Econometrie van de Financiële Markten - lib.ugent.belib.ugent.be/fulltxt/RUG01/000/665/625/RUG01-000665625_2010_0001...Econometrie van de Financiële Markten Scriptie voorgedragen

UNIVERSITEIT GENTFACULTEIT ECONOMIE

EN BEDRIJFSKUNDE

ACADEMIEJAAR 1998-1999

Econometrie van de Financiële Markten

Scriptie voorgedragen tot het bekomen van de graad:

licentiaat in de toegepaste economische wetenschappen,

door

Koen Inghelbrecht

Onder leiding van

Prof. Dr. H. Reynaerts

Ondergetekende, Koen Inghelbrecht, bevestigt hierbij dat onderhevige scriptie enkel mag

worden geraadpleegd en gefotokopieerd mits schriftelijke toestemming van de auteur. Bij het

citeren moet steeds de titel en de auteur van de scriptie worden vermeld.

Inleiding I

Woord voorafBij aanvang van deze scriptie is het mij een genoegen een woord van dank te richten aan alle

personen die bijgedragen hebben tot het welslagen van deze scriptie.

In de eerste plaats wil ik mijn promotor, Prof. dr. H. Reynaerts, bedanken voor het begeleiden,

evalueren en raadgeven doorheen de volledige eindverhandeling.

Verder wil ik graag mijn dank betuigen aan de volgende personen:

• Assistent J. Crombez voor de raadgevingen, nuttige informatie en het evalueren van mijn

scriptie

• Prof. dr. M. Vanmaele en de assistenten L. Gilbert, K. Zahidi, S. Everaert en J. Dhaene voor

het bijwonen van de presentaties en hun medewerking bij het oplossen van enkele specifieke

problemen

• Assistent S. Vansteelandt voor de tips en raadgevingen

• Mijn ouders die mij de kans geboden hebben deze studies te volgen

Koen Inghelbrecht

Mei 1999

Inleiding II

InhoudsopgaveWoord vooraf .................................................................................................................................. I

Inhoudsopgave...............................................................................................................................II

Lijst van figuren............................................................................................................................IV

Lijst van tabellen............................................................................................................................ V

Inleiding ..........................................................................................................................................1

1 DE “RANDOM WALK” HYPOTHESE .........................................................................................................3

1.1 HET MARTINGAAL MODEL ..............................................................................................................................3

1.2 HET “RANDOM WALK” MODEL.......................................................................................................................4

1.2.1 Het Kansmodel ......................................................................................................................................4

1.2.2 De Opeenvolgende Prijsveranderingen Zijn Onafhankelijk van Elkaar. ..............................................6

1.2.3 De Opeenvolgende Prijsveranderingen Zijn Identiek Verdeeld ............................................................9

1.3 MARTINGAAL MODEL VERSUS “RANDOM WALK” MODEL............................................................................14

2 DE SOORTEN “RANDOM WALK”.............................................................................................................15

Besluit..........................................................................................................................................119

Bibliografie ...................................................................................................................................VI

Bijlagen .........................................................................................................................................IX

Inleiding IV

Lijst van figurenFIGUUR 1: DE 3 SOORTEN “RANDOM WALK”. 15

FIGUUR 2: HET VERLOOP VAN DE PRIJZEN BIJ DE RW1. 19

FIGUUR 3: HET VERLOOP VAN DE PRIJSVERANDERINGEN BIJ DE RW1. 20





FIGUUR 8: DE MAANDELIJKSE PRIJZEN (UCB). 31

FIGUUR 9: DE MAANDELIJKSE PRIJS ∆ (UCB). 31

FIGUUR 10: DE MAANDELIJKSE PRIJZEN (BEL20). 32

FIGUUR 11: DE MAANDELIJKSE PRIJS ∆ (BEL20). 32

FIGUUR 12: DE NORMALE VERDELING MET GEMIDDELDE µ . 34

FIGUUR 13: DE EXPONENTIËLE FUNCTIE VAN 1−− tt pp . 35

FIGUUR 14: HISTOGRAM MAAND. PRIJS ∆ (UCB). 37

FIGUUR 15: HISTOGRAM MAAND. LOGPRIJS ∆ (UCB). 37

FIGUUR 16: VERLOOP VAN PRIJS ∆ (UCB). 41

FIGUUR 17: VERLOOP VAN LOGPRIJS ∆ (UCB). 41

FIGUUR 18: HET VERLOOP VAN DE FUNCTIE ( ) 412 +−= πππf . 50

FIGUUR 19: WAARDEN VOOR CJ -RATIO VOOR GEGEVEN α EN β . 57

FIGUUR 20: HET VERWACHTE AANTAL RUNS VOOR DE RW1 MET DRIFT µ . 66

Inleiding V

Lijst van tabellen

TABEL 1: DE COWLES-JONES TEST VOOR DAGELIJKSE, WEKELIJKSE EN

MAANDELIJKSE RENDEMENTEN. 58

TABEL 2: DE RUNS-TEST VOOR DAGELIJKSE, WEKELIJKSE EN MAANDELIJKSE

RENDEMENTEN. 67

TABEL 3: DE DICKEY-FULLER TEST VOOR DE DAGELIJKSE, WEKELIJKSE EN

MAANDELIJKSE RENDEMENTEN. 70

TABEL 4: AUTOCORRELATIE-TEST VOOR DAGELIJKSE, WEKELIJKSE EN

MAANDELIJKSE RENDEMENTEN (RW1). 80

TABEL 5: DE RESULTATEN VAN ENKELE ONDERZOEKEN UITGEVOERD M.B.T. DE

EERST-ORDE AUTOCORRELATIES. 81

TABEL 6: DE PORTMANTEAU STATISTIEKEN VOOR DAGELIJKSE, WEKELIJKSE EN

MAANDELIJKSE RENDEMENTEN 85

TABEL 7: DE VARIANTIERATIOS VOOR DAGELIJKSE, WEKELIJKSE EN MAANDELIJKSE

RENDEMENTEN (RW1). 105

TABEL 8: DE VARIANTIERATIOS VOOR DE DAGELIJKSE, WEKELIJKSE EN


TABEL 9: AUTOCORRELATIE-TEST VOOR DAGELIJKSE, WEKELIJKSE EN


Inleiding 1

InleidingDe theorie over de financiële markten is een zeer uitgebreid domein. Een centrale rol in de

financiële theorie en zijn empirische implementatie is de invloed van de onzekerheid op het

gedrag van de investeerders en de marktprijzen. De financiële modellen worden dus overheerst

door onzekerheid. De financiële econometrie zal dan ook een belangrijke rol spelen bij het

schatten en testen van financiële modellen. Een belangrijk aspect binnen de financiële

econometrie is het voorspellen van de aandelenrendementen. Zijn de aandelenrendementen

voorspelbaar? Dit is één van de meest controversiële vragen van de financiële econometrie.

Reeds vele tientallen jaren houden vooraanstaande wiskundigen en onderzoekers zich bezig met

het oplossen van de vraag. Vaak leidde dit tot tegengestelde meningen. De dag van vandaag

levert nog altijd geen sluitend antwoord. De uitdaging is echter enorm. Wie wil er de markt niet

verslaan? (CAMPBELL J. et al., 1997, blz. 3 en 27).

Om de aandelenrendementen te voorspellen kan men gebruik maken van allerhande informatie,

zowel publieke als private informatie. De nadruk zal hier echter gelegd worden op het

voorspellen van de toekomstige prijsveranderingen van aandelen, enkel gebruik makend van de

prijsveranderingen uit het verleden. Men kan dan gemakkelijk de link leggen met de definitie

van “zwak efficiënte markten”. Zwak efficiënte markten impliceren namelijk dat alle informatie

die vervat zit in de historische prijzen ook volledig gereflecteerd is in de huidige prijzen. Indien

een markt zwak efficiënt is, dan zal het niet mogelijk zijn op basis van de vroegere prijzen de

toekomstige prijsveranderingen te voorspellen. De nieuwe informatie die vrij komt over een

bepaald bedrijf zal voldoende snel in de prijs geïncorporeerd worden zodat het niet mogelijk is

voor de investeerder om op basis van het verloop van de aandelenprijzen een extra winst te

genereren. In een zwak efficiënte markt zal het dus waardeloos zijn om te handelen in functie

van het verloop van de aandelenkoersen (ELTON E. en GRUBER M., 1995, blz.407).

Een model dat het verloop van de prijzen kan omvatten onder de hypothese van “zwak efficiënte

markten” is het “random walk” model. Als de “random walk” geldig is voor alle aandelen, dan

zal de markt zwak efficiënt zijn en zullen de toekomstige prijsveranderingen niet voorspelbaar

zijn op basis van de historische prijzen. Door middel van het “random walk” model kan er dus

getest worden of de aandelenprijzen voorspelbaar zijn. Het “random walk” model zal uitvoerig

besproken en getest worden om een antwoord te kunnen geven op de vraag: “Zijn de

prijsveranderingen van de aandelen voorspelbaar?”

Inleiding 2

De werkwijze die gevolgd wordt, is deze van Campbell, Lo en MacKinlay (1997). Een deel van

hoofdstuk 2 over de voorspelbaarheid van de aandelenrendementen (blz. 27-55) uit hun boek

“ECONOMETRICS OF THE FINANCIAL MARKETS” wordt grondig uitgewerkt en

aangevuld met talrijke interessante topics over de “random walk”. De theorie wordt vervolledigd

met enkele empirische bevindingen. Er zal niet telkens verwezen worden naar hoofdstuk 2 van

Campbell, Lo en MacKinlay (1997). Als er in de tekst geen expliciete bronvermelding is, kan er

aangenomen worden dat het deel van de tekst handelt over dit hoofdstuk.

In hoofdstuk 1 wordt het “random walk” model gedefinieerd en worden de veronderstellingen

die daaraan verbonden zijn, in detail besproken. Er wordt vooral de nadruk gelegd op het

ontstaan van de “random walk”. Vervolgens wordt het “random walk” model in hoofdstuk 2

opgedeeld in drie verschillende soorten (“random walk” 1, 2 en 3) waarbij de veronderstellingen

in zekere mate zullen verschillen van elkaar. Voor iedere soort wordt een model opgesteld die

uitvoerig gesproken wordt. Er wordt ook telkens een tijdsreeks gesimuleerd voor iedere soort om

de bevindingen empirisch te testen. Hoofdstuk 3 wordt gewijd aan het gebruik van de logaritmen

van de prijzen in plaats van de prijzen zelf bij het modelleren van de “random walk”. Er zullen

enkele belangrijke eigenschappen aan bod komen die de lezer ervan moeten overtuigen dat het

gebruik van logaritmen de aangewezen weg is.

Vervolgens kunnen er enkele testen voor de “random walk” uitgewerkt worden. De nadruk zal

vooral gelegd worden op de “random walk” 1. In hoofdstuk 4 worden er zes testen voor de

“random walk” 1 afgeleid. De resultaten ervan kunnnen gebruikt worden om de test uit te voeren

op bestaande tijdsreeksen van aandelenprijzen. Hoofdstuk 5 handelt over de “random walk” 2.

Dit hoofdstuk geeft een beschrijving van de implicaties van de “random walk” 2. Er wordt ook

weergegeven hoe de “random walk” 2 eventueel kan getest worden. Tenslotte worden er in

hoofdstuk 6 drie testen uitgewerkt voor de “random walk” 3 die dan kunnen gebruikt worden om

de geldigheid van de “random walk” 3 na te gaan voor tijdsreeksen van aandelenprijzen.

De testen voor de “random walk” 1 en 3 zullen ook telkens empirisch toegepast worden. Het

empirisch onderzoek wordt uitgevoerd op twee tijdsreeksen: de prijzen van het aandeel UCB en

de prijzen van de Bel20-index. Via het onderzoek wordt geprobeerd om afwijkingen van de

“random walk” hypothese te detecteren. Het onderzoek voor de “random walk” 1 wordt

uitgevoerd telkens er een test uitgewerkt is. Het empirisch onderzoek voor de drie testen van de

“random walk” 3 wordt gezamenlijk in een aparte sectie behandeld.

Hoofdstuk 1: De “Random Walk” Hypothese 3

1 De “Random Walk” HypotheseIn dit hoofdstuk zal de “random walk” uitvoerig besproken worden en zullen enkele belangrijke

eigenschappen aan bod komen. Het “random walk” model is ontstaan uit een ander model, het

martingaal model. Het eerste deel van dit hoofdstuk brengt dan ook een korte bespreking omtrent

het martingaal model. Het “random walk” model, dat eigenlijk een speciaal geval is van het

martingaal model, wordt behandelt in het tweede deel. In een laatste deel worden de twee

modellen met elkaar geconfronteerd.

1.1 Het Martingaal Model

Eén van de eerste modellen om de prijzen van aandelen te modelleren is het martingaal model,

ook wel een “fair game” model genoemd. Een “fair game” is als het ware een kansspel waarbij

de kans dat men zal winnen gelijk is aan de kans dat men zal verliezen. Het principe van een

“fair game” kan het best geïllustreerd worden aan de hand van een kansspel zoals roulette. Op

het roulettewiel zijn er evenveel rode nummers als zwarte nummers. Stel men beschikt over 100

fiches van 1 euro. Als er nu één fiche gelegd wordt op rood, dan is er evenveel kans op het

verliezen van die fiche als op het verdubbelen ervan. In iedere spelronde zal de verwachte winst

dan ook gelijk zijn aan nul onafhankelijk van het verloop van het spel. Dit is nu precies wat er

bedoeld wordt met een fair game (ROBERTS H., 1959; blz. 9).

Een martingaal is nu het stochastisch proces dat uitgaat van de eigenschappen van een “fair

game”. Het martingaal model is dan het model die voldoet aan de volgende voorwaarde:

[ ] tttt PPPP =Ε −+ ,..., 11 , (1.1.1)

waarbij tP het totale bezit is van fiches op tijdstip t. De verwachte bezittingen op tijdstip t+1 zijn

gelijk aan de bezittingen op tijdstip t, geconditioneerd op het verloop van de bezittingen in het

verleden. Dus als men op tijdstip t over 100 fiches beschikt dan kan er verwacht worden dat men

op tijdstip t+1 eveneens over 100 fiches zal beschikken, onafhankelijk van het bezit in het

verleden. Uitdrukking (1.1.1) kan vervolgens ook nog geschreven worden als:

[ ] 0,..., 11 =−Ε −+ tttt PPPP , (1.1.2)


of nog, de verwachte winst per spelronde is gelijk aan nul, geconditioneerd op het verloop van

het spel. De opeenvolgingen van uitkomsten van het roulettewiel, waarbij rood leidt tot een

stijging van de fiches met één en zwart tot een daling van de fiches met één, zal dan een

martingaal volgen (CAMPBELL J. et al., 1997, blz. 30).

Deze redenering kan nu overgebracht worden op aandelenprijzen. Het martingaal model kan

namelijk gebruikt worden van om de prijzen van aandelen te modelleren. Stel tP is gelijk aan de

prijs van het aandeel op tijdstip t, dan impliceert het martingaal model dat de beste voorspelling

die gemaakt kan worden voor de prijs van morgen, de prijs van vandaag is, rekening houdend

met het verloop van de prijzen uit het verleden. Het is dus even waarschijnlijk dat de prijs van

het aandeel zal dalen als dat hij zal stijgen. De verwachte winst zal dan ook gelijk zijn aan 0.

Het martingaal model heeft geleid tot de ontwikkeling van het “random walk” model.

1.2 Het “Random Walk” Model

Het “random walk” model is een speciaal geval van het martingaal model. Het “random walk”

model zal dus dezelfde eigenschappen hebben als het martingaal model. Daarnaast zal het

“random walk” model een meer gedetailleerde verklaring geven over de economische omgeving

(FAMA E., 1970, blz. 387). Er worden dus enkele aanvullende veronderstellingen gemaakt:

• De opeenvolgende prijsveranderingen zijn onafhankelijk van elkaar.

• De opeenvolgende prijsveranderingen zijn identiek verdeeld.

Als deze twee aanvullende veronderstellingen geldig zijn, spreekt men van een “random walk”,

ook wel stochastische wandeling genoemd (FAMA E., 1965, blz. 34-35). Vaak stelt men de

“random walk” intuïtief voor als de dronkemanswandeling. De dronkaard wijkt voortdurend op

willekeurige wijze af van de ideale weg, maar keert er telkens naar terug..

1.2.1 Het Kansmodel

Een eerste werk omtrent de “random walk” kwam van de Franse wiskundige Louis Bachelier

(1900) in zijn “Theory of Speculation”. Daarin stelde hij dat de speculatieve prijzen te

omschrijven zijn als een “random walk”. Hij baseerde zich hierbij vooral op empirische

bevindingen. In zijn eenvoudigste model vergeleek hij het “random walk” proces met het gooien

van een muntstuk, waarbij munt een prijsstijging voorstelt en kop een even grote prijsdaling. De


kans op een prijsstijging is dus even groot als de kans op een prijsdaling (MANDELBROT,

1998, blz. 66). Bachelier maakte de veronderstelling dat de verwachte winst gelijk is aan nul

(ALEXANDER S., 1961,blz. 200). Zijn eenvoudigste model lijkt dan ook meer in

overeenstemming te zijn met de definitie van een “fair game”. Bachelier bedoelde dus eigenlijk

met dit model dat de speculatieve prijzen een “fair game” volgen (FAMA E., 1970, blz. 389).

Het is evenwel vanuit het principe van het gooien van een muntstuk dat men vertrekt bij het

modelleren van de “random walk”. De “random walk” veronderstelt namelijk dat de

opeenvolgende prijsveranderingen onafhankelijk zijn van elkaar en als iedere prijsverandering

bekomen wordt door het gooien van een muntstuk, dan zullen de prijsveranderingen

onafhankelijk zijn (COOTNER P., 1964, blz. 2). 1 Later stelde Bachelier, in zijn meest

ontwikkeld model voor de “random walk”, dat de prijsverandering tTt PP −+ van een aandeel, een

normaal verdeelde stochastische variabele is met een verwachtingswaarde 0 en een variantie

proportioneel met T . Dit model wordt ook wel de Brownse beweging genoemd

(MANDELBROT B., 1966, blz. 243).

De theorie van de “random walk” kwam geleidelijk tot stand uit de vele onderzoeken van

tijdsreeksen in de jaren ’50 en ’60 (FAMA E., 1970, blz. 389). Een belangrijk werk bij deze

ontwikkeling kwam van Kendall (1953). Kendall was één van de eersten om de

veronderstellingen van de “random walk” te testen op tijdsreeksen. Hij bestudeerde het gedrag

van de wekelijkse veranderingen van 19 Britse indexen van industriële aandelenprijzen, de

wekelijkse en maandelijkse verandering van de tarwe-prijzen op beurs van Chicago en de

maandelijkse veranderingen van de katoenprijzen op de beurs van New York. Zijn resultaten in

verband met de wekelijkse veranderingen van de tijdsreeksen lijken consistent te zijn met de

veronderstellingen van de “random walk”. Deze laatste omschrijft hij als een proces waarbij er

wekelijks een willekeurig getal getrokken wordt uit een symmetrische verdeling die dan bij de

wekelijkse prijs van de index gevoegd wordt (KENDALL M., 1953, blz. 86-87). Volgens

Kendall kan het “random walk” model het best omschreven worden door het kansspel, roulette.

We beschikken over een roulettewiel. Een belangrijke eigenschap van een roulettewiel is dat

iedere uitkomst onafhankelijk is van het verloop van de vorige uitkomsten..2 Het wiel heeft dus

geen “geheugen”. Als er vervolgens verondersteld wordt dat iedere uitkomst een zekere kans

1 Het is namelijk zo dat het gooien van muntstukken onafhankelijke gebeurtenissen zijn. De voorwaardelijkeprobabiliteiten zullen dus gelijk zijn aan de onvoorwaardelijke probabiliteiten. De kans dat men op tijdstip t muntgooit nadat op tijdstip t-1 munt gegooid heeft zal dus gelijk zijn aan de onvoorwaardelijke kans dat men munt gooit.2 Iedere draai aan het wiel is een onafhankelijke gebeurtenis.


heeft van optreden, dan weet men dat deze kansen stabiel zullen blijven doorheen de tijd indien

het wiel geen imperfecties vertoont (ROBERTS H., 1959, blz. 9).

Vervolgens kan nu de link gelegd worden met de tijdsreeksen van de aandelenprijzen.

Veronderstel een roulettewiel met daarop verschillende prijsveranderingen. Iedere periode wordt

aan het wiel gedraaid. De prijsverandering van het aandeel per periode kan dan gezien worden

als een uitkomst van het roulettewiel. Aangezien de opeenvolgende uitkomsten van het

roulettewiel niet gerelateerd zijn, zullen de opeenvolgende prijsveranderingen onafhankelijk zijn

van elkaar. Er zal ook telkens aan hetzelfde wiel gedraaid worden zodat de opeenvolgende

prijsveranderingen identiek verdeeld zullen zijn. Iedere prijsverandering kan dus gezien worden

als een trekking uit een verdeling die stabiel blijft doorheen de tijd. De twee veronderstellingen

van de “random walk” zijn voldaan (ELTON E. en GRUBER M., 1995, blz.410).

Het kansmodel dat door Kendall geconstrueerd is, zegt evenwel niets over de verdeling van de

mogelijke uitkomsten. Deze kan wel benaderd worden door een waarschijnlijkheidsverdeling op

te stellen op basis van de vroegere prijsveranderingen (ROBERTS H., 1959, blz.9). De

prijsveranderingen uit het verleden kunnen dus van belang zijn bij de beoordeling van de

verdeling van de toekomstige prijsveranderingen, des te meer omdat de verdelingen van de

prijsveranderingen stationair zijn doorheen de tijd in het geval dat de “random walk” geldig is.

Het “random walk” model zegt dus niet dat prijsveranderingen uit het verleden van geen belang

zijn bij de beoordeling van de toekomstige prijsveranderingen, maar dat de opeenvolging van de

prijsveranderingen van geen belang is (FAMA E., 1970, blz. 387).

In wat volgt worden de 2 veronderstellingen van de “random walk” verder in detail bestudeerd.

1.2.2 De Opeenvolgende Prijsveranderingen Zijn Onafhankelijk van Elkaar.

Een eerste veronderstelling die men maakt bij het “random walk” model is dat de opeenvolgende

prijsveranderingen onafhankelijke stochastische variabelen zijn.3 Stel dat tz gelijk is aan de

prijsverandering van een aandeel op tijdstip t, dan geldt de hypothese van onafhankelijkheid

indien

3 Stochastische variabelen zijn variabelen die bepaald zijn door een waarschijnlijkheidsverdeling. Iedere observatievoor een stochastische variabele kan gezien worden als een trekking uit zijn verdeling (FAMA E., 1977, blz. 3-4).


( ) ( )tttz zfzzzf ~,...,~21 =−− , t∀ , (1.2.1)

of nog, de voorwaardelijke en marginale waarschijnlijkheidsverdelingen van de onafhankelijke

stochastische variabele tz~ zijn identiek.4 De “random walk” hypothese zegt dus dat de volledige

verdeling van de prijsverandering op tijdstip t onafhankelijk is van de prijsveranderingen uit het

verleden (FAMA E., 1970, blz. 386-387). Indien (1.2.1) opgaat, dan kan er geen gebruik

gemaakt worden van de prijsveranderingen in het verleden om een voorspelling te doen omtrent

de toekomstige prijsveranderingen (FAMA E., 1965, blz. 34-35). Als er nu teruggegrepen wordt

naar het kansmodel opgesteld door Kendall, dan kan men afleiden dat er op basis van vroegere

uitkomsten van het roulettewiel geen voorspellingen kunnen gedaan worden omtrent

toekomstige uitkomsten. Er bestaat dus geen gokregel die tot een positieve verwachte winst leidt

indien de opeenvolgende uitkomsten onafhankelijk zijn van elkaar.

Bachelier-Osborne model

De meest voor de hand liggende verklaring voor de onafhankelijkheid bij het “random walk”

model, kwam van Bachelier en Osborne, twee belangrijke personen bij de ontwikkeling van de

theorie van de “random walk”. Hun verklaring steunt op het feit dat aandelenprijzen beïnvloed

worden door het vrijkomen van informatie. Het is geweten dat in een efficiënte markt de

aandelenprijzen alle beschikbare informatie zullen reflecteren. In dit geval zal de

voorwaardelijke verwachtingswaarde van de prijs van morgen gegeven de prijs van vandaag, de

prijs van vandaag zijn (supra, blz. 1). Er zou dan kunnen verwacht worden dat er enkel

prijsveranderingen zullen optreden indien er nieuwe informatie vrijkomt. Het Bachelier-Osborne

model stelt dat indien de opeenvolging van nieuwe informatie onafhankelijk is van elkaar, de

opeenvolging van prijsveranderingen ook onafhankelijk zal zijn van elkaar (FAMA E., 1965,

blz. 37) (COOTNER P., 1962, blz. 232).

Enkele bedenkingen

Er moeten hierbij wel twee bedenkingen gemaakt worden. Ten eerste kan er verwacht worden

dat in sommige gevallen de opeenvolging van nieuwe informatie niet onafhankelijk zal zijn. Het

is namelijk meer waarschijnlijk dat “goed nieuws” gevolgd wordt door “goed nieuws” dan dat

het gevolgd wordt door “slecht nieuws”, en omgekeerd. Op die manier kan er toch een zekere

afhankelijkheid zijn in het proces dat de informatie genereert. Dit hoeft echter niet noodzakelijk

4 Het teken ~ boven een waarde wijst erop dat het een stochastische variabele is. De waarden zonder ~ zijn dangeobserveerde waarden.


tot afhankelijkheid te leiden tussen de opeenvolgende prijsveranderingen. Stel bijvoorbeeld dat

er positieve afhankelijkheid is tussen de opeenvolging van nieuwe informatie. Indien er goede

informatie vrijkomt over een bepaald bedrijf dan zullen de investeerders, die kennis hebben van

deze positieve afhankelijkheid, er rekening mee houden dat er in de toekomst nog positieve

informatie zal volgen. Deze toekomstige informatie zal dan reeds gereflecteerd worden in de

huidige prijs. Indien er voldoende investeerders zijn die deze toekomstige informatie gebruiken

bij de waardering van de huidige prijs, dan zullen de prijsveranderingen uiteindelijk toch

onafhankelijk zijn van elkaar (FAMA E., 1965, blz. 37-38).

Ten tweede kan ook de veronderstelling van efficiënte markten in vraag gesteld worden. Het is

namelijk mogelijk dat de nieuwe informatie niet onmiddellijk in de prijs gereflecteerd wordt. Er

kan dus een zekere vertraging optreden waarmee de informatie opgenomen wordt in de

aandelenprijs. Hierdoor zal de prijs slechts geleidelijk naar zijn nieuwe intrinsieke waarde

evolueren wat dan kan leiden tot positieve afhankelijkheid tussen opeenvolgende

prijsveranderingen. Indien er nu echter voldoende investeerders zijn, die kennis hebben van deze

geleidelijke beweging, dan zullen zij het aandeel kopen aan het begin van een positieve

beweging. Zo zullen zij ervoor zorgen dat de aandelenprijs sneller naar zijn nieuwe intrinsieke

waarde stijgt zodat de afhankelijk uiteindelijk beperkt zal zijn (FAMA E., 1965, blz. 39).

“Perfecte” onafhankelijkheid

Men kan uit de vorige twee alinea’s afleiden dat het in werkelijkheid praktisch onmogelijk zal

zijn om tijdsreeksen te vinden die gekenmerkt worden door “perfecte” onafhankelijkheid.

Daardoor kan de “random walk” geen volledige en accurate beschrijving geven voor de realiteit.

Het is wel zo dat men in de praktijk de veronderstelling van onafhankelijkheid zal aanvaarden

zolang de afhankelijkheid in de reeks van opeenvolgende prijsveranderingen niet boven een

minimum aanvaardbare grens komt te liggen. De interpretatie van deze grens zal verschillen

naargelang het uitgangspunt van het onderzoek dat uitgevoerd wordt. Een investeerder op de

kapitaalmarkten zal het “random walk” model aanvaarden zolang hij geen gebruik kan maken

van de afhankelijkheid in de tijdsreeks om zijn verwachte winsten te verhogen. Iemand die

statistisch werk doet daarentegen zal kijken naar de significantie van de afhankelijkheid. Stel dat

de statisticus een regressie uitvoert waarbij de prijsverandering een variabele is. Indien er

afhankelijkheid is tussen de prijsveranderingen dan zal er seriële correlatie ontstaan tussen de

residuen van de regressievergelijking zodat de resultaten van de regressie ongeldig zullen zijn.

Indien de afhankelijkheid echter niet significant is dan zullen de resultaten toch geldig zijn.

Daarnaast zal de statisticus ook kijken naar de invloed van de afhankelijkheid van de


prijsveranderingen op de verdeling van de prijsveranderingen. Indien er geen significante

invloed is dan zal hij de afhankelijk niet aanvaarden. De statisticus zal dus het “random walk”

model aanvaarden zolang de afhankelijkheid van de prijsveranderingen niet significant is. Op die

manier wordt de hypothese van de onafhankelijkheid iets afgezwakt (FAMA E., 1965, blz. 35)

(FAMA E. en BLUME M., 1966, blz. 226-227).

1.2.3 De Opeenvolgende Prijsveranderingen Zijn Identiek Verdeeld

Een tweede belangrijke eigenschap van de “random walk” is dat de opeenvolgende

prijsveranderingen identiek verdeeld moeten zijn. De verdelingen van de opeenvolgende

prijsveranderingen moeten stabiel blijven doorheen de tijd. Er is dus voldaan aan deze

eigenschap indien geldt dat

( ) ( )1~~

−= tt zfzf , t∀ , (1.2.2)

waarbij tz~ nog steeds een stochastische variabele is die de prijsverandering weergeeft op tijdstip

t.5 De verdelingfunctie moet dus dezelfde zijn voor ieder tijdstip (FAMA E., 1970, blz.386).

Van de twee veronderstellingen die noodzakelijk zijn bij een “random walk”, is de

veronderstelling dat de opeenvolgende prijsveranderingen onafhankelijk zijn, de belangrijkste.

De prijsveranderingen moeten onafhankelijk zijn of toch zeker ongecorreleerd zijn indien de

“random walk” geldig is (infra, figuur 1 blz. 15). Wat betreft de verdelingen is het zo dat in de

algemene theorie van de “random walk” het niet noodzakelijk is om de verdeling van de

prijsveranderingen te specifiëren. Er bestaan ook vormen van de “random walk” waarbij de

veronderstelling van identiek verdeelde prijsveranderingen niet vereist is.6 Niettegenstaande is

het toch wenselijk om de vorm van de verdeling te specifiëren. Vanuit het standpunt van de

investeerder is de verdeling van de prijsveranderingen zeer belangrijk bij het beoordelen van het

risico dat verbonden is aan het aandeel.7 Daarnaast zal het ook voor personen die een statistisch

onderzoek willen doorvoeren, interessant zijn indien men beschikt over een

waarschijnlijkheidsverdeling van de te onderzoeken data. Deze kan immers interessante

informatie opleveren, zoals het gemiddelde en de variantie. Sommige statistische testen kunnen

5 De geobserveerde waarde tz voor de prijsverandering is dan een trekking uit de verdeling van tz .6 Voor meer uitleg hieromtrent zie hoofdstuk 2.7 De standaardafwijking is een belangrijke maatstaf bij de beoordeling van het risico van een aandeel.


zelfs maar doorgevoerd worden indien de verdeling van de data aan bepaalde eigenschappen

voldoet. Voor statistische doeleinden is het ook interessant dat de parameters van de verdeling

vast zijn voor de periode die onderzocht wordt (FAMA E., 1965, blz. 41).8

Bachelier-Osborne Model: de normale verdeling

De veronderstelling van identiek verdeelde prijsveranderingen impliceert dat de prijsveranderin-

gen in overeenstemming moeten zijn met een bepaalde waarschijnlijkheidsverdeling. Bachelier

en Osborne hebben een model opgesteld dat zegt dat de prijsveranderingen van speculatieve

tijdsreeksen normaal verdeelde stochastische variabelen zijn. Hun model vertrekt van de

veronderstelling dat de prijsveranderingen van een individueel aandeel, van transactie tot

transactie, onafhankelijke en identiek verdeelde stochastische variabelen zijn met een eindige

variantie.9 Vervolgens ging het Bachelier-Osborne model er ook vanuit dat de transacties

uniform verdeeld zijn over de tijd. De prijsverandering over een bepaald tijdsinterval is dan de

som van de prijsveranderingen van transactie tot transactie, m.a.w de som van onafhankelijke en

identiek verdeelde stochastische variabelen. Indien het aantal transacties per tijdsinterval

voldoende groot is, en gebruik makend van de centrale limietstelling, kan er afgeleid worden dat

de prijsverandering over het tijdsinterval normaal verdeeld zal zijn (FAMA E., 1965, blz. 41-42)

(FAMA E., 1963, blz. 297).

Vervolgens kan er gesteld worden dat, indien de “random walk” geldig is, hoe langer het

tijdsinterval wordt, hoe meer de verdeling van de prijsveranderingen over het tijdsinterval de

normale verdeling zal benaderen. Dit is een rechtstreeks gevolg van de centrale limietstelling.

Dus de maandelijkse prijsveranderingen zullen beter de normale verdeling benaderen dan de

wekelijkse prijsveranderingen, indien de “random walk” geldig is (COOTNER P., 1962, blz.

237).

Er kan ook een verklaring voor de normaliteit gegeven worden vanuit economisch standpunt.

Stel dat de opeenvolging van nieuwe informatie onafhankelijk is van elkaar. In dit geval zullen

de opeenvolgende prijsveranderingen ook onafhankelijk zijn van elkaar (supra, blz. ???). Als er

nu regelmatig nieuwe informatie in kleine hoeveelheden vrijkomt, dan kan er verwacht worden

dat de opeenvolgende prijsveranderingen over voldoende lange tijdsintervallen normaal

verdeelde variabelen zullen zijn t.g.v. de centrale limietstelling (MOORE A., 1962, blz. 140).

8 Het is dus interessant dat de prijsveranderingen identiek verdeeld zijn omdat er dan meer statistische proevenkunnen doorvoerd worden op de gegevens.9 In feite gaat men er dan vanuit dat de “random walk” geldig is voor de prijsveranderingen van transactie tottransactie (er is voldaan aan de twee veronderstellingen).


Een belangrijke implicatie van de normale verdeling is dat de variantie van de verdeling

evenredig is met de respectievelijke tijdsintervallen. De variantie van de maandelijkse

prijsveranderingen zal dan ongeveer 4 maal zo groot zijn als de variantie van de wekelijkse

prijsveranderingen indien er dus sprake is van normaliteit (infra, variantieratios) (FAMA E.,

1965, blz. 42).

Leptokurtosis

Niettegenstaande dat de normale verdeling zeer gebruiksvriendelijk is bij het uitvoeren van

statistisch onderzoek, kan het gebruik ervan in twijfel getrokken worden. De theorie van de

normale verdeling werd namelijk serieus in vraag gesteld, vooral door Mandelbrot. Hij

argumenteerde dat de eigenschappen van de prijsveranderingen van aandelen niet consistent zijn

met de normale verdeling. Meestal zijn de staarten van de verdeling van de prijsveranderingen

dikker dan er kan verwacht worden onder de hypothese van normaliteit. Dus normaliteit

onderschat de waarschijnlijkheid van extreme prijsveranderingen (FAMA E., 1963, blz.297-

298).

Het bestaan van dikke staarten kan nagegaan worden door de kurtosis, ook wel het

genormaliseerd vierde moment genoemd, te berekenen. De kurtosis wordt gedefinieerd als

[ ] ( ) ��

� −≡ 4

4

σµzEzK , (1.2.3)

waarbij z de stochastische variabele is die de prijsverandering weergeeft, µ het gemiddelde van z

en 2σ het kwadraat van de variantie van z. In het geval van een normale verdeling zal de kurtosis

gelijk zijn aan 3, maar indien de verdeling dikkere staarten heeft, zal de kurtosis groter zijn dan

3. In het laatste geval zal men spreken van leptokurtosis. De variantie zal dan groter zijn dan de

variantie van de normale verdeling en kan zelfs oneindig groot worden met als gevolg dat de

kurtosis oneindig groot kan worden (CAMPBELL J. et al., 1997, blz. 16-17).

