Einführung in die Diskrete Elemente Methode - mvt.ovgu.de · Georgius Agricola „De re metallica libri XII“ (1556) 2. Institut für Verfahrenstechnik Mechanische Verfahrenstechnik

Institut für VerfahrenstechnikMechanische Verfahrenstechnik

Einführung in die Diskrete Elemente Methode

Dr.-Ing. P. Müller

Dr.-Ing. W. Schubert, Dr.-Ing. M. Khanal, Prof. J. Tomas


EinleitungZerkleinerung von Erz in einem Pochwerk des Mittelalters

Georgius Agricola „De re metallica libri XII“ (1556) 2


3

Schüttgutmechanik


4

Schüttgut (granulares Medium):• Vielzahl von Einzelpartikeln im Kontakt• Kräfte aufeinander übertragen

BeschreibungKontinuumsmodell:• Betrachtung der auf ein Volumen-element wirkenden Kräfte bzw. Spannungen und die resultierenden Deformationen• klassischer Ansatz der Schüttgut-mechanik mit Fließkriterien (Bruch-hypothesen)• Finite-Elemente-Methode (FEM)


5

Zweiachsige Spannungszustände am MOHRschen Spannungskreis


6

Grenzspannungsfunktionen für beginnende Verfestigung, Fließen, kohäsives stationäres Fließen und Zeitverfestigung


7

Schüttgut (granulares Medium):• Vielzahl von Einzelpartikeln im Kontakt• Kräfte aufeinander übertragen

BeschreibungKontinuumsmodellPartikelwechselwirkungsmodell:• Beschreibung der einzelnen Partikel• diskontinuumsmechanisch• Diskrete-Elemente-Methode (DEM)• hohe Anzahl an Partikeln!• oft unregelmäßige Form!


8

Numerische Simulationsmethoden

• quasi homogenes Materievolumen• Diskretisierung in finite Elemente (Netz)• Kräfte, Spannungen, Dehnungen an Knoten übertragen• Engmaschigkeit erhöht Genauigkeit, aber erhöhte Rechenzeit• Anordnung, Zusammenhalt des Körpers (Kontinuum) bleibt erhalten

Probleme:• Partikelsysteme• inhomogene, poröse

Körper• multiple Rissausbreitung

und Bruchvorgänge


9

Finite-Elemente-Methode (FEM)

1 M. J. Adams, C. J. Lawrence, M. E. D. Urso, J. Rance: Modelling collisions of soft agglomerates at the continuum length scale, Powder Technol. 2004, 140 (3), 268-279

1


10

Molekulardynamik (MD)• Beschreibung der Interaktion von Atomen und Molekülen und deren räumliche Bewegungen (netzfrei)• klassische Mechanik keine Gültigkeit Gesetze der Quantenmechanik basiert auf Schrödingergleichung


Modellierung der Interaktion von Gesteinen und granularen Medien (netzfrei)

Beschreibung der Dynamik diskreter Elemente: Partikel• auf Basis der Newtonschen Bewegungsgesetze• Partikel starr, nicht deformierbar• Kontakte können sich bilden und auflösen• Kontaktdetektionsalgorithmus• Überlappungen in den Kontaktbereichen• Überlappungen klein im Vergleichzu den Partikeln• Interaktion über Kontaktgesetze(Feder-, Dämpfer-, Reibungselement)

11

i jns

r .

v .

ω .

RadiusOrtsvektorÜberlappungGeschwindigkeitWinkelgeschwindigkeitPartikel i und j

R

i , j

Diskrete-Elemente-Methode / Distinct Element Method1 (DEM)

1 Cundall P. A., Strack O. D. L., A discrete numerical model for granular assemblies, Géotechnique 29 (1), 47-65 (1979)


12

Kontaktgesetzelinear elastisch: Federelement (Hookesches Gesetz)

Parallelschaltung Reihenschaltung

F = k s

n

g e s 1 2 n ii=1

s = s + s +. . .+ s = s

g e s 1 2 nF = F = F = . . . = F

n

g e s 1 2 n ii=1

k = k + k +. . .+ k = kg e s 1 2 ns = s = s = . . . = s

n

g e s 1 2 n ii=1

F = F + F +. . .+ F = F n

i=1g e s 1 2 n i

1 1 1 1 1= + +. . .+ =

k k k k k

F Federkraftk Federsteifigkeits Auslenkung

maximaler Kontaktdruck:

Kontaktkraft:

Kontaktsteifigkeit:


13

* 3el 1

2F = E R s3

* *eln,el 1 k

dFk = = E R s = E rds

22

el k

max k,el

p r= 1-p r

elmax m2

k,el

F3 3p = = p2 πr 2

effektiver Elastizitätsmodul:-12 2

* 1 2

1 2

1- ν 1- νE = 2 +E E

rk Kontaktkreisradiuss DeformationswegR1 Radius des Partikels pm mittlerer Kontaktdruck

1 H. Hertz: Ueber die Berührung fester elastischer Körper, J. reine u. angew. Math. 1881, 92, 156-171

ν1, ν2 Querdehnungszahlen des Partikels und der PlatteE1, E2 Elastizitätsmodule des Partikels und der Platte

nicht linear elastisch: Hertzgesetz – Kontaktdruck elliptisch verteilt

viskose Dämpfung: Dämpferelement

lineare gedämpfte Schwingung:

Grenzfälle:Schwingfall


14

Kontaktgesetze

η2 δ =

m20

kω =

m2 2

d 0ω = ω -δ

dω = +

η < 2 k m

mits Auslenkung

Geschwindigkeit

Beschleunigungm Masseη Dämpfungskonstantek Federsteifigkeits Auslenkungδ Abklingkonstante

Eigenfrequenz unged.ωd Eigenfrequenz ged.

20ω

x

tt

s

t

m s + η s + k s = 0

dF = η s

20s + 2 δ s + ω s = 0

ss



Grenzfälle:aperiodisch


15

Kontaktgesetze

dF = η s

m s + η s + k s = 0 η

2 δ =m

20

kω =

m2 2

d 0ω = ω -δ20s + 2 δ s + ω s = 0

mits Auslenkung

Geschwindigkeit



ss

20ω

dω = 0

η = 2 k m

s

t



Grenzfälle:Kriechfall


16

Kontaktgesetze

η2 δ =

m20

kω =

m2 2

d 0ω = ω -δ

mits Auslenkung

Geschwindigkeit



20ω

dω = -

η > 2 k m

s

t

m s + η s + k s = 0

dF = η s

20s + 2 δ s + ω s = 0

ss


17

Kontaktgesetze

Reibungselement: Coulombsche Reibung

R NF = μ F


Anwendung der DEM:• Modellierung von Partikelsystemen • Simulation von Mikro- und Makroprozessen• Simulation aufwändiger Experimente• Optimierung von Prozessparametern und ApparatenZielstellung:• Energieeinsparung• Verschleißminderung• Partikelgrößen- und Partikelformanpassung• verbesserte SelektivitätSimulation in der Verfahrenstechnik von:• Silobefüllung, -lagerung, -entleerung, Zerkleinerung, Mischen…Parameter:• Partikeltrajektorien, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen, Kräfte (Partikel, Apparatewände), Reibungskoeffizienten, Spannungen (Schüttgut, Werkstück)…

18


19

DEM-Software

• Particle Flow Code (PFC2D, PFC3D) kommerziell (Itasca) gegründet von P. A. Cundall und O. D. L. Strack • EDEM kommerziell• Newton kommerziell• LIGGGHTS Open Source• Pasimodo Uni Stuttgart • MUSEN Uni Hamburg• …


20

Weitere numerische Simulationsmethoden

• numerische Strömungsmechanik (CFD) Strömungssimulationen • Kopplung aus der numerischen Strömungsmechanik und der Partikeldynamik (CFD-DEM oder CCDM – Combined Continuum and Discrete Model) Zyklone, Wirbelschichten, pneumatische Förderung, Sedimentation• Extended Finite Element Method (XFEM) Ausbreitung von Diskontinuitäten (Bruchvorgang)• Smooth-Particle-Hydrodynamics (SPH) Simulation von Flüssigkeiten auf Basis von diskreten Elementen• Randelementmethode (REM) diskretisierte Betrachtung des Randes bzw. der Oberfläche eines Körpers (ähnlich der FEM)• Mehrkörpersysteme (MKS)• …


