Ecuaciones diferenciales ordinarias

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

INTRODUCCIÓN

Una solución de una ecuación diferencial ordinaria es una función especifica de la variable dependiente y de sus parámetros que satisfagan la ecuación diferencial original. Para ilustrar este concepto, se parte de la ecuación (1):

Se deriva con respecto a para obtener la ecuación diferencial ordinaria dada por la ecuación (2):

INTRODUCCIÓN

Esta ecuación también se describe el comportamiento del polinomio, pero en vez de representar explícitamente los valores de para cada uno de los valores de , la ecuación (2) proporciona la relación de cambio de respecto a , esto es, la pendiente para cada valor de . Si se integra la ecuación (2) se obtendrá la ecuación (3).

INTRODUCCIÓN

Esta ecuación es casi idéntica a la ecuación (1), solo que en el proceso de derivar e integrar se pierde el valor de la constante cuyo valor es 1 en la ecuación original. La constante de integración indica que la solución no es única, y puede existir un numero infinito de valores que satisfagan la ecuación (3). Para integrar una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, se requiere de una condición auxiliar para determinar la constante. Si se conoce el valor de , la condición auxiliar recibe el nombre de condición inicial; pero si se conoce el valor de diferente de cero, la condición auxiliar se denomina condición limite. Si la ecuación (2) va acompañada de la condición inicial , al sustituir estos valores en la ecuación (3) generan la ecuación de partida (1). Las condiciones iniciales o limites por lo general tienen interpretaciones reales en modelos de ecuaciones diferenciales de problemas físicos.

INTRODUCCIÓN

La figura 1 muestra la gráfica de la ecuación (3) para diferentes valores de . Observe que la figura es igual en los tres casos y que solamente se desplaza en el eje . La condición auxiliar sirve entonces para seleccionar solo una de las curvas pertenecientes a la familia de curvas generadas con la ecuación (3).

INTRODUCCIÓN

Figura 1. Familia de curvas generadas con la ecuación (3)

MÉTODO DE EULER

Este método se aplica en la solución de ecuaciones diferenciales que tienen la forma:

En este método se utiliza la pendiente , para extrapolar a partir de un valor anterior un nuevo valor de usando un incremento en igual a la distancia . La ecuación (4) puede ser expresada con una razón de diferencias.

MÉTODO DE EULER

Despejando de la ecuación (5) el termino se obtiene la ecuación (6) que permite el calculo de las aproximaciones futuras de la función.

En la figura 2 se muestra gráficamente como se emplea la pendiente para el calculo de los nuevos valores de . Obsérvese que el valor real de en no corresponde al valor calculado, por lo que se tiene une error que puede ser reducido disminuyendo el valor de paso de la integración, . Esta ultima actividad tiene un costo puesto que aumenta el numero de cálculos que se tienen que llevar a cabo. A continuación se describe comos e emplea el método de Euler en la solución de la ecuación diferencial ordinaria.

MÉTODO DE EULER

Despejando de la ecuación (5) el termino se obtiene la ecuación (6) que permite el calculo de las aproximaciones futuras de la función.

En la figura 2 se muestra gráficamente como se emplea la pendiente para el calculo de los nuevos valores de . Obsérvese que el valor real de en no corresponde al valor calculado, por lo que se tiene une error que puede ser reducido disminuyendo el valor de paso de la integración, . Esta ultima actividad tiene un costo puesto que aumenta el numero de cálculos que se tienen que llevar a cabo. A continuación se describe como se emplea el método de Euler en la solución de la ecuación diferencial ordinaria.

MÉTODO DE EULER

𝑦 𝑖+1𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 𝜙𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

h

𝑥𝑖 𝑥𝑖+1

𝑦 𝑖+1𝑟𝑒𝑎𝑙

𝑦 𝑖+1

Figura 2. Representación gráfica del método de Euler

MÉTODO DE EULER

Ejemplo 1

Resolver la ecuación diferencial por el método de Euler, para utilizando como condiciones iniciales con tamaños de paso de integración de . Compare los resultados contra los valores de solución analítica. Prepare una grafica de errores relativos.

