1 Titulación: Asignatura: Autor: Grado en Ingeniería Métodos Numéricos César Menéndez Planificación: Materiales: Conocimientos previos: Ecuaciones diferenciales ordinarias: Problemas de valor inicial 3 Teoría+2 Prácticas+4 Laboratorio MATLAB T mas . básicos de Cálculo – Desarrollos de Taylor – Sistemas lineales – Ultima actualización: 25/03/2011
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Titulación:
Asignatura:
Autor:
Grado en Ingeniería
Métodos Numéricos
César Menéndez
Planificación:
Materiales:
Conocimientos previos:
Ecuaciones diferenciales ordinarias: Problemas de valor inicial
3 Teoría+2 Prácticas+4 Laboratorio
MATLAB
Tmas. básicos de Cálculo –
Desarrollos de Taylor – Sistemas
lineales –
Ultima actualización: 25/03/2011
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Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Mét. Euler y Taylor
Mét. Runge-Kutta
Mét. Multipaso*
EDOs orden n*
Estables y rígidos*
Resumen
Bibliografía
Software
EDO-Problemas de Valor Inicial
Descripción del problema
Obtener las funciones que verifican una ecuación en que la variable dependiente se relaciona con su variación con respecto a la variable independiente.
Ejemplo: Ley de Newton aplicada al cálculo de la velocidad de descenso de un paracaidista:
Fuerzas actuantes:
– Gravedad (peso) – Resistencia del paracaídas al aire
Opuesta al descenso Proporcional a la velocidad Coeficiente de resistencia
FdvF ma a
dt m
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g c v tdt m
1ct
mgm
v t ec
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Mét. Euler y Taylor
Mét. Runge-Kutta
Mét. Multipaso*
EDOs orden n*
Estables y rígidos*
Resumen
Bibliografía
Software
EDO-Problemas de Valor Inicial
Objetivos
Entender los conceptos de orden, consistencia, estabilidad y convergencia.
Diferenciar los conceptos de error de truncamiento local y global, y su relación.
Comprender los métodos de Taylor y la interpretación gráfica de los de orden más bajo (Euler, Heun y el polígono mejorado).
Entender la base de los métodos predictor-corrector y su conexión con las fórmulas de integración.
Aplicar los métodos de Runge-Kutta y entender cómo se relacionan con el desarrollo en serie de Taylor.
Aplicar los métodoas anteriores a sitemas de ecuaciones diferenciales de primer orden.
Reducir una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden a un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
Comprender la inestabilidad de algunos métodos para tipos especiales de problemas (rígidos).
Saber seleccionar un método numérico para la solución de un problema particular.
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Temario Introducción
Mét. Euler y Taylor
Mét. Runge-Kutta
Mét. Multipaso*
EDOs orden n*
Estables y rígidos*
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Bibliografía
Software
EDO-Problemas de Valor Inicial
Si una ecuación diferencial se puede escribir como un polinomio, su orden es el mayor entero positivo de la n-sima derivada presente en la ecuación.
La potencia más alta con que aparece la derivada que marca el orden de la ecuación se denomina grado.
Ejemplos – EDO segundo orden y grado uno
– EDO primer orden y grado 3
– EDP primer orden y grado2 ( 2 v.i)
– EDP segundo orden y grado 1 (4 v.i.)
– EDO tercer orden sin grado
Conceptos básicos (I)
Una ecuación diferencial es cualquier ecuación que comprenda derivadas de una función con respecto a una sola variable independiente.
Cuando hay varias funciones y una sola variable independiente se tiene un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Cuando hay una función y varias variables independientes se tiene una ecuación en derivadas parciales (EDP).
Cuando hay varias funciones y varias variables independientes se tiene un sistema de ecuaciónes en derivadas parciales (EDP).
2 3y x y xy x
3 2 4 xy xy y e
t xx yy zzk
323 2
t xx y xt y x t
sin 5y y xy
Conceptos básicos
Resolución analítica
Resolución numérica.