21

Particle Flow Code (PFC2D, PFC3D)

Federelement:Normalrichtung:Tangentialrichtung:

Hertzgesetz:Normalrichtung:

Tangentialrichtung:

effektiver Radius:


22

n n nF = k sn e u a l tt t tF = F F

t t tF = k s

1 ,2n n

G 2 R2k = s

3 1- ν

1

2 311 ,2 3

t n

2 3 G 1- ν Rk = F

2 - ν

Berechnung der elastischen repulsiven Kraft

-1

1,21 2

1 1R = +R R

E

G =2 1+ ν

Schermodul:

Fn

snsn,F

Fn,F

Fn

Fn

F

i j i j i j i j i j i jk ,t ,m a x i jt t t n i j k ,nF = k s + η s ,μ F t.

Normalrichtung:

Tangentialrichtung:


lineares Federmodell

viskose Dämpfung

i j i j i j i j i jk ,n i jn n n nF = k s + η s n.

Reibungsmodell

23

Beispiel eines Kontaktmodells

i jk KontaktsteifigkeitDämpfungskonstanteÜberlappungGeschwindigkeitReibungskoeffizientNormal- und Tangentialenvektor

i jη

i j i jn t,

i js i js .

i jμ


Reibungsmodell – tangentiale Kontaktreibung:Tangentialrichtung

Viskose Dämpfung – dämpft Kontakte:Normalrichtung Tangentialrichtung

Lokale Dämpfung – dämpft Beschleunigungen:

Dämpfungskraft DämpfungskoeffizientDeformationsgeschwindigkeit

i j i j i jd ,n n nF = η s .

i j i j i j

d ,t t tF = η s .

.i i ,d i iF + F = m a

Dämpfungskraft

Maximale ScherkraftReibungskoeffizient

Normalkraft i j i jk ,t ,m a x k ,ni jF = μ F

24

Normalrichtung:

Tangentialrichtung:

Bruchkriterium:


i j i j i j i jP B ,n P B ,n P B n i jF = k A s n

i j i j i j i jP B ,t P B ,t P B t i jF = k A s t

i ji j P B

P B ,ni j i jm a x ,P B P B P B ,k r i ti j i j

P B P B

M-Fσ = + R σ

A I

i j i jP B ,t P B ,x

i j i jm a x ,P B P B P B ,k r i ti j i j

P B P B

F Mτ = + R τ

A J

25

Cluster – Parallelbindungen (Festkörperbrücken)

i j i jm a x ,P B m a x ,P Bσ τ,

flächenbezogene SteifigkeitQuerschnittsflächemaximale Normal- und SchubspannungBruch- und Scherfestigkeit i j i j

m a x ,k r i t m a x ,k r i tσ τ,

i jP Bk i jP BA

axiales und polares FlächenträgheitsmomentBiege- und Torsionsmoment

i j i jP B P BI J,

i j i jP B P B ,xM M,

• elastische Verbindung zwischen den Partikeln mit Bruchfestigkeit

i j i jP B ,t P B

i j i jm a x ,P B P Bi j i j

P B P B

F Mτ = + R

A J


26

Zugbeanspruchung

Biegebeanspruchung

Scherbeanspruchung

Torsionsbeanspruchung

i ji j P B

P B ,ni j i jm a x ,P B P Bi j i j

P B P B

M-Fσ = + R

A I


27

Clumps• Partikel komplexer Geometrien zusammengesetzt aus mehreren Partikeln (betrachtet als ein Partikel)

Modellränder oder Apparatewände• starre Flächen komplexe Geometrien möglich

1 http://www.itascacg.com

1

22 Partikel 110 Partikel 573 Partikel

Kontaktbindungen• steife Verbindung zwischen den Partikeln mit Bruchfestigkeit


Kräftebilanz:

Momentenbilanz:

k P Bn ni j i jk P Bi i i

j=1 j=1m s = F + F + m g

k P Bn ni j i jk P Bi i

j=1 j=1J ω = M + M.

