiparameetriteks on lugemi võtmise sagedus, vertikaalne lahutusvõime ja salvestuse pikkus. Joonisel 36 kujutatud ostsilloskoobil on maksimaalseks lugemi võtmise sageduseks 1Gs/s, salvestuse pikkuseks 2500 punkti ja vertikaalseks lahutusvõimeks 256 astet.

Joonis 36. Digitaalostsilloskoop Tektronix TDS-210.

Elekrimõõtmised

51

16. Laboratoorsed tööd koos juhendite ja indeksitega

1. Juhusliku suuruse jaotusseaduse uurimine võrgupinge näite varal EM-1 2. Elektriliste suuruste mõõtmine LF-17 3. Mõõtetulemuste töötlemine ja määramatuse hindamine lineaarse

regressiooni meetodit kasutades FMA-9 4. Tutvumine vooluallikatega, kuivelemendi uurimine EM-4 5. Tutvumine vooluallikatega, arvuti toiteploki uurimine EM-5 6. Vee elektrijuhtivuse uurimine LF-18 7. Inimkeha elektrijuhtivuse uurimine EM-7 8. Pooljuhi keelutsooni laiuse määramine EP-10.1 9. Tutvumine elektronostsillograafiga EM-9 10. Tutvumine digitaalse ostsillograafiga (elektromagnetiliste

vabavõnkumiste töö näitel). EM-10 11. Tutvumine digitaalse signaali töötlusega arvutis (elektromagnetiliste

vabavõnkumiste töö näitel). EM-11 12. Kondensaatori aperioodilise laadumise ja tühjenemise uurimine EM-12 13. Vahelduvvoolu iseloomustavate suuruste mõõtmine: induktiivsuse ja

mahtuvuse määramine ning Ohmi seaduse kontroll järjestikahela korral EM-13 14. Magnetinduktsiooni mõõtmine LF-21 15. Trafo mudeli valmistamine ja uurimine K–12

Nimekirjast sooritada 6 tööd vastavalt juhendava õppejõu poolt koostatud graafikule.

Kursuse erijuhendid (saadaval füüsikaraamatukogus, laborandi käest füüsikahoone ruumist 325 või interneti aadressil http://www.physic.ut.ee/instituudid/efti/loengumaterjalid/elm).

17. Kasutatud kir jandus

1. Laaneots, R ja Mathiesen, O, 2002, Mõõtmise alused, TTÜ, 206 lk

2. Plank, T, 2005, Mõõtemääramatuse hindamine, Loodusainete õpetamisest koolis. II osa: Abiks füüsikaõpetajale, REKK, Tln, ?? - ??lk

3. Mõõtemääramatuse väljendamise juhend, RMK, Tartu, 1996, 152 lk

4. US National Institute of Standards and Technology's web site http://physics.nist.gov/cuu/Uncertainty/index.html

5. Sena L, 1985, Füüsikaliste suuruste mõõtühikud ja nende dimensioonid, Tln, 224 lk

6. Laaneots R, 1994, Metroloogia, Tln, 87 lk.

7. Tammet H, Füüsika praktikum, Metroloogia, Tln , 1971, 240 lk

8. Voolaid H, 1986, Mõõtevigade hindamine füüsika praktikumis, Tartu, 56 lk

9. Tarkpea K, Voolaid H, 1999, Laboritöid füüsikast, Tartu, 147 lk

10. Kudu K, 1982, Elektripraktikumi tööjuhendid, Tartu, 298 lk

11. Tamm E, 1978 või 1987, Üldmõõtmiste praktikumi tööjuhendid I, Tartu, 84 lk

Elekrimõõtmised

53

LISA

18. t-jaotus

Kui me võtame katsetulemuste A-tüüpi määramatuse hinnanguks xx

su ��A , siis

normaaljaotuse eeldusel saadav usaldusnivoo p = 68% on veidi ülehinnatud (tegelik usaldusnivoo on väiksem). Põhjus seisneb selles, et mõõtmiste väikese arvu korral on standardhälbe hinnangu viga küllalt suur. Tehtud viga on seda suurem, mida väiksem on mõõtmiste arv.

