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Leccin 3. Factorizacin LU
lgebra Lineal & Mtodos NumricosDpto. Matemtica Aplicada y
Estadstica
Grado en Ingeniera en Sistemas de TelecomunicacinGrado en
Ingeniera Telemtica Curso 2014-2015
Leccin 3. Resolucin de sistemaslineales mediante factorizacin
LU
1. Construccin de la factorizacin LUEn esta prctica vamos a
trabajar sobre la resolucin de un sistema lineal A~x = ~b con
det(A) 6= 0 para que el sistema sea compatible determinado. El
algoritmo de resolucin serasencillo si la matriz A fuese triangular
(inferior o superior), y por este motivo buscaremosescribir la
matriz como un producto de matrices triangulares
Se llama factorizacin LU de una matriz regular A Mn,n(R) a un
par de matrices regularesL, U Mn,n(R) que son respectivamente
triangulares inferior (lower) y superior (upper),tales que A = L U
. Con estas condiciones podra existir ms de una factorizacin ya
queexisten parmetros libres, estos parmetros se pueden fijar
exigiendo que los elementos de ladiagonal de L sean iguales a 1, en
lo que se conoce como factorizacin de Doolittle. Ahorael nmero de
parmetros libres en L y U coincide con la dimensin n2 de A y, si
existefactorizacin, sta es nica
A =
a1 1 a1 2 a1 n1 a1 na2 1 a2 2 a2 n1 a2 n... ... . . . ...
...
an1 1 an1 2 an1 n1 an1 nan 1 an 2 an n1 an n
=
=
1 0 0 0l2 1 1 0 0... ... . . . ... ...
ln1 1 ln1 2 1 0ln 1 ln 2 ln n1 1
u1 1 u1 2 u1 n1 u1 n0 u2 2 u2 n1 u2 n... ... . . . ... ...0 0
un1 n1 un1 n0 0 0 un n
= L U
Material docente realizado por David Javier Lpez Medina, e-mail:
[email protected]. Tanto esta obracomo los scripts a los que hace
referencia estn liberados bajo licencia Creative Commons
Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual 3.0 Espaa
1
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/es/
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Leccin 3. Factorizacin LU
El elemento ai j se obtendr mediante el producto de la fila i de
L con la columna j de U
ai j = ~li ~u j =
= li 1 u1 j + li 2 u2 j + . . . + li n un j =
=n
k=1li k uk j
En la expresin anterior no se ha tenido en cuenta que li k = 0
si k > i y que uk j = 0 sik > j. Eliminando los valores nulos
deducimos que
ai j =mn{i,j}
k=1li k uk j
Esto nos lleva a los siguientes casos
Caso i > j. Se tiene que mn{i, j} = j y
ai j =j
k=1li k uk j = li 1 u1 j + li 2 u2 j + . . . + li j1 uj1 j + li
j uj j
Entonces podemos despejar li j en funcin de valores en columnas
anteriores de L yfilas anteriores de U
li j = (ai j li 1 u1 j li 2 u2 j . . . li j1 uj1 j)/uj j =ai j
j1
k=1li k uk j
/uj jCaso i j. Ahora mn{i, j} = i, y por tanto
ai j =i
k=1li k uk j = li 1 u1 j + li 2 u2 j + . . . + li i1 ui1 j + li
i ui j
= li 1 u1 j + li 2 u2 j + . . . + li i1 ui1 j + 1 ui j
Quien ahora podemos despejar en trminos ya calculados es
ui j = ai j li 1 u1 j li 2 u2 j . . . li i1 ui1 j = ai j
i1k=1
li k uk j
Deducimos entonces que la factorizacin se puede calcular
fcilmente siguiendo el ordennatural de los coeficientes: primero
por filas y luego por columnas. Hemos programado estealgoritmo en
la sesin de Maxima llamada LU.wxmx
H LU(A,[no_output]): Factorizacin LU de una matriz cuadrada A
(con output paso apaso opcional)
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Leccin 3. Factorizacin LU
