e-Learning Calculus°¨시 수열.pdf · 2009-09-30 · e-Learning Calculus 이므로, 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다. ⋯ 예제2 다음 수열 ⋯ 의 일반항과

e-Learning Calculus

수열

위와 같은 그림이 있다. 위 그림은 1904년 헬게 폰 코흐에 의해 만들어진 눈송이 모양의

곡선이다. 이러한 모양을 만드는 방법은 처음 선분을 삼등분하고 그 가운데 위에 정삼각형

을 그리고 밑변을 잘라내는 과정을 반복하는 것이다. 이때 각각의 과정에서 선분의 길이를

순서대로 써본다면, 숫자의 나열이 될 것이다. 이것이 이번시간에 배울 수열의 개념이다.

e-Learning Calculus

e-Learning Calculus

등차수열과 등비수열

의 의미

수열의 일반항과 합

등차수열 :

등비수열 :

자연수의 거듭제곱의 합

e-Learning Calculus

1) 수 열

(1) 수 열의 뜻

수열

일정한 규칙에 따라 수를 나열한 것

예) 1, 2, 4, 8, 16, …

◉ 수열을 나타내는 기호

: , , …, , …

예) ① 수열 1, 5, 9, 13, …에서 , , 이다.

② 수열 1, -2, 3, -4, 5, …에서 , 이다.

◉ 유한수열, 무한수열, 일반항

유한수열

항의 개수가 유한개인 수열

예) 2, 3, 5, 7, 11, 13

무한수열

항이 무한히 계속되는 수열

예) 1, -2, 4, -8, 16, …

◉ 수열과 함수와의 관계

․ 수열은 자연수를 정의역으로 하고 실수를 공역으로 하는 함수이다.

･ →, ･ 제 항 은, 자연수 의 함수값이다.

수열의 일반항

수열의 제 항 을 수열의 일반항 이라고 한다.

이 때, 일반항 이 에 대한 식으로 주어지면 ⋯을 대입하여 수열

의 모든 항을 구할 수 있다. …

e-Learning Calculus

예제1 수열 의 일반항이 일 때, 와 를 구하여라.

풀이 에서 를 구하기 위해 의 값을 대입하자.

,

이다.

예제2 수열 ⋯ 의 일반항을 구하여라.

풀이 주어진 수열의 분자는 1로 일정하고 분모만 바뀐다는 것을 알 수 있다.

분모의 규칙성을 살펴보면

,

,

,

,

⋯ 임을 알 수 있다. 따라서 일반항

이다.

(2) 등차수열과 등비수열

◉ 등차수열

등차수열

수열 에서 첫째항 에서 시작하여 차례로 일정한 수 를 더하여 얻은 수열을

등차수열이라 하고 를 공차라 한다.

예제1 다음 빈 칸을 채우시오.

등차수열 ⋯에서 첫째항은 이고, 공차는 이다.

또한 제 7항인 이다.

풀이 주어진수열은 첫째항 10에서 시작하여 차례로 -3을 더하여 얻은 수열이다.

이 때 공차는 -3이다. 제 7항 은 첫째항 10에 -3을 6번 더한 수이다.

즉 × 이다.

◉ 등차수열의 일반항

첫째항이 , 공차가 인 등차수열의 일반항

( ⋯)

[증명] 첫째항이 이고, 공차가 인 등차수열 에서

e-Learning Calculus

이므로, 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

⋯

예제2 다음 수열 ⋯ 의 일반항과 제 7항을 구하여라.

풀이 주어진 등차수열은 첫째항이 2이고 공차는 3이다.

따라서 일반항 × 이다.

×

예제3 수열 이 일 때, 첫째항과 공차를 구하여라.

풀이 첫째항 ∙

공차

∴

◉ 등차수열의 합

첫째항이 ,공차가 인 등차수열의 첫째항부터 항까지의 합

[증명] … … (∵교환법칙)

위 두 식을 더하면

…

위 각 항은 이므로

∴

를 감안하면

첫째항끝항

예제4 …의 첫째항에서 항까지 합을 구하여라.

