Bloque: Geometr´ ıa Tema: Vectores en el espacio tridimensional HEDIMA Espacio vectorial real Combinaci´on lineal de vectores Dependencia e indepen- dencia lineal Operaciones con vectores Producto escalar Producto vectorial Producto mixto Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matem´ aticas HEDIMA, Grupo de Innovaci´ on Did´ actica Departamento de Matem´ aticas Universidad de Extremadura
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auto-aprendizaje para Matem aticasmatematicas.unex.es/~pjimenez/hedima/10vectores.pdf · con vectores Producto escalar Producto vectorial Producto mixto Base de un espacio vectorial
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Consideremos un conjunto V = {u,v,w, ...}, en el que definimos lassiguientes operaciones:
Suma: u+ v
Producto por escalares: ku, (k ∈ R)
El conjunto V, con las operaciones suma y producto por escalares, es unespacio vectorial si se verifican las propiedades que veremos a continuacion
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Combinacionlineal devectores
Dependenciae indepen-dencialineal
Operacionescon vectores
Productoescalar
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Productomixto
Espacio vectorial real
Propiedades
Asociativa: (u+ v) +w = u+ (v +w)
Conmutativa: u+ v = v + u
Elemento neutro: existe un elemento que designaremos por 0, tal quecualquiera que sea el elemento u se verifica u+ 0 = u
Elemento opuesto: cualquiera que sea el elemento u, existe otro, −u(opuesto de u), tal que u+ (−u) = 0
k(u+ v) = ku +kv (k ∈ R)
(k + h)u = ku +hu (k, h ∈ R)
k(hu) = (kh)u (k, h ∈ R)
1u = u, donde 1 es el elemento unidad del conjunto de los numerosreales
A los elementos de V se les llama vectores
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Ejemplos de espacios vectoriales reales
Ejemplos de espacios vectoriales
Los conjuntos R2 = R × R; R3 = R × R × R;...;Rn = R × ...n × R,con las operaciones suma y producto por numeros reales. Por ejemplo,en el espacio vectorial R3, cada vector es una terna de numeros reales(x, y, z), y las operaciones suma y producto por un numero real λ son lassiguientes:
(x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x+ x′, y + y′, z + z′) λ · (x, y, z) = (λx, λy, λz)
El conjunto de las matrices de numeros reales de m = 2 filas y n = 3columnas, con las operaciones de suma de matrices y producto de unescalar por una matriz (valido tambien para otros valores de m y n).
El conjunto de los polinomios con coeficientes reales de grado menor oigual a n = 3, con las operaciones usuales de suma de polinomios yproducto de un polinomio por un numero real (valido tambien para otrosvalores de n).
El conjunto de funciones reales continuas definidas en el intervalo [0, 1],con las operaciones usuales de suma de funciones y producto de unafuncion por un numero real.
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Combinacion lineal de vectores
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Combinacion lineal de vectores
Definicion
Un vector u de V es combinacion lineal de los vectores u1,u2, ...,un de V,si puede expresarse ası:
u = a1u1 + a2u2 + ...+ anun,
siendo a1, a2, ..., an numeros reales.
Ejemplo
En el espacio vectorial R3, podemos escribir el vector (−4, 4, 32), comocombinacion lineal de los vectores: (2, 3, 4), (1, 0,−1) y (−1,−1, 3) de lasiguiente manera:
Sea V un espacio vectorial. Se dice que W es un subespacio vectorial deV, si se verifican las siguientes condiciones:
1 W es un subconjunto no vacıo de V
2 La suma de dos vectores de W es otro vector de W
3 El producto de un numero real por un vector de W es otro vector de W
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Ejemplo de subespacio engendrado
Ejemplo
En el espacio vectorial R3, consideremos el subconjunto W formado por losvectores cuya tercera componente es nula, es decir,
W = {(x, y, 0) : x, y ∈ R}.
W verifica:
1 Es un subconjunto no vacıo de R3, ya que, al menos, el vector nulopertenece a W
2 La suma de dos vectores de W es otro vector de W
3 El producto de un numero real cualquiera por un vector de W es otrovector de W
El conjunto W es un espacio vectorial con las operaciones suma y productopor un numero real usadas en el espacio vectorial R3. Por lo tanto, W es unsubespacio vectorial de R3.
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Subespacio engendrado
Definicion
Sea S = {u1,u2, ...,un} un conjunto de vectores de un espacio vectorial V.Se llama subespacio engendrado por S, y se le designa por L(S) o por< u1,u2, ...,un >, al subespacio vectorial formado por todas lascombinaciones lineales que se pueden hacer con los vectores de S, es decir:
L(S) = {a1u1 + a2u2 + ...+ anun}
Los vectores u1,u2, ...,un se dice que forman un sistema generador delespacio L(S)
Ejemplo
En el espacio vectorial R3, el subespacio vectorial engendrado por losvectores u = (1,−1, 3) y v = (2,−5, 6) es:
Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si al menos uno deellos se puede expresar como combinacion lineal de los restantes. En casocontrario se dice que son linealmente independientes.
