Top Banner
Dynamic behavior of a cylindrical crack in a functionally graded interlayer under torsional loading Chunyu Li a , George J. Weng a, * , Zhuping Duan b a Department of Mechanical and Aerospace Engineering, Rutgers University, New Brunswick, NJ 8903, USA b Laboratory of Nonlinear Mechanics, Institute of Mechanics, Chinese Academy of Sciences, 100080, People's Republic of China Received 27 June 2000 Abstract In this paper the problem of a cylindrical crack located in a functionally graded material FGM) interlayer between two coaxial elastic dissimilar homogeneous cylinders and subjected to a torsional impact loading is considered. The shear modulus and the mass density of the FGM interlayer are assumed to vary continuously between those of the two coaxial cylinders. This mixed boundary value problem is ®rst reduced to a singular integral equation with a Cauchy type kernel in the Laplace domain by applying Laplace and Fourier integral transforms. The singular integral equation is then solved numerically and the dynamic stress intensity factor DSIF) is also obtained by a numerical Laplace in- version technique. The DSIF is found to rise rapidly to a peak and then reduce and tend to the static value almost without oscillation. The in¯uences of the crack location, the FGM interlayer thickness and the relative magnitudes of the adjoining material properties are examined. It is found among others that, by increasing the FGM gradient, the DSIF can be greatly reduced. Ó 2001 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. Keywords: Functionally graded materials; Dynamic stress intensity factor; Cylindrical crack; Torsional impact 1. Introduction The interests in functionally graded materials FGMs) research are growing rapidly in recent years. This is because the FGMs have many advantages, such as their high temperature and corrosion resistance, and their reductions in residual and thermal stresses. However, this kind of materials also brings up new problems. The foremost challenge is that the FGMs are inhomogeneous, with their material properties varying continuously. This inhomogeneity has a great in¯uence on their mechanical behaviors. To face the challenge, considerable work has been embarked in recent years. These works can to some extent be seen from the review articles of Erdogan 1995), Tanigawa 1995) and Duan et al. 2001). It will be recognized from these reviews that only a few articles were devoted to the dynamic fracture mechanics of FGMs. Among these limited studies, Atkinson 1975) once considered crack propagation in media with spatially International Journal of Solids and Structures 38 2001) 7473±7485 www.elsevier.com/locate/ijsolstr * Corresponding author. Tel.: +1-732-445-2223; fax: +1-732-445-5313. E-mail address: [email protected] G.J. Weng). 0020-7683/01/$ - see front matter Ó 2001 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. PII:S0020-768301)00046-4
13

Dynamic behavior of a cylindrical crack in a functionally graded interlayer under torsional loading

Feb 20, 2023

Download

Documents

Shirshendu Paul
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Dynamic behavior of a cylindrical crack in a functionally graded interlayer under torsional loading

������� ����� �� � ������ ���� � ��� �� ������������� � ��� ��� ��� ��� �� ������ �������

����� �� �� �� � �� ��� ���� ������ ���� �

� ���������� ��� ������ ��� �������� ������������ ������� ����������� ��� ���������� �� !"#� �$�� %�&����� �������� ��� ������ '�������� ��� ������ ( ����� ������� $�������� )""" "� *����+� ����&��� ( ���

���� !" ��� !###

��������

$� ��� ��� � � ���� �� � ������ ���� � ��� ������ �� � ������������ � ��� ��� ��� %&�'( ��� ��� ��)�

�)� ���*��� ������ ��������� �������� ������ � ��� ���+��� �� � �� ������ ������ ������� �� ������ �� ,

�� ������� ��� � ���� ������ �� � &�' ��� ��� � ������ �� �� � ������������ ��)� ��� �� � �)�

���*��� ������ �� ,�� ��*� ������ � ���� � ���� �� - �� ���� �� � ������� ���� �� .������ )�� � ����� ���

� �� �� � ������ ������ �� �������� ������ ��� &�� � ���� �� � ����� ��� , ������� ���� �� .������ ��

�� ����� ��� ������ ��� � ������� �� �� �������� ����� %�/$&( �� ���� ������� �� � ��� ���� ������ ��0

� ���� ����.�� , �/$& �� ����� �� �� ������ �� � ��� ��� �� ��� ��� ��� �� � ������ ���� ������

)����� ������������ , ��1���� �� � � ��� ��������� � &�' ��� ��� ������� ��� � ����� ��������� ��

� ��+������ ��� ��� � �� ��� � *������ $� �� ����� ����� �� � ���� �� ��� ����� � &�' � ������ �

�/$& ��� � � ���� ����� � !##2 3���� /���� ���� 4�� ���� � ���

,������- &����������� � ��� ��� ����5 ������� �� �� �������� ����� 5 ������ ���� � ���5 ,� ������ ������

