EJERCICIOS METODO SIMPLEX 1. Un empresario pretende fabricar dos tipos de congeladores denominados A y B. Cada uno de ellos debe pasar por tres operaciones antes de su comercialización: Ensamblaje, pintado y control de calidad. Los congeladores requieren, respectivamente, 2,5 y 3 horas de ensamblaje, 3 y 6 Kg. De esmalte para su pintado y 14 y 10 horas de control de calidad. Los costos totales de fabricación por unidad son, respectivamente, 30 y 28, y los precios de venta 52 y 48, todos ellos en miles de pesos. El empresario dispone semanalmente de 4.500 horas para ensamblaje, de 8.400 Kg. De esmalte y 20.000 horas para control de calidad. Los estudios de mercado muestran que la demanda semanal de congeladores no supera las 1.700 unidades y que, en particular, la de tipo A es de, al menos, 600 unidades. Se desea: a) Formular un modelo de programación lineal que indique cuántos congeladores deben fabricarse de cada tipo para que el beneficio sea máximo, teniendo en cuenta el estudio de demanda. b) Resolverlo mediante el método simplex. Interpretar la solución óptima incluyendo las variables de holgura. c) Determinar los precios sombra de las horas de ensamblaje y control de calidad. Al fabricante le ofrecen disponer de 200 horas más para ensamblaje con un costo adicional total de $750.000 pesos. ¿Debería aceptar la oferta? Solución: X1: No. De congeladores tipo A X2: No. De congeladores tipo B F.O. Z (max) = (52-30)X1 + (48-28)X2 S.A. 2.5 X1 + 3 X2 <= 4500 3 X1 + 6 X2 <= 8400
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EJERCICIOS METODO SIMPLEX
1. Un empresario pretende fabricar dos tipos de congeladores denominados A y B. Cada
uno de ellos debe pasar por tres operaciones antes de su comercialización: Ensamblaje,
pintado y control de calidad. Los congeladores requieren, respectivamente, 2,5 y 3 horas
de ensamblaje, 3 y 6 Kg. De esmalte para su pintado y 14 y 10 horas de control de
calidad. Los costos totales de fabricación por unidad son, respectivamente, 30 y 28, y los
precios de venta 52 y 48, todos ellos en miles de pesos. El empresario dispone
semanalmente de 4.500 horas para ensamblaje, de 8.400 Kg. De esmalte y 20.000 horas
para control de calidad. Los estudios de mercado muestran que la demanda semanal de
congeladores no supera las 1.700 unidades y que, en particular, la de tipo A es de, al
menos, 600 unidades. Se desea:
a) Formular un modelo de programación lineal que indique cuántos congeladores deben
fabricarse de cada tipo para que el beneficio sea máximo, teniendo en cuenta el estudio
de demanda.
b) Resolverlo mediante el método simplex. Interpretar la solución óptima incluyendo las
variables de holgura.
c) Determinar los precios sombra de las horas de ensamblaje y control de calidad. Al
fabricante le ofrecen disponer de 200 horas más para ensamblaje con un costo adicional
total de $750.000 pesos. ¿Debería aceptar la oferta?
Solución:
X1: No. De congeladores tipo A
X2: No. De congeladores tipo B
F.O. Z (max) = (52-30)X1 + (48-28)X2
S.A. 2.5 X1 + 3 X2 <= 4500
3 X1 + 6 X2 <= 8400
14 X1 + 10 X2 <= 20000
X1 + X2 <= 1700
X2 >= 600
El empresario debe fabricar 882 unidades de congeladores tipo A y 764 unidades de
congeladores tipo B para obtener una utilidad máxima de $ 34706 a son 765 unidades.
2. Una empresa fabrica dos tipos de silla: ergonómica y normal. Para su construcción una
silla pasa por 4 departamentos: ensamble, tapizado, color y terminado. Cada
departamento tiene disponible 1.000 horas, 450 horas, 2.000 horas, y 150 horas
respectivamente. Los requerimientos de producción y utilidades por silla se muestran en
la siguiente tabla:
a) Plantea el modelo de programación lineal, definiendo las variables
b) resuelva el problema por el método simplex, para determinar cuántas sillas normales y
ergonómicas se deben producir para obtener mayor utilidad.
c) Interprete todas las variables de holgura del problema.
SOLUCION
X1: Silla normal y X2: Silla ergonómica
F.O. Z(máx) : 15X1 + 20X2
S.A. 2X1 + 3X2 <= 1000
X1 + X2 <= 450
4X1 + 6X2 <= 2000
(¼)X1 + (1/2) X2 <= 1000
C.N.N X1, X2 >= 0
Se deben fabricar 350 sillas normales y 100 sillas ergonómicas para obtener una utilidad
máxima de $7250
3. En un laboratorio se fabrican 4 productos P1, P2, P3, P4 que consumen un día por
unidad en su proceso completo de producción, aunque se pueden producir varias
unidades simultáneamente. El espacio (m2) en el almacén y la mano de obra (número de
trabajadores) disponibles limitan la producción. La siguiente tabla contiene los datos
relevantes del proceso de producción, así como los costos de fabricación y precios de
venta (en miles de pesos).
a) Encontrar el plan de producción de beneficio máximo
b) Interpretar los valores de los precios sombra
Solución
X1=p1 X3=P3
X2=P2 X4=P4
Z(MAX)=10X1+20X2+40X3+32X4
S.A 10X1+ 30X2+ 80X3+ 40X4 <900
2X1+ X2+ X3+ 3X4<80
4. En un laboratorio existen dos contadores de bacterias disponibles. El contador C1
puede ser manipulado por un estudiante que gana 400 ptas. por hora. En promedio es
capaz de contar 5 muestras en una hora. El contador C2 es más rápido, pero también
más sofisticado. Solo una persona bien preparada pero que gana 1000 Ptas. Por hora
puede manipularlo. Con la misma precisión que C1 el contador C2 permite contar 10
muestras en una hora. Al laboratorio se le dan 1000 muestras para que se cuenten en un
periodo que no exceda las 80 horas ¿Cuántas horas deben usar cada contador para
realizar la tarea con un coste mínimo? ¿Cuál es el dicho coste?