LU(A,[no_output]):=...(n:matrix_size(A)[1],for i:1 thru n do(for
j:1 thru n do(if i>j then u[i,j]:0 else if i=j then l[i,j]:1
else l[i,j]:0)),...for i:1 thru n do(for j:1 thru n
do(e[i,j]:sum(l[i,k]*u[k,j],k,1,min(i,j))=A[i][j],linsolve(e[i,j],if
i>j then l[i,j] else u[i,j]),...)),)$
F Ejercicio 1: Calcula la factorizacin LU de la matriz A =
4 2 22 2 32 3 14
( %i)A:matrix([4,2,-2],[2,2,-3],[-2,-3,14]);
( %o)
4 2 22 2 32 3 14
( %i)LU(A);
Sistema original:
1 0 0l2,1 1 0l3,1 l3,2 1
.u1,1 u1,2 u1,30 u2,2 u2,3
0 0 u3,3
= 4 2 22 2 32 3 14
Ecuacin fila 1 columna 1: u1,1 = 4, Solucin u1,1 = 4
Sistema actualizado:
1 0 0l2,1 1 0l3,1 l3,2 1
.4 u1,2 u1,30 u2,2 u2,3
0 0 u3,3
= 4 2 22 2 32 3 14
Ecuacin fila 1 columna 2: u1,2 = 2, Solucin u1,2 = 2
3
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Leccin 3. Factorizacin LU
Sistema actualizado:
1 0 0l2,1 1 0l3,1 l3,2 1
.4 2 u1,30 u2,2 u2,3
0 0 u3,3
= 4 2 22 2 32 3 14
Ecuacin fila 1 columna 3: u1,3 = 2, Solucin u1,3 = 2
Sistema actualizado:
1 0 0l2,1 1 0l3,1 l3,2 1
.4 2 20 u2,2 u2,3
0 0 u3,3
= 4 2 22 2 32 3 14
Ecuacin fila 2 columna 1: 4 l2,1 = 2, Solucin l2,1 = 12
Sistema actualizado:
1 0 012 1 0l3,1 l3,2 1
.4 2 20 u2,2 u2,3
0 0 u3,3
= 4 2 22 2 32 3 14
Ecuacin fila 2 columna 2: u2,2 + 1 = 2, Solucin u2,2 = 1
Sistema actualizado:
1 0 012 1 0l3,1 l3,2 1
.4 2 20 1 u2,3
0 0 u3,3
= 4 2 22 2 32 3 14
Ecuacin fila 2 columna 3: u2,3 1 = 3, Solucin u2,3 = 2
Sistema actualizado:
1 0 012 1 0l3,1 l3,2 1
.4 2 20 1 2
0 0 u3,3
= 4 2 22 2 32 3 14
Ecuacin fila 3 columna 1: 4 l3,1 = 2, Solucin l3,1 = 12
Sistema actualizado:
1 0 012 1 012 l3,2 1
.4 2 20 1 2
0 0 u3,3
= 4 2 22 2 32 3 14
Ecuacin fila 3 columna 2: l3,2 1 = 3, Solucin l3,2 = 2
Sistema actualizado:
1 0 012 1 012 2 1
.4 2 20 1 2
0 0 u3,3
= 4 2 22 2 32 3 14
Ecuacin fila 3 columna 3: u3,3 + 5 = 14, Solucin u3,3 = 9
Sistema actualizado:
1 0 012 1 012 2 1
.4 2 20 1 2
0 0 9
= 4 2 22 2 32 3 14
( %o)[
1 0 012 1 012 2 1
,4 2 20 1 2
0 0 9
]Para ahorrar memoria se podran haber guardado los coeficientes
no triviales de L y U so-breescribiendo los valores ai j de A. Este
ahorro computacional podra tener cierta relevancia
4
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Leccin 3. Factorizacin LU
si la dimensin n fuera muy grande (n >> 1)
No todas las matrices regulares A admiten factorizacin LU . La
condicin necesaria y su-ficiente para la existencia de factorizacin
es que, no slo el ltimo, sino todos los menoresprincipales de A
sean no nulos. En caso de que no se cumpla esta condicin se puede
recu-rrir a una estrategia de pivoteo, por ejemplo reordenando
adecuadamente las ecuaciones delsistema (asociadas a las filas de
A)Nota: Maxima lleva incorporado tanto el ahorro de memoria como la
estrategia de pivoteoen una funcin propia llamada lu_factor. Sin
embargo hemos preferido crear una funcinLU propia para que se pueda
apreciar el orden en el que se van calculando los coeficientesli,j
y ui,j
2. Aplicaciones de la factorizacin LULa factorizacin LU puede
utilizarse para resolver varios problemas clsicos de lgebra
lineal, que no resultan sencillos de resolver especialmente en
matrices de dimensin grande
2.1. Clculo de determinantesComo los determinantes de las
matrices triangulares son el producto de los elementos de