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Mét. Euler y Taylor
Mét. Runge-Kutta
Mét. Multipaso*
EDOs orden n*
Estables y rígidos*
Resumen
Bibliografía
Software
EDO-Problemas de Valor Inicial
Conceptos básicos (II)
Forma general de una ecuación diferencial de orden n
Una EDO es lineal cuando lo es en cada derivada de igual orden
Una solución explícita de una EDO de orden n es aquella función y(x) que satisface la EDO para todo valor x del intervalo.
Una solución implícita de una EDO de orden n es aquella relación g(x,y) que define al menos una y(x) que satisface la EDO para todo valor x del intervalo
1 0
n
nf x y f x y f x y g x
1
2
0, 0
2 0
x
x
x
y x e Si
y y x e xy x No
e x
2 20 , 0
, 2 2 0
yy x f x y y x c
f x y yy x
, , , , 0n
f t y y y y
2 3y x y xy x
3sin xy y
xy xy ex y
Conceptos básicos
Resolución analítica
Resolución numérica.
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Objetivos
Temario Introducción
Mét. Euler y Taylor
Mét. Runge-Kutta
Mét. Multipaso*
EDOs orden n*
Estables y rígidos*
Resumen
Bibliografía
Software
EDO-Problemas de Valor Inicial
Conceptos básicos (III)
Una familia de funciones de n parámetros se denomina solución general si es solución de la EDO para cualquier valor de los parámetros y no hay un conjunto inferior de parámetros que representen esas soluciones
La función obtenida al seleccionar los valores de los parámetros se denomina solución particular
f(t,y) satisface la condición de Lipschitz en la variable y (es lipschitciana respecto a y) en DR2 si existe L positiva tal que |f(t,y1)-f(t,y2)|≤L|y1-y2| para todo (t,y1), (t,y2) D.
Si f(t,y) esta definida en un conjunto convexo D y |fy| ≤L en D, entonces es lipschitciana en y.
Un conjunto D es convexo cuando dos puntos cualesquiera se pueden unir mediante un segmento rectilíneo cuyos puntos también pertenecen a D.
Un conjunto D es conexo cuando dos puntos cualesquiera se pueden unir mediante una curva cuyos puntos también pertenecen a D.
1 2 3, , , , , 0nf t y c c c c
2
1 1
2 1
0
x c
x
y x c e Noy y
y x c e Si
2 1 2
1 2 1 2
1, 5, 1,3 , ,
2 2 2
y yyf t y D f t y f t y y y
t t
Conceptos básicos
Resolución analítica
Resolución numérica.
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Mét. Runge-Kutta
Mét. Multipaso*
EDOs orden n*
Estables y rígidos*
Resumen
Bibliografía
Software
EDO-Problemas de Valor Inicial
EDO 1er orden: resolución analítica (I)
Lineales:
– Existencia y Unicidad de Solución
Si p(x) y q(x) son continuas en un abierto que contenga a [a,b]
– Obtención de la solución
Ejemplos
No lineales
– Existencia y Unicidad de Solución
Si f(t,y) es continua y lipschitciana respecto a y en en D={atb,-y},
existe solución y es única (Picard)
– Muy difícil obtener la solución analítica (explícita o implícita) salvo en
casos especiales
2 2 2 222 1 0 1
0 1
tdt t t t ty ty t
t e e y t e e dt cey
0
y p t y q t a t b
y a y
1p t dt
t e y t t q t dt ct
2 2 2
2
22 0 1 1 1
0 1 2
tdt t t t
t
y ty t tt e e y t e tdt c ce
y e
0
,y f t y a t b
y a y
, , 0M t y N t y y Conceptos básicos
Resolución analítica
Resolución numérica.
