Elastico

Generalidades Biomecánica de cuerpo elástico

Docente: Dra Patricia Pérez S.

Alumno: Andrés Viveros C.

Introducción

En el presente trabajo se abordarán algunos conceptos básicos de la mecánica necesarios para comprender posteriormente el comportamiento de algunos de los componentes del cuerpo humano como el comportamiento biomecanico de tejidos blandos tales como el hueso, los cartílagos articulares y los tendones del aparato locomotor. Además se abordarán algunas de las aplicaciones que tienen estos principios cómo también se darán algunos ejercicios propuestos.

Elasticidad

Elasticidad es la propiedad de un objeto o material que provoca su restauración a su forma original después de la distorsión. Mientras más elástico es un objeto, se restaura más precisamente a su configuración original. Una banda de goma es fácil de elongar, y vuelve más o menos a su longitud original cuando es liberada pero no es tan elástica como una cuerda de piano. La cuerda de piano es difícil de elongar, pero podría decirse que es más elástica que la banda de goma porque tiene más precisión en el retorno a su forma original. Un resorte es un ejemplo de un objeto elástico, cuando se elonga, ejerce una fuerza restauradora que tiende a volverlo a su longitud original. Esta fuerza restauradora es generalmente proporcional a la cantidad de elongación, como es descrito por la ley de Hooke. Para alambres o columnas, la elasticidad es generalmente descrita en términos de cantidad de deformación (strain) resultando un stress dado (Módulo de Young). Las propiedades de volumen elástico de materiales describen la respuesta de los materiales a los cambios de presión

Ley de Hooke

La ley de Hooke describe fenómenos elásticos como los que exhiben los resortes. Esta ley afirma que la deformación elástica que sufre un cuerpo es proporcional a la fuerza que produce tal deformación, siempre y cuando no se sobrepase el limite de elasticidad.En esta práctica se estudian simultáneamente la ley de Hooke y el movimiento armónico simple. Se mide la constante de fuerza de un resorte y se halla experimentalmente la relación funcional entre el periodo de oscilación y la masa, en un sistema masa – resorte.La fuerza recuperadora del resorte es proporcional a la elongación y de signo contrario (la fuerza de deformación se ejerce hacia la derecha y la recuperadora hacia la izquierda). La expresión de la ley es:

F=- F=Kx

F y x son vectores de la misma dirección y sentido opuestoLa fuerza que ejerce para estirarlo es: F=KxLa 2ª ley de Newton nos dice que toda aceleración tiene su origen en una fuerza. Esto lo expresamos con la conocida:F=m·a

Es obvio que la fuerza recuperadora del resorte es la que origina la aceleración del movimiento, lo que supone que ambas fuerzas, expresadas arriba, son iguales. Luego:

F=- K· xF=ma=- 2xIgualando obtenemos V_ V m Luego el periodo natural de oscilación estará dado por :

Problema Propuesto:*Para un resorte que cumple la ley de Hooke y que presenta como constante clásica de elasticidad el valor de 19.62 N/cm. Se le cuelga un objeto que causa una deformación de 58.86 cm. ¿Cuál es la masa del objeto? 

K=19.62 N/cm             F=kx                  m=Kx/gx=58.86                        W=mg         m=(19.62 N/cm)(58.86 cm)/9.81 g=9.81 m/s2                      Kx =mg             m/s2= 1154.83N/9.81 m/s2=

                                                                                                   117.72 Kgm=117.72 Kg

Aplicaciones:

Una de las características más relevantes del músculo en reposo es su comportamiento elástico, como podemos observar en el gráfico, éstos no siguen la ley de Hooke, esto es dado por que la mayoría de los músculos, en el organismo ejercen cierta fuerza de tracción, en virtud de su elasticidad. El gràfico de la figura 4.5 nos ilustra la relación entre la tensión y la longitud del músculo. En ella el punto A representa la longitud del músculo aislado en reposo cuando no se le aplica ninguna fuerza. Pero ésta no es la longitud que tiene( también en reposo) en el organismo, donde el músculo se encuentra sometido a una pequeña tensión. La longitud en reposo en el organismo está dada en la gráfica por la abcisa Io . Por esto la figura muestra que el músculo no sigue la Ley de Hooke, pues los incrementos de tensión necesarios para producir iguales variaciones de longitud se tornan mayores a medida que la longitud aumenta.Cuando se estira un músculo en reposo se puede observar que las bandas A no modifican sus dimensiones; en cambio, se alargan( en el sentido de la orientación de las fibras) los discos I así como la banda H.