� ���� ������

, ��� ��� �� ������������ � ��� ��� ���� %&�'�( �� � � � �)��� ������ �� ��� �� �� ,���� ����� � &�'� �� ���� ���������� ��� �� �� �� ��� ��� ��� �� ����� �������� ����� �������� �� ������ ��� � ��� �� ���� 6�)� � ��� ���� �� ��� ���� ���� � ���� �� �)� ������ , �� ���� ������ �� ��� � &�'� � ����������� )�� �� ��� ��� � �� ����� ���� ������������� ,�� ���������� �� � � �� ��1��� �� �� �������� ����� �� ,� ��� �������� ������ ��� )� � �� �� ��� �� �� ��� �� �� ,� )� �� ��� �� ��� *��� � ��� �� � ��) � ����� �� 3 ����� %2778(� ,�����)� %2778( ��� ���� � ��� %!##2(� $� )��� � �����9�� �� �� ��)� ��� ���� � �) � ����� ) ����� �� � ������� � ���� ������� �� &�'��4���� �� ������ ������� 4������� %27"8( ��� ������ � � ��� � ��������� �� ���� )�� ���������

$�� �������� ��� ��� �� /����� ��� /� ���� � :; %!##2( "<":="<;8

)))����� ����>�����>�+�����

� �� �������� ���� � ,��? @20":!0<<80!!!:5 ��*? @20":!0<<808:2:�

�.���� �������- )��A+��� ��� ���� %���� ���(�

##!#0"B;:>#2>C 0 � � ��� ���� � !##2 3���� /���� ���� 4�� ���� � ���

D$$? /##!#0"B;: %#2 (###<B0<

Page 2: Dynamic behavior of a cylindrical crack in a functionally graded interlayer under torsional loading

�� ���� ������ ������� ��� ���� ��� '���� %277<>2778( � ��� � -��� � ��� � ��������� �� � ���0������� ��� ��� ��� �� �������� �������� ���� � ��� %277;(� �� � �� ���� �� �� ��� ���������� �� � �������� ��� ��� )�� � ��� ��� ���������� �� � ������� �� ������ $� ��� � ����� ������������ �� ���� ��� ��� �� ������ ���� � ���� �� �� ��� ) �� �� �� )�� ������ �� ���������� E���� ��� ������)��9 %277;( ������ � -��� � ��� ���+��� �� �� �������� �� ���������� �� �� ��� ��� �� � &�' ��)� �)� ��������� �������� ������� ��� ����� )�� �� ��� ��0)� � � %�� ��� ���� 2777�5 �� � ���� 2777�( ������ � � ������� ������ �� �� &�' ��� �� � 0��� ���� &�' )�� � ����0���� � ��� ���+��� �� �� ������ �������$� � � ��� ��� � � ���� �� � ������ ���� � ��� ������ �� � &�' ��� ��� ��)� �)�

���*��� ��������� �������� ������ � ��� ���+��� �� � �� ������ ������ ������� �� ������ �� ������� ��� � �)� ������ �������� ��������� ������ � � � ����� ����� � ��� �� ������&�' ��� ��� � �� ������� ��� � ���� ������ �� � &�' ��� ��� �� � ������������ ��)���� �� � �)� ���*��� ��������� �������� ������ �� � ���� ����� ��� � *� ��� ������ ����-��� �� ������ 4����� ��� �� �� �����9� ���� �� � �� ��� �� ��������� �� ���������� ��������� ���������� �� � ����� ���� �� � ���� ��� � ������ &� *����� �� -� 0 ���� �� �������� ��� ������ ����� � � ��� ���������� ��� ��)� � -� ��� ��� �*� ,�� ��� ��� �� �� �� �� � �� � ������ ������� ��)� � -� ��� ��� �* ��� ���� � � �� �� � � ������ ������� �� �-� �� ��� � �������� $� �� � ��� ��� ��� ���� � �� �� ���� ��� � -� ��� ��� �* �� ����0 ������ � �� � � �������� �� � �������� ��� � *� ��� ����� '��� ������ %4����� ������ 27;75 ������ ��� F���� � 277:5 ���� � ���� 277;5 ���� ��� ���� 2777( �� ��)� ��� ���� ���� �� �������� � ����������� ����� �����-������ ��1��� � �� ��� ������������� �� � -� 0 ���� �� ���������� 6�)� � � G�� �� � ���������� ��� ��� �� �������� � ���� ����� �� � �������� ��� ��� �� ��� �� �� ���,� ���� � � ��� � ���� ) �� � ������ ��� &�� � ���� �� � ����� �� %/������ 27"!( ���

��� ���� � ����������� ������ ��������� , ��*� ������ � ���� � ���� �� - �� ���� �� � ������� ���� �� .������ )�� � ����� ��� � �� �� � ������ ������� , ������� ������� ���� �� .�������� �� ����� ��� ������ �����)��� � ���� ������ �� 3 ����� %27"8(� 4 ��� ���� ������ ��0� ���� ����.� ��� ��� �� '��� ��� ��� %27BB( �� ����.����� ��� �� ������ � ������� �� ���������� ����� %�/$&( �� � ������� ������� , ������������� ����� � ��)� � �������� �� ���� ��1���� �� � ����� ��������� �� � ��+������ ��� ��� � �� ���� � � ��� ��������� ��� �&�' ��� ��� ������� �� � �/$&�

� ����������� �� ��� �������

4� ��)� �� &��� 2� ������ ��� �)� ������ �������� ��������� ������ � %��� ���0$ ��� ��� ���0$$$( � � ����� ����� � ��� �� ������ &�' ��� %��� ���0$$(� '�� ���0$ ��� ��� ���0$$$ � ��0�*��� ��� ��-����� ���� ��� �� ��� ��� � �� ��� � �������� ��� ����� �� �2� �2 ��� �:� �:� ) ��� � �� ������� ��� � �� � ���� ������� '�� ���0$$$ �� �� � ������ �� � ��-��� �� � ������� ������ , &�' ��� ������ ��� �� � ������� �� �� � ��� ��� ��� ��� � �� ��� � ������ ���� � ��

�!��� � �#��� �!��� � �#�

�� �2�

& �� � ���������� ���������� �� � ��� ��� � �� ��� �� � ��� ���� � � � ��� � � �� ���

�!��� � �#�� � �2� �!��� � �#�

� � �2�

�!��� � �#�� � �:� �!��� � �#�

� � �:��!�

"<"< (/ %� �� ��/ 0 '����������� ������ $���� ��� $��������� # 12"")3 454#645 7

Page 3: Dynamic behavior of a cylindrical crack in a functionally graded interlayer under torsional loading

� �� ��� � �#� �#� � ��� � ��� � �� ���� ��

�# � �2���� �# � �2��

��

� � ����:��2�� ��������� � ����:��2�� ��������

�:�

4���� ��� � ������ ���� � ��� �� ����� & ��� ���� !� �� ������ �� � &�' ��� ��� %&��� 2(� 6 �) ���� ������ � '�� $$$ � ��� � ����� &� ����������� ) ����� ��� � � ��� �� ���� � ���+��� �� �*������ �� �� ������ ������ ������� ��������� ) ���� �� � 6������ ���� ��� ������������ � ������������ �� �� �� ���� �� ����� �� ����� � � # ����� ������ ��� � ��� �������� �� ��� ���� � ���� �������� ��� ������� ��������� ����� � ��� �� �� �������� ����� �� �� *� ����� ������ ����� � �� �� ������ �� � �����H�� � ��� ������� ���������� �� � ������ ���� ���� ��� ������ ��� �� ��� ���� � ����������

��� � ���� �� �� � ������������ ) ����� ���� � 2� !� : � �� ��� ���� $� $$ ��� $$$� ������������ � � ���� � ���� , ����������� �� �� ��������� ��� ��� ��� � �� �����)�?

����� � ���

��� ����� � ��

���

� �� � 2� !� :� �<�

, ��� ���� .������� �� ������ ���

�!�

��!� 2

���

��� �

�!� �!�

��!� �

�!�

��!� � 2� :� �8�

�!�!��!

� 2� ��

��!��

� 2� ��!

�! � �!�!��!

� �#�#����

�!�!��!

� �B�

, ���������� ���������� �� � ��� ���� �

�2 ��� �� �� � � �! ��� �� �� �� �� � � � �� �"�

�����2 ��� �� �� � � �����! ��� �� �� �� �� � � � �� �;�

�! ��� �� �� � � �: ��� �� �� �� �� � � � �� �7�

&��� 2� 4 ������ ���� � ��� �� �� &�' ��� ��� �

(/ %� �� ��/ 0 '����������� ������ $���� ��� $��������� # 12"")3 454#645 7 "<"8

Page 4: Dynamic behavior of a cylindrical crack in a functionally graded interlayer under torsional loading

�����! ��� �� �� � � �����: ��� �� �� �� �� � � � �� �2#�

�����! ��� �� �� � � �����! ��� �� �� �� �� � � � �� �22�, ������ � ���������� �� � � ��� �� ���� � �� �����)�?

�! ��� �� �� � � �! ��� �� �� �� � �� � � � �2!�

�����! �� �� �� � � ���������� � � �� � �2:�

� ������������� �� �������� �� ��� ������� �����

$�� ������� � ������ � ����� � ��� �-����

�� ��� �� �� �

� �

#

���� �� ����� ��� �2<�

3.�� %8( ��� %B( ��� � ���� �� ����

�!��

� �!� 2

����

� �� ��

�!� �!��

� �!� ��

!