Dit probleem kan eventueel opgelost worden door de uitzonderlijk grote prijsveranderingen uit

de steekproef te halen zodat de normale verdeling toch een goede benadering is. Maar volgens

Mandelbrot zou dit de significantie van de testen, uitgevoerd op de resterende gegevens, kunnen

aantasten, vooral indien het aantal uitzonderingen groot is (FAMA E., 1965, blz.42).

Daarnaast hebben empirische bevindingen vaak aangetoond dat de prijsveranderingen meer

geconcentreerd zijn rond het gemiddelde dan onder de normale verdeling (MANDELBROT B.,

1963, blz. 307-308).


Stabiele Pareto-verdelingen

Mandelbrot stelde dat de afwijkingen van de normaliteit beter verklaard kunnen worden door een

algemene vorm van het Bachelier-Osborne model. Het algemene model maakt niet de

veronderstelling dat de verdelingen van de prijsveranderingen van transactie tot transactie een

eindige variantie hebben. Dus verdelingen met een oneindige variantie zijn toegelaten. De

verdelingen van de prijsveranderingen over bepaalde tijdsintervallen zullen dan behoren tot een

klasse van verdelingen, de stabiele Pareto-verdelingen. De normale verdeling zal ook een

element zijn van deze klasse. De niet-normale stabiele verdelingen bieden wel een betere

beschrijving voor de empirische verdelingen omdat ze dikkere staarten toelaten dan de normale

verdeling. Deze verdelingen steunen dus op de veronderstelling dat de verdelingen van de

prijsveranderingen van transactie tot transactie een oneindige variantie hebben (FAMA E., 1970,

blz. 399).

De stabiele Pareto-verdelingen hebben drie belangrijke eigenschappen:

• Zoals reeds gezegd, zal de variantie enkel eindig zijn in het geval van de normale verdeling.

Alle niet-normale stabiele verdelingen hebben een oneindige variantie waardoor de

verdelingen dikkere uiteinden hebben dan de normale verdeling. Deze oneindige variantie

wijst dan ook op een groter risico dat verbonden is aan het aandeel.

• De verdeling van de som van onafhankelijke en identiek verdeelde stabiele Pareto-variabelen

is zelf ook Pareto-stabiel en heeft dezelfde vorm als de afzonderlijke delen. Deze vorm van

stabiliteit is zeer belangrijk bij de beschrijving van de empirische verdelingen die Pareto-

stabiel zijn. Het is namelijk zo dat de prijsveranderingen over een bepaald tijdsinterval de

som zijn van prijsveranderingen van transactie tot transactie gedurende het tijdsinterval. Als

de prijsveranderingen van transactie tot transactie onafhankelijk en identiek verdeelde

stabiele Pareto-variabelen zijn en de transacties uniform verdeeld zijn over de tijd, dan zullen

de prijsveranderingen over het tijdsinterval een stabiele Pareto-verdeling hebben van

dezelfde vorm, maar met een andere schaalfactor. Deze eigenschap kan zeer belangrijk zijn

bij het testen van de “random walk”.

• Een derde belangrijke eigenschap is het feit dat de stabiele Pareto-verdelingen de enige

asymptotische verdelingen zijn van de som van onafhankelijke en identiek verdeelde

stochastische variabelen zijn. Dus als deze variabelen een oneindige variantie hebben, dan

zal de som van deze variabelen een asymptotische niet-normale stabiele Pareto-verdeling

hebben. (FAMA E., 1963, blz.300-302).


Uit deze eigenschappen kan men eigenlijk afleiden dat de hypothese van Mandelbrot eigenlijk

een uitbreiding is van het Bachelier-Osborne model waarbij de prijsveranderingen een oneindige

variantie mogen hebben (FAMA E., 1965, blz.44).

Alternatieve modellen

Velen stonden weigerachtig tegenover de resultaten van Mandelbrot. Door het feit dat de niet-

normale verdelingen dikke uiteinden hebben die tot een oneindige variantie leidt, zullen veel

statische instrumenten die gebaseerd zijn op de veronderstelling van eindige variantie, niet meer

gebruikt kunnen worden bij het uitvoeren van onderzoek. Er zal ook geen gebruik meer kunnen

gemaakt worden van de steekproefvariantie om de variabiliteit van de tijdsreeks na te gaan. Men

gaat er dan liever vanuit dat de prijsveranderingen normaal verdeelde variabelen door het ruime

aanbod statistische technieken die er bestaan om onderzoek uit te voeren op normaal verdeelde

variabelen (FAMA E., 1963, blz. 298).

Vervolgens ging men ook op zoek naar alternatieve modellen om een verklaring te geven voor

de afwijkingen van normaliteit bij de steekproefverdelingen, in het bijzonder voor de wijde

uiteinden. Er werden twee verklaringen naar voor gebracht. Ten eerste verklaarde men dat de

empirische verdelingen met wijde uiteinden en een grote concentratie rond het gemiddelde,

kunnen gezien worden als een mix van normale verdelingen met telkens een verschillende

variantie. Enkele verdelingen met kleine varianties zorgen ervoor dat er meer waarnemingen

opgehoopt zijn rond het gemiddelde dan bij de normale verdeling. Enkele verdelingen met grote

varianties zorgen dan dat de uiteinden dikker zijn als verwacht onder de normale verdeling. Dus

de mix van normale verdelingen zal dan een betere beschrijving bieden voor de empirische

verdelingen (FAMA E., 1965, blz. 55) (CAMPBELL J., 1997, blz. 481).

Een tweede verklaring voor de wijde uiteinden is de niet-stationariteit. De empirische verdeling

kan dan gezien worden als een verdeling met veranderende parameters doorheen de tijd. De

variantie van de prijsveranderingen kan namelijk groter worden indien het bedrijf risicovoller

wordt. Dus op een bepaald moment kan de verdeling normaal zijn, maar door het groter worden

van de variantie doorheen de tijd, t.g.v. van een stijgende risico, kunnen de uiteinden van de

verdeling dan uiteindelijk dikker worden. Op een analoge manier zou men ook een verklaring

kunnen geven voor de ophoping van waarnemingen rond het gemiddelde. Het kleiner worden

van het risico zou dan aanleiding kunnen geven tot een kleinere variantie. Daarnaast kan ook een

tweede parameter van de verdeling, met name het gemiddelde van de prijsveranderingen,

evolueren doorheen de tijd. Men betwijfelt wel of het veranderen van het gemiddelde een

verklaring kan bieden voor de extreme prijsveranderingen (FAMA E., 1965, blz. 56-58).


Algemeen kan er gesteld worden dat er geen unanimiteit is tussen de onderzoekers omtrent de

verdeling van de prijsveranderingen van aandelen die een “random walk vogen”.

1.3 Martingaal Model versus “Random Walk” Model

Uit de beschrijving van het martingaal model kan men afleiden dat de verwachte toekomstige

aandelenprijzen onafhankelijk zijn van de prijzen uit het verleden. Het is nu wel zo dat de

verdeling van de toekomstige prijzen niet onafhankelijk hoeft te zijn van de vroegere prijzen. Er

kan dus sprake zijn van een zekere afhankelijkheid bij het martingaal proces. Een martingaal is

dus niet noodzakelijk een “random walk”. Een “random walk” zal wel altijd een martingaal zijn

omdat de “random walk” vertrekt van de veronderstellingen van een martingaal en nog twee

extra veronderstellingen maakt. Deze zijn:

• De opeenvolgende prijsveranderingen zijn onafhankelijke stochastische variabelen.

• De opeenvolgende prijsveranderingen zijn identiek verdeelde stochastische variabelen

(of nog, de opeenvolgende prijsveranderingen zijn waarnemingen uit een bepaalde waar-

schijnlijkheidsverdeling).

In het vorige deel werden deze twee veronderstellingen besproken en de testen van “random

walk” zullen de geldigheid van deze twee veronderstellingen nagaan.

Het is nu wel zo dat in de meeste gevallen de afhankelijkheid in het martingaal proces zo klein

zal zijn dat het tot geen al te grote schending zal leiden van de veronderstelling van

onafhankelijkheid van het “random walk” model. De afhankelijkheid zal namelijk niet gebruikt

kunnen worden door de investeerder om zijn verwachte winsten te verhogen (FAMA E. en

BLUME M., 1966, blz.226).

Efficiënte aandelenmarkten

De martingaal werd lang gezien als de noodzakelijke voorwaarde voor een zwak efficiënte

kapitaalmarkt. Niettegenstaande dat een martingaal een noodzakelijke voorwaarde is voor een

zwak efficiënte markt, hoeft dit geenszins te impliceren dat dit een voldoende voorwaarde is. Als

daarentegen de “random walk” geldig is voor alle aandelen, dan kan men wel met zekerheid

concluderen dat de markt zwak efficiënt is. Het omgekeerde is echter niet waar (ELTON E. en

GRUBER M., 1995, blz. 410).

In het volgende hoofdstuk zal het “random walk” model opgedeeld worden in drie soorten.

Iedere soort zal in detail besproken worden.

15

2 De Soorten “Random Walk”Er zijn drie verschillende “random walk” modellen. Het eerste model (RW1) houdt rekening met

de twee veronderstellingen die in hoofdstuk 1 uitvoerig besproken werden. Voor de twee andere

modellen (RW2 en RW3) zullen deze veronderstellingen iets afgezwakt worden. De drie soorten

“random walk” worden schematisch weergegeven in figuur 1 met hun belangrijkste kenmerken.

Figuur 1: De 3 soorten “random walk”.

(Eigen werk; Microsoft Word)

De drie verschillende “random walk” modellen zullen nu één voor één uitvoerig behandeld

worden. Er wordt vanzelfsprekend begonnen met de “random walk” 1.

2.1 De “Random Walk” 1

Bij de “random walk” 1 (RW1) zal men zware veronderstellingen opleggen aan de

prijsveranderingen. Deze veronderstellingen zijn de volgende:

• De prijsveranderingen moeten onafhankelijk zijn van elkaar.

• De prijsveranderingen moeten identiek verdeeld zijn.

De RW1 zal dus geldig zijn indien de prijsveranderingen onafhankelijke en identiek verdeelde

stochastische variabelen zijn. Stel nu dat tP de prijs van het aandeel is op tijdstip t, dan kan de

RW1 als volgt voorgesteld worden:

ttt PP ε+= −1 , ( )2,0~ σε IIDt (2.1.1)

RW1

RW2

RW1

Random walk

Onafhankelijk ( )I

Identiek Verdeeld ( )ID

Ongecorreleerd ( )URW3

Niet Identiek Verdeeld ( )NID

16

waarbij tε de residuen zijn en ( )2,0 σIID geeft aan dat de residuen onafhankelijk en identiek

verdeeld zijn met verwachtingswaarde 0 en variantie 2σ . Deze residuen zijn in feite niets anders

dan de prijsveranderingen die zich voordoen.10 De prijsveranderingen zijn dan onafhankelijk en

identiek verdeeld met verwachtingswaarde 0 en variantie 2σ . Ze voldoen dus aan de twee

veronderstellingen van de RW1, m.a.w. de prijsveranderingen volgen een “random walk” rond

de waarde 0. De prijsveranderingen zullen op een willekeurige manier schommelen rond de

waarde 0, indien de RW1 geldig is.

Drift of verwachte prijsverandering

Het is nu wel zo dat men meestal nog een constante zal toevoegen aan de vergelijking uit (2.1.1).

Men spreekt dan van de “random walk” met drift. Het nieuwe RW1-model ziet er dan als volgt

uit:

ttt PP εµ ++= −1 , ( )2,0~ σε IIDt (2.1.2)

waarbij de constante µ de verwachte prijsverandering of drift is.

Door de aanwezigheid van de drift zal de verwachtingswaarde van de prijsveranderingen niet

meer gelijk zijn aan 0 (FAMA E., 1965, blz. 37). Uit (2.1.2) volgt namelijk dat

( )21 ,~ σµIIDPP tt −− . (2.1.3)

De prijsveranderingen zijn nu onafhankelijk en identiek verdeeld met verwachtingswaarde µ en

variantie 2σ . De prijsveranderingen volgen dus een “random walk” rond de drift. De

prijsveranderingen schommelen op een willekeurige manier schommelen rond de waarde µ in

geval van een RW1 met drift.

Als men nu verder veronderstelt dat de prijsveranderingen normaal verdeeld zijn, dan kan er uit

(2.1.3) afgeleid worden dat door de aanwezigheid van een drift de kans op een prijsstijging

verschillend is van de kans op een prijsdaling (infra, blz. 48). Dit impliceert geenszins dat de

“random walk” niet geldig is.

10 Uit (2.1.1) kan er namelijk afgeleid worden dat ttt PP ε=− −1 , dus het residu op tijdstip t is gelijk aan deprijsverandering op tijdstip t.

17

Het nieuwe model voor de RW1 biedt een betere beschrijving voor de werkelijkheid. De

aanwezigheid van een drift kan namelijk verklaard worden door een aantal factoren zoals het

risico dat verbonden is aan het bedrijf, de dividenden die uitgekeerd worden, de inflatie die zich

voordoet,…Dit kan het best geïllustreerd worden aan de hand van een voorbeeld. Stel er zijn

twee bedrijven die volledig identiek zijn, uitgezonderd hun dividendenpolitiek. Het éne bedrijf

keert al zijn winsten uit als dividenden en zal dan eventueel nieuwe aandelen uitgeven om zijn

investeringsuitgaven te financieren. Het andere bedrijf zal echter maar dividenden uitkeren

indien er na de financiering van de investeringen nog een deel overblijft van de huidige winst.

Door het feit dat de bedrijven identiek zijn, zullen de aandelen van beide bedrijven een zelfde

risico hebben. In dit geval kan men verwachten dat de verwachte rendementen op ieder aandeel

dezelfde zullen zijn. Dit kan enkel zo zijn indien het aandeel van het bedrijf dat een laag

dividend uitkeert, een hogere verwachte prijsverandering heeft dan het bedrijf dat al zijn winsten

uitkeert als dividenden. Vandaar het belang van het invoeren van een drift (FAMA E., 1965,

blz.37).

Een ander voorbeeld betreft de aanwezigheid van inflatie. Stel er is een jaarlijkse inflatie van

3%. In dit geval kan men verwachten dat de prijs van het aandeel jaarlijks zeker met 3% zal

toenemen. Er is dus een jaarlijkse verwachte prijsverandering van minimum 3%. Zo zijn er nog

tal van factoren die een verklaring kunnen geven voor de aanwezigheid van een drift.

Niet-Stationariteit

Het model uitgedrukt in (2.1.2) kan nu verder uitgewerkt worden om de voorwaardelijke

verwachtingswaarde en variantie te bekomen:

++=

=++++=

++=

=

−−

−

t

it

ttt

ttt

tP

PPP

10

12

1

εµ

εεµµεµ

�

[ ] µtPPPE t += 00 (2.1.4)

[ ] 20var σtPPt = . (2.1.5)

18

Uit (2.1.4) en (2.1.5) volgt onmiddellijk dat een tijdsreeks van aandelenprijzen die een RW1

volgen, niet stationair is.11 De voorwaardelijke verwachtingswaarde en variantie zijn namelijk

lineaire functies van de tijd.12 De oorzaak van de niet-stationariteit is het feit dat een “random

walk” met drift gedomineerd wordt door een lineaire deterministische trend.13 Op iedere tijdstip

zal er een constante opgeteld worden bij de prijs van het vorige tijdstip. Er zal dus een trend

aanwezig zijn in het prijsniveau. Men spreekt dan ook vaak over een ““random walk” met trend”

(CAMPBELL J. et al., 1997, blz. 30) (O’DONOVAN T., 1983, blz. 136-137).

Het “witte ruis” model

Omwille van de niet-stationariteit is het beter om de sprongen te bekijken die de prijzen maken

i.p.v. de prijzen zelf. Het is namelijk zo dat de eerste differentie van de prijzen, die dan niets

anders zijn dan de prijsveranderingen, wel stationair is. De prijsveranderingen zullen namelijk

voldoen aan het “witte ruis”-model dat stationariteit impliceert. Het “witte ruis”-model ziet er als

volgt uit:

ttZ εµ +=

met ( )2,0~ σε IIDt ,

waarbij µ een constante is. Het “witte ruis”-proces is de rij van onafhankelijke stochastische

variabelen tε met een gemiddelde 0 en een constante variantie 2σ . Het “witte ruis”-proces

beschrijft het zuivere toeval. Hoe groter 2σ , hoe sterker het zuiver toeval zal schommelen.

Gebruik makend van (2.1.2), kan men nu gemakkelijk inzien dat de prijsveranderingen voldoen

aan het “witte ruis”-model. Het verschil van de prijsverandering en de drift zal dan een “witte

ruis”-proces volgen. De reeks van de prijsveranderingen zal dus op een constante na, het zuiver

toeval beschrijven zodat het onmogelijk is om op basis van vroegere prijsveranderingen de

toekomstige prijsveranderingen te voorspellen (O’DONOVAN T., 1983, blz. 30, blz. 136-137)

(REYNAERTS H., 1997).

11 Ook voor de andere modellen van de “random walk” zal deze vaststelling opgaan.12 Merk op dat een tijdsreeks van aandelenprijzen die een RW1 volgen zonder drift, ook niet stationair is daar devariantie van de prijzen afhankelijk is van de tijd.13 Deze deterministische trend is gelijk aan µtP +0 .

19

Voorbeeld

Bij wijze van illustratie, kan er nu een reeks gesimuleerd worden die voldoet aan de

veronderstellingen van de RW1. Er wordt hierbij gebruik gemaakt van het statistische

programma Eviews. Stel

nrndPP tt *52 1 ++= − , voor 200,,2,1 �=t

waarbij 5*nrnd aangeeft dat de residuen identiek normaal verdeeld zijn met verwachtingswaarde

0 en standaardafwijking 5 (of variantie 25). De steekproef bestaat uit 200 waarnemingen. De

beginwaarde op tijdstip 0 is gelijk aan 100. Er is een drift van 2 aanwezig (zie bijlage 1a).

De tijdsreeks van prijzen die aan de hand van het model gesimuleerd is, komt tot uiting in figuur

2. Het valt meteen op dat de prijzen een stijgend verloop vertonen. De verklaring ligt voor

Figuur 2: Het verloop van de prijzen bij de RW1.

(Eigen werk; Eviews)

de hand. Er is namelijk een drift aanwezig. Hierdoor ontstaat er een trend in het prijsniveau. Dit

wil echter niet zeggen dat de “random walk” niet geldig is.

Het is beter om de sprongen van de prijzen te bekijken. Deze sprongen (of prijsveranderingen)

zijn uitgezet in figuur 3 (zie ook bijlage 1b). Uit deze figuur kunnen we afleiden dat de tijdsreeks

van prijsveranderingen een stationair verloop heeft. Deze figuur lijkt consistent te zijn met de

definitie van de RW1. De prijsveranderingen schommelen op een willekeurige wijze rond de

waarde 2, met name de drift (cfr. dronkemanswandeling).

0

100

200

300

400

500

600

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

PRIJS

20

Figuur 3: Het verloop van de prijsveranderingen bij de RW1.


2.2 De “random walk” 2

In werkelijkheid zal er praktisch nooit voldaan zijn aan de twee veronderstellingen van het RW1-

model. Het is namelijk zo dat de veronderstelling dat de prijsveranderingen identiek verdeeld

zijn, niet opgaat voor financiële aandelen over een lange tijdsperiode. Dit komt omdat de

omgeving, waarin de aandelenprijzen bepaald worden, vaak verandert (CAMPBELL J. et al.,

1997, blz. 32).

De meest voorkomende oorzaak van het feit dat de prijsveranderingen niet identiek verdeeld

zijn, is dat de variantie van de prijsveranderingen of m.a.w. het risico dat verbonden is aan het

aandeel, varieert doorheen de tijd. Er zal dan ook meestal sprake zijn van heteroscedasticiteit in

het RW1-model. 14 De heteroscadasticiteit kan als volgt weergegeven worden:

[ ]εεεεV I2σ≠

�

��

�

�

=2

21

0

0

nσ

σ� (2.2.1)

14 Met heteroscedasticiteit bedoelt men eigenlijk dat de variabelen een verschillende spreiding hebben.

-10

-5

0

5

10

15

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

D(PRIJS)

21

waarbij εεεε de vector is van de residuen tε voor t = 1,…,n. De variantie van de residuen of van de

prijsveranderingen kan variëren doorheen de tijd (GREENE E., 1993).

Het zou nu moeilijk te aanvaarden zijn, moest de “random walk” verworpen worden omwille van

de aanwezigheid van heteroscedasticiteit. De “random walk” impliceert eigenlijk dat de

prijsveranderingen niet voorspeld kunnen worden op basis van vroegere prijsveranderingen.

Zelfs indien de prijsveranderingen niet identiek verdeeld zijn kan deze eigenschap opgaan.

Hierdoor is het wenselijk om de veronderstelling van de identieke verdeling van het RW1-model

af te zwakken. Op die manier verkrijgt men het RW2-model:

ttt PP εµ ++= −1 , ( )2,0~ tt INID σε (2.2.2)

waarbij ( )2,0 tINID σ aangeeft dat de residuen onafhankelijk, maar niet identiek verdeelde

variabelen zijn met verwachtingswaarde 0 en variantie 2tσ die afhankelijk is van de tijd t. Het

RW2-model laat dus toe dat er heteroscedasticiteit is.15

Volatiliteit

De heteroscedasticitieit in het RW2-model is een belangrijk kenmerk aangezien er een groeiende

consensus is tussen de financiële economisten dat de volatiliteit van de tijdsreeksen van

financiële aandelen verandert doorheen de tijd (CAMPBELL J. et al., 1997, blz. 53). Stel

bijvoorbeeld dat er zich een beurscrash heeft voorgedaan (bijvoorbeeld de beurscrash in 1987).

In de periode hierop volgend zal er heel wat meer onzekerheid zijn dan in de periode vóór de

crash. De volatiliteit zal dan ook hoger zijn in de periode na de beurscrash. De volatiliteit

verandert dus naargelang de situatie (VERBEEK M., 1998, blz. 11).

Er zal nu sprake zijn van volatiliteit in de tijdsreeks van prijsveranderingen indien de

voorwaardelijke variantie van de prijsveranderingen niet constant is en dus varieert doorheen de

tijd. De onvoorwaardelijke variantie moet wel constant zijn. Hierdoor zal men aannemen dat de

variantie 2tσ uit (2.2.2) de voorwaardelijke variantie is zodat het RW2-model een accurate

beschrijving kan geven voor de volatiliteit die aanwezig is in de tijdsreeksen van de

prijsveranderingen over een lange tijdsperiode (REYNAERTS H., 1998).16

15Het feit dat de residuen niet identiek verdeeld zijn, hoeft echter niet noodzakelijk te impliceren dat de variantievarieert. Er kunnen ook nog andere oorzaken zijn. Toch kan men aannemen dat de veranderende variantie doorheende tijd praktisch altijd de oorzaak zal zijn van het feit dat de prijsveranderingen niet identiek verdeeld zijn.16 Men zal dan ook eerder spreken van voorwaardelijke heteroscedasticiteit in plaats van heteroscedasticiteit.

22

Vervolgens kan er nu een model vooropgesteld worden dat de volatiliteit zal beschrijven. Stel

11 ++ = ttt ησε , (2.2.3)

met 1+tη een onafhankelijke en identiek normaal verdeelde stochastische variabele met

verwachtingswaarde 0 en variantie 1. Stel bovendien dat tσ een onafhankelijke trekking is uit

een normale verdeling met verwachtingswaarde 0 en variantie σ . 1+tε is dan niets anders dan

het residu op tijdstip t+1 van het RW2-model beschreven in (2.2.2) met als onvoorwaardelijke

variantie (eigen werk)

[ ] [ ][ ] [ ][ ]

)4.2.2(,2

2

21

2

21

21

σ

σ

ησ

ησε

=

=

=

=

+

++

t

tt

ttt

E

EE

EVar

waarbij de tweede gelijkheid volgt uit de onafhankelijkheid van tσ en 1+tη . De voorwaardelijke

variantie wordt als volgt bekomen (eigen werk):

[ ] [ ][ ]

)5.2.2(,2

21

2

21

21

t

tt

tttt

E

EVar

σ

ησ

ησσε

=

=

=

+

++

met 2tσ de geobserveerde waarde voor 2

tσ . De variantie zal dus variëren doorheen de tijd. Uit

(2.2.4) en (2.2.5) kan men afleiden dat er voldaan is aan de voorwaarden van de volatiliteit. Het

model zoals voorgesteld in (2.2.3) zal dus het goede model zijn om de volatiliteit te beschrijven

(CAMPBELL J., 1997, blz. 480)

Daarnaast kan er ook gemakkelijk ingezien worden dat de tε ’s uit het model (2.2.3)

onafhankelijk zijn van elkaar aangezien zowel de tσ ’s als de tη ’s onafhankelijk zijn van elkaar.

Het model (2.2.2) waarbij tε beschreven wordt door (2.2.3) voldoet dus aan de voorwaarden van

de RW2.

23

De RW2 is nu wel een zwakkere vorm van de “random walk” dan de RW1, maar toch bezit ze

nog de belangrijkste eigenschap van de “random walk”: de opeenvolgende prijsveranderingen

zijn onafhankelijk zodat het niet mogelijk is om de toekomstige prijsveranderingen te

voorspellen gebruik makend van de prijsveranderingen uit het verleden. Bovendien biedt de

RW2 een betere beschrijving voor de werkelijkheid (CAMPBELL J., 1997, blz. 33).

Voorbeeld

Om nu een voorbeeld te geven van de RW2, kan er een reeks gesimuleerd worden die voldoet

aan de veronderstellingen van de RW2.17 Er wordt gebruik gemaakt van het voorbeeld van de

RW1 waarbij de residuen beschreven zullen worden door een model die voldoet aan (2.2.3). Men

bekomt dan het volgende:

ttt PP ε++= −12 voor 200,,2,1 �=t

met nrndtt *σε = .

Vervolgens stel dat nrndt *5=σ voor t=1,2,...,200 (zie bijlage 2a). Op basis van deze tσ

kunnen de residuen tε gesimuleerd worden (zie bijlage 2b). Deze residuen zullen dan de

volatiliteit beschrijven zoals tot uiting zal komen in de figuur van de prijsveranderingen.

Gebruik makend van (2.2.4), kan men afleiden dat de onvoorwaardelijke variantie van de

residuen gelijk is aan 25 (dit is precies de variantie van de residuen bij het voorbeeld van de

RW1).

Uit de simulatie van de tijdsreeks van de prijzen, die weergegeven is in figuur 4, kunnen

dezelfde conclusies getrokken worden als bij de RW1 (zie ook bijlage 2c). De tijdsreeks kent een

stijgend verloop dat te wijten is aan de aanwezigheid van de drift. Er moet wel opgemerkt

worden dat het verloop van de curve grilliger is dan bij de RW1.

17 Er wordt opnieuw gebruik gemaakt van het programma Eviews om de reeks te simuleren.

24

Figuur 4: Het verloop van de prijzen bij de RW2.


Ten slotte kan men het verloop van de prijsveranderingen bekijken in figuur 5 (zie ook bijlage

2d). Het valt meteen op dat het verloop zeer onregelmatig is. De variantie van de

prijsveranderingen (of van de residuen) lijkt duidelijk te variëren doorheen de tijd. Er zou dus

kunnen gezegd worden dat de volatiliteit van de reeks van prijsveranderingen verandert naarmate



er verder in de tijd gegaan wordt. Hieruit kan men afleiden dat er hoogstwaarschijnlijk voldaan is

aan de veronderstelling dat de opeenvolgende prijsveranderingen niet identiek verdeeld zijn.

0

100

200

300

400

500

600

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

PRIJS

-30

-20

-10

0

10

20

30

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

D(PRIJS)

25

Vervolgens kan men ook zien in figuur 5 dat de varianties willekeurig veranderen zodat er

waarschijnlijk ook voldaan is aan de veronderstelling van onafhankelijke prijsveranderingen. Het

voorbeeld lijkt dus consistent te zijn met het RW2-model.

2.3 De “Random Walk” 3

De derde en meest algemene vorm van de “random walk” is het RW3-model. Dit model ontstaat

uit het RW2-model waarbij de veronderstelling van de onafhankelijkheid afgezwakt wordt. Het

RW3-model laat processen toe met afhankelijke maar ongecorreleerde residuen. Men bekomt

dan het volgende model:

ttt PP εµ ++= −1 , ( )2,0~ tt ONID σε (2.3.1)

waarbij ( )2,0 tONID σ aangeeft dat de residuen ongecorreleerde en niet identiek verdeelde

stochastische variabelen zijn met verwachtingswaarde 0 en voorwaardelijke variantie 2tσ . Het

RW3-model laat dus processen toe waarbij de prijsveranderingen afhankelijk zijn van elkaar en

heteroscedasticiteit vertonen. Het is wel zo dat de prijsveranderingen ongecorreleerd moeten zijn

indien de RW3 geldig is, zodat het nog steeds niet mogelijk is om op basis van vroegere

prijsveranderingen de toekomstige prijsverandering te voorspellen.

Afhankelijk en ongecorreleerd

Een voorbeeld van een proces dat voldoet aan de veronderstellingen van de RW3, maar niet aan

deze van de RW1 en RW2, is het proces dat voldoet aan de volgende voorwaarden:

[ ] 0, =−kttCov εε , voor alle 0≠k (2.3.2)

[ ] 0, 22 ≠−kttCov εε , voor minstens één 0≠k (2.3.3)

Vergelijking (2.3.2) impliceert dat de residuen ongecorreleerd zijn, terwijl (2.3.3) impliceert dat

de residuen niet onafhankelijk zijn van elkaar (CAMPBELL J. et al., 1997, blz.33) .

Het RW3-model dat voldoet aan de voorwaarden (2.3.2) en (2.3.3), biedt een betere beschrijving

voor de werkelijkheid dan het RW2-model. Het is namelijk zo dat als men de prijsveranderingen

van de aandelen observeert, grote prijsveranderingen de neiging hebben om gevolgd te worden

door grote prijsveranderingen onafhankelijk van het teken. Kleine prijsveranderingen zullen dan

26

eerder de neiging hebben om gevolgd te worden door kleine prijsveranderingen onafhankelijk

van het teken.. De volatiliteit van de prijsveranderingen van de aandelen lijkt dus serieel

gecorreleerd te zijn. De kwadraten van de opeenvolgende prijsveranderingen zullen dan ook

gecorreleerd zijn zodat (2.3.3) geldig is voor k=1. Er zal dus een zekere afhankelijkheid zijn

tussen de opeenvolgende prijsveranderingen in dit opzicht dat kennis over de prijsverandering

van vandaag zal kunnen gebruikt worden bij de voorspelling van de grootte van de

prijsverandering voor morgen. Statistisch impliceert dit dat de voorwaardelijke

waarschijnlijkheid dat de prijsverandering voor morgen groot zal zijn, gegeven dat de

prijsverandering van vandaag groot is, hoger zal zijn dan de onvoorwaardelijke

waarschijnlijkheid dat de prijsverandering voor morgen groot zal zijn. De opeenvolgende

prijsveranderingen zijn wel nog altijd ongecorreleerd aangezien het teken van de veranderingen

niet te voorspellen is. Het RW3-model dat voldoet aan (2.3.2) en (2.3.3), zal dus een goede

beschrijving bieden voor de geobserveerde tijdsreeksen van de aandelenprijzen (FAMA E.,

1965, blz.85) (CAMPBELL J. et al., 1997, blz. 481-482).

Arch-model

Het ARCH-model van Engel (1982) is een goed voorbeeld van een model dat voldoet aan de

voorwaarden (2.3.2) en (2.3.3).18 Stel het multiplicatief ARCH-model:

ttt ηεααε 2110 −+= , ( )1,0~ ΝIIDtη (2.3.4)

waarbij ( )1,0ΝIID aangeeft dat tη onafhankelijk en identiek normaal verdeeld is met

verwachtingswaarde 0 en variantie 1 (CAMPBELL J. et al., 1997, blz 480-483). Er kan nu

aangetoond worden dat de vergelijking (2.3.4) voldoet aan de (2.3.2) en (2.3.3) (eigen werk):

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0

,

12

11012

110

12

11012

110

111

=

+−+=

+−+=

−=

−−−−

−−−−

−−−

tttttt

tttttt

tttttt

EEEEE

EEE

EEECov

εεααηεεααη


εεεεεε

18 Het ARCH-model is een eerste-orde autoregressief proces met voorwaardelijke heteroscedasticiteit.

27

waarbij de derde gelijkheid volgt uit het feit dat tη en 1−tε onafhankelijk zijn van elkaar. Merk

wel op dat de k uit (2.3.2) hier gelijk is aan 1, maar er kan gemakkelijk nagegaan worden dat de

afleiding ook zal gelden voor k>1. Vervolgens kan de geldigheid van (2.3.3) nagegaan worden

(eigen werk):

[ ] ( )[ ] ( )[ ] [ ][ ] ( )[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]( )

0

1112

1

2211

210

411

210

21

2110

221

2110

2

21

2110

221

2110

221

2

≠

−=

−−+=

+−+=

+−+=

−−

−−−−

−−−−

−−−−−

tt

tttt

tttttt

tttttttt

KVar

EEEE

EEEEE

EEECov

εεα

εαεαεαεα


εεααηεεααηεε

waarbij [ ]1−tK ε de kurtosis is van de verdeling van 1−tε die als volgt gedefinieerd is:

[ ] [ ]( )[ ][ ]1

2

411

1

−

−−−

−=t

ttt

Var

EEKεεεε (2.3.5)

De vierde gelijkheid bekomt men door gebruik te maken van (2.3.5). De [ ]21

2, −ttCov εε zal dan

zeker verschillend zijn van 0 aangezien de kurtosis steeds groter is dan 1. In geval van een

normale verdeling is de kurtosis namelijk gelijk aan 3. Indien de verdeling wijdere staarten heeft,

zal de kurtosis zelfs groter worden dan 3. De residuen zijn dus ongecorreleerd, maar niet

onafhankelijk omdat (2.3.4) zal opgaan voor k=1.

Als er vervolgens verondersteld wordt dat tε stationair is dan wordt het volgende bekomen voor

de onvoorwaardelijke en de voorwaardelijke variantie:

[ ]1

0

1 αα

ε−

=tVar (2.3.6)

[ ] 21101 −− += tttVar εααε , (2.3.7)

waarbij 21−tε de geobserveerde waarde is voor 1−tε . De onvoorwaardelijke variantie is dus

constant en de voorwaardelijke variantie is afhankelijk van de tijd zodat tε de volatiliteit zal

beschrijven (GREENE W., 1993, blz. 439).

28

Men kan besluiten dat de residuen die beschreven worden door het model (2.3.4), zullen voldoen

aan de veronderstelingen van het RW3-model (2.3.1).

Voorbeeld

Er kan nu een reeks gesimuleerd worden die voldoet aan het RW3-model en waarvan de residuen

voldoen aan het ARCH-model dat zopas besproken is. De reeks zal zodanig gesimuleerd worden

dat men gemakkelijk de band kan leggen met de voorbeelden die gesimuleerd zijn voor de RW1

en de RW2. Stel

ttt PP ε++= −12 voor 200,,2,1 �=t

met nrndtt 15,05,12 −+= εε .

De residuen tε beschrijven opnieuw de volatiliteit (zie bijlage 3a). Merk op dat de

onvoorwaardelijke variantie gelijk is aan 25 zoals bij het voorbeeld van de RW1 en RW2.19

De reeks voor de prijzen kan nu gesimuleerd worden (zie bijlage 3b). Het verloop ervan komt tot

uiting in figuur 6. Net zoals bij de RW1 en de RW2 is het verloop stijgend. Dit is opnieuw te

wijten aan de aanwezigheid van de drift die tot een positieve trend leidt. Het is nu wel zo dat er

Figuur 6 : Het verloop van de prijzen bij de RW3.


