Eksponencijalna distribucija i Poissonov proces

Sveuciliste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Diplomski studij matematike, smjer: Financijska matematika i statistika

Doris Aleksov

Eksponencijalna distribucija i Poissonov proces

Diplomski rad

Osijek, 2021.

Sveuciliste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Diplomski studij matematike, smjer: Financijska matematika i statistika

Doris Aleksov

Eksponencijalna distribucija i Poissonov proces

Diplomski rad

Mentor: izv. prof. dr. sc. Nenad Suvak

Osijek, 2021.

Sadrzaj

1 Uvod 4

2 Eksponencijalna distribucija 52.1 Svojstva eksponencijalne distribucije . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Svojstvo odsustva memorije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.2 Svojstvo eksponencijalne utrke . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Poissonova distribucija 123.1 Svojstva Poissonove distribucije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Poissonov proces 164.1 Procesi brojanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2 Definicija Poissonovog procesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.3 Medudolazna vremena i vremena cekanja . . . . . . . . . . . . . . . 194.4 Svojstva Poissonovog procesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 Generalizacije Poissonovog procesa 235.1 Nehomogeni Poissonov proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.1.1 Hawkesov proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2 Slozeni Poissonov proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.2.1 Cramer-Lundbergov model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.3 Uvjetni Poissonov proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6 Literatura 34

7 Zivotopis 36

1 Uvod

U izradi matematickog modela za fenomene iz stvarnog svijeta uvijek je potrebnoiznijeti odredene pojednostavljujuce pretpostavke kako bi provedba matematickihizracuna bila izvediva. Medutim, ne mozemo iznijeti previse pojednostavljujucihpretpostavki jer zakljucci, dobiveni matematickim modelima, ne bi bili primje-njivi na stvarne situacije. Dakle, moramo napraviti dovoljno pojednostavljujucihpretpostavki kako bi bili u mogucnosti baviti se matematickim izracunima, ali ne itoliko pretpostavki da matematicki model vise ne podsjeca na fenomen iz stvarnogsvijeta. Jedna cesta pretpostavka je pretpostavka da su odredene slucajne vari-jable eksponencijalno distribuirane. Razlozi tome su sto je s eksponencijalnomdistribucijom relativno lako raditi te je cesto vrlo dobra aproksimacija stvarneraspodjele, primjerice vremena cekanja izmedu realizacije dvaju dogadaja.

Svojstvo eksponencijalne distribucije koje olaksava analizu je svojstvo zaborav-ljanja. Pod time podrazumijevamo da ako je zivotni vijek promatranog objektaeksponencijalno distribuiran, odnosno ako smo vec cekali vise od t jedinica vre-mena onda je vjerojatnost da moramo cekati jos s jedinica vremena jednaka kaoda u pocetku nismo uopce ni cekali. Formalno cemo definirati ovakvo ponasanjekasnije gdje cemo pokazati da je eksponencijalna distribucija jedina distribucijakoja posjeduje navedeno svojstvo.

Takoder, proucit cemo i procese brojanja s naglaskom na proces poznat kao Poisso-nov proces. Izmedu ostaloga povezat cemo Poissonov proces s eksponencijalnomdistribucijom.

4

2 Eksponencijalna distribucija

Eksponencijalna distribucija cesto se javlja kod slucajnih varijabli koje imajuznacenje cekanja do pojave nekog dogadaja ako se karakteristike ne mijenjajutijekom vremena, primjerice vrijeme do pojave zelenog svjetla na semaforu. Defi-nirajmo sada eksponencijalnu distribuciju i osnovna svojstva eksponencijalne dis-tribucije.

Definicija 2.1. Za neprekidnu slucajnu varijablu kazemo da ima eksponenci-jalnu distribuciju s parametrom λ > 0, ako je funkcija gustoce dana izrazom

f(x) =

{0 x < 0

λe−λx x ≥ 0.

Funkcija distribucije te slucajne varijable dana je izrazom

F (x) =

{0 x < 0

1− e−λx x ≥ 0.

Ilustrirajmo primjerom neprekidnu slucajnu varijablu koja ima eksponencijalnudistribuciju.

Primjer 1. Vrijeme u sekundama koje protekne od servisa do prvog udarca teniskeloptice u tlo modelirano je eksponencijalnom slucajnom varijablom s parametromλ = 1/3. Vjerojatnost da ce od servisa do prvog udara teniske loptice u tlo procivise od dvije, ali najvise cetiri sekunde, racunamo na sljedeci nacin:

P (2 < X ≤ 4) = P (X ≤ 4)− P (X ≤ 2) =1

3

∫ 4

2

e−x/3 dx ≈ 0.249.

�

Pogledajmo sada kako izgledaju ocekivanje i varijanca eksponencijalne slucajnevarijable. Parcijalnom integracijom, pri cemu su u = x i dv = λe−λx, dobivamoocekivanje eksponencijalno distribuirane slucajne varijable:

E[X] =

∫ ∞−∞

xf(x) dx =

∫ ∞0

λxe−λx dx

= −xe−λx∣∣∣∣∣∞

0

+

∫ ∞0

e−λx dx =1

λ.

Takoder, parcijalnom integracijom, pri cemu su u = x2 i dv = λe−λx, dobivamo

E[X2] =

∫ ∞−∞

x2f(x) dx =

∫ ∞0

λx2e−λx dx

= −x2e−λx∣∣∣∣∣∞

0

+

∫ ∞0

2xe−λx dx =2

λ.

5

Odavde slijedi kako je varijanca eksponencijalno distribuirane slucajne varijable:

V ar(X) = E[X2]− (E[X])2

=2

λ2− 1

λ2=

1

λ2.

Do ovih smo rezultata mogli doci i na drugaciji nacin, primjerice koristenjemfunkcije izvodnice momenata.

Definicija 2.2. Funkcija izvodnica momenata φ(t) slucajne varijable X defi-nira se za sve vrijednosti t kao

φ(t) = E[etX ]

=

{∑x e

txp(x), ako je X diskretna slucajna varijabla∫∞−∞ e

txf(x) dx, ako je X neprekidna slucajna varijabla,

ako prethodna suma, odnosno prethodni integral, aposlutno konvergiraju.

U prethodnoj definiciji, ako je X diskretna slucajna varijabla oznacimo skup svihvrijednosti koje ona moze primiti odnosno sliku slucajne varijable X kao R(X) ={xi, i ∈ I}, I ⊆ N, a pripadne vjerojatnosti nizom brojeva (p(i), i ∈ I) za kojevrijedi p(i) = P (X = xi), za koji vrijede svojstva:

1) 0 ≤ p(i) ≤ 1, za svaki i ∈ N,

2)∑∞

i=1 p(i) = 1.

Funkcija izvodnica momenata za eksponencijalnu distribuciju dana je izrazom

φ(t) = E[etX ] =

∫ ∞0

etxλe−λx dx =λ

λ− t, za sve t < λ.

Ocekivanje eksponencijalne slucajne varijable sada mozemo racunati kao

E[X] =d

dtφ(t)

∣∣∣∣t=0

=λ

(λ− t)2

∣∣∣∣t=0

=1

λ,

dok nam je za varijancu takoder potrebno i

E[X2] =d2

dt2φ(t)

∣∣∣∣t=0

=2λ

(λ− t)3

∣∣∣∣t=0

=2

λ2.

Odavde slijedi kako je varijanca eksponencijalno distribuirane slucajne varijable

V ar(X) = E[X2]− (E[X])2 =2

λ2− 1

λ2=

1

λ2.

U nastavku cemo iskazati i dokazati neka vazna svojstva eksponencijale distribu-cije.

6

2.1 Svojstva eksponencijalne distribucije

2.1.1 Svojstvo odsustva memorije

Tradicionalno je formulirati ovo svojstvo na primjeru cekanja nepouzdanog vozacaautobusa. Odnosno, ”ako smo vec cekali vise od t jedinica vremena onda je vjero-jatnost da moramo cekati jos s jedinica vremena jednaka kao da u pocetku nismouopce ni cekali”. Zapisimo ovo matematicki kao

P (T > t+ s|T > t) = P (T > s).

Kako bismo ovo i dokazali prisjetimo se da ako je B ⊂ A onda je P (B|A) =P (B)/P (A) te je stoga

P (T > t+ s|T > t) =P (T > t+ s)

P (T > t)=e−λ(t+s)

e−λt= e−λs = P (T > s),

pri cemu smo koristili cinjenicu da je es+t = eset.

Ne samo da eksponencijalna distribucija ima svojstvo odsustva memorije, vec jejedinstvena distribucija koja posjeduje ovo svojstvo. Kako bismo to i dokazali,pretpostavimo da X posjeduje odsustvo memorije i neka je

F (x) = P (X > x),

F (s+ t) = F (s)F (t).

Neka je g zdesna neprekidna funkcija za koju je

g(s+ t) = g(s)g(t).

Tada je

g

(2

n

)= g

(1

n+

1

n

)= g2

(1

n

).