���

� � 2� :� �28�

�!��!

� �!� 2� �

����

!

� �� 2� �

�!��! �

�!��!

� �!� �#�

!

�#������!� �2B�

&� � � ��� ������� � ��� �� &�� � � ����� ���

� �� �� �� � �� �

����

�� �� �� ���� ��� �2"�

�� �� �� �� � � 2

!�

� �

��� �� �� �� ����� ��� �2;�

� 3.�� %28( ��� %2B( ��� � ) ���� ��

�!� �� �� �� �� �!

� 2��� �� �� �� �

��� �!�

� ��!

�� 2

�!

�� �� �� �� � � #� � 2� :� �27�

�!�! �� �� �� �� �!

� 2� ��

��! �� �� �� �� �

� �!�

� �#�!

�#����� 2� �

�!

��! �� �� �� � � #� �!#�

������ ��� � ���������� ���� ��� ���������� �� �2 �� �� # ��� �: �� � �� � ��������� �� 3.�%27( ��� � *� ��� ��

�2��� �� �� � �2��� ���2��2��� #� � � �� �!2�

�:��� �� �� � �B��� ���2��:��� � � � �!!�)

�2 ���������������������! � �2�!

�2

�� �: �

��������������������! � �:�!

�:

�� �!:�

��� �� �� �� � � � ����-� E��� ��������� �� � - �� ��� ����� ������ ���������

"<"B (/ %� �� ��/ 0 '����������� ������ $���� ��� $��������� # 12"")3 454#645 7

Page 5: Dynamic behavior of a cylindrical crack in a functionally graded interlayer under torsional loading

, �������� �� 3.� %!#( )��� � ���� �� �)� ������ ����� , - �� �� �� �� � � �� ��� � ����� ���� � � �� !� , - �� ��� ������ ��� � �� ������� ��� � ���� ������ �� � ��� ��� ������ � ��� )��� ��� � ����� ��� ����)� �� �� ���� ��� ����� , ��������� �� 3.� %!#( �� ���)� ���� ��� � *� ��� �� ���-� �� �� ��

�!��� �� �� � ����!�!��� ������!�� � �:��� ������!���� � � � � �� �!<�

�!��� �� �� � ����!�<��� ������!�� � �8��� ������!���� � � � � �� �!8�

)

� � 2� �!� �! �

��������������������! � �#�!

�#

�� )� � � �� �!B�

� ������������������������������������2� �

!

� �!� �#�!

�#

�� �! � �� )� � � �� !� �!"�

& �� 3.�� %2;( ��� %!2(=%!8(� ) ��� ������ � ����������� �� � ������ ������

��2��� �� �� �

2

!�

� �

���2��� ���2��2������ ��� #� � � �� �!;�

��!��� �� �� �

2

!�

� �

������!�!��� ������!�� � �:��� ������!������� ��� � � � � �� �!7�

��!��� �� �� �

2

!�

� �

������!�<��� ������!�� � �8��� ������!������� ��� � � � � �� �:#�

��:��� �� �� �

2

!�

� �

���B��� ���2��:������ ��� � � �� �:2�

/���.������ � �� �� ��� ���� ��� ���� �� � ������ � ����� � ������ ��� � ������� � �� 3.�%<(� , �� �� ��������� ���� � ����� �� �����)�?

������2 � �22

!�

� �

���2�2��� ���!��2������ ��� #� � � �� �:!�

������! � �!�������! 2

!�

� �

�����2� ��!�����!���� � �!�

���!����!��� �� � ��2� ��!�����!����

� �!� ���!����:��� ������� ��� � � � � �� �::�

������! � �!�������! 2

!�

� �

�����2� ��!�����!���� � �!�

���!����<��� �� � ��2� ��!�����!����

� �!� ���!����8��� ������� ��� � � � � �� �:<�

������: � ��:2

!�

� �

���:�B��� ���!��:������ ��� � � � � ��� �:8�

(/ %� �� ��/ 0 '����������� ������ $���� ��� $��������� # 12"")3 454#645 7 "<""

Page 6: Dynamic behavior of a cylindrical crack in a functionally graded interlayer under torsional loading

� ���������� �� ��� �������� �������� ��������

$� � ������ ������� � ������ � ��� ��� ��� ���������� ����

��2 �

�� �� �� � � ��! �

�� �� �� �� �� � � � � �:B�

������2 ��� �� �� � � ������! ��� �� �� �� �� � � � �� �:"�

��! �

�� �� �� � � ��: �

�� �� �� �� �� � � � �� �:;�

������! ��� �� �� � � ������: ��� �� �� �� �� � � � �� �:7�

������! ��� �� �� � � ������! ��� �� �� �� �� � � � �� �<#�

��! �

�� �� �� � � ��! �

�� �� �� �� � �� � � �� �<2�

������! �� �� �� � � �������� � � �� � �<!�$� � � �� ��� � � ���� ���� �� ���� �� .������� ) - �� �-� � �����)��� ����������� ������

���������

���� �� � ��� �

�!���� �� ��

� � ��!���� �� ��

� � � �� � �<:�

,� ������������ 3.�� %!;(=%:8( ���� � ���������� ���������� %:B(=%<#( ��� � ����������� ������ �-0������ %<:(� ��� ������ � �� &�� � ��� � � ����� � ��� ������ ��� � 3.� %<2(� ) ��� ������ ��*����������� .������� �� � ��* �����)� ��������� �2��� ����!��� ��� � � � ��B��� �� �� � �� �� � ��0���)� �������� �� &������� ������������ �<��� �� ��� �8��� �� ���� 3.� %:<( ��� ����� � ������ � ���������%<!(� ) ������

�!�������! 2

!��

� �

��

2

��2��� ������ ��

� ���� ��������� ���� � � ����

��<<�

��� � ���������� � ������ ) ���� �� ��� �2��� �� � ����� �� 4�����* 4�I����� ���

� � ������

2

��2��� ������ �� � ���!

!� �<8�

) ��� ��� �� � ������� �� � �� � ���� �� .������ %<<( �� ������ ��� ���� ������ � � �� � ���� ��� ��� ,�� ) ������

�����!

!��

� �

��������

� ���� ��������� ����� ����!

!��

� �

��

2

��2��� ������ ��

�� � ������

������������ ������

� � ������!���

� �<B�

E� ����� � �� ���� �� �����=����� %�� ���� ��� E �)�� 27";(� ) ��� �

��������

� ���� ��������� ���� � !

���� ���� �

��� �<"�

������ ��� � ��������� ���� �� ��� �2��� �� � �� ��������� ����� � �� ���� �� ) ��

"<"; (/ %� �� ��/ 0 '����������� ������ $���� ��� $��������� # 12"")3 454#645 7

Page 7: Dynamic behavior of a cylindrical crack in a functionally graded interlayer under torsional loading

� �

��

2

��2��� ������ ��

�� � ������

�������� �� � !

� �

#

2

��2��� ������ ��

� �

�������� ������ �<;�

/����������� 3.�� %<8(� %<"( ��� %<;( ���� 3.� %<B(� ) ������ � ������� ���� �� .������ )�� � ������ ��

2

!�

���� ���� �

��� 2�

� ���� �� ������ ���� � � ����

��!���� �<7�

)

���� �� �� �� �

#

����!

��2��� ������ ��

� 2!

�������� ������ �8#�

, �����0����� ��������� �� ���� �� ��� � ���� � �� � �-������ �� ���� ����

� ���� ���� � #� �82�

� � ����� ������ �������� ������

&����)��� � ��� ���� ���� �� ������� ���� �� .������� %3 ������ 27"8( ��� �� ����9��� ����� �� ��� ��� �� � �����)��� � ����� ������ �� �� ������

� � � � � � �8!�� ���� �� .������� %<7( ��� %82( ��� � ) ���� ��

2

2

!

2

�� ��� � ��

���� ��� � � ����

��!���� �8:�

� ��� ��� � #� �8<�

)

���� � �� � �� � � ��� �88�

��� �� � �� � ��� �8B�

��� � �� �� �8"������� ��� � ������� ��� �� � � ��� ���� ) ����� ���

��� �� � ��� ���

2�������������2� !

� � �8;�

3*������� ��� �� �� � �� �� �� ����� �����������

��� �� � ���#

������� �87�

��� ����� � � �� ��� �� � ������������ ) ������ � ����� �� .��������

(/ %� �� ��/ 0 '����������� ������ $���� ��� $��������� # 12"")3 454#645 7 "<"7

Page 8: Dynamic behavior of a cylindrical crack in a functionally graded interlayer under torsional loading

�2

2

!

2

� �

�� ���� �� ��

���� ��

�� � ����

�#��� �B#�

�2

����� �� � #� �B2�

) � 2� !� � � � � �� � � 2� !� � � � � � � 2 ��� � � � � ���� �� � ����� ����������� �� � - ����� ����� ������ ���������

� ���!� 2!�

�� � 2� !� � � � � ��

� � ������

�� � � 2� !� � � � � � � 2�

�B!�

4�� ������� � ����� �� ���� ���� ��� .������� %B#( ��� %B2(� � �����)� �������� ��� �� ��� ����������-���� � �� �� �������� ����� �� � ������ ������ ��

��$$$� � �� � ���

� �

����������������!��� �

�������!��� �� ��� �B:�

��$$$�� � �� � ���

�� �

��������������������!�� � ��

�������!��� �� ��� �B<�

�� � �� 3.�� %:<(� %<8(� %8;( ��� %87( ��� ����� � �����)��� � �� �� �� � ����� �����������%3 ����� ��� ��� 2778(

2

������� �

�������������2� !