Trägheitskraft

repulsive Kontaktkräfte

attraktive BindekräfteSchwerkraft

Drehmoment

Roll- und Torsionsmomente

Biegemomente in Bindungen

i j i j i jk k ,n k ,tF = F + F

i j i j i jP B P B ,n P B ,tF = F + F

i j

i j i j nk k ,t i

sM = F ×(R - )

2

Bewegungsgleichungen für jedes Partikel

28


29

Integration der Bewegungsgleichungen

zentrale Differenzenmethode Anfangsbedingung

Beschleunigung

Geschwindigkeit

Verschiebung

. . .i i i

1 Δ t Δ ts ( t ) = s ( t + ) - s ( t - )

Δ t 2 2

.

k P Bn ni j i jk P Bi i i

j=1 j=1i

Δ t Δ t 1s ( t + ) = s ( t - ) + F + F + g Δ t

2 2 m

. .i i i

Δ ts ( t + Δ t ) = s ( t ) + s ( t + ) Δ t

2

i i ,0s ( t = 0 ) = s

i i ,0s ( t = 0 ) = s

• Rechengenauigkeit abhängig vom Zeitschritt• Zeitschritt muss ausreichend kleiner sein als Kontaktzeit• ungedämpfte, harmonische Schwingung eines Federpendels

Kräftebilanz: Bewegungsgleichung:Trägheitskraft = Federkraft

Periodendauer: kritischer Zeitschritt:

Translationsbewegung: Rotationsbewegung:


30

Ermittlung des kritischen Zeitschritts Δt

ik r i t

T mΔ t = =

π ki

i0 i

2 π mT = = 2 π

ω k

m s = - k s

i ,m i nk r i t ,t r a n

t r a n ,m a x

mΔ t =

ki ,m i n

k r i t ,r o tr o t ,m a x

JΔ t =

k

ks = - s

m

m Masse k Federsteifigkeits Auslenkung

ω0 EigenfrequenzJ Trägheitsmoment


31

explizite inkrementelleZeitintegration


32

Anwendungsgebiete


Bestimmung des Böschungswinkels

33

Lagerung von Schüttgütern


F

Bestimmung der Kräfte beim Lagern und beim Transport

34


Fließverhalten im Silo und Trichter

35


Fließstörungen in Trichtern

Brückenbildung

36


Zerkleinerung in Walzenmühlen

37


Bruchverhalten von Betonkugeln

38


Setzmaschine, Schwingsieb, Prallbrecher

39


40

Forschungsergebnisse der MVT


Zement, d = 2,3 mm

Zusatzstoff, d = 2 – 16 mmQuerschnittsfläche, d = 150 mm

41

Simulation einer Betonkugel


Simulation: Prallvorgang gegen eine steife Wand, vA = 15 m/s

42


Experiment: Prallvorgang gegen eine steife Wand, vA = 15 m/s

43

FEM-Simulation des Prallvorgangs mittels ANSYS


44

v = 20 m/s


Kalibrierung des ModellsEingabe der Mikroeigenschaften der

Primärpartikel, die die Makroeigenschaften des Modells bestimmen.

DEM-Simulation des Prallvorgangs. Bestimmung der Partikelgrößenverteilung und

des Aufschlussgrades.

Stimmen Simulation und

Experimentüberein?

Anwendung des kalibrierten Modells für weitere Prallsimulationen mit veränderten

Randbedingungen.

experimentelle Daten:z. B. Videos,

Partikelgrößenverteilung,Aufschlussgrad.

