ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA Código del Curso- Ecuaciones Diferenciales Act 12: Lección Evaluativa Unidad 3 1 Base teórica sobre serie de potencias Recordemos que una sucesión S n converge a un número p o que es convergente con el limite p, si para cada número positivo dado Є, se puede encontrar un numero N tal que │S n - p│< Є para todo n>N Geométricamente hablando, la expresión anterior significa que S n se encuentra entre (S n – Є) y (S n – Є) cuando n>N. Se debe tener en cuenta que N depende del valor que se elija para Є. Ahora para el caso que tratamos p=S n – R n . Por lo tanto, │S n - p│= │R n │ luego la convergencia en x=x 0 significa que podemos hacer │R n (x 0 )│tan pequeño como queramos. Podemos resumir que una sucesión converge en un punto x=a si se cumple que │x - a│< R y diverge si │x - a│> R, donde R se llama radio de convergencia. El radio de convergencia puede determinarse a partir de los coeficientes de la serie, por medio de las siguientes formulas: 1 1 1 ) lim ) lim n n n n n n C A c B R R c Siempre y cuando existan los limites. Ejemplo 1) Para el caso de la serie 1 1 1 1 ( 1)3 1 1 3 lim lim lim ( )(3 ) 3 3 3 n n n n n n n m m m m R m m , el radio de convergencia es: 1/R= 1 dado que C=1 2) Si tenemos la serie , el radio de convergencia será: 1 1 1 1 ( 1)3 1 1 3 lim lim lim ( )(3 ) 3 3 3 n n n n n n n m m m m R m m
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Código del Curso- Ecuaciones Diferenciales
Act 12: Lección Evaluativa Unidad 3
1
Base teórica sobre serie de potencias
Recordemos que una sucesión Sn converge a un número p o que es convergente
con el limite p, si para cada número positivo dado Є, se puede encontrar un
numero N tal que
│Sn - p│< Є para todo n>N
Geométricamente hablando, la expresión anterior significa que Sn se encuentra
entre (Sn – Є) y (Sn – Є) cuando n>N. Se debe tener en cuenta que N depende del
valor que se elija para Є.
Ahora para el caso que tratamos p=Sn – Rn. Por lo tanto, │Sn - p│= │Rn│ luego la
convergencia en x=x0 significa que podemos hacer │Rn(x0)│tan pequeño como
queramos.
Podemos resumir que una sucesión converge en un punto x=a si se cumple que
│x - a│< R y diverge si │x - a│> R, donde R se llama radio de convergencia.
El radio de convergencia puede determinarse a partir de los coeficientes de la
serie, por medio de las siguientes formulas:
11 1) lim ) lim nn
nn n
n
CA c B
R R c
Siempre y cuando existan los limites.
Ejemplo
1) Para el caso de la serie
1
1
11 ( 1)3 1 13lim lim lim
( )(3 ) 3 33
nn
nn n nn
mm m
mR m m
, el radio de
convergencia es: 1/R= 1 dado que C=1
2) Si tenemos la serie , el radio de convergencia será:
1
1
11 ( 1)3 1 13lim lim lim
( )(3 ) 3 33
nn
nn n nn
mm m
mR m m
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Luego el radio de convergencia es R=3, entonces el intervalo de convergencia
│X│< 3, luego se tiene que [-3≤ x ≤3].
Soluciones mediante series de potencias1
Se ha visto en temas anteriores cómo resolver algunas ecuaciones lineales de 2º orden:
las de coeficientes constantes y algunas de coeficientes variables, como las de Euler o
aquellas de las que se conoce una solución particular de la correspondiente homogénea.
Pero, en general, no se ha visto cómo resolver las ecuaciones lineales con coeficientes
variables, algunas de las cuales aparecen ligadas a importantes problemas de la Física,
como las ecuaciones de Legendre, Hermite, Airy, Bessel, etc. que son de coeficientes
polinómicos.
Además, las ecuaciones hasta ahora vistas, generalmente tienen soluciones expresables
en términos de un nº finito de funciones elementales (polinomios, exponenciales,
trigonométricas, etc., o inversas de éstas). Otras veces, aun sabiendo resolver la
ecuación, había que expresar la solución por medio de una integral. Pero en general, las
soluciones no pueden expresarse tan fácilmente.
Es necesario por tanto, buscar otros modos de expresar las soluciones de ecuaciones
lineales de 2º orden, que propicien a su vez nuevos métodos de resolución de las mismas.
En este tema se estudiará un método de resolución basado en la representación de
soluciones mediante series de potencias. Y en los dos siguientes, mediante series de
Frobenius.
