Estudio de vigas elasticas
Estudio de vigas elasticasResistencia de materiales. IIntroduccin:Las estructuras sometidas a cargas pueden fallar de diversas maneras dependiendo del tipo de estructura, las condiciones de los soportes, los tipos de cargas y los materiales usados; por ejemplo, el eje de un vehculo puede fracturarse de repente debido a ciclos repetidos de carga o un miembro a traccin puede alargarse en forma excesiva, de manera que ya no pueda efectuar las funciones para las que fue diseado. Estos tipos de falla pueden prevenirse diseando las estructuras de modo que las tensiones mximas y los desplazamientos mximos permanezcan dentro de los lmites tolerables; por tanto la resistencia y la rigidez son factores importantes en el diseo.
RESUMEN:En la determinacin de la resistencia de una estructura a soportar cargas, interesa su estabilidadestructural;esdecir,sucapacidadparasoportarlassin experimentarun cambioensuconfiguracin,queproduzcafallascatastrficasodeformacionespermanentes. Los elementos cargados en compresin, por originar sta una condicin de equilibrio inestable, pueden fallar o colapsar por una flexin bajo compresin antes que se alcance la carga de fluencia. Este colapso se denomina pandeo y su estudio se basar en elementos prismticos verticales denominados columnas.
OBJETIVOS:Objetivo general:Estudiar y conocer el comportamiento elstico de columnas al ser sometidas a esfuerzos.Objetivos Especficos:Conocer acerca del comportamiento de las columnas al ser sometidas a esfuerzos de compresin, flexin, traccin y el movimiento lateral.Plasmar y conocer conceptos bsicos de estabilidad y pandeo producidos en las columnas.Tener un concepto ms amplio del diseo de columnas segn su comportamiento mostrado a cada uno de los diferentes esfuerzos aplicados.
MARCO TERICO:Columnas:
DIFERENCIA ENTRE LOS CUERPOS ELASTICOS Y LOS INELASTICOS. Los cuerpos elsticos son los cuerpos que despus de aplicarles una fuerza vuelven a su forma normal mientras que los inelsticos tienen su grado de elasticidad muy bajo y si los deforman no vuelven a su forma original. LEY DE HOOKE:
El signo menos es porque la fuerza es en oposicin a la deformacin.
k, varia mucho de acuerdo al material.Unidades:N/mF = kl
ESTABILIDAD Y PANDEO
La carga mxima que puede soportar una pieza sin dejar de funcionar satisfactoriamente en la estructura de la maquina (es decir, que no falle estructuralmente), est limitada por la deformacin elstica de la misma.
PANDEO INELSTICO:Se clasifican las columnas de acuerdo con la clase de esfuerzos : Las columnas largas y esbeltas se volvern inestables cuando el esfuerzo de compresin permanezca elstico.La falla que se presenta se llama inestabilidad elstica. Las columnas intermedias fallas por inestabilidad inelstica, que quiere decir que el esfuerzo de compresin en el momento de la falla es mayor que el lmite de proporcionalidad del material. Las columnas intermedias fallas por inestabilidad inelstica, que quiere decir que el esfuerzo de compresin en el momento de la falla es mayor que el lmite de proporcionalidad del material.En la siguiente figura observamos una columna ideal de longitud intermedia que se pandea inelsticamente.
Carga crtica
La transicin entre las condiciones estable e inestable ocurre para un valor especial de la fuerza axial conocido como carga crtica (identificada con el smbolo PctPrimero consideramos toda la estructura como un cuerpo libre y sumamos momentos con respecto al apoyo A.
Como el ngulo u es una cantidad pequea, el desplazamiento lateral del punto B es L/2.
AL SUTITUIR LAS ECUACINES ANTERIOES:
ESFUERZO CRTICO:Despus de determinar la carga critica para una columna, podemos calcular el esfuerzo crtico correspondiente al dividir la carga entre el rea de la seccin transversal. Para el caso fundamental de pandeo, el esfuerzo crtico es
En donde I es el momento de inercia para el eje principal con respecto al cual ocurre el pandeo.