Ponavljajuci postupak dobivamo

g(mn

)= gm

(1

n

).

Takoder vrijedi i

g(1) = g

(1

n+

1

n+ · · ·+ 1

n

)= gn

(1

n

),

odnosno

g

(1

n

)= (g(1))

1n .

Stoga je

g(mn

)= (g(1))

mn ,

7

sto implicira, kako je g neprekidna zdesna, da je

g(x) = (g(1))x.

Kako je

g(1) =

(g

(1

2

))2

≥ 0

zakljucujemo da jeg(x) = e−λx

rjesenje gornje jednadzbe, gdje je

λ = − log(g(1)).

S obzirom na to da znamo da je funkcija distribucije uvijek neprekidna zdesnaimamo

F (x) = e−λx,

odnosnoF (x) = P (X ≤ x) = 1− e−λx,

cime smo dokazali da je X eksponencijalno distribuirana slucajna varijabla.

Primjer 2. Pretpostavimo da se vrijeme koje osoba provede u banci moze opi-sati eksponencijalnom distribucijom s parametrom λ = 1

10(parametar predstavlja

ocekivano vrijeme cekanja). Kolika je vjerojatnost da osoba provede barem 15 mi-nuta u banci? Kolika je vjerojatnost da ce osoba provesti barem 15 minuta u banciako znamo da je u banci i nakon 10 minuta?

Neka X modelira slucajnu varijablu koja predstavlja vrijeme koje je osoba provelau banci. Tada je odgovor na prvo pitanje

P (X ≥ 15) = e−15λ = e−3/2 ≈ 0.22.

U drugom pitanju trazi se informacija kolika je vjerojatnost da osoba koja je ubanci vec 10 minuta, u banci provede jos najmanje 5 minuta. Kako znamo da eks-ponencijalna distribucija ne pamti da je osoba vec provela 10 minuta u banci, ovavjerojatnost jednaka je onoj da osoba koja ulazi u banku u njoj provede najmanje5 minuta sto je jednako

P (X ≥ 5) = e−5λ = e−1/2 ≈ 0.604.

�

8

2.1.2 Svojstvo eksponencijalne utrke

Neka su S i T nezavisne slucajne varijable s eksponencijalom distribucijom s pa-rametrima λ i µ, redom. Kako bi minimum slucajnih varijabli S i T bio veci odt, obje slucajne varijable S i T moraju biti vece od t. Koristeci navedeno kao ipretpostavku o nezavisnosti imamo

P (min{S, T} > t) = P (S > t, T > t) = P (S > t)P (T > t)

= e−λte−µt = e−(λ+µ)t.

Vidimo damin{S, T} ima eksponencijalnu distribuciju s parametrom λ+µ. Opcenito,ovo mozemo primijeniti i na niz nezavisnih slucajnih varijabli T1, · · ·, Tn gdje jeslucajna varijabla Ti eksponencijalna s parametrom λi

P (min{T1, ..., Tn} > t) = P (T1 > t, ..., Tn > t)

=n∏i=1

P (Ti > t) =n∏i=1

e−λit

= e−(λ1+···+λn)t.

Vidimo da min{T1, ..., Tn} ima eksponencijalnu distribuciju s parametrom

λ1 + · · ·+ λn.

Vratimo se na slucaj dvije slucajne varijable, rasclanjujemo prema vrijednosti S,a zatim pomocu nezavisnosti funkcije gustoce i funkcije distribucije zakljucujemo:

P (S < T ) =

∫ ∞0

P (S < T |S = s)fS(s) ds =

∫ ∞0

fS(s)P (T > s) ds

=

∫ ∞0

λe−λse−µs ds =λ

λ+ µ

∫ ∞0

(λ+ µ)e−(λ+µ)s ds

=λ

λ+ µ,

gdje smo u zadnjem koraku iskoristili cinjenicu da je (λ + µ)e−(λ+µ)s funkcijagustoce pa je stoga njezin integral jednak 1.

Primjer 3. Pretpostavimo da imamo dva monitora (nezavisna): jedan u ureduzivotnog vijeka X1, jedan kod kuce zivotnog vijeka X2. X1 i X2 su eksponencijalnodistribuirane s parametrima λ1 = 0.25 i λ2 = 0.5, redom. Kada se jedan od njihpokvari potrebno je odmah naruciti novi monitor. Koja je vjerojatnost da ce semonitor u uredu prvi pokvariti?

P (X1 < X2) =λ1

λ1 + λ2=

0.25

0.25 + 0.5=

1

3.

�

9

Propozicija 2.1. Ako su T1, ..., Tn nezavisne eksponencijalno distribuirane slucajnevarijable gdje je slucajna varijabla Ti eksponencijalna s parametrom λi, onda je

P (Ti = min{T1, ..., Tn}) =λi

λ1 + · · ·+ λn.

Dokaz. Neka je S = Ti i neka je U minimum od {Tj, j = 1, . . . , n, j 6= i}. Znamoda je U eksponencijalna slucajna varijabla s parametrom µ = (λ1 + · · ·+λn)−λi,pa koristenjem rezultata o dvije slucajne varijable slijedi

P (Ti = min{T1, ..., Tn}) = P (S < U) =λi

λi + µ=

λiλ1 + · · ·+ λn

,

cime dokazujemo propoziciju. Q.E.D.

Primjer 4. Pretpostavimo da osoba stigne u banku s dva sluzbenika te su oba za-uzeta, ali nitko drugi ne ceka u redu. Osoba dolazi na red kada jedan od sluzbenikapostane slobodan. Ako su vremena sluzbenika banke za obradu klijenta eksponen-cijalno distribuirana s parametrima λ1 i λ2 redom za prvog i drugog sluzbenika,odredimo E[T ] gdje T predstavlja kolicinu vremena koju je osoba provela u banci.Neka Ri modelira preostalo vrijeme potrebno da sluzbenik banke i obradi klijenta,i = 1, 2. Valja napomenuti kako su zbog svojstva odsustva memorije R1 i R2

nezavisne eksponencijalne slucajne varijable s pripadnim koeficijentima λ1 i λ2(brzinama obrade klijenata). Slijedi:

E[T ] = E[T |R1 < R2]P (R1 < R2) + E[T |R2 ≤ R1]P (R2 ≤ R1)

= E[T |R1 < R2]λ1

λ1 + λ2+ E[T |R1 < R2]

λ2λ1 + λ2

.

Sada, neka S oznacava vrijeme cekanja osobe da dode na red

E[T |R1 < R2] = E[R1 + S|R1 < R2]

= E[R1|R1 < R2] + E[S|R1 < R2]

= E[R1|R1 < R2] +1

λ1

=1

λ1 + λ2+

1

λ1.

Kako je R1 < R2, slucajna varijabla R1 je minimum od R1 i R2 pa je stogaeksponencijalna sa koeficijentom λ1 +λ2. U ovom slucaju klijent dolazi na red kodsluzbenika 1. Slicno,

E[T |R2 < R1] =1

λ1 + λ2+

1

λ2

pa dobivamo rezultat

E[T ] =3

λ1 + λ2.

10

Drugi nacin na koji bismo mogli izracunati E[T ] je da T zapisemo kao sumu.

E[T ] = E[min(R1, R2) + S] = E[min(R1, R2)] + E[S]

=1

λ1 + λ2+ E[S]

pri cemu je

E[S] = E[S|R1 < R2]λ1

λ1 + λ2+ E[S|R2 ≤ R1]

λ2λ1 + λ2

=2

λ1 + λ2.

�

11

3 Poissonova distribucija

U ovom cemo poglavlju definirat Poissonovu distribuciju, pokazati kako Poisso-nova distribucija proizlazi iz binomne distribucije te navesti osnovna svojstva.

Prije svega definirajmo binomnu distribuciju. Ona je vezana uz nezavisno ponav-ljanje uvijek istog pokusa. Ako nas pri svakom izvodenju pokusa zanima samoje li se neki dogadaj dogodio (uspjeh) ili nije (neuspjeh), onda svako izvodenjepokusa mozemo modelirati Bernoullijevom distribucijom

Y =

(0 1

q p

), p ∈ 〈0, 1〉, q = 1− p,

gdje p predstavlja vjerojatnost uspjeha. Pretpostavljamo da pokus ponavljamonezavisno n puta i pri tome nas zanima broj uspjeha. Za slucajnu varijablu X kojaopisuje broj uspjeha u n nezavisnih ponavljanja slucajnog pokusa modeliranogBernoullijevom slucajnom varijablom Y kazemo da ima binomnu distribuciju sparametrima n i p.

Definicija 3.1. Neka je n ∈ N i p ∈ 〈0, 1〉. Za slucajnu varijablu koja primavrijednosti iz skupa {0, 1, 2, ..., n} s vjerojatnostima

pi = P (X = i) =

(n

i

)pi(1− p)n−i

kazemo da ima binomnu distribuciju s parametrima n i p.

Ocekivanje i varijanca binomne slucajne varijable X dani su s

E[X] = np,

V ar(X) = np(1− p).