Anpassung der Mikro-

eigenschaften

Nein

Ja

45


Bruchvorgänge: Experiment und Simulation

t=2 ms

t=1 ms t=0

t=3 ms

v = 53 m/s

1 2 3 40

1

2

Zeit in ms

Wan

dkra

ft in

105

N3

5

v = 15 m/s

46


Bruchmuster bei unterschiedlichen Aufprallgeschwindigkeiten nach t = 5 ms

Feingutkegel

Sekundärbruch

Restkegel

Meridianbruch

v = 15 m/s

v = 25 m/s

v = 35 m/s

47


Vergleich: Modell und Realität

Eigenschaft Zement ZusatzstoffMikroeigenschaften 2D-DEM-Model, d = 150 mm

Anzahl und Form 2283 Kugeln 120 KugelnDurchmesser 2,3 mm 2 – 16 mmFeststoffdichte, Volumenanteil 1790 kg/m3, 30 % 2570 kg/m3, 70 %Zugfestigkeit einer Bindung 6,5 MPa

Eigenschaften der realen Betonkugel, d = 150 mm Anzahl und Form ∞, unregelmäßig ∞, unregelmäßigDurchmesser 0 – 2 mm 0 – 16 mmFeststoffdichte, Volumenanteil 1790 kg/m3, 30 % 2570 kg/m3, 70 %Zugfestigkeit 4 MPa

48


Partikelgrößenverteilung – Simulation und Experiment

0

20

40

60

80

100

0 50 100 150Partikelgröße in mm

Simulationv = 35 m/sv = 30 – 40 m/s

Expe

rimen

t

Parti

kelg

röße

nver

teilu

ng Q

3in

%

0

20

40

60

80

100


v = 50 – 60 m/s

Expe

rimen

t

Parti

kelg

röße

nver

teilu

ng Q

3in

%

Simulationv = 55 m/s

0

20

40

60

80

100


Parti

kelg

röße

nver

teilu

ng Q

3 in

%

v = 10 – 20 m/s

Expe

rimen

t


0

20

40

60

80

100

0 50 100 150Partikelgröße in mmPa

rtike

lgrö

ßenv

erte

ilung

Q3

in %

v = 40 – 50 m/s

Expe

rimen

t


49


Aufschlussgrad des Zusatzstoffes – Simulation und Experiment

Masse aufgeschlossener WertstoffGesamtmasse Wertstoff

aufgeschlossen nicht aufgeschlossen

010203040506070

10 20 30 40 50 60

Aufprallgeschwindigkeit v in m/s

Auf

schl

ussg

rad

in % Experiment

Simulation

Exponentiell(Simulation)

50


Senkrechte Wand

Halbe WandSchräge Wand

90°-Kante Doppelkante

Prallvorgang gegen verschiedene Geometrien, vA = 45 m/s

51


Mit der DEM können Zerkleinerungs-, Klassier-, Misch- und Sortierprozessenachgebildet werden. Die Methode ist ein Werkzeug bei der Lösung technischerProbleme für Maschinenbauer und Verfahrenstechniker.

Prozessparameter bei der Zerkleinerung

Übertragung auf die DEM

Geometrie des Prozessraumes gerade und gekrümmte Wände

Geschwindigkeit, Frequenz und Amplitude der Brechwerkzeuge

bewegte Wände: gleichförmig/ beschleunigt/schwingend/rotierend

Partikelgröße und –form,Aufschlussgrad, Reinheit

Clustergröße und –form,Anteil der Komponente im Cluster

Energieverbrauch Beanspruchungsenergie auf die Cluster (=Kugelpackungen)

Verschleiß von Bauteilen Wandkraft

Staubmenge und Entstehungsort Wandkraft

DEM-Maschinensimulationen

52


DEM-Simulationen eines Backenbrechers

Nachbildung der Maschine Nachbildung des Aufgabegutes

2D-Skizze

3D-Vektorgraphik

Bewegung der Maschinenelemente

3D-Maschine mit Aufgabegut

Aufgabenstellung

Materialeigenschaften

Kalibrierung:• Prallversuch• Druckversuch• OberflächenreibungWerkstoff

53


Aufgabe: Simulation der Zerkleinerung von Beton B35 in einem Backenbrecher

Veränderung folgender Parameter: Einzugswinkel s Spaltweite Durchsatzn Drehzahl w, b Maulweite, -breite Aufgabekorngrößeh Hub H Brechraumhöhe