En donde r es el radio de giro de la seccin transversal en el plano de flexin. Entonces la ecuacin para el esfuerzo critico se convierte en:
En donde L/r es una razn adimensional denominada relacin de esbeltez:
COLUMNAS CON EXTREMOS ARTICULADOS.Establecemos un sistema coordenado con el origen en el soporte A y con el eje x a lo largo del eje longitudinal de la columna.Cuando la carga axial P tiene un valor pequeo, la columna permanece perfectamente recta y experimenta compresin axial directa. Los nicos esfuerzos son los de compresin uniforme obtenidos con la ecuacin = P/A. El valor correspondiente de la carga es la carga crtica Pcr.
Solucin de la ecuacin diferencialPor conveniencia al escribir la solucin de la ecuacin diferencial, introducimos la notacin.
FORMULA DE EULEREn el ao 1757, el gran matemtico suizo Leonardo Euler realiz un anlisis terico de la carga crtica paracolumnasesbeltas basado en la ecuacin diferencial de la elstica:
Carga crtica de Euler : Al menor de los valores crticos de la carga axial se le denomina carga crtica de Euler para la columna, y se designa como PE:
La deformada que adopta la columna es:
Que es denominado primer modo de pandeo de la columna. Representa la forma en la que la columna colapsa cuando la carga axial llega a su valor crtico, es decir la forma en que la columna abandona su configuracin recta.
ESBELTEZ Se define la esbeltez de la columna como una magnitud adimensional igual al cociente entre su longitud y el radio de giro de su seccin:
Siendo r el radio de giro de la seccin recta de la columna:
La carga crtica de Euler puede ponerse en funcin de la esbeltez como:
Deflexin mximaLa deflexin mxima d producida por las cargas excntricas ocurre en la mitad de la columna y se obtiene igualando x a L/2 en la ecuacin.
O bien, despus de simplificar,
Esta ecuacin se puede escribir de manera ligeramente diferente reemplazando la cantidad k con su valor equivalente en trminos de la carga crtica
Por tanto, el termino adimensional kL se convierte en :
Momento flexionante mximoEl momento flexionaste mximo en una columna cargada de manera excntrica ocurre en el punto medio donde la deflexin es un mximo.
Sin embargo, como se explic antes, nuestras ecuaciones son vlidas solo cuando las deflexiones son pequeas y no se pueden emplear cuando la carga axial tiende a la carga crtica. No obstante, las ecuaciones anteriores y las grficas adjuntas indican el comportamiento general de las vigas-columnas.
EJERCICIO I.Una columna articulada de 2m de longitud y seccin cuadrada debe hacerse de madera. Suponiendo E= 13 GPa y perm = 12 MPa y usando un factor de seguridad de 2.5, para calcular la carga crtica de pandeo de Euler, determine el tamao de la seccin transversal s la columna debe soportar una carga de 100 kN.
EJERCICIO II
EJERCICIO III
EJERCICIO IV
EJERCICIO V.Cul es la mxima carga de compresin que se puede aplicar a un miembro de aleacin de aluminio en compresin de longitud L=4m, si se carga de forma que permita la libre rotacin de sus extremos y se debe aplicar un factor de seguridad de 1.5 contra falla por pandeo?
Concluciones: Se logr conocer el comportamiento elstico de columnas al ser sometidas a esfuerzos. Se logr tener una visin ms amplia y conocer acerca del comportamiento de las columnas al ser sometidas a esfuerzos de compresin, flexin, traccin y el movimiento lateral. Se logr plasmar y conocer conceptos bsicos de estabilidad y pandeo producidos en las columnas. Mediante ejemplos realizados en el presente informe se logr tener un concepto ms amplio del diseo de columnas segn su comportamiento mostrado a cada uno de los diferentes esfuerzos aplicados.