Primjer 5. Poznato je da ce bilo koji proizvod proizveden od odredenog stroja bitiostecen s vjerojatnoscu 0.1, neovisno o bilo kojoj drugoj stavci. Kolika je vjero-jatnost da u uzorku od tri proizvoda, najvise jedan bude neispravan?

Neka je X slucajna varijabla kojom modeliramo broj neispravnih proizvoda kojeproizvodi odredeni stroj. X je binomno distribuirana slucajna varijabla s parame-trima 3 i 0.1. Stoga je zeljena vjerojatnost dana

P (X = 0) + P (X = 1) =

(3

0

)(0.1)0(0.9)3 +

(3

1

)(0.1)1(0.9)2 = 0.972.

�

12

Poissonova distribucija, slicno kao i binomna, moze se primijeniti kao distribucijaslucajne varijable koja broji uspjehe, ali ne pri nezavisnom ponavljanju pokusakonacno mnogo puta, nego u jedinicnom vremenskom intervalu ako pokus zado-voljava sljedece uvijete:

- vjerojatnost da se pojavi uspjeh ne ovisi o tome u kojem ce se jedinicnom inter-valu dogoditi,

- broj uspjeha u jednom intervalu neovisan je o broju uspjeha u drugom intervalu,

- ocekivani broj uspjeha isti je za sve jedinicne intervale i dan je pozitivnim real-nim brojem λ.

Definicija 3.2. Slucajna varijabla X ima Poissonovu distribuciju s parame-trom λ > 0 ako prima vrijednosti iz skupa {0, 1, 2, ...} s vjerojatnostima

pi = P (X = i) = e−λλi

i!.

Ocekivanje slucajne varijable X koja ima Poissonovu distribuciju s parametrom λracunamo na sljedeci nacin

E[X] =∞∑i=0

ie−λλi

i!=∞∑i=1

e−λλi

(1− i)!= λe−λ

∞∑i=1

λi−1

(i− 1)!

= λe−λ∞∑k=0

λk

k!= λe−λeλ = λ,

gdje smo iskoristili identitet∑∞

k=0λk

k!= eλ.

13

3.1 Svojstva Poissonove distribucije

Kako je ovo prvi puta da spominjemo Poissonovu distribuciju, sada cemo iskazatii dokazati neka njezina svojstva.

Teorem 3.3. Za proizvoljan k ≥ 1 je

E[X(X − 1) · · · (X − k + 1)] = λk,

pa je V ar(X) = λ.

Dokaz. Kako je X(X − 1) · · · (X − k + 1) = 0 za X ≤ k, slijedi da je

E[X(X − 1) · · · (X − k + 1)] =∞∑j=k

e−λλj

j!j(j − 1) · · · (j − k + 1)

= λk∞∑j=k

e−λλj−k

(j − k)!= λk.

Koristeci V ar(X) = E[X(X − 1)] + E[X]− (E[X])2 zakljucujemo

V ar(X) = λ2 + λ− (λ)2 = λ.

Q.E.D.

Teorem 3.4. Ako su Xi nezavisne Poissonove slucajne varijable s intenzitetomλi onda vrijedi da je X1 + · · ·+Xk Poissonova s intenzitetom λ1 + · · ·+ λn.

Dokaz. Dovoljno je pokazati za k = 2, generalizacija slijedi induktivno.

P (X1 +X2 = n) =n∑

m=0

P (X1 = m)P (X2 = n−m)

=n∑

m=0

e−λ1(λ1)

m

m!· e−λ2 (λ2)

n−m

(n−m)!.

Zadnji izraz mozemo zapisati na sljedeci nacin:

e−(λ1+λ2)((λ1) + λ2)

n

n!

n∑m=0

(n

m

)(λ1

λ1 + λ2

)m(λ2

λ1 + λ2

)n−m.

Zbog normiranosti binomne distribucije s parametrima n i p, gdje je p = λ1/(λ1 +λ2). Izraz koji prethodi sumi je zeljena tvrdnja. Q.E.D.

Aproksimirajmo sada Poissonovu distribuciju binomnom distribucijom.

Pretpostavimo da svaki student na Odjelu za matematiku baca simetrican novcics vjerojatnoscu λ/n, kako bi odlucio zeli li otici do kantine izmedu 12:15 i 12:16.Vjerojatnost da se tocno k studenata odlucilo otici do kantine tijekom tocno jedneminute dana je binomnom distribucijom s parametrima n i λ/n

pk(n) =n(n− 1) · · · (k + 1)

k!·(λ

n

)k·(

1− λ

n

)n−k14

Teorem 3.5. Za fiksan λ > 0, binomna distribucija s parametrima n i λ/n ko-nvergira prema Poissonovoj distribuciji s parametrom λ kada n → ∞. Drugimrijecima, vrijedi

limn→∞

pk(n) =λk

k!e−λ,

gdje je

pk(n) =

(n

k

)(λ

n

)k (1− λ

n

)n−k=n(n− 1) · · · (n− k + 1)

k!·(λ

n

)k·(

1− λ

n

)n−k,

(1)

pa je za veliki n

pk(n) ≈ λk

k!e−λ.

Dokaz. Prilagodbom (1) dobivamo

λk

k!· n(n− 1) · · · (n− k + 1)

nk·(

1− λ

n

)n·(

1− λ

n

)−k. (2)

Ukoliko (2) rastavimo na cetiri odvojena izraza imamo

i) λk!/k! ne ovisi o n.

ii) Imamo k faktora u brojniku i k faktora u nazivniku pa drugi izraz u produktu(2) mozemo zapisati na sljedeci nacin

n

n· n− 1

n· · · n− k + 1

n.

Za svaki j imamo (n − j)/n → 1 kada n → ∞, pa drugi izraz konvergiraprema 1 kada n→∞.

iii) Pogledajmo sada: (1− λ

n

)n→ e−λ, n→∞.

Prisjetimo se sada da je

log(1− x) = −x+ x2/2 + · · ·,

pa imamo n log(1− λ/n) = −λ+ λ2/n+ · · · → λ kada n→∞.

iv) Kako λ/n→ 0, pa 1− λ/n→ 1. Slijedi(1− λ

n

)−k→ 1−k = 1.

Sada vidimo da (2) konvergira prema

λk

k!· 1 · e−λ · 1,

sto je upravo zakon razdiobe Poissonove distribucije s parametrom λ. Q.E.D.

15

4 Poissonov proces

4.1 Procesi brojanja

Stohasticki proces {N(t), t ≥ 0} je proces brojanja (brojac) ako N(t) reprezentiraukupan broj dogadaja koji se dogodio zakljucno s vremenom t. Neki od primjeraprocesa brojanja su sljedeci:

Primjer 6.

a) Neka je N(t) broj osoba koje udu u banku do trenutka t ukljucujuci i njega.Tada je {N(t), t ≥ 0} proces brojanja u kojemu dogadaj odgovara ulaskuosobe u banku. Primijetimo da ako je N(t) jednak broju osoba u banci utrenutku t, proces {N(t), t ≥ 0} nije proces brojanja.

b) Uzmimo da je svaki puta kada se dijete rodi promatrani dogadaj. Tada je{N(t), t ≥ 0} proces brojanja kada god je N(t) jednak ukupnom broju osobakoje su rodene do trenutka t.

c) Ako je N(t) jednak broju ostvarenih golova rukometnog igraca do trenutka t,onda je {N(t), t ≥ 0} proces brojanja. Primijetimo da se dogadaj u ovomslucaju realizira kada god je rukometni igrac zabio gol.

�

S obzirom na to kako je proces brojanja definiran logicno je da N(t) mora zado-voljavati sljedece:

i) N(t) ≥ 0

ii) N(t) je cjelobrojna vrijednost

iii) Ako je s < t, onda je N(s) ≤ N(t)

iv) Za s < t, razlika N(t)−N(s) je jednaka broju dogadaja koji su se dogodilina intervalu 〈s, t].

Proces brojanja posjeduje svojstvo nezavisnosti prirasta ako su dogadaji koji suse dogodili u medusobno disjunktnim intervalima medusobno nezavisni. Pretpos-tavka o nezavisnosti prirasta prirodna je u Primjeru 5. a), medutim u primjeru b)nije sasvim ocita. Razlog tome je sto ako je N(t) velik moguce je da ima mnogorodenih u trenutku t sto bi vodilo do zakljucka da je broj novih rodenja na inter-valu 〈t, t+ s] takoder velik (ne cini se razumnim da je N(t) nezavisan od N(t+ s),pa {N(t), t ≥ 0} ne bi imao nezavisne priraste). U primjeru c) pretpostavka onezavisnosti prirasta bila bi opravdana ako razmislimo da broj zabijenih golovarukometasa u danasnjoj utakmici ne ovisi o broju zabijenih golova u prethodnimutakmicama.

