Développement d'une nouvelle méthode de calibrage des Systèmes LiDAR Mobiles (SLM) en laboratoire Mémoire Michaël Landry Maîtrise en sciences géomatiques Maître ès sciences (M. Sc.) Québec, Canada © Michaël Landry, 2017
Développement d'une nouvelle méthode de calibrage des Systèmes LiDAR Mobiles (SLM) en laboratoire
Mémoire
Michaël Landry
Maîtrise en sciences géomatiques
Maître ès sciences (M. Sc.)
Québec, Canada
© Michaël Landry, 2017
Développement d'une nouvelle méthode de calibrage des Systèmes LiDAR Mobiles (SLM) en laboratoire
Mémoire
Michaël Landry
Sous la direction de :
Christian Larouche, directeur de recherche
Marc Cocard, codirecteur de recherche
iii
Résumé
Le scanner LiDAR est une technologie de plus en plus populaire auprès des ingénieurs,
arpenteurs-géomètres, architectes et autres professionnels qui ont recours à la
modélisation 3D dans le cadre de leur travail. L'intégration de ce capteur à un système de
navigation (IMU + GNSS) permet de former un Système LiDAR Mobile (SLM). Les SLM
ont été initialement développés pour des véhicules aéroportés, mais ont été plus
récemment adaptés aux véhicules terrestres. Toutes les observations du SLM sont
combinées pour former un nuage de points par géoréférencement direct. De manière à
limiter la propagation des erreurs systématiques dues à l'assemblage de ces capteurs, un
calibrage du système est nécessaire.
Le calibrage d'un SLM implique la détermination des bras de levier et des angles de visée
qui correspondent sommairement à la distance et à l'orientation entre le LiDAR et l'IMU.
Le fabricant fournit habituellement des valeurs pour ces éléments, mais il est nécessaire
de peaufiner ces valeurs qui sont propres à chaque système. Étant donné qu'il est
impossible de déterminer précisément les angles de visée avec des mesures manuelles,
les observations sur le terrain sont utilisées afin de les estimer (calibrage in situ). Un
problème avec le calibrage in situ est que les observations GNSS introduisent des erreurs
de plusieurs centimètres dans la solution, ce qui nuit au calibrage. Pour éliminer le recours
aux observations GNSS, des méthodes alternatives de calibrage s'imposent.
Le but de ce travail de recherche est d'instaurer une procédure de cueillette et de
traitement des données acquises par un SLM en laboratoire de façon à développer une
méthode de calibrage libre d'erreurs de positionnement GNSS. Cette méthode de
calibrage doit permettre d'estimer les angles de visée et les bras de levier d'un SLM à
partir des instruments et des infrastructures présentes au laboratoire de métrologie de
l’Université Laval.
iv
Abstract
The LiDAR scanner is an increasingly popular technology for engineers, land surveyors,
architects and other professionals who use 3D modeling as part of their work. The
integration of this sensor with a navigation system (IMU + GNSS) makes it possible to form
a Mobile LiDAR System (MLS). MLSs were originally developed for airborne vehicles, but
were more recently adapted to land vehicles. All MLS observations are combined to form a
point cloud by direct georeferencing. In order to limit the propagation of systematic errors
due to the assembly of these sensors, it is necessary to properly calibrate the system.
The calibration of an MLS involves the determination of the lever arms and boresight
angles that correspond to the distance and orientation between the LiDAR and the IMU.
The manufacturer usually provides values for these elements, but it is necessary to fine-
tune these values that are unique to each system. Since it is impossible to accurately
determine boresight angles with manual measurements, field observations are used to
estimate them (in situ calibration). A problem with in situ calibration is that GNSS
observations introduce errors of several centimeters into the solution, which is harmful for
a proper calibration. In order to eliminate the need for GNSS observations, alternative
methods of calibration are required.
The aim of this research is to set up a procedure for the collection and processing of data
acquired by an MLS in a laboratory in order to develop a calibration method free of GNSS
positioning errors. This calibration method should allow estimation of the boresight angles
and the lever arms of an MLS with the instruments and infrastructures inside the metrology
laboratory of Laval University.
v
Table des matières
Résumé ............................................ ..................................................................... iii
Abstract .......................................... ....................................................................... iv
Table des matières ................................ ................................................................ v
Liste des tableaux ................................ .............................................................. viii
Liste des figures ................................. .................................................................. xi
Remerciements ..................................... .............................................................. xiii
Chapitre 1 : Introduction ...................................... .............................................. 1
1.1. Mise en contexte....................................................................................................... 1 1.2. Problématique .......................................................................................................... 4 1.3. Solution proposée ..................................................................................................... 8 1.4. Objectifs ................................................................................................................... 9
Chapitre 2 : Revue de littérature .............................. ........................................ 12
2.1. Les méthodes de calibrage non rigoureuses ........................................................... 12 2.2. Les méthodes de calibrage semi-rigoureuses in situ ............................................... 15 2.3. Les méthodes rigoureuses de calibrage in lab ........................................................ 22
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie ................... ............................. 27
3.1. Description sommaire de la méthode ...................................................................... 27 3.2. La localisation par intersection spatiale ................................................................... 29 3.3. La transformation de coordonnées ......................................................................... 39 3.4. Le rattachement des distances interférométriques au système de coordonnées de
référence ................................................................................................................ 43 3.5. La localisation des cibles ........................................................................................ 56 3.6. L'incertitude des cibles ............................................................................................ 61 3.7. Détermination des coordonnés des cibles par scanner LiDAR terrestre .................. 67 3.8. Acquisition de données avec le SLM pour le calibrage ........................................... 70
Chapitre 4 : Traitement des données ............................ .................................. 76
4.1. Retour sur les observations à traiter ....................................................................... 76 4.2. Enregistrement des nuages de points LiDAR terrestre ........................................... 79 4.3. Géoréférencement des nuages de points LiDAR terrestre ...................................... 81 4.4. Formation du nuage de points à partir des données LiDAR mobile ......................... 88 4.5. Nettoyage des points erratiques ............................................................................. 95
Chapitre 5 : Cadre mathématique du calibrage ................... ........................... 99
vi
5.1. Définition des équations.......................................................................................... 99 5.2. Pondération des observations............................................................................... 103 5.3. Linéarisation des équations .................................................................................. 104 5.4. Formation des matrices par une approche de construction séquentielle ............... 107 5.5. Estimation des paramètres et de leur incertitude .................................................. 108
Chapitre 6 : Présentation des résultats ........................ ................................. 112
6.1. Résultats de la collecte du 16 mai 2016 ................................................................ 112 6.2. Résultats de la collecte du 22 décembre 2017 ...................................................... 123
Chapitre 7 : Analyse des résultats.............................. ................................... 127
7.1. Différence entre les paramètres par rapport à leur écart-type estimé .................... 127 7.2. Tests statistiques sur le facteur de variance ......................................................... 128 7.3. Installation du MX2 sur le banc de calibrage ......................................................... 132 7.4. Fidélité et justesse des mesures de portée LiDAR ................................................ 136 7.5. Fidélité et justesse des observations de l'IMU....................................................... 139 7.6. Impact des paramètres de calibrage sur les observations ..................................... 143
Chapitre 8 : Conclusion ........................................ .......................................... 150
8.1. Retour sur les objectifs ......................................................................................... 150 8.2. Recommandations pour des travaux futurs ........................................................... 152
Bibliographie ..................................... ................................................................ 156
Annexe A : Fonctions Matlab permettant de traiter l es données recueillies par les stations totales et l'interféromètre .......... ................................................... 159
A.1. F_BacksideCorrection .......................................................................................... 159 A.2. F_AngleCalculator ................................................................................................ 159 A.3. F_CoordCalculator ................................................................................................ 160 A.4. F_ScaleDist .......................................................................................................... 160 A.5. F_Alignment ......................................................................................................... 161 A.6. F_PointToLine ...................................................................................................... 161 A.7. F_RotationTranslation .......................................................................................... 161 A.8. F_det_param6 ...................................................................................................... 162 A.9. F_apply_param6 ................................................................................................... 162 A.10. F_UTMmerid ......................................................................................................... 163 A.11. F_UTMproj ............................................................................................................ 163 A.12. F_UTMproj_inv ..................................................................................................... 163 A.13. F_VarCovMatrix .................................................................................................... 164 A.14. F_Local2GlobalUTM ............................................................................................. 164
Annexe B : Fonctions Matlab permettant d'éliminer l es points erratiques .. 165
B.1. F_SphereCenterExtractor ..................................................................................... 165 B.2. F_SphereFitFixedRadius ...................................................................................... 165
vii
Annexe C : Fonctions Matlab permettant d'appliquer la nouvelle méthode de calibrage.......................................... ................................................................... 166
C.1. F_Calibration ........................................................................................................ 166 C.2. F_ComputeXYZPoint_1Line ................................................................................. 166 C.3. F_RecomputeXYZ ................................................................................................ 167
viii
Liste des tableaux
Tableau 2.1 : Résultats de l’application de la méthode de Le Scouarnec et al. (2014) ..... 25 Tableau 3.1 : Fiche technique des stations totales utilisées ............................................. 29 Tableau 3.2 : Visée arrière de la station numéro 1 en lunette directe ............................... 31 Tableau 3.3 : Visée arrière de la station numéro 1 en lunette renversée .......................... 31 Tableau 3.4 : Visée arrière de la station numéro 2 en lunette directe ............................... 31 Tableau 3.5 : Visée arrière de la station numéro 2 en lunette renversée .......................... 31 Tableau 3.6 : Correction à apporter à toutes les observations ......................................... 32 Tableau 3.7 : Différence entre la longueur mesurée et théorique des mires graduées ..... 38 Tableau 3.8 : Correction de la distance entre les stations avec un facteur échelle ........... 38 Tableau 3.9 : Différence entre la longueur mesurée et théorique des mires après la
correction de la distance entre les stations ................................................ 39 Tableau 3.10 : Coordonnées mesurées des pointés d'orientation sur le banc de calibrage
.................................................................................................................. 41 Tableau 3.11 : Coordonnées du point moyen .................................................................. 41 Tableau 3.12 : Définition du paramètre de translation à appliquer.................................... 42 Tableau 3.13 : Définition du paramètre de rotation à appliquer ........................................ 42 Tableau 3.14 : Coordonnées transformées des pointés d'orientation sur le banc de
calibrage ................................................................................................... 43 Tableau 3.15 : Coordonnées des trous de fixation et du centre de gravité de l’IMU ......... 48 Tableau 3.16: Coordonnées mesurées des quatre trous au site numéro 2 ...................... 51 Tableau 3.17 : Coordonnées du centre de l'IMU dans le système de coordonnées global 52 Tableau 3.18 : Coordonnées de la pointe dans le système de coordonnées global ......... 52 Tableau 3.19 : Valeur des constantes initiales à chaque site ........................................... 53 Tableau 3.20 : Lacet mesuré à chacun des trois sites...................................................... 54 Tableau 3.21 : Comparaison entre les deux collectes de données................................... 54 Tableau 3.22 : Constantes initiales et lacet en direction inverse ...................................... 55 Tableau 3.23 : Hauteur totale de l'ensemble formé par la pointe de jalon et l'adaptateur
d'embase .................................................................................................. 58 Tableau 3.24 : Coordonnées ellipsoïdales de la pointe d'origine ...................................... 60 Tableau 3.25 : Coordonnées UTM de la pointe d'origine .................................................. 60 Tableau 3.26 : Coordonnées UTM des sphères déterminées par intersection spatiale .... 61 Tableau 3.27 : Écart-type des mesures de directions horizontales et verticales calculé à
partir des observations par rapport à l'erreur de fidélité théorique de l’instrument ............................................................................................... 62
Tableau 3.28 : Écart-type associé à chaque type d'observation ....................................... 63 Tableau 3.29 : Écart-type des coordonnées des sphères dans le système de référence
global ........................................................................................................ 64 Tableau 3.30 : Paramètres d'acquisition du FARO Focus 3D X330 ................................. 69 Tableau 4.1 : Description sommaire des programmes permettant de traiter les données
recueillies par les stations totales et l'interféromètre ................................. 78 Tableau 4.2 : Résiduelles de l'enregistrement des deux nuages de points ...................... 80 Tableau 4.3 : Résiduelles de la transformation des quatre sphères de référence ............ 81 Tableau 4.4 : Écart-type des observations des sphères de référence par rapport à l'écart-
type de toutes les observations ................................................................. 82 Tableau 4.5 : Résiduelles de la transformation des quatre sphères de référence pour
chaque scan.............................................................................................. 85
ix
Tableau 4.6 : Résiduelles de la transformation des trois sphères de référence pour chaque scan .......................................................................................................... 85
Tableau 4.7 : Résiduelles de la transformation des quatre sphères de référence ............ 86 Tableau 4.8 : Caractéristiques et coordonnées des 18 sphères extraites du nuage de
points ........................................................................................................ 87 Tableau 4.9 : Les cinq grandes étapes permettant de modifier le fichier de navigation .gps
.................................................................................................................. 90 Tableau 4.10 : Liste des observations contenues dans le fichier de navigation devant faire
l'objet de modifications .............................................................................. 91 Tableau 4.11 : Observations de tous les capteurs permettant de localiser un point à la
surface d'une sphère ................................................................................. 95 Tableau 4.12 : Description sommaire du programme et des fonctions permettant d'éliminer
les points erratiques .................................................................................. 96 Tableau 4.13 : Comparaison des nuages de points avant et après le nettoyage .............. 97 Tableau 5.1 : Valeur des bras de levier et des angles de visée a priori .......................... 101 Tableau 5.2 : Dérivées partielles formant la matrice B ................................................... 104 Tableau 5.3 : Dérivées partielles formant la première matrice �1 .................................. 105 Tableau 5.4 : Dérivées partielles formant la deuxième matrice �2 ................................. 105 Tableau 5.5 : Dérivées partielles formant la matrice A ................................................... 105 Tableau 5.6 : Dérivées partielles formant la première matrice �1 .................................. 106 Tableau 5.7 : Dérivées partielles formant la deuxième matrice �2 ................................. 106 Tableau 5.8 : Dimensions des matrices ......................................................................... 107 Tableau 5.9 : Description sommaire du programme et des fonctions permettant d'appliquer
la nouvelle méthode de calibrage ............................................................ 111 Tableau 6.1 : Écarts par rapport aux sphères de référence avant le calibrage ............... 113 Tableau 6.2 : Estimation de l'erreur de portée du laser du MX2 ..................................... 116 Tableau 6.3 : Coordonnées des sites d'échantillonnage ................................................ 117 Tableau 6.4 : Largeur mesurée entre les murs par les deux instruments ....................... 118 Tableau 6.5 : Valeurs estimées des sept paramètres de correction et de leur écart-type 120 Tableau 6.6 : Valeurs des paramètres avant et après le calibrage ................................. 120 Tableau 6.7 : Écarts par rapport aux sphères de référence après le calibrage pour la
solution à sept paramètres ...................................................................... 121 Tableau 6.8 : Écarts par rapport aux sphères de référence avant le calibrage sans
considérer l'erreur de portée du laser ...................................................... 122 Tableau 6.9 : Valeurs estimées des quatre paramètres de correction et de leur écart-type
................................................................................................................ 122 Tableau 6.10 : Écarts par rapport aux sphères de référence pour la solution à quatre
paramètres .............................................................................................. 123 Tableau 6.11 : Paramètres estimés dans les 2 directions .............................................. 124 Tableau 6.12 : Écarts par rapport aux sphères de référence pour la solution à sept
paramètres dans les deux directions ....................................................... 124 Tableau 6.13 : Valeurs estimées des sept paramètres de correction et de leur écart-type
pour la solution dans les deux directions ................................................. 125 Tableau 6.14 : Écarts par rapport aux sphères de référence pour la solution complète à
sept paramètres ...................................................................................... 125 Tableau 6.15 : Valeurs estimées des quatre paramètres de correction pour toutes les
collectes de données .............................................................................. 126 Tableau 7.1 : Comparaison du facteur de variance entre les 2 collectes de données .... 130
x
Tableau 7.2 : Impact de l'utilisation des paramètres de calibrage déterminés le 16 mai 2016 sur le centre des sphères mesurées par le MX2 le 22 décembre 2016................................................................................................................ 145
Tableau 7.3 : Différence entre les paramètres de correction entre les deux collectes en direction avant ......................................................................................... 146
Tableau 7.4 : Différence entre les paramètres de calibrage entre les deux directions pour la collecte du 22 décembre 2016 ............................................................. 146
Tableau 7.5 : Impact de l'utilisation des paramètres de calibrage déterminés en direction avant sur le centre des sphères mesurées par le MX2 en direction arrière pour la collecte du 22 décembre 2016..................................................... 147
Tableau 7.6 : Différence entre les paramètres de correction après l'ajout d'une constante sur la coordonnée Y du centre de l'IMU en direction arrière .................... 149
xi
Liste des figures
Figure 1.1 : Balayage de la scène avec un scanner LiDAR 2D par le déplacement d'un véhicule (Cahalane et al., 2014) .................................................................. 2
Figure 1.2 : Exemple d'un SLM monté sur une camionnette (Position Partners, 2010) ...... 2 Figure 1.3 : Exemple d'une plateforme aérienne illustrant le mouvement de roulis (roll), de
tangage (pitch) et de lacet (heading) (Oxford Technical Solutions Ltd., 2014).................................................................................................................... 3
Figure 1.4 : Impact d'un SLM non calibré (à gauche) vs un SLM calibré (à droite) sur la localisation des murs et du toit d'un bâtiment à partir de plusieurs passages (Rieger et al., 2010) .................................................................................... 5
Figure 1.5 : Impact d'un SLM non calibré (à gauche) vs un SLM calibré (à droite) sur la localisation des détails d'une toiture d'un bâtiment à partir de plusieurs passages (Rieger et al., 2010) .................................................................... 6
Figure 1.6 : Interféromètre laser et banc de calibrage du Laboratoire de métrologie du Département des sciences géomatiques de l’Université Laval .................... 8
Figure 1.7 : Drone LiDAR AL3-16 de la marque Phoenix Aerial (Phoenix Aerial Systems, 2014)......................................................................................................... 10
Figure 1.8 : Système LiDAR mobile personnalisé à l'UQAR (Didier et al., 2015) .............. 10 Figure 2.1 : Méthode d'ajustement proposée par Kilian, Haala et Englich (1993) ............. 13 Figure 2.2 : Montage LiDAR-IMU sur la table tournante de haute précision (Le Scouarnec
et al., 2014) ............................................................................................... 23 Figure 2.3 : Extraction des lignes formées par des points sur un plan (Le Scouarnec et al.,
2014)......................................................................................................... 23 Figure 3.1: Pièce immobile (origine du système de coordonnées) ................................... 28 Figure 3.2 : Pièce mobile (orientation du système de coordonnées) ................................ 28 Figure 3.3: Triangle formé par la méthode de l'intersection spatiale ................................. 30 Figure 3.4 : Position des mires et des stations totales dans le laboratoire ........................ 36 Figure 3.5 : Type de cible utilisée aux extrémités de chaque mire ................................... 37 Figure 3.6: Les trois axes du système de coordonnées global ......................................... 40 Figure 3.7 : Localisation de la pièce mobile pour les mesures d'orientation du banc de
calibrage ................................................................................................... 40 Figure 3.8 : Le SLM fixé au charriot mobile sur le banc de calibrage ............................... 44 Figure 3.9 : Les différentes versions du MX2 (Trimble, 2014) .......................................... 44 Figure 3.10 : Les trois composantes interférométriques ................................................... 45 Figure 3.11 : Position de l'IMU sur le banc de calibrage ................................................... 46 Figure 3.12 : Plan de conception du fabricant (Trimble, 2013a) ....................................... 48 Figure 3.13 : Vue du dessus du MX2 ............................................................................... 49 Figure 3.14 : Trous faits sur mesure sur la plateforme fixée au charriot mobile ................ 50 Figure 3.15 : Éléments mesurés aux trois sites sur le banc de calibrage ......................... 51 Figure 3.16 : Sphère fixée à une embase ........................................................................ 57 Figure 3.17 : Pointe de jalon fixée à une embase ............................................................ 57 Figure 3.18 : Trois pointes de jalon (à gauche) et grande sphère (à droite) ..................... 57 Figure 3.19 : Modèle de vernier électronique utilisé ......................................................... 58 Figure 3.20 : Impact de la position d’une sphère sur la géométrie du triangle d’observation
.................................................................................................................. 65 Figure 3.21 : Répartition des damiers dans le laboratoire ................................................ 66 Figure 3.22 : Répartition des sphères dans le laboratoire ................................................ 67 Figure 3.23 : Position des sphères vue de la station de scan numéro 1 ........................... 68
xii
Figure 3.24 : Position des sphères vue de la station de scan numéro 2 ........................... 68 Figure 3.25 : Démonstration de la couverture d’une sphère avec des lignes de scan ...... 74 Figure 4.1 : Plan de localisation du scanner par rapport aux sphères dans le laboratoire 84 Figure 4.2 : Nuage de points capté par un scanner LiDAR mobile ................................... 93 Figure 4.3 : Sélection manuelle des points sur la sphère 12 ............................................ 94 Figure 4.4 : Sélection manuelle des points sur la sphère 16 ............................................ 94 Figure 6.1 : Écart sur la sphère numéro 11 .................................................................... 114 Figure 6.2 : Écart sur la sphère numéro 16 .................................................................... 114 Figure 7.1 : Estimation de l'angle de visée associé au lacet (Ψ) .................................... 127 Figure 7.2 : Estimation de l'angle de visée associé au roulis (φ) .................................... 127 Figure 7.3 : Estimation de l'angle de visée associé au tangage (θ) ................................ 128 Figure 7.4 : Estimation de l'erreur de portée du laser (ρ) ............................................... 128 Figure 7.5 : Espace entre la vis et le trou de fixation ...................................................... 132 Figure 7.6 : Plan du fabricant montrant l’axe central du MX2 (Trimble, 2013a) .............. 136 Figure 7.7 : Émetteur et récepteur du pulse laser du MX2 ............................................. 137 Figure 7.8 : Nuage de points de la sphère 12 (vue en angle) ......................................... 138 Figure 7.9 : Ligne de scan de la sphère 5 (vue en coupe) .............................................. 138 Figure 7.10 : Écart-type du lacet, du roulis et du tangage en fonction du temps ............. 140 Figure 7.11 : Roulis et tangage en fonction du temps .................................................... 140 Figure 7.12 : Roulis en fonction de la coordonnée Y du centre de l'IMU dans le système de
coordonnées global ................................................................................. 141 Figure 7.13 : Tangage en fonction de la coordonnée Y du centre de l'IMU dans le système
de coordonnées global ............................................................................ 142
xiii
Remerciements
Deux années, ça passe vite. À pareille date, il y a deux ans, je terminais mon baccalauréat
et je pensais seulement à réussir les examens d'admission à l'Ordre des arpenteurs-
géomètres du Québec. La possibilité de poursuivre mes études à la maîtrise ne prenait
pas encore beaucoup de place dans mon esprit. Pourtant, me voilà déjà tout près d'avoir
un deuxième diplôme universitaire en poche. Ce parcours aurait toutefois été plus difficile
sans plusieurs personnes sur lesquelles j'ai pu compter.