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Objetivos
Temario Introducción
Mét. Euler y Taylor
Mét. Runge-Kutta
Mét. Multipaso*
EDOs orden n*
Estables y rígidos*
Resumen
Bibliografía
Software
EDO-Problemas de Valor Inicial
EDO 1er orden: resolución analítica (II)
Ejemplo: Solución no única
Ejemplo: singularidades de la solución dependen de la condición inicial
Métodos analíticos
– Variables separables
– Ec. homogéneas
– Ecuaciones exactas
– Fact. integrantes
2 21 1
0 1 0 21 2
y y y yy y
y yt t
3
22
3
2311 33
2
No definida para y=00 0 0
y y dfy t ty
dyy y t
0M t N y y N y dy M t dt
, , , 0 y t
dP t y M t y N t y y M N
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t y P t y M t y N t y ydt
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y y t t
M N M N
N M
M M N N
t g t y g y
Conceptos básicos
Resolución analítica
Resolución numérica.
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Temario Introducción
Mét. Euler y Taylor
Mét. Runge-Kutta
Mét. Multipaso*
EDOs orden n*
Estables y rígidos*
Resumen
Bibliografía
Software
EDO-Problemas de Valor Inicial
EDO 1er orden: resolución analítica (III)
Ejemplo: Variables separables
Ejemplo: Ec. homogéneas
Ejemplo: Ecuaciones exactas
Ejemplo: Fact. integrantes
222 2
cosln sin1 2
1 2 cos ln sin 10 1
0 1
y ty y y t cy
y dy t dt y y tyy
y
2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2 4 2 2 214
01 2
0 1
ln ln 1 2 ln 2 2 1
y ty dt vdv
yt t v t dt t v vdt tdvt v
y
t v c t t y c t t y
22 3
3
3 3 2 3 2
3 13 1 8 3 03
1 2
3 3 4 , 3 4 2 0
y t
y
M t Ny t dt t y t dyP yt ty f y
y P Mdt Ndy
P t t f y N P yt ty y c P t y yt ty y
2
2
2 2
2 2
2
2
2 2 22 ¿ ?
22 0
2 21 12 2 ¿ ?
1 1 2 02 1, 1 0
1 1
y t
y t
M N
y N
M N
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y tM y t
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y tyN t y y
t y
dt dy ydt P t y t y
t t ty
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Resolución numérica.
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Mét. Multipaso*
EDOs orden n*
Estables y rígidos*
Resumen
Bibliografía
Software
EDO-Problemas de Valor Inicial
EDO orden superior: resolución analítica (I)
EDO de segundo orden
– Existencia y Unicidad de Solución
Si f(t,y) es continua y lipschitciana respecto a y e y’ en en
D={atb ,-y ,-y’}, existe solución y es única
– La obtención de solución analítica es complicada.,
incluso en casos aparentemente simples, y suelen dar
lugar a métodos de coeficientes indeterminados y series
de potencias
– Caso lineal
0 0
¨ , ,y f t y y a t b
y a y y a v
0 0
y p t y q t y f t a t b
y a y y a v
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Resolución numérica.
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Mét. Multipaso*
EDOs orden n*
Estables y rígidos*
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EDO-Problemas de Valor Inicial
EDO orden superior: resolución analítica (II)
E.D.O. lineales homogéneas de coeficientes constantes
Las raíces λ de la ecuación característica P(x) proporcionan un
sistema fundamental de soluciones: – Si λ es una raíz real simple de P(x), y=eλx es solución de la ecuación
diferencial.(I)
– Si λ es una raíz real múltiple de orden m de P(x), y=xkeλx, k=0,…,m-1
son soluciones independientes de la ecuación diferencial.(I)
– Si λ= a ± bi son raíces complejas conjugadas de P(x), , y1=eax cos(bx)
e y2=eax sen(bx) son soluciones independientes de la ecuación
diferencial.(I).
– Si λ= a ± bi son raíces complejas conjugadas de multiplicidad m de
P(x), y1k=xkeax cos(bx) e y2k=xkeax sen(bx) , k=0,…,m-1 son soluciones
independientes de la ecuación diferencial.(I)
La solución general de la ecuación diferencial (I) se obtiene
como combinación lineal de las soluciones simples obtenidas
para cada raíz.