� ����2��� � � � 2� �� 2�

� ��������!�2

� � � ��������!�2

��

� � � � 2� �� #�

��� �B8�

) ������

��$$$� � �� � � 2

!�#�

���

� ��2� ���

� �BB�

��$$$�� � �� � 2

!�#�

���

� ���2� ���

� �B"�

& �� � ������ ��� ����

� ��� � 2

!��

�E

� ������ ��� �B;�

) E ����� � E ��)�� ��� �� ���� ������ � �/$& �� � ��� ������ ��� � ������� ��

�$$$� � �� � � 2!�#�

���

� 2

!��

�E

��2� ���

�� ��� �B7�

�$$$�� � �� � 2!�#�

���

� 2

!��

�E

���2� ���

�� ��� �"#�

"<;# (/ %� �� ��/ 0 '����������� ������ $���� ��� $��������� # 12"")3 454#645 7

Page 9: Dynamic behavior of a cylindrical crack in a functionally graded interlayer under torsional loading

, ������ ��� � � ����� ������� �� 3.�� %B7( ��� %"#( ��� � �� �� ��� �� � ��� ���� ����� ����� �� '��� ��� ��� %27BB(� &� *����� � �������� ��2� �� �� - �� ������� �� ��� ���� �������

� � �2� ���� � � #� 2� !� � � � � �"2��� � ������ ��� � � ����� ������ ��� � ��� �*������ ��������� ��

2

!��

�E

��2� ���

�� �� � ��2

��#�� �!*������ � 2�� �"!�

) �� � �� � ���� ���������� ��� � ��J����� �� � �� ���� � �� � �����)��� .�������

��2� �2� �����2� �� �

��#

���� 2� � � � �� ��� 2����� 2���� !� � � � ��� �� 2���� �":�

! "������ �� ���������

,� ���� � ������ ��������� �� � ������� ) ��) ������ � ������ ���� � ��� )�� � ���� �� � 2 ��� � � ��� �� ��� ������� ���� �� � �#����� 4�� ������� � ����� �� .������� %8:( ��� %8<(���� ������������ � ������ ��� ���� %B7( ��� %"#( �� � ��� ���� � ���� ������ �� '��� ������ %27BB(� ) ������ � �/$&� �$$$� � �� ��� �$$$�� � �� �� �� �� ��G �� ���� �� �� ������� �� �:��2����� ��� ��� �:��2� $� �� ��� ���� � ���� �� ) ��� � ���� �� ���� ����� ������ � � :2 �� ���� ���� �������� �� ������� ���� �� .������� %8:( ��� %8<( ��� � �� ��� � � � #�8� � � B �� ���� ���� � ���� �� ������ ��� ����� E���� �� ���2� �� � ���2� �� �� ��� ����� �� ������� ���0������� ) �� �$$$�� � �� � �$$$� � �� ��� �� �� � ) ���� �� �$$$���� , ����� ��)� �� &���� !=8 � � �� ������� �� � �� ����9� �/$& �$$$�����#

��

�)�� ���� �� �!2�� � ) �!2 � ��2��2�2�! �� � ��

)�� ������� �� ��� ���0$�& �� &���� !=8 � �� �� ���� �� � �� �� �� ��� ��? � �/$&� �� ������ ��� �� � ���� ��

��� � ������� ��� ��� �� �� ������ ������ ������ , ��� ����� ���� �� ����� �!2�� � !�# ���� �� ��� �� ������ ������ ����� ����� !#K�&��� ! ��)� � G�� �� � ��� �������� �� � &�' ��� ��� � ��� ���� �� � �� ������ �� � �� 0

����9� �/$& �$$$�����#��

�)�� �!2�� � �� �:��2 � �:��2 � #�! ��� ��� � 2�!8� $� �� ��� �� ��� �

�$$$�����#��

����� �� �� �� ������������� )�� ��� ����� ����

&��� : �������� � G�� �� &�' ��� ��� �������� ��� ���� �� � �� ������ �� �$$$�����#��

�)�� �

� ��� �� ������ �� � �������� �� ��� � 2�28 ��� �:��2 � �:��2 � #�!� $� �������� ��� � �/$& ��� ���)�� ��� ����� ���� & �� � � ����:��2�� ������� �� � 3.� %:(� � ��� �� �� ��� ������ � �� �� ��� ������� ���� �� � *����� �� $� �� )� �� � ��� �� �� ��� ���� � �� �� �� � ��� ���� ������ ,�� ) ��� ������� ��� ��� ����� � &�' � ����� �� ��-���� �� � �� �� �� � �/$&�, G�� �� � ���G��� ���� �:��2 �� � �� ������ �� � �/$& �� ��)� �� &��� <� , �� ��0