Je voudrais profiter de ce moment pour tout d'abord remercier Christian Larouche, mon
directeur de recherche. Nos nombreux échanges et rencontres m'ont permis d'avancer
dans ce projet et d'atteindre mes objectifs. J'ai aussi beaucoup apprécié son aide pour la
cueillette, le traitement et l'analyse des données. En gros, je veux le remercier pour sa
grande disponibilité!
Je veux aussi remercier Marc Cocard, mon codirecteur de recherche, pour ses conseils et
ses enseignements sur la théorie de la méthode des moindres carrés qui ont été très utiles
dans ce travail. Merci aussi d'avoir pris le temps de répondre à toutes mes questions et de
m'avoir éclairé sur le cheminement à suivre pour la poursuite d'études au deuxième cycle.
J'aimerais aussi remercier Guy Montreuil qui a fabriqué des pièces sur mesure pour mon
projet et qui a été d'une précieuse aide lors de mes journées passées au laboratoire. Merci
aussi à Sylvie Daniel pour le prêt d'un scanner LiDAR terrestre et de ses accessoires qui
ont été indispensables pour mon travail de recherche. Je tiens également à remercier les
gens du Département des sciences géomatiques avec qui c'est toujours plaisant
d'échanger sur des sujets qui peuvent être plus ou moins sérieux.
Je tiens aussi à remercier la Faculté de foresterie, de géographie et de géomatique via le
Fonds de démarrage aux nouveaux chercheurs : mesure et captage haute précision
obtenu par mon directeur de recherche pour le soutien financier constant reçu tout au long
de cette maîtrise. Je remercie également le Fonds Joncas de l'Ordre des arpenteurs-
géomètres du Québec pour la bourse d'études qu'ils m'ont décernée. Un coup de pouce
financier est toujours apprécié!
xiv
Un grand merci à Trimble Geospatial pour le prêt du MX2 et à Yves Thériault du Service
de la géodésie et des levés géospatiaux du Ministère de l'Énergie et des Ressources
naturelles pour le prêt d'un câble GPS qui ont permis de rendre possible l'acquisition de
données dans le cadre de ce projet.
Merci à Robert, mon patron, et à tous mes collègues chez Ecce Terra arpenteurs-
géomètres avec qui je travaille depuis cinq ans. Merci de m'avoir encouragé dans mes
études et d'avoir été compréhensifs face à mon horaire qui n'était pas toujours facile ces
deux dernières années! Merci également pour le prêt d'un scanner LiDAR terrestre et de
ses accessoires qui m'ont été utiles à quelques occasions lors de cette maîtrise.
Je veux aussi remercier ma famille et mes amis. Avec le travail et les études, on n'a pas
toujours le temps d'être présent pour ceux qu'on aime. Je tiens spécialement à remercier
mes parents qui ont toujours été fiers de moi et qui m'ont toujours appuyé dans ce que
j'entreprends. Je tiens aussi à remercier Laurence, ma belle-sœur, qui a pris la peine de
lire ce mémoire en entier et de me faire part de ses commentaires.
Finalement, je tiens à remercier ma copine Gabrielle qui partage ma vie depuis maintenant
cinq ans. Les dernières années n'ont pas toujours été faciles avec mon horaire très
chargé. Heureusement qu'elle ne chôme pas non plus de son côté, car elle aurait trouvé le
temps long à m'attendre! On va enfin pouvoir relaxer un peu cet été et profiter de notre
nouvelle maison.
Encore une fois merci à tous!
Michaël
Chapitre 1 : Introduction
1
Chapitre 1 : Introduction
1.1. Mise en contexte
L'effervescence de la géomatique au cours des 20 dernières années est principalement
liée à l'émergence des nouvelles technologies. Une des technologies récentes qui
révolutionne la collecte de données géospatiales est le LiDAR. De l'acronyme anglais
Light Detection And Ranging, le LiDAR est un système de captage de données qui utilise
la technologie laser pour effectuer la modélisation d'éléments sous la forme d'un nuage de
points.
Le principe sur lequel repose la localisation d'un point par un scanner LiDAR est la mesure
par réflexion directe, c'est-à-dire la mesure de portée par onde électromagnétique sans
l'utilisation d'une cible ou d'un prisme. Pour localiser un point à l'aide de cette technique, le
scanner LiDAR émet une impulsion laser et démarre un chronomètre. Le faisceau laser
est dévié par un miroir rotatif. La position angulaire du miroir est connue en tout temps et il
est donc possible de connaître la direction initiale du faisceau laser. Cette impulsion est
réfléchie lorsqu'elle entre en contact avec un objet et elle retourne en direction de
l'instrument qui arrête le chronomètre au retour de l'onde (Daniel, 2015).
Le temps inscrit sur le chronomètre renseigne sur le temps de parcours de l'onde dans le
milieu. Puisqu’une onde électromagnétique voyage dans le vide à la vitesse de la lumière,
on peut calculer la distance entre l'objet mesuré et l'origine du capteur LiDAR avec
l'Équation 1.1.
� = � × 2 (1.1)
où � ∶ mesure de portée laser;
� ∶ temps de parcours de l'onde dans le milieu; et
∶ vitesse de la lumière.
En mode statique, un scanner LiDAR 2D émet des pulses laser selon un arc de cercle
bien défini. Lorsque le miroir rotatif effectue un tour complet, une nouvelle série de
faisceaux laser sera réémise dans la même direction qu'à la révolution précédente.
Chapitre 1 : Introduction
2
Cependant, lorsqu'il est mis en mouvement, ce capteur permet d'effectuer un balayage de
la scène et de capter des données sur une plus grande étendue, tel qu’illustré à la Figure
1.1.
Figure 1.1 : Balayage de la scène avec un scanner LiDAR 2D par le déplacement d'un
véhicule (Cahalane et al., 2014)
La possibilité d'acquérir des données en déplaçant le capteur LiDAR a mené au
développement des premiers Systèmes LiDAR Mobile (SLM). Ces systèmes ont tout
d'abord été développés pour les plateformes aéroportées pour ensuite être adaptés aux
véhicules terrestres tels des voitures, des véhicules tout terrain, etc. Un exemple de SLM
monté sur une plateforme terrestre est présenté à la Figure 1.2.
Figure 1.2 : Exemple d'un SLM monté sur une camionnette (Position Partners, 2010)
Chapitre 1 : Introduction
Les SLM possèdent trois composantes principales : un capteur actif, soit le
cas présent, une centrale inertielle communément
positionnement GNSS. L'apport de la première composante étant le
décrit ci-haut. Des précisions supplémentaires doivent cependant être apportées aux deux
autres composantes.
Un IMU (Inertial Measurement Unit
et de gyroscopes qui permet de déterminer l'ori
d'une plateforme peut être décrite par trois angles mesurés par rapport aux trois axes
orthogonaux d'un système de coordonnées : le roulis, le tangage et le lacet, tel que montré
à la Figure 1.3.
Figure 1.3 : Exemple d'une plateforme aérienne illustrant le mouvement de roulis (
tangage (pitch) et de lacet
Le système de positionnement GNSS (Global Navigation Satellite System) est en fait le
regroupement des différente
(GLONASS), européenne (Galileo) et chinoise (
positionnement GNSS et l'IMU forment le système de navigation d'un véhicule. Celui
souvent complété par un autre capteur appelé DMI (
composé d’un encodeur optique installé sur une des roues du véhicule. Ce capteur produit
des mesures de déplacement
navigation et permettent d’assurer une
situations de dégradation ou de perte du signal GNSS. Il est également possible d'ajouter
une composante supplémentaire aux SLM comme des caméras numériques qui vont
permettre la prise d'images en même temps
3
Les SLM possèdent trois composantes principales : un capteur actif, soit le LiDAR
cas présent, une centrale inertielle communément nommée IMU et un système de
positionnement GNSS. L'apport de la première composante étant le LiDAR
haut. Des précisions supplémentaires doivent cependant être apportées aux deux
Inertial Measurement Unit) est un instrument électronique muni d'accéléromètres
et de gyroscopes qui permet de déterminer l'orientation d'une plateforme. L'orientation
d'une plateforme peut être décrite par trois angles mesurés par rapport aux trois axes
orthogonaux d'un système de coordonnées : le roulis, le tangage et le lacet, tel que montré
: Exemple d'une plateforme aérienne illustrant le mouvement de roulis (
) et de lacet (heading) (Oxford Technical Solutions Ltd., 2014)
Le système de positionnement GNSS (Global Navigation Satellite System) est en fait le
regroupement des différentes constellations de satellites américaine
(GLONASS), européenne (Galileo) et chinoise (BeiDou/Compass). Le système de
positionnement GNSS et l'IMU forment le système de navigation d'un véhicule. Celui
souvent complété par un autre capteur appelé DMI (Distance Measurement Instru
composé d’un encodeur optique installé sur une des roues du véhicule. Ce capteur produit
de déplacement du véhicule, lesquelles sont intégrées à la solution de
navigation et permettent d’assurer une qualité de positionnement optimale dans
situations de dégradation ou de perte du signal GNSS. Il est également possible d'ajouter
une composante supplémentaire aux SLM comme des caméras numériques qui vont
permettre la prise d'images en même temps que la capture des nuages de points.
LiDAR dans le
et un système de
LiDAR a déjà été
haut. Des précisions supplémentaires doivent cependant être apportées aux deux
) est un instrument électronique muni d'accéléromètres
entation d'une plateforme. L'orientation
d'une plateforme peut être décrite par trois angles mesurés par rapport aux trois axes
orthogonaux d'un système de coordonnées : le roulis, le tangage et le lacet, tel que montré
: Exemple d'une plateforme aérienne illustrant le mouvement de roulis (roll), de
(Oxford Technical Solutions Ltd., 2014)
Le système de positionnement GNSS (Global Navigation Satellite System) est en fait le
américaine (GPS), russe
Compass). Le système de
positionnement GNSS et l'IMU forment le système de navigation d'un véhicule. Celui-ci est
Distance Measurement Instrument)
composé d’un encodeur optique installé sur une des roues du véhicule. Ce capteur produit
du véhicule, lesquelles sont intégrées à la solution de
optimale dans les
situations de dégradation ou de perte du signal GNSS. Il est également possible d'ajouter
une composante supplémentaire aux SLM comme des caméras numériques qui vont
de points.
Chapitre 1 : Introduction
4
Les trois composantes principales d'un SLM effectuent des observations selon une
fréquence propre à chacun de ces instruments de mesure. La haute stabilité de l'horloge
interne du récepteur GNSS permet toutefois de synchroniser ces capteurs de façon à
combiner leurs observations selon la même référence temporelle. La combinaison de ces
instruments de mesure permet de capter des centaines de milliers de points par seconde
avec une incertitude de quelques centimètres. Cependant, tel que discuté à la section
suivante, la fidélité de mesure d'un instrument ne garantie pas sa justesse.
1.2. Problématique
Deux types d'erreurs affectent la qualité des mesures d'un SLM, soit les erreurs aléatoires
et les erreurs systématiques. Les erreurs aléatoires sont liées à la fidélité des observations
mesurées par les différents instruments tandis que les erreurs systématiques ont un lien
avec la justesse des mesures. La fidélité d'un instrument est sa capacité à être constant
dans sa prise de mesure tandis que la justesse d'un instrument est sa capacité à mesurer
le plus près possible d'une valeur de référence (JCGM, 2012). Le concept d'écart-type est
rattaché à la fidélité tandis que l'erreur moyenne quadratique est rattachée à la justesse.
En géomatique, les instruments de captage de données doivent être fidèles et justes,
c'est-à-dire qu'ils doivent non seulement toujours fournir des valeurs près les unes des
autres, mais ils doivent aussi fournir des valeurs les plus proches possible de la réalité. La
meilleure façon d'assurer la justesse des mesures est d'effectuer un calibrage des
instruments.
Le principe du calibrage consiste à ajuster les instruments de mesure de façon à éliminer
les erreurs systématiques, soit les biais présents dans les observations. Le terme
calibrage s'apparente au terme ajustage d'un système de mesure (JCGM, 2012). Ce
procédé diffère de l'étalonnage qui consiste à déterminer une relation entre les valeurs
mesurées par un instrument et les valeurs réelles fournies par un étalon. Deux séries de
paramètres jouent un rôle clé dans le géoréférencement d'un nuage de points capté par
un SLM. Ces paramètres modélisent la géométrie interne entre les capteurs. La première
série de paramètres correspond aux bras de levier entre le LiDAR et l'IMU, soit la distance
entre l'origine du LiDAR et le centre de gravité de l'IMU décomposée dans un système
d'axes orthogonaux en trois dimensions étant le système de coordonnées de l'IMU. Les
bras de levier forment le vecteur � ������� contenu dans l'Équation 2.1 présentée au chapitre
suivant. L'orientation relative entre les systèmes d'axes du LiDAR et de l'IMU, exprimée
Chapitre 1 : Introduction
5
par trois angles étant les angles de visée, correspond à la deuxième série de paramètres
à déterminer par calibrage. Ces trois angles forment la matrice de changement de repère � ������� contenue dans l'Équation 2.1. Des valeurs pour les bras de levier et les angles de
visée sont généralement fournies par le fabricant. Le calibrage sert donc à peaufiner les
valeurs de ces paramètres de manière à minimiser l'impact des erreurs systématiques. Un
troisième paramètre doit aussi être estimé lors du calibrage d'un SLM. Ce paramètre est la
latence qui correspond à l'erreur de synchronisation entre deux systèmes de mesure
causée par le délai requis pour la transmission des données. Étant donné qu'un SLM de
qualité commerciale a été utilisé dans le cadre de ce travail de maîtrise, ce paramètre
n'est pas traité dans ce mémoire.
Tel que mentionné précédemment, les SLM effectuent la collecte de données sous la
forme d'un nuage de points. Advenant le cas où un SLM effectuerait deux passages au
même endroit, les nuages de points propres à ces deux passages devraient
théoriquement se superposer parfaitement. De ce fait, les seuls écarts qu'il serait possible
de distinguer entre les nuages de points seraient dus aux erreurs aléatoires des mesures.