MÉTODO DE EULER

Solución Analítica

Si se resuelve en forma analítica por separación de variables e integración directa se tiene:

MÉTODO DE EULER CON EXCEL

La solución del problema usando la herramienta Excel se puede seguir el programa mne6-1v3. En la hoja 1 aparece la versión completa del método, todos los cálculos son realizados paso a paso para la mejor comprensión del mismo. La figura 3 muestra la hoja con la distribución de las celdas y los cálculos realizados. Los renglones 5 y 13 se han usado para etiquetar las diferentes columnas que integran el algoritmo.. En la columna A se incluye el numero de iteraciones que se requieren hasta alcanzar el valor deseado. En este ejemplo son 5 iteraciones para cuando se tiene un paso de integración, , de 0.1 y diez iteraciones cuando se disminuye a .


Figura 3 Hoja de Calculo con la solución del Ejemplo


En las celdas de la columna B aparecen los valores de la variable independiente. El valor inicial de , se coloca en la celda B6. A partir de ahí se calculan los valores siguientes de . La celda B7 lleva la formula de incremento de con le paso de integración .

Los valores de la variable dependiente se colocan en las celdas de la columna C. En C6 va el valor inicial . En la celda C7 se copia el valor correspondiente al valor calculado en la iteración anterior (celda E6). Los valores para la pendiente, ecuación (5), se calculan en las celdas de la columna D.


Figura 4. Gráfica comparativa de valores analíticos y calculados y gráfica de errores del Ejemplo


En la celda D6 se incluye el calculo mediante la ecuación , equivalente a . Los valores de las celdas en blanco en las columnas C, D y E se obtienen copiando y actualizando los valores a partir de la celda inicial en cada columna. La figura 4 incluye las comparación de la solución analítica contra las graficas obtenidas con así como los errores relativos para los dos tamaños de integración. Se puede observar que cuando el paso de integración se reduce, los valores de los errores calculados también se reducen, pero con el costo de incrementar el numero de evaluaciones de las funciones.


Una versión mas versátil del algoritmo de Euler es desarrollada en la Hoja 2 del mismo archivo: la figura 5 muestra el esquema compacto para realizar los cálculos de manera repetitiva, en tan solo dos renglones; pero con la posibilidad de almacenar los datos intermedios para generar las gráficas de resultados. Los datos de entrada corresponden al valor inicial y al valor deseado de la variable independiente.


Figura 5. Versión corta del Método de Euler


En la versión corta se hace uso del arrancador y del contador para mantener el control del flujo de cálculos. Se incluye la posibilidad de seleccionar tanto el numero de segmentos de integración como el de puntos deseados para construir las graficas de resultados. Es importante mencionar que el numero de segmentos de integración deberá ser múltiplo de puntos deseados para construir las graficas. La Figura 6 muestra las gráficas que se generan al emplear 10000 segmentos y 10 puntos para construir la gráfica.

Observe que el error relativo porcentual producido con este numero de segmentos es mucho menor al calculado cuando se emplearon 5 y 10 segmentos.


Figura 6. Resultados del proceso de integración con la versión corta


Una tercera versión se emplea al ambiente Visual Basic para generar la solución mostrada en la Figura 7. Al abrir la Hoja 3 del programa se observa el arrancador y el contador han desaparecido, pero ahora se tiene un botón para calcular y otro para limpiar las celdas de datos. Al oprimir el botón de calcular se generaran automáticamente los resultados de la integración que se pueden emplear en la construcción de una gráfica. Al igual que en la versión corta se pueden modificar el numero de segmentos empleados en la integración y el numero de puntos deseados para formar la gráfica. El algoritmo de programación en Visual Basic puede ser consultado directamente en el archivo correspondiente a este ejemplo.


Figura 7. Versión Visual Basic del Método de Euler


En la primera parte del archivo se dimensionan las variables a emplear, luego se leen los valores de los limites de integración, numero de segmentos y numero de puntos para la gráfica. A partir de ahí se inicial el ciclo de integración. Para el calculo del error se incluyen como funcionan tanto la ecuación a integrar como la solución analítica.

MÉTODO DE EULER CON MATLAB

Ejemplo

Dada la ecuación diferencial , use el método de Euler para aproximar tomando como numero de paso para el proceso iterativo, si la condición inicial es

Respuesta:



Ecuaciones diferenciales ordinarias

Education