1. SOLUCIÓN MEDIANTE SERIES DE POTENCIAS EN EL ENTORNO DE UN PUNTO
ORDINARIO
Se va a considerar el caso de la ecuación diferencial lineal homogénea de 2º orden:
1 Tomado de la pagina web: www1.ceit.es/Asignaturas/EcDif1/ApuntesED/edtema11.doc
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0y)xR(y)xQ(y)xP( 1
ó en forma canónica :
0y)xq(y)xp(y 1´
Definiciones.
Un punto x0 se llama punto ordinario de 1 o 1´ si las funciones p( )Q( )
P( )x
x
x y
q( )R( )
P( )x
x
x son analíticas en x0 (es decir, si p(x) y q(x) tienen desarrollos en serie de
Taylor en torno a x0 con radios respectivos de convergencia R1 y R2 no nulos)
Si P(x), Q(x), R(x) son polinomios, entonces x0 es punto ordinario de 1 si y sólo si P(x0)
0 (siendo 1 no simplificable).
Si x0 no es punto ordinario, se llama punto singular de la ecuación 1 ó 1´.
Según el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas, la simple
continuidad de p(x) y q(x) en un entorno I de un x0, es suficiente para garantizar la
existencia de dos soluciones linealmente independientes de la ecuación 1´ en dicho
entorno, así como para garantizar la existencia y unicidad de solución del problema de
valor inicial definido por 1´ y las condiciones: y(x0) = y0, y´(x0) = b0 con x0 I
Pero si además es x0 un punto ordinario de 1 ó 1´, las p(x) y q(x) no sólo son
continuas en I, sino analíticas. Y cabe preguntarse entonces si las soluciones de tal
ecuación heredarán dicha propiedad. Por tanto, si x0 es un punto ordinario de 1 , surgen
las preguntas siguientes:
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¿Existen soluciones analíticas de 1 en un entorno de x0 , es decir, soluciones de la
forma :
...)xx(a...)xx(a)xx(aayn
0n2
02010 2
En caso afirmativo:
¿Cómo se obtienen los coeficientes an?
¿Dónde converge la serie 2 ?
Es importante poder responder a estas preguntas, pues sería absurdo intentar buscar
soluciones de la forma 2, si no existen. Si existen en I, pueden además derivarse
término a término en I.
Las respuestas a estas preguntas las da el siguiente teorema, que será enunciado, pero
no demostrado.
Teorema:
Si x0 es un punto ordinario de 1 (ó 1’ ) entonces la solución general de 1 en un cierto
entorno de x0 puede escribirse en la forma 2 y a su vez:
)x(ya)x(ya)xx(ay 2110
0n
n0n
Siendo a0, a1 ctes arbitrarias e y1(x), y2(x) analíticas en un entorno I de x0, y linealmente
independientes en I.
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El radio de convergencia de las series y1(x) e y2(x) es al menos tan grande como el
mínimo de los radios de convergencia de los desarrollos en serie de p(x) y q(x) en torno a
x0 (es decir, al menos igual a la distancia de x0 al punto singular más próximo de la
ecuación 1, sea dicho punto real o complejo)
Los coeficientes an de la serie 2 se obtienen en términos de a0 y a1 , sustituyendo la
serie genérica
0n
n0n )xx(ay en 1, (así como los desarrollos de p(x) y q(x) si
P(x), Q(x), R(x) no son polinomios) y procediendo por coeficientes indeterminados.
Observaciones:
a) La serie solución puede converger con radio mayor que el indicado en el teorema.
b) Si el punto ordinario es x0 0, pueden simplificarse las notaciones trasladando x0 al
origen, mediante el cambio x - x0 = t.
c) Según el teorema de existencia y unicidad, cada solución está determinada de manera
única por los valores y(x0) e y’(x0), es decir por a0 y a1 . Por eso, todos los coeficientes se
obtienen en términos de a0 y a1.
d) El método para resolver una ecuación completa : y x y x y xp( ) q( ) h( ) , siendo
x0 punto ordinario y h(x) analítica en x0, es análogo. En este caso, también hay que
desarrollar h(x) en serie de potencias en torno a x0, antes de proceder por coeficientes
indeterminados. También podría resolverse en primer lugar la ecuación homogénea y
actuar luego por variación de constantes, o por reducción de orden.
e) Es claro que podría usarse un método semejante para ecuaciones diferenciales
lineales, de primer orden.
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2. EJEMPLOS
Ejemplo 1
Hallar la solución general de la ecuación diferencial 0yyxy , determinando dos
soluciones linealmente independientes en serie de potencias de x. Campo de validez de
las mismas. En particular obtener la solución tal que y (0) = 1 y´(0) = 0.
_____________
Es p( )
q( )
x x
x
1
. Ambas analíticas en x0 = 0, con radios de convergencia de sus
respectivos desarrollos R
R
1
2
, es decir x0 = 0 es punto ordinario..
Luego, según el teorema anterior, existe solución de la ecuación en serie de potencias de