54


2D-Modell des Backenbrechers

55



2D-Skizze



Aufgabenstellung


Kalibrierung• Prallversuch• Druckversuch• OberflächenreibungWerkstoff


3D-Vektorgraphik

56


Technische Daten des Backenbrechers

Bezeichnung PKSB 200x125Typ Pendelschwingenbrecher

Hersteller und Baujahr SKET Schwermaschinenbau Magdeburg GmbH, 1994

elektr. Anschlussleistung 3 kW bei 380 VHubzahl der Schwinge 150 min-1

Maulbreite x Maulweite 200 x 125 mmSpaltweite, eng 10 mm, verstellbarSchwingenhub 5 mm, verstellbar

57


a

b

cbr,r 0

22 cas arr 0

Spaltweite Vorderkante

Ebene der Schwingerbacke

Einzugswinkel zwischen beiden Brechbacken

x in mm

y

z

)tsin(A)t(h Schwingenhub am Austragsspalt

babaarccos

c

3D-Vektorgraphik, Bewegungsgleichung

58


59



2D-Skizze

3D-Vektorgraphik



Aufgabenstellung




60


Beton B35 DEM-KugelmodellZuschlagstoff (Granit, Basalt) = 2570 kg/m3

d = 1 – 16 mmSteifigkeit k = ?

50 Kugeln (rot) = 2570 kg/m3

d = 4 – 8 mmk = 6·108 N/m

Zementstein (Zement, Sand) = 1790 kg/m3

d = 0,002 – 1 mmSteifigkeit k = ?

390 Kugeln (gelb) = 1790 kg/m3

d = 4 mmk = 5·108 N/m

E-Modul E = 30 – 40 kN/mm2 E 6 kN/mm2

Bruchfestigkeit B > 35 N/mm2

B 40 N/mm2

Reibung Beton-Stahl 0,3 = 0,3

61


Spannungs-Dehnungs-Diagramm

62


Reibung von Beton auf Stahl

63

Drucktest einer Betonkugel


64



65

v = 0,1 mm/minv = 0,1 mm/min

Weg [mm] Weg [mm]

elastisch-plastisch

elastisch-plastischHertz,elastisch

Bruchpunkt

Fließpunkt

Hertz,elastisch



66

v = 1 mm/min

Weg [mm]

Vergleich zwischen Experiment und Simulation


2D-Skizze

3D-Vektorgraphik



Aufgabenstellung





67


68


69


70


Partikelgrößenverteilung des Produktes

020406080

100

0 5 10 15 20Partikelgröße in mm

Sum

men

vert

eilu

ng in

%

Experiment 1AExperiment 1BExperiment 1CExperiment 2Experiment 3DEM Simulation

71


Aufschlussgrad des Zusatzstoffes

Masse aufgeschlossener WertstoffGesamtmasse Wertstoff

aufgeschlossen nicht aufgeschlossen

50 51 54 56 55

40

0

10

20

30

4050

60

70

Aufs

chlu

ßgra

d in

%

1

Versuche und Simulation

experiment 1Aexperiment 1Bexperiment 1Cexperiment 2experiment 3simulation

72


Prallbrecher

73


74

Simulation einer Kugelmühle


75

Simulation des Druckversuchs eines Granulats


76

DEM-Simulationen im Rahmen der DEM-Lehrveranstaltung


77

Simulation eines Backenbrechers


78

Simulation einer Siloentleerung


79

Simulation einer Schneekugel


80

Simulation eines Schneemanns


81

Simulation eines Schneemanns mit LIGGGTHS


Diskrete-Elemente-Methode:

• starre, diskrete Elemente

• Mehrkörpersysteme, Porosität, Bruchvorgänge

Anwendung der DEM:

• Modellierung von Partikelsystemen

• Simulation von Mikro- und Makroprozessen

• Simulation aufwändiger Experimente

• Optimierung von Prozessparametern und Apparaten

Zielstellung:

• Energieeinsparung

• Verschleißminderung

• Partikelgrößen- und Partikelformanpassung

• verbesserte Selektivität

Zusammenfassung

82


Zerkleinerung von Erz in einem Pochwerk des Mittelalters

Georgius Agricola „De re metallica libri XII“ (1556)

83


Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit

84


85

Einführung in die Diskrete Elemente Methode - mvt.ovgu.de · Georgius Agricola „De re metallica libri XII“ (1556) 2. Institut für Verfahrenstechnik Mechanische Verfahrenstechnik

Documents