19 Deze variantie kan gemakkelijk berekend worden aan de hand van formule (2.3.6).

0

100

200

300

400

500

600

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

PRIJS

Hoofdstuk 2: De Soorten “Random Walk” 29

plaatselijk een trendverschuiving lijkt op te treden. Dit komt omdat er een zekere positieve

afhankelijkheid is tussen de opeenvolgende prijsveranderingen die te verklaren is door het model

(2.3.4).

Vervolgens kan men dan ook het verloop van de prijsveranderingen bekijken in figuur 7 (zie ook

bijlage 3c). Men kan direct zien dat de volatiliteit varieert doorheen de tijd zoals bij figuur 5 van

de RW2. Toch is er een groot verschil op te merken. De volatiliteit bij de RW3 verandert slechts

geleidelijk terwijl de volatiliteit bij de RW2 willekeurig verandert. Bij de RW3 zijn er perioden z

met een grote volatiliteit en perioden met een kleine volatiliteit zoals men kan zien in figuur 7.



Er is dus een zekere volharding in de beweging van de prijsveranderingen. Dit komt opnieuw

omdat er een positieve afhankelijkheid is tussen de opeenvolgende prijsveranderingen zodat de

volatiliteiten serieel gecorreleerd zijn. De prijsveranderingen lijken wel ongecorreleerd te zijn

omdat de prijsveranderingen in een willekeurige richting variëren rond de drift. De

prijsveranderingen die gesimuleerd zijn, lijken consistent te zijn met de veronderstellingen van

het RW3-model.

-40

-20

0

20

40

60

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

D(PRIJS)


2.4 Het Testen van de “Random Walk”

Bij het testen of een tijdsreeks van aandelenprijzen een “random walk” volgt, moet er nagegaan

worden of de prijsveranderingen uit het verleden kunnen gebruikt worden om de toekomstige

prijsveranderingen te voorspellen. In het geval dat de tijdsreeksen een “random walk” volgen, zal

dit niet mogelijk zijn (FAMA E., 1965, blz. 34).

In feite moet er getest worden of er voldaan is aan de veronderstellingen van de “random walk”.

Men kan dit doen door steekproefschattingen te maken van bepaalde testwaarden en de

resultaten daarvan te vergelijken met wat er zou verwacht worden indien de “random walk”

geldig is (FAMA E., 1965, blz. 81).

In hoofdstuk 4 zullen er een aantal testen uitgewerkt worden die voldoen aan de

veronderstellingen van het RW1-model. Deze testen kunnen dan gebruikt worden om na te gaan

of een tijdsreeks van aandelenprijzen voldoet aan het RW1-model.

In hoofdstuk 5 wordt een beschrijving gegeven van hoe men kan nagaan wanneer een tijdsreeks

voldoet aan het RW2-model.

Vervolgens zullen er in hoofstuk 6 enkele testen in verband met het RW3-model worden

uitgewerkt. Men zal hierbij vertrekken van de testen van de RW1 waarbij de veronderstellingen

afgezwakt zullen worden.

Iedere test die uitgewerkt wordt voor de RW1 en de RW3, zal gevolgd worden (in een aparte

sectie) door een kort empirisch onderzoek. De testwaarde en de steekproefverdeling van de

testwaarde die bekomen worden voor iedere test, zal gebruikt worden om de geldigheid van de

“random walk” na te gaan voor de prijzen van het aandeel UCB en voor de prijzen van de Bel20-

index. De steefproef beloopt de periode van 1 januari 1973 tot 26 februari 1999. De testen

worden uitgevoerd op zowel de dagelijkse, wekelijkse als de maandelijkse gegevens.

UCB “Group”

Het bedrijf UCB (“Group”) is één van de grootste firma’s in België. Het is een farmaceutische en

chemische groep van wereldklasse dat vooral aktief is in de Pharma Sector, de Chemische Sector

en de Film Sector. Sinds 1970 kent UCB een regelmatig groeipatroon wat zich vertaald heeft in

een stijgend prijsverloop van de aandeelprijzen doorheen de tijd <http://www.ucb-group.com>.

Het verloop van de maandelijkse prijzen van het aandeel UCB is weergegeven in figuur 8. Er is

een matige stijging tot 1995. Er zal dan ook een kleine drift aanwezig te zijn. Vanaf 1995 lijkt er

evenwel een trendverschuiving op te treden. De prijzen stijgen veel sneller dan voorheen.


Vervolgens kan het verloop van de prijsveranderingen bekeken worden. Dit wordt weergegeven

in figuur 9. Het valt meteen op dat de volatiliteit stijgt naarmate er verder in de tijd gegaan

wordt. Vooral sinds 1995 is de variabiliteit veel groter geworden. Er lijkt dus sprake te zijn van

conditionele hetroscedasticiteit en ook een zekere afhankelijkheid tussen de opeenvolgende

prijsveranderingen. Dus op het eerste zicht lijken de maandelijkse prijsveranderingen een RW3

te volgen. Voor de dagelijkse en wekelijkse prijsveranderingen kan men soortgelijke conclusies

(zie bijlage 4).

Figuur 8: De maandelijkse prijzen (UCB). Figuur 9: De maandelijkse prijs ∆ (UCB).

(Gegevens van Datastream; Eviews) (Gegevens van Datastream; Eviews)

Bel 20-index

De Bel20-index bestaat uit 20 toonaangevende Belgische aandelen (“blue chips”), die represen-

tatief zijn voor de ontwikkeling van alle Belgische aandelen op de Termijnmarkt noteren.

Officieel werd de index op 18 maart 1991 opgestart <http://bewoner.dma.be/Herbots/b_bel20>.

Via datastream kan men echter noteringen terugvinden voor de Bel20 tot in het begin van 1973.

Deze noteringen zijn berekend gebruik makend van de korf van de aandelen bij de start van de

Bel20 en van de toen geldende correlaties tussen de aandelen. Men heeft dan teruggerekend tot 1

januari 1973.

Het maandelijks prijsverloop van de Bel20-index is weergegeven in figuur 10. Er is een stijgend

verloop merkbaar wat wijst op de aanwezigheid van een drift. Af en toe lijkt er een

trendverschuiving op te treden. Er zou dus sprake kunnen zijn van een zekere afhankelijkheid.

De maandelijkse prijsveranderingen weergegeven zijn in figuur 11. Net zoals bij het aandeel

UCB varieert de volatiliteit doorheen de tijd, zij het minder uitgesproken. Naar het einde van de

jaren ’90 lijkt de variabiliteit het grootst te zijn. Op het eerste zich lijkt ook de tijdsreeks van de

0

10

20

30

40

50

60

74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98

UCB

-8

-4

0

4

8

12

74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98

DUCB


maandelijkse prijzen van de Bel20 consistent te zijn met het RW3-model. Ook voor de

dagelijkse en wekelijkse prijsveranderingen kan men soortgelijke conclusies (zie bijlage 5).

Figuur 10: De maandelijkse prijzen (Bel20). Figuur 11: De maandelijkse prijs ∆ (Bel20).


Vooraleer over te gaan tot de uiteenzetting van de testen en het daarop telkens volgend empirisch

onderzoek, wordt er eerst nog een hoofdstuk gewijd aan het gebruik van de logaritmen van

aandelenprijzen. Daaruit zal blijken dat het beter is om te werken met de logaritmen van de

aandelenprijzen in plaats van met de absolute prijzen. Het “random walk”-model zal dan

aangepast worden. De prijzen tP zullen vervangen worden door de logaritmen van de prijzen.

Op die manier bekomt men een beter model.

0

200

400

600

800

1000

74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98

BEL20

-150

-100

-50

0

50

100

150

74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98

DBEL20

33

3 Het Gebruik van LogaritmenBij het opstellen van de “random walk”-modellen werd steeds gebruik gemaakt van de absolute

waarden van de aandelenprijzen. In dit hoofdstuk zullen enkele redenen naar voor gebracht

worden waarom het beter is om te werken met de natuurlijke logaritmen van de aandelenprijzen

bij het modelleren van de “random walk”.

3.4 Schending van de Beperkende Betrouwbaarheid

Er kan aangetoond worden dat indien de prijsveranderingen normaal verdeeld zijn, er een

positieve kans bestaat dat de prijs van het aandeel negatief zal worden. Dit strookt natuurlijk niet

met de realiteit (CAMPBELL J. et al., 1997, blz. 32).

Er wordt vertrokken van het RW1-model waarbij de residuen normaal verdeeld zijn. Het model

ziet er als volgt uit (eigen werk):

ttt PP εµ ++= −1 , ( )2,0~ σε ΝIIDt (3.1.1)

Het model (3.1.1) kan verder omgevormd worden tot:

( )21 ,~ σµΝ− − IIDPP tt . (3.1.2)

Aldus maakt men de veronderstelling dat de prijsveranderingen normaal verdeeld zijn met

verwachtingswaarde µ en variantie 2σ . De veronderstelling dat de prijsveranderingen normaal

verdeeld zijn, wordt vaak gemaakt in de realiteit.

De normale verdelingsfunctie van de prijsveranderingen is uitgezet in figuur 12. Op de

horizontale as bevinden zich de prijsveranderingen. Op de vertikale as kan de

waarschijnlijkheidsdichtheid afgelezen worden van de mogelijke prijsveranderingen. Men weet

nu dat bij een normale verdeling de kans op extreme uitkomsten zeer klein is, maar dat deze toch

verschillend is van nul. Hieruit kan er afgeleid worden, gebruik makend van figuur 12, dat er een

kans bestaat, zij het een zeer kleine kans, dat de prijs van het aandeel kleiner wordt dan nul. Er is

namelijk een kans dat 1−− tt PP kleiner zal zijn dan 1−tP waardoor de prijs tP kleiner zal worden

dan nul. Dit is onmogelijk aangezien de prijs van het aandeel niet negatief kan worden.

34

Figuur 12: De normale verdeling met gemiddelde µ .

(Eigen werk; Microsoft Excel)

Definieer vervolgens het netto rendement van het aandeel op tijdstip t als

1

1

−

−−=

t

ttt P

PPR , (3.1.3)

dan kan hieruit afgeleid worden dat er een kans bestaat dat het netto rendement kleiner zal zijn

dan –1. Dit kan niet aangezien men niet meer kan verliezen dan hetgeen men investeert.

Dit probleem, dat ook wel de “schending van de beperkende betrouwbaarheid” genoemd wordt,

kan opgelost worden door de natuurlijke logaritmen te nemen van de aandelenprijzen en de

prijzen tP uit het model (3.1.1) te vervangen door hun logaritmen. Aldus bekomt men het

volgende model:

ttt pp εµ ++′= −1 , ( )2,0~ σε ΝIIDt (3.1.4)

met )( tt PLNp = .

Dit model wordt ook wel het “lognormale”-model genoemd (infra, blz. 36).20 Men zegt dan dat

de natuurlijke logaritmen van de prijzen een RW1 volgen met normaal verdeelde residuen. Merk

op dat de drift zal veranderen ten gevolge van de logaritmische transformatie van de prijzen.

20 Het “lognormale”-model werd door Osborne (1959) ingevoerd als oplossing voor het probleem van de “schendingvan de beperkende betrouwbaarheid. Dit probleem werd aanvankelijk door Bachelier (1900) erkend, maar hijnegeerde het probleem bij het opstellen van zijn werk (COOTNER P., 1964, blz. 5).

U P t - P t -1- P t -1

35

Vervolgens kan (3.1.4) omgevormd worden tot:

( )21 ,~ σµ′Ν− − IIDpp tt . (3.1.5)

)6.1.3()(

)()(

1

11

−

−−

=

−=−

t

t

tttt

PPLN

PLNPLNppmet

Het verschil van de natuurlijke logaritmen van de prijzen is dus normaal verdeeld met

verwachtingswaarde µ′ en variantie 2σ .

Men kan nu de exponentiële functie nemen van beide leden van vergelijking (3.1.6). Aldus

bekomt men:

)8.1.3(,1

)7.1.3()(1

1

t

t

ttt

R

PP

ppEXP

+=

=−−

−

waarbij de tweede gelijkheid bekomen wordt door gebruik te maken van (3.1.3). tR+1 noemt

men het bruto rendement. Het verloop van de exponentiële functie van 1−− tt pp wordt

weergegeven in figuur 13 (VANMAELE M., 1995). Uit deze figuur kan onmiddellijk afgeleid

Figuur 13: De exponentiële functie van 1−− tt pp .

(Eigen werk; Microsoft Excel)

0

1

p t - p t-1

1 + R t

36

worden dat 1−− tt pp alle mogelijke waarden kan aannemen, zowel positieve als negatieve. De

exponentiële functie hiervan heeft echter een onderlimiet van 0. Uit (3.1.8) volgt dan dat tR+1

een onderlimiet van 0 heeft zodat het netto rendement niet kleiner kan zijn dan –1. Het nieuwe

model is dus wel in overeenstemming met de realiteit daar de prijs niet meer negatief kan

worden. Het probleem van de “schending van de beperkende betrouwbaarheid” is opgelost

(Eigen werk).

Stabiele Pareto-verdeling

Er kan nu ook gesteld worden dat in het geval dat de verdeling afwijkt van de normale verdeling,

het gebruik van logaritmen toch het probleem van de “schending van de beperkende

betrouwbaarheid” zal oplossen. Stel namelijk dat de prijsveranderingen stabiel Pareto-verdeeld

zijn in plaats van normaal verdeeld. Dit is een veel voorkomende verklaring voor de afwijkingen

van de normale verdeling. De verdeling heeft dan wijdere staarten. Ook in dit geval bestaat er

een kans, zelfs een grotere kans dan bij de normale verdeling, dat de prijs negatief wordt. Indien

er nu opnieuw gebruik gemaakt wordt van de logaritmen van de prijzen, dan zal dit probleem

zich niet voordoen. Dezelfde redenering kan hierbij gevolgd worden als bij de normale

verdeling. Dus ook bij een stabiele Pareto-verdeling zal het logaritmische model het probleem

van de “schending van de beperkende betrouwbaarheid” oplossen (Eigen redenering).

Ook voor het RW2-model en het RW3-model zou men soortgelijke conclusies kunnen trekken

als bij het RW1-model wat betreft de “schending van de beperkende betrouwbaarheid”.

3.5 Betere Benadering voor de Normaliteit

Een tweede voordeel in verband met het gebruik van logaritmen, heeft te maken met het

“lognormale”-model van Osborne (1959). Osborne stelde dat de veranderingen in de logaritmen

van de prijzen beter de normale verdeling benaderen dan de gewone prijsveranderingen zodat het

“lognormale”-model, weergegeven in (3.1.4), beter in overeenstemming zal zijn met de realiteit

dan het gewone normale “random walk” model uit (3.1.1). Bij zijn verklaring vertrekt hij van het

feit dat er iedere dag tientallen transacties zijn per aandeel (zie Bachelier-Osborne Model, blz.

10). De dagelijkse verandering in de logaritmen van de prijzen is dan de som van de

veranderingen per transactie. Indien de veranderingen per transactie onafhankelijk en identiek

verdeeld zijn dan kan men afleiden, gebruik makend van de centrale limietstelling, dat de

veranderingen in de logaritmen van de prijzen normaal verdeeld zijn. Een gevolg hiervan is dat

37

de standaardafwijking van de prijsveranderingen proportioneel zal zijn met de vierkantswortel

van de lengte van de tijdsperiode. Dit laatste is een belangrijke eigenschap van de “random

walk” die voor het eerst door Bachelier naar voor werd gebracht (zie variantieratios)

(ALEXANDER S., 1961, blz. 206).

De bekomen normaliteit voor de veranderingen in de logaritmen is een zeer interessant gegeven.

De normale verdeling heeft namelijk het grote voordeel dat de volledige verdeling kan

beschreven worden door slechts twee maatstaven, de verwachtingswaarde en de variatie. De

analyse van de tijdsreeksen wordt dan ook veel simpeler (HARRINGTON D., 1983, blz. 6-7).

Empirisch onderzoek

De bevindingen van Osborne kunnen nu nagegaan worden aan de hand van een tijdsreeks van

aandelenprijzen. Stel de maandelijkse prijzen van het aandeel UCB, zoals weergegeven in figuur

8. De maandelijkse prijsveranderingen zijn weergegeven in figuur 14, door middel van een

histogram. De verwachte normale verdeling is weergegeven via de curve. Er kan direct

opgemerkt worden dat de verdeling van de prijsveranderingen serieus afwijkt van de normale

verdeling. De kurtosis is trouwens gelijk aan 30,379.

Figuur 14: Histogram maand. prijs ∆ (UCB). Figuur15:Histogram maand. logprijs ∆ (UCB).

(Eigen werk; Spss 7.5) (Eigen werk; Spss 7.5)

De verdeling van de veranderingen in de logaritmen van de prijzen is weergeven in figuur 15.

Het valt direct op dat deze verdeling veel beter de normale verdeling benadert. Dit is ook af te

leiden uit de kurtosis (=2,009), die veel dichter aansluit bij de kurtosis van de normale verdeling.

De bevindingen van Osborne lijken consistent te zijn met de eigenschappen van het aandeel

UCB.

DIFF(UCB,1)

9,08,0

7,06,0

5,04,0

3,02,0

1,00,0

-1,0-2,0

-3,0-4,0

-5,0

300

200

100

0

Std. Dev = 1,13

Mean = ,2

Kurt. = 30,379

DIFF(LNUCB,1)

,75,32,27,22,17,12,07,02-

,02

-

,07

-

,12

-

,17

-

,22

-

,27

60

50

40

30

20

10

0

Std. Dev = ,08

Mean = ,014

Kurt. = 2,009

Hoofdstuk 3: Het Gebruik van Logaritmen 38

3.3 Het Continu Samengesteld Rendement

Een derde voordeel houdt verband met de invoering van de term “continu samengesteld

rendement”. Dit rendement is niets anders dan het verschil van de logaritmen van de

aandelenprijzen. Gebruik makend van (3.1.6) kan men het continu samengesteld rendement tr ,

ook wel lognormale rendement genoemd, als volgt definiëren:

( )tt

tttt RLN

PP

LNppr +=�

��

�=−=

−− 1

11 , (3.2.1)

waarbij tR het netto rendement is zoals gedefinieerd in (3.1.3).

Gebruik makend van de definitie van het continu samengesteld rendement, kan het

“lognormale”-model, gedefinieerd in (3.1.5), als volgt voorgesteld worden:

( )2,~ σµ′ΝIIDrt . (3.2.4)

Het “lognormale”-model impliceert dan dat de continu samengestelde rendementen

onafhankelijke en identiek normaal verdeelde variabelen zijn met verwachtingswaarde µ′

variantie 2σ .

Het voordeel doet zich voor wanneer men het rendement wil berekenen over meerdere perioden.

Indien er gewerkt wordt met netto rendementen dan zal het rendement over k perioden er als

volgt uitzien:

( )( ) ( )( ) ( )11 1111 +−− +++≡+ ktttt RRRkR � . (3.2.2)

( )kRt is het netto rendement over k perioden, terwijl ( )kRt+1 het bruto rendement is over k

perioden. Als men nu stelt dat de netto rendementen normaal verdeeld zijn dan kan er uit (3.2.2)

afgeleid worden dat het rendement over meerdere perioden niet normaal verdeeld zal zijn daar de

vermenigvuldiging van normale verdelingen geen normale verdeling is (CAMPBELL J., 1997,

blz. 11).

Indien men echter werkt met continu samengestelde rendementen, dan wordt het volgende

bekomen voor het rendement over meerdere perioden:


( ) ( )( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ))3.2.3(,

111111

1

11

11

11

+−−

+−−

+−−

+++=++++++=

+++=+=

kttt

kttt

kttt

tt

rrrRLNRLNRLN

RRRLNkRLNkr

�

�

�

waarbij ( )krt het continu samengestelde rendement is over meerdere perioden. De tweede

gelijkheid bekomt men door gebruik te maken van (3.2.2). Uit (3.2.3) kan er afgeleid worden dat

het continu samengestelde rendement over meerdere perioden gelijk is aan de som van de

samengestelde rendementen over één periode. Als er nu verondersteld wordt dat deze laatsten

normaal verdeeld zijn, dan zal het continu samengestelde rendement over meerdere perioden ook

normaal verdeeld zijn want de som van normale verdelingen is ook normaal verdeeld. Dus de

vermenigvuldiging is omgezet in een optelling door de natuurlijke logaritmen te nemen van de

prijzen. Dit is zeer interessant omdat het veel gemakkelijker is om tijdsreekseigenschappen af te

leiden van een additief proces dan van een vermenigvuldigingsproces (CAMPBELL J., 1997,

blz. 11).

3.4 Percentage van de Prijsverandering

Een vierde voordeel is dat voor prijsveranderingen van minder dan 15 per cent (onafhankelijk

van de tijdshorizon), de verandering in de logaritmen van de prijzen of het continu samengesteld

rendement quasi gelijk zal zijn aan het percentage van de prijsverandering. Dit is zeer interessant

omdat de investeerders en ook wel de onderzoekers, het zeer handig vinden om te kunnen

werken met de percentages van de prijsveranderingen in plaats van met de prijsveranderingen

zelf (FAMA E., 1965, blz. 46).

Veelal wordt er ook gebruik gemaakt van het netto rendement zoals gedefinieerd in (3.1.3) om

de proportionele prijsverandering te berekenen. Men leest dan ook vaak dat de “random walk”

geldig is indien de rendementen onafhankelijk en identiek verdeeld zijn in plaats van de

prijsveranderingen. Het is nu wel zo dat indien de netto rendementen onafhankelijk en identiek

verdeeld zijn, de prijzen van de aandelen geen “random walk” zullen volgen aangezien de

prijsveranderingen afhankelijk zullen zijn van het prijsniveau. De residuen tε in het “random

walk”-model zouden dan namelijk afhankelijk zijn van de prijzen 1−tP zodat de

basisveronderstellingen van het klassiek lineair model niet meer geldig zijn (FAMA E., 1970,


blz. 386-387). Men kan dan ook besluiten dat het beter is om met continu samengesteld

rendementen te werken dan met netto rendementen.

3.5 Het Neutraliseren van de Variabiliteit

Het algemeen “random walk” model van Bachelier impliceert dat de variantie van de

toekomstige prijsveranderingen onafhankelijk is van het prijsniveau op het huidige tijdstip. Er

zijn echter wel redenen om te verwachten dat de standaardafwijking van de prijsveranderingen

proportioneel zal stijgen met het prijsniveau (MANDELBROT B., 1963, blz. 307). Stel

bijvoorbeeld dat een aandeel is genoteerd aan 100. Een prijsstijging van 10 per cent komt dan

overeen met een stijging van 100 naar 110. Stel vervolgens dat het aandeel genoteerd is aan 500.

Een prijsstijging van 10 per cent zal nu overeenkomen met een stijging van 50. Dus een even

grote prijsstijging in percentage zal leiden tot een hogere stijging in absolute waarde als het

prijsniveau hoger is. Vandaar de stijgende standaardafwijking naarmate het prijsniveau hoger is.

De variabiliteit of de volatiliteit van de prijsveranderingen voor een bepaald aandeel is dus een

stijgende functie van het prijsniveau van het aandeel (d.i. het “prijsniveau-effect”). Bijgevolg

kan de volatiliteit veranderen zonder dat het risico, dat verbonden is aan een aandeel, verandert.

De RW1 zou dus verworpen kunnen worden, enkel omdat het prijsniveau van het aandeel

verandert. Dit is niet echt realistisch (Eigen redenering).

Als men nu de natuurlijke logaritmen neemt van de prijzen dan zal het meeste van dit

prijsniveau-effect geneutraliseerd zijn (FAMA E., 1965, blz. 45-46). De verandering in de

logaritmen van de prijzen zal namelijk onafhankelijk zijn van het prijsniveau. De stijging in de

logaritmen zal dezelfde zijn bij een stijging van de prijs van 100 naar 110 als bij een stijging van

500 en 550. In beide gevallen is de stijging in de logaritmen ongeveer gelijk aan het percentage

van de prijsstijging (zie sectie 3.4). Dus door logaritmisch te transformeren kan ervoor gezorgd

worden dat de volatiliteit constant blijft en dus niet afhankelijk is van het prijsniveau. In feite is

dit een transformatie om de tijdsreeks van de prijsveranderingen stationair te maken.

Het grote voordeel is dan dat de parameters constant blijven en zoals reeds vermeld, is het voor

statistische doelen zeer interessant dat de parameters van de verdeling vast zijn voor de periode

die onderzocht wordt (FAMA E., 1965, blz. 41).

Empirisch onderzoek

De hierboven beschreven theorie kan nu getest worden voor het aandeel UCB. Het verloop van

de maandelijkse prijsveranderingen is weergegeven in figuur 16. Er kan onmiddellijk opgemerkt

worden dat de volatiliteit stijgt met de tijd, vooral doorheen de jaren ‘90. Uit figuur 8 kon er


reeds afgeleid worden dat het prijsniveau stijgt doorheen de tijd. Dus de volatiliteit van de

prijsveranderingen van het aandeel UCB is een stijgende functie van het prijsniveau. De prijzen

zullen zeker geen RW1 volgen omwille van het prijsniveau-effect.

Figuur 16: Verloop van prijs ∆ (UCB). Figuur 17: Verloop van logprijs ∆ (UCB).

(Eigen werk; Eviews) (Eigen werk; Eviews)

Het verloop van de veranderingen in de logaritmen van de prijzen is weergegeven in figuur 17.

Het verloop ziet er redelijk stabiel uit. Het prijsniveau-effect lijkt geneutraliseerd te zijn door

logaritmisch te transformeren. Dit is dan ook consistent met de beschreven theorie. Het zal dus

beter zijn om na te gaan of de logaritmen van de prijzen een RW1 volgen.

In dit hoofdstuk werden enkele belangrijke redenen naar voor gebracht waarom het interessanter

is om te werken met de natuurlijke logaritmen van de prijzen in plaats van met de prijzen zelf.

Het “random walk”-model kan dan het best voorgesteld worden zoals in (3.1.4).21 Bij het

afleiden van de testen voor de “random walk”, die in de volgende hoofdstukken aan bod zullen

komen, zal men dan ook meestal vertrekken van dit logaritmisch model.

21 Merk op dat dit het logaritmisch model is voor de RW1. Analoog kan men echter het model bekomen voor deRW2 en de RW3.

-8

-4

0

4

8

12

74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98

DUCB

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98

DLNUCB

42

4 De Testen van de “Random Walk” 1De meeste testen die vroeger ontwikkeld werden over de “random walk”, zijn testen in verband

met de RW1. Het RW1-model ziet er als volgt uit (zie sectie 3.1):

ttt pp εµ ++= −1 , ( )2,0~ σε IIDt

met )( tt PLNp = .

Er wordt dus gebruik gemaakt van het logaritmisch model omdat dit tal van voordelen oplevert,

zoals uiteengezet in het vorige hoofdstuk.22 De meeste testen zullen dan ook vertrekken van het

logaritmisch model.

Het logaritmisch RW1-model, wat vanaf nu het RW1-model genoemd wordt, betreft de twee

volgende veronderstelligen :

• De veranderingen in de logaritmen van de prijzen zijn onafhankelijk van elkaar.

• De veranderingen in de logaritmen van de prijzen zijn identiek verdeeld met

verwachtingswaarde µ en variantie 2σ .

Ondanks het feit dat het RW1-model geen accurate beschrijving kan geven voor de reeksen van

aandelenprijzen, kan er uit de testen van de RW1 veel geleerd worden over de eigenschappen

van de “random walk” (CAMPBELL J., 1997, blz. 34).

Er worden 6 testen i.v.m. de RW1 besproken. Deze zijn de volgende:

1) De Cowles-Jones test.

2) De Runs-test.

3) De Dickey-Fuller test.

4) De Autocorrelatie-test.

5) De Portmanteau Statistieken.

6) De Variantieratios.

De testen worden één voor één uitgewerkt en aan het einde van iedere test, wordt de test

uitgevoerd op de tijdsreeksen van het aandeel UCB en van de Bel 20-index.

22 Merk op dat de drift in het vervolg genoteerd wordt als µ en niet als µ′ zoals aanvankelijk bij het logaritmischmodel. Deze veronderstelling wordt gemaakt om de termen zo eenvoudig mogelijk te houden.

43

4.3 De Cowles-Jones Test

Eén van de eerste testen voor de RW1 werd voorgesteld door Cowles en Jones (1937). De test

maakt een vergelijking van het aantal opeenvolgingen en omkeringen van de rendementen van

een aandeel. Een opeenvolging of “sequence” is een paar van opeenvolgende rendementen met

een zelfde teken. Een omkering of “reversal” is een paar van opeenvolgende rendementen met

een tegengesteld teken. De eigenlijke test bestaat er dan in om het aantal opeenvolgingen en

omkeringen uit een tijdsreeks van rendementen van een aandeel te vergelijken met hetgeen er

zou verwacht worden indien de RW1 geldig is.

De uitwerking van de test kan nu onderverdeeld worden in twee delen. In een eerste deel wordt

er uitgegaan van het logaritmisch RW1-model zonder drift. In het tweede deel wordt een drift

ingevoerd en wordt de test verder uitgewerkd rekening houdend met deze drift. Uiteindelijk

volgt er nog een derde deel waarin een probleem besproken wordt dat de test kan beïnvloeden.

4.3.1 Het RW1-Model zonder Drift

Er wordt vertrokken van het logaritmische RW1-model in hetwelke de logaritme van de prijs tP

een RW1 volgt zonder drift:

ttt pp ε+= −1 , ( )2,0~ σε IIDt (4.1.1)

met )( tt PLNp = .

Beschouw vervolgens een Bernouilli-verdeelde stochastische variabele tI :

��

≤−≡

>−≡=

−

−

,00

01

1

1

ttt

ttt

tpprals

ppralsI (4.1.2)

waarbij tr het continu samengesteld rendement is zoals gedefinieerd in (3.2.1).23 De variabele tI

geeft dus aan wanneer het rendement positief of negatief is. Als de variabele gelijk is aan 1 dan

is het rendement strikt positief en als de variabele gelijk is aan 0 dan is het rendement kleiner of

gelijk aan nul.

23 Als men in het verdere verloop van dit hoofdstuk spreekt over het rendement, dan bedoelt men het continusamengesteld rendement.

44

Er wordt nu ook nog een extra voorwaarde opgelegd aan tε : stel tε is symmetrisch verdeeld.24

De kans op een strikt positief rendement zal dan gelijk zijn aan de kans op een negatief

rendement.25 Het is dus even waarschijnlijk dat tI gelijk is aan 1 als dat het gelijk is aan 0. Het

proces dat de waarnemingen genereert voor de variabele tI , kan dan intuïtief het best

voorgesteld worden als het gooien van een muntstuk waarbij dat munt een strikt positief

rendement voorstelt en kop een negatief rendement voorstelt. Indien het muntstuk geen

imperfecties vertoont, zal de kans op een positief rendement gelijk zijn aan de kans op negatief

rendement (COOTNER P., 1964, blz. 2).

De test van Cowles en Jones bestaat er nu in om het aantal opeenvolgingen en omkeringen van

de rendementen te vergelijken met elkaar. Beschouw een steekproef van n+1 rendementen

121 ,,, +nrrr � . Het aantal opeenvolgingen SN (“Sequences”) en het aantal omkeringen RN

(“Reversals”) kan dan als volgt berekend worden:

=++ −−+≡≡

n

tttttttS IIIIYmetYN

111 )1)(1( (4.1.3)

SR NnN −≡ , (4.1.4)

waarbij dat tY een Bernouilli-verdeelde variabele is die gelijk is aan 1 in geval van een

opeenvolging en 0 in geval van een omkering (zie sectie 4.1.2). De waarde n is het totaal aantal

waarnemingen voor tY of het totaal aantal paren van op elkaar volgende rendementen.

Vervolgens hebben Cowles en Jones een ratio bepaald, de Cowles-Jones ratio ∧

CJ , die de

verhouding weergeeft tussen het aantal opeenvolgingen en het aantal omkeringen:

S

S

S

S

R

S

R

S

nNnnN

nNnN

NN

CJπ

πˆ1

ˆ−

=−

==≡∧

, (4.1.5)

waarbij Sπ̂ de geschatte kans is op een opeenvolging (de verhouding van het aantal

24 Het rendement tr zal dan ook symmetrisch verdeeld zijn omdat tr in feite gelijk is aan tε .25 In het vervolg van de tekst zal men het woord “strikt” gebruiken om aan te geven dat het rendement niet gelijkmag zijn aan 0. Indien men het woord “strikt” niet vermeld dan kan het rendement wel gelijk zijn aan 0.

45

opeenvolgingen en het totaal aantal waarnemingen voor tY ). Sπ̂1− is dan de geschatte kans op

een omkering.

De ∧

CJ -ratio moet bij benadering gelijk zijn aan 1 indien de RW1 geldig is. De kans op een

opeenvolging moet namelijk gelijk zijn aan de kans op een omkering ten gevolge van de

symmetrische verdeling van tr rond de waarde 0.

De ∧

CJ -ratio, gedefinieerd in (4.1.5), is dan een consistente schatter van de werkelijke CJ -ratio.

Dit kan als volgt weergegeven worden:

12

12

1

1ˆ1ˆ

===−

→−

=∧

CJCJS

Swa

S

S

ππ

ππ

,

waarbij “ wa ” aanduidt dat schatter convergeert in waarschijnlijkheid. Sπ is de verwachte kans

op een opeenvolging indien de RW1 geldig is en is bijgevolg gelijk aan 21 . Bij deze test van

Cowles en Jones moet men dus het aantal opeenvolgingen en omkeringen berekenen en nagaan

of hun verhouding bij benadering gelijk is aan 1.

Uit het onderzoek dat Cowles en Jones (1937) uitgevoerd hebben op historische aandelen-

rendementen, zowel voor dagelijkse, wekelijkse, maandelijkse als voor jaarlijkse gegevens,

bleek dat voor de meeste aandelen de schatter voor de CJ -ratio groter is dan 1. Hieruit zou men

kunnen afleiden dat er een positieve correlatie aanwezig is tussen de opeenvolgende

rendementen aangezien er meer kans is op opeenvolgingen dan op omkeringen. Er lijken dus

bewijzen te zijn voor een zekere volharding in de beweging van de aandelenrendementen

(CAMPBELL J. et al., 1997, blz. 36).

Het “averaging”-effect

Als reactie op de resultaten van Cowles en Jones, stelde Working (1960) dat de positieve seriële

correlatie het gevolg kan zijn van het gebruik van gemiddelden van prijzen (het “averaging”-

effect). Hij heeft namelijk aangetoond dat het gebruik van gemiddelden van prijzen, correlatie

kan introduceren tussen de opeenvolgende differenties van de gemiddelden, zelfs als deze

correlatie niet aanwezig is tussen de opeenvolgende prijsveranderingen in de originele tijdsreeks

van de prijzen. Het principe werkt als volgt: stel de tijdsreeks van de wekelijkse prijzen van een

46

aandeel volgt een RW1.26 Dit impliceert dat er geen significante correlatie aanwezig is tussen de

opeenvolgende wekelijkse rendementen. Stel nu vervolgens dat men wil nagaan of de

maandelijkse prijzen een RW1 volgen. Indien de maandelijkse prijzen bekomen worden door het

nemen van het gemiddelde van de wekelijkse prijzen in de maand, dan zal door het nemen van

de gemiddelden correlatie geïntroduceerd worden tussen de opeenvolgende maandelijkse

rendementen. De maandelijkse prijzen zullen dan hoogstwaarschijnlijk geen RW1 volgen. Het is

wel mogelijk dat de maandelijkse prijzen een RW1 volgen indien men de maandelijkse prijzen

berekent als de laatste notering van de maand. Dus het gebruik van gemiddelden zal

autocorrelatie introduceren zelfs indien de originele tijdsreeks geen correlatie vertoont. Working

haalde het gebruik van gemiddelden aan als mogelijke oorzaak voor de positieve seriële

correlatie die Cowles en Jones ontdekten in hun onderzoek, dit vooral voor de maandelijkse

prijzen. Dus het effect van het nemen van gemiddelden kan de verklaring zijn voor de schijnbare

hoge voorspelbaarheid van maandelijkse rendementen (WORKING H., 1960, blz. 916-918)

(COWLES A., 1960, blz. 909).