Lorsque les angles de visée et les bras de levier sont mal modélisés, il est possible de
constater des écarts plus ou moins grands entre les nuages de points. Par exemple, les
représentations des murs et du toit d'un bâtiment présent dans plusieurs nuages de points
seraient décalées les unes par rapport aux autres, tel qu'illustré à la Figure 1.4.
Figure 1.4 : Impact d'un SLM non calibré (à gauche) vs un SLM calibré (à droite) sur la
localisation des murs et du toit d'un bâtiment à partir de plusieurs passages (Rieger et al.,
2010)
Chapitre 1 : Introduction
6
Le comportement des surfaces planes permet de bien distinguer les biais présents dans
les nuages de points mesurés par un SLM non calibré. Des points pris séparément ne
bénéficient pas de l'effet de groupe d'un plan. La Figure 1.5 fournit un plan rapproché de la
Figure 1.4 montrant la différence entre les nuages de points pour la toiture du même
bâtiment avant et après le calibrage.
Figure 1.5 : Impact d'un SLM non calibré (à gauche) vs un SLM calibré (à droite) sur la
localisation des détails d'une toiture d'un bâtiment à partir de plusieurs passages (Rieger
et al., 2010)
La détermination des angles de visée et des bras de levier par calibrage est donc
nécessaire pour assurer que les données acquises par ce système soient exemptes
d'erreurs systématiques. L'impact des erreurs de calibrage est directement observable
dans le nuage de points. C'est pour cette raison que la plupart des méthodes de calibrage
utilisent les observations elles-mêmes de manière à détecter les erreurs systématiques et
à les modéliser. Étant donné que les observations sont utilisées, il est certain que la
fidélité et la justesse de celles-ci influencent la qualité du calibrage. Ces éléments sont
directement liés au capteur utilisé.
La plupart des scanners LiDAR permettent de mesurer des portées avec une erreur de
fidélité et de justesse de 1 centimètre ou moins à une distance pouvant aller jusqu'à 50
mètres. Par exemple, le modèle MX8 de Trimble avec une configuration VQ-450 permet
d'enregistrer des mesures de portée avec une erreur de justesse de 8 millimètres et une
erreur de fidélité de 5 millimètres à une distance de 50 mètres (Trimble, 2013c). Une
erreur exprimée en fonction d'une distance de 50 mètres dans un contexte d'acquisition
avec un SLM est très représentative puisqu'en milieu urbain, les façades des bâtiments et
Chapitre 1 : Introduction
7
les éléments à mesurer sont souvent situés à une distance inférieure à cette valeur qui
devient en quelque sorte l'erreur maximale.
Les angles mesurés par l'IMU contribuent aussi aux erreurs aléatoires présentes dans le
nuage de points. La plupart des usagers des SLM n'utilisent pas directement les valeurs
mesurées de ces angles, mais optent plutôt pour une solution en post-traitement. Pour le
modèle VMX-1HA de Riegl, les valeurs pour le roulis et le tangage obtenues après post-
traitement ont une erreur de justesse estimée de 0,005° contre une valeur de 0,015° pour
le lacet (Riegl, 2016). Les valeurs estimées dans ces conditions sont les mêmes pour le
modèle MX8 de Trimble énoncé précédemment.
Le dernier type d'observations utilisées correspond aux observations provenant du
récepteur GNSS. Pour optimiser la fidélité et la justesse de la position calculée par GNSS,
le mode de positionnement relatif avec une station de base et les mesures de phase avec
ambiguïtés fixées doivent être utilisés. La qualité du positionnement GNSS dans un
contexte de captage de données mobiles en territoire urbain peut être dégradée étant
donné que plusieurs obstacles peuvent nuire à l'acquisition des signaux GNSS. La hauteur
des bâtiments et des structures de béton peut couper le signal de certains satellites et
ainsi empêcher la résolution des ambiguïtés de phase. De ce fait, le calcul des
coordonnées en est affecté. C'est pour cette raison qu'il est grandement recommandé de
procéder au post-traitement des données GNSS en intégrant les données de l'IMU de
manière à obtenir une solution de navigation complète. Le taux d'échantillonnage
supérieur de l'IMU et le fait qu'il ne soit pas sensible aux obstacles environnants en font un
allié de taille au récepteur GNSS. Selon la fiche technique du modèle MX8 de Trimble,
une solution de positionnement après post-traitement peut être obtenue avec une erreur
de justesse de 2 centimètres en planimétrie (X,Y) et de 5 centimètres en altimétrie (Z)
(Trimble, 2013c). Lors d'une perte de signaux GNSS, la solution se dégrade et l'incertitude
des coordonnées après post-traitement est de 10 centimètres en planimétrie contre 7
centimètres en altimétrie.
Les erreurs de justesse et de fidélité de toutes les observations se propagent sur les
coordonnées du nuage de points. On constate toutefois que la solution de positionnement
obtenue par le récepteur GNSS contribue pour la majorité du budget total d'erreur des
observations pour le géoréférencement du nuage de points. Puisque les paramètres de
calibrage sont directement estimés à partir des observations, il est certain que les erreurs
Chapitre 1 : Introduction
8
liées aux observations GNSS se propagent directement dans la solution de calibrage.
Cette affirmation est surtout vraie dans un contexte d'acquisition de données au sol où les
distances mesurées sont beaucoup plus courtes que dans un contexte d'acquisition de
données à partir d'un véhicule aéroporté où les distances peuvent atteindre plusieurs
centaines voire même quelques milliers de mètres. Il devient donc nécessaire de trouver
une façon d'estimer les bras de levier et les angles de visée du SLM en minimisant
l'impact de l'erreur de positionnement GNSS.
1.3. Solution proposée
La nouvelle méthode de calibrage développée dans le cadre de cette maîtrise est réalisée
en laboratoire. Le Département des sciences géomatiques de l’Université Laval dispose
d’un laboratoire de métrologie unique au Canada. Il est notamment équipé d’un
interféromètre laser et d’un banc de calibrage. Ces deux instruments sont normalement
utilisés pour calibrer des mires, des rubans et des distancemètres, tel qu'illustré à la Figure
1.6.
Figure 1.6 : Interféromètre laser et banc de calibrage du Laboratoire de métrologie du
Département des sciences géomatiques de l’Université Laval
Ce banc de calibrage d'une longueur totale de 35 mètres est presque parfaitement aligné.
En théorie, seulement des dixièmes de millimètre d’erreur empêcheraient cette structure
d’être parfaitement droite sur toute sa longueur. L’interféromètre permet d’effectuer des
mesures de distance avec un haut degré de justesse et de fidélité sur ce banc de
Chapitre 1 : Introduction
9
calibrage. La résolution d’une mesure de distance avec cet instrument est de 1 micromètre
(0,001 millimètre). Le banc de calibrage et l’interféromètre sont exploités afin d'assembler
une infrastructure adaptée au calibrage des SLM en laboratoire.
L’hypothèse générale de ce travail de recherche est qu’il est possible d’utiliser des
mesures interférométriques pour déterminer la position d’un SLM sur le banc de calibrage.
La variation de la position du SLM sur le banc de calibrage peut permettre de simuler le
déplacement du véhicule. Il devient donc possible de remplacer la trace du véhicule
normalement déterminée par des mesures de positionnement GNSS par des mesures
prises par l’interféromètre. De ce fait, étant donné la grande fidélité des mesures
interférométriques (de l’ordre du micromètre), cette nouvelle méthode de calibrage est
libre d'erreurs de positionnement. La justesse de l'interféromètre peut quant à elle être
assurée par un étalonnage périodique.
Considérant que les angles de visée et les bras de levier sont propres à chaque
instrument et qu'ils sont stables dans le temps, ces paramètres peuvent être déterminés et
revérifiés périodiquement en laboratoire. Il ne devient donc plus nécessaire de les estimer
à partir de collectes de données sur le terrain qui peuvent être très onéreuses considérant
la mobilisation des équipements et du personnel.
1.4. Objectifs
Le développement de nouvelles méthodes de calibrage efficaces est un besoin réel dans
la communauté des utilisateurs des SLM qui sont de plus en plus nombreux. Avec la
miniaturisation des composantes de ces systèmes, on anticipe une multiplication des SLM
sur le marché. Cette période en est encore à son début et en pleine émergence. Au cours
des cinq dernières années, plusieurs drones aéroportés sont apparus sur le marché.
Parmi ces drones, on retrouvait des modèles à ailes fixes et des modèles à hélices. Ces
aéronefs sans pilote, communément appelé UAV (Unmanned Aerial Vehicule), étaient
d'abord munis d'un récepteur GNSS et d'un capteur passif (caméra numérique). Il était au
départ impensable de pouvoir installer un capteur LiDAR sur ces systèmes compte tenu
de leur poids et de leurs dimensions. Grâce au progrès technologique récent, les scanners
LiDAR peuvent maintenant être installés sur des multicoptères. La Figure 1.7 montre un
nuage de points que peut livrer un UAV LiDAR de la marque Phoenix Aerial modèle AL3-
16.
Chapitre 1 : Introduction
10
Figure 1.7 : Drone LiDAR AL3-16 de la marque Phoenix Aerial (Phoenix Aerial Systems,
2014)
Pour ce qui est des plateformes terrestres, il a été vu que les premiers SLM avaient été
installés sur des véhicules tels des mini fourgonnettes et des camions. Les secteurs à
mesurer ne sont toutefois pas toujours situés en bordure des chemins publics. Les
utilisateurs ont donc voulu intégrer les SLM à des véhicules qui peuvent accéder à des
endroits plus difficiles. Un groupe de chercheurs de l'Université du Québec à Rimouski
(UQAR) a intégré les composantes d'un SLM à un véhicule tout terrain (VTT) dans le
cadre de la collecte de données pour certains projets de recherche. L'utilisation d'un VTT,
montré à la Figure 1.8, leur permet d'accéder aux zones côtières du fleuve Saint-Laurent
pour mesurer les berges de façon à notamment quantifier les phénomènes d'érosion et de
submersion.
Figure 1.8 : Système LiDAR mobile personnalisé à l'UQAR (Didier et al., 2015)
Chapitre 1 : Introduction
11
Plusieurs utilisateurs, que ce soit dans un contexte de travail, de recherche ou même de
loisir, ont recours à l'utilisation des SLM. Il est vrai que ces systèmes permettent
d'effectuer la collecte de centaines de milliers de points en un temps très court. Les
données recueillies peuvent être utilisées dans plusieurs champs d'application.
Les utilisateurs des SLM ont certainement une expertise dans leur domaine, mais ils ne
sont pas tous aptes à juger de la justesse des données qu'ils recueillent. Il devient
nécessaire de calibrer les systèmes de mesure de manière à ce que les données
recueillies soient le plus près possible de la réalité. L'utilisation et l'interprétation d'un jeu
de données de mauvaise qualité mèneront à des constats erronés. Le calibrage, qui fait
partie d'une des branches de la métrologie, est un champ d'expertise à part entière.
Ce travail de recherche permet d'implanter une nouvelle procédure de calibrage au sein
des infrastructures existantes au Laboratoire de Métrologie de l'Université Laval de
manière à développer une expertise à l'interne qui peut être utile aux divers utilisateurs
des SLM (Larouche, 2016). Pour parvenir à estimer des valeurs pour les angles de visée
et les bras de levier, une série de manipulations et de traitements est nécessaire. La
plupart des étapes du traitement de données ont été automatisées par des programmes
Matlab de manière à augmenter l'efficacité de la procédure. Le livrable final de ce travail
de recherche est non seulement une description des grandes étapes menant à la
réalisation de cette nouvelle méthode de calibrage en laboratoire, mais aussi une série de
programmes qui permettent de la mettre en œuvre.
Le présent mémoire suit la chronologie de la réalisation de cette méthode de calibrage. Le
Chapitre 2 traite des différentes méthodes de calibrage développées avec le temps, dont
celles sur lesquelles la présente méthode de calibrage s'appuie. Le Chapitre 3 concerne la
préparation du laboratoire et toutes les manipulations nécessaires pour recueillir des
données LiDAR mobiles à l'intérieur alors que le Chapitre 4 présente les diverses étapes
du traitement des données menant, entre autres, à l'assemblage des nuages de points
LiDAR. Le Chapitre 5 jette les bases mathématiques de la nouvelle approche de calibrage
et le Chapitre 6 présente les résultats du calibrage obtenus à partir de cette méthode. Une
analyse plus approfondie des résultats et du travail en général est présentée au Chapitre
7. Finalement, le Chapitre 8 permet de faire un retour et une conclusion sur les éléments
développés au cours de ce présent travail de recherche et propose quelques
recommandations pour orienter la poursuite de la recherche dans cet axe.
Chapitre 2 : Revue de littérature
12
Chapitre 2 : Revue de littérature
Le premier chapitre a permis d'introduire les SLM et la nature des différents capteurs qui
les composent. Ces outils technologiques jouent un rôle de premier plan dans le domaine
de la collecte de données géospatiales. La nécessité de connaître précisément la position
et l'orientation relative entre les capteurs a fait l'objet de plusieurs travaux de recherche.
Plusieurs méthodes de calibrage, plus ou moins rigoureuses, ont été développées avec le
temps. Certaines méthodes fournissent de bons résultats, mais à ce jour, aucune méthode
de calibrage n'est parfaite. Ce sujet de recherche est donc toujours pertinent et doit être
approfondi. Le présent chapitre présentera plusieurs méthodes de calibrage qui ont permis
de construire les bases de la nouvelle méthode de calibrage développée au cours de ce
travail de maîtrise.
2.1. Les méthodes de calibrage non rigoureuses
Les premières méthodes de calibrage de données LiDAR ont été développées pour les
véhicules aéroportés. Au courant des années 1990, le LiDAR aéroporté a gagné du terrain
en termes de popularité pour l'acquisition de données d'élévation pour la production de
modèles numériques de surface. Peu avant, la photogrammétrie aérienne, analytique ou
numérique, était l'outil préconisé pour ce type d'applications. Le LiDAR offrait un avantage
certain par rapport à la photogrammétrie étant donné qu'il permettait de pénétrer le
couvert forestier pour atteindre la surface du sol (Vosselman and Maas, 2001). Il fut
cependant rapidement remarqué que des erreurs systématiques se propageaient dans les
coordonnées des points au sol et que le recouvrement des surfaces ne coïncidait pas
(Kilian, Haala and Englich, 1993).
De façon à diminuer les écarts entre les nuages de points provenant de différentes lignes
de vol ou de différents passages, certaines méthodes de calibrage ont été développées.
Ces méthodes non rigoureuses permettent de diminuer l'impact des erreurs systématiques
sans toutefois effectuer un calibrage du système. Ces méthodes sont dites non
rigoureuses, car elles s'appuient sur les coordonnées des nuages de points au lieu de
traiter les observations brutes provenant des différents capteurs. Le principe qui unit ces
méthodes consiste à déterminer le vecteur de translation et la matrice de rotation à
Chapitre 2 : Revue de littérature
13
appliquer aux coordonnées des points au sol qui permettent de minimiser l'écart entre les
différents nuages de points qui se superposent.
Une des premières méthodes de calibrage développées pour le LiDAR aéroporté utilisait
la notion de surfaces de liaison et de surfaces de contrôle (Kilian, Haala and Englich,
1993). Les surfaces de liaison correspondent aux surfaces planes perceptibles dans des
nuages de points provenant de lignes de vol adjacentes alors que les surfaces de contrôle
correspondent à des surfaces dont on connait la position dans un système de
coordonnées planimétriques donné. Ces surfaces de contrôle peuvent correspondent à
certains toits de bâtiments dont les quatre coins auraient été préalablement localisés avec
un récepteur GNSS, par exemple. Les surfaces de liaison permettent donc de créer un
lien entre les lignes de vol et la surface de contrôle permet de valider la position
géodésique du modèle numérique de terrain. Cette méthode reprend plusieurs principes
de l'aérotriangulation utilisée en photogrammétrie aérienne, telle que montrée à la Figure
2.1.
Figure 2.1 : Méthode d'ajustement proposée par Kilian, Haala et Englich (1993)
Cette méthode d'ajustement du nuage de points LiDAR avec le recouvrement des lignes
de vol et le rattachement au réseau géodésique avec des points de contrôle a été reprise
par Pfeifer (2005) qui mettait l'emphase sur l'extraction automatique de surfaces planaires
dans la zone de recouvrement. Selon une approche semblable, Bash (2000) utilisait des
surfaces planes modélisées par deux lignes de vol pour déterminer une erreur verticale en
plus d'une erreur d'alignement longitudinale et perpendiculaire à la ligne de vol. Une autre
Chapitre 2 : Revue de littérature
14
approche par Vosselman et Maas (2001) cherchait à former deux grilles matricielles
semblables en interpolant les nuages de points dans une zone de recouvrement pour
ensuite déterminer une transformation de coordonnées qui permettraient de superposer
les grilles en minimisant l'écart entre les points. Ces méthodes, quoique variante dans leur
approche, ont la particularité d'être très semblables quant à leur finalité. Elles permettent
de réduire l'impact des erreurs systématiques sur le nuage de points, sans toutefois
chercher à modéliser les paramètres en cause. C'est pour cette raison qu'il faut ici parler
d'ajustement au lieu de calibrage.
Il faut comprendre que les bras de levier et les angles de visée sont des concepts
mécaniques qui interviennent dans le montage des capteurs. Les erreurs systématiques
dans les nuages de points sont attribuées aux différences d'orientation et de position entre
les différents capteurs qui composent les SLM. Dans l'optique de vouloir éliminer les
erreurs systématiques, il faut correctement modéliser les paramètres en cause. Ces
méthodes restent tout de même très populaires pour la principale raison qu'elles sont
faciles à appliquer. Le fait de ne pas recourir aux observations brutes provenant du
système GNSS, de l'IMU et du scanner LiDAR peut être certainement vu comme étant un
avantage. Il s'agit pourtant d'une des raisons pour laquelle ces méthodes sont dites non
rigoureuses.
D'autres faiblesses de ces méthodes sont liées à leur application. La sélection des points
de contrôle entre les nuages de points demande beaucoup de temps de traitement pour
l'opérateur lorsqu'elle n'est pas automatisée. Comme l'opérateur est grandement impliqué
dans l'ajustement, la qualité de l'ajustement est totalement dépendante de la personne.
Cela implique que les résultats sont non répétables et qu'ils seront donc différents d'un
opérateur à l'autre. Cette approche étant manuelle et ardue, l’opérateur a tendance à
travailler sur une ou quelques zones bien définies où il est plus simple d’apparier les
nuages de points. Or, il arrive souvent que la solution pour l'ajustement fonctionne
parfaitement dans cette zone, mais pas ailleurs. On est alors en présence d’un minimum
local où l’erreur est minimisée qu’à cet endroit. Étant donné que l'on cherche à modéliser
les paramètres de calibrage de façon précise et répétable, la procédure de calibrage
développée dans le cadre de ce travail de maîtrise ne reprend pas les principes des
méthodes d'ajustement non rigoureuses.