Proces brojanja posjeduje svojstvo stacionarnosti prirasta ako distribucija do-gadaja koji su se dogodili u bilo kojem vremenskom intervalu ovisi samo o duljini

16

vremenskog intervala. Drugim rijecima, proces ima stacionarne priraste ako brojdogadaja koji su se dogodili u intervalu (s, s + t) imaju istu distribuciju za svakis. Pretpostavka o stacionarnosti prirasta u primjeru a) ima smisla jedino akopretpostavimo da je jednako vjerojatno da osoba ude u banku u svakom trenutkudana. Primjerice, da je guzva u banci svaki dan (npr. izmedu 14 i 16 sati), pretpos-tavka o stacionarnosti prirasta ne bi imala smisla. Ako vjerujemo da je populacijaplaneta Zemlje podjednaka cijelo vrijeme (sto nije podrzano od vecine znanstve-nika), onda bi pretpostavka o stacionarnosti prirasta imala smisla u primjeru b).Stacionarnost prirasta nije smislena za pretpostaviti u primjeru c) jer, kao sto bise vecina ljudi slozila, prosjecan igrac rukometa vjerojatno bi postigao vise golovaizmedu svoje 20. i 25. godine zivota nego sto bi ih postigao izmedu svoje 35. i40. godine zivota. Pretpostavka o stacionarnosti prirasta u ovom slucaju imala bismisla kada bi promatrali manji period, primjerice od jedne godine.

4.2 Definicija Poissonovog procesa

Jedan od najvaznijih procesa brojanja je upravo Poissonov proces. Prije negoformalno damo definiciju Poissonovog procesa, definirajmo pojam funkcije f(·)koja je tipa o(h).

Definicija 4.1. Funkcija f(·) je tipa o(h) ako je

limh→0

f(h)

h= 0.

Primjer 7.

a) Funkcija f(x) = x3 je tipa o(h) obzirom da je

limh→0

f(h)

h= lim

h→0

h3

h= lim

h→0h2 = 0.

b) Funkcija f(x) = x nije tipa o(h) obzirom da je

limh→0

f(h)

h= lim

h→0

h

h= lim

h→01 6= 0.

c) Ako su f i g tipa o(h), onda je i f + g tipa o(h) obzirom da je

limh→0

f(h) + g(h)

h= lim

h→0

f(h)

h+ lim

h→0

g(h)

h= 0 + 0 = 0.

d) Ako je f tipa o(h), onda je i g = cf, c ∈ R, tipa o(h) obzirom da je

limh→0

cf(h)

h= c lim

h→0

g(h)

h= c · 0 = 0.

e) Iz c) i d) slijedi da je svaka linearna kombinacija funkcija koje su tipa o(h)takoder tipa o(h).

17

Notacija o(h) omogucava preciznije iznosenje tvrdnji. Primjerice, neka je X ne-prekidna slucajna varijabla s gustocom f i funkcijom intenziteta λ(t). Aproksimi-rajuce tvrdnje

P (t < X < t+ h) ≈ f(t)h

P (t < X < t+ h|X > t) ≈ λ(t)h, h > 0

mogu biti preciznije izrazene kao

P (t < X < t+ h) = f(t)h+ o(h)

P (t < X < t+ h|X > t) = λ(t)h+ o(h).

Sada mozemo definirati Poissonov proces.

Definicija 4.2. Proces brojanja {N(t), t ≥ 0} je Poissonov proces s intenzite-tom λ > 0 ako vrijedi:

i) N(0) = 0,

ii) {N(t), t ≥ 0} ima nezavisne priraste,

iii) P (N(t+ h)−N(t) = 1) = λh+ o(h),

iv) P (N(t+ h)−N(t) ≥ 2) = o(h).

Interpretacija svojstava iz definicije Poissonovog procesa:

iii) Vjerojatnost jedne realizacije promatranog dogadaja u kratkom vremenskomintervalu (h) priblizno je proporcionalna duljini tog intervala.

iv) Kad duljina intervala h tezi u nulu, vjerojatnost da se promatrani dogadajrealizira barem dva puta tezi u nulu.

18

4.3 Medudolazna vremena i vremena cekanja

Promotrimo Poissonov proces i oznacimo vrijeme realizacije prvog dogadaja sa τ1.Nadalje, za n > 1 neka τn oznacava proteklo vrijeme izmedu (n − 1)-og i n-togdogadaja. Niz {τn, n = 1, 2, ...} zovemo nizom medudolaznih vremena. Primjerice,ako su τ1 = 5 i τ2 = 10, onda je prvi dogadaj koji bi Poissonov proces zabiljeziobio u trenutku 5 a drugi u trenutku 15.

Odredimo sada distribuciju od τn. Kako bismo to napravili, uocimo da se dogadaj{τ1 > t} dogodio ako i samo ako se nista nije dogodio na intervalu [0, t], te je

P (τ1 > t) = P (0 dogadaja na (0, t])

= P (N(t)−N(0) = 0)

= e−λt.

Stoga τ1 ima eksponencijalnu distribuciju s parametrom 1/λ. Prema teoremu odvostrukom ocekivanju je

P (τ2 > t) = E[I{τ2>t}] = E[E[I{τ2>t}|τ1]].

Medutim,

P (τ2 > t|τ1 = s) = P (0 dogadaja na (s, s+ t]|τ1 = s)

= P (N(t+ s)−N(s) = 0|N(s) = 1)

= P (0 dogadaja na (s, s+ t])

= P (N(t+ s)−N(s) = 0)

= e−λt,

gdje su jednakosti proizasle iz nezavisnosti i stacionarnosti prirasta. Zakljucujemoda je τ2 takoder eksponencijalna slucajna varijabla s parametrom 1/λ. Stovise, τ2je nezavisna od τ1. Ponavljajuci ovaj postupak dolazimo do sljedeceg rezultata.

Propozicija 4.1. Slucajne varijable τn, n = 1, 2, ... su nezavisne jednako distribu-irane eksponencijalne varijable s parametrom λ.

Ova propozicija svakako nas ne iznenaduje. Pretpostavka o stacionarnosti i neza-visnosti prirasta zapravo je ekvivalentna tvrdnji da u bilo kojem trenutku procesvjerojatnosno ponovno krece od pocetka. Odnosno, proces od bilo kojeg trenutkanadalje neovisan je o svemu sto se prethodno dogodilo (zbog nezavisnosti prirasta),a takoder ima istu distribuciju kao i izvorni proces (zbog stacionarnosti prirasta).

Druga velicina od interesa je Tn, vrijeme realizacije n-tog dogadaja, koji se nazivavrijeme cekanja do n-tog dogadaja. Lako se vidi da je

Tn =n∑i=1

τi, n ≥ 1,

19

stoga slijedi da Tn ima gamma distribuciju s parametrima n i λ. Funkcija gustoceod Tn dana je izrazom

fTn(t) =

{λe−λt (λt)

n−1

(n−1)! , t ≥ 0

0, inace. (3)

Ovu tvrdnju dokazali bismo indukcijom.Kada je n = 1, T1 ima eksponencijalnu distribuciju s parametrom λ. Znamo da jenulta potencija bilo kojeg pozitivnog broja jednaka 1, te koristenjem cinjenice daje 0! = 1 funkcija gustoce slucajne varijable T1 reducira se na

fT1(t) = λe−λt,

cime smo pokazali da je formula tocna u slucaju da je n = 1.Pretpostavimo da formula vrijedi za n te pokazimo da vrijedi i za n+ 1.Buduci da je Tn+1 = Tn + τn+1, svodimo se na Tn i cinjenicu da su Tn i τn+1

nezavisne imamo

fTn+1(t) =

∫ t

0

fTn(s)ftn+1(t− s) ds.

Koristenjem cinjenice da je eaeb = ea+b te koristenjem supstitucije a = −λs ib = −λ(t− s) dobivamo∫ t

0

λe−λs(λs)n−1

(n− 1)!λe−λ(t−s) ds = e−λtλn

∫ t

0

sn−1

(n− 1)!ds = λe−λt

λntn

n!

cime smo dokazali tvrdnju.

Primjer 8. Pretpostavimo da broj osoba koje udu u banku mozemo modeliratiPoissonovim procesom s intenzitetom λ = 10 po satu.

a) Koje je ocekivano vrijeme prije dolaska 100. osobe u banku?E[T100] = 100/λ = 10 sati.

b) Koja je vjerojatnost da izmedu dolaska 100. i 101. osobe koja ude u banku prodevise od 1 sata?P (τ101 > 1) = e−1λ = e−10 = 0.000454.

�

20

4.4 Svojstva Poissonovog procesa

Kako bismo sto bolje objasnili zasto proces {N(t), t ≥ 0} zovemo Poissonovim,a ne eksponencijalnim pogledajmo neka njegova distribucijska svojstva. Neka sumedudolazna vremena τ1, τ2, ..., nezavisne eksponencijalno distribuirane slucajnevarijable s parametrom λ, neka je vrijeme n-te realizacije Tn = τ1 + · · · + τn, zan ≥ 1, T0 = 0, te neka je broj realizacija do trenutka s, N(s) = max{n : Tn ≤ s}.