sus diagonales deducimos que
det(A) = det(L) det(U) =n
i=1li i
ni=1
ui i =n
i=11
ni=1
ui i =n
i=1ui i = u1 1 un n
Nota: De la condicin det(A) 6= 0 concluimos que uj j 6= 0 j {1,
. . . , n}. Esto es importantepuesto que uj j aparece como
denominador al calcular li j
F Ejercicio 2: Calcula det
4 2 22 2 32 3 14
y comprueba que coincide con el determinantedel factor
triangular superior U
( %i)determinant(A);( %o)36
( %i)[L,U]:LU(A,no_output);
( %o)[
1 0 012 1 012 2 1
,4 2 20 1 2
0 0 9
]( %i)determinant(U);( %o)36
5
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Leccin 3. Factorizacin LU
2.2. Resolucin de un sistema linealSin duda la principal
utilidad de la factorizacin LU es la aplicacin para la
resolucin
de sistemas lineales A~x = ~b. As, si llamamos ~z = U~x
deducimos que
A~x = ~b LU~x = ~b L(U~x) = ~b L~z = ~b
De esta forma ~x se puede calcular resolviendo dos sistemas con
matrices triangulares: L~z = ~bcon una matriz triangular inferior L
y U~x = ~z con la matriz triangular superior U . Comen-cemos por el
primero
bi = li 1 z1 + li 2 z2 + . . . + li n zn == li 1 z1 + li 2 z2 +
. . . + li i1 zi1 + li i zi + 0 + . . . + 0 == li 1 z1 + li 2 z2 +
. . . + li i1 zi1 + 1 zi
Entonces el sistema L~z = ~b se puede resolver mediante
sustitucin progresiva (hacia adelante,desde z1 hasta zn)
zi = bi li 1 z1 li 2 z2 . . . li i1 zi1 = bi i1k=1
li k zk
Si procedemos de forma anloga con el otro sistema
zi = ui 1 x1 + ui 2 x2 + . . . + ui n xn == 0 + . . . + 0 + ui i
xi + ui i+1 xi+1 + . . . + ui n xn
Ahora se aplica sustitucin regresiva (hacia atrs, desde xn hasta
x1) para calcular xi entrmino de los valores posteriores
xi = (zi ui n xn ui n1 xn1 . . . ui i+1 xi+1)/ui i =zi n
k=i+1ui k xk
/ui i
H resuelve(A,B,[no_output]): Solucin del sistema A ~x = ~b
mediante factorizacin LU(con output opcional)
resuelve(A,B,[no_output]):=...(...[L,U]:LU(A,no_output),n:matrix_size(A)[1],for
i:1 thru n do
e[i]:L[i].makelist(z[i],i,1,n)=B[i],linsolve(makelist(e[i],i,1,n),makelist(z[i],i,1,n)),
...for i:1 thru n do
e[i]:U[i].makelist(x[i],i,1,n)=z[i],linsolve(makelist(e[i],i,1,n),makelist(x[i],i,1,n)),...)$
6
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Leccin 3. Factorizacin LU
F Ejercicio 3: Resuelve el sistema
4 2 22 2 32 3 14
x1x2
x3
= 105
4
con nuestrafuncin basada en la factorizacin LU y comprueba que
da el mismo resultado que la funcinlinsolve propia de Maxima
( %i)resuelve(A,B);Ecuacin 1:z1 = 10Ecuacin 2: z12 + z2 =
5Ecuacin 3: z12 2 z2 + z3 = 4Solucin: Z = [10, 0, 9]
Ecuacin 3:9 x3 = 9Ecuacin 2:x2 2 x3 = 0Ecuacin 1:4 x1 + 2 x2 2
x3 = 10Solucin: X = [2, 2, 1]( %o)[2,2,1]
( %i)n:3;( %o)3
( %i)X:makelist(x[i],i,1,n);( %o)[x1, x2, x3]
( %i)E:makelist(A[i].X=B[i],i,1,n);( %o)[2 x3 + 2 x2 + 4 x1 =
10,3 x3 + 2 x2 + 2 x1 = 5, 14 x3 3 x2 2 x1 = 4]
( %i)linsolve(E,X);( %o)[x1 = 2, x2 = 2, x3 = 1]
2.3. Clculo de inversasSi llamamos ~ei al i-simo vector de la
base cannica y P = A1 deducimos que
A P = In A
| | | |~p 1 ~p 2 ~pn1 ~pn| | | |
= | | | |~e1 ~e2 ~en1 ~en| | | |
Deducimos entonces que la columna ~p i es la solucin del sistema
lineal A ~p i = ~ei, y porlo tanto la inversa de una matriz A se
puede calcular resolviendo n sistemas lineales contrminos
independientes los vectores de la base cannica
