-
1
Egy kötélstatikai alapfeladat megoldása – másként
Most megint egyik kedvenc témánkat vesszük elő. Bízunk benne,
hogy az itt előforduló
ismétlések szükségesek, ámde nem feleslegesek. A más módon való
megoldás mikéntje és
lényege így domborodik majd ki, szerintünk. Ehhez először is
tekintsük az 1. ábrát!
1. ábra
Itt egy közönséges láncgörbe - darabot ábrázoltunk. Ennek A és B
pontjai közti ívének
hossza L, ennek vízszintes vetülete l, függőleges vetülete m
hosszúságú. Az AB távolság
pedig d. Látható, hogy
( 1 )
A végérintők hajlása φA és φB . A láncgörbe paramétere a.
A feladat kiírása az alábbi.
Adott: l , m , L.
Keresett: φA , φB ; xA , yA ; xB , yB .
-
2
Az idevágó alapvető összefüggéseket már több korábbi
dolgozatunkban is felírtuk. Ezek:
KD - 1.: Közönséges láncgörbe – alapvető összefüggések és
tudnivalók;
KD - 2.: Rugalmas láncgörbe – alapvető összefüggések és
tudnivalók, I. rész .
A láncgörbe egyenlete derékszögű koordinátákban:
( 2 )
Az érintő iránytangense ( 2 ) - ből:
( 3 )
( 3 ) - ból invertálással:
( 4 )
Felhasználva a szóban forgó hiperbolikus függvényekre
vonatkozó
( 5 )
azonosságot, ( 2 ), ( 3 ) és ( 5 ) - tel:
( 6 )
innen:
( 7 )
Szintén ismert képlet az ívhosszra, K kezdőponttal:
( 8 )
Az 1. ábráról, ( 4 ) - gyel is:
tehát:
( 9 )
hasonlóan ( 7 ) - tel:
tehát:
-
3
( 10 )
Végül ( 8 ) - cal is:
tehát:
( 11 )
( 11 ) - ből:
( 12 )
Látjuk, hogy függvényeink mind tartalmazzák az a paramétert,
ezért először ezt kell
meghatároznunk. Ha L, φA , φB ismert ( lenne ), akkor ( 12 ) -
ből rögtön meghatározhat -
nánk azt. Itt azonban φA , φB keresett mennyiségek,
meghatározásukhoz előbb a - t kell
előállítanunk, máshogyan.
A korábbiak miatt felírjuk még a következő képleteket is, ( 9 ),
( 10 ) és ( 12 ) - vel:
( 13 )
( 14 )
Ezek megfelelnek a KD - 2 ~ ben kapott kifejezéseknek, ha EA
∞.
A ( 13 ) és ( 14 ) egyenletekben most ismert l , m , L ,
keresett φA és φB . E két ismeretlen
meghatározásához éppen két darab egyenletünk van, ami elvileg
elegendő is. Csakhogy ez
egy nemlineáris egyenletrendszer, melynek megoldása nem annyira
egyszerű. A mi házi -
lagos megoldásunk során úgy járunk el, hogy a ( 13 ) + ( 14 )
egyenletrendszert átírjuk.
Ehhez ( 11 ) - ből:
( 15 )
majd ( 9 ), ( 10 ) és ( 15 ) - tel:
( 16 )
( 17 )
Még tovább alakítva:
-
4
( 16 / 1 )
( 17 / 1 )
Ha tehát a - t ismerjük, akkor ( 16 / 1 ) és / vagy ( 17 / 1 ) -
ből kiszámítjuk tgφA - t, majd
( 15 ) - ből tgφB - t, ezután pedig ( 4 ) és ( 7 ) - tel a
végpontok koordinátái:
( 18 )
. ( 19 )
Az a láncgörbe - paraméter meghatározásának képletét KD - 1 ~
ben részletesen
levezettük. Az eredmény: megoldandó a
( 20 )
( 21 )
( 22 )
egyenlet, melynek ξ0 megoldásával ( 21 ) - ből:
( 23 )
Ezután a ismeretében már a fentebb elmondottak szerint járhatunk
el.
SZÁMPÉLDA
Adatok: l = 4 ( m ); m = 3 ( m ); d = 5 ( m ) ; L = 1,1 d = 5,5
( m ) . ( A )
1. λ számítása: ( 22 ) és ( A ) - val:
( a )
2. A ( 20 ) egyenlet grafikus megoldása, ügyelve a megoldás ( 21
) szerinti előjelére is
– 2. ábra:
( b )
3. Az a paraméter számítása, ( 23 ) szerint:
. ( c )
-
5
2. ábra
4. tgφA számítása ( 17 / 1 ), ( A ) és ( c ) szerint:
innen – 3. ábra:
( d )
5. tgφB számítása ( 15 ), ( A ), ( c ) és ( d ) szerint:
tehát:
( e )
6. A kötél rögzítési pontjai koordinátáinak számítása ( 18 ) és
( 19 ) szerint, ( c ), ( d ) és
( e ) - vel is:
-
6
3. ábra
( f )
( g )
( h )
( i )
A számpélda néhány eredményét a 4. ábrán jelenítettük meg.
Megjegyzések:
M1. Ez a dolgozat egy korábbi hiány pótlása: a már közel hét
évvel ezelőtt írt KD - 2 ~
ben nem megmutatott eljárásra gondolunk, végtelen nagy
húzómerevséget feltételezve.