Als reactie hierop heeft Cowles (1960) het onderzoek uit 1937 opnieuw uitgevoerd waarbij hij

voor de prijzen van iedere tijdseenheid, een bepaalde waarneming uit de tijdseenheid gebruikt,

zoals de eindnotering, om zo het “averaging”-effect te vermijden. Vooral voor de maandelijkse

gegevens kan men een groot verschil opmerken tussen de resultaten van 1937 en de resultaten

van 1960. Het surplus van opeenvolgingen op de omkeringen is drastisch verminderd vergeleken

met de resultaten uit 1937. Dit lijkt consistent te zijn met de bevindingen van Working.

Niettemin is er nog steeds een surplus aan opeenvolgingen bij zowel de dagelijkse, de

wekelijkse, de maandelijkse als de jaarlijkse gegevens. Er zal dus nog steeds sprake zijn van een

positieve correlatie tussen de opeenvolgende rendementen die niet te verklaren is door het effect

van het nemen van gemiddelden (COWLES A., 1960, blz. 912-914).

Makelaarskosten

De resultaten van Cowles (1960) leiden tot de conclusie dat er een zekere tendens is tot

volharding in de beweging van de aandelenprijzen. Er lijkt dus een mogelijkheid te bestaan om

op basis van vroegere waarnemingen van de aandelenrendementen een winst te behalen. Cowles

stelde wel dat indien men rekening houdt met de makelaarskosten die moeten betaald worden bij

het verhandelen van aandelen, de winsten verwaarloosbaar zijn zodat de kapitaalmarkten nog

26 Met de wekelijkse prijzen bedoelt men de logaritmische prijzen om zo de link te kunnen leggen met de test vanCowles en Jones. Het principe is evenwel hetzelfde voor de gewone prijzen.

47

altijd efficiënt zijn en het onmogelijk wordt om op basis van de vroegere rendementen een

behoorlijke winst te behalen (COWLES A., 1960, blz. 914).

Stel nu dat de correlatie toch voldoende groot is zodat het mogelijk wordt om kapitaalwinsten te

genereren die merkbaar groter zijn dan de makelaarskosten. Het marktmechanisme zal er dan

voor zorgen dat deze extra rendementen voldoende snel zullen verdwijnen. Het is namelijk zo

dat er voldoende professionele handelaars zijn die op de hoogte zijn van deze potentieel hoge

winsten. Zij zullen dan het aandeel direct willen kopen. Dit zal dan op zijn beurt ervoor zorgen

dat de prijs voldoende snel stijgt naar zijn nieuw evenwicht in plaats van geleidelijk zodat het

niet mogelijk zal zijn om extra winsten te genereren (zie inleiding, blz. 1). Dus de handelingen

van de handelaars zullen ervoor zorgen dat de volharding in de prijsbewegingen, waarvan ze

willen profiteren, verdwijnt. Er kan dus besloten worden dat de correlatie tussen de

opeenvolgende rendementen onvoldoende groot zal zijn om een meer dan verwaarloosbare winst

te behalen na het betalen van de makelaarskosten (COWLES A., 1960, blz. 915).

Aanwezigheid van een drift

Bij de uitwerking van de test van Cowles en Jones heeft men de veronderstelling gemaakt dat de

drift gelijk is aan nul. Dit is niet realistisch aangezien het verloop van de meeste aandelenprijzen

een drift vertonen. Er moet hiermee dan ook rekening gehouden worden. Door de aanwezigheid

van een drift zal de CJ -ratio zeker groter zijn dan 1 omdat een drift een opeenvolging

waarschijnlijker maakt dan een omkering. Dit zou dan ook de oorzaak kunnen zijn van het feit

dat het aantal opeenvolgingen steeds groter is dan het aantal omkeringen in het onderzoek van

Cowles (1960). Het wil dus niet zeggen omdat een CJ -ratio groter is dan 1 dat de RW1 niet

opgaat. Daarom zal er in het volgende deel rekening gehouden worden met de aanwezigheid van

een drift bij de bepaling van de formule voor de CJ -ratio (CAMPBELL J., 1997, blz. 36).

4.3.2 Het RW1-Model met Drift

In dit deel zal er nagegaan worden wat de invloed is van de invoering van de drift op de formule

voor de CJ -ratio en hoe men aan de hand van deze ratio kan testen wanneer de RW1 geldig is.

Veronderstel daartoe dat de logaritmen van de prijzen een RW1 volgen met drift:

ttt pp εµ ++= −1 , ( )2,0~ σε ΝIIDt , (4.1.6)

waarbij de extra veronderstelling gemaakt wordt dat de residuen normaal verdeeld zijn.

48

Het model (4.1.6) kan dan omgevormd worden tot het volgende model:

( )2,~ σµΝIIDrt . (4.1.7)

De rendementen zijn dus onafhankelijk en identiek normaal verdeeld indien de RW1-hypothese

geldig is.

Beschouw vervolgens opnieuw de Bernouilli-verdeelde stochastiche variabele tI :

��

−≤

>=

.100

01

π

π

lijkheidwaarschijnmetrals

lijkheidwaarschijnmetralsI

t

t

t (4.1.8)

Merk op dat de kans op een strikt positief rendement niet meer gelijk is aan de kans op een

negatief rendement aangezien een positieve drift een positief rendement meer waarschijnlijk

maakt dan een negatief rendement en omgekeerd bij een negatieve drift. De variabele tI kan dan

niet langer voorgesteld worden door het gooien van een zuiver muntstuk waarbij munt een strikt

positief rendement is en kop een negatief rendement. Het gooien zal een neiging hebben in de

richting van de drift.

De waarschijnlijkheid π op een positief rendement kan nu als volgt voorgesteld worden:

[ ]

)9.1.4(,

0

��

�<=

��

��

�−>

−=

>=

σµ

σµ

σ

µ

π

t

t

t

ZP

rP

rP

waarbij in de tweede gelijkheid overgegaan wordt op de standaard normaal verdeelde variabele

gebruik makend van (4.1.7). Men kan dan door middel van de tabellen van de standaard normaal

verdeelde variabelen nagaan wat de kans is. In geval van een positieve drift zal de kans groter

zijn dan 21 en in geval van een negatieve drift kleiner dan 21 .

49

Vervolgens kan men nu de nieuwe CJ -ratio afleiden (eigen werk):

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

( )( )

)10.1.4(,12

1

0000

0000

0000

0000

1

22

11

11

11

11

ππππ

π

π

−

−+=

><+<>

<<+>>=

><+<>

<<+>>=

−=

++

++

++

++

tttt

tttt

tttt

tttt

S

S

rPrPrPrP

rPrPrPrP

renrPrenrP

renrPrenrP

CJ

waarbij de derde gelijkheid volgt uit het feit dat de opeenvolgende rendementen onafhankelijk

zijn van elkaar indien de RW1 geldig is. Uit (4.1.7) volgt namelijk dat de rendementen tr

onafhankelijke en identiek verdeelde stochastische variabelen zijn.

De CJ-ratio is altijd ≥ 1

Er kan nu gemakkelijk aangetoond worden dat de nieuwe CJ -ratio steeds groter of gelijk zal

zijn aan 1 indien de RW1 geldig is. Om te beginnen kan (4.1.10) omgevormd worden tot (eigen

werk):

( )( )

)11.1.4(.122

1

22

221

12

1

2

2

2

22

−−

=

−

+−=

−

−+=

ππ

ππππ

ππππCJ

Er moet nu nagegaan worden of de vergelijking (4.1.11) al dan niet groter of gelijk is aan 1. Dit

kan als volgt bewezen worden:

222 4

1411122

1 ππππππ

−≥≥−

≥−−

.

50

Merk op het teken bij de laatste ongelijkheid niet omkeert omdat 2ππ − steeds positief is daar

π kleiner is dan 1. De laatste ongelijkheid kan vervolgens herleid worden tot de volgende

vergelijking:

0412 ≥+−ππ . (4.1.12)

Er moet nu nagegaan worden of de functie ( ) 412 +−= πππf , groter of gelijk is aan nul. Deze

functie is een kwadratische functie. π kan enkel de reële waarden aannemen in het open interval

] [1,0 . De discriminant is gelijk aan 0 zodat er maar één nulpunt is. Het nulpunt is gelijk aan

21 . Dit is het geval wanneer de drift gelijk is aan 0 zodat de kans op een strikt positief

rendement gelijk is aan de kans op een negatief rendement. De CJ -ratio zal dan gelijk zijn aan

1. De eerste afgeleide in het nulpunt is gelijk aan nul en de tweede afgeleide is groter dan nul

zodat het nulpunt het minimum is van de functie. Dit kan ook onmiddellijk afgeleid worden uit

Figuur 18: Het verloop van de functie ( ) 412 +−= πππf .

figuur 18 waarin de grafiek van de functie uitgezet is. Op de horizontale as ziet men de waarden

voor π en op de vertikale as de functiewaarden. Daar er maar één minimum is en er geen

maximum is, zullen alle andere functiewaarden boven 0 liggen zodat er voldaan is aan (4.1.12)

(VANMAELE M., 1995). Er kan dus gesteld worden dat:

1/2 10

51

( )( ) .1121 22

≥−−+=ππππCJ

Dit is eigenlijk vanzelfsprekend omdat een drift verschillend van 0, een opeenvolging meer

waarschijnlijk maakt dan een omkering. De drift zal namelijk een trend induceren in het proces

dat de prijzen genereert (Eigen werk).

Bij het testen of de RW1 geldig is, moet men dus een schatting maken voor de CJ -ratio van een

bepaalde tijdsreeks van aandelenprijzen en kijken of deze al dan niet significant verschillend is

van de ratio die zou bekomen worden indien de RW1 geldig is. De schatter voor de CJ -ratio,

voorgesteld als ∧CJ , bekomt men door de verhouding te berekenen van het aantal

opeenvolgingen en het aantal omkeringen. Om nu de test uit te voeren zal het noodzakelijk zijn

om een steekproefverdeling op te stellen voor de schatter van de CJ -ratio om de significantie te

kunnen nagaan.

De steekproefverdeling voor de CJ-ratio

Om te beginnen kan de Bernouilli-verdeelde variabele tY die in (4.1.3) gedefinieerd is, als volgt

voorsteld worden:

( )

��

−

−+==

S

St

lijkheidwaarschijnmet

lijkheidwaarschijnmetY

π

πππ

10

11 22

(4.1.13)

Merk op dat de variabele tY aanduidt wanneer er een opeenvolging is en wanneer er een

omkering is. Als de variabele gelijk is aan 1, dan heeft men te maken met een opeenvolging. Als

de variabele gelijk is aan 0, dan heeft men te maken met een omkering. De kans Sπ kan

bekomen worden uit (4.1.9).

De schatter SN (d.i. het aantal opeenvolgingen), gedefinieerd in (4.1.3), is dan de som van de

Bernouilli-verdeelde variabelen tY en is bijgevolg een binomiaal verdeelde stochastische

variabele met verwachtingswaarde [ ] SS nNE π= en variantie [ ]SNvar . Normaal zou men

verwachten dat de variantie gelijk is aan ( )SSn ππ −1 , maar aangezien dat de aangrenzende tY ’s

afhankelijk zijn van elkaar, wordt de volgende variantie bekomen (eigen werk):

52

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nnn

nS

YYCovYYCovYVarYVarYVar

YYYVarNVar

,2,2 12121

21

−++++++=

+++=

��

�

[ ] ( )[ ] [ ] 1,,3,2,,

,,2,11

11 −==

=−=

+− ntvoorYYCovYYCov

ntvoorYVarmet

tttt

SSt

�

�ππ

[ ] ( ) ( ) [ ]1,121 +−+−= ttSSS YYCovnnNVar ππ

Bij benadering, d.i. als het aantal waarnemingen zeer groot is, kan er dan gesteld worden dat:27

[ ] ( ) [ ]1,21 ++−= ttSSS YYCovnnNVar ππ . (4.1.14)

Vervolgens moet men nu de covariantie berekenen tussen twee aangrenzende tY ’s. Hierbij kan

als volgt tewerk gegaan worden:

[ ] [ ]( ) [ ]( )[ ][ ] [ ] [ ] )15.1.4(

,

11

111

++

+++

−=

−−=

tttt

tttttt

YEYEYYE

YEYYEYEYYCov

Men weet nu dat de verwachtingswaarde van een Bernouilli-verdeelde variabele gelijk is aan de

kans dat de Bernouilli-verdeelde variabele gelijk is aan 1 en dat de vermenigvuldiging van twee

Bernouilli-verdeelde variabelen ook een Bernouilli-verdeelde variabele is. Hiervan gebruik

makend kan de vergelijking (4.1.15) verder uitgewerkt worden:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] )16.1.4(,11

11111

111,

21

11

111

SStt

ttttt

tttttt

YYP

YPYPYPYYP

YPYPYYPYYCov

ππ −===

==−====

==−==

+

++

+++

waarbij men bij de tweede gelijkheid gebruik maakt van de vermenigvuldigingswet.28

27 Later zal er gesteld worden dat het aantal waarnemingen zeer groot is om de normale verdeling in te voeren zodater nu reeds gebruik zal gemaakt worden van (4.1.14).28 De vermenigvuldigingswet ziet er als volgt uit: [ ] [ ] [ ]APABPBAP =∩ (REYNAERTS H., 1995).

53

De enige onbekende term in (4.1.16) is [ ]111 ==+ tt YYP . Deze term kan als volgt uitgewerkt

worden:

[ ] ( ) ( )[ ][ ]

( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ][ ]

( ) ( )[ ][ ]

( ) )17.1.4(,1

1

01

1

0101

1

1111

33

2121

112121

11

S

t

tttttt

t

tttttttt

t

tttt

YP

IIIIIIP

YP

IIIIIIIIP

YP

YYPYYP

πππ

φφ

−+=

=

===∪∪∪====

=

==∪==∩==∪===

=

=∩====

++++

++++++

++

waarbij de eerste gelijkheid volgt uit de vermenigvuldigingswet en de derde gelijkheid volgt uit

het feit dat de doorsnede van de unies gelijk is aan de unie van de doorsneden.29

Als men nu vergelijking (4.1.17) in vergelijking (4.1.16) brengt dan wordt het volgende

bekomen voor de covariantie:

[ ] ( ) 2331 1, Stt YYCov πππ −−+=+ . (4.1.18)

Men kan nu vervolgens de covariantie in de formule (4.1.14) vervangen door (4.1.18) zodat dan

uiteindelijk de variantie voor SN bekomen wordt:

[ ] ( ) ( )( )233 121 SSSS nnNVar πππππ −−++−= . (4.1.19)

(Eigen werk)

Indien het aantal waarnemingen n voor tY zeer groot is, zal de verdeling van SN de normale

verdeling benaderen, ten gevolge van de centrale limietstelling, met als verwachtingswaarde

[ ] SS nNE π= en als variantie [ ]SNVar zoals weergegeven in formule (4.1.19). SN zal dus

asymptotisch normaal verdeeld zijn.

29 Dit kan als volgt weergegeven worden: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )DBCBDACADCBA ∩∪∩∪∩∪∩=∪∩∪ .

54

Om nu de steekproefverdeling voor de ∧CJ -ratio te bepalen, kan de eerste-orde Taylor

benadering of de delta methode toegepast worden op ( )SS NnNCJ −=∧

, gebruik makend van

de normale asymptotische benadering voor de verdeling van SN . Er wordt dus vertrokken van

de verdeling van SN :

( ) ( )( )( )233 121,~ SSSS

a

S nnnN ππππππ −−++−Ν , (4.1.20)

waarbij dat “ a ” aanduidt dat het een asymptotische verdeling is.

Als men nu de delta methode toepast op een functie van SN dan bekomt men de volgende

verdeling voor de functie:

( ) ( ) ( )( )22,~ σππ SS

a

S nfnfNf ′Ν , (4.1.21)

( )S

SS

Nn

NCJNfmet

−==

∧ .

(CAMPBELL J. et al., 1997, blz. 540).

De verdeling voor ∧CJ kan dus bekomen worden door (4.1.21) uit te werken (eigen werk):

( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )[ ]( )

)23.1.4(.1

121

1

1

)22.1.4(,1

42

23322

222

S

SSSS

SSS

SSS

S

S

S

SS

n

nnf

nnn

n

nn

nnnnf

nn

nnf

ππππππσπ

ππππππ

ππ

πππ

−

−−++−=′

−=

−=

−

+−=′•

−=

−=•

55

Als men nu (4.1.22) en (4.1.23) invoegt in (4.1.21), dan wordt de eigenlijke steekproefverdeling

voor ∧CJ bekomen:

( ) ( )( )( )

�

��

�

�

−

−−++−

−Ν

∧

4

233

1

121,1

~S

SSS

S

Sa

nCJ

ππππππ

ππ . (4.1.24)

De test om na te gaan of de RW1 geldig is, kan nu gemakkelijk uitgevoerd worden. Men maakt

een schatting voor de CJ -ratio door de verhouding van het aantal opeenvolgingen en het aantal

omkeringen te berekenen en vervolgens kijkt men of deze waarde in het 95%

betrouwbaarheidsinterval ligt. Indien de schatter in het interval ligt, dan kan de RW1 aanvaard

worden.

4.1.3 Wat Is de Invloed van Afwijkingen van de RW1 op de CJ-Ratio?

De CJ -ratio is opgesteld in de veronderstelling dat de RW1 geldig is. Stel nu dat de RW1-

hypothese niet geldig is, zou dit dan kunnen opgespoord worden door de CJ -ratio?

Er kan nu onderzocht worden welke invloed de afwijkingen van de RW1 hebben op de CJ -ratio.

Als de RW1 niet geldig is, dan zal de variabele tI een Markov-keten met 2 toestanden volgen.

De overgangsmatrix van deze Markov-keten ziet er als volgt uit:

)25.1.4(,1

101

01

1

��

�

−−

+

ββαα

t

t

I

I

waarbij α de kans is dat het rendement op tijdstip t+1 negatief is, als het rendement op tijdstip t

positief was en waarbij β de kans is dat het rendement op tijdstip t+1 positief is, als het

rendement op tijdstip t negatief was. De RW1 zal enkel geldig zijn als βα −= 1 . Als βα −≠ 1

dan zullen de opeenvolgende tI ’s gecorreleerd zijn met elkaar waardoor de RW1-hypothese

56

niet meer geldig is.30 De theoretische waarde voor de CJ -ratio zal dan niet langer kunnen

gegeven worden door (4.1.9). De nieuwe waarde voor de CJ -ratio kan nu als volgt afgeleid

worden (eigen werk):

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

( ) [ ] ( ) [ ][ ] [ ]

( ) [ ][ ]

( )

[ ][ ]

)26.1.4(.

0

1

10

11

10

0111

110001

000111

1001

0011

11

11

11

11

=

=+

−+=

=−

=

=+=

=−+=−=

===+===

===+====

=∩=+=∩=

=∩=+=∩==

++

++

++

++

t

t

t

t

tt

tt

tttttt

tttttt

tttt

tttt

IP

IPIP

IP

IPIP

IPIP

IPIIPIPIIP

IPIIPIPIIP

IIPIIP

IIPIIPCJ

αβ

βα

αββα

Er moet nu nog uitgerekend worden waaraan [ ] [ ]01 == tt IPIP gelijk is. Men gaat hierbij als

volgt tewerk (eigen werk):

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ]

( ) [ ][ ]

[ ][ ]

)27.1.4(.0

1

1

011

1

001111

11

0011111

11

1

111

αβ

βα

==

=

=

=+−=

=

===+===

===

===+=====

++

+

+++

t

t

t

t

t

ttttt

tt

ttttttt

IP

IP

IP

IP

IP

IPIIPIIP

IPIPmet

IPIIPIPIIPIP

30 Als de opeenvolgende tI ’s gecorreleerd zijn dan zullen de opeenvolgende rendementen namelijk ookgecorreleerd zijn, vandaar dat de RW1-hypothese dan niet geldig is.

57

Als men nu (4.1.27) inbrengt in (4.1.26), dan wordt de waarde voor de CJ -ratio bekomen indien

de RW1-hypothese niet geldig is:

( ) ( )αβ

αββα2

11 −+−=CJ . (4.1.28)

De waarden die de CJ -ratio kan aannemen, voor de gegeven α en β , zijn uitgezet in figuur 19.

Als α en β naar 1 gaan, dan verhoogt de waarschijnlijkheid op omkeringen en nadert de CJ -

ratio naar 0. Als α of β naar 0 gaat, verhoogt de waarschijnlijkheid op opeenvolgingenen stijgt

de CJ -ratio boven 1 uit. Uit de figuur lijkt men dan ook te kunnen afleiden dat CJ , zoals

gedefinieerd in (4.1.28), een goede maatstaf is om de afwijkingen van de RW1 te detecteren. Er

Figuur 19: Waarden voor CJ -ratio voor gegeven α en β .

(zie boek Campbell, Lo en MacKinlay (1997), figuur p. 38)

moet evenwel voorzichtigheid geboden worden daar er combinaties bestaan van α en β

waarvoor βα −≠ 1 en de CJ -ratio toch gelijk is aan 1 zodat men de neiging zou kunnen hebben

om de RW1 te aanvaarden. Dus voor deze gevallen kan er niet op basis van de CJ -ratio beslist

worden of de RW1 al dan niet geldig is (CAMPBELL J. et al., 1997, blz. 38).

4.1.4 Empirisch Onderzoek

De bekomen steekproefverdeling voor de CJ -ratio, gedefinieerd in (4.1.24), kan nu gebruikt

worden om de geldigheid van de RW1 na te gaan voor de tijdsreeksen van het aandeel UCB en

de Bel20-index. De test zal uitgevoerd worden voor zowel de maandelijkse, wekelijkse als de

dagelijkse prijzen. Daar de Cowles-Jones test opgesteld is voor het logaritmisch RW1-model, zal

er gebruik gemaakt worden van de logaritmische prijzen. Het verloop van de logaritmische

58

prijzen en het verloop van de veranderingen in de logaritmen van de prijzen zijn weergegeven in

bijlage 6 voor het aandeel UCB en in bijlage 7 voor de Bel20-index.

De resultaten voor de Cowles-Jones test zijn weergegeven in tabel 1. Hieruit kan onmiddellijk

afgeleid worden dat, wat betreft de daggegevens, de RW1-hypothese met grote zekerheid moet

verworpen worden voor het aandeel UCB. Dit is ook het geval voor de Bel20-index, zij het

minder uitgesproken. In beide gevallen lijken de rendementen positief afhankelijk te zijn daar het

aantal opeenvolgingen veel groter is dan het aantal omkeringen. Deze overschot aan

opeenvolgingen kan niet verklaard worden door de drift daar deze eerder klein is.

Tabel 1: De Cowles-Jones test voor dagelijkse, wekelijkse en maandelijkse rendementen.

Aandeel/Index TijdseenheidSteekproef-

grootteπ

Sπ ∧

CJ95%-betrouw-

baarheidinterval

UCB Dag 6824 0.5013 0.5000 1.5421 [0.9526;1.0475]

Week 1364 0.5296 0.5017 1.1066 [0.8535;1.1606]

Maand 313 0.5776 0.5120 1.0129 [0.8110;1.2877]

Bel20-index Dag 6824 0.5155 0.5005 1.2904 [0.9543;1.0495]

Week 1364 0.5299 0.5018 1.1231 [0.8999;1.1145]

Maand 313 0.5541 0.5059 1.0260 [0.7939;1.2535]


Voor de weekgegevens lijkt het aandeel UCB te voldoen aan de veronderstellingen van de RW1.

De testwaarde voor de Bel20-index daarentegen ligt net buiten het 95%-betrouwbaarheids-

interval voor de weekgegevens. Er zijn meer opeenvolgingen dan verwacht onder de RW1-

hypothese. Er lijkt dus een zekere positieve afhankelijkheid te zijn tussen de opeenvolgende

wekelijkse rendementen van de Bel20-index, net zoals voor de dagelijkse rendementen. Een

mogelijke verklaring voor beide gevallen is het feit dat alle aandelen van de Bel20-index

beïnvloed worden door een bepaalde marktfactor. Als er nu een verandering is in de marktfactor,

dan zullen de prijzen van de individuele aandelen ook veranderen. Aangezien niet alle aandelen

verhandeld worden op het tijdstip van de verandering van de marktfactor, zullen er aandelen zijn

die slechts met vertraging reageren op de verandering van de marktfactor. Dit kan dan leiden tot

een positieve afhankelijkheid tussen de opeenvolgende rendementen van de Bel20-index, zelfs al

zijn de rendementen van de individuele aandelen onafhankelijk van elkaar (zoals voor de

59

wekelijkse rendementen van het aandeel UCB dat trouwens opgenomen is in de Bel20 index)

(FAMA F. en BLUME M., 1966, blz. 235-236).

De maandgegevens tenslotte zijn zowel voor het aandeel UCB als voor de Bel20-index

consistent met het RW1-model. Er moet wel opgemerkt worden dat de resultaten voor de

maandgevens minder betrouwbaar zijn daar er gewerkt wordt met een asymptotische verdeling

en voor de maandgegevens is de steekproefgrootte eerder klein.

Er wordt nu overgegaan naar de volgende test, de runs-test. Deze test leunt zeer dicht aan bij de

Cowles-Jones test. Bij de afleiding van de verdeling zal dezelfde werkwijze gevolgd worden als

bij de Cowles Jones test.

4.2 De Runs-Test

Een tweede veelgebruikte test voor de RW1 is de runs-test. Een run kan gedefinieerd worden als

een opeenvolging van tijdsintervallen in dewelke de prijs van het aandeel in dezelfde richting

beweegt. De runs-test zal dan het aantal runs in de data vergelijken met het verwachte aantal runs

indien de RW1 geldig is. Mood (1940) was de eerste die een uitgebreide analyse maakte in

verband met de runs. Hij ontwikkelde de runs-test.

In een eerste deel zullen enkele kenmerken van de run en de runs-test besproken worden. In het

tweede deel zal dan de verdeling voor het aantal runs afgeleid worden. In het derde deel tenslotte

worden nog enkele opmerkingen gemaakt over de runs-test.

4.2.4 Relatie tussen het Aantal Runs en de Runs-Test

Een run kan algemeen gedefinieerd worden als een opeenvolging van rendementen met een

zelfde teken Hieruit kan onmiddellijk afgeleid worden dat er twee soorten runs zijn:

• Een run met een positief teken ofwel een opeenvolging van positieve rendementen (een plus

run).

• Een run met een negatief teken ofwel een opeenvolging van negatieve rendementen (een min

run).31

Een run wordt ook nog gekenmerkt door zijn lengte. De lengte is het aantal rendementen met een

zelfde teken in de run.

31 Een rendement van 0 zal beschouwd worden als een negatief rendement.

60

Als een positief rendement voorgesteld wordt door een 1 en een negatief rendement door een 0,

dan kan een opeenvolging van 10 rendementen als volgt voorgesteld worden: 1100010011. Deze

opeenvolging bevat drie plus runs met respectievelijke lengtes 2, 1 en 2 en twee min runs met

respectievelijke lengtes 3 en 2.

De runs-test bestaat erin om het aantal runs in een tijdsreeks van rendementen te vergelijken met

het aantal verwachte runs indien de RW1 geldig zou zijn. Het verschil tussen het werkelijk aantal

runs en het verwachte aantal runs kan op 3 verschillende manieren geanalyseerd worden:

• Het verschil tussen totaal verwachte aantal runs en de het werkelijke aantal.

• Het verschil tussen het verwachte aantal runs van ieder teken en het werkelijke aantal runs

van ieder teken.

• Het verschil tussen het verwachte aantal runs van iedere lengte en het werkelijke aantal runs

van iedere lengte.

(FAMA E., 1965, blz. 74).

De nadruk zal vooral gelegd worden op het eerste punt: het totale aantal runs.

Indien de RW1 geldig is voor een bepaalde tijdsreeks dan moet het aantal runs in de data

ongeveer hetzelfde zijn als verwacht. Als er echter een positieve afhankelijkheid is tussen de

rendementen dan zullen er langere opeenvolgingen zijn van positieve rendementen of van

negatieve rendementen die niet te wijten zijn aan het zuivere toeval. Het aantal runs in de data

zal dan ook kleiner zijn dan het verwachte aantal runs onder de RW1-hypothese. Er kan ook

sprake zijn van negatieve afhankelijkheid tussen de rendementen. In dit geval zal het aantal runs

in de data groter zijn dan verwacht onder de RW1-hypothese (ELTON E. en GRUBER M., 1995,

blz. 417).

Om nu te kunnen nagaan of het aantal runs in de data al dan niet gelijk is aan het verwachte

aantal runs onder de RW1-hypothese, is het noodzakelijk om een steekproefverdeling op te

stellen voor het aantal runs en dit onder de RW1-hypothese.

4.2.5 De Steekproefverdeling voor het Aantal Runs

Bij de afleiding van de verdeling zal er opnieuw vertrokken worden van het logaritmisch RW1-

model:

ttr εµ += , ( )2,0~ σε t . (4.2.1)

61

De werkwijze die gevolgd wordt, zal dicht aanleunen bij de werkwijze die gehanteerd werd bij

de afleiding van de verdeling voor de CJ -ratio. Er wordt opnieuw vertrokken van de Bernouilli-

verdeelde variabele tI :

��

−≤

>=

.100

01

π

π

lijkheidwaarschijnmetrals

lijkheidwaarschijnmetralsI

t

t

t (4.2.2)

Vervolgens wordt er een nieuwe Bernouilli-verdeelde variabele tX geconstrueerd (eigen werk):

��

−=

,10

1

RUN

RUN

tlijkheidwaarschijnmetisrunnieuwegeenerals

lijkheidwaarschijnmetisrunnieuweeeneralsX

π

π

waarbij RUNπ de kans is op een run. De variabele tX zal dus gelijk zijn aan 1 als er een nieuwe

run is op tijdstip t, d.i. als het rendement op tijdstip t van teken verandert. tX is gelijk aan 0 als er

geen nieuwe run is op tijdstip t, d.i. als het rendement niet van teken verandert. De kans op een

run kan dan als volgt afgeleid worden:

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]( ) ( )

( ) )3.2.4(.12

11

1001

1001

11

11

ππ

ππππ

π

−=

−+−=

==+===

==+===

−−

−−

tttt

ttttRUN

IPIPIPIP

IenIPIenIP

Stel er is een steekproef van n rendementen nrrr ,,, 21 � . Het aantal runs is dan de som van de

Bernouilli-verdeelde variabelen tX . Dit kan als volgt voorgesteld worden:

=

=n

ttRUNS XN

1

. (4.2.4)

Het aantal runs RUNSN is bijgevolg binomiaal verdeeld. Als het aantal waarnemingen voor de

rendementen zeer groot is, dan zal RUNSN benaderd normaal verdeeld zijn, ten gevolge van de

centrale limietstelling (Eigen werk).

62

Verwachtingswaarde van RUNSN

De verwachtingswaarde van RUNSN zou er normaal gezien als volgt moeten uitzien:

[ ] ( )ππ −= 12 nNE RUNS . (4.2.5)

Het is evenwel zo dat in realiteit de verwachtingwaarde de volgende vorm aanneemt:

[ ] ( ) ( )22 112 ππππ −++−= nNE RUNS . (4.2.6)

Er zijn dus twee aanvullende termen bijgekomen. Dit kan eenvoudig verklaard worden. Er is

reeds gesteld dat er sprake is van een run op een bepaalde tijdstip als het rendement

voorafgegaan wordt door een rendement met een tegengesteld teken. Het is nu zo dat het op

tijdstip 1 niet geweten is welk rendement er was vóór het tijdstip 1. Als gevolg hiervan zal er

zeker een run zijn op tijdstip 1 onafhankelijk van het feit wat er voor komt. Dus zelfs als het

rendement op tijdstip 0, wat niet behoort tot de steekproef, een zelfde teken heeft als het

rendement op tijdstip 1, toch zal er een run zijn op tijdstip 1. De kans op een run op tijdstip 1 kan

dan als volgt weergegeven worden:

( ) [ ] [ ][ ] [ ]

( ) ( ) ( )

( ) ( ) )7.2.4(.112

111

0011

01101

22

22

1010

1010

ππππ

ππππππ

π

−++−=

−++−+−=

==+==

+==+===

IenIPIenIP

IenIPIenIPtijdstipRUN

De twee laatste termen uit (4.2.7) zijn dan de 2 extra termen die er in (4.2.6) bijkomen (Eigen

werk).

Indien het aantal waarnemingen voor de rendementen zeer groot wordt (wat het geval is als de

normale verdeling gebruikt wordt) dan zullen de termen 2π en ( )21 π− verwaarloosbaar zijn

t.o.v. de term ( )ππ −12 n zodat de verwachtingswaarde bij benadering zal voldoen aan (4.2.5).

Daar er zal gewerkt worden met de normale verdeling, kan de verwachtingswaarde van RUNSN

gedefinieerd worden zoals in (4.2.5).

63

Variantie van RUNSN

Wat betreft de variantie zou er kunnen verwacht worden dat deze er als volgt uitziet:

[ ] ( )( ) ( )( ) )8.2.4(.12112

1

ππππ

ππ

−−−=

−=

n

nNVar RUNRUNRUNS

Dit zal evenwel niet het geval zijn aangezien de aangrenzende tX ’s afhankelijk zijn van elkaar.

De werkelijke variantie kan dan als volgt afgeleid worden (eigen werk):

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nnn

nRUNS

XXCovXXCovXVarXVarXVar

XXXVarNVar

,, 12121

21

−++++++=

+++=

��

�

[ ] ( ) ( )( )[ ] [ ] 1,,3,2,,

,,2,112112

11 −==

=−−−=

+− ntvoorXXCovXXCov

ntvoorYVarmet

tttt

t

�

�ππππ

[ ] ( ) ( )( ) ( ) [ ] .,1212112 1+−+−−−= ttRUNS XXCovnnNVar ππππ

Voor een groot aantal waarnemingen n kan er dan bij benadering gesteld worden dat:

[ ] ( ) ( )( ) [ ]1,212112 ++−−−= ttRUNS XXCovnnNVar ππππ . (4.2.9)

De [ ]1, +tt XXCov kan als volgt berekend worden:32

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] ( ) )10.2.4(.141

111

,

221

11

111

ππ −−==

==−==

−=

+

++

+++

tt

tttt

tttttt

XXP

XPXPXXP

XEXEXXEXXCov

Er blijft nu nog één onbekende over, namelijk [ ]11 =+tt XXP . Deze kan als volgt uitgewerkt

worden:

64

[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]

( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] .010101

01101001

10011001

11

1111

1111

1111

1

1

=∩=∩=+=∩=∩==

∪=∩=∩=∩=∪=∩=∩=∩=∪=

=∩=∪=∩=∩=∩=∪=∩==

=∩==

+−+−

+−+−

++−−

+

+

tttttt

tttttttt

tttttttt

tt

tt

IIIPIIIP

IIIIIIIIP

IIIIIIIIP

XXP

XXP

φφ

waarbij dat de derde gelijkheid volgt uit het feit dat de doorsnede van de unies gelijk is aan de

unie van de doorsneden (cfr. voetnoot 28). De laatste gelijkheid kan nu nog verder uitgewerkt

worden waarbij er gebruik gemaakt wordt van de eigenschap dat de tI ’s onafhankelijk zijn van

elkaar:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) )11.2.4(.1

11

111

010101

22

11111

ππ

ππππ

ππππππ

−=

−+−=

−−+−=

===+==== +−+−+ tttttttt IPIPIPIPIPIPXXP

Door (4.2.11) in te brengen in (4.2.10) wordt het volgende bekomen voor de covariantie:

[ ] ( ) ( )221 141, ππππ −−−=+tt XXCov . (4.2.12)

Ten slotte kan (4.2.12) ingebracht worden in (4.2.9) zodat dan uiteindelijk de variantie voor

RUNSN bekomen wordt:

[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) )13.2.4(13114

14112112

181212112 22

ππππ

ππππππ

ππππππππ

−−−=

−−+−−−=

−−−+−−−=

n

n

nnnNVar RUNS

(Eigen werk).