H inversa(A,[no_output]): Inversa de la matriz A mediante
factorizacin LU (con outputopcional)
7
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Leccin 3. Factorizacin LU
inversa(A,[no_output]):=...(n:matrix_size(A)[1],...for i:1 thru
n
do(B:makelist(kron_delta(j,i),j,1,n),p:resuelve(A,B,no_output),...),...)$
F Ejercicio 4: Calcula
4 2 22 2 32 3 14
1
con nuestra funcin basada en la factorizacin
LU y comprueba que da el mismo resultado que la funcin propia de
Maxima
( %i)inversa(A);
Columna 1: Sistema
4 2 22 2 32 3 14
.x1x1
x1
=10
0
, Solucin:x1x2
x3
=
19361118 118
Columna 2: Sistema
4 2 22 2 32 3 14
.x2x2
x2
=01
0
, Solucin:x1x2
x3
=
1118
13929
Columna 3: Sistema
4 2 22 2 32 3 14
.x3x3
x3
=00
1
, Solucin:x1x2
x3
=
118
2919
( %o)
1936
1118
118
1118139
29
11829
19
Nota: El script que hemos diseado no est optimizado, puesto que
aunque para calcularuna inversa haya que resolver n sistemas
lineales, slo sera necesario realizar la factorizacinLU una vez
3. Coste computacionalLa factorizacin LU y los algoritmos de
resolucin que de ella se deducen no son ms que
una sistematizacin de la eliminacin gaussiana basada en hacer
ceros en la matriz mediante
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Leccin 3. Factorizacin LU
operaciones elementales hasta que tenga una estructura
triangular. Sabemos que existe otramanera de trabajar con mediante
determinantes, que se pueden calcular de manera
recursivadesarrollando por una fila, y a partir de estos resolver
sistemas con la regla de Cramer einversas mediante adjuntos. Cuando
dos algoritmos sirven para el mismo problema entra enjuego la
eficacia de estos algoritmos: ya que ambos consiguen el mismo valor
numrico (salvoerrores de redondeo) el mejor de los mtodos ser el
que necesite menos operaciones, y porlo tanto menos tiempo de
CPU
Para calcular el nmero de productos/cocientes que necesitan los
algoritmos hay que haceruso del principio de induccin y se escapara
un poco de los lmites de esta leccin. Resumimoslos resultados en
una tabla
Factorizacin LU/Eliminacin gaussiana
Determinantes/Cramer/Adjuntos
det n3 + 2n 3
3 n!n1i=1
1i!
A~x = ~b n3 + 3n2 n
3 n + (n + 1)!n1i=1
1i!
A14n3 n
3 n2 + n n!
n2i=1
1i!
Esta tabla contiene mucha ms informacin de la que parece a
simple vista. Por ejemplo,cuando n es grande el coste computacional
de calcular una inversa mediante factorizacin LUresultara
aproximadamente 4 veces superior al de resolver un nico sistema
lineal. Adems,el estudio de lmites en el infinito concluye que el
orden de infinitud de n! es superior al de n3.Hemos construido
funciones para que se aprecien las diferencias conforme n va
aumentando
H coste_determinante_LU(n): Nmero de productos/cocientes para
hallar un determi-nante n n mediante factorizacin LU
coste_determinante_LU(n):=(n3+2*n-3)/3$
H coste_determinante_desarrollo(n): Nmero de productos/cocientes
para hallar undeterminante n n por desarrollo
coste_determinante_desarrollo(n):=n!*sum(1/i!,i,1,n-1)$
H coste_sistema_LU(n): Nmero de productos/cocientes para
resolver un sistema n nmediante factorizacin LU
coste_sistema_LU(n):=(n3+3*n2-n)/3$
H coste_sistema_Cramer(n): Nmero de productos/cocientes para
resolver un sistema
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Leccin 3. Factorizacin LU