Chapitre 2 : Revue de littérature
15
2.2. Les méthodes de calibrage semi-rigoureuses in situ
La présence des erreurs systématiques dans les nuages de points LiDAR et leur impact
sur l'assemblage des lignes de vol ont été présentés à la dernière section. La plupart des
méthodes de calibrage proposées précédemment mettent l'emphase sur l'ajustement des
nuages de points sans toutefois s'intéresser à la cause des erreurs systématiques dans
les données. Les SLM sont composés de plusieurs capteurs et le géoréférencement des
nuages de points LiDAR nécessite une modélisation complexe de toutes les observations
ainsi que de la position et de l'orientation relative entre ces capteurs. L'orientation relative
entre l'IMU et le LiDAR est la source d'erreur qui a le plus grand impact sur le
positionnement d'un point (Hebel and Stilla, 2012). Il est donc fortement recommandé de
fixer solidement ces deux capteurs au montage de manière à ce que leur orientation
relative ne change pas pendant leur utilisation. Pour toute installation subséquente, les
angles de visée doivent être déterminés à nouveau, sauf dans un cas où l'IMU fait partie
intégrante du scanner LiDAR comme il est assez courant avec les SLM terrestres. Au
total, six groupes potentiels d'erreurs pourraient permettre d'expliquer la cause des biais
systématiques dans les nuages de points selon Schenk (2001).
Liste des groupes potentiels d'erreurs
1. Les erreurs de portée du laser;
2. Les erreurs angulaires du laser;
3. Les erreurs liées au montage correspondant à l'orientation et à la position relative
entre les capteurs;
4. Les erreurs liées aux mesures de l'IMU;
5. Les erreurs de positionnement GPS;
6. Les erreurs de synchronisation entre les capteurs.
Il est possible d'intégrer et de modéliser toutes les observations pour former l'équation de
géoréférencement d'un point LiDAR, telle que présentée à l'Équation 2.1.
� ������� = �������� + ������� ∙ (� ������� + �� ������� ∙ � ���� ����) (2.1)
où � ������� ∶ coordonnées d'un point LiDAR exprimées dans le système de coordonnées
de projection;
Chapitre 2 : Revue de littérature
16
�������� : coordonnées du centre de l'IMU mesurées par le récepteur GNSS
exprimées dans le système de coordonnées de projection;
������� : matrice de changement de repère formée par les observations angulaires de
l'IMU pour passer du système de coordonnées de l'IMU au système de coordonnées
de projection;
� ������� : bras de levier entre le LiDAR et l’IMU exprimés dans le système de
coordonnées de l'IMU;
� ������� : matrice de changement de repère formée par les angles de visée entre le
LiDAR et l'IMU exprimés dans le système de coordonnées de l'IMU; et
� ���� ���� : coordonnées mesurées par le scanner LiDAR exprimées dans le système
de coordonnées du LiDAR.
Dans cette équation, on tient compte du troisième groupe d'erreurs de Schenk (2001) en
lien avec le montage puisque les bras de levier et les angles de visée y sont présents. Les
bras de levier et les angles de visée peuvent être décomposés en deux parties, soient une
partie déterminée par des mesurages manuels et une partie estimée à partir des
observations faites sur le terrain. Il est plus facile de mesurer directement les
composantes des bras de levier que celles des angles de visée. Contrairement à la
position relative entre les capteurs, l'orientation relative ne peut pas être déterminée
directement avec suffisamment de justesse (Hebel and Stilla, 2012). C'est pour cette
raison que l'on doit utiliser l'équation de géoréférencement direct pour modéliser leur
impact dans le nuage de points.
L'utilisation de surfaces planes, qu'elles soient naturelles ou artificielles, est un outil de
choix pour l'estimation des angles de visée et des bras de levier directement à partir des
observations au sol (Filin, 2001, 2003; Friess, 2006; Skaloud and Lichti, 2006). Les
approches décrites dans ces travaux de recherche sont très similaires et impliquent toutes
l'extraction de surfaces planes dans le nuage de points, la détermination du vecteur
normal de chacun de ces plans et l'utilisation de ces vecteurs normaux pour déterminer les
erreurs d'alignement et de positionnement relatif entre l'IMU et le LiDAR. L'approche
préconisée par Skaloud et Litchi (2006) est celle qui est présentée en détail dans le cadre
de ce travail.
Cette approche de calibrage est dite in situ puisqu'elle s'effectue directement à partir des
observations sur le terrain. Cette méthode estime les angles de visée en utilisant des
Chapitre 2 : Revue de littérature
17
surfaces planes communes décrites par des groupes de points. Ce type d'approche
permet une estimation complète des paramètres de calibrage, c'est-à-dire que tous les
paramètres sont estimés en même temps. Ceci est tout le contraire du patch-test en
bathymétrie, par exemple, qui estime les angles de visée un à la fois (Seube, Levilly and
De Jong, 2016). Cette méthode est toutefois qualifiée de semi-rigoureuse puisqu'elle est
simplement basée sur l'ajustement de surfaces.
Cette méthode de calibrage nécessite l'utilisation de l'équation de géoréférencement d'un
point LiDAR. Certains termes de l'Équation 2.1 doivent donc être développés plus
explicitement. La matrice de changement de repère � ������� qui contient les angles de visée
permet de faire la transition du système de référence du LiDAR au système de référence
de l’IMU. Il est possible de décomposer cette matrice en deux matrices distinctes.
Une première matrice � �������∗ contient les angles a priori déterminés par le fabricant ou par
l'utilisateur à partir de mesures mécaniques. Les angles sont normalement déterminés au
degré près, ce qui permet de disposer de valeurs approchées suffisantes pour le calibrage
du système.
Une deuxième matrice ����∗��� contient les angles de visée qui sont nécessairement de plus
petites valeurs compte tenu de la qualité des valeurs approchées. Comme ces angles sont
très petits, il est impossible de les déterminer par mesure directe. La meilleure façon de
procéder se fait au moyen d'une détermination par moindres carrés à partir des
observations, d'où l'utilisation d'une approche in situ. Étant donné que les angles sont très
petits, on peut approximer la matrice ����∗��� de la façon suivante.
����∗��� = # 1 −% &% 1 −'−& ' 1 ( (2.2)
où %, ' et & : angle de visée du lacet (%), du roulis (') et du tangage (&) (en radians).
La dernière matrice ����∗��� contient donc les angles de visée à déterminer par calibrage. Le
produit de ces deux matrices de changement de repère permet d'obtenir la matrice
complète � ������� .
Chapitre 2 : Revue de littérature
18
� ������� = ����∗��� × � �������∗ (2.3)
Le vecteur � ������� de l’Équation 2.1 contient les bras de levier entre le LiDAR et l’IMU. En
réalité, il existe deux séries de bras de levier dans un SLM. Une première concerne les
bras de levier entre le LiDAR et l'IMU et une deuxième les bras de levier entre l'IMU et
l'antenne GNSS. Les bras de levier entre le centre de l’IMU et l’antenne GNSS sont plus
faciles à modéliser par mesures mécaniques. Lors des calculs de post-traitement de la
trace du véhicule, il est possible de déterminer les coordonnées tridimensionnelles de
l’IMU à partir des observations GNSS et des bras de levier mesurés mécaniquement. Le
vecteur des bras de levier entre l'antenne GNSS et le centre de l'IMU est habituellement
exprimé dans le système de coordonnées du véhicule. Il représente donc une simple
translation pour le rattachement géodésique du nuage de points. Puisqu’il est possible
d’obtenir des valeurs justes pour ce vecteur, il n’apparaît pas directement dans l’équation
de positionnement d’un point LiDAR.
En exprimant les bras de levier entre le LiDAR et l’IMU dans le système de référence de
l'IMU, il est possible de déterminer leur position relative au repos avec des mesures prises
à la station totale, par exemple. Cette façon de procéder permet de disposer de très
bonnes valeurs approchées pour les bras de levier entre le LiDAR et l’IMU. Il est toutefois
intéressant d'intégrer un vecteur supplémentaire de corrections à appliquer aux bras de
levier qu'on peut déterminer par calibrage. La somme de ces deux vecteurs permet donc
d'obtenir des valeurs corrigées pour les bras de levier telles que présentées à l’Équation
2.4.
� = �, + �∗ → .�/�0�12 = 3�/,�0,�1,
4 + 3�/∗�0∗�1∗ 4 (2.4)
où �/ , �0 et �1 : valeurs corrigées des bras de levier entre l'IMU et le LiDAR;
�/,, �0, et �1, : valeurs approchées des bras de levier entre l'IMU et le LiDAR; et
�/∗ , �0∗ et �1∗ : valeurs des corrections à apporter aux valeurs approchées des bras de
levier entre l'IMU et le LiDAR.
Chapitre 2 : Revue de littérature
19
Les paramètres à estimer par moindres carrés étant présentés, il est possible de se
tourner vers les observations qui permettront de déterminer ces paramètres. Certaines
méthodes non rigoureuses nécessitent la sélection de points communs dans les nuages
de points. L'approche de Skaloud et Lichti (2006) est différente à cet égard puisqu'elle
remplace les points pris individuellement par des surfaces planes sur lesquelles reposent
ces points. Ces surfaces planes correspondent principalement aux toits des bâtiments
présents sur la scène dans un contexte de relevé aéroporté. L'utilisation de plans ayant
différentes orientations et inclinaisons permet d'optimiser la qualité du calibrage.
Il a été discuté qu'il est difficile de sélectionner des points communs dans des nuages de
points différents. L'exercice se simplifie lorsqu'il est question d'identifier des plans
représentant une même surface plane provenant de lignes de vol ou de passages
différents. Il est possible de paramétrer un plan avec l'équation suivante.
5667 = 89: 9; 9< 9=>? (2.5)
où 9:, 9; et 9< : valeur des cosinus directeurs du vecteur normal à un plan; et
9= : distance orthogonale entre le plan et l'origine du système de coordonnées.
Pour chaque surface planaire extraite du nuage de points, tous les points appartenant à
cette surface, dont les coordonnées peuvent être exprimées par @�, A� et B�, devraient
respecter l’Équation 2.6.
9:@� + 9;A� + 9<B� + 9= = 0 (2.6)
Les paramètres (9:, 9;, 9< et 9=) de chaque plan présent dans le nuage de points sont
déterminés par moindres carrés lors de la compensation. En raison de la présence des
erreurs aléatoires, les points qui forment la surface plane ne sont pas parfaitement situés
sur le plan. Il est possible de calculer la distance orthogonale d'un point par rapport à un
plan, soit la résiduelle après la compensation, à partir de l’Équation 2.7.
DéFGHIJKKJ = 9:@� + 9;A� + 9<B� + 9= (2.7)
Chapitre 2 : Revue de littérature
20
Il est ensuite possible de vérifier si la valeur de la résiduelle de chaque point demeure à
l'intérieur d'une certaine tolérance qui peut être de 2 centimètres, par exemple. Si certains
points ne respectent pas ce critère, on peut les éliminer de la compensation et ré-estimer
les paramètres du plan à partir des observations restantes. De cette façon, par itérations
successives, il est possible de déterminer l'équation d'un plan avec le moins de bruit
possible sur les points qui le composent.
L'approche de Skaloud et Lichti (2006) consiste à déterminer les valeurs optimales pour
les angles de visée qui forment la matrice � ������� qui vont permettre d'aligner le mieux
possible les vecteurs normaux entre les plans provenant des différents nuages de points.
Cette approche converge normalement en 3 ou 4 itérations successives, dépendamment
de l’éloignement des valeurs a priori par rapport aux valeurs estimées. Cette approche ne
cherche toutefois pas à déterminer les valeurs optimales pour les bras de levier qui
forment le vecteur � ������� puisqu'elle considère que les bras de levier sont préalablement
déterminés par une approche indépendante.
Cette méthode est donc relativement performante en termes de temps de traitement. La
qualité des observations et des valeurs approchées pour les paramètres permet une
convergence en quelques itérations seulement. Aussi, des progrès en termes d'efficacité
pour l'extraction des plans ont permis de diminuer massivement le temps de traitement
pour l'opérateur. Une méthode a été développée en 2007 pour extraire automatiquement
des groupes de points appartenant à un même plan (Skaloud and Schaer, 2007).
Un avantage important de l'utilisation de cette méthode est lié à l'utilisation des moindres
carrés pour l'estimation des paramètres. Une approche par moindres carrés permet non
seulement d'estimer des valeurs pour les paramètres, mais permet aussi d'évaluer leur
incertitude par l'estimation de leur écart-type. Il est donc possible d'anticiper l'impact des
erreurs aléatoires des observations sur l'incertitude des paramètres estimés.
Ce type de méthodes de calibrage semi-rigoureuses a été initialement développé pour les
plateformes aéroportées. Elle a par la suite été adaptée aux véhicules terrestres (Rieger et
al., 2010). Le cadre mathématique est sensiblement le même. L'application de la méthode
diverge légèrement en ce sens que les toits sont peu ou pas visibles à partir d'un véhicule
terrestre. Les surfaces planes utilisées correspondent normalement aux façades des
bâtiments en échange des toits. Au lieu d'extraire des plans communs observés par deux
Chapitre 2 : Revue de littérature
21
lignes de vol différentes dans le nuage de points, les plans extraits sont observés par deux
passages distincts en voiture.
Une des faiblesses de l'utilisation de plans dans un contexte de calibrage des SLM
terrestres est qu'il est beaucoup plus difficile de trouver des plans avec des orientations
différentes que dans un contexte aéroporté, les plans étant presque tous verticaux et
horizontaux (Le Scouarnec et al., 2014). De plus, la plupart des façades de bâtiments sont
parallèles à la rue, ce qui nuit à la variabilité de l'orientation des plans. Il a d'ailleurs été
démontré que l'utilisation de plans avec des orientations et des pentes différentes permet
de minimiser la corrélation entre les paramètres estimés, ce qui favorise de meilleurs
résultats de calibrage (Filin, 2003).
Étant donné que les surfaces planes ne permettent pas toujours de former un
environnement de calibrage optimal, d'autres éléments peuvent être utilisés. Des travaux
ont permis de montrer qu'il est possible de calibrer un SLM en utilisant des panneaux de
circulation et des lignes de transmission électriques en plus des autres surfaces planaires
habituelles tels des façades de bâtiment et des viaducs (Chan, Lichti and Glennie, 2013).
L'utilisation de points de contrôle répartis sur des surfaces horizontales et verticales a
aussi été envisagée (Leslar, Hu and Wang, 2016). Cependant, la matérialisation et le
géoréférencement des points de contrôle dans une approche de calibrage in situ exigent
beaucoup plus de ressources qu'une approche de calibrage par recoupement des
données. Déterminer le nombre minimal de points de contrôle nécessaires et la manière
de les positionner pour correctement estimer les bras de levier et les angles de visée était
donc au cœur de ces travaux.
Ces méthodes de calibrage in situ présentent toutefois une limite importante reliée à
l’utilisation des observations GNSS, lesquelles peuvent être affectées d’erreurs plus
grandes qu’anticipées notamment en raison de problèmes de multi-trajets ou de faible
géométrie des satellites visibles. Les erreurs de positionnement sont plus fréquentes pour
les véhicules terrestres en raison de leur proximité du sol et de nombreux obstacles en
hauteur qui longent les voies de circulation. On peut obtenir une bonne solution de
positionnement cinématique avec le GNSS lorsqu'on utilise un positionnement différentiel,
des mesures de phase, de courtes lignes de base et des récepteurs bi-fréquence. Même
selon une configuration de levé optimale, l'incertitude d'un positionnement cinématique par
observations GNSS sera de l'ordre de 2 centimètres en planimétrie contre 5 centimètres
Chapitre 2 : Revue de littérature
22
en altimétrie. Les erreurs de positionnement GNSS ont donc un impact plus important sur
la détermination des angles de visée dans un contexte de LiDAR terrestre que dans un
contexte de LiDAR aéroporté étant donné que les distances mesurées sont plus courtes et
que le risque de multi-trajets est plus grand (Le Scouarnec et al., 2014). Bref, le recours
aux observations GNSS constitue une véritable faiblesse de ces méthodes de calibrage.
Le bruit présent dans ces observations se propage directement sur la valeur des angles
de visée et des bras de levier déterminés par moindres carrés.
2.3. Les méthodes rigoureuses de calibrage in lab
De façon à éliminer le recours aux observations bruitées de positionnement GNSS, une
méthode de calibrage en laboratoire (in lab) a été développée par Le Scouarnec et al.
(2014). Cette méthode est libre d'erreurs de positionnement puisqu’elle utilise un mode de
positionnement statique. Il a été prouvé que cette méthode est efficace pour déterminer
les angles de visée entre le LiDAR et l’IMU.
Dans le contexte d’un levé avec un SLM terrestre, la contribution des erreurs sur les
angles de visée devrait être sous la barre de 1 centimètre, de manière à être inférieure
aux erreurs de positionnement GNSS. Il est possible d’estimer grossièrement l’impact de
l’erreur des angles de visée sur la position d’un point par une simple équation.
LMNOPQR SQ T�RéQ = U × &MNOPQR SQ T�RéQ (2.8)
où LMNOPQR SQ T�RéQ : contribution de l'erreur des angles de visée;
U : distance mesurée par le laser; et
&MNOPQR SQ T�RéQ : erreurs angulaires sur les angles de visée.
Considérant que les éléments à mesurer en bordure des routes dans le cas d’un levé
terrestre sont à une distance normalement inférieure à 50 mètres, cela signifie que les
angles de visée doivent être déterminés avec une erreur maximale de l’ordre de 0,01
degré. Pour ainsi parvenir à déterminer les angles de visée, les deux capteurs (IMU et
LiDAR) sont installés sur une table tournante. La mise en rotation de cette table tournante
de haute précision permet de stimuler l’IMU et d’effectuer le balayage de la pièce par
mesures LiDAR. La Figure 2.2 permet de visualiser ce montage.
Chapitre 2 : Revue de littérature
Figure 2.2 : Montage LiDAR-
Tout comme la méthode proposée par Skaloud et Lichti
réutilise la paramétrisation des surfaces planes à partir des observations. Les
observations des points appartenant à un même p
haut. Une variante est toutefois introduite dans l’approche.