1 0
1 0
0
Ec. Característica :
n
n
n
n
a y a y a y I
P x a x a x a
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Resolución numérica.
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Mét. Runge-Kutta
Mét. Multipaso*
EDOs orden n*
Estables y rígidos*
Resumen
Bibliografía
Software
EDO-Problemas de Valor Inicial
EDO orden superior: resolución analítica (III)
E.D.O. lineales completas de coeficientes constantes
La solución general de la ecuación es igual a la suma de la solución
general de la homogénea correspondiente, y de cualquier solución
particular de la ecuación completa.
Método de los coeficientes indeterminados: Se toma una solución particular
de la ecuación completa del mismo tipo que el término independiente y cuyos
coeficientes se determinan sustituyendo la solución en la ecuación.
– Si f(x)=Pm(x) y λ= 0 no es raíz de P(x), yp=A0xm +A1x
m-1+...+Am.
– Si f(x)=Pm(x) y λ= 0 es raíz de orden r, de P(x), yp= xr(A0xm +A1x
m-1+...+Am)
– Si f(x)= eaxPm(x), yp=eax.Qm(x) si a no es raíz de P(x) o yp=xreax.Qm(x) ) si a es
raíz de P(x) de orden r.
– Si f(x)=eax(Pm(x)cosbx+Qs(x)senbx)), yp=eax(U(x)cosbx+V(x)senbx)), si a ± bi
no es raíz de P(x) o yp=xreax(U(x)cosbx+V(x)senbx)) si a ± bi es raíz de P(x) de
orden r, donde U(x) y V(x) son polinomios de grado = max (m,s)
1 0
n
na y a y a y f x II
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Resolución analítica
Resolución numérica.
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Mét. Multipaso*
EDOs orden n*
Estables y rígidos*
Resumen
Bibliografía
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EDO-Problemas de Valor Inicial
Ejemplo
Solución general de la homogénea
Solución particular
Solución completa
Condiciones iniciales
EDO orden superior: resolución analítica (IV)
4 2 0 1
0 1 0 2 0 3 0 4
y y x x
y y y y
4
0 0
1 2 3 4
1 1,
cos sinx x x x
g
P x x P i
y x c e c e c e x c e x
2
2 1 0
2
4 2 2
2 1 0 1
0
1
0 0
0
p
p p
y x a x a x a
a
y y a x a x a x a
a
4
2
1 2 3 4
1 1,
cos sinx x
c g p
P x x P i
y x y x y x c e c e c x c x x
1 2 3 1 2 3
1 2 4 1 2 4
2
0 1 0 3
0 2 0 4
2 2cos sin
c c
c c
x x
c
y c c c y c c c
y c c c y c c c
y x e e x x x
Conceptos básicos
Resolución analítica
Resolución numérica.
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Mét. Runge-Kutta
Mét. Multipaso*
EDOs orden n*
Estables y rígidos*
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EDO-Problemas de Valor Inicial
EDO: resolución numérica (I)
Casos – La resolución numérica se centra en las EDO de primer orden dado que
las de orden superior se pueden reducir a sistemas de primer orden.
– Por su interés específico, a veces se estudian las de segundo orden (asociadas a problemas de contorno).
Problema perturbado: perturbaciones asociadas a la EDO y a la condición inicial
Problema bien planteado – El problema tiene solución única – El problema perturbado tiene solución única y su error respecto al inicial
esta acotado si lo están las perturbaciones
, ,
a
y f t y a t b z f t z t a t b
y a z a
1 1 2
2 1
3
3 1 2
1
, , , , 0
, , , , 0
n
n
nn nn
y y f t y y y y
y y y y
f t y y y y y y y y
y yy y
00 < , : < k t a b t y t z t k
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Mét. Runge-Kutta
Mét. Multipaso*
EDOs orden n*
Estables y rígidos*
Resumen
Bibliografía
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EDO-Problemas de Valor Inicial
EDO: resolución numérica (I)
Proceso – No se obtiene la solución analítica, sino un conjunto de pares (ti,yi) que
representan los valores aproximados de la solución para diferentes
valores de la variable independiente.