n n mediante la regla de Cramer
coste_sistema_Cramer(n):=n+(n+1)!*sum(1/i!,i,1,n-1)$
H coste_inversa_LU(n): Nmero de productos/cocientes para
invertir una matriz n nmediante factorizacin LU
coste_inversa_LU(n):=(4*n3-n)/3$
H coste_inversa_adjuntos(n): Nmero de productos/cocientes para
invertir una matrizn n mediante adjuntos
coste_inversa_adjuntos(n):=n2+n*n!*sum(1/i!,i,1,n-2)$
F Ejercicio 5: Encuentra el primer valor de n > 1 para el que
resulte ms eficiente calcularel determinante mediante la
factorizacin LU que mediante el desarrollo por una fila
( %i)coste_determinante_LU(4);( %o)23
( %i)coste_determinante_desarrollo(4);( %o)40
F Ejercicio 6: Comprueba para n = 2, 3, 4, . . . , 10 que la
factorizacin LU es ms eficazpara resolver sistemas que la regla de
Cramer, y que conforme n crece las diferencias sonmayores
( %i)coste_sistema_Cramer(2);( %o)8( %i)coste_sistema_LU(2);(
%o)6
( %i)coste_sistema_Cramer(3);( %o)39( %i)coste_sistema_LU(3);(
%o)17
( %i)coste_sistema_Cramer(4);( %o)204( %i)coste_sistema_LU(4);(
%o)36
( %i)coste_sistema_Cramer(5);
10
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Leccin 3. Factorizacin LU
( %o)1235( %i)coste_sistema_LU(5);( %o)65
( %i)coste_sistema_Cramer(6);( %o)8658( %i)coste_sistema_LU(6);(
%o)106
( %i)coste_sistema_Cramer(7);( %o)69279(
%i)coste_sistema_LU(7);( %o)161
( %i)coste_sistema_Cramer(8);( %o)623528(
%i)coste_sistema_LU(8);( %o)232
( %i)coste_sistema_Cramer(9);( %o)6235299(
%i)coste_sistema_LU(9);( %o)321
( %i)coste_sistema_Cramer(10);( %o)68588310(
%i)coste_sistema_LU(10);( %o)430
F Ejercicio 7: Comprueba para n = 100 que el coste de la
factorizacin LU para obteneruna inversa es aproximadamente el
cudruple que el de resolver un sistema
( %i)coste_inversa_LU(100);( %o)1333300
( %i)coste_sistema_LU(100);( %o)343300
( %i)float(1333300/343300);( %o)3.883775123798427
A fecha de junio de 2014 la supercomputadora ms rpida del mundo
es la Tianhe-2 (MilkyWay-2) china, que es capaz de hacer la
friolera de 54902 billones (espaoles) de operacionespor segundo
(5.4902 1016 FLoating point Operations Per Second). Teniendo en
cuenta que
11
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Leccin 3. Factorizacin LU
la edad del Universo es de unos 13700 millones de aos, que son
unos 4.32 1017 segundos,esta mquina podra haber realizado unas 2.4
1034 operaciones desde el Big Bang
F Ejercicio 8: Encuentra el primer valor de n para el que la
regla de Cramer necesite msde 2.4 1034 productos para resolver un
sistema
( %i)coste_sistema_Cramer(31);(
%o)452132935610385790778277281456151423
( %i)float( %);( %o)4.521329356103858 1035
Por sorprendente que pueda parecer, ni la mayor computadora del
mundo habra tenidotiempo para resolver un sistema de este tamao
mediante la regla de Cramer (por supuesto,mediante factorizacin LU
la solucin sera instantnea). Esto no quiere decir que la reglade
Cramer no tenga utilidad: tiene utilidad terica, y tambin es una
buena opcin paramatrices de dimensin n 3 para sistemas con
parmetros (por ejemplo los resultantesde aplicar la transformada de
Laplace a sistemas lineales de ecuaciones diferenciales).
Sinembargo, para computacin de sistemas con n grande los
determinantes son una opcinnefasta por tener su coste computacional
un crecimiento tipo n!