��� � � ���� �� ��� � 2�8� ��� � 2�28 ��� �:��2 � �:��2� $� ��� � �� ��� � �$$$�����#��

���0

� ��� )� � ���� �:��2 ��� ���� &� � �-��� ���� �� ���� � ��� �� �� �:��2 � �� #�! �� 2�# ����� �� � �� �� �� � ������� ���� �� � *����� �� 4� ���� ) ��� ���� ������� ��� ��� ������ &�' � ����� �� ����� �� � ������� �� � �/$&� ,�� ���������� �� ��������� )�� ��� ������ �� &��� :�&��� 8 �������� � G�� �� �:��2 �� � �/$&� , ����� �� �:��2 � �:��2 � � �� � ������� ���

�� � ����� *������ � � � ��� � ����� �� �:��2 � �:��2 � � �� � ������� ��� �� � ����� *0������ � � �� !� $� ��� � �� ��� � ���� �� �:��2 ������ �� G�� �� � ��� ���� �� � �/$&

(/ %� �� ��/ 0 '����������� ������ $���� ��� $��������� # 12"")3 454#645 7 "<;2

Page 10: Dynamic behavior of a cylindrical crack in a functionally graded interlayer under torsional loading

��� � �� �� �� �:��2 ����� �� � �� �� �� � ��� ���� �� �/$&� 6�)� � ��� G�� �� ��������-�����

# $����������

,�� ��� ������ � � � ���� �� � ������ ���� � ��� ������ �� � &�' ��� ��� ��)� �)� ��0�*��� ������ ��������� �������� ������ � ��� �� ������ ������ �������� , �� ������� ��� ����� ������ �� � &�' ��� ��� � ������ �� �� � ������������ ��)� ��� �� � �)� ���*��������� �� , ������� ������ -�� ��� � �/$& � ����� �� ����� � ����.�� �� ���� �� � ����� ����� ������� ���� �� .������� , �/$& �� ����� �� �� ������ �� � ��� ��� �� ��� ��� ��� �� ������� ����� , ��� ����� � �� ��� �� ������ ������ ����� ����� !#K� , ��1���� �� �� ��� ��������� � &�' ��� ��� ������� ��� � ����� ��������� �� � ��+������ ��� ��� � ��0

&��� :� , G�� �� � &�' ��� ��� ������� �� � �� ����9� �/$&�

&��� !� , G�� �� � � ��� �������� �� � �� ����9� �/$&�

"<;! (/ %� �� ��/ 0 '����������� ������ $���� ��� $��������� # 12"")3 454#645 7

Page 11: Dynamic behavior of a cylindrical crack in a functionally graded interlayer under torsional loading

��� � ����������� , ����������� � ����� � �� � �����? %�( � �/$& �� ��� )� ������� ���� � ��� �� �� �)�� � �� � �*��� ��� 5 %��( � �/$& ���� �� ��� )�� �� ����� ������� ��� &�' ��� 5 ��� %���( � �/$& ��� � � ���� ���� �� ��� ����� � � ����� �� � &�'5 %��( ���� ���� �� �/$& ��� ���� � ���� �� �� ����� � ��G �� �� ���� ������ �� � ��+������ ��0� �����

��%��&�� �������

,�� )� � )�� ����� �� �� ������ �� � ���� /���� ��� ������� ��� �� ������ �� � I�������/���� &��������� �� H/4 ��� �'/07B!8:#<� �� ���� )�� ����� �� �� � I������� I��� �� /����&��� �� ���� ��� � F� � �+�� ��� 27;722;#�

&��� <� , G�� �� � �� ������� ���� �� � �� ����9� �/$&�

&��� 8� , G�� �� � ���� ������ ���� �� � �� ����9� �/$&�

(/ %� �� ��/ 0 '����������� ������ $���� ��� $��������� # 12"")3 454#645 7 "<;:

Page 12: Dynamic behavior of a cylindrical crack in a functionally graded interlayer under torsional loading

����� �' �

, ��J����� ���� �� ��� �2��� �� �� 3.� %<:( �

���� �� � �!8!!B2 � !82!B!��!!2!2! � !22!!!��!:!!<: � !<!!::� � �!22!!: � !!2!2:��!:2!<: � !<2!::���2��� �� � !8!�!22!!! � !!2!2!� � !82�!22!!: � !!2!2:��!82�!:!!<: � !<!!::� � !8!�!:2!<: � !<2!::��

)