Le mouvement rotatif du système induit par la table tournante
de mesurer les murs de la pièce avec une variété d'incidences par ra
formés par ces murs. Les points mesurés par le
plusieurs lignes de balayage sur les murs de la pièce. Il est possible d’extraire l’orientation
de ces lignes sur le plan tel qu’on peut le voir sur la
Figure 2.3 : Extraction des lignes formées par des points sur un plan (Le Scouarnec et al.,
Revue de littérature
23
-IMU sur la table tournante de haute précision (Le Scouarnec
et al., 2014)
mme la méthode proposée par Skaloud et Lichti (2006), cette approche
réutilise la paramétrisation des surfaces planes à partir des observations. Les
observations des points appartenant à un même plan devront respecter l’Équation 2.
haut. Une variante est toutefois introduite dans l’approche.
Le mouvement rotatif du système induit par la table tournante permet au scanner LiDAR
de mesurer les murs de la pièce avec une variété d'incidences par rapport aux plans
es points mesurés par le LiDAR sont présentés sous la forme de
plusieurs lignes de balayage sur les murs de la pièce. Il est possible d’extraire l’orientation
de ces lignes sur le plan tel qu’on peut le voir sur la Figure 2.3.
: Extraction des lignes formées par des points sur un plan (Le Scouarnec et al.,
2014)
IMU sur la table tournante de haute précision (Le Scouarnec
, cette approche in lab
réutilise la paramétrisation des surfaces planes à partir des observations. Les
lan devront respecter l’Équation 2.6 ci-
permet au scanner LiDAR
pport aux plans
sous la forme de
plusieurs lignes de balayage sur les murs de la pièce. Il est possible d’extraire l’orientation
: Extraction des lignes formées par des points sur un plan (Le Scouarnec et al.,
Chapitre 2 : Revue de littérature
24
On peut décrire l’orientation de ces lignes de balayage par un vecteur (IV6667). Puisque toutes
ces lignes font partie d’un même plan, cela signifie qu’elles forment un angle de 90 degrés
avec la normale de ce plan. À partir de cette condition, on peut exiger que le produit
scalaire entre les lignes de balayage et le plan respecte l’Équation 2.9.
5667 ∙ IV6667 = 0 (2.9)
où N667 : vecteur normal à un plan; et
uY6667 : vecteur d'orientation d'une ligne de balayage.
Un algorithme a été développé de manière à estimer les angles de visée entre le LiDAR et
l'IMU. Tout comme pour les méthodes de calibrage rigoureuses in situ, cette approche
nécessite l'utilisation des observations et des paramètres de calibrage a priori pour former
l'Équation 2.1 de géoréférencement d'un point LiDAR. Un élément majeur est cependant
exclu de cette équation puisque les coordonnées du centre de l'IMU, habituellement
déterminées par positionnement GNSS, ne sont pas observées. Seulement les
observations de l'IMU et du LiDAR et des paramètres de calibrage à déterminer, soit les
angles de visée et les bras de levier, sont utilisés pour former l'Équation 2.10.
� ���� Z[MP = ���� Z[MP × (� ������� + �� ������� × � ���� ����) (2.10)
où � ���� ���� : coordonnées des points mesurés par le LiDAR;
� ������� : matrice de changement de repère contenant les angles de visée entre le
LiDAR et l'IMU;
� ������� ∶ bras de levier entre le LiDAR et l'IMU;
���� Z[MP ∶ matrice de changement de repère contenant les angles observés par l'IMU
(roulis, tangage et lacet); et
� ���� Z[MP : coordonnées des points sur le mur formant une ligne de balayage dans le
système de coordonnées local du laboratoire.
Cette méthode de calibrage a été testée sur un jeu de données de simulation et sur deux
séries d’observations en laboratoire. Les observations en laboratoire ont été effectuées
pour deux plans seulement, soit un mur et le plancher. Les résultats obtenus sont montrés
dans le Tableau 2.1.
Chapitre 2 : Revue de littérature
25
Tableau 2.1 : Résultats de l’application de la méthode de Le Scouarnec et al. (2014)
Jeux de données Angles de visée Valeur estimée (°) Écart-type (°)
Simulation
Roulis --- 0,0010
Tangage --- 0,0027
Lacet --- 0,0004
Test #1
Roulis 0,0588 0,0104
Tangage -0,0076 0,0305
Lacet -0,2754 0,0323
Test #2
Roulis 0,0469 0,0098
Tangage -0,0055 0,0233
Lacet -0,2965 0,0304
Les résultats obtenus d’après les tests #1 et #2 montrent des valeurs cohérentes en
fonction des écarts-types estimés. Les valeurs des écarts-types estimés d’après les
données expérimentales sont cependant de loin supérieures à celles estimées à partir des
données de simulation. De plus, les écarts entre les angles de visée obtenus lors des
deux tests sont plus grands que 0,01°, sauf pour le tangage. Le critère de fidélité de 0,01°
pour l’estimation des angles de visée n’est pas respecté. Considérant une erreur
expérimentale de l’ordre de 0,03° selon l'écart-type estimé des angles de visée, on peut
prédire une erreur de l’ordre de 3 centimètres sur les coordonnées d’un point mesuré à
une distance de 50 mètres pour ce SLM (voir l'Équation 2.8). En plus de permettre
d'estimer les angles de visée d'un SLM, la table tournante de haute précision permet aussi
d'estimer la latence totale entre l'IMU et le scanner LiDAR (Seube, Picard and Rondeau,
2012).
Néanmoins, cette méthode rigoureuse de calibrage est assez récente et fournit de
meilleurs résultats que les méthodes in situ. On peut émettre l’hypothèse que l’utilisation
d’un plus grand nombre de plans ayant différentes valeurs d’orientation et d’inclinaison
aurait permis d’estimer les angles de visée avec plus de fidélité. Également, avoir à
disposition des surfaces planes de plus grandes étendues permettrait d’augmenter la
longueur des lignes de balayage observées et ainsi de déterminer les paramètres formant
ces orientations avec plus de certitude.
Chapitre 2 : Revue de littérature
26
Cette méthode de calibrage est si prometteuse qu’une demande de brevet européen a été
déposée pour l’ensemble de la méthode intégrant le couplage des systèmes LiDAR-IMU
sur une table tournante de haute précision (Le Scouarnec et al., 2015). Il va sans dire que
toute nouvelle méthode orientée vers un montage plus ou moins similaire ne pourrait
aboutir en raison des droits d’auteurs protégés pour cette technique qui sera brevetée
dans un avenir proche.
Une des raisons qui fait que cette méthode est innovante est l’utilisation d’une table
tournante de haute précision. Ce type d’instrument de mesure n’est cependant pas ouvert
au grand public puisqu’il s’adresse à des utilisateurs très spécialisés. Le prix pour
l’acquisition d’une de ces tables est assez variable compte tenu des différents fabricants et
modèles disponibles sur le marché. On doit toutefois s’attendre à devoir dépenser
quelques dizaines de milliers de dollars pour mettre la main sur un de ces instruments de
haute technologie.
Il existe cependant des points communs entre cette méthode de calibrage et celle
développée dans le cadre du présent travail de recherche. En effet, les deux méthodes
sont effectuées en laboratoire et ne requièrent pas d’observations GNSS. Du côté de
l'approche de Le Scouarnec et al. (2014), la solution est statique et n'a recours à aucune
mesure de positionnement tandis que l'approche du présent travail de recherche utilise
des observations de positionnement libre d'erreurs puisqu’elles sont déterminées par un
interféromètre laser dont l'erreur de mesure est bien en deçà du millimètre. Le prochain
chapitre traitera de l'implantation de la nouvelle méthode de calibrage in lab au sein du
Laboratoire de métrologie du Département des sciences géomatiques de l’Université
Laval.
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
27
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
Les deux premiers chapitres ont permis de présenter l'importance du calibrage dans le
contrôle de la qualité des données recueillies par un SLM. Diverses approches ont été
présentées. Les premières approches peuvent être considérées comme des méthodes
d'ajustement des nuages de points au lieu d'approches de calibrage robustes étant donné
qu'elles cherchent à minimiser les écarts entre les nuages de points de diverses lignes de
vol ou passages. Les approches de calibrage rigoureuses permettent quant à elles
d'estimer les paramètres de calibrage et leur incertitude par la méthode des moindres
carrés. Dans le cadre de ce travail de recherche, une approche rigoureuse est préconisée
et cette approche utilise des sphères comme points de contrôle. La pierre angulaire de ce
travail est l'établissement d'un site de calibrage dont les coordonnées finales des points de
contrôle sont connues avec une incertitude de l'ordre du millimètre. Les différentes étapes
permettant la mise en œuvre de cette procédure de calibrage sont décrites au présent
chapitre.
3.1. Description sommaire de la méthode
La nouvelle méthode de calibrage à développer nécessite la définition et la réalisation d'un
système de coordonnées de haute précision à l'intérieur des murs du Laboratoire de
métrologie du Département des sciences géomatiques de l'Université Laval, ci-après
désigné par « le laboratoire ». Tel que décrit précédemment, un banc de calibrage d'une
longueur totale de 35 mètres ainsi qu'un interféromètre laser sont présents dans ce
laboratoire. Le principe fondamental de cette méthode de calibrage est de localiser, avec
le SLM fixé au banc de calibrage, des cibles dont les coordonnées sont connues de
manière à déterminer les erreurs d'orientation et de position internes dudit système.
Avant de positionner des cibles par rapport à un système de coordonnées de référence, il
faut définir et mettre en place ce système. Puisque le banc de calibrage est au niveau par
rapport à la verticale sur toute sa longueur, sa partie supérieure pourra être utilisée
comme surface de référence. De plus, il est judicieux de définir un axe du système de
coordonnées dans sa direction, car le banc de calibrage est presque parfaitement droit
dans le plan horizontal,. De cette façon, une mesure de distance obtenue par
l'interféromètre influencera seulement un axe du système de coordonnées de référence.
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
28
En plus de définir l'orientation des trois axes orthogonaux du système de référence, il faut
définir son origine. L'origine du système est définie et matérialisée par une pièce
métallique usinée sur mesure par un machiniste du laboratoire. Cette pièce mesure
précisément 1,75 pouce (4,45 centimètres) de hauteur avec une pointe parfaitement
concentrique pour un pointé de haute précision. Le diamètre de cette pièce possède
exactement la même largeur que la surface du banc de calibrage. Cette pièce est
correctement fixée au banc de calibrage avec une serre en C, le tout tel que présenté à la
Figure 3.1. Il est très important que cette pièce ne soit pas déplacée du début jusqu'à la fin
de la procédure. Cette pièce permettra notamment de faire un lien entre les mesures
interférométriques et les coordonnées du SLM lors de la cueillette de données.
Figure 3.1: Pièce immobile (origine du
système de coordonnées)
Figure 3.2 : Pièce mobile (orientation du
système de coordonnées)
Une copie parfaitement identique de cette pièce a été fabriquée. Cette deuxième pièce,
présentée à la Figure 3.2, est quant à elle mobile et servira, entre autres, à mesurer
précisément l'orientation du banc de calibrage. Cette deuxième pièce est dite mobile étant
donné que plusieurs mesures d'orientation du banc de calibrage seront effectuées à des
endroits différents. Ces pièces ont été précisément usinées pour qu'elles soient
précisément localisées. La prochaine section traitera de la méthode choisie pour la
localisation des divers éléments composant le système de coordonnées de référence.
Pointe fine au centre de
la pièce Pièce fixée solidement avec une
serre en C
Diamètre de la pièce égal à la largeur du banc de calibrage
Copie conforme de la première pièce
Pièce mobile pouvant être déplacée sur le banc de calibrage
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
29
3.2. La localisation par intersection spatiale
Pour la localisation d'objets à courte distance, l'intersection spatiale est une méthode qui a
fait ses preuves. Cette méthode implique l'utilisation de plusieurs instruments du domaine
de l'arpentage, soit deux stations totales, un ruban à mesurer, deux trépieds et quatre
mires graduées. Le Tableau 3.1 présente les spécifications techniques des stations totales
utilisées. Chaque mire comprend deux cibles près des extrémités dont la distance entre
ces deux cibles est connue avec justesse . Deux mires sont positionnées à l'horizontale et
les deux autres à la verticale.
Tableau 3.1 : Fiche technique des stations totales utilisées
Modèle Fidélité d'une mesure de
distance
Fidélité d'une mesure
angulaire
Leica FlexLine TS06 1,5 mm + 2 ppm 2''
Leica FlexLine TS06 1,5 mm + 2 ppm 5''
La localisation d'une cible par intersection spatiale est différente de la localisation d'une
cible par les méthodes traditionnelles d'arpentage. Les méthodes traditionnelles utilisent
les observations d'angles et de distances mesurées par la station totale pour calculer les
coordonnées d'une cible. Contrairement aux méthodes d'arpentage traditionnelles, la
méthode par intersection spatiale ne nécessite pas l'utilisation d'un prisme réflecteur
puisque la distance entre une cible et une station totale n'est pas mesurée physiquement,
mais est plutôt calculée indirectement par la Loi des sinus. De ce fait, aucun contact avec
la cible n'est nécessaire. La seule distance mesurée à incorporer à cette méthode est la
distance entre les deux stations, préalablement mesurée avec un ruban à mesurer. Cette
technique est inspirée de celle enseignée dans le cours Métrologie et microgéodésie
(GMT-3000) offert au programme de baccalauréat en sciences géomatiques de
l'Université Laval.
Avant de procéder à la prise de mesures, il faut définir un système de coordonnées local.
Habituellement, la station totale numéro 1 (Inst1) est définie comme étant l'origine du
système (X = 0; Y = 0; Z = 0) et un gisement de 90 degrés est imposé vers la station totale
numéro 2 (Inst2). Les coordonnées de la station totale numéro 2 sont fixées à (X = UGF�\9J�NR]:^�NR];; Y = 0; Z = 0) et un gisement réciproque de 270 degrés est imposé vers
la station totale numéro 1. Lors de la prise de données, la station totale avec la fidélité
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
30
angulaire de 2'' était installée sur la station numéro 1 (Inst1) tandis que la station totale
avec la fidélité angulaire de 5'' remplissait le rôle de station numéro 2 (Inst2). Il est certain
que l'altitude entre les deux stations totales n'est pas identique, alors l'altitude de la station
totale numéro 2 devra être ajustée suite aux observations. Lorsque les deux stations
totales effectuent un pointé vers une même cible (D1), un triangle est formé tel que montré
à la Figure 3.3.
Figure 3.3: Triangle formé par la méthode de l'intersection spatiale
Puisque deux angles et une distance de ce triangle sont mesurés et donc connus, il est
possible de le solutionner en entier avec la Loi des sinus. Les coordonnées de la cible
dans le système local peuvent donc être déterminées à partir des coordonnées des
instruments sans avoir recours à la distance mesurée par le laser des deux stations
totales. Évidemment, plus la distance entre les deux stations est déterminée avec
justesse, moins l'erreur de justesse sur les coordonnées de la cible est importante.
Dans le cadre de ce projet de recherche, des données ont été recueillies trois fois avec la
méthode de l'intersection spatiale. Une première cueillette expérimentale a été réalisée le
6 mai 2016, une deuxième en date du 16 mai 2016 et une dernière plus récente a été
effectuée le 22 décembre 2016. Les données recueillies lors de la dernière séance seront
utilisées de manière à présenter les différentes étapes de réalisation de la méthode avec
des résultats numériques.
La première étape d'une cueillette de données par intersection spatiale est la mise en
station des instruments. Il faut donc orienter les instruments dans le plan avec une visée
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
31
arrière. Chaque pointé a été effectué avec la lunette en visée directe et en lunette
renversée. Pour la mise en station de l'instrument 1, les observations de directions
horizontales (Hℎ) en lunette directe et en lunette renversée sont présentées dans le
Tableau 3.2 et le Tableau 3.3. Pour la mise en station de l'instrument 2, les observations
de directions horizontales (Hℎ) en lunette directe et en lunette renversée sont présentées
dans le Tableau 3.4 et le Tableau 3.5. Il est à noter que trois mesures angulaires en visée
directe et renversée ont été effectuées pour la visée arrière, ce qui signifie que six
observations de directions horizontales sont disponibles à chaque station.
Tableau 3.2 : Visée arrière de la station numéro 1 en lunette directe
De À Hℎ:P`NQ]]Q S�aQ[]Q Hℎ;P`NQ]]Q S�aQ[]Q Hℎ<P`NQ]]Q S�aQ[]Q
Inst Inst (° ' '') (° ' '') (° ' '')
1 2 90°00'00'' 90°00'03'' 90°00'00''
Tableau 3.3 : Visée arrière de la station numéro 1 en lunette renversée
De À Hℎ:P`NQ]]Q aQNTQaRéQ Hℎ;P`NQ]]Q aQNTQaRéQ Hℎ<P`NQ]]Q aQNTQaRéQ
Inst Inst (° ' '') (° ' '') (° ' '')
1 2 270°00'14'' 270°00'14'' 270°00'14''
Tableau 3.4 : Visée arrière de la station numéro 2 en lunette directe
De À Hℎ:P`NQ]]Q S�aQ[]Q Hℎ;P`NQ]]Q S�aQ[]Q Hℎ<P`NQ]]Q S�aQ[]Q
Inst Inst (° ' '') (° ' '') (° ' '')
2 1 270°00'00'' 270°00'05'' 269°59'57''
Tableau 3.5 : Visée arrière de la station numéro 2 en lunette renversée
De À Hℎ:P`NQ]]Q aQNTQaRéQ Hℎ;P`NQ]]Q aQNTQaRéQ Hℎ<P`NQ]]Q aQNTQaRéQ
Inst Inst (° ' '') (° ' '') (° ' '')
2 1 90°00'29'' 90°00'30'' 90°00'31''
Il est possible de constater que les trois pointés de chacune des visées sont très
semblables à quelques secondes près, mais qu'il existe une erreur systématique de
lecture en visée renversée. Il est donc impératif de calculer une correction à appliquer à
toutes les observations selon les écarts constatés en fonction du sens de la visée. Pour
calculer la correction à appliquer, il faut tout d'abord calculer la moyenne des trois
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
32
observations pour chaque type de visée. La correction correspondra à cette valeur
calculée, mais de signe opposé, le tout tel que présenté au Tableau 3.6.