Si nosotros consideramos la biomecánica del hueso, notaremos que en primer lugar que este posee un comportamiento anisotrópico, es decir que posee distintos comportamientos elásticos dependiendo del eje en donde se analice. Y desde el punto de vista de la ley de Hooke nosotros podemos señalar que el hueso cumple la ley de Hooke hasta cierto punto, es decir en el alcance de su región elástica esto se puede observar en un grafico que se encuentra mas adelante. Esta naturaleza del hueso esta dada por el componente mineral del mismo y que le da su carácter de rigidez

Movimiento

En mecánica el movimiento es un fenómeno físico que se define como todo cambio de posición que experimentan los cuerpos de un sistema, o conjunto, en el espacio con respecto a ellos mismos o con arreglo a otro cuerpo que sirve de referencia. Todo cuerpo en movimiento describe una trayectoria.

La parte de la física que se encarga del estudio del movimiento sin estudiar sus causas es la cinemática. La parte de la física que se encarga del estudio de las causas del movimiento es la dinámica.

Movimiento circular

Se define movimiento circular como aquél cuya trayectoria es una circunferencia. Una vez situado el origen O de ángulos describimos el movimiento circular mediante las siguientes magnitudes.

Posición angular, En el instante t el móvil se encuentra en el punto P. Su posición angular viene dada por el ángulo q, que hace el punto P, el centro de la circunferencia C y el origen de ángulos O.El ángulo q, es el cociente entre la longitud del arco s y el radio de la circunferencia r, q=s/r. La posición angular es el cociente entre dos longitudes y por tanto, no tiene dimensiones.

Velocidad angular,

En el instante t' el móvil se encontrará en la posición P' dada por el ángulo '. El móvil se habrá desplazado = ' - en el intervalo de tiempo t=t'-t comprendido entre t y t'.

La velocidad angular ω (también conocida como frecuencia angular o pulsación) es una medida de la velocidad de rotación. Se mide en radianes por segundo (o simplemente s-1 porque los radianes son adimensionales).

La razón de ello es que una revolución completa es igual a 2π radianes:

cuando T es el período y f es la frecuencia

El empleo de la velocidad angular en lugar de frecuencia ordinaria es práctica en numerosas aplicaciones, porque evita la aparición excesiva de π. En realidad, se emplea en aquellos campos de física en los que intervienen fenómenos periódicos, por ejemplo en mecánica cuántica y electromagnetismo.

También hacer notar que:

Por lo tanto,

Considerando que T es el período y v es la velocidad tangencial de un punto respecto al eje de rotación

Se denomina velocidad angular media al cociente entre el desplazamiento y el tiempo según la siguiente formula:

Problema propuesto:

Aceleración angular,

Si en el instante t la velocidad angular del móvil es y en el instante t' la velocidad angular del móvil es '. La velocidad angular del móvil ha cambiado =' - en el intervalo de tiempo t=t'-t comprendido entre t y t'.

Se denomina aceleración angular media al cociente entre el cambio de velocidad angular y el intervalo de tiempo que tarda en efectuar dicho cambio

Así un caso particular de esto seria el

Movimiento circular uniforme

El movimiento circular uniforme es aquel movimiento circular en el que un cuerpo se desplaza alrededor de un punto central, siguiendo la trayectoria de una circunferencia, de tal manera que en tiempos iguales recorra espacios iguales. No se puede decir que la velocidad es constante ya que, al ser una magnitud vectorial, tiene módulo, dirección y sentido: el módulo de la velocidad permanece constante durante todo el movimiento pero la dirección está constantemente cambiando, siendo en todo momento tangente a la trayectoria circular. Esto implica la presencia de una aceleración que, si bien en este caso no varía al módulo de la velocidad, sí varía su dirección.