32 Dit gebeurt op een analoge manier als bij de afleiding van de verdeling voor de CJ-ratio.

65

De verdeling voor RUNSN kan nu, gebruik makend van (4.2.5) en (4.2.13), als volgt

weergegeven worden:

( ) ( ) ( )( )( )ππππππ −−−−Ν 13114,12~ nnNa

RUNS . (4.2.14)

Er wordt aangenomen dat het aantal waarnemingen voor de rendementen zeer groot is zodat de

verdeling een asymptotische normale verdeling is. Dit is ook de verdeling die door Mood (1940)

als eerste naar voor werd gebracht.

Continuïteitscorrectie

Er kan nu overgegaan worden tot de standaard normaal verdeelde variabele z . Hiervoor moet

(4.2.14) omgevormd worden tot:

( )( ) ( )( )

( )1,013112

12~ Ν

−−−

−−=

aRUNS

n

nNz

ππππ

ππ . (4.2.15)

Vervolgens moet er nog een kleine aanpassing gemaakt worden aan (4.2.15) daar er gewerkt

wordt met de normale benadering van de binomiale verdeling. De normale verdeling levert

namelijk verschillende probabiliteiten op voor de realisaties in het interval [ ]1, +RUNSRUNS NN ,

terwijl de exacte probabiliteiten constant zijn over dit interval omdat RUNSN een gehele waarde

aanneemt. Er moet dus een continuïteitscorrectie doorgevoerd worden zodat de z-waarde

overeenkomt met het middelpunt van het interval (REYNAERTS H., 1995). De verdeling ziet er

dan als volgt uit:

( )( ) ( )( )

( )1,013112

1221~ Ν

−−−

−−+=

aRUNS

n

nNz

ππππ

ππ . (4.2.16)

Op basis van deze verdeling kan de runs-test uitgevoerd worden. Ten eerste berekent men het

aantal runs die zich voordoen in een tijdsreeks van rendementen. Ten tweede bepaalt men de

parameters van de verdeling onder de RW1-hypothese zodat de testwaarde z kan bepaald

worden. Ten slotte moet men kijken of de testwaarde z binnen het 95% betrouwbaarheidsinterval

valt. Indien dit het geval is dan kan de RW1 aanvaard worden voor het onderzochte aandeel.

66

4.2.6 Enkele Opmerkingen over de Runs-Test

Er kunnen nu nog 2 opmerkingen gemaakt worden in verband met de runs-test. Ten eerste, door

het feit dat de runs-test enkel het teken van de rendementen onderzoekt, zal de test dezelfde

resultaten opleveren indien men werkt met de prijsveranderingen in plaats van met de

rendementen.33 Dus de test kan zowel de geldigheid nagaan van het gewone RW1-model als van

het logaritmisch RW1-model. De resultaten zullen identiek zijn. Deze opmerking kan ook

gemaakt worden voor de Cowles-Jones test daar deze test ook enkel het teken van het rendement

of de prijsverandering onderzoekt (ELTON E. en GRUBER M., 1995, blz. 417).

Ten tweede kan er nog opgemerkt worden dat de aanwezigheid van de drift het totale aantal

verwachte runs doet verminderen. Het is namelijk zo dat een drift runs met een langere lengte zal

toelaten waardoor het totale aantal runs zal afnemen. Dit hoeft evenwel niet te impliceren dat de

RW1 niet geldig is. Uit figuur 20 kan het effect van de drift µ op het aantal runs afgeleid

worden.34 Hoe groter de drift, hoe kleiner het totaal aantal verwachte runs [ ]RUNSNE . Het aantal

Figuur 20: Het verwachte aantal runs voor de RW1 met drift µ .

(zie boek Campbell, Lo en MacKinlay (1997), tabel 2.2 p. 38)

verwachte runs daalt aanzienlijk naarmate de drift groter wordt. De RW1 zonder drift

maximaliseert het totaal aantal verwachte runs voor iedere vaste steekproefgrootte. Al de

waarden voor [ ]RUNSNE zijn echter wel consistent met de RW1-hypothese (CAMPBELL J. et al.,

1997, blz. 40).

33 Met het rendement wordt nog steeds het continu samengesteld rendement bedoeld.34 Merk op dat er in figuur 15 uitgegaan wordt van het logaritmische RW1-model met normaal verdeelde residuenmet een standaardafwijking σ = 21%. Gebruik makend van (4.1.9) kan de kans π op een positief rendementgemakkelijk afgeleid worden.

67


De runs-test kan nu uitgevoerd worden voor het aandeel UCB en de Bel20-index. Dit zal

opnieuw gedaan worden voor zowel de dagelijkse, wekelijkse als de maandelijkse rendementen

De resultaten van de test zijn weergegeven in tabel 2. Het verwachte aantal runs [ ]RUNSNE werd

berekend via formule (4.2.5). De z-waarde werd bekomen via (4.2.16). De resultaten zijn

volledig in overeenstemming met de resultaten van de Cowles-Jones test. De z -waarde voor de

daggegevens van het aandeel UCB en de Bel20-index, ligt buiten het 95%-betrouwbaar-

heidsinterval [1.96;1.96]. Het werkelijk aantal runs is namelijk heel wat kleiner is dan het

verwachte aantal runs. Dit wijst op een positieve afhankelijkheid tussen de opeenvolgende

dagelijkse rendementen, voor zowel het aandeel als de index. De RW1 wordt met een grote

zekerheid verworpen.

Tabel 2: De Runs-test voor dagelijkse, wekelijkse en maandelijkse rendementen.


grootteπ Verwachte

aantal runs

Werkelijk

aantal runs

Tetswaarde

z

UCB Dag 6824 0.5013 3412.0 2684 -17.6127

Week 1364 0.5296 679.6 647 -1.7328

Maand 313 0.5776 152.7 155 0.3061

Bel20-index Dag 6824 0.5155 3408.7 2979 -10.3819

Week 1364 0.5299 679.6 642 -2.0000

Maand 313 0.5541 154.7 154 -0.0188


Ook voor de weekgegevens kunnen dezelfde conclusies getrokken worden als voor de Cowles-

Jones test. Er lijkt opnieuw een zekere positieve afhankelijkheid te zijn tussen de opeenvolgende

wekelijkse rendementen van de Bel20-index (supra, blz. 58).

De RW1 kan met een zeer grote zekerheid aanvaard worden voor de maandgegevens. Men moet

zich echter opnieuw hoeden voor de mindere betrouwbaarheid van de test voor de

maandgegevens.

Er kan dus besloten worden dat de runs-test en de Cowles-Jones test consistent zijn met elkaar.

Ze leveren dezelfde resultaten op.

De volgende test voor de RW1 die besproken wordt, is de Dickey-Fuller test.

68

4.3 De Dickey-Fuller Test

De Dickey-Fuller test, ook wel een “unit root” test genoemd, is eigenlijk een test die de

stationariteit van een tijdsreeks nagaat. Niettemin kan deze test ook gebruikt worden om de

geldigheid van de RW1 na te gaan.

4.3.4 Het Testen naar een “Unit Root”

Bij het opzetten van de test, wordt er vertrokken van een autoregressief proces van de eerste

orde. Het AR(1)-proces ziet er als volgt uit:

ttt pp ερµ ++= −1 , (4.3.1)

waarbij µ en ρ de parameters zijn en de tε ’s zijn verondersteld om onafhankelijk en identiek

verdeeld te zijn met een verwachtingswaarde 0 en een gelijke variantie. Indien 1=ρ , dan zal het

model (4.3.1) een RW1-model voorstellen met een drift µ . Het proces is in dit geval niet

stationair daar de variantie van tp stijgt met de tijd. De test voor de RW1 zal er dan ook in

bestaan om de geldigheid van de nulhypothese 1:0 =ρH na te gaan. Indien de nulhypothese

aanvaard wordt, dan zal het proces een eenheidswortel (een “unit root”) bevatten en zal de RW1

aanvaard worden (DICKEY D. en FULLER W., 1979, blz. 427).

De beste manier om de nulhypothese te testen is door eerst het AR (1)-proces uit (4.3.1) om te

vormen tot:

ttt pp εγµ ++=∆ −1 , (4.3.2)

waarbij ργ −= 1 . De nieuwe nulhypothese is dan 0:0 =γH . De nieuwe nulhypothese zou nu

kunnen getest worden door een regressie door te voeren van de prijsverandering op tijdstip t op

een constante en de prijs op tijdstip t-1. Op die manier wordt de schatter µτ̂ voor γ bekomen.35

Vervolgens kan de significantie van µτ̂ nagegaan worden. Normaal wordt er gebruik gemaakt

van de t-waarden die vermeld zijn in de output van de regressie. Deze waarden kunnen dan

35 De µ uit µτ̂ geeft aan dat er een constante µ aanwezig is in het AR (1)-proces.

69

vergeleken worden met de kritische waarden uit de tabellen voor de t-verdeling. Deze werkwijze

mag echter niet gehanteerd worden omdat de prijs tp niet stationair is onder de nulhypothese.

Deze niet-stationariteit heeft namelijk tot gevolg dat de variantie van de storingsterm niet

constant is zodat de geschatte variantie 2ˆµτs van µτ̂ geen zuivere schatter is van de werkelijke

variantie. De testwaarde t,

µτ

µτ

ˆ

ˆ

st = , (4.3.3)

is dan niet meer t-verdeeld onder de nulhypothese zodat de tabellen van de t-verdeling niet

mogen gebruikt worden om de significantie van de coëfficiënt µτ̂ na te gaan (REYNEARTS H.,

1998).

Dickey en Fuller hebben dit probleem opgelost. Zij hebben, door middel van Monte-Carlo

methoden, een gepaste set van kritische waarden afgeleid voor het testen van de nulhypothese

dat γ gelijk is aan 0. Om de geldigheid van de RW1 na te gaan, kan dan de gewone t-test

uitgevoerd worden, maar in plaats van naar de tabellen van de t-verdeling te kijken om de

significantie van µτ̂ na te gaan, moet er dan naar de kritische waarden van Dickey en Fuller

gekeken worden. Hierdoor wordt deze test de Dickey-Fuller-test genoemd. De kritische waarden

zijn weergegeven in bijlage 8 (GREENE W., 1993, blz. 564).

De tabel in bijlage 8 bevat ook de kritische waarden voor de schatter τ̂ van de coëfficiënt γ

voor een AR (1)-proces waarbij de constante µ gelijk is aan 0.

De kritische waarden van MacKinnon

Meer recent heeft MacKinnon (1991) kritische waarden opgesteld voor iedere mogelijke

steekproefgrootte waarmee de significantie van de coëfficiënt γ afzonderlijk kan nagegaan

worden en waarmee de gezamenlijke significantie van µ en γ kan nagegaan worden. De

kritische waarden van MacKinnon zijn weergegeven indien men de “Augmented Dickey-Fuller”

test uitvoert in Eviews. De Dickey-Fuller-testwaarde, zoals gedefinieerd in (4.3.3), moet dan

vergeleken worden met de MacKinnon kritische waarden. Indien de Dickey-Fuller testwaarde (in

absolute waarde) kleiner is dan de MacKinnon kritische waarden, dan kan de nulhypothese niet

verworpen worden en zal er een “unit root” aanwezig zijn in de tijdsreeks van de prijzen. De

RW1 is dan geldig (EVIEWS, 1994-95).

70


De “Augmented Dickey-Fuller” test kan nu uitgevoerd worden om de geldigheid van de RW1 na

te gaan voor de rendementen van het aandeel UCB en de Bel20-index. De testwaarde t ,

gedefinieerd in (4.3.3), wordt berekend en vergeleken met MacKinnon kritische waarden. Bij de

week- en maandgegevens wordt er een constante ingevoegd. Bij de daggegevens niet daar deze

zeer klein is. De resultaten zijn weergegeven in tabel 3. Er is een “unit root” aanwezig in de

tijdsreeks van de wekelijkse en maandelijkse logiritmische prijzen voor het aandeel UCB. De

RW1 kan dan ook aanvaard worden. Voor de daggegevens kan de nulhypothese van een “unit

root” met een betrouwbaarheid van 95% verworpen worden. De resultaten zijn consistent met

deze van de twee vorige testen.

Tabel 3: De Dickey-Fuller test voor de dagelijkse, wekelijkse en maandelijkse rendementen.


grootte

Testwaarde

t

10% krit.

waarde

5% krit.

waarde

1% krit.

waarde

UCB Dag 6824 2.5299 -1.6156 -1.9394 -2.5661

Week 1364 1.7012 -2.5682 -2.8641 -3.4380

Maand 313 1.8184 -2.5717 -2.8709 -3.4531

Bel20-index Dag 6824 3.3926 -1.6156 -1.9394 -2.5661

Week 1364 1.3226 -2.5682 -2.8641 -3.4380

Maand 313 1.0134 -2.5717 -2.8709 -3.4531


Voor de Bel20-index kan er afgeleid worden dat de RW1 niet geldig is voor de daggegevens. De

RW1 kan wel aanvaard worden voor de week- en maandgegevens. Het resultaat voor de

weekgevens is dus niet in overeenstemming met de bekomen resultaten uit de vorige testen.

Er moet nog opgemerkt worden dat de resultaten van de “Augmentend Dickey-Fuller” test zeer

afhankelijk zijn van het al dan niet invoeren van een constante. Indien men een constante invoert

voor de daggegevens dan zullen de dagelijkse rendementen wel voldoen aan de veronder-

stellingen van de RW1. De Dickey-Fuller test lijkt dus geen al te betrouwbare test te zijn om de

geldigheid van de RW1 na te gaan.

De volgende test die besproken wordt, de autocorrelatie-test, zal betrouwbaardere resultaten

opleveren.

71

4.4 De Autocorrelatie-Test

Eén van de meest intuïtieve testen voor de “random walk”-hypothese is het nagaan of er

autocorrelatie aanwezig is in de tijdsreeks van de prijsveranderingen of de rendementen van een

aandeel. De autocorrelatie is de correlatie tussen twee observaties van dezelfde tijdsreeks, maar

op verschillende tijdstippen. Het is dus een maatstaf voor het verband tussen de waarde van een

stochastische variabele op een bepaald tijdstip en zijn waarde één of meerdere perioden terug

(FAMA E., 1965, blz.69). De test voor de “random walk” bestaat er dan in om na te gaan of de

prijsveranderingen of rendementen al dan niet ongecorreleerd zijn voor alle vertragingen. Indien

de “random walk” geldig is, moeten de prijsveranderingen of rendementen ongecorreleerd zijn.

Deze test lijkt dan ook vooral geschikt om de geldigheid van het RW3-model na te gaan, daar dit

model enkel ongecorreleerde residuen veronderstelt. Niettemin kan er ook een test en

steekproefverdeling opgesteld worden voor de autocorrelaties die de geldigheid van de RW1

kunnen nagaan. Deze test zal in dit deel besproken worden. De test zal gebaseerd zijn op de

autocorelaties zelf. Later zullen er enkele krachtigere testen afgeleid worden die ook gebaseerd

zijn op de autocorrelaties, zoals de test met de Portmanteau statistieken (zie sectie 4.5) en de test

met de variantieratios (zie sectie 4.6) (CAMPBELL J., 1997, blz. 44).

In een eerste deel zullen de autocorrelatiecoëfficiënten gedefinieerd en besproken worden. In het

tweede deel zal de steekproefverdeling voor de autocorrelatiecoëfficiënten afgeleid worden. In

het laatste zullen er ten slotte nog enkele belangrijke opmerkingen gemaakt worden in verband

met de autocorrelatie-test.

4.4.2 De Autocorrelatiecoëfficiënten

Als er uitgegaan wordt van een stationaire tijdsreeks van de rendementen tr , dan kunnen de

autocovariantie- en de autocorrelatiecoëfficiënten, respectievelijk ( )kγ en ( )kρ , als volgt

gedefinieerd worden:36

( ) [ ]ktt rrCovk +≡ ,γ , (4.4.1)

( ) [ ][ ] [ ]

[ ][ ]

( )( )0

,,

γγρ k

rVar

rrCov

rVarrVar

rrCovk

t

ktt

ktt

ktt ==≡ +

+

+ , (4.4.2)

36 De veronderstelling dat de tijdsreeksen stationair zijn, wordt gemaakt zodat ( )kγ en ( )kρ enkel functies zijn vank en niet van het tijdstip t. Op die manier zullen de definities niet nodeloos ingewikkeld worden.

72

waarbij de tweede gelijkheid in (4.4.2) volgt uit de stationariteit van de tijdsreeks.37 De

autocorrelatiecoëfficiënten kunnen dus simpel bekomen worden door de variantie en de

covariantie te berekenen voor een bepaalde tijdsreeks van rendementen en voor een zekere k en

de bekomen covariantie te delen door de variantie (CAMPBELL J., 1997, blz. 45).

Een andere manier om de autocorrelatiecoëfficiënt ( )kρ te bekomen is door een lineaire

regressie uit te voeren van de variabele ktr + op een constante en de k vertraagde variabele tr . De

regressievergelijking ziet er dan als volgt uit:

ttkt rbar ε++=+ , (4.4.3)

waarbij a het verwachte rendement meet, dat niet gerelateerd is aan het vorige rendement en

waarbij b het verband meet tussen het rendement op tijdstip t+k en het rendement op tijdstip t.

tε is een kansvariabele die de variabiliteit incorporeert van het rendement dat niet gerelateerd is

aan de vorige rendementen. De coëfficiënt b is in feite niets anders dan de

autocorrelatiecoëfficiënt daar b als volgt kan gedefinieerd worden:

[ ][ ]t

tkt

rVar

rrCovb

,+= . (4.4.4)

(4.4.2) en (4.4.4) zijn dus gelijk aan elkaar. Merk op dat indien de tijdsreeks tr niet stationair is,

de gelijkheid niet zal opgaan daar de overgang van de eerste gelijkheid naar de tweede gelijkheid

in (4.4.2) dan niet mag gemaakt worden omdat de varianties van de tr ’s niet noodzakelijk gelijk

zijn aan elkaar (ELTON E. en GRUBER M., 1995, blz. 414).

Een belangrijke eigenschap van de autocorrelatiecoëfficiënten is dat het kwadraat ervan de

fractie weergeeft van de variantie van het rendement op tijdstip t+k dat kan verklaard worden

door het rendement op tijdstip t. Deze fractie is in feite de 2R die bekomen wordt door de

regressie, weergeven in (4.4.3), uit te voeren (FAMA E., 1977, blz. 116).

37 Merk op dat de definitie voor de autocorrelatiecoëfficiënt in (4.4.2) volgt uit de welbekende definitie voor de

correlatiecoëfficiënt tussen twee stochastische variabelen x en y : [ ] [ ][ ] [ ]yVarxVar

yxCovyxCorr ,, =

73

Schatters voor ( )kγ en ( )kρ

Indien men beschikt over een steekproef van n waarnemingen voor tr , d.i. nrrr ,,, 21 � , dan

kunnen de autocovariantie- en de autocorrelatiecoëfficiënt als volgt geschat worden:

( ) ( )( ) nkrrrrn

kkn

tnktnt <≤−−=

−

=+ 0,1

1

γ (4.4.5)

( ) ( )( )0γ

γρ kk = , (4.4.6)

=

=n

ttn r

nrmet

1

1 . (4.4.7)

( )kγ en ( )kρ zijn dus de schatters voor respectievelijk de autocovariantiecoëfficiënt ( )kγ en

de autocorrelatiecoëfficiënt ( )kρ . Merk wel op dat de schatters voor de varianties van tr en ktr +

wel kunnen verschillen van elkaar, ondanks de veronderstelling dat de tijdsreeks stationair is en

de varianties dus gelijk zijn aan elkaar. De oorzaak is dat er meer waarnemingen zijn (namelijk

k) om de variantie van tr te bepalen. Hierdoor zal de tweede gelijkheid uit (4.4.2) niet opgaan

indien de populatiewaarden vervangen worden door hun schatters zodat (4.4.6) geen goede

schatter zou zijn voor de autocorrelatiecoëfficiënt ( )kρ . Het verschil tussen de varianties zal

echter zeer klein zijn, dit vooral als het aantal waarnemingen n groot is ten opzichte van k zodat

het verschil verwaarloosd kan worden. Er kan dus gesteld worden dat ( )kρ een goede schatter

is voor ( )kρ (FAMA E., 1977, blz.116-117).

Om nu de test uit te voeren of een bepaalde tijdsreeks van aandelenprijzen een RW1 volgt, moet

de schatter ( )kρ berekent worden. Indien deze niet significant verschillend is van 0, dan kan de

RW1 aanvaard worden. Om dit te kunnen nagaan is het wel noodzakelijk om de

steekproefverdeling te bepalen voor ( )kρ onder de RW1. De verdeling zal afgeleid worden in

het volgende deel.

74

4.4.3 De Steekproefverdeling voor ( )kρ

Om de verdeling af te leiden, moet er vertrokken worden van een data-genererend proces voor de

rendementen tr . Stel tr is een glijdend gemiddelde met een eindige orde M:

=−=

M

kktktr

0εα , (4.4.8)

waarbij de tε ’s onafhankelijk zijn van elkaar met verwachtingswaarde 0, variantie 2σ , vierde

moment 4ση en eindig zesde moment. Fuller (1976, Theorema 6.3.5) toont nu aan dat de

verdeling van de vector van de schatters van de autocovariantiecoëfficiënten, d.i.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]′−−− KKn γγγγγγ ,,11,00 � asymptotisch multivariaat normaal is met

verwachtingswaarde 0 en covariantie matrix V waarbij

[ ]ijvV =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∞

−∞=

−+++−+−≡l

ij iljljilljiv γγγγγγη 3 . (4.4.9)

Hij gaat hierbij als volgt tewerk. Stel de geschatte covariantie voor Kk ,,2,1,0 �= , wordt op de

volgende manier uitgewerkt:

( ) ( )( )

( ) )10.4.4(.11

1

1

2

1

1

−

=+

−

=+

−

=+

−++−=

−−=

kn

tnkttn

kn

tktt

kn

tnktnt

rn

knrrrn

rrn

rrrrn

kγ

Uit (4.4.8) kan er afgeleid worden dat [ ] 0=trE zodat, gebruik makend van de centrale

limietstelling, trn zal convergeren naar 0.38 Hieruit volgt dan dat de twee laatste termen van

(4.4.10) zullen convergeren naar nul als ze vermenigvuldigd worden met n . Bij de afleiding

38 Als de centrale limietstelling toegepast wordt op tr , wordt namelijk het volgende bekomen:

( ) ( )2,0 σµ Ν→− anrn (HAMILTON J.,1994, blz. 185).

75

van de asymptotische verdeling voor ( ) ( )[ ]kkn γγ − kan men zich dus beperken tot de eerste

term van (4.4.10). Het volgende kan dan gesteld worden:

( )

[ ][ ] [ ] ( )= =

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=+

−+−=

��

�−=

K

k

K

kk

kn

ttkk

K

k

kn

ttktkk

K

k

kn

tkttkn

knzEnzEzn

krrn

nS

0 01

21

0 1

21

0 1

)11.4.4(,

1

γλλλ

γλ

waarbij de kλ ’s arbitraire reële getallen zijn (niet allen gelijk aan 0) en waarbij

Kkrrz ktttk ,,2,1,0, �== + . (4.4.12)

Uit (4.4.10) en (4.4.12) kan het volgende afgeleid worden (eigen werk):

( )[ ] ( ) [ ] ( )−

=

−

==

−=

−=

kn

ttk

kn

tr kzE

knk

knkE

11

11 γγγ . (4.4.13)

Gebruik makend van (4.4.13), kan (4.4.11) verder uitgewerkt worden:

[ ][ ] ( ) ( ) ( )

[ ][ ] ( ) )14.4.4(0

21

0 1

21

0 0

21

0 1

21

=

−

=

−

=

−

= =

−

=

−

=

−

−−=

−−+−=

K

kk

K

k

kn

ttktkk

K

k

K

kkk

K

k

kn

ttktkkn

kknzEzn

knkknnzEznS

γλλ

γλγλλ

(Eigen werk).

tkz is nu een (M+k)-afhankelijke covariantie stationaire tijdsreeks met verwachtingswaarde

( )krγ en de covariantie functie

( )( ) ( )( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),3 224 kskssk

rrrrEs

jksjsjkjj

kststkttzt

−++++−=

=

∞

−∞=++++

++++

γγγγααααση

γ

76

waarbij dat 0=jα voor Mj > en 0<j . De covariantie functie is dus onafhankelijk van het

tijdstip t zodat de tijdsreeks tkz stationair is. Bijgevolg is het gewogen gemiddelde van de tkz ’s,

=+

===K

kkttk

K

ktkkt rrzy

00λλ ,

ook een stationaire reeks. Daarnaast is de tijdsreeks ty (M+k)-afhankelijk en heeft het een

eindig derde moment, en is

( ) .0lim0

21

=

−

∞→=

K

kkn

kkn γλ

Via theorema 6.3.2 van Fuller (1976), zal nS in verdeling convergeren naar een normale

stochastische variabele. Daar de kλ ’s arbitrair gekozen zijn, kan er gesteld worden dat de

verdeling van de vector stochastische variabele ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]′−−− KKn γγγγγγ ,,11,00 � zal

convergeren naar een multivariate normale verdeling via theorema 5.3.3 met een

verwachtingswaarde 0 en een covariantie matrix gegeven door (4.4.9).39

Vervolgens heeft Fuller (1976, gevolg 6.3.5.1) aangetoond dat de asymptotische verdeling van

de vector van de schatters van de autocorrelatiecoëfficiënten ook multivariaat normaal verdeeld

is:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )Gmmna

,0,,11,00 ~Ν′−−− ρρρρρρ � , (4.4.15)

waarbij

[ ]ijgG =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] )16.4.4(.22

2

2 ljijlli

illjiljljillgl

ij

ρρρρρρ

ρρρρρρρ

+−

−−−−++−−=∞

−∞=

39 Theorema 5.3.3 zegt het volgende: stel nn zS λ′= met nz een vector stochastische variabele. Als de verdeling van

nS convergeert naar een normale verdelingsfunctie dan zal de verdeling van de variabele nz convergeren naar eenmultivariate normale verdeling.

77

De verdeling indien de RW1 geldig is

Voor het testen van de RW1-hypothese, in dewelke alle autocorrelaties ( )kρ nul zijn, zal de

asymptotische benadering in (4.4.15) kunnen herleid worden tot een eenvoudigere vorm. Als tr

voldoet aan de RW1 hypothese en een variantie 2σ heeft en een zesde moment proportioneel

met 6σ , dan zal de schatter ( )kρ de volgende eigenschappen hebben:

( )[ ]( )

( )

( ) ( )[ ]( )

( ))18.4.4(

.

0,

)17.4.4(1

2

2

2

2

�

�

�

Ο

≠=Ο+−

=

Ο+−

−−=

−

−

−

gevalanderehetinn

lkalsnn

kn

lkCov

nnn

knkE

ρρ

ρ

Uit (4.4.17) kan er onmiddellijk afgeleid worden dat de schatter ( )kρ negatief onzuiver is onder

de RW1 ( ( )kρ is dan namelijk gelijk aan 0). Deze negatieve neiging ontstaat door het feit dat de

autocorrelatiecoëfficiënt een som is van kruisproducten van de afwijkingen van tr van zijn

steekproefgemiddelde. De som van de afwijkingen is echter gelijk aan 0 omdat het zo

geconstrueerd is. Hierdoor moeten positieve afwijkingen gemiddeld gezien gevolgd worden door

negatieve afwijkingen en omgekeerd en vandaar dat de verwachte waarde van de kruisproducten

van de afwijkingen negatief is. Voor kleine steekproeven zal deze onzuiverheid aanzienlijk zijn

(CAMPBELL J. et al., 1997, blz. 46). Als reactie hierop stelde Fuller (1976) de volgende

schatter ( )kρ~ voor onder de RW1, die gecorrigeerd is voor de onzuiverheid:

( ) ( )( )

( )( )kn

knkk 2

21

1~ ρρρ −

−

−+= . (4.4.19)

Deze schatter ( )kρ~ bevat de volgende eigenschappen:

( )[ ] ( )

( ) ( )[ ]( )

( ))21.4.4(

.

0~,~

)20.4.4(~

2

2

2

2

�

�

�

Ο

>=Ο+−

=

Ο=

−

−

−

gevalanderehetinn

lkalsnn

kn

lkCov

nkE

ρρ

ρ

78

Uiteindelijk heeft Fuller (1976), gebruik makend van respectievelijk (4.4.17) en (4.4.18) en

(4.4.20) en (4.4.21), de volgende steekproefverdelingen afgeleid voor de respectievelijke

schatters ( )kρ en ( )kρ~ van de autocorrelatiecoëfficiënten ( )kρ waarbij de rendementen tr

eindige uniform verdeelde zesde momenten hebben:

( ) ( )1,0~ Νa

kn ρ (4.4.22)

( ) ( )1,0~ ~ Ν−

a

kkn

n ρ . (4.4.23)

De schatters zijn dus asymptotisch onafhankelijk en normaal verdeeld. De test voor de RW1 kan

nu gemakkelijk uitgevoerd worden door de testwaarde te berekenen en na te gaan of de

testwaarde in het 95% betrouwbaarheidsinterval ligt.

4.4.4 Enkele Belangrijke Opmerkingen

Uiteindelijk kunnen er enkele belangrijke opmerkingen gemaakt worden over test voor de RW1

via de verdelingen (4.4.22) en (4.4.23) . Ten eerste kan er uit (4.4.22) en (4.4.23) afgeleid

worden dat de statistische “significantie” van de resultaten grotendeels een reflectie is van de

grootte van de steekproef. De standaardafwijking van de autocorrelatiecoëfficiënten is namelijk

invers gerelateerd aan de grootte van de steekproef. Hoe groter de steekproef, hoe kleiner de

standaardafwijking en hoe meer kans op significante coëfficiënten. De autocorrelatie tussen de

rendementen tr hoeft dus niet noodzakelijk groot te zijn om significant te zijn. Stel men beschikt

over een steekproef van 1100 waarnemingen. De standaardafwijking (= n1 ) is dan bij

benadering gelijk aan 0.03. Een autocorrelatiecoëfficiënt van 0.06 is reeds twee maal zo groot als

de standaardafwijking en bijgevolg significant. Er zou dan kunnen gesteld worden dat de

rendementen afhankelijk zijn van elkaar. Maar een coëfficiënt van deze grootte impliceert dat de

lineaire relatie met het vertraagde rendement, slechts kan gebruikt worden om 0.36% van de

variantie van het huidige rendement te verklaren. “Afhankelijkheid” van zulke grootte is vanuit

een praktisch standpunt, waarschijnlijk zowel voor de statisticus als de investeerder niet

belangrijk. De investeerder zal de afhankelijkheid hoogst waarschijnlijk niet kunnen uitbuiten

om zijn winst te verhogen (FAMA E., 1965, blz. 70) (FAMA E., 1970, blz. 394).

Ten tweede wordt er ook vaak gesteld dat de standaardafwijking de werkelijke variabiliteit van

de coëfficiënten onderschat daar de rendementen vaak groter zijn dan verwacht onder de normale

79

verdeling. Velen zijn er van overtuigd dat de verdeling van tr Pareto stabiel is waardoor de

veronderstelling van een eindige variantie waarschijnlijk niet geldig is. n1 is dan geen

precieze maat voor de standaardafwijking van de autocorrelatiecoëfficiënt, zelfs niet voor

extreem grote steekproeven (FAMA E., 1965, blz. 69).

Een derde opmerking betreft de regressievergelijking (4.4.3). Er is reeds uitgelegd dat de

coëfficiënt b uit de regressievergelijking eigenlijk de autocorrelatiecoëfficiënt is. De test voor de

RW1 zou dan ook kunnen uitgevoerd worden door de t-waarde van de coëfficiënt te bekijken en

na te gaan in de tabellen voor de t-verdeling of deze significant is. Indien ze niet significant is,

dan kan de RW1 aanvaard worden (VERBEEK M., 1998, blz. 11).

Ten vierde is het zo dat, zelfs als de autocorrelatiecoëfficiënt gelijk is aan 0 en dus aangeeft dat

er geen verband is tussen de rendementen, er eventueel een niet-lineair verband kan zijn tussen

de rendementen (zie Hoofdstuk 5). De autocorrelatie-test kan namelijk enkel de lineaire

verbanden nagaan (ELTON E. en GRUBER M., 1995, blz. 414).

Ten laatste, kan er gesteld worden dat het niet uitmaakt of er nu gewerkt wordt met

prijsveranderingen of met (continu samengestelde) rendementen bij de autocorrelatie-test. Als de

test gebruik makend van rendementen geen verband toont, dan zal de test gebruik makend van

prijsveranderingen ook geen verband tonen (ELTON E. en GRUBER M., 1995, blz. 414).


De autocorrelatie-test zal nu toegepast worden op de tijdreeksen van het aandeel UCB en de

Bel20-index. Er wordt gebruikt gemaakt van de verdeling in (4.4.22) om de geldigheid van de

RW1 na te gaan.40 De standaardafwijking van de autocorrelatiecoëfficiënten is dus gelijk aan

n1 . De schatters ( )kρ van de autocorrelatiecoëfficiënten, voor k van 1 tot 5, zijn weer-

gegeven in tabel 4. De resultaten zijn niet allen consistent met de vorige resultaten. Wat betreft

de wekelijkse rendementen van het aandeeel UCB, kan er uit de autocorrelaties afgeleid worden

dat er een significante negatieve autocorrelatie is tussen de opeenvolgende rendementen. Ook

voor twee vertragingen is er een significante negatieve correlatie merkbaar. Deze bevindingen

staan in contrast met deze van de Cowles-Jones test en de Runs-test. Uit deze twee laatste testen

kon er afgeleid worden dat er een positieve afhankelijkheid is tussen de rendementen. Deze

40 De resultaten zijn identiek indien er gebruik gemaakt wordt van de verdeling in (4.4.23) daar het aantalwaarnemeingen voldoende groot is.

80

resultaten moeten echter met enige voorzichtigheid geïnterpreteerd worden. Het is namelijk zo

dat bij de dagelijkse rendemeten van een individueel aandeel er veel rendementen van 0 zijn. Een

opeenvolging van rendementen van 0 doet dan het aantal “sequenses” stijgen ten opzichte van

het aantal “reversals” en zorgt ervoor dat er minder runs zijn. Er zal echter geen correlatie

merkbaar zijn tussen de rendementen van 0. De resultaten van de autocorrelatie-test kan dan ook

merkbaar verschillen van de resultaten van de Cowles-Jones test en de runs-test vooral daar het

aantal dagelijkse rendementen van 0 voor het aandeel UCB zeer groot is (meer dan 1/3 van het

totale aantal waarnemingen). De resultaten van de autocorrelatie-test zullen betrouwbaarder zijn.

Merk wel op dat negatieve autocorrelatie voor de dagelijkse rendementen zeer klein is. De

steekproef is namelijk zeer groot waardoor de standaardafwijking van de coëfficiënten zeer klein

is. Hierdoor is een coëfficiënt van –0.028 reeds significant. Maar een coëfficiënt van deze

grootte impliceert dat slechts 0.0008 van de variantie van het huidig rendement kan voorspeld

worden door gebruik te maken van het rendement van de vorige periode (supra, blz. 78). Er lijkt

dus enige twijfel te bestaan over het al dan niet aanvaarden van de RW1.

Tabel 4: Autocorrelatie-test voor dagelijkse, wekelijkse en maandelijkse rendementen (RW1).


grootte( )1ρ ( )2ρ ( )3ρ ( )4ρ ( )5ρ

UCB Dag 6824 -0.028* -0.027* -0.015 -0.014 -0.003

Week 1364 -0.049 0.027 0.025 -0.003 0.025

Maand 313 0.014 0.028 0.009 0.017 0.025

Bel20-index Dag 6824 0.154* 0.029* -0.004 0.015 0.035*

Week 1364 0.072* 0.130* 0.084* 0.006 0.019

Maand 313 0.136* -0.054 -0.050 -0.055 -0.037* geeft aan dat de autocorrelatiecoëfficiënt twee maal zijn standaardafwijking is en bijgevolg significant is.


De wekelijkse en maandelijkse rendementen van het aandeel UCB zijn in overeenstemming met

de veronderstellingen van het RW1-model. Alle autocorrelaties zijn niet significant verschillend

van 0. De rendementen beschrijven een ongecorreleerd proces. De RW1 wordt aanvaard.

De resultaten voor de Bel20-index zijn min of meer in overeenstemming met de resultaten van

de vorige testen. De eerste-orde autocorrelatiecoëfficiënt van de dagelijkse rendementen is

significant voor alle mogelijke betrouwbaarheidsintervallen. De autocorrelatiecoëfficiënt

81

verkleint wel snel naarmate k groter wordt. De wekelijkse rendementen van de Bel20-index zijn

ook gecorreleerd met elkaar. Zelfs voor k =3 is de autocorrelatiecoëfficiënt significant

verschillend van 0. De RW1 moet dus verworpen worden voor de dagelijkse en wekelijkse

rendementen.

Het valt op in tabel 4 dat de dagelijkse en wekelijkse rendementen van de Bel20-index positief

gecorreleerd zijn terwijl de dagelijkse en wekelijkse rendementen van het aandeel niet of zelfs

negatief gecorreleerd zijn. Een mogelijke verklaring hiervoor is reeds gegeven bij de Cowles-

Jones test (supra, blz. 58). Een andere verklaring wordt door Moore (1964) gegeven. Moore

kwam tot dezelfde conclusies als deze afgeleid uit tabel 4. Hij heeft de autocorrelaties berekend

voor de wekelijkse rendementen van 30 aandelen die genoteerd zijn op de NYSE. De

gemiddelde autocorrelatiecoëfficiënt is weergegeven in tabel 5. Deze is negatief (maar wel niet

significant). Vervolgens heeft hij een index opgesteld gebruik makend van 25 van de 30

aandelen (de gewichten zijn gelijk). De wekelijkse rendementen van deze index zijn significant

gecorreleerd met elkaar. Zijn verklaring hiervoor heeft te maken met variabelen die verbonden

zijn aan de conjunctuurcyclus. Het is bekend dat de interestvoeten en de verwachtingen omtrent

Tabel 5: De resultaten van enkele onderzoeken uitgevoerd m.b.t. de eerst-orde autocorrelaties.

Auteur Gegevens VariabeleAantal

waarnem.Tijdsinterval

Gemiddelde auto-

correlatiecoëf.

Moore (1964) 30 bedrijven U.S.

1 index NYSE

Log. Prijs

Log. Prijs

416 1 week

1 week

-0.056

+0.153

Kendall (1953) &

Alexander (1961)

19 indexen U.K. Prijs 486 1 week

2 weken

4 weken

8 weken

16 weken

+0.131

+0.134

+0.006

-0.054

+0.156

Fama (1965) 30 bedrijven U.S. Log. Prijs ± 1200 1 dag

4 dagen

9 dagen

16 dagen

+0.026

-0.039

-0.053

-0.057

(Bron: Elton E. en Gruber M., 1995, blz. 416)

82

het toekomstige conjunctuurverloop systematisch veranderen doorheen de fasen van de

conjunctuurcyclus. Een index van vele aandelen kan dan gedomineerd worden door deze

veranderingen indien de veranderingen ook de individuele aandelen beïnvloeden. Als dit het

geval is, kan er een positieve correlatie ontstaan tussen de rendementen van de index. Daar de

individuele aandelen ook nog beïnvloed worden door specifieke informatie, is het toch nog

mogelijk dat de rendementen van een individueel aandeel negatief gecorreleerd zijn. Deze

negatieve correlatie zal zich niet doorzetten in de index omdat het rendement van een index het

gemiddelde is van de rendementen van verschillende aandelen. Door het nemen van

gemiddelden zullen de positieve en negatieve rendemeten elkaar opheffen waardoor de negatieve

correlaties van de individuele aandelen zullen verdwijnen (MOORE A, 1964, blz. 149-150).

De resultaten van Kendall (1953) en Alexander (1961) sluiten aan bij de resultaten van Moore en

bekomen resultaten in tabel 4. De wekelijkse prijsveranderingen van de onderzochte indices zijn

gemiddeld gezien (zwak) positief gecorreleerd.41 Voor de tijdsintervallen van 4 en 8 weken, kan

er gesteld worden dat er voldaan is aan de RW1.

Tenslotte kan er uit het onderzoek van Fama (1965) afgeleid worden dat voor ieder tijdsinterval

de gemiddelde autocorrelatiecoëfficiënt van de 30 individuele aandelen niet significant

verschillend zijn van nul. Dit lijkt min of meer in overeenstemming te zijn met de bekomen

resultaten voor het aandeel UCB. Fama merkte wel op dat de autocorrelatiecoëfficiënten van de

verschillende aandelen de neiging hebben om een zelfde teken te hebben. Dit kan opnieuw

verklaard worden door het feit dat de individuele aandelen afhankelijk zijn van een bepaalde

marktfactor.

Algemeen kan er besloten worden dat de rendementen van de indices de neiging hebben om

positief gecorreleerd te zijn voor tijdsintervallen kleiner dan twee weken. De rendementen van

de individuele aandelen daarentegen zijn over het algemeen niet gecorreleerd met elkaar, voor

gelijk welke tijdsinterval. De indices lijken dan ook beter in overeenstemming te zijn met de

veronderstellingen van de RW1.

De volgende test die besproken wordt is de test met de Portmanteau statistieken. Deze test leunt

zeer dicht aan bij de autocorrelatie-test

41 Merk op dat de Kendall en Alexander werken met gewone prijzen. Zij hebben dan ook de correlaties tussen deprijsveranderingen berekend.

83

4.5 Portmanteau Statistieken

Bij de autocorrelatie-test wordt er nagaan of de autocorrelaticoëfficiënten (met verschillende

vertragingen) gelijk zijn aan nul. De RW1 is geldig als alle autocorrelatiecoëfficiënten gelijk zijn

aan nul. De residuen zullen dan een ongecorreleerd proces beschrijven. De residuen zijn dus

ongecorreleerd als alle coëfficiënten gelijk zijn aan 0. Stel nu dat er één coëfficiënt wel

significant verschillend is van 0. Is dit dan voldoende om te besluiten dat de residuen geen

ongecorreleerd proces beschrijven en dat de RW1 bijgevolg niet geldig is? Het is namelijk

mogelijk dat alle andere coëfficiënten gelijk zijn aan 0 terwijl die éne coëfficiënt slecht in

geringe mate significant verschillend is van 0.42 Het zou niet geloofwaardig zijn, moest de RW1

verworpen worden omwille van deze kleine autocorrelatie. Om dit probleem op te lossen werd

de Portmanteau Q -statistiek opgesteld (REYNAERTS H., 1998).

4.5.1 Box Pierce Q -Statistiek

De Q -statistiek werd geformuleerd door Box en Pierce (1970) en ziet er als volgt uit:

( )=

≡m

km kTQ

1

2ρ . (4.5.1)

De Q -statistiek is dus gelijk aan de som van de kwadraten van de m -eerste

autocorrelatiecoëfficiënten, vermenigvuldigd met het aantal waarnemingen. Door het sommeren

van de kwadraten van de autocorrelatiecoëfficiënten, zal de Box-Pierce Q -statistiek de

afwijkingen van de autocorrelaties van 0 detecteren in iedere richting en voor alle vertragingen.

De RW1 zal geldig zijn indien de statistiek voldoende klein is. Om dit te kunnen testen, is het

terug noodzakelijk om een steekproefverdeling op te stellen. Als de autocorrelatiecoëfficiëten

geschat worden door ( )kρ , gedefinieerd in (4.4.6), dan kan er onmiddellijk uit (4.4.22) afgeleid

worden dat onder de RW1-hypothese de schatter mQ van de Q -statistiek asymptotisch 2χ -

verdeeld is met m vrijheidsgraden. Dit kan als volgt weergegeven worden:

42Merk op dat er in sectie 4.4.3 reeds gesteld is dat een autocorrelatiecoëfficiënt van 0.06 soms significant kan zijn..

84

( ) ( )=

≡m

k

a

m mknQ1

22 ~ χρ . (4.5.2)

De RW1 zal dan aanvaard worden indien de testwaarde mQ binnen het 95%

betrouwbaarheidsinterval ligt. Deze testwaarde zal niet noodzakelijk de RW1-hypothese

verwerpen omdat er één autocorrelatiecoëfficiënt significant verschillend is van 0. Indien de

andere coëfficiëten zeer klein zijn dan zal de RW1 waarschijnlijk niet verworpen worden, tenzij

die éne coëfficiënt zeer groot is (BOX G. en PIERCE D., 1970, blz. 1509-1510).

Er wordt echter vaak opgemerkt dat de verdeling van de testwaarde mQ afwijkt van de 2χ -

verdeling. Een mogelijke oorzaak hiervan is het feit dat de verdeling van de geschatte

autocorrelatiecoëfficiënten vaak afwijkt van de normaliteit. De verdeling (4.5.2) is dan geen

goede benadering. Dit probleem treedt vaak op als het aantal waarnemigen voor de rendementen

niet groot is. Als reactie hierop stelden Ljung en Box (1978) de volgende testwaarde voor die de2χ -verdeling beter benadert voor kleinere steekproeven:

( ) ( )=

∗

−+≡

m

km

kn

knnQ1

2

2 ρ . (4.5.3)

Asymptotisch gezien zullen de twee testwaarden mQ en ∗mQ hetzelfde resultaat bekomen daar

( ) ( )2+− nnkn bij benadering gelijk is aan n1 , maar voor kleinere steekproeven kunnen er

toch aanzienlijke verschillen optreden (LJUNG G. en BOX G, 1978, blz. 298).

Het enige probleem die zich nu nog stelt, is de bepaling van m , m.a.w de bepaling van het aantal

autocorrelatiecoëfficiënten die moeten opgenomen worden in de Q -statistiek. Enerzijds mogen

er niet te weinig gebruikt worden omdat er dan eventueel significante autocorrelaties van een

hogere orde kunnen gemist worden. Anderzijds mogen er ook niet te veel gebruikt worden omdat

de test dan niet krachtig genoeg zal zijn ten gevolge van insignificante autocorrelaties van een

hogere orde (CAMPBELL J., 1997, blz. 47).

Bij het uitvoeren van de test zullen er Q -statistieken worden berekend voor verschillende

waarden voor m . Op die manier kan men nagaan wat de invloed is van de autocorrelaties van

een hogere orde.

85


De test wordt nu uitgevoerd op het aandeel UCB en de Bel20-index. Er wordt gebruik gemaakt

van de verdeling (4.5.3). De Q -statistieken worden berekend voor 15,10,5=m en 20. De resul-

taten zijn weergegeven in tabel 6.

De resultaten voor de Portmanteau statistieken zijn volledig in overeenstemming met de

bevindingen voor de autocorrelatie-test. Wat betreft het aandeel UCB, kan de RW1 niet

verworpen worden voor zowel de weekgegevens als voor de maandgegevens. Enkel omtrent de

daggegevens lijkt er enige twijfel te bestaan. De Ljung-Box Q -statistiek voor 5 autocorrelaties

valt binnen het 95%-betrouwbaarheidsinterval, maar buiten het 99%-betrouwbaarheidsinterval.

Indien er meerdere autocorrelaties opgenomen worden in de Q -statistiek, dan kan de RW1 met

zekerheid aanvaard worden.

Tabel 6: De Portmanteau Statistieken voor dagelijkse, wekelijkse en maandelijkse rendementen


grootte∗

5Q∗

10Q∗

15Q∗

20Q

UCB Dag 6824 13.163* 14.945 19.898 22.166

Week 1364 5.9524 9.4407 14.957 18.718

Maand 313 0.6192 11.378 13.660 17.702

Bel20-index Dag 6824 178.30* 252.89* 272.99* 275.24*

Week 1364 40.340* 46.828* 57.297* 61.218*

Maand 313 8.9576 13.633 16.970 23.040

* geeft aan dat de Q -statistiek significant is voor het 95%-betrouwbaarheidsinterval.


Wat betreft de Bel20-index is er weinig twijfel. De RW1 kan met grote zekerheid verworpen

worden voor de daggegevens daar de Q -statistieken significant zijn voor alle betrouwbaarheids-

intervallen. Ook voor de weekgegevens kan de RW1 met zekerheid verworpen worden. De

maandelijkse rendementen daarentegen voldoen wel aan de veronderstellingen van de RW1.

Algemeen kan er gesteld worden dat de autocorrelatie-test en de test met de Portmanteau

statistieken dezelfde resultaten opleveren voor de bestudeerde tijdsreeksen.

Een betere test voor de RW1, houdt verband met de variantierarios. Dit wordt in het volgende

deel besproken.

86

4.6 De Variantieratios

Een belangrijke eigenschap van de RW1 is dat de variantie van de residuen een lineaire functie

moet zijn van het tijdsinterval. Stel het logaritmisch RW1-model:

ttt pp εµ ++= −1 , ( )2,0~ σε IIDt .

De variantie van het residu over een tijdsinterval van bijvoorbeeld twee weken moet gelijk zijn

aan twee maal de variantie van het residu over een tijdsinterval van één week.

Als er gewerkt wordt met het continu samengesteld rendement dan kan het RW1-model

omgevormd worden tot

( )21 ,~ σµIIDppr ttt −−= .

De eigenschap die geldig is voor de residuen zal dan ook geldig zijn voor de rendementen tr .

Het RW1-model impliceert dan bijvoorbeeld dat de variantie van 1++ tt rr gelijk is aan de twee

maal de variantie van tr . De geloofwaardigheid van het RW1-model kan dus nagegaan worden

door de variantie van 1++ tt rr te vergelijken met twee maal de variantie van tr . De test van de

RW1 zal er dan in bestaan om de schatters van de variantie van de tijdsreeks van de rendementen

met een verschillende frequentie te vergelijken met elkaar (CAMPBELL J. et al., 1997, blz. 48).

In het eerste deel zal het begrip “variantieratio” gedefinieerd worden en zullen er enkele

eigenschappen van de ratios besproken worden. In het tweede deel zal de verdeling voor de

variantieratios afgeleid worden. In een laatste deel zullen er nog enkele verfijningen aangebracht

worden aan de variantieratios.

4.6.1 Wat zijn Variantieratios?

De variantieratio kan gedefinieerd worden als de verhouding van de variantie van het

rendement over meerdere perioden en de som van de varianties van de enkelvoudige

rendementen. De variantieratio voor een tweevoudige periode is dan de verhouding van de

variantie van 1++ tt rr en de som van de variantie van tr en de variantie van 1+tr . Deze

variantieratio kan dan als volgt genoteerd worden:

87

( ) ( )[ ][ ] [ ]1

22

++=

tt

t

rVarrVar

rVarVR , (4.6.1)

( ) .2 1++= ttt rrrmet

Daar het RW1-model stationariteit impliceert, kan (4.6.1) verder als volgt uitgewerkt worden:

( ) [ ][ ]

[ ] [ ][ ]

( ) )3.6.4(,11

2

,22

)2.6.4(2

2

1

1

ρ+=

+=

+=

+

+

t

ttt

t

tt

rVar

rrCovrVar

rVar

rrVarVR

waarbij ( )1ρ de eerste-orde autocorrelatiecoëfficiënt is van de rendementen tr . De

populatiewaarde voor )2(VR is dus gelijk 1 plus de eerste-orde autocorrelatiecoëfficiënt ( )1ρ .

Uit sectie 4.4 volgt er dat de autocorrelatie gelijk moet zijn aan 0 indien de RW1 geldig is. Dit

impliceert dat de variantieratio )2(VR gelijk moet zijn aan 1 indien de RW1 geldig is.

Als de RW1 niet geldig is, dan zal de )2(VR verschillend zijn van 1. Er zijn twee gevallen

denkbaar wanneer dit zo is. Ten eerste, als de opeenvolgende rendementen positief gecorreleerd

zijn, dan zal de eerste-orde autocorrelatiecoëfficiënt groter zijn dan 0 zodat de variantie ratio

)2(VR groter is dan 1. De variantie van de som van de enkelvoudige rendementen is dan groter

dan de som van de varianties van de enkelvoudige rendementen. Ten tweede, indien de

opeenvolgende rendementen negatief gecorreleerd zijn dan zal de eerste-orde

autocorrelatiecoëfficiënt kleiner zijn dan 0 en is de variantieratio )2(VR bijgevolg kleiner dan 1.

De variantie van de som van de enkelvoudige rendementen is kleiner dan de som van de

varianties van de enkelvoudige rendementen. Het risico van een aandeel zal dan ook kleiner zijn

indien de rendementen negatief gecorreleerd zijn.

Dit zijn de twee mogelijke gevallen die kunnen optreden indien de RW1 niet geldig is. De

aanwezigheid van autocorrelatie maakt het immers mogelijk om de toekomstige rendementen te

voorspellen op basis van vroegere rendementen.

88

De variantieratio voor q-perioden

Er kan nu overgegaan worden naar de algemene definitie voor de variantieratios. Op die manier

kan de variantie over meerdere perioden vergeleken worden met de varianties over de

enkelvoudige perioden. Er zal dan ook rekening moeten gehouden worden met autocorrelaties

van een hogere orde dan 1. De algemene definitie van de variantieratio voor q perioden ziet er

als volgt uit:

( ) ( )[ ][ ]tt

rVarq

qrVarqVR = , (4.6.4)

( ) 11 +−− +++= qtttt rrrqrmet �

waarbij ( )qrt het continu samengestelde rendement is over q perioden. Merk op dat de noemer

uit (4.6.4) volgt uit de eigenschap van stationariteit van de rendementen. De variantieratio ( )qVR

kan als volgt uitgewerkt worden (eigen werk):

( ) [ ] [ ] [ ] [ ][ ]

[ ] [ ] [ ][ ]

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ][ ]

( ) ( ) ( ) )5.6.4(,122)2(21)1(21

,2,,2

,,2

,2,2,2

,2,2

1132

121

1132

1211

−++−+−+=

++�

��

�

�++

+��

��

�

�+++=

+++++

+++++=

+−+−+−−

+−+−−

+−+−+−−

+−+−−+−

qqq

q

q

q

rVar

rrCov

qrVar

rrCov

rVar

rrCov

q

rVar

rrCov

rVar

rrCov

qrVarq

rVarq

rVarq

rrCovrrCovrrCov

rVarq

rrCovrrCovrVarrVarqVR

t

qtt

t

qtqt

t

tt

t

qtqt

t

tt

t

t

t

qttqtqttt

t

qtqtttqtt

ρρρ �

��

�

��

��

( ) [ ][ ]

1,,2,1,

−== − qkvoorrVar

rrCovkmet

t

ktt�ρ .

waarbij ( )kρ de k-de orde autocorrelatiecoëfficiënt is voor de rendementen tr . Uiteindelijk

wordt het volgende bekomen uit (6.4.4) voor de variantieratio ( )qVR :

89

( ) ( )−

=

�

��

�

� −+=

1

121q

kk

q

kqqVR ρ . (4.6.6)

De variantieratio ( )qVR is bijgevolg een lineaire combinatie van de q-1 eerste

autocorrelatiecoëfficiënten met afnemende gewichten. De RW1 zal opnieuw geldig zijn indien

( ) 1=qVR , d.i. indien de variantie van het rendement over q perioden gelijk is aan q keer de

variantie van het rendement over één periode. De RW1 impliceert dus dat alle

autocorrelatiecoëfficiënten (van iedere orde) gelijk zijn aan 0.

Om nu te kunnen te zeggen of een variantieratio al dan niet statistisch verschillend is van 1, is

het noodzakelijk om een steekproefverdeling voor de variantieratios op te stellen. De

steekproefverdeling maakt het dan mogelijk om de varianties kwantitatief te vergelijken. De

afleiding van de verdeling gebeurt in het volgende deel.

4.6.2 De Steekproefverdeling voor de Variantieratios

In dit deel zal de steekproefverdeling afgeleid worden voor de schatter ( )qVR van de

variantieratio ( )qVR . De werkwijze die gevolgd wordt is deze van Lo en MacKinley (1988). Er

wordt vertrokken van de nulhypothese dat de logaritmische prijzen een RW1 volgen met

normaal verdeelde residuen:43

( )21 ,0~, σεεµ Ν+=−= − IIDppr ttttt . (4.6.7)

Eerst zullen de schatters voor µ en 2σ bepaald worden. Vervolgens zal de verdeling afgeleid

worden voor ( )2VR . Later in dit deel zal dan de verdeling bepaalt worden voor de algemene

variantieratio ( )qVR .

43 De veronderstelling van normaliteit wordt gemaakt om de uiteenzetting niet nodeloos ingewikkeld te maken.

90

De schatters voor µ en 2σ

Onderstel dat er 2n +1 waarnemingen zijn voor de logaritmische prijzen, d.i. nppp 210 ,,, � .

Vervolgens kunnen nu de schatters voor de verwachtingswaarde µ en de variantie 2σ bepaald

worden:

( ) ( )02

2

11

2

1

2

1 ppn

ppn

n

n

kkk −=−≡

=−µ (4.6.8)

( )=

− −−≡n

kkka pp

n

2

1

21

2

2

1 µσ . (4.6.9)

De schatters µ en 2aσ zijn respectievelijk het steekproefgemiddelde en de steekproefvariantie.

Het zijn allebei de meest waarschijnlijke schatters waardoor het ook consistente, asymptotisch

efficiënte en asymptotisch normale schatters zijn (LO A. en MACKINLAY A., 1989, blz. 206).

Een andere schatter voor 2σ kan bepaald worden als de helft van de steekproefvariantie van de

residuen voor een steekproef bestaande uit de prijzen die even genummerd zijn. De steekproef

bestaat dan uit n+1 waarnemingen, namelijk de prijzen nppp 220 ,,, � . Deze schatter 2bσ ziet er

dan als volgt uit:

( )=

− −−≡n

kkkb pp

n 1

2222

2 22

1 µσ . (4.6.10)

De schatter 2bσ is dan in feite de helft van de schatter voor de variantie van het rendement over

twee perioden, d.i. 1++ tt rr . Er wordt hier in feite gebruik gemaakt van de eigenschap van de

RW1 dat de variantie van de rendementen een lineaire functie is van het tijdsinterval, vandaar

dat de variantie 2σ kan geschat worden als de helft van de steekproefvariantie van de

rendementen nrrr 242 ,,, � met 2−−= kkk ppr . Onder de nulhypothese van het normale RW1-

model, zullen de twee schatters 2aσ en 2

bσ dan ook dicht bij elkaar liggen.

Er zijn twee manieren om de geldigheid van de RW1 te testen:

• De eerste test houdt verband met de schatter ( )2VD . Deze schatter kan als volgt gedefinieerd

worden: ( ) 222 abVD σσ −≡ . ( )2VD is dus de schatter van het variantieverschil. De test voor

de RW1 bestaat er dan in om ( )2VD te berekenen en te kijken of de schatter al dan niet

91

statistisch verschillend is van 0. Indien de RW1 geldig is, dan moet deze schatter gelijk zijn

aan nul.

• Een tweede test is gebaseerd op de dimensieloze schatter ( )2VR van de variantieratio zoals

gedefinieerd in (4.6.2). Deze schatter is gelijk aan de verhouding van 2bσ en 2

aσ . Indien de

RW1 geldig is, dan moet ( )2VR statistisch niet te onderscheiden zijn van 1.

Om de testen uit te voeren zal het noodzakelijk zijn om de verdelingen van ( )2VD en ( )2VR te

bepalen. Eerst zal de verdeling voor ( )2VD afgeleid worden en gebruik makend van deze

verdeling zal dan de verdeling voor ( )2VR afgeleid worden.

De steekproefverdeling voor ( )2VD

Eerst zal de verdeling bepaald worden voor 2aσ en 2

bσ . Gebruik makend van deze verdelingen

zal de verdeling voor ( )2VD afgeleid worden.

Uit (4.6.9) kan men afleiden dat 2aσ de som is van toevalsveranderlijken met een eindige

verwachtingswaarde en een eindige variantie zodat 2aσ altijd asymptotisch normaal verdeeld is

ten gevolge van de centrale limietstelling. De toevalsveranderlijke is gelijk aan ( )21 µ−− −kk pp .

Vervolgens kunnen de verwachtingswaarde en de variantie bepaald worden voor deze

toevalsveranderlijke (eigen werk):44

( )[ ] [ ] [ ] 2221 σεεµ ===−− − kkkk VarEppE , (4.6.11)

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )

)12.6.4(.2

3

4

44

224

221

41

21

σ

σσ

σε

µµµ

=

−=

−=

−−−−−=−− −−−

k

kkkkkk

E

ppEppEppVar

44 Bij de afleiding mag µ gelijkgesteld worden aan µ daar de asymptotische verdeling bepaald wordt voor deschatters van de variantie. Het aantal waarnemingen zal dus zeer groot zijn zodat het gemiddelde µ zalconvergeren naar zijn populatiewaarde µ .

92

Gebruik makend van de centrale limietstelling en (4.6.11) en (4.6.12) wordt de volgende

verdeling bekomen voor de som van 2n toevalsveranderlijken:

( )( )( )1,0

2~2

1

4

2

1

221

Ν−−−

=

=− a

n

k

n

kkk pp

σ

σµ . (4.6.13)

De verdeling (4.6.13) kan verder uitgewerkt worden, gebruik makend van (4.6.9):

( ) ( )1,022

2~4

22

Ν− a

a

n

n

σ

σσ .

(Eigen werk)

Uiteindelijk wordt de volgende welbekende asymptotische normale verdeling bekomen:

( ) ( )422 2,02 ~ σσσ Ν−a

an . (4.6.14)

Het principe van de centrale limietstelling kan nu ook toegepast worden voor 2bσ . De

toevalsveranderlijke is gelijk aan ( )2222 2 µ−− −kk pp . Vervolgens kan opnieuw de

verwachtingswaarde en de variantie van de toevalsveranderlijke bepaald worden (eigen werk):

( )[ ] ( )[ ][ ] [ ] [ ] [ ]

)15.6.4(.2

2

2

2

1222

1222

2122

2222

σ

εεεε

εεµ

=

−+=

+=−−

−−

−−

kkkk

kkkk

EEEE

EppE

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( )[ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ]( )

( ))16.6.4(.8

2633

6

2

4

222244

22122

212

22

412

42

22122

4122

2222

σ

σσσσσ

εεεεεε

εεεεµ

=

−++=

+−++=

+−+=−−

−−−

−−−

kkkkkk

kkkkkk

EEEEE

EEppVar

93

Gebuik makend van de centrale limietstelling en (4.6.15) en (4.6.16), wordt de volgende

verdeling bekomen voor de som van n toevalsveranderlijken:

( )( )( )1,0

8

22

~1

4

1

22222

Ν−−−

=

=− a

n

k

n

kkk pp

σ

σµ . (4.6.17)

2bσ kan nu ingebracht worden in (4.6.17) en na enige uitwerking wordt de volgende verdeling

bekomen:

( ) ( )1,042

2~4

22

Ν− a

b

n

n

σ

σσ .

(Eigen werk)

Uiteindelijk wordt de volgende asymptotische normale verdeling bekomen:

( ) ( )422 4,02 ~ σσσ Ν−a

bn . (4.6.18)

Op basis van (4.6.14) en (4.6.18) kan nu de verdeling bepaald worden voor de schatter van het

variantieverschil, ( ) 222 abVD σσ −≡ . De schatter ( )2VD kan als volgt herschreven worden

(eigen werk):

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) )19.6.4(.2222

2

2222

2222

σσσσ

σσσσ

−−−=

−−−=

ab

ab

nnVDn

VD

Aangezien het verschil van twee asymptotische normale verdelingen ook asymptotisch normaal

verdeeld is, kan er uit (4.6.19) afgeleid worden dat ( )22 VDn asymptotisch normaal verdeeld

is. De verwachtingswaarde van ( )22 VDn is dan het verschil van de verwachtingswaarden van

( )222 σσ −bn en ( )222 σσ −an en zal bijgevolg gelijk zijn aan 0.

94

De bepaling van de variantie voor ( )22 VDn zal niet zo evident zijn daar de 2 schatters 2aσ en

2bσ asymptotsch niet ongecorreleerd zijn. Er kan echter gebruikt gemaakt worden van een

eigenschap ontwikkeld door Hausman (1978). Hausman heeft bewezen dat de asymptotische

variantie van het verschil van een consistente schatter en een asymptotisch efficiënte schatter

gelijk is aan het verschil van de asymptotische varianties. Het bewijs hiervan kan nu gegeven

worden voor de schatter 2aσ en 2

bσ . 2aσ en 2

bσ zijn twee consistente schatters van 2σ . 2aσ is

daarenboven een asymptotisch efficiënte schatter van 2σ .45 Dit impliceert dan dat 2aσ

asymptotisch ongecorreleerd is met 22ab σσ − anders zou er een lineaire combinatie bestaan van

2aσ en 22

ab σσ − die efficiënter is dan 2aσ , wat niet kan, gegeven de asymptotische efficiëntie

van 2aσ . Het resultaat van Hausman kan nu gemakkelijk als volgt bekomen worden:

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] )20.6.4(,2222

2222222

abab

abaabab

aVaraVaraVar

aVaraVaraVaraVar

σσσσ

σσσσσσσ

−=−

−+=−+=

waarbij [ ]aVar de operator is voor de asymptotische variantie (CAMPBELL J. et al., 1997,

blz. 51).

Gebruik makend van (4.6.19) en (4.6.20) kan de variantie voor ( )22 VDn als volgt afgeleid

worden (eigen werk):

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

.2

24

2222

4

44

22

σ

σσ

σσσσ

=

−=

−−−= ab naVarnaVarVDnaVar

45 2

aσ is namelijk de meest waarschijnlijke schatter van 2σ en de meest waarschijnlijke schatter is altijdasymptotisch efficiënt (GREENE W., 1993, blz. 114).

95

Uiteindelijk kan de verdeling van ( )22 VDn als volgt voorgesteld worden:

( ) ( )42,022 ~ σΝa

VDn . (4.6.21)

De nulhypothese van het RW1-model kan nu getest worden door middel van de verdeling

(4.6.21) en iedere consistente schatter 2σ voor 2σ . De gestandardiseerde testwaarde

( ) 2222 σVDn heeft dan een asymptotisch standaard normale verdeling onder de RW1-

hypothese. De RW1 kan dus aanvaard worden indien de testwaarde in het 95%-betrouwbaar-

heidsinterval ligt.

Vervolgens kan nu de verdeling voor de schatter ( )2VR van de variantieratio over 2 perioden

afgeleid worden, gebruik makend van (4.6.21).

De steekproefverdeling voor ( )2VR

De verdeling voor ( ) 222 abVR σσ≡ zal volgen uit (4.6.21) door het toepassen van de eerste-orde

Taylor-reeks benadering op de functie ( ) 2121 , xxxxf = met 221 abx σσ −= en 2

2 ax σ= . Merk

op dat 1x en 2x ongecorreleerd zijn daar 2aσ een efficiënte schatter is. De Taylor-

reeksontwikkeling voor de functie ( )21 , xxf ziet er als volgt uit:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ ][ ] .

0

)22.6.4(,,,,

222

221

21

2

2221

1

112121

σσ

σσ

==

=−=

+∂

∂−+∂

∂−+=

a

ab

Ex

Exmet

xxx

fxxxxx

fxxxxfxxf �

1x en 2x zijn de verwachte waarden voor de onbekenden 1x en 2x indien het aantal

waarnemingen zeer groot wordt (er wordt dus opnieuw asymptotisch gewerkt). Merk op dat de

termen met een afgeleide van een hogere orde dan 1, verwaarloosbaar zijn zodat deze termen

mogen weggelaten worden.

Om nu de vergelijking (4.6.22) te kunnen uitwerken is het eerst noodzakelijk om de afgeleiden te

berekenen (eigen werk):

96

( ) ,11,2

1

21

1 σ==

∂

∂

xxx

x

f (4.6.23)

( ) ( ) 422

121

2

0,σ

=−=∂

∂

x

xxx

x

f . (4.6.24)

Vervolgens kunnen (4.6.23) en (4.6.24) ingebracht worden in de functie (4.6.22):

( ) ( ) ( )2

1

4

2221221

0100,σσ

σσσ

xxxxxf =

��

�−−+−+= . (4.6.25)

De volgende verwachtingswaarde en variantie kunnen nu bekomen worden gebruik makend van

(4.6.21) en (4.6.25) waarin ( )2221 VDx ab ≡−= σσ en 2

2 ax σ= :

( )[ ] 0212 22

22

22

=−=�

��

�

� −ab

a

ab nEnE σσσσ

σσ , (4.6.26)

( )[ ]4

422

42

22 2212σσσσ

σσσσ =−=

�

��

�

� −ab

a

ab naVarnaVar . (4.6.27)

(Eigen werk)

Via (4.6.26) en (4.6.27) bekomt men dan uiteindelijk de steekproefverdeling voor ( )2VR :

( )( ) ( )2,01222 ~2

22

Ν−=�

��

�

� − a

a

ab VRnnσ

σσ . (4.6.28)

De test voor de RW1 kan nu uitgevoerd worden door de gestandardiseerde testwaarde

( )( ) 2122 −VRn , die asymptotisch standaard normaal verdeeld is, te berekenen en te kijken

of deze in het 95% betrouwbaarheidsinterval [ ]96.1;96.1− ligt. Valt de testwaarde buiten dit

interval, dan wordt de RW1-hypothese verworpen.

Hoofdstuk 4: De Testen van de “Random Walk” 1 97

Meestal zal de variantieratio verkozen worden boven het variantieverschil om de geldigheid van

de RW1 na te gaan omdat deze eerste dimensieloos is. Het is wel zo dat beide testwaarden

equivalent zijn. Ze zullen dezelfde resultaten opleveren. Stel namelijk dat 2aσ gebruikt wordt als

schatter voor 2σ , dan bekomt men het volgende:

( ) ( ) ( )( ) ( )1,02

122

2

2

2

22 ~2

22

4Ν

−=

−=

a

a

ab

a

VRn

nVDn

σ

σσ

σ ,

zodat het gelijk is welke testwaarde er gehanteerd wordt om de geldigheid van de RW1-

hypothese na te gaan (CAMPBELL J. et al., 1997, blz. 51).

De resultaten die bekomen zijn voor ( )2VD en ( )2VR kunnen nu gemakkelijk veralgemeend

worden zodat er rekening kan gehouden worden met rendementen over meerdere perioden.

De steekproefverdeling voor ( )qVD en ( )qVR

De werkwijze die gevolgd wordt bij de afleiding van de verdeling is dezelfde als bij de verdeling

voor ( )2VD en ( )2VR . Stel de steekproef bestaat uit nq+1 waarnemingen voor de logaritmische

prijzen van een aandeel, d.i. nqpppp ,,,, 210 � met 1>q . De schatters voor de

verwachtingswaarde en de variantie zien er dan als volgt uit:

( ) ( )01

111 ppnq

ppnq

nq

nq

kkk −=−≡

=−µ , (4.6.29)

( )=

− −−≡nq

kkka pp

nq 1

21

2 1 µσ , (4.6.30)

( ) ( )=

− −−≡n

kqqkqkb qpp

nqq

1

22 1 µσ . (4.6.31)

De schatter ( )qVD voor het variantieverschil en de schatter ( )qVR voor de variantieratio kunnen

dan als volgt gedefinieerd worden:

( ) 22)( ab qqVD σσ −≡ , (4.6.32)


( ) ( )2

2

a

b qqVR

σ

σ≡ . (4.6.33)

De volgende welbekende asymptotische normale verdelingen kunnen op een analoge manier

bewezen worden als de verdelingen (4.6.14) en (4.6.18):

( ) ( )422 2,0~ σσσ Ν−a

aqn , (4.6.34)

( )( ) ( )422 2,0~ σσσ qqqna

b Ν− . (4.6.35)

Er kan nu opnieuw gebruik gemaakt worden van de aanpak van Hausman (1978) om de

verdeling van ( )qVD te bepalen. Daar 2aσ een asymptotisch efficiënte schatter is en ( )qb

2σ een

consistente schatter is voor 2σ , dan kan er via (4.6.20) gemakkelijk geconcludeerd worden dat

asymptotische variantie van ( )( )22ab qqn σσ − gelijk is aan het verschil van de asymptotische

varianties van ( )( )22 σσ −qqn b en ( )22 σσ −aqn . Uiteindelijk bekomt men dan de volgende

verdeling voor ( )qVD :

( )( ) ( ) ( )( )422 12,0~ σσσ −Ν=− qqVDqnqqna

ab . (4.6.36)

Gebruik makend van de eerste-orde Taylor benadering kan de steekproefverdeling voor ( )qVR

afgeleid worden uit (4.6.36). Dit gebeurt op een analoge manier als voor ( )2VR . De volgende

verdeling wordt bekomen voor ( )qVR :

( ) ( )( ) ( )( )12,01 ~2

22

−Ν−=�

��

�

� −qqVRqn

qqn

a

a

ab

σ

σσ . (4.6.37)

In het volgende deel zullen er twee belangrijke verfijningen aangebracht worden aan de

testwaarden uit (4.6.36) en (4.6.37) zodat er nieuwe steekproefverdelingen bekomen worden die

de test voor de RW1 zullen verbeteren.


4.6.3 Twee Belangrijke Verfijningen

Een eerste verfijning die kan aangebracht worden is het gebruik van overlappende rendementen

over q perioden bij het schatten van de variantie voor de rendementen over q perioden. Op die

manier bekomt men de volgende alternatieve schatter ( )qc2σ voor 2σ i.p.v. ( )qb

2σ :

( ) ( )=

− −−≡nq

qkqkkc qpp

nqq 2

2

2 1 µσ . (4.6.38)

Deze schatter bevat nq-q+1 termen terwijl de schatter ( )qb2σ slechts n termen bevat. ( )qc

2σ is

dus een efficiëntere schatter en zal dus een krachtere test toelaten.

Een tweede verfijning houdt verband met de onzuiverheid van de schatters 2aσ en ( )qc

2σ .

Wegens deze onzuiverheid zullen de schatters ( )qVD en ( )qVR ook onzuiver zijn. Dit probleem

kan opgelost worden door de schatters 2aσ en ( )qc

2σ te corrigeren voor hun onzuiverheid. Na

enige uitwerking bekomt men de volgende zuivere schatter 2~aσ voor 2σ in plaats van de

onzuivere schatter 2aσ :

( )=

− −−−

=nq

kkka pp

nq 1

21

2

1

1~ µσ . (4.6.39)

De afleiding van de zuivere schatter ( )qc2~σ voor 2σ in plaats van de onzuivere schatter ( )qc

2σ

is minder evident (zie bijlage 9). Uiteindelijk ziet de zuivere schatter ( )qc2~σ er als volgt uit:

( ) ( )=

− −−≡nq

qkqkkc qpp

mq 22 1~ µσ , (4.6.40)

( )�

��

�

�−+−≡

nq

qqnqqmmet 11 .

Gebruik makend van deze zuivere schatters, worden de volgende schatters bekomen voor het

variantieverschil en de variantieratio:


( ) ( ) 22 ~~ac qqVD σσ −= , (4.6.41)

( ) ( )2

2

~

~

a

c qqVR

σ

σ= . (4.6.42)

De schatter ( )qVD , als het verschil van twee zuivere schatters, zal nu ook een zuivere schatter

zijn. De schatter ( )qVR zal echter wel nog altijd onzuiver zijn ten gevolge van een uitbreiding

van de ongelijkheid van Jensen. Stel namelijk dat f een strikt convexe (resp. concave) functie is

en X een univariate stochastische variabele, dan ziet de ongelijkheid van Jensen er als volgt uit:

( )[ ]XfE > (resp. <) [ ]XEf . (4.6.43)

(STUNDT B., 1993, blz. 199).

De ongelijkheid kan gemakkelijk uitgebreid worden naar multivariate variabelen. Uiteindelijk

wordt er bekomen dat de verwachtingswaarde van ( )qVR verschillend is van 1 onder de

hypothese van de RW1, terwijl deze eigenlijk gelijk moet zijn aan 1. ( )qVR is dus nog steeds

onzuiver. Niettemin zijn Lo en MacKinlay (1989) na enig onderzoek tot de conclusie gekomen

dat de testen die gebaseerd zijn op ( )qVR meer betrouwbare gevolgtrekkingen opleveren dan de

testen gebaseerd op ( )qVR (LO A. en MACKINLAY A., 1989, blz. 211).

Uiteindelijk kunnen nu de steekproefverdelingen afgeleid worden voor ( )qVD en ( )qVR onder

de RW1-hypothese.

De steekproefverdeling voor ( )qVD en ( )qVR

Om tot de steekproefverdeling voor ( )qVD te komen, zal de steekproefverdeling afgeleid

worden voor ( )( )22ac qqn σσ − . Daar deze verdeling een asymptotische verdeling is en daar

asymptotisch gezien de schatters ( )qc2σ en ( )qc

2~σ en de schatters 2aσ en 2~

aσ equivalent zijn, zal

de bekomen verdeling ook gelden voor qn ( )qVD . Vervolgens kan dan de verdeling voor

qn ( )qVR afgeleid worden via de eerste-orde Taylor benadering. De werkwijze die gevolgd

wordt, is deze van Lo en MacKinlay (1988).


Er wordt vertrokken van de schatter ( )qc2σ . Deze kan uitgedrukt worden als een lineaire

combinatie van autocovarianties. De afleiding gebeurt als volgt:

( ) ( )

( )

)44.6.4(,1

1

1

2

112

2

112

2

2

2

= =+−

= =−+−

=−

��

�=

��

��

�−−=

−−=

nq

qk

q

jjk

nq

qk

q

jjkjk

nq

qkqkkc

nq

ppnq

qppnq

q

ε

µ

µσ

µε −−= −+−+− jkjkjk ppmet 11 .

Vervolgens kan de vergelijking (4.6.44) als volgt herschreven worden:

( )= =

−

=

−

=−−−−+−−+−+−

��

�++++=

nq

qk

q

j

q

j

q

jqkkjkjkjkjkjkc

nqq

1

1

1

2

1111112

2 2221 εεεεεεεσ � . (4.6.45)

Iedere term uit (4.6.45) kan verder uitgewerkt worden. Enkel de eerste term zal uitgewerkt

worden. De afleiding van de andere termen gebeurt op een analoge manier. De uitwerking van de

eerste term gebeurt als volgt (eigen werk):

)46.6.4(.2

2

1

2

1

221

1

2

1

23

1

2

1

222

1

2

1

2

1

1

1

22

1

1

1

1

22

2

22

2

222

21

22

22

21

2

1

21

��

�−+�

��

�−−++

��

��

�−−+�

��

�−−+�

��

�−=

+++++=

+++++=

+−==+−==

−=

−

==

−

===

−

=

−

−=

+−

=

+−

=

−

−==

= =+−

=+−

=−−

== =+−

nq

qnqkk

nq

kk

nq

qnqkk

nq

kk

nq

nqkk

q

kk

nq

kknq

q

kk

nq

kk

nq

k

q

kkk

nq

qk

qnq

kk

qnq

kk

nq

qkkk

nq

qkk

nq

qk

nq

qkqk

nq

qkqk

nq

qkkk

nq

qkk

nq

qk

q

jjk

εεεεε

εεεεεεεε

εεεεε

εεεεεε

�

�

�

In iedere groepering uit (4.6.46) komt dezelfde term voor. Deze termen worden samengenomen.

De overige termen worden verder uitgewerkt:


)47.6.4(.1

1

21

1

1

21

1

2

1

2

2

2

1

21

2

21

1

2

1

21

2

21

1

2221

1

1

21

1

2

1

2

1

21

−

=++−

−

=

−

==

+−=+−=

−

=

−

=

−=

−

−=

−

=−

−

=

−

=== =+−

−+−=

−−�

��

�−−−

−��

��

�−−−�

��

�−−−=

q

kkqnq

q

kk

q

kk

nq

kk

nq

qnqkk

nq

qnqkk

q

kk

q

kk

nq

nqkk

q

qkk

q

kknqq

q

kk

q

kk

nq

kk

nq

qk

q

jjk

kkqq

q

εεεε

εεεε

εεεεεεεεε

�

(Eigen werk)

Als nu ook de andere termen uit (4.6.45) op een analoge manier uitgewerkt worden als de eerste

term en de resultaten ingebracht worden in (4.6.45) dan bekomt men het volgende voor de

schatter ( )qc2σ :

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

)48.6.4(.2

22221

12121

1

1

1

3112

322

1

211

212

1

1

21

2

1

2

2

2

=+−

−

=−+−++−−

=−

−

=+−++−−

=−

−

=++−

=

++

��

�−+−−−+

��

��

�−+−−−+

��

��

�+−−=

nq

qkqkk

q

kkqnqkqnqkk

nq

kkk

q

kkqnqkqnqkk

nq

kkk

q

kkqnqk

nq

kkc

kkqqnq

kkqqnq

kkqqnq

q

εε

εεεεεε

εεεεεε

εεεσ

�

�

�

Uit iedere groepering in (4.6.48) is enkel de eerste term relevant. De andere termen zijn namelijk

verwaarloosbaar. Uiteindelijk kan de vergelijking (4.6.48) als volgt weergegeven worden:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1222211202 −++−+−+= qqq

q

q

qc γγγγσ � , (4.6.49)

( )+=

−≡nq

jkjkk

nqjmet

1

1 εεγ .

De ( )jγ is in feite niets anders dan de geschatte covariantie zoals gedefinieerd in (4.4.5).

Definieer nu de ( )1×q vector ( ) ( ) ( )[ ]′−≡ 110 qγγγγ � . De standaard limiettheorema voor


steekproefautocovarianties van stationaire tijdsreeksen met onafhankelijke normale residuen ziet

er dan als volgt uit (FULLER W., 1976, blz. 254-257):

( ) ( )( )114

12 ,0~ eeIeqn q

a′+Ν− σσγ , (4.6.50)

waarbij 1e de ( )1×q vector [ ]′001 � en qI de identieke matrix van de q -de orde is. Gebruik

makend van (4.6.49) kan ( )( )22 σσ −qqn c nu als volgt uitgedrukt worden:

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )�

��

�−++

−+

−+−=− 122

221

120 222 q

qq

q

q

qqnqqn c γγγσγσσ �

(4.6.51)

Dit is dus een lineaire combinatie van normaal verdeelde variabelen. Via (4.6.50) en (4.6.51)

bekomt men dan de volgende steekproefverdeling voor ( )( )22 σσ −qqn c :

( )( ) ( )c

a

c Vqqn ,0~22 Ν−σσ , (4.6.52)

( ) �

��

�

�+=

��

��

�

�++

��

��

�

� −+=

q

q

qq

qVmet c

3

1

3

22212

2 44

2

4

2

4 σσσσ � .

Zoals bij de andere afleidingen van de steekproefverdelingen kan de stelling van Hausman

(1978) toegepast worden gebruik makend van (4.6.34) en (4.6.52). Uiteindelijk bekomt men dan

de verdeling voor ( )( )22ac qqn σσ − en bijgevolg ook de verdeling voor qn ( )qVD . De

asymptotische variantie voor qn ( )qVD kan via Hausman (1978) als volgt bekomen worden

(eigen werk):

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]

( )( ).

3

1122

23

1

3

22

4

22

2222

σ

σσ

σσσσ

q

qq

q

q

qnaVarqqnaVarqVDqnaVar ac

−−=

−�

��

�

�+=

−−−=��


De steekproefverdeling voor qn ( )qVD ziet er dus als volgt uit:

( ) ( )( ) ��

� −−Ν 4

31122,0~ σ

qqqqVDqn

a

. (4.6.52)

Via de eerste-orde Taylor benadering kan de steekproefverdeling voor qn ( ) �� −1qVR

bekomen worden:

( ) ( )( )��

�

� −−Ν�� −

q

qqqVRqna

3

1122,01 ~ . (4.6.53)

Vervolgens kan de gestandaardiseerde variantieratie-testwaarde ( )qψ uit (4.6.53) afgeleid

worden:

( ) ( ) ( )( ) ( )1,03

11221 ~21

Ν�

��

�

� −−��

�� −=

−a

q

qqqVRqnqψ . (4.6.54)

De test voor de RW1 bestaat er dan ook in om de testwaarde ( )qψ te berekenen voor een zekere

tijdsreeks en te kijken of de testwaarde in het 95% betrouwbaarheidsinterval [ ]96.1;96.1− ligt.

Indien de testwaarde in het interval ligt, wordt de RW1-hypothese aanvaard.

Ten slotte zou er nog op een analoge manier als in sectie 4.6.2 kunnen aangetoond worden dat de

verdelingen (4.6.52) en (4.6.53) eigenlijk equivalent zijn zodat ze dezelfde resultaten zullen

opleveren.


De test met de variantieratios zal nu uitgevoerd worden op het aandeel UCB en de Bel20-index.

Er wordt gebruik gemaakt van de verdeling (4.6.54) omdat deze verdeling de beste benadering

is. De variantieratios worden berekend op basis van de zuivere schatters voor 2σ , weergegeven

in (4.6.39) en (4.6.40), en dit voor de rendementen over 2, 4 en 8 perioden. De testwaarde ( )qψ

wordt weergegeven tussen vierkante haakjes. Indien deze testwaarde in het interval [ ]96.1;96.1−


ligt, dan wordt de RW1 aanvaard met een betrouwbaarheid van 95%. De resultaten van de test

zijn weergegeven in tabel 7.

De bekomen resultaten zijn volledig in overeenstemming met de resulataten van de

autocorrelatie-test. Dit was te verwachten daar de variantieratios een lineaire combinatie zijn van

de autocorrelaties. De variantieratios voor de daggegevens van het aandeel UCB zijn significant

kleiner dan 1, wat opnieuw wijst op een (kleine) negatieve afhankelijkheid tussen de dagelijkse

rendementen. Voor de week- en maandgegevens kan de RW1 met grote zekerheid aanvaard

worden. De wekelijkse en maandelijkse rendementen hebben dus statistisch insignificante

autocorrelaties (zie tabel 4, blz.80).

Tabel 7: De variantieratios voor dagelijkse, wekelijkse en maandelijkse rendementen (RW1).


grootte( )2VR ( )[ ]2ψ ( )4VR ( )[ ]4ψ ( )8VR ( )[ ]8ψ

UCB Dag 6824 0.97 [-2.30]* 0.92 [-3.34]* 0.88 [-3.29]*

Week 1364 0.95 [-1.77] 0.97 [-0.64] 1.00 [0.04]

Maand 313 1.02 [0.36] 1.07 [0.69] 1.21 [1.27]

Bel20-index Dag 6824 1.15 [12.73]* 1.26 [11.40]* 1.37 [10.26]*

Week 1364 1.07 [2.69]* 1.28 [5.58]* 1.46 [5.75]*

Maand 313 1.14 [2.50]* 1.14 [1.28] 1.06 [0.37]* geeft aan dat de variantieratio significant verschillend is van 1 voor een 95%-betrouwbaarheidsinterval.


Net zoals bij de vorige testen wordt de RW1 met grote zekerheid verworpen voor de Bel20-index

wat betreft de dagen weekgegevens. Dit was te verwachten gezien de sterke positieve

autocorrelaties tussen de rendementen (zie tabel 4, blz. 80). De dagelijkse en de wekelijkse

rendementen lijken dus voor een deel voorspelbaar te zijn. De verwerping van de RW1 is wel

sterker voor de daggegevens. Opnieuw bestaat er twijfel omtrent het aanvaarden van de RW1

voor de maandgegevens van de Bel20-index. De variantieratio is significant groter dan 1 voor

tweevoudige rendementen. De variantieratios voor de vier- en achtvoudige rendementen zijn

daarentegen niet significant verschillend van 1. Er kan dus niet met zekerheid gezegd worden dat

de RW1 niet geldig is voor de maandgegevens. Algemeen kan er wel gesteld worden voor de

Bel20-index dat de graad van voorspelbaarheid afneemt naarmate de tijdseenheid groter wordt

De testen voor de RW1 zijn volledig besproken. Er kan nu overgegaan worden tot de bespreking

van de testen voor de RW2


5 De Testen van de “Random Walk” 2In hoofdstuk 2 is er reeds uiteengezet dat de veronderstelling van identieke verdelingen

onwaarschijnlijk is bij financiële tijdsreeksen over verschillende decennia. Het zou dan ook

jammer zijn om de “random walk” te verwerpen omwille van het feit dat de rendementen niet

identiek verdeeld zijn, in het bijzonder omwille van de aanwezigheid van heteroscedaticiteit in

de tijdsreeksen van de aandelenprijzen. De RW2 zal wel toelaten dat de volatiliteiten variëren

doorheen de tijd. De test voor de RW2 bestaat er dan ook in om de hypothese van onafhankelijke

prijsveranderingen of rendementen te testen zonder de veronderstelling te maken dat de

prijsveranderingen identiek verdeeld zijn.

Er zullen twee onderwerpen besproken worden die kunnen gezien worden als een economische

test voor de RW2:

• De technische analyse.

• De filterregels.

De filterregels zijn eigenlijk een onderdeel van de bredere klasse van handelsregels die ontstaan

uit de technische analyse (CAMPBELL J. et al., 1997, blz. 43).

In dit hoofdstuk zal er een economische beschrijving gegeven voor de testen van de RW2

zonder dat er een testwaarde en een kansverdeling afgeleid worden.

5.1 De Technische Analyse

De technische analyse is het analyseren van patronen in de aandelenmarkt. Terwijl de financiële

analisten het er over eens zijn dat de onderliggende economische feiten en verbanden belangrijk

zijn, zijn er anderen die geloven dat het historische verloop van aandelenprijzen patronen bevat

die het mogelijk maken om het toekomstige verloop van de prijzen te voorspellen, enkel als deze

patronen op de juiste manier kunnen begrepen worden.46 De “technician” zal dus de grafieken

van de prijzen bestuderen vandaar dat de technische analyse ook wel “charting” genoemd wordt,

d.i. het lezen van grafieken. De technische analist bestudeert het verloop van de prijsbewegingen

uit het verleden om indicaties af te leiden omtrent de prijsbewegingen in de nabije toekomst. Hij

zal hierbij vaak proberen een reeks te simuleren die zoveel mogelijk overeenkomt met de

tijdsreeks van de aandeelprijzen en zal dan op basis van de gesimuleerde reeks voorspellingen

doen over het toekomstige verloop van de aandelenprijzen (ROBERTS H., 1959, blz. 7).

46 Vaak kunnen er tijdspatronen geobserveerd worden in de tijdsreeks van de aandelenprijzen. Het is namelijk zo dathet rendement op maandag vaak kleiner is dan op andere dagen. De maand januari levert dan meestal weer hogererendementen op dan de andere maanden (ELTON E. en GRUBER M., 1995, blz. 411-412).


Economische verklaring

De technische analist heeft een speciaal talent in het detecteren van afhankelijkheden in de

tijdsreeksen van de prijsveranderingen van individuele aandelen. De analist gelooft erin dat de

marktprijzen van de aandelen slechts traag en over lange perioden reageren op nieuwe

informatie. Hij zegt dus dat de prijzen slechts geleidelijk naar hun nieuwe intrinsieke waarde

bewegen zodat de prijsbewegingen de tendens hebben om te volharden d.i. wanneer prijzen

gestegen zijn in het recente verleden, dan kan er verwacht worden dat ze zullen doorgaan met

stijgen in de nabije toekomst. Er zal dan ook een zekere afhankelijkheid zijn tussen de

opeenvolgende prijsveranderingen. Deze trage aanpassing staat in contrast met de theorie van de

efficiënte markten die stelt dat de prijzen zich volledig en direct aanpassen wanneer er nieuwe

informatie beschikbaar komt (zie inleiding). Daarenboven zegt de technische analist dat de

reactie van de marktprijzen op nieuwe informatie zo traag is dat er geen rekening hoeft gehouden

te worden met de informatie zelf. Door het bestuderen van de patronen in de opeenvolging van

de prijzen uit het verleden, kan men leren hoe de prijzen van een aandeel lijken te reageren op

nieuwe informatie. De patronen in de prijsopeenvolgingen zullen dan sterk genoeg zijn en zullen

frequent genoeg optreden zodat het voor het getrainde oog mogelijk wordt om de toekomstige

prijsbeweging van het aandeel te voorspellen op basis van de recente prijsbeweging uit het

verleden en op basis van de kennis van de typische patronen in het prijsgedrag van het aandeel.

Afhankelijkheid tussen de prijsveranderingen maakt het dus mogelijk om voorspellingen te doen

op basis van de geobserveerde patronen (FAMA E., 1977, blz. 140-141).

Indien de RW2 echter geldig is, zullen de opeenvolgende prijsveranderingen onafhankelijk zijn

van elkaar. In dit geval zal het lezen van grafieken geen winstgevende activiteit meer zijn. Er kan

dan niets meer geleerd worden over de toekomstige prijsveranderingen door te kijken naar het

verloop van de vroegere prijsveranderingen. Het kopen van een aandeel op basis van signalen

afgeleid uit een grafiek, zal geen betere resultaten opleveren dan deze van het gooien van een

muntstuk waarbij munt een positieve prijsverandering en kop een negatieve prijsverandering

voorstelt. De test van de RW2 bestaat er dan ook in om na te gaan of het mogelijk is om, via het

bestuderen van de patronen in het verloop van de aandelenprijzen, een hogere winst te bekomen

dan verwacht onder de RW2-hypothese (COOTNER P., 1962, blz. 232).

Het kansmodel

De link kan nu gelegd worden met het kansmodel uit hoofdstuk 1 (blz. 4-5). Zoals het

onmogelijk is bij het spelen van het kansspel roulette, om een strategie te hebben die zeker leidt

tot winst, is het onmogelijk om een strategie op te bouwen op basis van het verloop van de


prijzen van aandelen die een “random walk” volgen, die zeker leidt tot winst. Het kansmodel kan

het verleden slechts nabootsen zoals een avond gokken in het casino een andere avond nabootst.

Stel nu dat de prijsveranderingen toch afhankelijk zijn van elkaar. De technische analist zal dan

handelen in functie van deze afhankelijkheid. Indien er nu voldoende analisten zijn die dit doen,

dan zullen zij ervoor zorgen dat de prijs voldoende snel naar zijn nieuwe intrinsieke waarde stijgt

zodat de afhankelijkheid zal verdwijnen. Dit is dan ook de verklaring van de aanhangers van de

“random walk” die stellen dat de prijzen van de aandelen een “random walk” volgen (ROBERTS

H., 1959, blz. 12).

Niet-lineaire onafhankelijkheid

De meeste testen van de “random walk”, zoals de autocorrelatie-test en de test met de

variantieratios, gaan na of er lineaire afhankelijkheid is tussen de opeenvolgende

prijsveranderingen. Indien deze laatsten lineair onafhankelijk zijn dan wordt de “random walk”-

hypothese aanvaard. De lineaire verbanden die door het autocorrelatie-test nagegaan worden,

zijn echter veel te ongesofisticeerd om de gecompliceerde patronen te identificeren die de

technische analist afleidt uit de grafieken van de aandelenprijzen.47 Er kan namelijk sprake zijn

van niet-lineaire afhankelijkheid die door de gewone statistische testen niet kan gedetecteerd

worden. De technische analist zal dus nood hebben aan een meer gesofisticeerde methode die de

niet-lineaire afhankelijkheid wel kan detecteren zodoende dat ze kunnen handelen in functie van

deze afhankelijkheid om een hogere winst te bekomen. Dus zelfs als de autocorrelaties gelijk zijn

aan 0, kunnen er types van niet-lineaire afhankelijkheid bestaan die tot winstgevende

handelssystemen leiden door de patronen te bestuderen. Hierdoor is het wenselijk om direct de

winstgevendheid van verschillende handelsregels te testen (FAMA E. en BLUME M., 1966, blz.

227) (FAMA E., 1965, blz. 80)

Een voorbeeld van zo’n handelsregel is de filterregel die door Alexander (1961) opgesteld werd.

De filterregel wordt in het volgende deel besproken.

5.2 De Filterregels

Alexander was met zijn filterregel de eerste die een test voor aandelenprijzen opstelde die niet-lineaire afhankelijkheid kan onderscheiden tussen opeenvolgende prijsveranderingen. Dat wasdan ook de belangrijkste reden om de filterregel te bestuderen. De prijsveranderingen zijn

47 Merk op dat testen zoals de runs-test en Cowles-Jones test ook veel te ongesofisticeerd zijn daar zij enkelrekening houden met het teken van de prijsveranderingen en niet met de grootte van de prijsveranderingen. Voor detechnische analist zal de grootte van de prijsveranderingen natuurlijk zeer belangrijk zijn.


namelijk zo gecompliceerd dat gewone statistische instrumenten misleidende resultaten kunnenopleveren over de graad van afhankelijkheid in de data (COOTNER P., 1964, blz.189).De x% filter van Alexander (1961) luidt als volgt. Als de sluitingsprijs van een bepaald aandeelten minste x% hoger is dan het vorige minimum, koop en hou het aandeel totdat de prijs tenminste x% lager is dan het vorige maximum. Verkoop dan het aandeel en “go short”. Dezepositie wordt dan behouden totdat de sluitingsprijs opnieuw x% percent hoger is dan het vorigeminimum. Het aandeel wordt dan terug aangekocht. Prijsbewegingen van minder dan x%worden dus genegeerd (FAMA E., 1965, blz. 81).Alexander heeft de filtertechniek geformuleerd om de overtuiging van vele markt professionelente testen dat de prijzen zich slechts geleidelijk aanpassen aan nieuwe informatie (zie sectie 5.1).Als de prijs met x% stijgt, ten gevolge van nieuwe positieve informatie, dan is het zeerwaarschijnlijk dat de prijs uiteindelijk met meer dan x% zal stijgen vooraleer ze terug zal dalen.Door het toepassen van de x% filter kan er dan een rendement gehaald worden op de stijgendeprijsbeweging. Hetzelfde principe geldt ook bij een daling van de prijs ten gevolge van negatieveinformatie. Door het aandeel “short” te verkopen kan er dan geprofiteerd worden van deneergaande beweging (FAMA E. en BLUME M., 1966, blz. 228).

De RW2-test

Hoe kan men nu weten door middel van de filtertechniek wanneer de “random walk” geldig is?Wel, voor het RW2-model zonder drift is een positieve prijsverandering even waarschijnlijk alseen negatieve prijsverandering. De prijsveranderingen zijn daarenboven onafhankelijk vanelkaar. Er kan dan ook verwacht worden dat de filter van Alexander geen winsten zal opleveren.Dus als de x% filter, toegepast op een bepaald aandeel, geen winsten oplevert, dan kan menverwachten dat het aandeel een RW2 volgt zonder drift (ALEXANDER S., 1964, blz.347).Als er een drift aanwezig is in het RW2-model, dan zal de waarschijnlijkheid op een positieveprijsverandering niet gelijk zijn aan de waarschijnlijkheid op een negatieve prijsverandering. Erkan dan ook verwacht worden dat de filter een winst verschillend van 0 zal opleveren bij eenRW2-model met drift. Dus als de filter een positieve winst oplevert, hoeft dit niet noodzakelijk teimpliceren dat het RW2-model niet geldig is. De winst van de filter kan dan vergeleken wordenmet de winst van een “buy-and-hold” strategie.48 Indien de RW2 geldig is, dan kan er verwachtworden dat de winst van een x% filter kleiner zal zijn dan de winst van de “buy-and-hold”strategie. Het is wel zo dat hoe groter de filter is, hoe meer de winst van de filter zalovereenkomen met de winst van de “buy-and-hold” strategie eens het aandeel gekocht is.Niettemin zal de winst toch kleiner zijn dan deze van de “buy-and-hold” strategie. Daarnaast zal

48 Met een “buy and hold” strategie wordt bedoeld dat het aandeel aan het begin van de periode gekocht wordt enverkocht wordt aan het einde van de periode waarop de filter toegepast wordt.


de winst van een filter ook meer en meer de winst van de “buy-and-hold” strategie benaderennaarmate de drift groter wordt (ALEXANDER S., 1961, blz. 217).Fama (1965) en Fama en Blume (1966) hebben een gedetailleerde empirische analyse gedaan inverband met de filterregels. Zij kwamen tot de conclusie dat enkel de winst van de kleinste filtersgroter is dan de winst van een “buy-and-hold” strategie. Hieruit zou er kunnen besloten wordendat er een zekere afhankelijkheid is tussen opeenvolgende prijsveranderingen. Indien er echterrekening gehouden wordt met de transactiekosten (b.v. de commissie-kosten) die verbonden zijnaan het verhandelen van aandelen dan zou de winst volledig geëlimineerd zijn. Bij een kleinefilter zullen de transactiekosten namelijk zeer hoog oplopen omdat het aandeel frequent moetverhandeld worden. Dus indien de transactiekosten in rekening worden gebracht, zou er kunnengeconcludeerd worden dat de RW2 geldig is (CAMPBELL J. et al. , 1997, blz. 42-43).

Enkele bedenkingen

Alexander (1964) stelde wel dat zowel de commissie-kosten als de winsten van de “buy-and-hold” strategie niet relevant zijn bij het testen van de “random walk”.Ten eerste, wat betreft de commissie-kosten redeneert hij als volgt. Stel dat het proces van deprijsveranderingen voorgesteld wordt als het gooien van een muntstuk waarbij munt leidt tot eenpositieve prijsverandering van 1 euro en kop tot een negatieve prijsverandering van 1 euro. Bijiedere worp wordt er een commissie aangerekend van 10 cent. Na 100 maal de munt gegooid tehebben, kan er verwacht worden dat de prijs niet veranderd is, daar het even waarschijnlijk is datde prijs zal stijgen als dat hij zal dalen. Door het betalen van de commissies zou er toch eenverlies zijn van 10 euro. Het zou nu niet realistisch zijn om te zeggen dat de munt imperfectiesvertoont omdat er verlies geleden is van 10 euro.Stel nu dat een aandeel een “random walk” volgt zonder drift. Er kan dan verwacht worden datde filter een winst zal opleveren van 0. Door het betalen van de commissies zal er evenwel eenverlies geleden worden. Het zal dan ook niet realistisch zijn om de “random walk” te verwerpenomdat de winst niet gelijk is aan nul.Ten tweede is de vergelijking met de “buy-and-hold” strategie ook niet relevant. Het is namelijkgoed mogelijk dat de “random walk” niet geldig is en dat de filter toch een winst oplevert diekleiner is dan de winst van de “buy-and-hold” strategie. Het is de vergelijking van degeobserveerde winst van de filter en de “verwachte“ winst van de filter onder de “random walk”-hypothese die relevant is (ALEXANDER S., 1964,.blz. 351-352). De test voor de RW2 zal erdan ook in bestaan om de geobserveerde winst te vergelijken met de “verwachte” winst.

Er wordt geen empirsch onderzoek uitgevoerd voor de filterregels daar de Beurs van Brusselgeen “short sale” toelaat. Daarenboven zal interessanter zijn om de RW3 te testen i.p.v. de RW2omdat deze eerste beter bij de realiteit aansluit. Dit gebeurt in het volgende deel.


6 De Testen van de “Random Walk” 3Er is een groeiende consensus onder financiële economisten dat de volatiliteiten van de

prijsveranderingen geleidelijk variëren doorheen de tijd. Dit impliceert dan dat er sprake zal zijn

van heteroscedasticiteit in de tijdsreeks van de prijsveranderingen en dat de opeenvolgende

prijsveranderingen afhankelijk zullen zijn van elkaar. Het zal namelijk mogelijk zijn om de

grootte van de toekomstige prijsverandering te voorspellen op basis van de recente

prijsveranderingen. Het RW3-model houdt hier rekening mee. Het RW3-model laat dus toe dat

er heteroscedasticiteit is en dat de prijsveranderingen afhankelijk zijn van elkaar. Het RW3-

model zal dan ook een betere beschrijving bieden voor de geobserveerde prijsveranderingen van

de aandelen. De RW3 impliceert wel dat de prijsveranderingen of rendementen ongecorreleerd

zijn. Niettegenstaande men eventueel de grootte van de prijsveranderingen kan voorspellen van

tijdsreeksen die een RW3 volgen, er zal niet kunnen voorspeld worden in welke richting de

toekomstige prijsverandering zal bewegen indien de prijsveranderingen ongecorreleerd zijn. De

test voor de RW3 bestaat er dan ook in om na te gaan of de opeenvolgende prijsveranderingen al

dan niet ongecorreleerd zijn (FAMA E., 1965, blz. 85).

Er worden drie testen besproken die de geldigheid van het RW3-model kunnen nagaan:

1) De variantieratios.

2) De autocorrelatie-test.

3) De Portmanteau statistieken.

De eerste test die aan bod komt, is de test in verband met de variantieratios.

6.1 De Variantieratios

De variantieratios zijn reeds gedefinieerd in sectie 4.6. Ze zijn in feite niets anders dan de

verhouding van de variantie van het rendement over een meervoudige periode en de som van de

varianties over de enkelvoudige perioden.49 Indien de RW1 geldig is, dan is de variantieratio niet

significant verschillend van 1. Wat zal nu de invloed zijn van de heteroscedasticiteit en de

afhankelijkheid op de variantieratios? Wel als het RW3-model geldig is, dan zullen de

variantieratios convergeren naar 1 in waarschijnlijkheid, zelfs met heteroscedastische schokken.

Zolang de residuen ongecorreleerd zijn, zal de variantie van de som van de residuen (of

rendementen) nog altijd gelijk zijn aan de som van de varianties van de residuen (of

49 Er zal opnieuw vertrokken worden van het logaritmische “random walk”-model zodat er gewerkt wordt met(continu samengestelde) rendementen in plaats van met prijsveranderingen.


rendementen) en bijgevolg zullen de variantieratios gelijk zijn aan 1 onder de RW3-hypothese.50

De eigenschap van lineariteit onder de RW1 is echter moeilijk houdbaar bij het RW3-model daar

de variantie van de residuen kan variëren doorheen de tijd. De variantie van de residuen is dus

geen lineaire functie van het tijdsinterval onder de RW3. Zolang de varianties van de residuen

echter eindig zijn en de gemiddelde variantie naar een eindig positief getal convergeert, zullen de

variantieratios convergeren naar 1 onder de RW3-hypothese (LO A. en MACKINLAY A., 1989,

blz. 208).

Het modelleren van heteroscedasticiteit en afhankelijkheid

In het volgende deel zal de steekproefverdeling voor de variantieratios afgeleid worden. De

moeilijkheid zal zijn om de variantie van de variantieratios te bepalen. Het is namelijk zo dat de

asymptotische variantie van de variantieratios zal afhangen van het type en de graad van de

aanwezige heteroscedasticiteit en de afhankelijkheid. Door echter de graad van heterogeniteit en

afhankelijkheid te controleren, is het mogelijk om consistente schatters te bekomen voor de

asymptotische variantie. Lo en MacKinlay (1988) hebben een model voor de RW3 opgesteld dat

toelaat om de heterogeneteit en de afhankelijkheid te contoleren. Het model bestaat uit de

vergelijking ttr εµ += en uit de volgende samengestelde nulhypothese *0H :51

( ) [ ][ ] .00

,01≠=

=Η

− τεεε

τ iederevoorEtiederevoorE

tt

t

( ) { } ( ) ( )( ) ( )

( )[ ] .0

,0,1,1122

2 ∞<∆<>

≥>−−−−Η

+−

δτεεδ

τααφφε

rtt

t

Ezodatbestaateener

iederevoorentiederevoordatzodanigenrdatwaarbijrrgroottedevanmtencoëfficiënmetmixingisof

rrgroottedevanmtencoëfficiënmetmixingis

( ) [ ] .1lim31

22

=∞→∞<=Η

nq

ttnq

Enq

σε

( ) [ ] .0004 kjwaarbijkenjiederevoorentiederevoorE kttjtt ≠≠≠=Η −− εεεε

De voorwaarde ( )1Η is de eigenschap van de RW3 dat de residuen ongecorreleerd zijn met een

verwachtingswaarde 0. Dit moet uiteindelijk getest worden om de geldigheid van de RW3 na te

50 Ook voor de RW2 zou de dezelfde redenering kunnen gevolgd worden.51 Bij het opstellen van de nulhypothese hebben Lo en MacKinlay (1988) gebruik gemaakt van de “mixing” en“moment” condities zoals deze door White (1980) en White en Domowitz (1984) opgesteld zijn.


gaan. Met de voorwaarde ( )2Η wordt er een beperking gelegd op de maximum toegelaten

afhankelijkheid tussen de residuen. De voorwaarde ( )3Η wordt ingevoerd om een beperking te

leggen op de maximum toegelaten heterogeniteit. De voorwaarden ( )2Η en ( )3Η zijn zodanig

geformuleerd dat het nog mogelijk is om gebruik te maken van de centrale limietstelling. Ten

slotte impliceert voorwaarde ( )4Η dat de steekproefautocorrelaties van de residuen tε

asymptotisch ongecorreleerd zijn. Deze voorwaarde wordt ingevoerd om de afleiding van de

verdeling voor de variantieratios simpeler te maken. Het is namelijk zo dat als men de variantie

moet afleiden van de variantieratio, die een lineaire combinatie is van autocorrelaties, de

afleiding veel gemakkelijker zal zijn indien de autocorrelaties ongecorreleerd zijn. Deze

voorwaarde zou eventueel weggelaten kunnen worden waardoor het noodzakelijk zou zijn om de

asymptotische covarianties te schatten van de schatters van de autocorrelaties om de variantie

van de variantiesratios af te leiden (LO A. en MACKINLAY A., 1989, blz. 208-209).

Algemeen kan er dus gezegd worden dat de samengestelde nulhypothese *0H veronderstelt dat

de prijzen tp ongecorreleerde residuen bezitten waarbij enkele algemene vormen van

heteroscedasticiteit en een zekere afhankelijkheid toegelaten zijn. Het ARCH-proces is een

voorbeeld van een proces dat voldoet aan de nulhypothese *0H . Daarnaast wordt in *

0H niet de

veronderstelling gemaakt dat de residuen normaal verdeeld moeten zijn. Dit is een belangrijk

gegeven aangezien de aandelenrendementen empirische afwijkingen vertonen van de normaliteit.

Er worden echter wel geen verdelingen toegelaten met een oneindige variatie zoals de stabiele

Pareto-verdelingen (CAMPBELL J. et al., 1997, blz. 54).

De steekproefverdeling van )(qVR onder de RW3

Vervolgens kan nu de steekproefverdeling afgeleid worden voor de schatter )(qVR van de

variantieratio )(qVR zodat er kan getest worden of de variantieraitos al dan niet significant

verschillend zijn van 1.52 De werkwijze die gevolgd wordt, is opnieuw deze van Lo en

MacKinlay (1988).

Eerst kan, gebruik makend van (4.6.6), de schatter )(qVR als volgt gedefinieerd worden:

52 Merk op dat de verdeling zal bepaald worden van de schatter van de variantieratio die gebaseerd is op de zuivereschatters 2~

aσ en ( )qc2~σ voor de variantie 2σ , gedefinieerd in (4.6.39) en (4.6.40).


( ) ( )−

=

��

�−+=

1

1

121q

k

ak

qkqVR ρ , (6.1.1)

waarbij dat ( )kρ de geschatte k-de orde autocorrelatie is van de rendementen tr , zoals

gedefinieerd in (4.4.6).

Vervolgens kan uit (6.1.1) afgeleid worden dat de testwaarde )(qVR -1 naar nul zal convergeren

voor alle q indien n oneindig groot wordt (zie bijlage 10). De asymptotische

verwachtingswaarde van )(qVR -1 is dus gelijk aan 0.

Daarnaast kan ook de asymptotische variantie van )(qVR -1 afgeleid worden uit (6.1.1). Stel dat

kδ de asymptotische variantie is van elk van de ( )kρ ’s. Daar uit ( )4Η volgt dat de schatters

( )kρ voor de autocorrelatiecoëfficiënten asymptotisch ongecorreleerd zijn, kan er uit (6.1.1)

afgeleid worden dat de asymptotische variantie ( )qθ van )(qVR een gewogen som is van de

kδ ’s waarbij de gewichten het kwadraat zijn van de gewichten uit (6.1.1). Lo en MacKinlay

(1988) formuleerden de volgende heteroscedasticiteit-consistente schatter kδ voor kδ :

( ) ( )( )

22

1 1

21

2

1 1

�� −−

−−−−=

= −

−−−+= −

nq

j jj

kjkjnq

kj jjk

pp

pppp

µ

µµδ . (6.1.2)

Intuïtief kan deze schatter bekomen worden door de regressie uit te voeren van het rendement tr

op een constante en het k-de vertraagde rendement ktr − . De geschatte coëfficiënt van ktr − is dan

de autocorrelatiecoëfficiënt van de k-de orde en de variantie van de geschatte coëfficiënt is dan

gelijk aan de schatter kδ . De geschatte autocorrelatiecoëfficiënt ( )kρ is dan eigenlijk

asymptotisch normaal verdeeld met verwachtingswaarde 0 en variantie kδ (zie sectie 6.2).

Gebruik makend van (6.1.2), kan de heteroscedasticiteit-consistente schatter ( )qθ voor de

variantie ( )qθ van de variantieratio )(qVR afgeleid worden uit (6.1.1) en ziet er als volgt uit:

( )−

=

�

��

�

�−≡

1

1

2

14q

kk

q

kq δθ . (6.1.3)


Uit (6.1.1) kan er nu afgeleid worden dat )(qVR een gewogen som is van de asymptotisch

normaal verdeelde variabelen ( )kρ zodat )(qVR ook asymptotisch normaal verdeeld zal zijn.

Uiteindelijk kan de steekproefverdeling voor )(qVR dan als volgt weergegeven worden (eigen

werk):

( )( )

( )( )1,0

1~Ν

�� −

=∗a

q

qVRq

θψ (6.1.4)

Deze verdeling kan dan, ondanks de aanwezigheid van heteroscedasticiteit, gebruikt worden om

de geldigheid van de RW3 na te gaan. Als de testwaarde ( )q∗ψ binnen het 95%

betrouwbaarheidsinterval valt, dan kan de RW3 aanvaard worden.

6.2 De Autocorrelatie-Test

De test voor de RW3 bestaat er eigenlijk in om na te gaan of de rendementen ongecorreleerd zijn

voor alle vertragingen. Indien de RW3 geldig is zullen alle rendementen ongecorreleerd zijn. Een

directe test hiervoor zal er dan ook in bestaan om de autocorrelatiecoëfficiënten te berekenen

voor verschillende vertragingen en na te gaan of ze gelijk zijn aan nul. Een steekproefverdeling

voor de autocorrelatiecoëfficiënten is opnieuw noodzakelijk (CAMPBELL J., 1997, blz. 44). In

sectie 4.4 werd reeds de steekproefverdeling voor de autocorrelatiecoëfficiënten opgesteld onder

de RW1-hypothese (zie (4.4.22)). Gebruik makend van deze verdeling en (6.1.2), kan de

verdeling voor de autocorrelatiecoëfficiënten onder de RW3, als volgt weergegeven worden

(eigen werk):

( ) ( )1,0~ Νa

k

k

δρ . (6.2.1)

Op basis van deze steekproefverdeling kan de geldigheid van de RW3 gemakkellijk nagegaan

worden (LO A en MacKinlay A, 1989, blz. 210).


6.3 De Portmanteau Statistieken

Een derde test voor de RW3 bestaat erin om een Box-Pierce testwaarde op te stellen die rekening

houdt met de heteroscedasticiteit. Gebruik makend van (6.1.2), kan deze Box-Pierce testwaarde

mQ~ als volgt voorgesteld worden:

( )=

=m

k k

mkQ

1

~

δρ . (6.3.1)

Uit (6.2.1) volgt nu onmiddellijk dat de testwaarde mQ~ asymptotisch 2χ -verdeeld is met m

vrijheidsgraden. De test voor de RW3 kan dan ook uitgevoerd worden door middel van deze

verdeling (LO A. en MACKINLAY A, 1989, blz. 210-211).

6.4 Empirisch Onderzoek

De drie bekomen testen voor de RW3 worden nu toegepast op het aandeel UCB en de Bel20-

index. De test met de variantieratios wordt uitgevoerd voor tweevoudige en viervoudige

rendementen. Er wordt gebruik gemaakt van de verdeling (6.4.1) om de geldigheid van de RW3

na te gaan. De resultaten zijn weergegeven in tabel 8. De testwaarde ( )q∗ψ bevindt zich tussen

de vierkante haakjes. De variantieratios voor de week- en maandgegevens van het aandeel UCB

zijn niet significant verschillend van 1. De RW3 mag dus aanvaard worden. Dit was te

verwachten daar de wekelijkse en de maandelijkse rendementen ook voldoen aan de

veronderstellingen van de RW1 en als de rendementen onafhankelijk zijn dan zullen ze ook

ongecorreleerd zijn. Voor de daggegevens lijkt er enige twijfel te bestaan omtrent het al dan niet

aanvaarden van de RW3. De testwaarde ( )q∗ψ voor 4=q is lichtjes significant. De andere

testen kunnen hier meer uitsluitsel over geven.

Voor de daggegevens van de Bel20-index kan de RW3 met grote waarschijnlijkheid verworpen

worden. De RW3 wordt ook verworpen voor de weekgegevens, zij het dat de resultaten minder

uitgesproken zijn. Dus algemeen kan er gesteld worden dat zowel de RW1 als de RW3

verworpen wordt voor de dagen weekgegevens van de Bel20-index. De rendementen zijn dus

positief gecorreleerd. De dagelijkse en wekelijkse rendementen lijken voor een deel voorspelbaar

te zijn.


Tabel 8: De variantieratios voor de dagelijkse, wekelijkse en maandelijkse rendementen (RW3).


grootte( )2VR ( )[ ]2∗ψ ( )4VR ( )[ ]4∗ψ

UCB Dag 6824 0.97 [-1.39] 0.92 [-2.05]*

Week 1364 0.95 [-1.42] 0.97 [-0.52]

Maand 313 1.02 [0.34] 1.07 [0.61]

Bel20-index Dag 6824 1.15 [6.09]* 1.26 [5.32]*

Week 1364 1.07 [1.79] 1.28 [3.70]*

Maand 313 1.14 [2.01]* 1.14 [1.11]* geeft aan dat de variantieratio significant verschillend is van 1 voor een 95%-betrouwbaarheidsinterval.


Net zoals bij de RW1, bestaat er ook twijfel omtrent het aanvaarden van de RW3 voor de

maandgegevens van de Bel20 index.

Vervolgens kan er ook gekeken worden naar de autocorrelaties en de Portmanteau Statistieken.

Er wordt gebruik gemaakt van (6.2.1) en (6.3.1) om de significantie na te gaan. De resultaten van

beide testen zijn weergegeven in tabel 9. Er kunnen enkele verschillen opgemerkt worden met de

test van de variantieratios. De autocorrelaties van de dagelijkse rendementen van het aandeel

UCB zijn niet significant voor één tot vier vertragingen. Ook de Portmanteau testwaarde 5~Q is

niet significant. Dit was niet het geval voor de testen van de RW1. Dit wijst erop dat de

dagelijkse rendementen ongecorreleerd zijn, maar niet voldoen aan de veronderstellingen van de

Tabel 9: Autocorrelatie-test voor dagelijkse, wekelijkse en maandelijkse rendementen (RW3).


grootte( )1ρ ( )2ρ ( )3ρ ( )4ρ 5

~Q

UCB Dag 6824 -0.028 -0.027 -0.015 -0.014 5.43

Week 1364 -0.049 0.027 0.025 -0.003 4.27

Maand 313 0.014 0.028 0.009 0.017 0.52

Bel20-index Dag 6824 0.154* 0.029 -0.004 0.015 40.80**

Week 1364 0.072 0.130* 0.084* 0.006 17.75**

Maand 313 0.136 -0.054 -0.050 -0.055 6.37* geeft aan dat de autocorrelatiecoëfficiënt twee maal zijn standaardafwijking is en bijgevolg significant is.** geeft aan dat de Q -statistiek significant is voor het 95%-betrouwbaarheidsinterval(Eigen werk; Microsoft Word)


RW1. Uit het verloop van de rendementen (zie bijlage 6) kan er afgeleid worden dat de

volatiliteiten veranderen doorheen de tijd. Er zijn perioden met grote volatiliteit en perioden met

een kleine volatiliteit. De verklaring voor het verwerpen van de RW1 is dus de aanwezigheid van

heteroscedasticiteit in het proces dat de dagelijkse rendementen genereert.

Dezelfde conclusies kunnen getrokken worden voor de maandelijkse rendementen van de Bel20-

index. Op basis van de autocorrelaties en de Portmanteau statistieken kan de RW3 verworpen

worden. Dit was niet het geval voor de RW1.

Niettemin kan er toch besloten worden dat de resultaten voor de RW1 en de RW3 niet zo ver uit

elkaar liggen.

Besluit 119

BesluitZijn de prijsveranderingen van de aandelen voorspelbaar? Via de testen voor de RW1 en de

RW3 werd geprobeerd om tot een besluit te komen. Vooraleer de testen uitgevoerd werden, was

men er reeds van overtuigd dat het RW3-model beter het proces van de aandelenprijzen zou

beschrijven. De veronderstellingen van de RW1 dat de prijsveranderingen onafhankelijk en

identiek verdeeld zijn, lijken niet echt realistisch. Er is namelijk vaak opgemerkt dat de

volatiliteiten van de aandelen over een lange tijdsperiode geleidelijk variëren doorheen de tijd.

De prijsveranderingen zijn dan niet identiek verdeeld zijn en kunnen zelfs afhankelijk zijn van

elkaar daar men eventueel de grootte van de prijsverandering kan voorspellen.

De veronderstelling van de RW3 dat de prijsveranderingen ongecorreleerd zijn , lijkt meer

plausibel. Uit het onderzoek dat uitgevoerd werd op het individueel aandeel UCB en de Bel20-

index, volgt er echter dat de resultaten van de testen voor RW1 en de resultaten voor de RW3

niet significant verschillend zijn van elkaar. Dit wijst erop dat de veranderende volatiliteiten

doorheen de tijd niet als oorzaak naar voor kan gebracht worden voor het verwerpen van de

RW1. Dit lijkt strijdig te zijn met de realiteit. De verklaring voor deze schijnbare inconsistentie

ligt voor de hand. De testen voor de “random walk” zijn namelijk uitgevoerd voor de

logaritmische prijzen omdat deze talrijke voordelen opleveren. Door het nemen van logaritmen

zal het verloop van de prijsveranderingen echter stationair gemaakt worden waardoor de

volatiliteiten niet meer veel zullen variëren doorheen de tijd. Vandaar dat de resultaten van de

RW1 en de RW3 dicht bij elkaar aansluiten. Moesten de testen uitgevoerd worden op de gewone

prijzen, dan zouden er wel significante verschillen optreden. Uit het verloop van de

prijsveranderingen van het aandeel UCB kan er namelijk opgemerkt worden dat de volatiliteiten

variëren doorheen de tijd.

Uit de bekomen resultaten voor het onderzoek kunnen enkele belangrijke gevolgtrekkingen

gemaakt worden. Zo werd er opgemerkt dat de wekelijkse en maandelijkse rendementen van het

aandeel UCB in overeenstemming zijn met de veronderstellingen van de RW1. Dit werd door

iedere test bevestigd. Deze resultaten zijn consistent met eerder uitgevoerde onderzoeken voor

individuele aandelen, van o.a. Moore (1964), Fama (1965) en meer recent Campbell et. al.

(1997). Dit is niet verwonderlijk. De rendementen van individuele aandelen worden namelijk

beïnvloed door het bedrijfsspecifieke of het idiosyncratisch risico dat het moeilijk maakt om

voorspelbare componenten te detecteren.

Besluit 120

De resultaten voor de Bel20-index zijn duidelijk verschillend. De dagelijkse en wekelijkse

rendementen van de Bel20-index zijn niet in overeenstemming met de RW1 en de RW3. De

autocorrelaties van de rendementen zijn niet allen verschillend van 0. Er is sprake van een

positieve afhankelijkheid tussen de rendementen van de Bel20-index. Dit lijkt zo te zijn voor de

meeste indices. De resultaten van Moore (1964) en Campbell et al. (1997) bevestigen dit. De

verklaring is dat door het vormen van portefeuilles van individuele aandelen de voorspelbare

systematische component merkbaar wordt. Het idiosyncratisch risico die verbonden is aan de

individuele aandelen wordt weggediversifieerd door het vormen van portefeuilles. De

systematische component of de marktfactor is in zekere zin voorspelbaar. De positieve

afhankelijkheid wordt nog versterkt door het feit dat sommige aandelen slechts met vertraging

reageren op nieuwe marktinformatie. De prijs van de index zal dan niet onmiddellijk maar

slechts geleidelijk evolueren naar zijn nieuwe waarde. Toch staat de licht negatieve

afhankelijkheid tussen de dagelijkse rendementen van het aandeel UCB in contrast met de sterke

positieve afhankelijkheid tussen de dagelijkse rendementen van de Bel20-index (CAMPBELL et

al., 1997, blz. 72-74).

Welke test levert nu de betrouwbaarste gevolgtrekkingen op? De autocorrelatie-test, de test met

de Portmanteau statistieken en de test met de variantieratios leveren over het algemeen dezelfde

resultaten op. Dit was ook te verwachten daar deze testen allen gebaseerd zijn op dezelfde

autocorrelaties. Algemeen wordt er toch gesteld dat de test met de variantieratios de krachtigste

test is. Deze test buit namelijk een belangrijke eigenschap van de “random walk” uit; namelijk

dat de varianties van de prijsveranderingen of de rendementen lineair zijn met het tijdsinterval

dat onderzocht wordt. De gebrekkigheid van de Cowles-Jones test en de runs-test wordt

blootgelegd door het bestuderen van de daggegevens van het aandeel UCB. Deze testen leveren

een positieve afhankelijkheid op tussen de dagelijkse rendementen terwijl de testen die

gebaseerd op de autocorrelaties wijzen op een lichte negatieve afhankelijkheid. De positieve

afhankelijkheid bij de Cowles-Jones test en de runs-test heeft te maken met het feit dat een

opeenvolging van rendementen gelijk aan 0 beschouwd wordt als een teken van positieve

afhankelijkheid terwijl dit in werkelijkheid niet zo is. Het groot aantal opeenvolgingen van

dagelijkse rendementen van 0 voor het aandeel UCB, in de jaren zeventig en begin de jaren

tachtig, is dan ook de oorzaak van de schijnbaar significante positieve afhankelijkheid tussen de

rendementen. Het probleem bij deze twee testen ligt eigenlijk in het feit dat ze enkel het teken

van de rendementen bestuderen en niet de grootte. Bij de testen gebaseerd op de autocorrelaties

stelt dit probleem zich niet. Deze testen zullen dan ook de betrouwbaarste resultaten opleveren

Besluit 121

Tot slot, kan er nu op basis het uitvoerde onderzoek een algemeen antwoord geformuleerd

worden op de vraag of de aandelenrendementen voorspelbaar zijn. De rendementen van goed

gediversifieerde portefeuilles of indices zijn gedeeltelijk voorspelbaar. De investeerder zou dus

in staat moeten zijn om op basis van het verloop van de rendementen van de indices een

bepaalde winst te genereren. Maar of hij een strategie kan ontwikkelen die altijd tot winst zal

leiden blijft nog altijd een open vraag.

BIJLAGE VI

Bibliografie• ALEXANDER S. S., 1961, Price Movements in Speculative Markets: Trends or Random

Walks, in COOTNER P. H., The Random Character of Stock Market Prices, Massachusetts

Institute of Technology Press, Cambridge MA, blz. 199-218.

• ALEXANDER S. S., 1964, Price Movements in Speculative Markets: Trends or Random

Walks No. 2, in COOTNER P. H., The Random Character of Stock Market Prices,

Massachusetts Institute of Technology Press, Cambridge MA, blz. 338-372.

• BACHELIER L., 1900, Theory of Speculation, in COOTNER P. H., The Random Character

of Stock Market Prices, Massachusetts Institute of Technology Press, Cambridge MA, blz.

17-78.

• BOX G. E. P. en PIERCE D. A., 1970, Distribution of Residual Autocorrelations in

Autoregressive Integrated Moving Average Time Series Models, Journal of the American

Statistical Association, vol. 65, nr. 332, december 1970, blz. 1509-1526.

• CAMPBELL J. Y. , LO A. W. en MACKINLEY A. C., 1997, Econometrics of Financial

Markets, Priceton University Press, New Jersey, 611 blz.

• COOTNER P. H., 1962, Random vs. Systematic Changes, in COOTNER P. H., 1964, The

Random Character of Stock Market Prices, Massachusetts Institute of Technology Press,

Cambridge MA, blz. 231-252.

• COOTNER P. H., 1964, The Random Character of Stock Market Prices, Massachusetts

Institute of Technology Press, Cambridge MA, 536 blz.

• COWLES A., 1960, A Revision of Previous Conclusions Regarding Stock Price Behaviour,

Econometrica, vol. 28, nr. 4, oktober 1960, blz. 909-915.

• DICKEY D. A. en FULLER W. A., 1979, Distribution of the Estimators for Autogressive

Time Series with a Unit Root, Journal of the American Statistical Association, vol. 74, nr.

366, juni 1979, blz. 427-431.

• ELTON E. en GRUBER M., 1995, Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, John

Wiley & Sons, New York, 715 blz.

• EVIEWS, 1994-95, Eviews Help System, Quantitative Micro Software.

• FAMA E. F., 1963, Mandelbrot and the Stable Paretian Hypothesis, in COOTNER P. H.,

1964, The Random Character of Stock Market Prices, Massachusetts Institute of Technology

Press, Cambridge MA, blz. 297-306.

BIJLAGE VII

• FAMA E. F., 1965, The Behaviour of Stock Market Prices, Journal of Business, vol. 38 , nr.

1, januari 1965, blz. 34-105.

• FAMA E. F., 1970, Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work,

Journal of Finance, vol. 25, nr. 2, mei 1970, blz. 383-417.

• FAMA E. F., 1977, Foundations of Finance, Basil Blackwell, Oxford, 395 blz..

• FAMA E. F. en BLUME M., 1966, Filter Rules and Stoch Market Trading Profits, Journal of

Business, vol. 39, nr. 1, deel II, januari 1966, blz. 226-241.

• FULLER W. A., 1976, Introduction to Statistical Time Series, John Wiley & Sons, New

York, 470 blz.

• GREENE W. H., 1993, Econometric Analysis, Macmillan Publishing Company, New York,

791 blz.

• HAMILTON J. D., 1994, Time Series Analysis, Priceton University Press, New Jersey, 799

blz.

• HARRINGTON D. R., 1983, Modern Portfolio Theory & the Capital Asset Pricing Model, a

User’s Guide, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, 136 blz.

• HAUSMAN J. A., 1978, Specification Tests in Econometrics, Econometrica, vol. 46, nr. 6,

november 1978, blz. 1251-1271.

• KENDALL M. G., 1953, The Analysis of Economic Time-Series-Part I: Prices, in

COOTNER P. H., 1964, The Random Character of Stock Market Prices, Massachusetts


• LJUNG G. M. en BOX G. E. P., 1978, On a Measure of Lack of Fit in Time Series Models,

Biometrika, vol. 65, nr. 2, blz. 297-303.

• LO A. en MACKINLEY A.C., 1988, Stock Market Prices Do Not Folow Random Walks:

Evidence from a Simple Specification Test, Review of Financial Studies, vol.1, nr. 1, 1988,

blz. 41-66.

• LO A. en MACKINLEY A.C., 1989, The Size and Power of the Variance Ratio Test in

Finite Samples: A Monte Carlo Investigation, Journal of Econometrics, vol. 40, nr. 2,

februari 1989, 203-238.

• MANDELBROT B., 1963, The Variation of Certain Speculative Prices, in COOTNER P. H.,

1964, The Random Character of Stock Market Prices, Massachusetts Institute of Technology

Press, Cambridge MA, blz. 307-332.

• MANDELBROT B., 1966, Forecasts of Future Prices, Unbiased Markets, and “Martingale”

Models, Journal of Business, vol. 39, nr. 1, deel II, januari 1966, blz. 242-255.

BIJLAGE VIII

• MANDELBROT B., 1998, Fractals op de beurs, Natuur&Techniek, jr. 66, nr. 5, mei 1998,

blz. 62-71.

• MOORE A. B., 1964, Some Characteristics of Changes in Common Stock Prices, in

COOTNER P. H., 1964, The Random Character of Stock Market Prices, Massachusetts


• O’DONOVAN T. M., 1983, Short Term Forecasting: An Introduction to the Box-Jenkins

Approach, John Wiley & Sons, Chichester, 282 blz.

• QOBRA INVEST,1999, URL:<http://bewoner.dma.be/Herbots/b_bel20>.(26/04/99).

• REYNAERTS H., 1995, Statistiek I, Cursus gedoceerd aan de Rijksuniversiteit Gent (RUG).

• REYNAERTS H., 1997, Econometrie I, Cursus gedoceerd aan de Rijksuniversiteit Gent

(RUG).

• REYNAERTS H., 1998, Econometrie II, Cursus gedoceerd aan de Rijksuniversiteit Gent

(RUG).

• ROBERTS H. V., 1959, Stock-Market “Patterns” and Financial Analysis: Methodological

Suggestions, in COOTNER P. H., 1964, The Random Character of Stock Market Prices,

Massachusetts Institute of Technology Press, Cambridge MA, blz 7-16.

• SUNDT B., 1993, An Introduction to Non-life Insurance Mathematics, Veröffentlichungen

des Instituts für Versicherungswissenschaft der Universität Mannheim, Band 28 , blz 199.

• UCB BELGIUM, 1998, URL: <http://www.ucbgroup.com>. (26/04/99).

• VANMAELE M., 1995, Wiskunde I, Cursus gedoceerd aan de Rijksuniversiteit Gent (RUG).

• VERBEEK M., 1998, Econometrics of Financial Markets I: Market efficiency and

predictability of assets returns, januari 1998.

• WORKING H., 1960, Note on the Correlation of First Differences of Averiging in a Random

Chain, Econometrica, vol. 28, nr. 4, oktober 1960, blz. 916-918.

BIJLAGE IX

BijlagenBIJLAGE 1a: Simulatie van prijzen voor de RW1

BIJLAGE 1b: Simulatie van prijsveranderingen voor de RW1

BIJLAGE 2a: Simulatie van standaardafwijkingen voor de residuen voor de RW2

BIJLAGE 2b: Simulatie van de residuen voor de RW2

BIJLAGE 2c: Simulatie van de prijzen voor de RW2

BIJLAGE 2d: Simulatie van de prijsveranderingen voor de RW2

BIJLAGE 3a: Simulatie van de residuen voor de RW3

BIJLAGE 3b: Simulatie van de prijzen voor de RW3

BIJLAGE 3c: Simulatie voor de prijsveranderingen voor de RW3

BIJLAGE 4: UCB: gewone prijzen

BIJLAGE 5: Bel20-index: gewone prijzen

BIJLAGE 6: UCB: logaritmische prijzen

BIJLAGE 7: Bel20-index: logaritmische prijzen

BIJLAGE 8: De kritische waarden van Dickey en Fuller

BIJLAGE 9: Afleiding zuivere schatter ( )cc2~σ voor de variantie 2σ

BIJLAGE 10: De asymptotische verwachtingswaarde van ( ) 1−qVR is gelijk aan 0

BIJLAGE 4

UCB: gewone prijzen

Het verloop van de dagelijkse prijzen. Het verloop van de dagelijkse prijs ∆ .


Het verloop van de wekelijkse prijzen. Het verloop van de wekelijkse prijs ∆ .


0

10

20

30

40

50

60

1/01/73 9/01/80 5/02/88 1/01/96

UCB

-6

-4

-2

0

2

4

6

1/01/73 9/01/80 5/02/88 1/01/96

DUCB

0

10

20

30

40

50

60

1/01/73 9/01/80 5/02/88 1/01/96

UCB

-6

-4

-2

0

2

4

6

1/01/73 9/01/80 5/02/88 1/01/96

DUCB

BIJLAGE 5

Bel20-index: gewone prijzen





0

200

400

600

800

1000

1/01/73 9/01/80 5/02/88 1/01/96

BEL20

-40

-20

0

20

40

1/01/73 9/01/80 5/02/88 1/01/96

DBEL20

0

200

400

600

800

1000

1/01/73 8/02/82 3/02/92

BEL20

-100

-50

0

50

100

1/01/73 8/02/82 3/02/92

DBEL20

BIJLAGE 6

UCB: logaritmische prijzen





Het verloop van de maandelijkse prijzen. Het verloop van de maandelijkse prijs ∆


-2

-1

0

1

2

3

4

5

1/01/73 9/01/80 5/02/88 1/01/96

LNUCB

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

1/01/73 9/01/80 5/02/88 1/01/96

DLNUCB

-2

-1

0

1

2

3

4

5

1/01/73 8/02/82 3/02/92

LNUCB

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

1/01/73 8/02/82 3/02/92

DLNUCB

2

4

6

8

10

74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98

LNUCB

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98

DLNUCB

BIJLAGE 7

Bel20-index: logaritmische prijzen





Het verloop van de maandelijkse prijzen. Het verloop van de maandelijkse prijs ∆


4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

1/01/73 9/01/80 5/02/88 1/01/96

LNBEL20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

1/01/73 9/01/80 5/02/88 1/01/96

DLNBEL20

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

1/01/73 8/02/82 3/02/92

LNBEL20

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

1/01/73 8/02/82 3/02/92

DLNBEL20

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98

LNBEL20

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98

DLNBEL20

BIJLAGE 8

De kritische waarden van Dickey en Fuller

(Bron: HARVEY A. C., 1990, The Econometric Analysis of Time Series, Philip Allan, Hertfordshire, 387 blz.)

BIJLAGE 9

Afleiding zuivere schatter ( )qc

2~σ voor de variantie 2σ

Het volgende zal bewezen worden:

( ) ( )=

− −−≡nq

qkqkkc qpp

nqq 2

2

2 1 µσ is een onzuivere schatter voor 2σ

( ) ( )=

− −−≡nq

qkqkkc qpp

mq 22 1~ µσ is een zuivere schatter voor 2σ

( )�

��

�

�−+−≡

nq

qqnqqmmet 11

De zuivere schatter kan als volgt voorgesteld worden:

( )[ ] 22 σσ kqE c =

( )k

qc2σ is een zuivere schatter

Het komt er dus op aan om de k te berekenen. Dit zal gebeuren in verschillende stappen (de

overgangen die gemaakt worden bij de afleidingen zijn meestal vanzelfsprekend):

(1)

( )[ ][ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]2

1211

12122

1

21

,2,2

22

σ

εεεεεε

εεεεεε

εε

q

CovCovVarVar

E

E

qqq

qqq

q

=

+++++=

+++++=

++

−

−

��

��

�

(2)

( )

[ ] [ ]

εµµ

µεµ

εµ

σεεµ

=−

+=

+=

Ν+=

tt

ttt

ErE

IIDmetr 2,0~

(3)

( ) ( )

( )=

+−

=+−

−+−=

+−

−−=

nq

qkqkk

nq

qkqkkc

qqnq

qq

qrrnq

q

212

212

2

1

1

µµεε

µµ

µσ

(4)

( )[ ]( ) ( ) ( )( )[ ]( )[ ] ( )[ ] ( )( )[ ]

[ ] ( )[ ]1222

1222

1

1222

1

21

2

2

2

+−

+−+−

+−+−

+−

+−++=

+−+−++=

+−+−++=

−++

qkk

qkkqkk

qkkqkk

qkk

EqEqq

EqEqE

qqE

qqE

εεεεσ

εεµµµµεε

εεµµµµεε

µµεε

�

��

��

�

De afleidingen volgen uit (1) en (2).De tweede en de derde term worden nu afzonderlijk

uitgewerkt:

[ ] [ ] [ ]( )

qn

EVarE

2

22

σ

εεε

=

+=•

( )[ ]1+−++• qkkE εεε �

stel iqkk X=++ +− 1εε � ( n waarnemingen voor iX )

qn

XX i==ε

[ ]

( )[ ]

[ ] [ ]( )

[ ]

[ ] [ ]( )

qn

q

XEXVarqn

XXEqn

XXEXXEqn

XXXqn

Xqn

XEXXE

ii

ii

ini

in

ii

i

2

2

1

1

1

1

1

1

σ=

−=

=

++=

++=

�

��

�=

�

�

Deze afleidingen kunnen nu terug ingebracht worden in deel (4):

( )[ ]

2

222

2222

21

1

2

σ

σσ

σσσ

µµεε

�

��

�

�−=

−=

−+=

−++ +−

qn

qq

qn

qq

qn

qqqn

qq

qqE qkk �

(5)

( )[ ] ( )[ ]

( ) 2

2

212

2

111

1

σ

µµεεσ

�

��

�

�−+−=

−++= +−=

qn

qqqqnqn

qqEqn

qE qkk

nq

qkc �

( )

( )�

��

�

�−+−

qn

qqqqnqn

qc

1112

2σ is een zuivere schatter

( )( ) ( )qqpp

qn

qqqnqc

nq

qkqkk

22 ~

11

1 σµ =−−�

��

�

�−+−

�=

− is een zuivere schatter.

(Eigen werk)

BIJLAGE 10

De aymptotische verwachtingswaarde van ( ) 1−qVR is gelijk aan 0

De werkwijze die gevolgd wordt is deze van Lo en MacKinlay (1988).Stel de volgende schatter

voor de autocorrelatiecoëfficiënt:

( )( )( )

( )( )( )kB

kA

rqn

rrqnk kn

ktt

qn

ktktt

≡−

−−

=

=

=−

21

1

µ

µµρ

1−−= ttt pprmet

Men kan gemakkelijk afleiden dat ( )kB zal convergeren naar 2σ indien het aantal

waarnemingen zeer wordt. ( )kB is namelijk een consistente schatter voor de variantie 2σ . Er

moet nu nog enkel bewezen worden dat ( )kA convergeert naar 0 voor een groot aantal

waarnemingen.. ( )kA kan eerst als volgt uitgewerkt worden:

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )=

−=

−=

=−

=−

+−+−+−+−=

+−+−=

−−≡

qn

ktktt

qqn

ktkt

qqn

ktt

qn

ktktt

qn

ktktt

qnqnqnqn

kqn

qn

rrqn

kA

εεεµµεµµµµ

εµµεµµ

µµ

1111

1

1

2

De eerste term is gelijk aan 0 voor een groot aantal waarnemingen daar µ dan zal convergeren

naar µ . Uit (H1) van de samengestelde nulhypothese *0H volgt onmiddellijk dat de drie andere

termen ook convergeren naar nul indien het aantal waarnemingen zeer groot is. ( )kA zal dan

convergeren naar nul zodat de schatter ( )kρ voor de autocorrelatie ook convergeert naar nul.

Daar ( )qVR -1 een lineaire combinatie is van de schatters voor de autocorrelatiecoëfficiënten, zal

ze ook convergeren naar nul indien het aantal waarnemingen zeer groot wordt. De asymptotische

verwachtingswaarde van ( )qVR -1 is dus gelijk aan nul.

Econometrie van de Financiële Markten - lib.ugent.belib.ugent.be/fulltxt/RUG01/000/665/625/RUG01-000665625_2010_0001...Econometrie van de Financiële Markten Scriptie voorgedragen

Documents