Tableau 3.6 : Correction à apporter à toutes les observations
De À HℎbZcQNNQP`NQ]]Q S�aQ[]Q HℎbZcQNNQP`NQ]]Q aQNTQaRéQ Hℎ[ZaaQ[]�ZNP`NQ]]Q S�aQ[]Q Hℎ[ZaaQ[]�ZNP`NQ]]Q aQNTQaRéQ
Inst Inst (° ' '') (° ' '') (° ' '') (° ' '')
1 2 90°00'01.0'' 270°00'14.0'' -0°00'01.0'' -0°00'14.0''
2 1 270°00'00.7'' 90°00'30.0'' -0°00'00.7'' -0°00'30.0''
Le Tableau 3.6 permet de constater que les corrections à apporter en visée directe sont
presque nulles. Cela est normal étant donné que seules l'incertitude angulaire de
l'instrument et l'incertitude du pointé de l'observateur contribuent à l'écart entre les
mesures. Cependant, l'erreur en visée renversée est très importante et mérite d'être
corrigée. Une erreur d'observation angulaire de 30 secondes d'arc provoquera une erreur
de positionnement de l'ordre de 1,5 millimètre sur une cible située à une distance de 10
mètres. Cet ordre de grandeur concorde avec la fidélité d'une mesure de distance obtenue
directement par le laser d'une station totale telle que présentée au Tableau 3.1. Étant
donné que l'incertitude finale recherchée sur les coordonnées des cibles localisées par
intersection spatiale est submillimétrique, ces erreurs sont non négligeables.
Une fois toutes les observations en lunette directe et renversée de chaque station
corrigée, il est possible de faire la moyenne des observations pour chaque station.
Chaque cible a été localisée deux fois en visée directe et en visée renversée par le même
instrument, ce qui signifie que quatre observations de directions horizontales et verticales
sont disponibles à chaque station. Une première moyenne des directions horizontales et
verticales en lunette directe ou renversée a été calculée pour chaque station. Par la suite,
il fut possible de calculer la moyenne des directions horizontales et verticales en lunette
directe et renversée avec les Équations 3.1 et 3.2.
HℎbZcQNNQ d�NMPQ = HℎbZcQNNQ [Zaa�OéQP`NQ]]Q S�aQ[]Q + (HℎbZcQNNQ [Zaa�OéQP`NQ]]Q aQNTQaRéQ ± 180°)2 (3.1)
HgbZcQNNQ d�NMPQ = HgbZcQNNQP`NQ]]Q S�aQ[]Q + ( 360° − HgbZcQNNQP`NQ]]Q aQNTQaRéQ)2 (3.2)
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
33
Disposant maintenant de valeurs moyennées plus fidèles pour les directions horizontales
et verticales, il est possible d'exprimer les coordonnées d'une cible en fonction des
observations de la station numéro 1 à partir des Équations 3.3, 3.4 et 3.5.
���jPQ = ��NR]: + U�NR]:^��jPQ × sin(Hℎ�NR]:^��jPQ) (3.3)
n��jPQ = n�NR]: + U�NR]:^��jPQ × cos(Hℎ�NR]:^��jPQ) (3.4)
q��jPQ = q�NR]: + U�NR]:^��jPQ × cotan(Hg�NR]:^��jPQ) (3.5)
où ���jPQ , n��jPQ , q��jPQ ∶ coordonnées 3D de la cible;
��NR]:, n�NR]:, q�NR]: ∶ coordonnées 3D de la station numéro 1;
U�NR]:^��jPQ ∶ distance entre la station numéro 1 et la cible;
Hℎ�NR]:^��jPQ ∶ direction horizontale de la station numéro 1 vers la cible; et
Hg�NR]:^��jPQ ∶ direction verticale de la station numéro 1 vers la cible.
La distance entre l'instrument et la cible n'est pas mesurée directement, mais est calculée
à partir de la Loi des sinus. Puisque la Loi des sinus fait intervenir des angles et non des
directions horizontales, il faut transformer les directions horizontales en angles. Les angles
correspondent aux angles intérieurs du triangle formé par la différence entre la direction
horizontale vers la cible et la direction horizontale vers la station servant de visée arrière.
La distance entre l'instrument et la cible en fonction des observations est exprimée par
l'Équation 3.6.
U�NR]:^��jPQ = U�NR]:^�NR]; × sin (∆�NR];)sin (180° − ∆�NR]: − ∆�NR];) (3.6)
où U�NR]:^��jPQ ∶ distance entre la station numéro 1 et la cible;
U�NR]:^�NR]; ∶ distance entre la station numéro 1 et la station numéro 2;
∆�NR]:∶ angle intérieur du triangle à la station numéro 1; et
∆�NR];∶ angle intérieur du triangle à la station numéro 2.
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
34
On peut par la suite insérer l'Équation 3.6 dans les Équations 3.3, 3.4 et 3.5 pour obtenir
des équations complètes de calcul des coordonnées d'une cible à partir des observations
mesurées à chaque station.
���jPQ = ��NR]: + U�NR]:^�NR]; × sin (∆�NR];)sin (180° − ∆�NR]: − ∆�NR];)
× sin(Hℎ�NR]:^��jPQ) (3.7)
n��jPQ = n�NR]: + U�NR]:^�NR]; × sin (∆�NR];)sin (180° − ∆�NR]: − ∆�NR];)
× cos(Hℎ�NR�:^��jPQ) (3.8)
q��jPQ�NR]: = q�NR]: + U�NR]:^�NR]; × sin (∆�NR];)sin (180° − ∆�NR]: − ∆�NR];)
× cotan(Hg�NR]:^��jPQ) (3.9)
Il est inutile de calculer les coordonnées planimétriques de la cible à partir de la station
numéro 2 puisque le résultat sera le même. En effet, puisque les observations de la
station numéro 2 sont utilisées pour calculer la distance entre la station numéro 1 et la
cible, les équations de géoréférencement sont directement dépendantes. Cependant, les
observations de directions verticales ne sont pas utilisées dans les équations précédentes.
Il n'existe aucune dépendance entre les observations altimétriques de la station numéro 1
et de la station numéro 2. Il est donc utile de calculer la coordonnée altimétrique de la
cible à partir de la station numéro 2 avec l'équation suivante.
q��jPQ�NR]; = q�NR]; + U�NR]:^�NR]; × sin (∆�NR]:)sin (180° − ∆�NR]: − ∆�NR];)
× cotan(Hg�NR];^��jPQ) (3.10)
Puisque deux valeurs d'altitude pour une même cible sont calculées, la valeur finale
conservée sera une moyenne de ces deux valeurs.
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
35
q��jPQ = q��jPQ�NR]: + q��jPQ�NR];2 (3.11)
L'écart entre ces deux valeurs est majoritairement dû au fait que l'altitude des deux
stations n'est pas identique. Tel que défini plus tôt, l'origine du système (X = 0; Y = 0; Z =
0) est située à la station numéro 1. L'ajustement en Z doit donc être appliqué seulement à
la station numéro 2. La différence d’altitude entre les deux stations peut être approximée
de la manière suivante.
∆q�NR]; = q��jPQ�NR]; − q��jPQ�NR]: 2 (3.12)
Après seulement une ou deux itérations successives, il est possible de calculer la
différence d'altitude entre la station numéro 1 et la station numéro 2. Lors de la collecte de
données du 22 décembre, cette différence d'altitude était de 0,0121 mètre. Puisque la
distance entre les stations prise au ruban à mesurer était de 4,548 mètres, les
coordonnées initiales de la station numéro 2 étaient (X = 4,548; Y = 0; Z = 0,0121).
L'intersection spatiale est une méthode qui offre très peu d'avantages si la distance entre
les deux stations n'est pas connue avec suffisamment de justesse. Par expérience, il est
possible d'affirmer que l'erreur de justesse d'une distance de l'ordre de 4 mètres mesurée
au ruban ne sera jamais meilleure que quelques millimètres. Il n'y aurait donc peu ou pas
de gain à utiliser cette méthode par rapport aux méthodes d'arpentage conventionnelles si
ce n'est qu'il n'y a aucun contact avec l'objet. Le fait d'éviter les contacts avec les objets à
mesurer permet de minimiser les risques d'erreurs causés par un déplacement. Pour que
cette méthode soit efficace, il faut améliorer substantiellement la qualité de la mesure de
distance entre les stations. Pour y parvenir, on utilise des mires graduées munies de
cibles aux deux extrémités dont la distance est connue à quelques micromètres près. De
cette façon, il devient possible de localiser des cibles avec une incertitude inférieure au
millimètre.
La raison pour laquelle une incertitude submillimétrique est recherchée pour la localisation
des cibles dans le laboratoire est liée à l'Équation 2.8. Le laboratoire est un endroit
restreint. La largeur entre les murs est légèrement inférieure à 10 mètres. Puisque les
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
36
points de contrôle observés par le SLM sur le banc de calibrage devraient être situés à 5
mètres de distance en moyenne, les coordonnées de ces points de contrôle doivent être
connues avec une marge d'erreur de 1 millimètre ou moins étant donné que l'on cherche
toujours à estimer les angles de visée avec une erreur maximale de 0,01 degré. Toutes
les étapes menant à la détermination de ces coordonnées doivent donc respecter ce
critère d'incertitude sur le positionnement.
Une expertise développée depuis quelques dizaines d'années au Laboratoire de
métrologie du Département des sciences géomatiques de l'Université Laval est
l'étalonnage de mires graduées utilisées à des fins de nivellement de haute précision. Des
cibles permanentes ont été fixées aux extrémités de certaines de ces mires et la distance
entre ces cibles a été déterminée avec des mesures prises à l'interféromètre. La
méthodologie employée permet de garantir que la longueur des mires est connue avec
une erreur de justesse de 10 micromètres (0,01 mm) ou mieux.
Lors de la collecte du 22 décembre, quatre mires ont été utilisées. Ces mires sont
identifiées par les lettres A, B, C et D apparaissant à la Figure 3.4. Les mires ont été
positionnées près du banc de calibrage de deux façons différentes. Les mires A et B sont
retenues à la verticale par des serres coulissantes fixées à des piliers alors que les mires
C et D sont déposées horizontalement sur une table et sur le banc de calibrage. La Figure
3.4 montre la disposition des stations totales et des mires dans le laboratoire et le type de
cible utilisée aux extrémités de chaque mire est montré à la Figure 3.5.
Figure 3.4 : Position des mires et des stations totales dans le laboratoire
Mire A Mire B
Mire C
Mire D Inst1
Inst2
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
37
Figure 3.5 : Type de cible utilisée aux extrémités de chaque mire
Il est possible de calculer la distance euclidienne entre les deux cibles d'une même mire à
partir de leurs coordonnées en trois dimensions, tel que montré à l'Équation 3.13.
U��jPQ :^��jPQ ;= t(���jPQ ; − ���jPQ :); + (n��jPQ ; − n��jPQ :); + (q��jPQ ; − q��jPQ :); (3.13)
Dans le cas d'une mire horizontale, les termes ���jPQ ; − ���jPQ : et n��jPQ ; − n��jPQ :
contribueront presque en totalité à la mesure de distance. L'opposé est aussi vrai pour une
mire verticale où la contribution du terme q��jPQ ; − q��jPQ : sera beaucoup plus importante
que celle des deux autres termes. Au niveau des observations brutes, la variation de
l'angle horizontal entre deux cibles influence les composantes planimétriques (X et Y)
alors qu'une variation de l'angle vertical entre deux cibles influence la composante
altimétrique (Z). Le Tableau 3.7 présente la longueur des mires mesurées par rapport à
leur longueur théorique déterminée par interférométrie.
Cible au haut et au bas de la mire
Cible de 40 mm par 40 mm permettant d'effectuer des pointés de haute précision
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
38
Tableau 3.7 : Différence entre la longueur mesurée et théorique des mires graduées
Mires Verticales Horizontales A B C D
Longueur mesurée (m) 2,778225 2,778584 2,852083 2,896220
Longueur théorique (m) 2,780932 2,781192 2,854571 2,898870
Écart (mm) -2,707 -2,608 -2,488 -2,650
Le Tableau 3.7 permet de constater que la longueur des mires mesurées est toujours trop
courte de l'ordre de 2,6 millimètres. Cette différence est directement causée par une erreur
sur la distance mesurée au ruban entre les deux stations totales. La distance mesurée est
erronée de 2 à 3 millimètres, ce qui concorde avec l'ordre de grandeur anticipée pour une
mesure de plus de 4 mètres effectuée avec un simple ruban à mesurer.
Puisque la magnitude de l'erreur est connue, il est possible de la corriger en appliquant
une correction à la mesure de distance entre les deux stations. Cette correction a été
appliquée sous la forme d'un facteur échelle tel que montré à l'Équation 3.14.
u\�JID éℎJKKJ = vw9xIJID yJFIDéJvw9xIJID �ℎéwDGzIJ (3.14)
Seules les mires horizontales ont été utilisées dans le calcul de la correction. Les mires
verticales servent quant à elles de vérifications. Le Tableau 3.8 présente la valeur obtenue
pour le facteur échelle et la valeur de la distance corrigée entre les deux stations.
Tableau 3.8 : Correction de la distance entre les stations avec un facteur échelle
Mires Facteur
échelle
Facteur échelle
moyen
Distance brute
(m)
Distance corrigée
(m)
C 0,99913 0,99911 4,548 4,5521
D 0,99909
Une fois qu'une valeur plus juste a été déterminée pour la distance entre les stations, il est
possible de recalculer les coordonnées des cibles aux extrémités des mires. L'impact de la
qualité de la mesure de distance entre les deux stations est directement observable sur
l'écart entre la longueur mesurée et théorique des mires, tel que présenté au Tableau 3.9.
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
39
Tableau 3.9 : Différence entre la longueur mesurée et théorique des mires après la
correction de la distance entre les stations
Mires Verticales Horizontales
A B C D
Longueur mesurée (m) 2,780708 2,781067 2,854632 2,898808
Longueur théorique (m) 2,780932 2,781192 2,854571 2,898870
Écart (mm) -0,224 -0,125 0,061 -0,062
Le Tableau 3.9 indique que l'erreur résiduelle est également répartie sur les mires
horizontales C et D et que cette erreur est inférieure au dixième de millimètres. L'erreur
résiduelle est 2 à 4 fois plus grande sur les mires verticales, mais celles-ci n'ont pas servi
aux calculs de la correction à appliquer contrairement aux mires horizontales. Néanmoins,
elles servent à valider que la localisation d'objet par intersection spatiale permet de
déterminer les coordonnées de cibles avec une incertitude de l'ordre de quelques
dixièmes de millimètres tout en minimisant les risques d'erreurs, puisqu'aucun contact
n'est fait avec l'objet à mesurer. Maintenant que l'efficacité de cette méthode est prouvée,
le reste de la procédure menant à la réalisation d'un système de coordonnées de haute
précision peut être présenté.
3.3. La transformation de coordonnées
Pour parvenir à réaliser la matérialisation d'un système de coordonnées, il faut d'abord
définir son origine et l'orientation de ses axes. L'origine concorde avec le centre de la
pièce usinée montrée à la Figure 3.1. L'axe choisit matérialisé par l'orientation du banc de
calibrage est l'axe Y et les valeurs sont croissantes lorsqu'on s'éloigne de l'interféromètre.
Cela signifie que plus la distance mesurée par l'interféromètre est grande, plus la
coordonnée Y est grande. À la surface du banc de calibrage, l'altitude est nulle et les
valeurs croissantes de l'axe Z sont définies vers le haut. Pour compléter ce système de la
main droite, l'axe X est défini en direction du mur le plus près du banc de calibrage, c'est-
à-dire le mur droit. Les axes du système de coordonnées ainsi défini sont présentés à la
Figure 3.6.
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
40
Figure 3.6: Les trois axes du système de coordonnées global
En plus de localiser l'origine du système par intersection spatiale, quatre autres mesures
ont été effectuées à des endroits prédéfinis sur le banc de calibrage. Ces mesures ont été
effectuées à l'aide de la pièce mobile montrée à la Figure 3.2. Une distance de l'ordre de
12 mètres sépare la dernière mesure et la première mesure correspondant à l'origine. La
distance entre chacune des mesures est très semblable et celle-ci correspond à la
distance entre chaque pilier supportant le banc de calibrage, le tout tel que présenté à la
Figure 3.7.
Figure 3.7 : Localisation de la pièce mobile pour les mesures d'orientation du banc de
calibrage
X
Y Z
Origine Orientation numéro 1
Orientation numéro 2
Orientation numéro 3
Orientation numéro 4
Origine (X = 0, Y = 0, Z = 0)
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
41
La partie centrale supérieure de la pièce usinée, ci-après nommée « la pointe », a été
mesurée par les deux stations totales à chaque endroit sur le banc de calibrage. Étant
donné que l'altitude du banc de calibrage est recherchée et non celle de la pointe, une
correction de 1,75 pouce en altitude a été appliquée à chacun de ces cinq pointés. La
pièce fixée au banc de calibrage permet donc d'imposer une origine au système tandis
que la pièce mobile déplacée aux quatre endroits stratégiques permet de calculer
l'orientation du banc de calibrage et de vérifier si celui-ci est réellement de niveau. Les
coordonnées des quatre mesures d'orientation et de la mesure de l'origine dans le
système de coordonnées local des stations totales sont montrées dans le Tableau 3.10.
Tableau 3.10 : Coordonnées mesurées des pointés d'orientation sur le banc de calibrage
Pointés �PZ[MP nPZ[MP qPZ[MP (m) (m) (m)
Origine 8,0097 3,6637 -0.4786
Orientation no 1 5,6120 3,6534 -0.4795
Orientation no 2 2,5508 3,6405 -0.4791
Orientation no 3 -0,5065 3,6279 -0.4789
Orientation no 4 -3,7830 3,6150 -0.4792
Pour calculer l'orientation du banc de calibrage, un point moyen a été calculé à partir des
coordonnées de tous les points d'orientation.
Tableau 3.11 : Coordonnées du point moyen
�bZcQN nbZcQN qbZcQN
(m) (m) (m)
Point moyen 0,9683 3,6342 -0,4792
L'orientation du banc de calibrage, soit le gisement entre l'origine et le point moyen, est
calculée à partir de l'Équation 3.15.
{DGJ9�\�Gw9 yJFIDéJ = arctan (�bZcQN − �Za�O�NQnbZcQN − nZa�O�NQ ) (3.15)
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
42
L'orientation mesurée du banc de calibrage dans le système de coordonnées local des
stations totales est de -90°14'24''. Pour effectuer le passage du système de coordonnées
local au système de coordonnées global de référence à établir, une transformation de
coordonnées s'impose. Cette transformation implique une translation en trois dimensions
ainsi qu'une rotation des axes du système de coordonnées dans le plan. Les paramètres
de cette transformation sont présentés dans le Tableau 3.12 et le Tableau 3.13.
Tableau 3.12 : Définition du paramètre de translation à appliquer
X (m) Y (m) Z (m)
Coordonnées de l'origine mesurée du banc de calibrage 8,0097 3,6637 -0,4786
Coordonnées de l'origine imposée du banc de calibrage 0,0000 0,0000 0,0000
Translation à appliquer (}) -8,0097 -3,6637 0,4786
Tableau 3.13 : Définition du paramètre de rotation à appliquer
Gisement (° ' '')
Orientation mesurée du banc de calibrage -90°14'24''
Orientation imposée du banc de calibrage 0°0'0''
Rotation à appliquer dans le sens antihoraire (~) 90°14'24''
À partir des paramètres de rotation et de translation, l'équation de transformation des
coordonnées peut être définie à partir de l'Équation 3.16.