Un movimiento circular uniforme es aquél cuya velocidad angular   es constante, por tanto, la aceleración angular es cero. La posición angular   del móvil en el instante t lo podemos calcular integrando

-0=(t-t0)

o gráficamente, en la representación de en función de t. como se observa arriba.

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las ecuaciones del movimiento circular uniforme son análogas a las del movimiento rectilíneo uniforme

Desplazamiento angular

Es la longitud del arco de circunferencia por unidad de radio

La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián.

Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene 2π radianes

Movimiento armónico simple

Es un movimiento rectilíneo con aceleración variable producido por las fuerzas que se originan cuando un cuerpo se separa de su posición de equilibrio. Un cuerpo oscila cuando se mueve periódicamente respecto a su posición de equilibrio. Se llama armónico porque la ecuación que lo define es función del seno o del cosenoResponde a la siguiente ecuación

x=A·sen(ωt+φ)

En donde:A es la amplitud. la frecuencia angular. t+ la fase. (posición) la fase inicial. ( posiciòn en t= 0)

Las características de un M.A.S. son:

Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre -A y +A.

La función seno es periódica y se repite cada 2, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se incrementa en 2, es decir, cuando transcurre un tiempo P tal que (t+P)+= t++2 .

P=2π/ω

La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada por la ecuación

x=A·sen(ωt+φ)

Stress

Carga o fuerza por unidad de área que se desarrolla sobre una superficie plana dentro de un estructura en respuesta a las cargas aplicadas externamente. N/cm2, N/m2, PA.

Strain

Porcentaje de cambio respecto al tamaño inicial (cambio en dimensión) que se desarrolla dentro de una estructura en respuesta a las cargas externamente aplicadas. Esta magnitud es adimensional y también es llamada deformación unitaria

Tipos de Strain.

Strain linear : Este se relaciona en un solo eje concerniendo solo el largo del cuerpo estudiado este puede ser ya sea de traccion o compresion

Strain de cizalle: Se desarolla tanto en el eje x como en el eje y a la vez se mide en cambio angular en radianes

Aplicaciones:Ambas magnitudes, Stress y Strain , pueden ser directamente relacionadas en el llamado

Modulo de elasticidad

El módulo de elasticidad o módulo de Young es un parámetro que caracteriza el comportamiento de un material elástico, según la dirección en la que se aplica una fuerza. Para un material elástico lineal e isótropo, el módulo de Young tiene el mismo valor para una tracción que para una compresión, siendo una constante independiente del esfuerzo siempre que no exceda de un valor máximo denominado límite elástico, y es siempre mayor que cero: si se tracciona una barra, aumenta de longitud, no

disminuye. Este comportamiento fue observado y estudiado por el científico inglés Thomas Young.Tanto el módulo de Young como el límite elástico son distintos para los diversos materiales. El módulo de elasticidad es una constante elástica que, al igual que el límite elástico, puede encontrarse empíricamente con base al ensayo de tracción del material.Para los objetivos de el presente trabajo se estudiarán los comportamientos para un material lineal y para uno anisotropo

Materiales lineales

Como se ha explicado para un material elástico lineal el módulo de elasticidad longitudinal es una constante (para valores de tensión dentro del rango de reversibilidad completa de deformaciones). En este caso su valor se define mediante el coeficiente de la tensión y de la deformación que aparecen en una barra recta estirada que esté fabricada en el material para el cual pretendemos estimar el módulo de elasticidad:

En donde:

es el módulo de elasticidad longitudinal.

es la tensión sobre la barra usada para determinar el módulo de elasticidad.

es la deformación unitaria en cualquier punto de la barra.

Esta ecuación además de su utilidad para los cálculos de deformación unitaria y del esfuerzo, puede ser utilizada para comparar la rigidez de 2 cuerpos al ser sometidos a la misma deformación Por lo que dadas dos barras o prismas mecánicos geometrícamente idénticos pero de materiales elásticos diferentes, al someter a ambas barras a deformaciones idénticas, se inducirán mayores tensiones cuanto mayor sea el módulo de elasticidad. De modo análogo, tenemos que sometidas a la misma fuerza, la ecuación anterior rescrita como

lo que nos dice que las deformaciones resultan menores para la barra con mayor módulo de elasticidad. En este caso, se dice que el material es más rígido.