풀이 첫째항=1,공차=3,항수=10이므로 이를

에 대입하면

×× ×

× ×

×

예제5 5 + 8 + 11+ …+ 305 를 계산하여라.

e-Learning Calculus

풀이 첫째항=5, 공차 = 3을 감안하여 n번째 항을 305라 하여 항수를 다음과 같

이 구하자

⇔

⇔ n-1 = 100에서 을 얻는다.

∴ 5 + 8 + 11+ …+ 305

×× ×

×

= 1705

예제6 4 + 6 + 8 +10 +…+ 에서 10항부터 100항까지의 합을 구하여라.

풀이 × =22, 공차 = 2이고 항수는 100-10 +1 = 91

따라서, S×× ×

= ×

◉ 등비수열

등비수열

수열 에서 첫째항 에서 시작하여 차례로 일정한 수 을 곱하여 얻은 수열을

등비수열이라 하고 을 공비라 한다.

예제1 다음 빈 칸을 채우시오.

등비수열 ⋯에서 첫째항은 이고,

공비는 이다. 또한 제 7항인 이다.

풀이 위 수열은 첫째항 9에서 시작하여 차례로

을 곱하여 얻은 수열이다.

이 때 공비는

이다. 제 7항 은 첫째항 9에

를 6번 곱한 수이다.

즉 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

이다.

◉ 등비수열의 일반항

첫째항이 , 공비가 인 등비수열의 일반항

( ⋯)

[증명] 첫째항이 이고, 공비가 인 등비수열 에서

e-Learning Calculus

이므로, 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

∙ ∙ ∙⋯

예제2 다음 등비수열 의 일반항과 제 7항을 구하여라.

⋯

풀이 주어진 등비수열은 첫째항이 2이고 공비는

이다.

따라서 일반항 ∙

이다.

∙

예제3 일반항 일 때, 첫째항과 공비를 구하여라.

풀이 첫째항

공비

∴

◉ 등비수열의 합

첫째항,공비 인 등비수열에서 첫째항부터 항 까지의 합

(단,≠ )

[증명] … ……①

위의 양 변에 을 곱하면

… ……②

② -①을 계산하면

… - …

⇒

⇒

e-Learning Calculus

∴

예제4 …에서 첫째항부터 항까지 합을 구하여라.

풀이 ,공비 ,항수 10이므로

×

×

예제5 6 +18 + 54+ … + ⋅ 를 계산하여라.

풀이 첫째항 = 6, 공비 = 3임을 이용하여 다음과 같이 구한다.

× ×

⇒ ×× ×

⇒ × ×

⇒ 에서

∴ ⋅

×

예제6 … ×에서 10항부터 100항까지의 합을 구하여라.

풀이 × × × , 공비 = 2, 항수 = 100-10+1 = 91

따라서, ×

=×

(3) 다지기

1 다음은 수열 ⋯에 관한 설명이다. 옳지 않은 것은?

① 무한수열이다.

②

③ 수열을 함수로 표현한다면

이다.

④ 이 수열의 일반항

이다.

2 첫째항이 13이고 공차가 -2인 등차수열의 10번째 항을 구하여라.

3 첫째항이 1이고 공비가 2인 등비수열의 다섯 번째 항을 구하여라.

e-Learning Calculus

4 일반항이 인 수열에서 첫째항부터 10항까지의 합을 구하여라.

5 일반항이 ×인 수열의 3항부터 10항 까지의 합을 구하여라.

2) 수열의 합

(1) 합의 기호

◉ 에 대해 알아보자.

･ 의 첫째항부터 제 항까지의 합 ⋯⋯

･ 수열의 합을 기호로 나타낼 때에는 각 항을 나타내는 규칙(일반항), 첫째항, 끝항을

반드시 표기해야 한다.

예제1 다음 수열의 합을 기호 를 사용하여 나타내어라.

∙ ∙ ∙ ∙ ⋯∙

풀이 일반항 ∙ 이므로

주어진 식은 의 에 ⋯ 을 대입하여 얻은 항 들의 합이므로

∙ ∙ ∙ ∙ ⋯∙

∙

제 n항까지

일반항

가 변수 첫째항부터

를 차례로

더한다.

e-Learning Calculus

◉ 성질에 대해 알아보자.