3�OPZjMPnOPZjMPqOPZjMP 4 = # cos (~) sin (~) 0−sin (~) cos (~) 00 0 1( × 3�PZ[MP + }�nPZ[MP + }cqPZ[MP + }� 4 (3.16)
où �OPZjMP , nOPZjMP , qOPZjMP ∶ coordonnées d'un point dans le système de coordonnées
global;
�PZ[MP , nPZ[MP , qPZ[MP ∶ coordonnées d'un point dans le système de coordonnées local;
~ ∶ angle de rotation; et
}/, }0, }1 ∶ paramètres de translation.
De manière à vérifier la qualité de la transformation du système de coordonnées local vers
le système de coordonnées global, la transformation a été appliquée aux coordonnées des
mesures d'orientation et d'origine du banc de calibrage.
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
43
Tableau 3.14 : Coordonnées transformées des pointés d'orientation sur le banc de
calibrage
Pointés �OPZjMP nOPZjMP qOPZjMP
(m) (m) (m)
Origine 0,0000 0,0000 0,0000
Orientation no 1 -0,0002 2,3978 -0,0009
Orientation no 2 -0,0003 5,4590 -0,0004
Orientation no 3 -0,0001 8,5163 -0,0002
Orientation no 4 0,0007 11,7929 -0,0005
Le Tableau 3.14 fournit beaucoup de renseignements sur la qualité des mesures et de la
transformation de coordonnées appliquée, mais également sur l'alignement et l'élévation
du banc de calibrage. La colonne �OPZjMP permet de constater qu'à quelques dixièmes de
millimètres près, le banc de calibrage est presque parfaitement aligné. La colonne qOPZjMP, quant à elle, indique que le banc de calibrage est presque parfaitement au niveau sur
toute la longueur de 12 mètres mesurée. On peut même constater que le point d'origine a
toujours une altitude supérieure aux points d'orientation. Cette différence peut être causée
par le fait que le banc de calibrage soit réellement surélevé à cet endroit ou que la pointe
fixée au banc n'ait pas tout à fait la même élévation que la pointe mobile à quelques
dixièmes de millimètres près. Peu importe la cause de ce phénomène, les données
permettent de constater que pour une erreur de justesse sous la barre du millimètre, le
déplacement d'un SLM sur le banc de calibrage influencera seulement la coordonnée Y et
que les coordonnées X et Z seront constantes tout au long de ce déplacement. La
réalisation du système de coordonnées est donc conforme à sa définition.
3.4. Le rattachement des distances interférométriqu es au
système de coordonnées de référence
Pour effectuer une collecte de données avec le SLM en déplacement sur le banc de
calibrage, il faut que le SLM soit installé sur une plateforme mobile. Un charriot mobile
était déjà disponible au laboratoire. Un microscope est habituellement fixé à ce charriot
pour effectuer des pointés sur des mires et des rubans d'arpentage en vue de leur
étalonnage. Le microscope a été enlevé et une plateforme a été usinée sur mesure pour
fixer le SLM à ce charriot. Le résultat de ce montage est présenté à la Figure 3.8.
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
44
Figure 3.8 : Le SLM fixé au charriot mobile sur le banc de calibrage
Le SLM utilisé lors de ce laboratoire est un MX2 généreusement prêté par le fabricant
Trimble. Le modèle « Single Head » mis à disposition est celui disposant d'un seul
scanner laser. Toute la procédure de calibrage est donc faite sur mesure pour le MX2 de
modèle « Single Head ». Certaines adaptations au niveau de la programmation seraient
nécessaires pour que les divers programmes développés pour le traitement des données
soient compatibles avec d'autres SLM. Néanmoins, la procédure développée est générale
et pourrait s'appliquer à tous les types de SLM sur le marché. Les différentes versions du
MX2 sont montrées à la Figure 3.9.
Figure 3.9 : Les différentes versions du MX2 (Trimble, 2014)
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
45
Une caractéristique innovante de cette approche est que le déplacement du SLM sur le
banc de calibrage est déterminé par des mesures de distances prises par un
interféromètre. Trois composantes interviennent principalement dans les prises de
mesures interférométriques, le tout tel que présenté à la Figure 3.10. La première
composante est un laser de modèle XL-80 de Renishaw (Renishaw, 2016). Il s'agit d'une
nouvelle acquisition par le Laboratoire de métrologie faite à l'automne 2016. Ce laser a
d'ailleurs été utilisé lors de la cueillette du 22 décembre 2016. La deuxième composante
est une optique linéaire fixée sur le banc de calibrage tandis que la troisième composante
est une optique linéaire fixée au charriot mobile qui se déplace sur le banc de calibrage.
Figure 3.10 : Les trois composantes interférométriques
Lorsque cet interféromètre est utilisé avec le compensateur environnemental XC-10, le
fabricant garantit une fidélité de 0,5 particule par million (ppm) sur les mesures de distance
(Renishaw, 2016) . Cela signifie que pour une mesure de distance avoisinant les 10
mètres, la fidélité de la distance fournie par cet instrument est de l'ordre de 5 micromètres.
Cependant, ce compensateur environnemental n'était pas disponible lors de la prise de
mesures. Selon le fabricant, la fidélité d'une mesure de distance non compensée peut
Laser XL-80 de Renishaw
Optique linéaire
fixe
Optique linéaire mobile
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
46
avoisiner les 20 ppm dans des conditions environnementales normales. Pour un
déplacement maximal de 12 mètres sur le banc de calibrage, une erreur de 20 ppm
signifie une erreur de l'ordre de 0,2 millimètre. Quoique non optimale, une erreur de
quelques dixièmes de millimètre sur les mesures interférométriques est nettement
suffisante étant donné que la contribution des autres erreurs de positionnement est plus
importante. La justesse des mesures de cet interféromètre est garantie par un étalonnage
périodique de l'instrument.
Un interféromètre permet d’effectuer des mesures de distance relative entre deux objets.
Pour obtenir la mesure d’un déplacement absolu, il faut définir une valeur zéro. Pour
assurer un rattachement physique à la valeur zéro définie, l’origine du système de
coordonnées matérialisée par la pièce usinée a été utilisée. Lorsque le charriot mobile est
adossé à cette pièce métallique, la mesure de distance affichée par l’interféromètre est
nulle. Cependant, la valeur de la coordonnée Y recherchée ne correspond pas à la
distance entre le bord du charriot mobile et la pièce usinée, mais à la position de l’IMU sur
le banc de calibrage. Tel que montré à la Figure 3.11, lorsque la distance mesurée par
l’interféromètre est nulle, la coordonnée Y représentant la position de l’IMU sur le banc de
calibrage correspond au déplacement initial.
Figure 3.11 : Position de l'IMU sur le banc de calibrage
Coordonnée Y de l’IMU = distance + déplacement initial
Charriot adossé à la pièce (distance = 0)
Coordonnée Z de l’IMU = constante
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
47
Ce déplacement initial est constant partout sur le banc de calibrage et toute mesure de
distance effectuée par l’interféromètre peut être transformée en coordonnées à partir des
équations suivantes.
���� = �/ (3.17)
n��� = U�N] + �0 (3.18)
q��� = �1 (3.19)
où ���� , n��� , q��� ∶ coordonnées du centre de l'IMU;
�/, �0, �1 ∶ constantes initiales; et
U�N] ∶ distance mesurée par l'interféromètre.
Il est difficile, voire impossible, de localiser directement le centre de l’IMU étant donné que
celui-ci est installé dans un boîtier fermé. De plus, même si l’IMU était accessible, il
faudrait être en mesure de connaître précisément l’endroit où est situé son centre de
manière à le mesurer. Bref, en raison de ces difficultés, seul le plan de conception du
fabricant (Figure 3.12) permet de déterminer la position du centre de l’IMU.
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
48
Figure 3.12 : Plan de conception du fabricant (Trimble, 2013a)
Sur ce plan, il est possible de constater que le centre de gravité de l’IMU (IMU C.O.G) est
positionné par rapport aux quatre trous de fixation de la plateforme du MX2. Dans un
système de coordonnées arbitraire, il est possible d’exprimer les coordonnées des quatre
trous de fixation et du centre de gravité de l’IMU, le tout tel que présenté dans le Tableau
3.15.
Tableau 3.15 : Coordonnées des trous de fixation et du centre de gravité de l’IMU
Élément �Maj�]aM�aQ nMaj�]aM�aQ qMaj�]aM�aQ
(mm) (mm) (mm)
Trou A 152 0 0
Trou B -152 0 0
Trou C -152 330 0
Trou D 152 330 0
IMU C.O.G. 0 143 52
Trou C
Trou D
Trou B
Trou A
Centre de l'IMU
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
49
Une des raisons pour laquelle les trous de fixation ont été utilisés est le fait que ceux-ci
sont accessibles et clairement définis, contrairement au centre du laser et au centre de
phase de l’antenne GPS. De plus, étant donné que quatre trous sont présents, si une
erreur se glisse dans la prise de mesure, il est facile de la détecter. Habituellement, ces
trous de fixation servent à assembler le MX2 sur une plateforme elle-même ancrée au toit
d’un véhicule. Dans la situation présente, le MX2 est fixé au charriot mobile par quatre vis
insérées dans leur trou respectif.
Figure 3.13 : Vue du dessus du MX2
La localisation des trous de fixation n’est pas effectuée directement, mais bien
indirectement. Puisque le MX2 lui-même nuit à la prise de mesures, les quatre trous ne
sont pas localisés sur le MX2, mais sur la plateforme du charriot servant à le supporter.
Des trous ont été percés précisément à partir des mesures théoriques montrées sur le
plan d’installation du fabricant. Puisque le dessous du MX2 s’appuie directement sur la
plateforme, le dessus de la surface métallique de la plateforme du charriot a la même
élévation que la partie inférieure de la plateforme du MX2.
Trou C
Trou D Trou A
Trou B
X
Y IMU
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
50
Figure 3.14 : Trous faits sur mesure sur la plateforme fixée au charriot mobile
Puisque les trous sont sensiblement à la même hauteur que les stations totales, il est ardu
de bien voir leur centre au travers de la lunette. Des vis ont donc été insérées dans ces
trous pour servir de cibles pour la localisation de la partie centrale, le tout tel que montré à
la Figure 3.15. Des pointés à partir de chaque station totale ont donc été effectués au
centre de chaque vis, directement à la surface de la plateforme métallique. Un pointé
supplémentaire a également été effectué sur la pièce mobile à laquelle le charriot est
adossé. En connaissant la différence de coordonnées entre les quatre trous et la pièce
mobile, il est possible de déterminer les constantes initiales recherchées.
De manière à minimiser les risques d'erreur et à s'assurer que les constantes initiales
recherchées demeurent réellement constantes sur toute la longueur de la section
d’environ 12 mètres utilisée sur le banc de calibrage, les mesurages ont été effectués à
plus d'un endroit. Ces endroits correspondent aux mêmes sites où ont été prises les
mesures d'orientation numéro 1, 2, et 3, tels qu'illustrés à la Figure 3.7. Ces endroits ont
été privilégiés puisqu'ils sont assez bien répartis sur cette section du banc de calibrage,
mais aussi puisqu'ils sont situés plus près des stations totales, ce qui favorise la qualité
des pointés. C'est pour cette raison qu'un mesurage n'a tout simplement pas été effectué
à la position de l'origine vraie du système ni au site numéro 4. De toute façon, puisque la
pièce mobile est une copie conforme de la pièce fixe, les résultats sont compatibles avec
une différence sous la barre du millimètre.
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
51
Figure 3.15 : Éléments mesurés aux trois sites sur le banc de calibrage
Pour chaque site, on dispose des coordonnées des quatre trous et de la pointe adossée
au charriot. De manière à bien illustrer tous les calculs qui permettent de déterminer les
valeurs des constantes initiales, les observations mesurées au site numéro 2 sont
présentées. Les coordonnées mesurées sont exprimées dans le système de coordonnées
global après la transformation.
Tableau 3.16: Coordonnées mesurées des quatre trous au site numéro 2
Site Trou X (m) Y (m) Z (m)
2
A 0,1576 2,4447 0,1277
B -0,1465 2,4440 0,1295
C -0,1499 2,7743 0,1294
D 0,1535 2,7753 0,1285
Puisque l'on dispose des coordonnées théoriques des quatre trous exprimées dans un
système de coordonnées arbitraire et des coordonnées mesurées de ces quatre mêmes
trous exprimées dans le système de coordonnées de référence global, il est possible
d'appliquer une transformation à quatre paramètres aux coordonnées des trous théoriques
pour les amener sur les trous mesurés. Cette transformation est aussi appliquée aux
coordonnées théoriques du centre de gravité de l'IMU. Le paramètre de rotation et les
trois paramètres de translation de cette transformation ont été déterminés par moindres
Trou A
Trou B
Trou C
Trou D
Centre de la pointe abaissé à l'altitude du banc de calibrage (hauteur de la pointe = 1,75 pouce)
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
52
carrés à chacun des trois sites. Une fois la transformation appliquée, on obtient les
coordonnées théoriques du centre de l'IMU exprimées dans le système de coordonnées
de référence global, le tout tel que présenté dans le Tableau 3.17.
Tableau 3.17 : Coordonnées du centre de l'IMU dans le système de coordonnées global
Site X (m) Y (m) Z (m)
2 0,0041 2,5875 0,1807
3 0,0042 5,6487 0,1813
4 0,0044 8,7062 0,1814
Étant donné que les sites de mesure sont disposés à différents endroits sur le banc de
calibrage, il faut connaître les coordonnées mesurées de la pointe adossée au charriot à
chacun des sites pour calculer les constantes initiales (voir Tableau 3.18).
Tableau 3.18 : Coordonnées de la pointe dans le système de coordonnées global
Site X (m) Y (m) Z (m)
2 -0,0002 2,3978 -0,0009
3 -0,0003 5,4590 -0,0004
4 -0,0001 8,5163 -0,0002
Les coordonnées X et Z de la pointe correspondent aux écarts d'alignement et de hauteur
du banc de calibrage. Ces valeurs sont équivalentes à celles inscrites dans le Tableau
3.14, car les mêmes pointés ont été utilisés pour déterminer l'orientation et la hauteur du
banc de calibrage, ce qui limite le nombre de mesures nécessaires. La valeur Y, quant à
elle, est directement liée à la mesure de déplacement le long du banc de calibrage par
rapport à l'origine. À chacun des sites, on doit soustraire les coordonnées de la pointe aux
coordonnées du centre de gravité de l'IMU pour déterminer les constantes initiales. La
valeur finale utilisée correspond à la moyenne des trois sites.
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
53
Tableau 3.19 : Valeur des constantes initiales à chaque site
Site �/ (y) �0 (y) �1 (y)
2 0,0043 0,1897 0,1816
3 0,0045 0,1898 0,1818
4 0,0045 0,1899 0,1816
Moyenne 0,0044 0,1898 0,1817
Écart-type 0,0001 0,0001 0,0001
En plus d'être utilisés pour déterminer les constantes initiales, les trous de fixation peuvent
aussi servir à déterminer la différence d'alignement entre le MX2 et le banc de calibrage.
Dans un monde idéal, il n'existerait aucune erreur d'orientation entre l'axe du MX2 et l'axe
du banc de calibrage correspondant à l'axe Y du système de coordonnées de référence.
Cependant, en pratique, il est fort possible que l'alignement des trous de fixation de
chaque côté du banc de calibrage ne soit pas parallèle à l'orientation de celui-ci. On peut
exprimer cette erreur d'alignement par l'Équation 3.20.
�DDJID H′\KGx9JyJ9� = \D�\9 (�?aZ` � − �?aZ` �n?aZ` � − n?aZ` � ) (3.20)
Les coordonnées utilisées pour le calcul de l'alignement sont les coordonnées théoriques
des trous de fixation exprimées dans le système de coordonnées global. De cette façon,
l'erreur d'alignement mesuré à partir des trous B et C situés à l'ouest et à partir des trous A
et D situés à l'est du banc de calibrage est identique puisque l'orientation des trous est
parallèle selon le plan du fabricant. Puisque la direction du banc de calibrage dans le
système de coordonnées global est de 0°, toute direction mesurée dans ce système
correspond à une orientation par rapport au nord conventionnel du système global. Cette
erreur d'alignement renseigne sur la direction horizontale du SLM et il correspond à la
valeur du lacet, une des trois composantes habituellement mesurées par l'IMU.
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
54
Tableau 3.20 : Lacet mesuré à chacun des trois sites
Site Lacet (° ' '') Lacet (°)
2 -0°25'02'' -0,4173
3 -0°24'21'' -0,4057
4 -0°26'02'' -0,4339
Moyenne -0°25'08'' -0,4190
Écart-type 0°00'51'' 0,0141
On peut constater que les valeurs pour le lacet diffèrent de quelques centièmes de degrés
pour chaque site. Selon le fabricant, il y a une distance de 33 centimètres entre les trous B
et C. Pour une si courte ligne de base, une erreur de 0,1 millimètre sur la position d'un des
trous entraîne une erreur légèrement inférieure à 2 centièmes de degrés sur l'orientation
calculée. Étant donné que l'écart-type des constantes initiales respecte cet ordre de
grandeur, il est normal de s'attendre à ce que l'écart-type du lacet soit autour de 0,02
degré. Bref, même en utilisant une méthodologie qui permet de déterminer la position
d'éléments avec une incertitude inférieure au millimètre, la valeur du lacet mesurée pour
un système aussi compact que le MX2 ne pourra être guère mieux que quelques
centièmes de degrés. Cette erreur est cependant tolérable dans le budget d'erreur prévu
puisque l'estimation de l'angle de visée du lacet est toujours plus difficile que celui du
roulis et du tangage. Néanmoins, la procédure établie cherche à déterminer les angles de
visée du roulis et du tangage avec une erreur maximale de l’ordre de 1 centième de
degrés. L'erreur associée à l'angle de visée du lacet ne pourra quant à elle jamais être
meilleure que 1,5 centième de degrés.
Puisque des valeurs pour les constantes initiales et le lacet ont été déterminées à deux
dates différentes, il est intéressant de comparer les résultats obtenus à partir de ces deux
cueillettes de données distinctes.