Lema 4.1. N(s) ima Poissonovu distribuciju s parametrom λs.

Dokaz. N(s) = n ako i samo ako Tn ≤ s < Tn+1, primjerice n-ta musterija dolaziprije trenutka s ili u samom trenutku s, a (n + 1)-a musterija nakon trenutka s.U nasem slucaju Tn = t i Tn+1 > s, a kako moramo zadovoljiti da je τn+1 > s− ti da su τn+1 i Tn medusobno nezavisne slijedi

P (N(s) = n) =

∫ s

0

fTn(t)P (τn+1 > s− t) dt.

Odavde primjenom (3) slijedi da je

P (N(s) = n) =

∫ s

0

λe−λt · (λt)n−1

(n− 1)!· e−λ(s−t) dt

=λn

(n− 1)!· e−λs

∫ s

0

tn−1 dt = e−λs(λs)n

n!.

Q.E.D.

Lema 4.2. {N(t + s)−N(s), t ≥ 0} intenziteta λ je Poissonov proces nezavisanod slucajnih varijabli N(r), 0 ≤ r ≤ s.

Objasnimo prethodnu lemu. Pretpostavimo da su se do trenutka s dogodile cetirirealizacije T1, T2, T3, T4 u trenucima t1, t2, t3, t4. Znamo da do realizacije T5 moraproci τ5 > s − t4 vremena, ali zbog svojstva odsustva memorije eksponencijalnedistribucije vrijedi

P (τ5 > s− t4 + t|τ5 > s− t4) = P (τ5 > t) = e−λt.

Odavde vidimo kako je distribucija prve realizacije nakon s eksponencijalna s pa-rametrom λ te da je ona nezavisana od T1, T2, T3, T4. Ocito je da su τ6, τ7, ...nezavisni od T1, T2, T3, T4 i T5. Ovime smo pokazali da su medudolazna vremenanakon s nezavisna eksponencijalno distribuirana s intenzitetom λ obzirom da jeN(t+ s)−N(s), t ≥ 0 Poissonov proces.

Iz prethodne leme dolazimo do sljedeceg.

Lema 4.3. {N(t), t ≥ 0} ima nezavisne priraste, odnosno ako su t0 < t1 < · · · <tn, onda su N(t1) − N(t0), N(t2) − N(t1), ..., N(tn) − N(tn−1) nezavisne slucajnevarijable za svai izbor t-ova u gornjem poretku.

21

Dokaz. Lema 4.2 implicira kako su N(tn)−N(tn−1) nezavisni od N(r), r ≤ tn−1,stoga isto vrijedi i za N(tn−1)−N(tn−2), ..., N(t1)−N(t0). Zeljena tvrdnja slijediinduktivno. Q.E.D.

Sada smo spremi dati i drugu definiciju Poissonovog procesa u terminima procesa{N(s) : s ≥ 0} koji broji broj realizacija dogadaja u intervalu [0, s].

Teorem 4.3. Ako je {N(s) : s ≥ 0} Poissonov proces, onda

i) N(0) = 0,

ii) N(t+ s)−N(s) je Poissonova slucajna varijabla s parametrom λt,

iii) Proces {N(t) : t ≥ 0} ima nezavisne priraste.

U suprotnom, ako vrijede i), ii), iii), onda je {N(s) : s ≥ 0} Poissonov proces sintenzitetom λ.

Dokaz. Ocito i) vrijedi. Lema 4.1 i Lema 4.2 dokazuju ii) i iii).Pokazimo sada suprotan smjer. Neka je Tn vrijeme n-tog dolaska. Prvi dolazakdogada se nakon t ako i samo ako nije bilo dogadaja u [0, t]. Koristenjem zakonarazdiobe Poissonove distribucije slijedi da je

P (τ1 > t) = P (N(t) = 0) = e−λt,

pa vidimo da τ1 = T1 ima eksponencijalnu distribuciju s parametrom λ. Za τ2 =T2 − T1 je

P (τ2 > t|τ2 = s) = P (bez dolazaka na (s, s+ t]|τ1 = s)

= P (N(t+ s)−N(s) = 0|N(r) = 0r < s,N(s) = 1)

= P (N(t+ s)−N(s) = 0) = e−λt,

zbog nezavisnosti prirasta u iii), pa je τ2 eksponencijalna s parametrom λ neza-visna od τ1. Provodeci ovaj proces dolazimo do zakljucka da su τ1, τ2 nezavisneeksponencijalne s parametrom λ. Q.E.D.

22

5 Generalizacije Poissonovog procesa

5.1 Nehomogeni Poissonov proces

U ovom poglavlju promotrit cemo generalizacije Poissonovog procesa. Prva ge-neralizacija o kojoj cemo reci vise je nehomogeni Poissonov proces cesto zvan inestacionaran Poissonov proces, odnosno Poissonov proces koji dozvoljava da in-tenzitet u trenutku t postane funkcija od t.

Definicija 5.1. Za proces {N(t), t ≥ 0} kazemo da je nehomogeni Poissonovproces s funkcijom intenziteta λ(t), t ≥ 0 ako

i) N(0) = 0.

ii) {N(t), t ≥ 0} ima nezavisne priraste.

iii) P (N(t+ h)−N(t) ≥ 2) = o(h).

iv) P (N(t+ h)−N(t) = 1) = λ(t) + o(h).

Funkcija m(t) definirana izrazom

m(t) =

∫ t

0

λ(y) dy

zove se funkcijom parametra nehomogenog Poissonovog procesa. Napomenimo,ako je λ(t) = λ onda se radi o homogenom Poissonovom procesu.

Teorem 5.2. Ako je {N(t), t ≥ 0} nehomogeni Poissonov proces s funkcijomintenziteta λ(t), t ≥ 0, onda je N(t − s) − N(t) Poissonova slucajna varijabla sparametrom m(t+ s)−m(t) =

∫ t+ss

λ(y) dy.

Dokaz. Pokazimo prvo da je N(t) Poissonova. Neka je u > 0 fiksan. Definiramo

g(t) = E[e−uN(t)].

Dobit cemo g(t) pomocu

g(t+ h) = E[e−uN(t+h)]

= E[e−u(N(t)+N(t+h)−N(t))]

= E[e−uN(t)e−u(N(t+h)−N(t))]

= E[e−uN(t)]E[e−u(N(t+h)−N(t))]

= g(t)E[e−u(N(t+h)−N(t))]

= g(t)E[e−uNt(h)],

gdje je Nt(h) = N(t + h) − N(t). Koristeci cinjenicu da je P (Nt(h) = 0) =1 − λ(t)h + o(h), iz svojstava i), ii), iii), iv) definicije nehomogenog Poissonovogprocesa uvjetovanjem u ovisnost je li N(t) 0, 1 ili ≥ 2 dobivamo

g(t+ h) = g(t)(1− λ(t)h+ e−uλ(t)h+ o(h)).

23

Stoga,g(t+ h)− g(t) = g(t)λ(t)(e−u − 1)h+ o(h)

dijeljenjem sa h i pustanjem da h→ 0 dobivamo

g′(t) = g(t)λ(t)(e−u − 1),

sto moze biti zapisano kao

g′(t)

g(t)= λ(t)(e−u − 1).

Integracijom obje strane dobivamo

log(g(t))− log(g(0)) = (e−u − 1)

∫ t

0

λ(t) dt.

Koristeci cinjenicu da je g(0) = 1 i da je∫ t0λ(t) dt = m(t) dobivamo izraz oblika

g(t) = exp{m(t)(e−u − 1)}.

Stoga E[e−uN(t)], Laplaceova transformacija odN(t), je exp{m(t)(e−u−1)}. Slijedida je N(t) Poissonova slucajna varijabla. Propozicija proizlazi iz Ns(t) = N(s +t) − N(t), {Ns(t), t ≥ 0} nestacionaran proces s funkcijom intenziteta λs(t) =λ(s+ t), t > 0. Zakljucno, Ns(t) je Poissonova slucajna varijabla s parametrom∫ t

0

λs(y) dy =

∫ t

0

λ(s+ y) dy =

∫ s+t

s

λ(x) dx

cime smo dokazali propoziciju. Q.E.D.

Primjer 9. Banka se otvara ujutro u 8 sati i zatvara u 17 sati. Od 8 do 11 klijentidolaze u prosjeku s intenzitetom koji linearno raste od 5 klijenata po satu u 8 ujutro,do 20 klijenata po satu u 11 sati. Od 11 do 13 sati intenzitet je konstantan i jednak20 klijenata po sati, a od 15 do 17 sati intenzitet linearno pada i u 17 sati jednak je12 klijenata po satu. Pretpostavimo da je broj klijenata u disjunktnim vremenskimintervalima nezavisan.

a) Kolika je vjerojatnost da nema klijenata od 8:30 do 9:30?