– Los resultados se deben interpolar (o ajustar) si se desean en valores
intermedios.
– Es necesario que el problema este bien planteado ya que los métodos
numéricos introducen perturbaciones de los coeficientes debido a la
aritmética del ordenador.
El problema de valor inicial de primer orden esta bien planteado si
f(t,y) es continua y lipschitciana respecto a y en D={[a,b] (-,)}.
Ejemplo: problema bien planteado
22
2 2
1 2 1 2 1 2
22
2
1 0 21 0.5
0 0.5
, , 1 1 1
1
1 0 21 0.5
0.5
2 1
t
y
t
a
a
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a
y y t ty t t e
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f t y f t y y t y t y y
f
z z t t tz t t t e t
z a
y t z t t e t e
Conceptos básicos
Resolución analítica
Resolución numérica.
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Objetivos
Temario Introducción
Mét. Euler y Taylor
Mét. Runge-Kutta
Mét. Multipaso*
EDOs orden n*
Estables y rígidos*
Resumen
Bibliografía
Software
EDO-Problemas de Valor Inicial
Fundamentos
Métodos de Taylor – Discretizan el intervalo total en n subintervalos iguales (puntos equiespaciados
con paso h) y obtiene aproximaciones de la solución en esos puntos.
– Utilizan el desarrollo en serie de Taylor
Orden de un método: orden de la derivada superior utilizada en el
desarrollo de Taylor o, equivalentemente, grado del polinomio para el que
el método teórico no tiene error.
Notación: wk y(tk)
121
1 1 1 1
, 1,
1! 2! 1 ! !
,
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k k k k
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n n
y t f t y t
y t f t y t f t y t f t y t y f f f
y t y t f f f f f f f f f
t yf f
Fundamentos
Met. Euler
Met. Taylor
Errores
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Mét. Multipaso*
EDOs orden n*
Estables y rígidos*
Resumen
Bibliografía
Software
EDO-Problemas de Valor Inicial
Método de Euler (Taylor de orden 1)
Base teórica y algoritmo
Ejemplo: tomando h=0.25 y h=0.1 resolver y representar la solución
2
1 1
0
1 1 1
,
1! 2!
, 1
k k k
k
k k k k
y f t y a t b h hy t y t y t y
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w t a kh
b aw w hf t w k n h
n
20 1 0 1 1ty t y Y t ty
0 0
01 1 0 0 0 0
0
12 2 1
1
23 3 2
2
34 4 3
3
0 1
00.25 , 0.25 1 0.25 11
0.250.5 0.25 1 0.25 0.93751
0.50.75 0.25 0.9375 0.25 0.80420.9375
0.751.0 0.25 0.8042 0.25 0.57100.8042
t w
tt h w w hf t w w
w
tt w w
w
tt w w
w
tt w w
w
Fundamentos
Met. Euler
Met. Taylor
Errores
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EDOs orden n*
Estables y rígidos*
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Bibliografía
Software
EDO-Problemas de Valor Inicial
Ejemplo de Euler
t0=0 w0=1.0000
t1=0.1 w1=1.0000
t2=0.2 w2=0.9900
t3=0.3 w3=0.9698
t4=0.4 w4=0.9389
t5=0.5 w5=0.8963
t6=0.6 w6=0.8405
t7=0.7 w7=0.7691
t8=0.8 w8=0.6781
t9=0.9 w9=0.5601
t10=1.0 w10=0.3994
Fundamentos
Met. Euler
Met. Taylor
Errores
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Mét. Euler y Taylor
Mét. Runge-Kutta
Mét. Multipaso*
EDOs orden n*
Estables y rígidos*
Resumen
Bibliografía
Software
EDO-Problemas de Valor Inicial
Método de Taylor de orden superior (I)
Base teórica y algoritmo
Ejemplo: tomando h=0.25 resolver para Taylor de orden 1, 2, 3 y 4
Un método multipaso de paso m (con m>1) para resolver la EDO anterior es aquel cuya ecuación en diferencias para obtener la aproximación en tn+1 se puede representar mediante
donde los valores ak y bk son constantes y se dispone de los valores iniciales wk.