Ejemplo
En el ejemplo que veıamos anteriormente, los vectores: (−4, 4, 32), (2, 3, 4),(1, 0,−1) y (−1,−1, 3) son linealmente dependientes pues el primero sepuede escribir como combinacion lineal del resto.
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Dependencia e independencia lineal
Otra forma de definir los conceptos anteriores es la siguiente:
Definicion
Los vectores u1,u2,...,un son linealmente dependientes si existe unacombinacion lineal de los vectores con algun coeficiente no nulo que sea igualal vector cero, es decir:
a1u1 + a2u2 + ...+ anun = 0,
con algun ai 6= 0,i = 1, ..., n.
Definicion
Los vectores u1,u2,...,un son linealmente independientes si cualquiercombinacion lineal de los vectores que sea igual al vector cero, tiene quetener todos los coeficientes nulos, es decir:
a1u1 + a2u2 + ...+ anun = 0,
solo es posible con todos los ai = 0, i = 1, ..., n.
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Dependencia e independencia lineal
Ejemplo
Supongamos que queremos estudiar la dependencia lineal en R3 del conjuntode vectores:
{(3, 3, 2), (1, 1,−1), (2, 2, 3)}.
Vamos a tratar de escribir un vector como combinacion lineal del resto:
(3, 3, 2) = a1(1, 1,−1) + a2(2, 2, 3)
Identificando las componentes, obtenemos el siguiente sistema:3 = a1 + 2a2
3 = a1 + 2a2
2 = −a1 + 3a2
La solucion de este sistema es a1 = 1 y a2 = 1, por tanto el vector (3, 3, 2)se puede escribir como combinacion lineal del resto y, en consecuencia, losvectores dados son linealmente dependientes.
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Base de un espacio vectorial
Definicion
Sea V un espacio vectorial y B un subconjunto de vectores de V. Se diceque B es una base de V si se verifican las siguientes condiciones:
B es un sistema generador de V
B es linealmente independiente
Definicion
Llamamos dimension del espacio V al numero de elementos que tienecualquiera de sus bases.
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Ejemplos de bases y dimensiones de espacios vectoriales
Ejemplos
1 El espacio vectorial R2 esta formado por pares de numeros reales (x, y).Tiene como base canonica B = {(1, 0), (0, 1)}, porque
B es sistema generador de R2 porque cualquier par de numeros reales(x, y) es combinacion de B: (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1).
B es linealmente independiente porque si x(1, 0) + y(0, 1) = (0, 0),entonces x = 0 e y = 0.
Por tanto, R2 tiene dimension 2.
2 El espacio vectorial R3 esta formado por ternas de numeros reales(x, y, z). Tiene como base canonica B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)},por lo que tiene dimension 3.
3 En R3, el espacio vectorial W engendrado por el vector u = (1, 2, 3)tiene por base al propio vector u, pues u es no nulo y genera todo elespacio W . Por tanto la dimension de W es 1.
4 La base mas sencilla del espacio vectorial de los polinomios de gradomenor o igual a 2 es {x2, x, 1} y por lo tanto tiene dimension 3.
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Coordenadas de un vector
Definicion
Sea V un espacio vectorial de dimension n y B = {u1,u2, ...,un} una basede V. Se llaman coordenadas de un vector v de V, respecto de la base B,al conjunto de numeros reales a1, a2, ..., an, que permite expresar el vector vcomo combinacion lineal de los vectores de la base, es decir:
v = a1u1 + a2u2 + ...+ anun
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Coordenadas de un vector
Ejemplo
En el espacio vectorial R3, vamos a calcular las coordenadas del vector(1, 0, 0), respecto de la base:
El producto escalar de dos vectores −→u y −→v se designa por −→u · −→v y seobtiene del siguiente modo:
−→u · −→v =
{|−→u ||−→v | cos(−→u ,−→v ), si −→u y −→v son no nulos
0 si −→u o −→v es el vector nulo
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Propiedades del producto escalar
1. El producto escalar de un vector por sı mismo es un numero positivo onulo: −→u · −→u ≥ 0
2. El producto escalar es conmutativo: −→u · −→v = −→v · −→u
3. Propiedad homogenea: k(−→u · −→v ) = (k−→u ) · −→v o k(−→u · −→v ) = −→u · (k−→v )siendo k ∈ R.
4. Propiedad distributiva respecto de la suma:−→u · (−→v +−→w ) = −→u · −→v +−→u · −→w
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Significado geometrico del producto escalar
Consideremos las figuras anteriores donde se representan los vectores −→u y−→v . Al proyectar el vector −→v sobre la direccion del vector −→u o viceversa,obtenemos:
Proyeccion de −→v sobre −→u = medida del segmento−→AB = |
−→AB| = vector
proyeccion de −→v sobre −→u
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Significado geometrico del producto escalar
El producto escalar de dos vectores cualesquiera −→u y −→v es igual almodulo de −→u por la proyeccion de −→v sobre −→u o viceversa:
−→u · −→v = |−→u ||−→v | cos(−→u ,−→v ) = |−→u |(proyeccion de −→v sobre −→u )
−→u · −→v = |−→u ||−→v | cos(−→u ,−→v ) = |−→v |(proyeccion de −→u sobre −→v )
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Calculo del modulo y el angulo de un vector
Calcularemos el modulo de un vector como la raız cuadrada positiva delproducto escalar del vector por sı mismo:
|−→u | =√−→u · −→u
Diremos que un vector −→u es unitario si tiene modulo igual a 1 (|−→u | = 1).