두 수열 , 에 대하여

(1)

(2)

(3)

(는 상수)

(4)

(는 상수)

(5)

≠

[증명]

…

… … … ∴

≠

(6)

≠

[증명]

…

… …

∴

≠

(2) 여러 가지 수열의 합

◉ 자연수의 거듭제곱의 합

e-Learning Calculus

(1)

‥

(2)

‥

(3)

‥

예제1 제 항이 인 수열의 첫째항에서 제항까지의 합을 구하여라.

풀이 제 항이 이므로 구하는 합을 이라 하면

◉ 부분분수

의 값을 구해보자.

⋯

memo

※ 부분분수로 분해하기

≠

◉ 계차수열을 이용한 수열의 합

계차수열

수열 에서 ( ⋯)을 항으로 하는

새로운 수열을 수열 의 계차수열이라 한다.

e-Learning Calculus

memo

※ 계차수열을 이용한 수열의 일반항 구하기

⋯

⋯

예제2 수열 {}이 1, 4, 11, 22, 37, 56, …일 때 일반항을 구하여라.

풀이 수열 {}의 계차수열을 {}이라 하면

{} : 1, 4, 11, 22, 37, 56, …

{} : 3, 7, 11, 15, 19, … 이므로

{}은 첫째항이 3, 공차가 4인 등차수열이다.

∴ ×

≥ 일 때,

×

그런데 이 식은 일 때도 성립하므로 구하는 일반항

(3) 다지기

※ (1~3) 다음 물음에 O, X로 답하여라.

1 ∙∙

∙

⋯∙

이다.

2

⋯ 이다.

3

이다.

e-Learning Calculus

…

4 의 값은?

① 210

② 275

③ 330

④ 385

⑤ 460

5 〫□ ≠ 에서 ☐안에 알맞은 문자를 써 넣어라.

3) 수학적 귀납법

(1) 수열의 귀납적 정의

◉ 도미노

도미노의 특징은 시작되는 첫째 도미노를 넘어뜨리면 두 번째, 세 번째 도미노가

차례대로 넘어져 마지막 도미노까지 연쇄적으로 넘어진다는 점이다. 이번에 배울

수학적귀납법과 많은 연관이 있는 그림이다. 수학적 귀납법도 도미노와 마찬가지로

두 가지를 증명하면 모든 자연수에 관하여 성립함을 보일 때 사용되는 유용한

원리이다.

◉ 추론

위의 표는 부터 차례로 늘어놓은 표이다. 여기서 는 어떻게 될까? 에 4를

곱하면 될 것 같은데 정말 그럴까? 미루어 짐작은 할 수 있지만 확신할 수는 없다.

‘추측이 옳다.’라는 방법은 반드시 수학적 타당화의 방법을 거쳐야 한다. 자연수에

대해서 수학적 타당화의 방법에 해당하는 수학적 귀납법에 대해 알아보자.

◉ 수학적 귀납법

자연수 에 대한 명제 이 모든 자연수 에 대하여 성립함을 증명하려면

다음 두 가지를 보이면 된다.

e-Learning Calculus

❶ 일 때, 명제 이 성립한다.

❷ 일 때, 명제 가 성립한다고 가정하면

일 때에도 명제 이 성립한다.

위의 두 조건을 만족하면 주어진 명제 는 모든 자연수 에 대하여 성립한다.

(2) 점화식

◉ 점화식

점화식

이웃하는 항 사이의 관계식을 점화식이라 한다.

이 때, ⅰ) 첫째항 과

ⅱ) 항 사이의 관계식 (=점화식) 이 주어지면

일반항 을 구할 수 있다.

수열 {}에서 …일 때

(1) 일정 ⇒공차가 인 등차수열

(2) ÷ 일정 ⇒공비가 인 등비수열

(3) ⇒ 계차수열이 인 수열

※ 그 외 점화식이 복잡한 경우에는 공식을 이용하는 대신 …를 대입 한

후, 일반항을 구하는 방법을 자주 사용한다.

예제1 수열 에서 , 일 때 일반항 을 구하여라.

풀이 이므로 수열 은 공차가 3인 등차수열이다.

