Econometria – Semestre 2010.01 181 Professora Mônica Barros ENCE 21.7. TESTES DE RAIZ UNITÁRIA Considere o modelo: Este processo será um processo de raiz unitária (um passeio aleatório) se ρ = +1. O modelo dado por esta equação é um AR(1) estacionário se | ρ | < 1. Se ρ = 1, o modelo é uma random walk.A equação pode ser reescrita como: (1‐ ρ.B)Y t =u t onde B é o operador de atraso, BY t =Y t‐1 . O modelo descrito por (21.4.1) será uma random walk sempre que a raiz de (1‐ρ.B) = 0 for a unidade (isto é, se ρ = 1). Por isso a denominação “teste de raiz unitária”. Os testes para raiz unitária mais comuns são apropriados para séries com, no máximo, uma raiz unitária, ou seja, supõe‐se que a série torna‐se estacionária após a primeira diferença. A idéia por trás do teste de raiz unitária é bem simples: faça a regressão de Y t em Y t‐1 e verifique se o coeficiente estimado ρ é estatisticamente igual a +1. Se for, o processo é não estacionário. Do contrário, o processo é estacionário. Então, um ponto importante a lembrar nos testes de raiz unitária é que a hipótese nula indica que o processo é NÃO ESTACIONÁRIO. Deseja‐se testar as hipóteses: H 0 : ρ = 1 (o modelo é um passeio aleatório) versus H 1 : ρ < 1 (o modelo é um AR(1) estacionário) A idéia mais direta para testar estas hipóteses seria a estimação de ρ por mínimos quadrados, seguida de um teste t. No entanto, se H 0 for verdadeira, o estimador de ρ tem um viés negativo, e a estatística t não tem distribuição t de Student. Para contornar este problema, Dickey e Fuller (1979) realizaram diversas simulações e encontraram a distribuição do estimador de ρ quando ρ = 1, permitindo estabelecer os níveis de significância apropriados, o que deu origem à aplicação prática dos testes de raiz unitária.
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181Econometria – Semestre 2010.01 181
P r o f e s s o r a M ô n i c a B a r r o s ENCE
21.7. TESTES DE RAIZ UNITÁRIA
Considere o modelo:
Este processo será um processo de raiz unitária (um passeio aleatório) se ρ = +1. O modelo dado
por esta equação é um AR(1) estacionário se | ρ | < 1. Se ρ = 1, o modelo é uma random walk. A
equação pode ser reescrita como: (1‐ ρ.B)Yt = ut onde B é o operador de atraso, BYt = Yt‐1.
O modelo descrito por (21.4.1) será uma random walk sempre que a raiz de (1‐ρ.B) = 0 for a
unidade (isto é, se ρ = 1). Por isso a denominação “teste de raiz unitária”.
Os testes para raiz unitária mais comuns são apropriados para séries com, no máximo, uma raiz
unitária, ou seja, supõe‐se que a série torna‐se estacionária após a primeira diferença.
A idéia por trás do teste de raiz unitária é bem simples: faça a regressão de Yt em Yt‐1 e verifique
se o coeficiente estimado ρ é estatisticamente igual a +1. Se for, o processo é não estacionário. Do
contrário, o processo é estacionário.
Então, um ponto importante a lembrar nos testes de raiz unitária é que a hipótese nula indica
que o processo é NÃO ESTACIONÁRIO. Deseja‐se testar as hipóteses:
H0: ρ = 1 (o modelo é um passeio aleatório) versus
H1: ρ < 1 (o modelo é um AR(1) estacionário)
A idéia mais direta para testar estas hipóteses seria a estimação de ρ por mínimos quadrados,
seguida de um teste t. No entanto, se H0 for verdadeira, o estimador de ρ tem um viés negativo, e
a estatística t não tem distribuição t de Student.
Para contornar este problema, Dickey e Fuller (1979) realizaram diversas simulações e
encontraram a distribuição do estimador de ρ quando ρ = 1, permitindo estabelecer os níveis de
significância apropriados, o que deu origem à aplicação prática dos testes de raiz unitária.
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Por razões teóricas, os t estes Dickey‐Fuller (DF) trabalham com a equação (21.4.1) na forma de
diferenças, ou seja:
Esta expressão pode ser escrita de maneira alternativa como:
Onde δ = ρ ‐1.
Então, ao invés de estimar a equação (21.4.1) (a equação em nível), estimamos (21.9.2), a
equação em 1a. diferença e testamos a hipótese nula δ = 0, que é equivalente à hipótese nula ρ =
1 (o modelo é um passeio aleatório, a série é não‐estacionária).
Os testes de hipótese podem ser escritos em termos de δ como:
H0: δ = 0 (o modelo é um passeio aleatório) versus
H1: δ < 0 (o modelo é um AR(1) estacionário)
Note que, se δ = 0 em (21.9.2), a expressão se torna: tttt uYYY =−=Δ −1 , ou seja, a série de 1a.
diferença é estacionária e a série original é um passeio aleatório.
Como estimar a equação (21.9.2)?
Crie a série de primeiras diferenças tYΔ e faça sua regressão (sem constante) em relação à série
original defasada de 1 instante, isto é, Yt‐1. Verifique se o coeficiente angular estimado desta
regressão é zero. Se for estatisticamente igual a zero, concluímos que ρ = 1 e Yt é um processo não
estacionário. Se δ < 0, então ρ −1 < 0 e então ρ < 1 e a série Yt é estacionária.
Como testar as hipóteses? Infelizmente os testes t usuais não funcionam (nem para grandes
amostras) para verificar a significância de δ. Dickey e Fuller encontraram, através de simulação de
Monte Carlo, a distribuição do estimador de δ.
Sob a hipótese nula H0: δ = 0, o valor t estimado para o coeficiente de Yt‐1 na equação (21.9.2)
segue a estatística Tau (τ), cujos valores críticos estão na tabela D.7 de Gujarati, reproduzida a
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seguir. O teste baseado nesta estatística é chamado de teste Dickey‐Fuller, ou simplesmente teste
DF.
Note também que, se rejeitamos a hipótese nula no teste DF, então a série é estacionária, e o
teste t usual volta a ser válido.
Já vimos que existem diversos “tipos” de processos de raiz unitária. O teste DF deve ser aplicado
levando em conta cada uma destas possibilidades, ou seja, deve considerar as seguintes
(DIFERENTES) hipóteses nulas:
ttt
ttt
ttt
uYtYuYY
uYY
+++=Δ++=Δ
+=Δ
−
−
−
121t
11t
1t
..:ticadeterminís tendênciade tornoem todeslocamen com aleatório passeio um é Y.:todeslocamen com aleatório passeio um é Y
.:aleatório passeio um é Y
δββδβ
δ
Equações (21.9.2, 21.9.4 e 21.9.5)
A metodologia empregada no teste é a mesma em qualquer uma das especificações anteriores,
mas os valores críticos do teste serão diferentes.
Em todos os casos a hipótese nula é δ = 0 (série não estacionária) e a hipótese alternativa é δ < 0
(série estacionária). Rejeitar a hipótese nula significa que a série em nível Yt é:
É estacionária com média zero em (21.9.2)
É estacionária com média β1/(1‐ρ) em (21.9.4)
É estacionária em torno de uma tendência determinística em (21.9.5)
184Econometria – Semestre 2010.01 184
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Note que, em qualquer dos casos, o teste é unilateral. A rejeição da hipótese nula ocorrerá,
intuitivamente, se a estatística Tau for muito pequena (abaixo do valor crítico), pois o teste é
para δ = 0 contra a hipótese de δ negativo.
Os valores críticos da estatística Tau do teste DF são diferentes dependendo da hipótese nula que
está sendo testada.
Como fazer o teste Dickey‐Fuller?
Estime (21.9.2), (21.9.4) ou (21.9.5) por MQO.
Encontre o coeficiente estimado de Yt‐1 na equação e divida‐o por seu desvio padrão,
obtendo a estatística Tau.
Consulte as tabelas de Dickey e Fuller. Se τ MENOR que o valor crítico tabelado, rejeitar a
hipótese nula H0: δ = 0, o que indica que a série NÃO POSSUI RAIZ UNITÁRIA (é
ESTACIONÁRIA).
Se τ MAIOR que o valor crítico tabelado, NÃO REJEITAMOS A HIPÓTESE NULA H0: δ = 0,
o que significa que a série é NÃO ESTACIONÁRIA.
Exemplo – série de exportações brasileiras
Suponha que desejamos analisar a série trimestral de exportações em milhões de dólares
mostrada no início deste capítulo.
O correlograma é mostrado a seguir:
185Econometria – Semestre 2010.01 185
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Já observamos no início do capítulo que o lento decaimento da autocorrelação sugere que a série
é não estacionária. Vamos testar esta conjetura através do teste DF em suas três especificações
(21.9.2), (21.9.4) e (21.9.5). O teste foi realizado no software Eviews versão 4.1.
1) Teste DF – hipótese de passeio aleatório – Equação (21.9.2)
Null Hypothesis: EXPORTS has a unit root Lag Length: 0 (Fixed)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic 0.180364 0.7352 Test critical values: 1% level -2.603423
5% level -1.946253 10% level -1.613346
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(EXPORTS) Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 16:53 Sample(adjusted): 1995:1 2010:1 Included observations: 61 after adjusting endpoints
R-squared -0.011226 Mean dependent var 458.4845Adjusted R-squared -0.011226 S.D. dependent var 4260.402S.E. of regression 4284.248 Akaike info criterion 19.57954Sum squared resid 1.10E+09 Schwarz criterion 19.61414Log likelihood -596.1758 Durbin-Watson stat 1.907662
A equação estimada é:
ΔYt = +0,003849.Yt‐1
Analogamente ao exposto em Gujarati (p.655), este modelo deve ser descartado, pois o
coeficiente de Yt‐1 é positivo, ou seja, δ = 1‐ ρ > 0, o que indicaria que ρ > 1, e a série de
exportações seria explosiva.
O valor da estatística τ é, neste caso, +0.1803. O valor crítico ao nível 5% é –1,946. Como τ > valor
crítico, não rejeitamos a hipótese nula de raiz unitária, indicando que a série é não estacionária
(na verdade, das considerações anteriores, o modelo indica um comportamento explosivo).
186Econometria – Semestre 2010.01 186
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2) Teste DF – hipótese de passeio aleatório com deslocamento – Equação (21.9.4)
Null Hypothesis: EXPORTS has a unit root Lag Length: 0 (Fixed)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.134474 0.6967 Test critical values: 1% level -3.542097
5% level -2.910019 10% level -2.592645
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(EXPORTS) Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 17:38 Sample(adjusted): 1995:1 2010:1 Included observations: 61 after adjusting endpoints
R-squared 0.475806 Mean dependent var -7.262133Adjusted R-squared 0.475806 S.D. dependent var 5955.789S.E. of regression 4312.065 Akaike info criterion 19.59275Sum squared resid 1.10E+09 Schwarz criterion 19.62765Log likelihood -586.7824 Durbin-Watson stat 1.925618
O valor da estatística Tau é –7,31, e os valores críticos da estatística Dickey‐Fuller aos níveis 1% e
5% são, respectivamente, ‐2,60 e –1,95. Logo, a estatística Tau é MENOR que os valores críticos e
REJEITAMOS a hipótese nula de raiz unitária, ou seja, a série da 1a. diferença é estacionária.
Indica que o teste está sendo feito na 1a. diferença da série
Indica que estamos fazendo o teste DF (e não o ADF) , ou seja, número de lags = 0 nas diferenças do lado direito da equação
189Econometria – Semestre 2010.01 189
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5) Teste DF – hipótese de passeio aleatório com deslocamento para a série de 1a. diferença das
exportações
Veja o quadro a seguir para verificar como se implementa o teste no Eviews:
Null Hypothesis: D(EXPORTS) has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Fixed)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -7.348840 0.0000 Test critical values: 1% level -3.544063
5% level -2.910860 10% level -2.593090
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Novamente, a estatística Tau (‐7,35) é inferior aos valores críticos a 1 e 5%, e rejeitamos a
hipótese nula. Assim a série da 1a. diferença é estacionária.
6) Teste DF – hipótese de passeio aleatório com deslocamento e tendência para a série de 1a.
diferença das exportações
Null Hypothesis: D(EXPORTS) has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Fixed)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -7.284629 0.0000 Test critical values: 1% level -4.118444
5% level -3.486509 10% level -3.171541
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Novamente, a estatística Tau (‐7,28) é inferior aos valores críticos a 1 e 5%, e rejeitamos a
hipótese nula. Assim a série da 1a. diferença é estacionária.
190Econometria – Semestre 2010.01 190
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Teste Dickey‐Fuller aumentado (teste ADF)
O teste original de Dickey e Fuller supõe que o processo yt é um AR(1) e pode ser estendido para
incorporar ao modelo a presença de novos “lags” da variável Yt. Isso leva aos chamados testes ADF
(Augmented Dickey‐Fuller Tests), cuja aplicação segue, em linhas gerais, o mesmo mecanismo que
o teste Dickey‐Fuller original.
O grande problema na aplicação dos testes ADF talvez seja, exatamente, a especificação de
quantas defasagens incluir na equação a ser testada, ou seja, a ordem do modelo AR(p) a ser
estimado para Yt.
O teste ADF consiste em estimar a regressão:
Onde εt é um ruído branco e ΔYt‐1 = Yt‐1 ‐ Yt‐2 (analogamente para outras defasagens).
O número de defasagens a incluir na equação (21.9.9) é, em geral, determinado empiricamente. A
idéia é incluir um número suficiente de termos para que o erro não apresente correlação serial.
Uma estratégia é escolher um número suficientemente grande de defasagens, e usar os termos
até a defasagem mais alta significante. Por exemplo, no caso de dados mensais, ajuste o modelo
com um número de defasagens m > 12. Uma outra idéia é minimizar algum um critério de
informação, como AIC ou BIC, para a escolha do número de defasagens. O Eviews usa esta
estratégia.
Uma regra empírica sugerida por Schwert (1989) é escolher m igual à parte inteira de
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
4/1
10012 N
onde N é o tamanho da série. Por exemplo, se N = 100 observações, isso nos daria m
= 12 lags, se N=200, teríamos m = int(14,27) = 14 lags.
No teste ADF, a hipótese nula é ainda H0: δ = 0 e os valores críticos são os mesmos do teste
Dickey‐Fuller original.
191Econometria – Semestre 2010.01 191
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Exemplo – série de exportações brasileiras – continuação
Já vimos que a série de exportações é I(1) e o modelo que parece mais adequado é o com
tendência e deslocamento, dado pela equação (21.9.5). A partir deste modelo adicionamos novos
lags e executamos o teste ADF. A especificação do número de “lags” será feita automaticamente
pelo Eviews (veja a figura a seguir).
Null Hypothesis: EXPORTS has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 2 (Automatic based on SIC, MAXLAG=10)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.820128 0.6824 Test critical values: 1% level -4.121303
5% level -3.487845 10% level -3.172314
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(EXPORTS) Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 20:01 Sample(adjusted): 1995:3 2010:1 Included observations: 59 after adjusting endpoints
R-squared -0.011190 Mean dependent var 434.6432Adjusted R-squared -0.011190 S.D. dependent var 3240.956S.E. of regression 3259.039 Akaike info criterion 19.03251Sum squared resid 6.37E+08 Schwarz criterion 19.06711Log likelihood -579.4916 Durbin-Watson stat 1.535624
Não rejeitamos a hipótese nula, a série é NÃO ESTACIONÁRIA. Note também o coeficiente positivo
de Yt‐1, que indicaria que a série tem comportamento explosivo.
2) Teste DF – hipótese de passeio aleatório com deslocamento – Equação (21.9.4)
Null Hypothesis: IMPORTS has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Fixed)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -0.637525 0.8539 Test critical values: 1% level -3.542097
5% level -2.910019 10% level -2.592645
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(IMPORTS) Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 21:14 Sample(adjusted): 1995:1 2010:1 Included observations: 61 after adjusting endpoints
R-squared 0.054975 Mean dependent var -79.45504Adjusted R-squared 0.054975 S.D. dependent var 2438.006S.E. of regression 2370.043 Akaike info criterion 18.39546Sum squared resid 3.37E+08 Schwarz criterion 18.43007Log likelihood -560.0616 Durbin-Watson stat 2.056164
198Econometria – Semestre 2010.01 198
P r o f e s s o r a M ô n i c a B a r r o s ENCE
Rejeita‐se a hipótese nula de que δ = 0 ao nível 5,7% , e portanto podemos supor que, para este
nível a série é estacionária. Note que não rejeitamos a hipótese nula nos níveis 1% e 5% (mas
rejeitamos no nível 10% ‐ o nível de significância do teste é 5,7% como mostrado no início da
tabela).
Assim, podemos concluir que a regressão entre “exportações” e “importações” não é espúria, e
podemos escrever:
EXPORTt = ‐773,9056 + 1,2377*IMPORTt
Exemplo 2 – IPCA e SELIC
Neste exemplo analisamos a existência de raízes unitárias nas séries mensais do IPCA (inflação) e
SELIC (taxa básica de juros) no período entre janeiro de 1995 e maio de 2010. O gráfico das duas
séries é mostrado a seguir.
-1
0
1
2
3
4
5
96 98 00 02 04 06 08
SELIC IPCA
SELIC E IPCA (VARIAÇÃO % MENSAL)
Os correlogramas das duas séries estão nas próximas figuras.
199Econometria – Semestre 2010.01 199
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1) Correlograma de IPCA (variação percentual mensal)
2) Correlograma de SELIC (variação percentual mensal)
Os correlogramas sugerem que ambas as séries não são estacionárias.
200Econometria – Semestre 2010.01 200
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3) Teste de raiz unitária para SELIC
3.1) Teste DF para a SELIC usando a especificação de passeio aleatório
Null Hypothesis: SELIC has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Fixed)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.895728 0.0555 Test critical values: 1% level -2.577590
5% level -1.942564 10% level -1.615553
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(SELIC) Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 17:32 Sample(adjusted): 1995:02 2010:05 Included observations: 184 after adjusting endpoints
R-squared 0.015702 Mean dependent var -0.014264Adjusted R-squared 0.015702 S.D. dependent var 0.237448S.E. of regression 0.235577 Akaike info criterion -0.048142Sum squared resid 10.15582 Schwarz criterion -0.030669Log likelihood 5.429048 Durbin-Watson stat 2.185729
Estatística Tau = ‐1,896, que está entre os valores críticos 5% e 10%. Na verdade (vide tabela),
rejeita‐se a hipótese nula δ = 0 com nível 5,7%. Ou seja, com nível 5,7% (e maior) pode‐se dizer
que a série é estacionária (mas não com níveis menores que 5,7%).
3.2) Teste DF para a SELIC usando a especificação de passeio aleatório com deslocamento
Null Hypothesis: SELIC has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Fixed)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -2.770365 0.0646 Test critical values: 1% level -3.465977
5% level -2.877099 10% level -2.575143
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(SELIC) Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 17:38 Sample(adjusted): 1995:02 2010:05 Included observations: 184 after adjusting endpoints
R-squared 0.068051 Mean dependent var -0.006902Adjusted R-squared 0.068051 S.D. dependent var 0.385079S.E. of regression 0.371745 Akaike info criterion 0.864205Sum squared resid 25.28962 Schwarz criterion 0.881677Log likelihood -78.50685 Durbin-Watson stat 2.077836
A hipótese nula é claramente rejeitada – a série é estacionária.
4.2) Teste DF para o IPCA usando a especificação de passeio aleatório com deslocamento
Null Hypothesis: IPCA has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Fixed)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -5.495379 0.0000 Test critical values: 1% level -3.465977
5% level -2.877099 10% level -2.575143
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(IPCA) Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 17:46 Sample(adjusted): 1995:02 2010:05
203Econometria – Semestre 2010.01 203
P r o f e s s o r a M ô n i c a B a r r o s ENCE
Included observations: 184 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. IPCA(-1) -0.272889 0.049658 -5.495379 0.0000
C 0.159234 0.040112 3.969725 0.0001R-squared 0.142315 Mean dependent var -0.006902Adjusted R-squared 0.137603 S.D. dependent var 0.385079S.E. of regression 0.357605 Akaike info criterion 0.792033Sum squared resid 23.27438 Schwarz criterion 0.826978Log likelihood -70.86708 F-statistic 30.19919Durbin-Watson stat 1.943289 Prob(F-statistic) 0.000000
Novamente, nesta especificação concluímos que não há raiz unitária e a série é I(0).
4.3) Teste DF para o IPCA usando a especificação de passeio aleatório com deslocamento e
tendência
Null Hypothesis: IPCA has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Fixed)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -5.706429 0.0000 Test critical values: 1% level -4.008706
5% level -3.434433 10% level -3.141157
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(IPCA) Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 17:47 Sample(adjusted): 1995:02 2010:05 Included observations: 184 after adjusting endpoints
R-squared 0.072414 Mean dependent var -0.009450Adjusted R-squared 0.072414 S.D. dependent var 0.334323S.E. of regression 0.321991 Akaike info criterion 0.576834Sum squared resid 18.97311 Schwarz criterion 0.594306Log likelihood -52.06871 Durbin-Watson stat 2.102549
Assim, conclui‐se que podemos usar a variação mensal do IPCA para tentar explicar a variação
mensal da SELIC.
205Econometria – Semestre 2010.01 205
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A regressão não é espúria, mas a estatística de Durbin‐Watson é muito baixa, indicando a
existência de correlação serial de 1a ordem nos resíduos. Vamos tentar melhorar isso incluindo
alguns “lags” de IPCA na especificação do modelo.
Este modelo foi ajustado, mas não garantirei que é ótimo, ou o “melhor”, sob qualquer critério. Os
resíduos parecem ter um comportamento bastante bom, e o O ajuste da regressão melhorou
sensivelmente (em termos de R2, log‐verossimilhança, soma de quadrados dos resíduos, critérios
AIC e Schwarz).
Dependent Variable: SELIC Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 20:12 Sample(adjusted): 1996:01 2010:05 Included observations: 173 after adjusting endpoints