El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman . Ejemplo Expresión analítica del producto escalar Ejemplo Expresión analítica del módulo de un vector Ejemplo
Descripción sobre el producto escalar entre dos vectores.
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El producto escalar de dos vectores es un número real que
resu l ta a l multipl icar el producto de sus módulos por el coseno del
ángulo que forman .
Ejemplo
Expresión anal ít ica del producto escalar
Ejemplo
Expresión anal ít ica del módulo de un vector
Ejemplo
Expresión anal ít ica del ángulo de dos vectores
Ejemplo
Condición anal ít ica de la ortogonal idad de dos vectores
Ejemplo
Interpretación geométrica del producto escalar
El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de
uno de el los por la proyección del otro sobre él .
Ejemplo
Hal lar la proyecc ión de l vector = (2 , 1) sobre e l vector = (−3,
4) .
Propiedades del producto escalar
1Conmutativa
2 Asociativa
3 Distributiva
4
El producto escalar de un vector no nulo por s í mismo
siempre es posit ivo.
Producto escalarDe Wikipedia, la enciclopedia libre
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En matemática, el producto escalar, también conocido como producto
interno, interior o punto (en inglés, dot product), es una operación definida sobre
dos vectores de un espacio euclídeo cuyo resultado es un número o escalar. Esta
operación permite explotar los conceptos de la geometría euclidiana tradicional:
longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar
puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en
general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales
dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.
1 Definición general 2 Definición geométrica del producto escalar en un espacio euclídeo real
o 2.1 Proyección de un vector sobre otro o 2.2 Ángulos entre dos vectores o 2.3 Vectores ortogonales o 2.4 Vectores paralelos o en una misma dirección
3 Observación 4 Propiedades del producto escalar 5 Expresión analítica del producto escalar 6 Norma o Módulo de un vector 7 Productos interiores definidos en espacios vectoriales usuales 8 Generalizaciones
o 8.1 Formas cuadráticas o 8.2 Tensores métricos
9 Referencias o 9.1 Véase también o 9.2 Bibliografía o 9.3 Enlaces externos
[editar] Definición general
El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio
vectorial es una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede
considerar una forma cuadrática definida positiva.
Un producto escalar se puede expresar como una aplicación
donde V es un espacio vectorial y es el cuerpo sobre el
que está definido V. debe satisfacer las siguientes condiciones:
1. Linealidad por la izquierda y por la derecha: , y
análogamente
2. Hermiticidad : ,
3. Definida positiva: , y si y sólo si x = 0,
donde son vectores de V, representan escalares del
Puede verificarse fácilmente que es ortogonal a los vectores y
efectuando el producto escalar y verificando que éste es nulo (condición de
perpendicularidad de vectores).
[editar] Propiedades
Cualesquiera que sean los vectores , y :
1. , (anticonmutatividad)
2. Si con y , ; esto es, la anulación del producto vectorial proporciona la condición de paralelismo entre dos direcciones.
3. .
4. , conocida como regla de la expulsión.
5. , conocida como identidad de Jacobi.
6. , en la expresión del término de la derecha, sería el módulo de los vectores a y b, siendo θ ,el ángulo menor entre los vectores y ; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.
7. El vector unitario es normal al plano que contiene a los vectores y .
[editar] Bases ortonormales y producto vectorial
Sea un sistema de referencia en el espacio vectorial . Se
dice que es una base ortonormal derecha si cumple con las siguientes condiciones:
1. ; es decir, los tres vectores son ortogonales entre sí.
2. ; es decir, los vectores son vectores unitarios (y por lo tanto, dada la propiedad anterior, son ortonormales).
3. , , ; es decir, cumplen la regla de la mano derecha.
El producto escalar de vectores permite determinar ángulos y distancias (véase
operador norma) de una forma fácil y directa. El producto vectorial proporciona un
modo para determinar ángulos y áreas de paralelogramos definidos por dos vectores
de una forma tal que permitirá expresar volúmenes fácilmente mediante el llamado
producto mixto de tres vectores.
En el espacio afín bidimensional, , el producto vectorial es una operación
externa, ya que da como resultado un vector que no pertenece al mismo espacio
vectorial, esto es al plano definido por los dos vectores que se operan, por ser un
vector perpendicular a dicho plano. En el espacio afín tridimensional, , el producto
vectorial es una operación interna.
[editar] Véase también
Producto escalar Doble producto vectorial Producto mixto Producto tensorial Espacio vectorial Combinación lineal Sistema generador Independencia lineal Base (álgebra) Base ortogonal Base ortonormal Coordenadas cartesianas
[editar] Referencias
[editar] Bibliografía
Ortega, Manuel R. (1989-2006) (en español). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.
Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001) (en inglés).
El producto vectorial de dos vectores es ot ro vector cuya
dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido ser ía