Solución de la Solución de la expresión expresión cuadrática por cuadrática por factorización factorización
Solución de la Solución de la expresión expresión
cuadrática por cuadrática por factorizaciónfactorización
¿Qué es una ecuación ¿Qué es una ecuación cuadrática?cuadrática?
• Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita.
La ecuación cuadrática se La ecuación cuadrática se expresa de la manera expresa de la manera
siguiente:siguiente:
donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c
es el término independiente.
HistoriaHistoria• La ecuación de segundo grado y su solución
tiene origen antiguo. Se conocieron algoritmos para resolverla en Babilonia y Egipto.
• En Grecia fue desarrollada por el matemático Diofanto de Alejandría.
• La solución de las ecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa por el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum.
Clasificación: Clasificación:
La ecuación de segundo grado se La ecuación de segundo grado se
clasifica de la siguiente manera:clasifica de la siguiente manera:• Incompleta pura
• Incompleta mixta
• Completa
Incompleta PuraIncompleta PuraPara resolver una ecuación cuadrática pura, basta
con despejar la variable y sus raíces serán iguales y de signo contrario.
ax² + C = 0 despejando tenemos ax² = -C Por lo tanto : x² = - C a x = √ -C a
Ejemplo ecuación Ejemplo ecuación cuadrática Puracuadrática Pura
Forma: ax² + c = 0 SustituciónCon valores: 3x² - 9 = 0 3x² - 9 = 0Despejando :3x² = 9 3(1.732…) ² -9= 0 x² = 9/3 3(3) -9 = 0 x² = 3 9 – 9 = 0 x = ± √ 3 0 = 0Resultado: x1 = + 1.73205… x2 = - 1.73205 …
Ecuación cuadrática Ecuación cuadrática PuraPura
Forma: ax² + c = 0
Con valores: 8x² + 24 = 0
x² =24/8
x² =3
x = ± √3
Resultado: x1 = + 1.7320
Resultado: x1 = - 1.7320
EjerciciosEjercicios2x² + 8 = 0 8x² + 16= 0
10x² + 100 = 0 3x² + 24 = 0
4x² + 24 = 0 8x² +48 = 0
x² + 20 = 0 2x² + 24 = 0
5x² + 45 = 0
4x² - 40 = 0 8x² - 80= 0
x² - 12 = 0 3x² - 39 = 0
2x² - 88 = 0 6x² -48 = 0
x² - 20 = 0 15x² - 300 = 0
6x² - 66 = 0
Incompleta MixtaIncompleta MixtaLas ecuaciones cuadráticas mixtas se resuelven por
factorizacion simple. Una de sus raíces es igual a cero y la otra tendrá un valor real.
ax² + bx = 0 factorizamos: x (ax + b) = 0
La primera raíz es: x1= 0
Del paréntesis : ax + b = 0
Despejando: ax = - b
Luego la segunda raíz es : x2 = -b a
Ejemplo ecuación Ejemplo ecuación cuadrática mixtacuadrática mixta
Forma: ax² + bx = 0
Con valores: 2x² - 6x = 0Factorizando: 2x( x – 3) = 0La primera raiz es: 2x = 0Por lo tanto: x1 = 0Igualando a cero: x – 3= 0La segunda raiz es: x2= 3
Ecuación cuadrática Ecuación cuadrática mixtamixta
Sustituyendo : 2x² - 6x = 0x1 = 0 x2= 3
2(0) ² -6(0)= 0 2(3) ² - 6(3) = 02(0) – 6 (0) = 0 2(9) – 18 =0
0 – 0 = 0 18 – 18 = 0 0 = 0 0 = 0
• Forma: ax² + bx = 0
• Con valores: 2x² - 8x = 0• Factorizando: 2x( x – 4) = 0• La primera raiz es: 2x = 0• Por lo tanto: x1 = 0• Igualando a cero: x – 4= 0• La segunda raiz es: x2= 4
• Forma: ax² + bx = 0
• Con valores: x² - 4x = 0• Factorizando: x( x – 4) = 0• La primera raiz es: x = 0• Por lo tanto: x1 = 0• Igualando a cero: x – 4= 0• La segunda raiz es: x2= 4
EjerciciosEjercicios2x² + 8x = 0 8x² + 16x= 0
10x² + 100x = 0 3x² + 24x = 0
4x² + 24x = 0 8x² +48 x= 0
x² + 20x = 0 2x² + 24x = 0
5x² + 45x = 0
4x² + 40x = 0 8x² + 80x= 0
x² + 12x = 0 3x² + 39x = 0
2x² + 88x = 0 6x² +48 x= 0
x² + 20x = 0 15x² + 300x = 0
6x² + 66x = 0
Ecuación cuadrática Ecuación cuadrática completacompleta
Las ecuaciones cuadráticas de la forma completa pueden resolverse por distintos métodos como son
por factorizacion, por formula general o completando el trinomio del cuadrado perfecto.
Su forma es:
Solución por Solución por factorizacionfactorizacion
• Este metodo consiste en:
• Factorizar el trinomio en el producto de dos binomios
• Para que este producto se anule es necesario que se anule uno de los factores, es decir, se iguala a cero el producto
• Se despeja la variable (por lo general “x”)
Ejemplo por Ejemplo por factorizacionfactorizacion
Forma : Ax² + Bx + C = 0Con valores: x² + 5x + 6 = 0Factorizamos el trinomio: (x + 2) (x + 3) = 0
• x² + 6x + 8 = 0
xx² + 10x + 21 = 0² + 10x + 21 = 0
xx² + x - 6= 0² + x - 6= 0
• x² + 12x + 36= 0
• x² + 14x + 40 = 0
• x² - 5x - 6 = 0
• x² + 7x + 6 = 0
4x4x² - 12x + 6 = 0² - 12x + 6 = 0
6x6x² - 19x + 10 = 0² - 19x + 10 = 0
12x12x² -17x + 6 = 0² -17x + 6 = 0
Solución por formula Solución por formula generalgeneral
• La formula general se aplica empleando los coeficientes de la ecuación cuadrática completa:
• Ax² + Bx + C = 0 • La formula general es: x= -B ± √ B² - 4 AC• 2A
Ejemplo por formula Ejemplo por formula generalgeneral
Los coeficientes son : A = 3, B = 4, C = -4La ecuación: 3x² + 4 x – 4 = 0Los sustituimos: x = -4 ± √ (4) ² - 4 (3) (-4)
2(3)Multiplicando dentro del x = -4 ± √ 16 + 48 Radical. 6Sumando: -4 ± √ 64 6 La primera solución es: x1 = -4 + 8 = 4 = 2 6 6 3La segunda solución es: x2 = -4 – 8 = -12 = -2 6 6
Ecuación Ecuación cuadrática cuadrática completacompleta3x² + 4 x – 4 = 0
x1= 2/3 x2= -23(2/3) ² + 4(2/3) – 4 = 0 3(-2) ² + 4(-2) – 4 = 0 3(4/9) + 4(2/3) – 4 = 0 3(4) + 4 (-2) – 4 = 0 4/3 + 8/3 – 4= 0 12 -8 -4 = 0 12/3 -4 = 0 12 -12 =0 4 -4 = 0 0 = 0