Conclusin: La factorizacin LU permite resolver algunas de las
cuestiones clsicas delgebra Lineal, sin que sea necesaria la
intervencin humana para elegir el orden de lasoperaciones
elementales. Los procesos basados en la factorizacin LU son
muchsimo mseficaces que los basados en determinantes, especialmente
cuando la dimensin de la matrizno es muy pequea
Enlaces- Las 500 supercomputadoras ms potentes del mundo
4. Ejercicios
Problemas para resolver con el ordenador
F Calcula el tamao de un sistema para el que la computadora
Tianhe-2 tardase ms de unsegundo en resolver (despreciando lo que
no sean productos/cocientes)
Solucin: float(coste_inversa_LU(345318));
12
http://www.top500.org/
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Leccin 3. Factorizacin LU
Problemas para resolver sin ordenador
F Encuentra una matriz invertible que no admita factorizacin
LU
Solucin: A =(
0 11 1
)
Problemas de convocatorias anteriores
[ev. cont. 2011] Calcula mediante factorizacin LU la inversa de
A =
1 2 1 11 4 0 11 0 1 22 6 0 2
Solucin: L =
1 0 0 01 1 0 01 1 1 02 1 1 1
, U =
1 2 1 10 2 1 00 0 1 10 0 0 1
, A1 =
1 5 1 30 1 0 121 1 0 11 2 1 1
[febrero 2011] Encuentra la descomposicin LU de la matriz A
=(
2 81 1
)y utilice L
y U para resolver el sistema A~x = ~b, donde ~b =(22
)
Solucin: L =(
1 012 1
)U =
(2 80 3
), ~z = (2, 1), ~x =
(73 ,
13
)
[septiembre 2011] Calcula usando factorizacin LU la inversa de
la matriz(
2 34 8
)
Solucin: L =(
1 02 1
), U =
(2 30 2
), A1 =
(2 341 12
)
[ev. continua 2012] Calcula con la factorizacin LU la inversa de
A =
1 1 4 11 0 3 51 3 1 162 6 13 14
Solucin: L =
1 0 0 01 1 0 01 4 1 02 4 1 1
, U =
1 1 4 10 1 1 40 0 1 10 0 0 1
, A1 =
3 11 5 219 5 4 56 4 0 13 0 1 1
[febrero 2012] Encuentra la descomposicin LU de la matriz A
=
1 1 22 4 41 1 0
13
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Leccin 3. Factorizacin LU
Solucin: L =
1 0 02 1 01 13 1
, U =1 1 20 6 8
0 0 23
[junio 2012] Resuelve mediante factorizacin LU el sistema 1 0 21
1 4
2 1 7
xy
z
= 213
Solucin: L =
1 0 01 1 02 1 1
, U =1 0 20 1 2
0 0 1
, (x, y, z) = (10, 5, 4)
[ev. continua 2013] Calcula con la factorizacin LU la inversa de
A =
1 2 1 11 1 3 01 3 0 12 3 2 2
Solucin: L =
1 0 0 01 1 0 01 1 1 02 1 2 1
, U =
1 2 1 10 1 2 10 0 1 10 0 0 1
, A1 =11 1 3 4
2 0 0 13 0 1 15 1 2 1
[febrero 2013] Encuentre la descomposicin LU de la matriz A
=
2 1 24 5 52 11 4
Solucin: L =
1 0 02 1 01 4 1
, U =2 1 20 3 1
0 0 2
[junio 2013] Resuelve mediante factorizacin LU el sistema
lineal
x 2y = 13x + y = 5
Solucin: L =(
1 03 1
), U =
(1 20 7
), z1 = 1, z2 = 2, x = 117 , y =
27
[ev. continua 2014] Calcula con la factorizacin LU la inversa de
A =
1 1 1 12 1 3 31 0 1 02 3 2 2
14
-
Leccin 3. Factorizacin LU
Solucin: L =
1 0 0 02 1 0 01 1 1 02 1 1 1
, U =
1 1 1 10 1 1 10 0 1 20 0 0 1
, A1 =
7 1 0 22 0 0 17 1 1 23 0 1 1
[febrero 2014] Encuentre la descomposicin LU de la matriz A
=
2 3 04 7 10 1 1
Solucin: L =
1 0 02 1 00 1 1
, U =2 3 00 1 1
0 0 2
[septiembre 2014] Calcule, utilizando la factorizacin LU , el
determinante de la matriz
A =
3 5 23 6 29 13 18
Solucin: L =
1 0 01 1 03 2 1
, U =3 5 20 1 4
0 0 4
, det(A) = 12
Temas sobre los que profundizarInvestiga sobre el pivoteo cmo
tcnica para resolver sistemas compatibles que, comoel anterior, no
admitan factorizacin LU
Investiga sobre la factorizacin de Cholesky para matrices
simtricas con menores prin-cipales positivos (matrices definidas
positivas)
Investiga sobre el principio de induccin y utilzalo para probar
las distintas frmulasdel coste computacional medido en nmero de
productos/cocientes
15
Construccin de la factorizacin LUAplicaciones de la factorizacin
LUClculo de determinantesResolucin de un sistema linealClculo de
inversasCoste computacionalEjercicios