!22 � �2 �2�� �� !2! � �����!�� �!�� �� !2: � �����!�� �!�� �� !!2 � �2�2�! �2�� ��!!! � ��!�������!��2� ��!��� �!�� ���� �!�

� �!�� ���

!!: � ��!�������!��2� ��!��� �!�� ���� �!� � �!�� ���

!:2 � ����!�� �!�� �� !:! � ����!�� �!�� �� !:: � ��2 �:�� ��!<2 � �!�������!��2� ��!��� �!�� ���� �!�

� �!�� ���

!<! � �!�������!��2� ��!��� �!�� ���� �!� � �!�� ���

!<: � �:�:�! �:�� ��!82 � ��2� ��!��� �!�� ���� �!�

� �!�� ��

!8! � ��2� ��!��� �!�� ���� �!� � �!�� ��

!B2 � ����!�� �!�� �� !B! � ����!�� �!�� ��

"���������

4������ ����� ��� 6�� 27;7� 3G�� �� ��� ������ 9�� �� �������� ����� ��� ����� �� -� 0 ���� �� ���������� �� '��

D��� /����� :"� :;2=:7:�

4�������� ��� 27"8� /�� ����� �� � ��� � ��������� �� ���� )�� ��������� �� ���� ������ ������� $��� �� & ���� 22� B27=B!;�

E����� �� ������)��9� /�4�� 277;� ������� ����� �� � � ��� �� � ������������ � ��� ��� ��� ��)� �)� ��������� ��� �����

��� �������� �� ������ ����� 3����� & ���� '�� B#� <"7=<;"�

�� ���� �L�� E �)� ����� 27";� &�� � / �� ��� E����� � L��� D ������ : � ������� '�� �)06���� I) M� ��

����� F�� ���� ����� 2777� , ��1��� �� ������ ���� �� � ���� �� � ��� ��� �* �� � ���� ������ �� ��� �� ���� ��� -� 0

���� �� ���������� �� 3����� 8:� 2=!!�

���� ��� ��� ��� ���� ��� !##2� 4������ �� � ���� ������� �� ������������ � ��� ��� ����� �� 4��� '��� �� � �� %�� ����(�

3 ������ &�� 27"8� �����* &������� ,���.�� ��������� D������ ���� $$� 4������ D ��� I) M� �� 8!:=B#:�

3 ������ &�� 2778� & ���� ������� �� ������������ � ��� ��� ����� ������� 3����� 8� "8:=""#�

3 ������ &�� ��� E�6�� 2778� � ��� � ���� �� &�' ��� � ��� � ��� �� ���� �� , ��� /� ��� 27� !:"=!B8�

������� $�� F���� � '���� 277:� , G�� �� �� ���������� ��� ��� �� � ������ ��������� �� � ���� ��� ���� ����

���������� '�� '�� � 28� 8:=B:�

��� ��� ���� ��� 2777�� ,� ������ ������ ����� �� � ������������ � ��� ��� ��� )�� � ����0���� � ���� �� 4���� '�� B!� 8BB=

8B"�

��� ��� ���� ��� ����� ��� 2777�� ,� ������ ������ ����� �� � � ���� ��� ���� ���� ����� )�� ������������ � ��� ������ ��� �

����0���� � ���� ,� �� 4���� & ���� '�� :!� 28"=2B:�

'��� � '�F�� ���� ��,�� 27BB� I�� ���� ��� ���� �� � ������ � ����� � �� �� �� ������ ������������ /$4' �� I�� � 4���� :�

B!<=B:8�

/������ $�I�� 27"!� , H� �� $��� �� , ����� ��� '�� �)06��� E��� �������� I) M� ��

,�����)�� M�� 2778� /�� ����� � �������� � ����� �� ����������� �� ���� �� ��� ����� 4���� '�� �� <;� !;"=

:##�

"<;< (/ %� �� ��/ 0 '����������� ������ $���� ��� $��������� # 12"")3 454#645 7

Page 13: Dynamic behavior of a cylindrical crack in a functionally graded interlayer under torsional loading

���� � ��� E��9��� 4�F�� ���� 4�� 277;� 3G�� �� ��� ��� �� � � ���� � M������ ������� �� �����>��*� ������������������� !74� B!B=B!7�

����� N���� '����� /�4�� 2778� O� � ������� � ��� � ��������� �� �� ��� ��� )�� ��������� �� ���� ������ � �� ���� $���

�� & ���� B7� ;"=77�

����� E�� 6��� ��� ��� /�� 277;� ������� � ���� ������� �������� �� �������� ��� ��� )�� ��� ��� ����������� ��

������� �� ������ 4��� '������ /����� /����� 22� ;<=7:�

(/ %� �� ��/ 0 '����������� ������ $���� ��� $��������� # 12"")3 454#645 7 "<;8