첫째항 이므로 일반항 에서

예제2 수열 에 대하여 일 때 일반항 을 구하여라.

풀이 수열 의 계차수열을 이라 하면 이다.

(3) 다지기

◎ 다음 문제를 풀어 보자.

e-Learning Calculus

1 자연수 n에 대하여 명제 p(n)이 있다. p(n), p(n+1)중 어느 하나가 참이면

p(n+2)가 참임을 알았다. 명제 p(n)이 모든 자연수 n에 대하여 참이기 위한 필요충

분조건은? [ ]

① p(1)이 참이다. ② p(2)가 참이다.

③ p(1)과 p(2)가 참이다. ④ p(1)과 p(3)이 참이다.

⑤ p(2)와 p(3)이 참이다.

2 으로 정의되는 수열 에서 의

값은?

① 75 ② 87 ③ 93 ④ 97 ⑤ 103

e-Learning Calculus

･ 등차수열의 일반항

첫째항이 , 공차가 인 등차수열의 일반항

⋯

･ 등차수열의 합

첫째항이 , 공비가 인 등비수열의 일반항

( ⋯ )

･ 등비수열의 일반항

첫째항이 , 공비가 인 등비수열의 일반항은

⋯

･ 등비수열의 합

첫째항,공비 인 등비수열에서 첫째항부터 항 까지의 합

(단,≠ )

･ 수열의 합

(1)

‥

(2)

‥

(3)

‥

･ 점화식

수열 {}에서 …일 때

(1) 일정 ⇒공차가 인 등차수열

(2) ÷ 일정 ⇒공비가 인 등비수열

(3) ⇒ 계차수열이 인 수열

e-Learning Calculus

1 등차수열 에서 , 일 때, 의 값은?

① 8 ② 9 ③ 10 ④ 11

2 제 3항이 -12, 제 6항이 96인 등비수열의 공비는? (단 공비는 실수)

① -4 ② -2 ③ 2 ④ 4

3

의 값은?

① 35 ② 40 ③ 45 ④ 50

4 수열 ∙∙

∙

⋯

의 값은?

①

②

③

④

5 인 수열의 일반항은?

ⓛ ② ③ ④

e-Learning Calculus

1) 수열

(3) 다지기

1 주어진 수열을 함수로 표현하면

이고 이것을 이용하여 일반항으로 하면

가 된다.

2 등차수열의 일반항의 공식 에서

을 대입하면

∙

3 첫째항이 , 공비가 인 등비수열의 일반항

(

∴ ×

4 × , 공차 = ,

×× ×

×

5 × , 공비

××

,항수 = 10-3+1 = 8

∴ ×

×

2) 수열의 합

(3) 다지기

다지기 정답 p.7

1 ③

2 -5

3 16

4 -190

5 10200

e-Learning Calculus

1

에서 에 부터 까지 대입하여 ∙

, ∙

, ∙

, ⋯ ,

∙

이 나오는지 확인한다.

2

⋯

3

⋯ ⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

한편,

⋯

따라서 일반적으로

≠

4

‥

에서 구하는 식은

⋅⋅

⋅⋅ = 385-55=330

5

≠ 같이 나타내는 것을 부분분수로 분해한다고 한다.

2) 수열적 귀납법

(3) 다지기

다지기 정답 p.7

1 O

2 X

3 X

4 ③

5

다지기 정답 p.7

1 ③

2 ③

e-Learning Calculus

1 p(1)이 참이면 p(1+2)인 p(3)가 참이 되므로 P(2)가 참이라는 조건이 함께 첨가 되어

야하므로 ③이 답이다.

2 에서 의 계차수열을 이라 하면

이므로

에 대입하여 답을 구하면 답은 ③

1 등차수열 에서 는 과 의 등비중항이므로

2 첫째항을 , 공비를 이라고 하면 이므로

… ①

… ②

②÷①에서 , 은 실수이므로

3

⋯

에서

∙∙

4 ∙∙

∙

⋯

⋯

⋯

5 이고 이므로

수열 은 첫째항 5, 공차 3인 등차수열이다.

퀴즈퀴즈 정답 p.12

1 ①

2 ②

3 ③

4 ③

5 ①

e-Learning Calculus