-
7
4. ábra
M2. A ( 16 / 1 ) és ( 17 / 1 ) képletekkel kapcsolatban
megemlítjük, hogy érdemesebb az
utóbbit használni meghatározására, mert amint azt a 3. ábrán is
láthatjuk, ez egyetlen
megoldást ad, ellentétben ( 16 / 1 ) - gyel. Természetesen ezt a
munkát is elvégeztük, majd
megállapítottuk, hogy melyik a kétféle egyenlet - megoldással
kapott közös gyök.
Részletezve: ( 16 / 1 ), ( A ) és ( c ) szerint
Ennek megoldásai:
( j )
Ámde ( d ), ( e ) és ( j ) összehasonlításából:
( k )
-
8
5. ábra
6. ábra
A ( k ) összefüggések azt jelentik, hogy ( j ) mindkét adata
értelmes, feladatunk szempont -
jából. Ugyanis ezek az A és B* végpontokkal bíró láncgörbére (
is ) vonatkoznak,
-
9
melynél a B* végpont a B pontnak az y tengelyre vett tükörképe.
Ez a 4. ábrán az A pont -
tól balra elhelyezkedő görbeágat jelenti. Azonban feladatunk
megoldása szempontjából
csak az az eredmény jöhet szóba, amely ugyanaz, ( 16 / 1 ) és (
17 / 1 ) megoldása során is.
Ez pedig: ( d ) = ( k1 ).
Úgy is fogalmazhatunk, hogy a ( k2 ) eredmény egy kiegészítő
feladat megoldása; ugyanis
az AB ív L hossza és l vízszintes vetülete általában nem egyenlő
az AB* ív L* hosszával
és l* vízszintes vetületével, ahogyan az a 4. ábráról is jól
leolvasható, kivéve az A = K
esetet. Ezek szerint megállapíthatjuk, hogy tényleg ajánlott (
17 / 1 ) megoldását választa -
ni. Azonban, mint láttuk, nem haszontalan a ( 16 / 1 )
megoldását is elvégezni, akár csak
ellenőrzés céljából is. Tudjuk, hogy minden ellenőrzési
lehetőség kihasználandó.
M3. A ( 16 ) + ( 17 ) egyenletrendszert is tekinthetjük a
feladat alapegyenleteinek, ahol a
keresett mennyiségek az a láncgörbe - paraméter és a tgφA
végérintő - meredekség.
M4. Jelen írásunk címében szerepel, hogy másként. Már látjuk,
hogy ez inkább csak kicsit
másként. Ugyanis a ( 13 ) + ( 14 ) paraméteres egyenletrendszer
megoldásához itt is fel -
használtuk a szokásos eljárást, mely a ( 20 ) egyenlet
megoldásán át vezet. Igaz, az itteni
megoldási módot máshol még nem láttuk, emlékeink szerint.
M5. Némiképpen meglepő lehet az a tény, hogy az L = 1,1 d
összefüggéssel adott ívhossz
esetében az A pontbeli végérintő már negatív hajlású. Bizony, a
kötél érzékeny „műszer”.
M6. Láttuk, hogy a számpélda megoldása numerikus segítség nélkül
nem igazán lehetsé -
ges. Ez itt a Graph ingyenes szoftver volt. Nem árt figyelni
arra is, hogy hogyan érdemes
igazodni a Graph lehetőségeihez, az egyenletek numerikus
megoldása során.
M7. Visszatekintve az elvégzettekre: azt gondoljuk, nem mondható
el, hogy igazából
megoldottuk volna azt a problémát, amit a ( 13 ) + ( 14 )
nemlineáris egyenletrendszer
közvetlen megoldása jelent.
Gyanítjuk, hogy ez nagyságrendekkel fejlettebb numerikus
matematikai segítséget feltéte -
lez, az itteniekhez képest.
Azt viszont elmondhatjuk, hogy találtunk egy „öszvér -
megoldást”, melynek segítségével
jó eséllyel vállalkozhatunk a közönséges láncgörbe - feladatok
némiképpen újszerűnek
ható megoldására. Ne feledjük, hogy egy bevált megoldási mód már
eddig is rendelkezé -
sünkre állt – ld.: KD - 1.! Használjuk ezeket ügyesen,
kreatívan!
-
10
M8. Már említettük, hogy az itteniek a KD - 2 ~ ben felírt, a
rugalmas láncgörbére vonat -
kozó nemlineáris egyenletrendszer speciális esetei, ha a kötél
húzómerevsége tart a végte -
lenhez.
Ha az itteni ( 13 ) + ( 14 ) nemlineáris egyenletrendszert
közvetlenül meg tudnánk oldani,
akkor a KD - 2 ~ ben felírt nemlineáris egyenletrendszerrel is
meg tudnánk azt tenni.
Gyanítjuk, hogy ott is alkalmazható lenne az itt bevezetett
„öszvér - megoldás”, minthogy
KD - 3 ~ ban levezettük az itteni ( 20 ) kulcsegyenlet ottani,
általánosabb megfelelőjét is.
Ehhez lásd még:
KD - 3: Rugalmas láncgörbe – alapvető összefüggések és
tudnivalók, II. rész!
M9. Megint eszembe jut néhai matematika - professzorunk ( Dr.
Moór Arthur ) mondása:
„Tisztelt Kollégák! Ha nem boldogulnak vele, forduljanak
szakemberhez!”
Nos, a vázolt matematikai nehézségek áthidalásának egy módja
lehet az itt is, hogy alkal -
mazott matematikus segítségét vesszük igénybe. Ez valószínűleg
nem lesz olcsó mulatság.
Így aztán ismét csak örülhetünk, ha rendelkezünk valamilyen /
bármilyen megoldási mód -
dal, mint amilyenek az itt közöltek is. Vagy ki tudja…
Összeállította: Galgóczi Gyula
mérnöktanár
Sződliget, 2017. 06. 06.