Solución:
Sean X1 y X2 las horas utilizadas con el primer y segundo contador, respectivamente.
Puesto que los dos contadores pueden estar trabajando simultáneamente tendremos dos
restricciones X1 <= 80 y X2 <= 80, y el problema que resulta es:
Minimizar Z= 400X1 + 1000X2
S A: X1 <= 80
X2 <= 80
6X1 + 10x2 = 1000
X1, X2 >= 0
El contador 1 debe utilizar 80 horas y el contador 2 utilizar 52 horas para obtener un coste
mínimo de 84000.
5. La compañía bluegrass farm., Lexington, Kentucky, está experimentando una ración
especial para caballos de carreras. Los componentes disponibles para la ración son un
peso común para caballos, un producto de avena enriquecido con vitaminas y minerales.
Los valores nutritivos por unidad de libra y los costes para los tres componentes
alimenticios son los siguientes:
Supóngase que el entrenador de los caballos fija los requerimientos diarios de la ración en
3 unidades del ingrediente A, en 6 unidades del ingrediente B y en 4 unidades del
ingrediente C. para efectos de control de peso, el entrenador no desea que el alimento
total diario de un caballo exceda las 6 libras. Plantear y resolver el problema para
determinar cuál es la mezcla optima diaria de los tres componentes alimenticios.
Solución
Sean X1, X2, X3 LAS LIBRAS DE LOS TRS COMPONENTES: pienso, avena y aditivo,
respectivamente. El problema que resulta es
Min Z=25X1+50X2+300X3
S.A 0.8X1 + 0.2X2>3
X1+1.5X2+3X3>6
0.1X1+0.6X2+2X3>4
X1+X2+X3<6
X1, X2, X3 >0
Para determinar la mezcla optima diaria se debe consumir 3.5135 libras de pienso
,0.9459libras de avena y 1.5405 libras de aditivo. Para obtener un costo mínimo de
597.2972
6. En su consumo diario de alimento, un animal rapaz necesita 10 unidades de alimento
A, 12 unidades de alimento B y 12 unidades de alimento C. estos requerimientos se
satisfacen cazando dos tipos de especies. Una presa de la especie 1 suministra 5, 2 y 1
unidades de los alimentos A, B y C respectivamente; una presa de la especie 2 suministra
1, 2 y 4 unidades respectivamente de los alimentos A, B y C, capturar y digerir una presa
de la especie 1 requiere 3 unidades de energía en promedio, mientras que el gasto de
energía correspondiente para la especie 2 es de 2 unidades. ¿Cuántas presas de cada
especie deberá capturar el depredador para satisfacer sus necesidades alimentarias,
haciendo un gasto minimo de energía?
Solución:
Sean Xi el numero de presas de cada especie (i=1,2)
Minimizar z=3X1 +2X2
Sujeto a
5X1 + X2 > 12
2X1 + 2X2 >12
X1 + 4X2 = 12
X1. X2 > 0
El animal rapaz necesita 4 presas de la especie 1 y 2 presas de la especie 2 para
consumir un mínimo de 16 unidades de energía promedio.
7. Una familia dispone de una explotación agraria de 100 Ha de terreno cultivable y
dispone de $4.000.000 ptas. Para invertir. Los miembros de la familia pueden producir un
total de 3500 Horas-hombre de mano de obra durante los meses de invierno y de 4000
horas hombre durante el resto del tiempo, el verano. Si no fuesen necesarias en la
explotación familiar una parte de esas horas hombre se emplearan para trabajar en un
campo vecino a razón de 500 ptas. La hora en invierno y de 600 en verano.
En la explotación se pueden obtener ingresos produciendo tres tipos de cosecha Soja,
Maíz y Avena y cuidando las vacas lecheras y gallinas ponedoras. Para las cosechas no
se necesitan inversión (se autoabastecen), pero cada vaca exige un desembolso de $
120.000 Ptas; y cada gallina les cuesta $800 Ptas. Para el pasto de las vacas se
necesitan 1,5 Ha por cada vaca, 70 horas-hombre durante el invierno y 50 Horas-hombre
durante el verano. Cada vaca produce un ingreso neto de $100.000 Ptas. Las gallinas se
pueden pasear por cualquier lugar, no necesitando pues de un terreno propio, pero hay
que dedicar 0,6 horas-hombre en invierno y 0,3 horas-hombre en verano para cada
gallina, de cada una de ellas se obtiene un beneficio de 700 Ptas. Por la noche hay que
recoger las gallinas y las vacas, para ello se disponen de un gallinero de 300 plazas y de
un establo para treinta y dos vacas, si hubiera más morirían asfixiadas. La cosecha de
Soja requiere 20 Horas-hombre de trabajo por Ha, en invierno y 5º en verano; la de maíz
requiere 35 horas-hombre de trabajo por Ha en invierno y 75 en verano y la de avena
requiere 10 horas-hombre de trabajo por Has en invierno y 40 en verano. El rendimiento
neto que se obtiene, por cada Ha de la cosecha de Soja es de 51 Ptas, por cada Ha de la
cosecha de maíz es de $ 79.000 Ptas, y por cada Ha de la cosecha de avena es de $
32.000 Ptas. Como es lógico la familia quiere maximizar sus ingresos. Plantea el