Si b0=0 se denomina explícito: el siguiente término se calcula directamente (Adams-Bashford)
Si b00 se denomina implícito: es necesario resolver una ecuación no lineal para obtener la aproximación (Adams-Moulton)
Inconvenientes: – Necesita valores iniciales que deben obtenerse mediante otros métodos – Existen dificultades cuando se plantea con paso variable (se deben
recalcular los pasos anteriores) – Problemas de convergencia en los métodos implícitos
1 1
1
1
1
1
,,
,
donde es un polinomio de interpolación
n n
n n
n
n
n
n
t t
t t
t
n nt
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n nt
y f t y a t by t dt f t y t dt
y a
y t y t f t y t dt
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1 1 1 11 0
,m m
i k ki k i k i kk k
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Fundamentos
Adams-Bashford
Adams-Moulton
Predictor-Corrector
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EDOs orden n*
Estables y rígidos*
Resumen
Bibliografía
Software
EDO-Problemas de Valor Inicial
Obtención de métodos (I)
Adams Bashford (explícitas o abiertas)
– El método de Adaams Bashford con paso coincide con método de Euler
Adams Moulton (implícitas o cerradas)
El error de truncamiento local de un método multipaso
viene dado por
1
1 1 1 1 11
1 1 1
con , ,
,,
!
n
n
mt
n n m i k i k i kt k
m
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n
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m
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w w P t dt P t t f t w
f yf t y t P t t t t t t t t t
m
1 1
11 1 1
0
,
m
i k i k mk
i k i k i kk
y t a y t
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1 1 1 11 0
,m m
i k ki k i k i kk k
w a w h b f t w
Fundamentos
Adams-Bashford
Adams-Moulton
Predictor-Corrector
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Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Mét. Euler y Taylor
Mét. Runge-Kutta
Mét. Multipaso*
EDOs orden n*
Estables y rígidos*
Resumen
Bibliografía
Software
EDO-Problemas de Valor Inicial
Obtención de métodos (II)
Adams Bashford de n pasos
Adams Moulton de n pasos
n Formula
2
3
4
5
n Fórmula
1
2
3
4
25
12h y
33
8
ivh y
4251
720
vh y
595
288
vih y
1i h
11 1 12
3 , ,i i i i i iw w h f t w f t w
11 1 1 2 212
23 , 16 , 5 ,i i i i i i i iw w h f t w f t w f t w
1 1 2 211 24
3 3
55 , 59 , 37 ,
9 ,
i i i i i i
i i
i i
f t w f t w f t ww w h
f t w
1 1 2 211 720
3 3 4 4
1901 , 2774 , 2616 ,
1274 , 251 ,
i i i i i i
i i
i i i i
f t w f t w f t ww w h
f t w f t w
31
24
ivh y
419
720
vh y
53
160
vih y
1i h
11 1 1 1 112
5 , 8 , ,i i i i i i i iw w h f t w f t w f t w
11 1 1 1 1 2 224
9 , 19 , 5 , ,i i i i i i i i i iw w h f t w f t w f t w f t w
1 1 1 111 720
2 2 3 3
251 , 646 , 264 ,
106 , 19 ,
i i i i i i
i i
i i i i
f t w f t w f t ww w h
f t w f t w
11 1 12
, ,i i i i i iw w h f t w f t w 21
12h y
Fundamentos
Adams-Bashford
Adams-Moulton
Predictor-Corrector
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
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Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Mét. Euler y Taylor
Mét. Runge-Kutta
Mét. Multipaso*
EDOs orden n*
Estables y rígidos*
Resumen
Bibliografía
Software
EDO-Problemas de Valor Inicial
Ejemplo multipaso
Se utiliza Runge Kutta de orden 4 para arrancar el método y se toma h=0.25