λ(t) =

5 + 5t, t ∈ [0, 3]

20, t ∈ 〈3, 5]

30− 2t, t ∈ 〈5, 9]

P (N3/2 −N1/2 = 0) = e−∫ 3/21/2

λ(u) du = e−∫ 3/21/2

(5+5u) du = e−10.

b) Koji je ocekivani broj klijenata u periodu od 10 do 12 sati?Zanima nas E[N4 − N2]. Kako znamo da je N4 − N2 distribuirana Poisso-

novom distribucijom s parametrom∫ 4

2λ(u) du =

∫ 4

2(5 + 5u) du = 75/2 ocito

je E[N4 − N2] upravo 75/2 obzirom da je ocekivanje Poissonove slucajnevarijable jednako njenom intenzitetu.

�

24

5.1.1 Hawkesov proces

Dok je funkcija intenziteta λ(t) nehomogenog Poissonovog procesa deterministickafunkcija, postoje procesi brojanja {N(t), t ≥ 0} cija je funkcija intenziteta u tre-nutku t, oznacimo je R(t), slucajna varijabla koja ovisi o proslosti procesa dotrenutka t. Hawkesov proces je primjer procesa brojanja koji ima takvu, slucajnufunkciju intenziteta. Ovaj proces pretpostavlja da postoji osnovna vrijednost in-tenziteta λ > 0, te ako je bilo ukupno N(t) dogadaja do trenutka t, pri cemu suS1 < S2 < · · · < SN(t) dolazna vremena, onda je slucajna funkcija intenzitetajednaka

R(t) = λ+

N(t)∑i=1

µ(t− Si).

Sama struktura funkcije R(t) je prilicno fleksibilna te je potrebna samo specifi-kacija osnovne vrijednosti intenziteta λ > 0 te oblik funkcije µ. Uobicajen izborfunkcije µ je eksponencijalna funkcija odnosno funkcija oblika µ(t) = αe−βt, gdjesu α i β pozitivne konstante. Sada vidimo da je slucajna funkcija intenzitetaupravo jednaka

R(t) = λ+

N(t)∑i=1

αe−β(t−Si).

Drugim rijecima, Hawkesov proces je proces brojanja u kojemu

1. R(0) = 0,

2. kada god dode do realizacije, slucajan intenzitet poveca se za konstnatu α,

3. ako nema novonastalih dogadaja od trenutka s do trenutka s + t, onda jeR(s+ t) = λ+ (R(s)− λ)e−αt.

Drugi cesti izbor funkcije µ daje slucajnu funkciju intenziteta oblika

R(t) = λ+

N(t)∑i=1

k

(c+ (t− Si))p,

gdje su c, k i p nenegativne konstante. Slucajna funkcija intenziteta ovog oblikakoristi se za modeliranje vremena i magnituda potresa zvanog Omorijev zakon.Medutim, nadalje cemo se fokusirati na µ kao eksponencijalnu funkciju.

Izvest cemo E[N(t)], ocekivani broj dogadaja koje zakljucno s trenutkom t brojiHawkesov proces. Da bismo to ucinili, trebat ce nam sljedeca lema koja vrijedi zasve procese brojanja.

Lema 5.1. Neka je R(t), t ≥ 0 slucajna funkcija intenziteta procesa brojanja{N(t), t ≥ 0} za koji je N(0) = 0. Tada je

m(t) = E[N(t)] =

∫ t

0

E[R(s)] ds.

25

Dokaz.E[N(t+ h)|N(t), R(t)] = N(t) +R(t)h+ o(h)

Ocekivanje ovog izraza je

E[N(t+ h)] = E[N(t)] + E[R(t)]h+ o(h),

odnosnom(t+ h) = m(t) + hE[R(t)] + o(h)

ilim(t+ h)−m(t)

h= E[R(t)] + o(h).

Kada h→ 0 slijedi da jem′(t) = E[R(t)].

Integrirajuci obje strane slijedi

m(t) =

∫ t

0

E[R(s)]ds.

Q.E.D.

Sada mozemo iznijeti sljedecu vaznu propoziciju za Hawkesov proces. Dokaz ovepropozicije moze se vidjeti u [8].

Propozicija 5.1. Ako je E[R(t)] = µ, onda vrijedi

E[N(t)] = λ+λµ

(µ− α)2(e(µ−α)t − 1− (µ− α)t).

Primjer 10. Hawkesovi procesi proucavani su u kontekstu seizmologije. Uvodimomodel slijeda naknadnih udara potresa. Ovaj model je Hawkesov za modeliranjevremena i magnituda potresa. Neka ki ∈ [0,∞〉 oznacava magnitudu potresa koji sedogodio u trenutku Ti. U najjednostavnijoj formi model slijeda naknadnih potresadefiniramo funkcijom intenziteta

λ(t) = λ0 + α∑Ti<t

eβkie−δ(t−Ti),

gdje su α, β, δ > 0 parametri, te je

f(k|t) = γe−γt

funkcija gustoce od ki.Ekvivalentno, kada bismo pri definiranju funkcije intenziteta koristili uvjetnu funk-ciju intenziteta i vremena imali bi model sljedeceg oblika

λ(t, k) = (λ0 + α∑Ti<t

eβkie−δ(t−Ti))γe−γt.

Ideja koja stoji iza koristenja ovog modela je da potresi uzrokuju potresne udaresto se reflektira u cinjenici kako svaki novi potres povecava intenzitet za αeβki.Uocimo da jaki potresi vise utjecu od slabijih potresa. Takoder, napomenimo i toda intenzitet ovisi o proslosti, pa znamo da ovaj model sigurno nema nezavisnekomponente. �

26

5.2 Slozeni Poissonov proces

Za slucajni proces {X(t), t ≥ 0} kazemo da je slozeni Poissonov proces ako je

X(t) =

N(t)∑i=1

Yi, t ≥ 0

gdje su {N(t), t ≥ 0} Poissonov proces te {Yi, i ≥ 1} familija nezavisnih jednakodistribuiranih slucajnih varijabli nezavisnih od {N(t), t ≥ 0}. Kako bismo boljeobjasnili ove pretpostavke pogledajmo sljedeci primjer.

Primjer 11. Promotrimo slanje poruka internetom. Poruka stize na sredisnjeracunalo kako bi se prenijela preko interneta. Ako zamislimo velik broj koris-nika koji koriste svoja racunala za slanje poruka te su tim povezani na sredisnjeracunalo, tada se medudolazna vremena poruka na sredisnje racunalo mogu mo-delirati Poissonovim procesom. Stavimo li da je Yi velicina i-te poruke, razumnoje pretpostaviti kako su Y1, Y2, ... nezavisne jednako distribuirane slucajne varijablete da su nezavisne od medudolaznih vremena poruka na sredisnje racunalo koja sumodelirana Poissonovim procesom. �

Prirodno je razmotriti sumu Yi-eva kojima smo svjedocili do trenutka t:

S(t) = Y1 + · · ·+ YN(t)

gdje je S(t) = 0 ako je N(t) = 0. U prethodnom primjeru, S(t) predstavljaukupnu broj bajtova svih poruka do vremena t. Zanimljivo je znati koliko iznoseocekivanje i varijanca od S(t).

Teorem 5.3. Neka su Y1, Y2, ... nezavisne i jednako distribuirane, te neka su N iSn = Y1 + · · ·+ Yn nezavisne slucajne varijable, gdje je S0 = 0 kada je N = 0.

i) Ako su E|Yi|, E[N ] <∞, onda je E[Sn] = E[N ] · E[Yi].

ii) Ako su E[Y 2i ], E[N2] <∞, onda je V ar(Sn) = E[N ]V ar(Yi)+V ar(N)(E[Yi])

2.

iii) Ako je N Poissonova s parametrom λ, onda je V ar(Sn) = λE[Y 2i ].

Dokaz.

i) Kada je N = n, Sn = X1 + · · ·+Xn ima ocekivanje E[Sn] = nE[Yi], pa je

E[Sn] =∞∑n=0

E[Sn|N = n] · P (N = n)

=∞∑n=0

nE[Yi] · P (N = n) = E[N ] · E[Yi].

ii) Kada je N = n, Sn = X1 + · · ·+Xn ima V ar(Sn) = nV ar(Yi), stoga je

E[S2n|N = n] = nV ar(Yi) + (nE[Yi])

2.

27

Sada dobivamo

E[S2n] =

∞∑n=0

E[S2n|N = n] · P (N = n)

=∞∑n=0

{nV ar(Yi) + n2(E[Yi])2} · P (N = n)

= (E[N ]) · V ar(Yi) + E[N ]2 · (E[Yi])2.

Primijetimo sada

V ar(Sn) = E[Sn]2 − (E[Sn])2

= (E[N ]) · V ar(Yi) + E[N2] · (E[Yi])2 − (E[N ] · E[Yi)

2]

= (E[N ]) · V ar(Yi) + V ar(N) · (E[Yi])2,

gdje smo u zadnjem koraku koristili da je V ar(N) = E[N2]− (E[N ])2 kakobismo iskoristili drugu i trecu jednakost.

iii) Primijetimo da u specijalnom slucaju kada imamo Poissonovu slucajnu va-rijablu imamo E[N ] = λ i V ar(N) = λ, pa rezultat slijedi iz V ar(Yi) +(E[Yi])

2 = E[Y 2i ].

Q.E.D.

Primjer 12. Pretpostavimo da obitelji migriraju na neko odredeno podrucje Po-issonovom distribucijom s parametrom λ = 2 po tjednu. Ako je broj ljudi u svakojobitelji nezavisan i moze iznositi 1, 2, 3 ili 4 s vjerojatnostima 1

6, 13, 13, 16, odredite

ocekivanu vrijednost i varijancu broja osoba koje su migrirale na odredeno podrucjetijekom fiksnog vremena od 5 tjedana.

Neka je Yi broj ljudi koji pripadaju i-toj obitelji. Sada imamo

E[Yi] = 1 · 1

6+ 2 · 1

3+ 3 · 1

3+ 4 · 1

6=

5

2,

(E[Yi])2 = 12 · 1

6+ 22 · 1

3+ 32 · 1

3+ 42 · 1

6=

43

6.

Kako X(5) predstavlja broj ljudi koji su migrirali tijekom 5 tjedana, slijedi

E[X(5)] = 2 · 5 · 5

2= 25,

V ar(X(5)) = 2 · 5 · 43

6=

215

3.

�

28

5.2.1 Cramer-Lundbergov model

Rizik je sirok pojam koji oznacava neizvjesnost, gubitak, nesigurnost. Cesto seumjesto rizika pogresno koristi neizvjesnost, medutim oni nemaju isto znacenje.Neizvjesnost je nesposobnost predvidanja ishoda i obicno se temelji na nedovolj-nom broju informacija sto se sve moze dogoditi u buducnosti. Ona je sastavni diorizika koji je zapravo stanje u kojemu postoji mogucnost negativnog odstupanjaod ishoda kojemu se nadamo. Ako vjerojatnost dogadaja nije poznata, govorimoo neizvjesnosti.

Osiguranjem prenosimo rizik koji okruzuje pojedinca na osiguravatelja sklapanjemugovora o osiguranju. Ugovorom o osiguranju se pojedinac nastoji zastiti od ri-zika koji moze ugroziti njegov zivot ili njegovu imovinu. Sklapanjem ugovora oosiguranju osiguranik varijabilne troskove pretvara u fiksne placanjem premije.Premija je iznos koji osiguranik placa osiguravajucem drustvu za zastitu. Obicnose premija skuplja od velikog broja osiguranika koji se osiguravaju od istog rizika.Ovdje je osnovna pretpostavka da ce samo mali broj osiguranika zaista i imatistetu. U slucaju da do stete dode, osiguravajuce drustvo ce osiguraniku isplatitistetu. Osiguranja se mogu podijeliti na nezivotna osiguranja i zivotna osiguranja,a nama ce od interesa biti nezivotna osiguranja.

Kako bi nesto bilo predmet osiguravajuce zastite od stetnog dogadaja potrebno jeda ispunjava sljedece uvijete:

1. radi se o buducem dogadaju koji je neizvjestan i nezavisan od volje osiguranika,

2. rizik je procjenjiv,

3. steta je procjenjiva.

Kako u stete najznacajnija velicina osiguravajucem drustvu, a one su neizvjesne,potrebno je odrediti vjerojatnost nastanka stete. Model koji cemo promatrati imatce mnoga poopcenja.

Broj steta nastalih u vremenskom intervalu [0, t] za sve t ≥ 0 opisat cemo pro-cesom brojanja {N(t), t ≥ 0}, dok cemo iznos steta opisati slucajnim procesomjednako distribuiranih slucajnih varijabli {Xi, i ∈ N}, gdje je Xi slucajna varijablakoja modelira iznos i-te stete. Ukupne stete u vremenskom intervalu opisane suslozenim Poissonovim procesom {S(t), t ≥ 0} pri cemu je

S(t) =

N(t)∑i=1

Xi.

Osiguravajuce drustvo prima premiju neprekidno i po konstantnoj stopi c, pa jeukupna premija u vremenskom intervalu [0, t] jednaka ct. Funkcija kojom mode-liramo prihod od premija je zbog pretpostavki modela deterministicka te cemo juoznacavati s

p(t) = ct, t ≥ 0.

29

Pretpostavimo jos i da je osiguravajuce drustvo u trenutku t = 0 odvojilo iznosnovca koji cemo oznacavati s u, a zovemo ga pocetnim viskom. Dakle, proces viskaprihoda {U(t), t ≥ 0}, koji jos nazivamo i procesom rizika, je oblika

U(t) = u+ p(t)− S(t). (4)

Napomenimo jos jednom da je ovo pojednostavljen model u kojemu je zanema-rena inflacija i druge deterministicke promjene. Takoder, pretpostavit cemo i dase stete rjesavaju odmah kada nastanu te da su troskovi rjesavanja steta uracunatiu premiju. U praksi to bas nije tako, stete se uobicajeno rjesavaju uz malu od-godu, a ako su u pitanju stete koje se rjesavaju na sudu postupak moze potrajatii nekoliko godina.

Kako bismo mogli reci nesto vise o riziku osiguravajuceg drustva potrebno je poz-navati distribuciju procesa viska prihoda {U(t), t ≥ 0}. Filip Lundberg postavioje temelje moderne teorije rizika, a Harold Cramer usavrsio je njegove ideje premakojima je nazvan prvi model procesa rizika kojeg cemo definirati u nastavku.

U daljnjem specificiranju modela (4) uvodimo pretpostavke na ukupne stete {S(t), t ≥0}:

1. Stete stizu u trenutcima 0 < T1 < T2 < · · · < Tn koje nazivamo dolaznimvremenima.

2. Steta koja stize u trenutku Ti ima iznos Xi. Slucajni proces {Xi, i ∈ N} cinenezavisne, nenegativne, jednako distribuirane slucajne varijable.

3. Slucajni procesi dolaznih vremena {Ti, i ∈ N} i iznosa steta {Xi, i ∈ N} sumedusobno nezavisni.

Stete se dogadaju u vremenima T1, T2, ... u iznosima X1, X2, ... pa broj pristiglihsteta do trenutka t zapisujemo kao

N(t) =∑i∈N

I{Ti≤t} = #{i ∈ N : Ti ≤ t}, t ∈ [0,∞〉

pri cemu je # broj elementa skupa.

Iznosi steta ne utjecu na broj steta i iznos jedne stete ne utjece na iznos drugestete. Visak prihoda osiguravajuceg drustva se u trenucima nastanka stete sma-njuje za iznos stete, dok se tijekom trajanja osiguranja povecava za iznos premijepo konstantnoj stopi.

Definicija 5.4. Cramer-Lundbergov proces rizika je proces {U(t), t ≥ 0}definiran sa

U(t) = u+ ct−N(t)∑i=1

Xi,

30

pri cemu je u > 0, c > 0, {N(t), t ≥ 0} je homogeni Poissonov proces s inten-zitetom λ, a slucajan proces {Xi, i ∈ N} cine nezavisne, nenegativne, jednakodistribuirane slucajne varijable s funkcijom distribucije F .

Distribucije steta gotovo nikada nisu poznate, medutim pretpostavlja se kako onedolaze iz neke parametarske familije distribucija. Parametri familije se procje-njuju na osnovu podataka o iznosima steta u odredenom periodu te se pri tomekoriste razne statisticke metode, kao sto su metoda maksimalne vjerodostojnostii metoda momenata. Distribucije steta vrlo cesto imaju pozitivnu asimetricnost idug rep, stoga je kod odabira vazno da funkcija moze modelirati i najvece stete.Naime, jedna velika steta moze svojim iznosom premasiti sumu svih ostalih stetate time ugorziti poslovanje osiguravajuceg drustva. Procjena prethodno opisanihekstremnih dogadaja izuzetno je vazna te se opisuje desnim repom distribucije,odnosno ponasanjem repne funkcije distribucije

F = 1− F (x) = P (X > x)

za velike vrijednosti x, gdje je F (x) odabrana funkcija distribucije.

Definicija 5.5. Za slucajnu varijablu X s funkcijom distribucije F kazemo daima distribuciju s teskim repom ako je

F (x) = 1− F (x) = L(x) · x−α,

gdje α > 0 nazivamo repni indeks, a funkcija L je takva da za svaki x > 0 vrijedi

limt→∞

L(tx)

L(t)= 1.

Parametar α odreduje tezinu repa, odnosno sto su vrijednosti nize veca je vjero-jatnost ekstremnih vrijednosti.

Primjer 13. Pretpostavimo da je u Cramer-Lundbergovom modelu iznosa stetadistribuiran eksponencijalnom distribucijom s parametrom λ > 0. Tada je

F (x) = 1− F (x) = e−λx, za x ≥ 0.

Rep distribucije eksponencijalno brzo pada u nulu, odnosno vjerojatnost uocavanjavelikih steta vrlo je mala. Ovakva situacija vrlo je rijetka u stvarnim primjerimajer njih bolje opisuju distribucije kod kojih repna funkcija sporije opada u nulu. �

31

5.3 Uvjetni Poissonov proces

Neka je {N(t), t ≥ 0} proces brojanja takav da postoji pozitivna slucajna varijablaL takva da je uvjetno na L = λ proces brojanja Poissonov intenziteta λ. Ovakodefiniran proces zove se uvjetni Poissonov proces.

Pretpostavimo da je L neprekidna slucajna varijabla s funkcijom gustoce g. Sobzirom na to da je

P (N(t+ s))−N(s) =

∫ ∞0

P (N(t+ s)−N(s) = n|L = λ)g(λ) dλ

=

∫ ∞0

e−λt(λt)n

n!g(λ) dλ,

vidimo da uvjetni Poissonov proces ima stacionarne priraste. Medutim, kakopoznavanje broja dogadaja realiziranih u odredenom intervalu daje informacijeo mogucim vrijednostima slucajne varijable L koja utjece na raspodjelu brojadogadaja u bilo kojem drugom intervalu, proizlazi da uvjetni Poissonov procesopcenito nema nezavisne priraste. Slijedom toga, uvjetni Poissonov proces u pra-vilu nije Poissonov proces.

Pogledajmo sada ocekivanje i varijancu uvjetnog Poissonovog procesa. Kako jeN(t) uvjetno na L = l Poissonov proces s ocekivanjem lt zakljucujemo kako su

E[N(t)|L = l] = lt,

V ar(N(t)|L = l) = lt.

Posljedicno, uvjetna varijanca je

V ar(N(t)) = E[Lt] + V ar(Lt) = tE[L] + t2V ar(L).

Takoder, mozemo izracunati distribuciju slucajne varijable L uz uvjet N(t) = nna sljedeci nacin

P (L ≤ x|N(t) = n) =P (L ≤ x,N(t) = n)

P (N(t) = n)

=

∫∞0P (L ≤ x,N(t) = n|L = λ)g(λ) dλ

P (N(t) = n)

=

∫ x0P (N(t) = n|L = λ)g(λ) dλ

P (N(t) = n)

=

∫ x0e−λt(λt)ng(λ) dλ∫∞

0e−λt(λt)ng(λ) dλ

.

Drugim rijecima, uvjetna funkcija gustoce slucajne varijable L uz uvjet N(t) = nje

fL|N(t)(λ|n) =e−λtλng(λ)∫∞

0e−λtλng(λ) dλ

, λ ≥ 0. (5)

32

Primjer 14. Osiguravajuce drustvo smatra da svaki od njegovih osiguranika imarejting vrijednost i da ce ugovaratelj osiguranja koji ima vrijednost rejtinga λ imatipotrazivanja koja pristizu prema Poissonovom procesu s intenzitetom λ, gdje sevrijeme mjeri u godinama. Drustvo takoder vjeruje da se vrijednosti rejtinga raz-likuju od ugovaratelja do ugovoritelja, gdje je rejting uniformno distribuiran naintervalu 〈0, 1〉. S obzirom na to da je u prvih t godina osiguranik podnio n zah-tjeva, koja je uvjetna distribucija vremena do sljedeceg potrazivanja osiguranika?

Neka je T slucajna varijabla koja mjeri vrijeme do sljedeceg potrazivanja osigura-nika. Zelimo izracunati P (T > x|N(t) = n). Koristeci (5) dobivamo

P (T > x|N(t) = n) =

∫ ∞0

P (T > x|L = λ,N(t) = n)fL|N(t)(λ|n) dλ

=

∫ 1

0e−λxe−λtλn dλ∫ 1

0e−λtλn dλ

.

�

Postoji lijepa formula za vjerojatnost da se u intervalu duljine t dogodi vise od ndogadaja. U njegovom izvodenju posluzit cemo se identitetom

∞∑j=n+1

e−λt(λt)j

j!=

∫ 1

0

λe−λx(λx)n

n!dx

koji slijedi uz napomenu da izjednacava vjerojatnost realizacije dogadaja do tre-nutka t (koji ima Poissonovu distribuciju s parametrom λ) s vjerojatnoscu da jevrijeme realizacije (n + 1)-og dogadaja ovog procesa (koje ima gama distribucijus parametrima n + 1 i λ) manje od t. Zamjenom λ i t u prethodnom izrazu dajeekvivalentni identitet

∞∑j=n+1

e−λt(λt)j

j!=

∫ λ

0

te−tx(tx)n

n!dx.

Sada imamo

P (N(t) > n) =∞∑

j=n+1

∫ ∞0

e−λt(λt)j

j!g(λ) dλ

=

∫ ∞0

∞∑j=n+1

e−λt(λt)j

j!g(λ) dλ

=

∫ ∞0

∫ λ

0

te−tx(tx)n

n!dxg(λ) dλ

=

∫ ∞0

∫ ∞x

g(λ) dλte−tx(tx)n

n!dx

=

∫ ∞0

G(x)te−tx(tx)n

n!dx,

gdje je G(x) =∫∞xg(λ) dλ.

33

6 Literatura

[1] M. BENSIC, N. SUVAK, Uvod u vjerojatnost i statistiku, Sveuciliste J.J. Stro-ssmayera u Osijeku, Odjel za matematiku, 2014.

[2] R. DURRETT, Essentials of Stochastic Processes, Springer, 2011. (javno dos-tupno: www.researchgate.net/publication/310512925_Essentials_of_

Stochastic_Processes)

[3] D. GRAHOVAC, A. LEKO Modeliranje rizika u osiguranju, Osjecki mate-maticki list, 15 (2), 2015.

[4] J. F. C. KINGMAN, Poisson Processes, Oxford University Press,1993. (javno dostupno: www.researchgate.net/publication/228016755_

Poisson_Processes)

[5] Y. OGATA, Statistical Models for Earthquake Occurrences and ResidualAnalysis for Point Processes, Journal of the American Statistical Associ-ation, 83 (401), str. 9-27, 1988. (javno dostupno: www.researchgate.net/

publication/321061085)

[6] P. J. LAUB, T. TAIMRE, P. K. POLLETT, Hawkes Processes, CornellUniversity arXiv, 2015. (javno dostupno: https://www.researchgate.net/

publication/280034116_Hawkes_Processes)

[7] S. I. RESNICK, Adventures in Stochastic Processes, Birkhauser, Boston, 2002.

[8] S. M. ROSS, Introduction to Probability Models, Academic Press, 2014.

[9] N. SARAPA, Teorija vjerojatnosti, Skolska knjiga, Zagreb, 2002.

34

Sazetak

U ovom radu su opisane eksponencijalna i Poissonova distribucija, njihova osnovnasvojstva kao i Poissonov proces te njegova svojstva. Uvodni dio daje detaljnijeinformacije o funkciji distribucije i funkciji gustoce eksponencijalne i Poissonovedistribucije, dok su u glavnom dijelu rada navedene definicija te dokazana osnovnasvojstva Poissonova procesa i njegovih transformacija. Posljednji dio rada opisujeprimjenu Poissonovog procesa, odnosno Cramer-Lundbergov model za modelira-nje procesa rizika kod osiguranja.

Kljucne rijeci: eksponencijalna distribucija, Poissonova distribucija, Poissonovproces, Cramer-Lundbergov model

Abstract

This paper describes the exponential and Poisson distributions, their basic pro-perties, as well as the Poisson process and its properties. The introductory partprovides more detailed information on the distribution function and the densityfunction of the exponential and Poisson distributions, while in the main part ofthe paper the definitions of the basic properties of the Poisson process and itstransformations are proved. The last part of the paper describes an example ofthe Poisson process, ie the Cramer-Lundberg model for modeling the insuranceprocess.

Key words: exponential distribution, Poisson distribution, Poisson process, Cramer-Lundberg model

7 Zivotopis

Rodena sam 28. ozujka 1993. u Zagrebu. Zavrsila sam OS Bogumila Tonija u Sa-moboru te Gimnaziju Lucijana Vranjanina u Zagrebu. Tijekom osnovne i srednjeskole bavila sam se sinkroniziranim plivanjem na temelju kojeg sam ostvarila kate-gorizaciju Hrvatskog olimpijskog odbora prvim mjestom na Drzavnom seniorskomnatjecanju u Zagrebu 2010. godine. Preddiplomski studij Matematike upisala sam2012. na Odjelu za matematiku Sveucilista Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku,kojeg sam zavrsila 2018. s temom zavrsnog rada ”Dualni prostori” pod mentor-stvom doc. dr. sc. Ivane Kuzmanovic Ivicic. Nakon zavrsenog preddiplomskogstudija upisala sam diplomski studij na Odjelu za matematiku, smjer: Financij-ska matematika i statistika. Tijekom studija radila sam kao asistent u nastavi uCentru za odgoj i obrazovanje Ivan Stark.

36