Calcularemos el coseno del angulo formado por dos vectores como la divisiondel producto escalar entre el producto de sus modulos:
cos(−→u ,−→v ) =−→u · −→v|−→u ||−→v |
Diremos que dos vectores −→u y −→v son ortogonales si su producto escalar es0.
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Expresion analıtica del producto escalar
Sea B = (−→u1,−→u2,−→u3) una base cualquiera y −→u ,−→v dos vectores
cualesquiera cuyas coordenadas en la base B son, respectivamente, (x, y, z) y(x′, y′, z′). Entonces el producto escalar de ambos vectores en terminos decoordenadas se puede expresar ası:
El producto vectorial de dos vectores −→u y −→v es otro vector que se designapor −→u ×−→v y que se obtiene del siguiente modo:
1 Si −→u y −→v son dos vectores no nulos, y no proporcionales, −→u ×−→v es unvector que tiene:
modulo: |−→u ||−→v | sin(−→u ,−→v )direccion: perpendicular a los vectores −→u y −→vsentido: el de avance de un sacacorchos que gira en sentido positivo de−→u a −→v .
2 Si −→u =−→0 o −→v =
−→0 o si −→u y −→v son proporcionales, entonces se tiene
y como |−→u ||−−→BB′| es el producto de la base por la altura del paralelogramo
OACB se tiene que el modulo del producto vectorial de −→u y −→v es igualal area del paralelogramo que tiene por lados los vectores −→u y −→v .
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Expresion analıtica del producto vectorial
Sea B = (−→u1,−→u2,−→u3) una base ortonormal y −→u ,−→v dos vectores
cualesquiera cuyas coordenadas en la base B son, respectivamente, (x, y, z) y(x′, y′, z′). Entonces el vector −→u ×−→v tiene las siguientes componentes:
−→u ×−→v =
(∣∣∣∣ y zy′ z′
∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ z xz′ x′
∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ x yx′ y′
∣∣∣∣) ,Podemos recordar lo anterior relacionandolo con el calculo de los
determinantes:
−→u ×−→v =
∣∣∣∣∣∣−→u1
−→u2−→u3
x y zx′ y′ z′
∣∣∣∣∣∣(El ultimo determinante solo es una regla para recordar el calculo de una
producto vectorial, puesto que no tiene sentido matematico el determinantede una matriz cuyos elementos sean vectores mezclados con numeros)
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Ejemplo de producto vectorial
Ejemplo
El producto vectorial de los vectores (1, 2, 3) y (0, 3, 5) da como resultado:
Como |−→u || cos( −→u ,−→v ×−→w )| = |−−→OH| es la altura del paralelepıpedo
construido sobre los tres vectores, y como |−→v ×−→w | es el area de la base,resulta que:
|[−→u ,−→v ,−→w ]| = base · altura = volumen.
El valor absoluto del producto mixto de tres vectores es igual alvolumen del paralelepıpedo que tiene por aristas a los tres vectores.
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Expresion analıtica del producto mixto
Sea B = (−→u1,−→u2,−→u3) una base ortonormal y −→u ,−→v ,−→w tres vectores
cualesquiera cuyas coordenadas en la base B son, respectivamente, (x, y, z),(x′, y′, z′) y (x′′, y′′, z′′). Entonces el producto mixto [−→u ,−→v ,−→w ] tiene lasiguiente expresion analıtica:
[−→u ,−→v ,−→w ]
= −→u · (−→v ×−→w )
= (x−→u + y−→v + z−→w ) ·(∣∣∣∣ y′ z′
y′′ z′′
∣∣∣∣−→u +
∣∣∣∣ z′ x′
z′′ x′′
∣∣∣∣−→v +
∣∣∣∣ x′ y′
x′′ y′′
∣∣∣∣−→w)= x
∣∣∣∣ y′ z′
y′′ z′′
∣∣∣∣+ y
∣∣∣∣ z′ x′
z′′ x′′
∣∣∣∣+ z
∣∣∣∣ x′ y′
x′′ y′′
∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣x y zx′ y′ z′
x′′ y′′ z′′
∣∣∣∣∣∣ = det(−→u ,−→v ,−→w )
es decir,[−→u ,−→v ,−→w ] = det(−→u ,−→v ,−→w )
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Ejemplo
El producto mixto de los vectores (0, 1, 3), (2, 4, 6) y (1, 2, 1) es: