吸脱着つきASEPの 緩和ダイナミクス 東大先端研 佐藤 純,西成活裕 MIMS共同研究集会 「可積分系が拓く現象数理モデル」 明治大学 2015年 11月05 日
吸脱着つきASEPの
緩和ダイナミクス
東大先端研
佐藤 純,西成活裕
MIMS共同研究集会 「可積分系が拓く現象数理モデル」明治大学 2015年 11月05 日
内容
0. ASEPの簡単なレビュー
1. ASEP-LK1 Parmeggiani-Franosch-Frey, PRL 90 086601 (2003)
TASEPの場合の定常状態の厳密解Ezaki-Nishinari, J. Phys. A: Math. Theor. 45 185002 (2012)
簡潔な証明,TASEP→ASEPへの拡張 励起状態の構成,緩和時間の計算
2. ASEP-LK2
定常状態の構成 励起状態の構成,緩和時間の計算
TASEP(Totally Asymmetric SEP) (q = g = d = 0)
SSEP(Symmetric SEP) (p =q, a = g , b = d)
一次元非対称単純排他過程
ASEP (Asymmetric Simple Exclusion Process)
a b
g d
pq
時間 dtの間に確率 pdtで右にホップ
ASEPの時間発展:マスター方程式
L = 3 のとき,状態ベクトル:
L: セル数
ASEPの時間発展:マスター方程式
終(行) 始(列)
ASEPの時間発展:マスター方程式
終(行) 始(列)
ASEPの時間発展:マスター方程式
マルコフ行列 量子スピン系
ベーテ仮設で対角化可能!
Dhar 1987, Gwa-Spohn 1992, Kim 1995Golinelli-Mallick 2004, de Gier-Essler 2005
非対称XXZスピン鎖
P.B.Cの時
Mの固有値:
初期状態をMの固有ベクトルで展開
Mの固有ベクトル:
定常状態 (cf. MPA)
緩和時間 :Dynamical
:Static
H = -M として,量子ハミルトニアンとみなすと,
Mの固有値:
Mの固有ベクトル:
:基底状態 :第一励起状態
:エネルギーギャップ
Mの固有値:
エネルギーギャップの有限サイズスケーリング
緩和時間の動的指数
:量子系の基底状態 ASEPの定常状態
Parmeggiani-Franosch-Frey, PRL 90 086601 (2003)
Evans-Juhasz-Santen, PRE 68 026117 (2003)
Mitsudo-Hayakawa, J. Phys. A 38 3087 (2005)
吸脱着つきASEPASEP with Langmuir kinetics (ASEP-LK)
pq
cf. TASEP, PBCの場合の定常状態の厳密解:Ezaki-Nishinari, J. Phys. A: Math. Theor. 45 185002 (2012)
マルコフ行列
定常状態
非対称XXZ鎖+非対角磁場
ユニタリ変換
定常状態
Ezaki-Nishinari, J. Phys. A: Math. Theor. 45
185002 (2012) の結果を再現
TASEP→ASEPへの拡張
XXZ spin chain
可解なASEP-LKの構成
6-vertex model:
XYZ spin chain
8-vertex model:
可解なASEP-LKの構成
pq
2つ粒子が並んでいれば,まとめて脱着
2つ空きが並んでいれば,まとめて吸着
定常状態
Ezaki-Nishinari, J. Phys. A: Math. Theor. 45 185002 (2012)
通常のASEP-LK
2粒子脱着のASEP-LK
2重縮退固有空間は2次元
可解なASEP-LKの構成
磁場あり非対称XYZスピン鎖!
:粒子数を増やす :粒子数を減らす
有効磁場
さらに p = qの場合を考えると..
Unitary変換:
かつ
強磁性XXZスピン鎖
基底状態: 2重縮退
第一励起:スピン波状態
有限のエネルギーギャップ:
緩和時間 で指数的に素早く緩和する!
実は p ≠ qの場合でも..
Unitary変換:
有限のエネルギーギャップ:
緩和時間 で指数的に素早く緩和する!
まとめ
1. 吸脱着つきASEPの定常状態の別証明を与え,TASEP→ASEPへの拡張を行った.また,励起状態の構成,および緩和時間の計算に成功した.
2. 2粒子まとめて吸脱着させると,有限磁場下の非対称XYZスピン鎖に帰着する.
3. 吸着と脱着のレートを等しくすると磁場を消去できるが,これが可解かどうかは今後の課題.
4. さらに左右のHoppingレートp,qを等しくすると強磁性XXZ
スピン鎖になり,基底状態および低励起状態が厳密に構成できて,エネルギーギャップ,すなわち緩和時間が計算できる(緩和時間の結果自体はp≠qの場合でも成り立つ!)
5. 開放端の場合の解析,密度分布,流量のダイナミクス,などの具体的な解析は今後の課題.