W. S. Gosset alias Student andis eeskirjad, mille abil võib lõplikust hulgast mõõdistest saada vahemikhinnanguid lähtudes matemaatilise statistika teooriast. Vahemikhinnangu leidmisel Student’ i eeskirja järgi tuleb katsest leitud aritmeetilise keskmise standardhälbe väärtus korrutada koefitsiendiga t(�4p), mis leitakse (efektiivse) vabadusastmete arvu � ja soovitava usaldusnivoo p alusel t-jaotuse tabelist (vt. tabel 6):

xp sptu �� ),(,A � (* )

Student’ i eeskirja võib vahemikhinnangu leidmisel kasutada ainult juhul, kui mõõdised on kas normaaljaotusega või ligikaudu normaaljaotusega. Kui oleme suuruse x jaoks leidnud määramatuse vahemikhinnangu uA,p, siis võime öelda, et leppeline tõeline väärtus asub

tõenäosusega p vahemikus pA,pA, uxxux l �//� .

Selleks, et anda vahemikhinnang meie poolt valitud usaldusnivool, tuleb esmalt leida tulemuste aritmeetiline keskmine ja tema A-tüüpi määramatuse hinnang. Tabelist 6 leiame vabadusastmete arvu (� = n - 1) ja soovitava usaldusnivoo alusel t-koefitsiendi ja selle alusel valemist (* ) vahemikhinnangu. Usaldusnivoo füüsika praktikumis valib eksperimentaator ise, tavaliselt võetakse selleks 95 %.

MathCAD’ i programmis saab t-koefitsiendi leida standardfunktsiooniga

��

� ! �

� �,2

1 pqt .

NB! L iitmääramatuse leidmisel valemi 22BAC uuu �� alusel tuleb nii A- kui ka B-tüüpi

määramatused valemis võtta standardkujul, s.t ilma t-koefitsiendi või kattetegur iga läbi korrutamata.

Usaldusnivoo tõstmiseks korrutame jaotusfunktsioonile ja soovitavale usaldusnivoole vastava katteteguriga läbi alles liitmääramatuse uC.

Elekrimõõtmised

54

Tabel 6. t-jaotuse väär tused t(�� , p) sõltuvalt vabadusastmete arvust �� (sõltumatute suuruste arv – nendevaheliste seoste arv) ja soovitavast usaldusnivoost p.

Vabadusastmete Osa p protsentides

arv � 68,27(I) 90 95 95,45(I) 99 99,73(I)

1 1,84 6,31 12,71 13,97 63,66 235,80 2 1,32 2,92 4,30 4,53 9,92 19,21

3 1,20 2,35 3,18 3,31 5,84 9,22

4 1,14 2,13 2,78 2,87 4,60 6,62

5 1,11 2,02 2,57 2,65 4,03 5,51

6 1,09 1,94 2,45 2,52 3,71 4,90

7 1,08 1,89 2,36 2,43 3,50 4,53

8 1,07 1,86 2,31 2,37 3,36 4,28

9 1,06 1,83 2,26 2,32 3,25 4,09

10 1,05 1,81 2,23 2,28 3,17 3,96

11 1,05 1,80 2,20 2,25 3,11 3,85

12 1,04 1,78 2,18 2,23 3,05 3,76

13 1,04 1,77 2,16 2,21 3,01 3,69

14 1,04 1,76 2,14 2,20 2,98 3,64

15 1,03 1,75 2,13 2,18 2,95 3,59

16 1,03 1,75 2,12 2,17 2,92 3,54

17 1,03 1,74 2,11 2,16 2,90 3,51

18 1,03 1,73 2,10 2,15 2,88 3,48

19 1,03 1,73 2,09 2,14 2,86 3,45

20 1,03 1,72 2,09 2,13 2,85 3,42

25 1,02 1,71 2,06 2,11 2,79 3,33

30 1,02 1,70 2,04 2,09 2,75 3,27

35 1,01 1,70 2,03 2,07 2,72 3,23

40 1,01 1,68 2,02 2,06 2,70 3,20

45 1,01 1,68 2,01 2,06 2,69 3,18

50 1,01 1,68 2,01 2,05 2,68 3,16

100 1,005 1,660 1,984 2,025 2,626 3,077

� 1,000 1,645 1,960 2,000 2,576 3,000

Suuruse x jaoks, mida kirjeldab normaaljaotus keskväärtusega x ja keskmise standardhälbega xs ,

sisaldab vahemik xskx# vastavalt p = 68,27; 95,45 ja 99,73 protsenti jaotusest k = 1; 2 ja 3

korral.

Elektrimõõtmised konspekt

Documents

jaotusfunktsiooni hpoteesi kontrollimine

kuni xm

mthik hiku nimetus

viga ja mramatus

si dimensioonvalem dim

tpi mramatus

mtmisteooria alused

5 tenosuse tihedusfunktsioon