Para establecer comparaciones entre distintos materiales se pueden confeccionar tablas como la siguiente:

Materiales anisótropos

Existen varias "extensiones" no-excluyentes del concepto. Para materiales elásticos no-isótropos el módulo de Young medido según el procedimiento anterior no da valores constantes. Sin embargo, puede probarse que existen tres constantes elásticas Ex, Ey y Ez tales que el módulo de Young en cualquier dirección viene dado por:

y donde lx, ly y lz son los cosenos directores de la dirección en que medimos el módulo de Young respecto a tres direcciones ortogonales dadas.

Es así como para el hueso el grafico presentaria la siguiente forma :

Se desprende del gráfico:

La carga de la estructura antes de fallar : Fuerza máximaLa deformación que puede resistir antes de fallar. La energía que puede almacenar antes de fallar: Área bajo la curva.La rigidez de la estructura está dada por la inclinación de la curva en la región elástica, es decir que a partir de la pendiente de la curva en la región elástica nosotros podemos conocer el modulo de elasticidad de un determinado material

Coeficiente de Poisson

El coeficiente de Poisson (v), nombrado en honor a Simeón Poisson, es una constante elástica que proporciona una medida del estrechamiento de sección de un prisma de material elástico lineal e isótropo cuando se estira longitudinalmente y se adelgaza en las direcciones perpendiculares a la de estiramiento.

Ensanchamiento por efecto Poisson del plano longitudinal medio de un prisma comprimido a lo largo de su eje, el grado de ensanchamiento depende del coeficiente de Poisson, en este caso se ha usado

Materiales isótropos

Si se toma un prisma mecánico fabricado en el material cuyo coeficiente de Poisson pretendemos medir y se somete este prisma a una fuerza de tracción aplicada sobre sus bases superior e inferior, el coeficiente de Poisson se puede medir como: la razón entre el alargamiento longitudinal producido divido por el acortamiento de una longitud situada en un plano perpendicular a la dirección de la carga aplicada. Este valor coincide igualmente con el cociente de deformaciones, de hecho la fórmula usual para el Coeficiente de Poisson es:

Para un material isótropo elástico perfectamente incompresible, este es igual a 0.5. La mayor parte de los materiales prácticos en la ingeniería rondan entre 0.0 y 0.5, aunque existen algunos materiales compuestos llamados materiales augéticos que tienen coeficiente de Poisson negativo. Termodinámicamente puede probarse que todo material tiene coeficientes de Poisson en el intervalo [-1, 0.5).

Ley de Hooke generalizada

Conociendo lo anterior se puede concluir que al deformarse un material en una dirección producirá deformaciones sobre los demás ejes, lo que a su vez producirá esfuerzos en todos lo ejes. Por lo que es posible generalizar la ley de Hooke como

Materiales ortotrópicos

Para materiales ortotrópicos como la madera el cociente entre la deformación unitaria de estiramiento y las deformaciones transversales a estas depende de la dirección de estiramiento, puede comprobarse que para un material ortotrópico el coeficiente de Poisson aparente puede expresarse en función de los coeficientes de Poisson asociados a tres direcciones mutuamente perpendiculares. De hecho entre las 12 constantes elásticas habituales que definen el comportamiento de un material elástico ortotrópico, sólo 9 de ellas son independientes ya que deben cumplirse las restricciones entre los coeficientes de Poisson principales y los módulos de Young principales:

Bibliografía

1 Física Principios con Aplicaciones 4 ª ed ,Douglas C. Giancoli Ed Prentice Hall2 Biofísica 3ª Ed , A.S. Frumento Ed Mosby Doyma libros 3 Física para las ciencias de la vida , Alan H. Cromer Ed Reverte4 Dra. Patricia Pérez , Clases del curso Biofisica Medica UCSC5 http://usuarios.lycos.es/pefeco/mas/mas1.htm6 www.wikipedia.com7 http://www.uia.mx/campus/publicaciones/fisica/pdf/8MAS-MCU.pdf8 http://www.rwc.uc.edu/koehler/biophys/2f.html9 ww.rinconsolidario.org/ciencias/biblioteca/asignaturas/fisicabach/mas.ht