Tableau 3.21 : Comparaison entre les deux collectes de données
Date �/ (y) �0 (y) �1 (y) Lacet (°)
6 mai 2016 0,0045 0,1897 0,1822 -0,3988
22 décembre 2016 0,0044 0,1898 0,1817 -0,4190
Différence 0,0001 0,0001 0,0005 -0,0202
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
55
On constate que les résultats sont semblables pour les deux cueillettes de données. Dans
les deux cas, la procédure utilisée était la même, mais puisque le montage a entièrement
été démonté et refait entre les deux séances d'observation, les solutions finales ne sont
pas dépendantes. Les valeurs des constantes initiales sont identiques à quelques
dixièmes de millimètres près, ce qui correspond à des écarts tolérables et raisonnables.
Le faible écart de 2 centièmes de degrés sur le lacet est impressionnant étant donné qu'un
très léger déplacement du charriot peut causer une erreur d'alignement importante.
Bref, la procédure utilisée mène à des résultats compatibles entre eux. Pour ce qui est des
constantes initiales, les mêmes valeurs pourraient toujours être utilisées pour chaque
calibration d'un même SLM, ce qui permettrait d'économiser quelques heures sur la
cueillette et le traitement des données menant à la réalisation du système de coordonnées
de référence et à leur détermination. Dans le cas du lacet dont la valeur est très sensible à
tout déplacement du charriot, il serait préférable de répéter la procédure plusieurs fois en
enlevant complètement le charriot du banc de calibrage entre chaque séance de
mesurage. De cette façon, il serait possible de vérifier si les résultats se répètent et
prendre une décision à savoir si une valeur moyenne pour le lacet serait suffisante. Étant
donné que les trous de fixation et le centre de gravité de l’IMU sont situés au même
endroit pour les trois modèles de MX2, la valeur des constantes initiales et du lacet est la
même dans les trois cas. Cependant, pour d’autres types de SLM, la valeur des
constantes initiales et du lacet serait à déterminer avant leur calibrage.
Les valeurs des constantes initiales et du lacet déterminées précédemment sont valables
lorsque le MX2 est fixé au charriot avec une direction pointant vers le nord conventionnel.
Lors de la collecte de données du 22 décembre, des observations ont été recueillies par le
MX2 en direction nord (aller) et en direction sud (retour). Des valeurs pour les constantes
initiales et pour le lacet ont donc dû être déterminées dans les deux directions. Ces
valeurs moyennes déterminées en direction inverse (retour) sont montrées dans le
Tableau 3.22.
Tableau 3.22 : Constantes initiales et lacet en direction inverse
Date �/ (y) �0 (y) �1 (y) Lacet (°)
22 décembre 2016 0,0041 0,2338 0,1817 179,5810
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
56
La valeur pour la constante �1 est identique dans les deux directions étant donné que
l'orientation du MX2 ne contribue pas à la modification de l'élévation de l'IMU. La
constante �/ est elle aussi très semblable étant donné que le centre de l'IMU est toujours
situé à l'est du banc de calibrage. La principale différence se situe au niveau de la
constante �0. Cette différence de 4,4 centimètres est montrée sur le plan du fabricant
(Figure 3.12) et s'explique par le fait que la position de l'IMU sur la ligne centrale n'est pas
située exactement au milieu des trous de fixation (0,187 contre 0,143 mètre). Il est
primordial de déterminer les constantes initiales dans les deux directions puisque l'erreur
sur la position du centre de l'IMU se propage directement dans les paramètres de
calibrage. Pour ce qui est du lacet, on peut calculer sa valeur en direction inverse
seulement par l'ajout ou le retrait de 180 degrés.
3.5. La localisation des cibles
Pour mettre en œuvre la procédure de calibrage du MX2, les cibles choisies sont des
sphères blanches. Deux modèles ont été utilisés, soit des sphères de moyen et de grand
formats. Le diamètre nominal des sphères de grand format est de 198,8 millimètres (ATS,
2013) tandis que celui des sphères de moyen format est de 139 millimètres (ATS, 2012).
Un total de 18 sphères, 8 grandes et 10 moyennes, étaient disponibles et ont été bien
réparties dans le laboratoire à l’intérieur de la section sélectionnée de 12 mètres du banc
de calibrage. Le principe est de déterminer les coordonnées du centre de chacune de ces
sphères dans le système de coordonnées de référence global. Cependant, localiser
l'ensemble de ces sphères par intersection spatiale est une tâche ardue et longue. De
manière à contourner ce problème, un scanner LiDAR terrestre a été utilisé. Avec cet
instrument, l'acquisition est plus rapide et le centre de toutes les sphères peut être extrait
facilement du nuage de points. Cependant, il est nécessaire de connaître les coordonnées
du centre de certaines de ces sphères pour pouvoir géoréférencer le nuage de points
dans le système de coordonnées de référence global. Minimalement, deux sphères sont
nécessaires pour orienter un scan LiDAR. Dans le cadre de la collecte du 22 décembre
2016, quatre sphères ont été préalablement géoréférencées par la méthode de
l'intersection spatiale.
Il est impossible de localiser précisément le centre d'une sphère avec une station totale.
Pour contourner cette difficulté, la sphère a été retirée et remplacée par un autre objet qui
s'insère dans l'embase fixée sur un trépied d'arpentage. L'objet choisi pour remplacer la
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
57
sphère est une pointe de jalon. La sphère et la pointe de jalon sont présentées à la Figure
3.16 et la Figure 3.17 respectivement.
Figure 3.16 : Sphère fixée à une embase
Figure 3.17 : Pointe de jalon fixée à une
embase
Des filets sont présents à la base de la pointe de jalon, ce qui permet de visser celle-ci sur
la plupart des embases utilisées dans le domaine de l'arpentage. L'avantage de ces
pointes est qu’elles sont pointues en leur centre, favorisant ainsi la qualité du pointé. Les
coordonnées planimétriques de la pointe localisée par intersection spatiale concordent
donc avec les coordonnées planimétriques du centre de la sphère. Il reste cependant un
ajustement à faire en hauteur pour déterminer les coordonnées en trois dimensions du
centre de chacune des quatre sphères à localiser. Lors de la cueillette de données du 22
décembre, trois pointes de jalon différentes ont été utilisées afin de remplacer les sphères
ayant un plus grand rayon. L'une de ces pointes a été utilisée à deux reprises pour
localiser la position d'une quatrième sphère.
Figure 3.18 : Trois pointes de jalon (à gauche) et grande sphère (à droite)
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
58
À première vue, la hauteur totale des trois pointes de jalon et de leur adaptateur d'embase
semble très similaire. La hauteur totale (�) de chacun des trois ensembles a toutefois été
mesurée à des fins de vérifications à l'aide d'un vernier électronique qui possède une
résolution d'un centième de millimètre.
Figure 3.19 : Modèle de vernier électronique utilisé
Il était difficile de bien mesurer la hauteur avec le vernier électronique étant donné que les
mesures du bout de la pointe jusqu'à la partie inférieure de l'adaptateur ne sont pas prises
à la verticale. La qualité de chaque mesure prise individuellement n'est donc pas
constante. Puisque les trois ensembles ont des hauteurs mesurées assez semblables,
une moyenne de toutes les mesures a été calculée. Le Tableau 3.23 montre que trois
mesures ont été observées (H1, H2 et H3) pour chaque pointe A, B et C et la valeur
moyenne des neuf observations est retenue.
Tableau 3.23 : Hauteur totale de l'ensemble formé par la pointe de jalon et l'adaptateur
d'embase
Pointe �: (mm) �; (mm) �< (mm) �bZcQNNQ (mm)
A 108,53 108,57 108,72
108,1 B 107,74 107,50 107,29
C 108,18 108,04 108,49
Pour rattacher la hauteur de la pointe à la hauteur du centre de la sphère, il faut connaître
l'élévation du centre de la sphère jusqu'à la base de l'adaptateur d'embase. D'après la
fiche technique du fabricant, cette hauteur est de 196 millimètres (ATS, 2013). Bref, il est
possible de calculer l'altitude en mètres du centre de trois des quatre sphères à partir de la
hauteur de la pointe mesurée avec l'Équation 3.21.
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
59
q�QN]aQ SQ PM R��èaQ = q�Z`] SQ PM �Z�N]Q − 0,1081 + 0,196 (3.21)
Pour l'altitude de la quatrième sphère portant le numéro 9 dans le Tableau 3.26, la
procédure est quelque peu différente. Seulement trois adaptateurs d'embase conçus par
le fabricant étaient disponibles lors de la cueillette de données alors un quatrième
adaptateur d'embase a simplement été remplacé par un anneau métallique usiné sur
mesure d'une épaisseur de 20 millimètres. Cet anneau est vissé sur un plateau d'embase
d'une épaisseur de 31,5 millimètres mesurée avec le vernier électronique. La hauteur du
centre de la sphère jusqu'à la surface du plateau est de 152 millimètres, toujours mesurée
avec le vernier électronique. La hauteur de 152 millimètres était plus difficile à mesurer,
car il a fallu localiser le centre apparent de la sphère. Néanmoins, cette valeur était
constante pour tous les mesurages effectués. L'altitude finale en mètres de cette dernière
sphère est calculée avec l'Équation 3.22.
q�QN]aQ SQ PM R��èaQ = q�Z`] SQ PM �Z�N]Q − 0,1081 + 0,0315 + 0,152 (3.22)
Puisqu'il est très difficile de déterminer la position exacte du centre d'une sphère par de
simples mesures manuelles, il est possible que l'altitude calculée de cette quatrième
sphère soit erronée d'environ 2 millimètres. Le fabricant garantit quant à lui une erreur de
justesse de 1 millimètre sur les mesures inscrites à la fiche des spécifications. Néanmoins,
même si l'altitude de cette quatrième sphère a un degré d'incertitude plus élevé, les
coordonnées planimétriques du centre de cette sphère ont le même degré d'incertitude
que les trois autres.
Pour compléter le géoréférencement des sphères, une étape supplémentaire est
nécessaire. Une contrainte liée à l'utilisation d'un SLM quant aux systèmes de
coordonnées à utiliser est le fait qu'un SLM utilise les observations GNSS pour calculer sa
position sur l'ellipsoïde en latitude, en longitude et en hauteur. Lorsqu'on veut remplacer
la position du SLM, il faut que les coordonnées de remplacement soient dans le même
format. Bref, il faut convertir la distance mesurée par l'interféromètre en latitude, en
longitude et en hauteur. Les détails de cette transformation sont présentés au Chapitre 4
portant sur le traitement de données. Dans le même ordre d'idée, les logiciels de
cartographie de données LiDAR mobile utilisent des projections cartographiques pour
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
60
visualiser les nuages de points. L'ellipsoïde WGS84 et le système de projection UTM sont
définis en prévision de la visualisation et du traitement du nuage de points dans le logiciel
de cartographie de données LiDAR mobile. L'idée est de faire un lien entre le système de
coordonnées global, le système de coordonnées ellipsoïdal (latitude et longitude) et le
système de coordonnées de projection UTM. Encore une fois, la pointe d'origine sera la
pièce maîtresse de cette transformation de coordonnées. Les coordonnées ellipsoïdales
définies pour cette pièce sont présentées dans le Tableau 3.24.
Tableau 3.24 : Coordonnées ellipsoïdales de la pointe d'origine
Point Latitude Longitude Hauteur
Origine 45°00'00'' -69°00'00'' 0,0000 m
La latitude choisie de 45 degrés est tout simplement arbitraire. La longitude de 69 degrés
ouest correspond à la longitude du méridien central de la zone 19 de la projection UTM.
Le long du méridien central d'une projection de type UTM, la convergence des méridiens
est nulle. Cette paire de coordonnées place donc le banc de calibrage directement sur le
méridien central de la projection UTM et son orientation est de 0 degré par rapport au nord
géographique. De plus, en imposant une ondulation du géoïde nulle, la hauteur sur
l'ellipsoïde devient identique à la hauteur orthométrique. De ce fait, il est possible de
calculer les coordonnées UTM de la pointe d'origine.
Tableau 3.25 : Coordonnées UTM de la pointe d'origine
Point ��?� (m) n�?� (m) q�?� (m)
Origine 500000,0000 4982950,4002 0,0000
Étant donné que l'orientation des axes des trois systèmes est la même, aucune rotation
n'est nécessaire. Pour passer du système de coordonnées global défini précédemment
aux coordonnées de projection UTM, une simple translation est nécessaire.
��?� = �OPZjMP + 500000 (3.23)
n�?� = nOPZjMP + 4982950,4002 (3.24)
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
61
q�?� = qOPZjMP (3.25)
Les coordonnées 3D finales du centre des sphères dans le système de coordonnées de
projection UTM sont montrées dans le Tableau 3.26.
Tableau 3.26 : Coordonnées UTM des sphères déterminées par intersection spatiale
Sphère ��?� (y) n�?� (y) q�?� (y)
18 499997,2116 4982961,5010 0,5098
8 499992,9365 4982956,3403 -0,0106
1 499997,1623 4982951,4215 0,8159
9 499998,1082 4982955,5731 0,5860
Pour parvenir à localiser les sphères et à réaliser toutes les étapes menant à leur
localisation, il faut prévoir 3 à 4 heures de relevés pour un seul opérateur. Il est certain
que le temps d'acquisition peut être diminué si une deuxième personne opère la deuxième
station totale pour effectuer les pointés. Cependant, il est préférable qu'un seul opérateur
effectue la prise de mesures de manière à ne pas introduire d'erreur sur l'interprétation
des éléments à mesurer. Il est donc possible que les données collectées par une même
personne soient biaisées, mais si cette erreur est constante tout au long de la prise de
mesures, celle-ci n'apparaitra pas dans les données recueillies.
3.6. L'incertitude des cibles
En plus de connaître les coordonnées de ces sphères, il est important de connaître leur
incertitude. Il est possible d'estimer l'écart-type des coordonnées des cibles à partir des
observations d'angle et de distance. Dans le calcul des coordonnées, les observations
provenant des deux stations totales sont nécessaires, tel que présenté aux Équations 3.7
à 3.11. Pour la distance entre les deux stations, un écart-type de 0,2 millimètre a été
déterminé comme étant une valeur assez représentative étant donné que celle-ci
correspond à l'ordre de grandeur des résiduelles sur les mires verticales. Pour l’écart-type
des mesures de directions horizontales et verticales, il ne faut pas se limiter à l'erreur de
fidélité fournie par le fabricant. En effet, la qualité de la vision de l’opérateur influence
d'une manière assez importante les lectures angulaires.
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
62
Pour déterminer l’erreur totale des mesures angulaires, les observations elles-mêmes ont
été utilisées. Chaque élément mesuré a été localisé à quatre reprises étant donné que
deux mesures en visée directe et deux autres en visée renversée ont été effectuées. Les
valeurs finales, soient HℎbZcQNNQ d�NMPQ et HgbZcQNNQ d�NMPQ, sont en fait une moyenne des
quatre valeurs corrigées calculées en lunette directe et renversée. Il est donc intéressant
de connaître l’écart à la moyenne de toutes les observations pour chaque élément
localisé. Ces valeurs ont été compilées et l’écart-type a été jugé comme étant une valeur
déterminante pour exprimer l'erreur de fidélité observée des mesures angulaires.
Tableau 3.27 : Écart-type des mesures de directions horizontales et verticales calculé à
partir des observations par rapport à l'erreur de fidélité théorique de l’instrument
Écart-type déterminé à partir des
observations
Erreur de fidélité théorique de
l'instrument
Directions
horizontales ('')
Directions
verticales ('')
Directions
horizontales ('')
Directions
verticales ('')
Station 1 3 4 2 2
Station 2 8 14 5 5
On constate que la qualité du pointé de l’observateur influence directement la qualité des
observations en plus de l'erreur de fidélité angulaire de base de l'instrument. Cette erreur
est de l’ordre de 2 secondes autant en direction horizontale qu’en direction verticale, le
tout tel qu’on peut le voir dans le Tableau 3.27. On constate aussi qu’il semble y avoir une
erreur importante sur les lectures de directions verticales pour la station numéro 2. Une
analyse des observations a mis en évidence qu’il existe une erreur systématique entre les
observations en lunette directe et en lunette renversée. Cette erreur a été corrigée pour
les directions horizontales, mais n’a pas été considérée pour les directions verticales étant
donné qu’une moyenne des observations des deux stations est faite pour calculer l’altitude
des éléments mesurés. Cette erreur est toutefois habituellement beaucoup moins
importante lorsque la station totale est proprement calibrée. Néanmoins, à partir des
observations, il possible de démontrer que l’impact de cette erreur sur les mesures est de
l’ordre de 0,1 millimètre seulement sur l’altitude des éléments mesurés. Bref, l’écart-type
de toutes les observations est présenté dans le Tableau 3.28.
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
63
Tableau 3.28 : Écart-type associé à chaque type d'observation
Observation Écart-type U�NR]:^�NR]; 0,2 yy
Hℎ�NR]:^��jPQ 3′′√9
Hg�NR]:^��jPQ 4′′√9
Hℎ�NR];^��jPQ 8′′√9
Hg�NR];^��jPQ 14′′√9
∆�NR]: √2 × 3′′√9
∆�NR]; √2 × 8′′√9
La lettre 9 désigne le nombre d'observations. Étant donné que les mesures d'angle ont été
observées à deux reprises en lunette directe et en lunette renversée, la valeur de 9 est de
4 pour chaque mesure d'angle et de direction. De plus, la matrice de variance et de
covariance des observations (∑PP) est une matrice diagonale, car les observations sont
considérées indépendantes.
∑PP = ������������������������; 0�S������������; �ST�����������; �S������������; �ST�����������; �∆�����;0 �∆�����; ���
������ � (3.26)
Disposant des Équations 3.7 à 3.11, qui sont les équations permettant de calculer les
coordonnées des cibles localisées par intersection spatiale, il est possible de former la
matrice jacobienne des dérivées partielles (¡) des coordonnées en fonction des
observations.
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
64
¡ = ��������
¢�¢U�NR]:^�NR];¢�Hℎ�NR]:^��jPQ
¢�Hg�NR]:^��jPQ¢�Hℎ�NR];^��jPQ
¢�Hg�NR];^��jPQ¢�∆�NR]:
¢�∆�NR];¢n¢U�NR]:^�NR];¢nHℎ�NR]:^��jPQ
¢nHg�NR]:^��jPQ¢nHℎ�NR];^��jPQ
¢nHg�NR];^��jPQ¢n∆�NR]:
¢n∆�NR];¢q¢U�NR]:^�NR];¢qHℎ�NR]:^��jPQ
¢qHg�NR]:^��jPQ¢qHℎ�NR];^��jPQ
¢qHg�NR];^��jPQ¢q∆�NR]:
¢q∆�NR];������ � (3.27)
Il est donc possible de déterminer l'écart-type des coordonnées du centre des sphères à
partir de l'équation de propagation de la variance.
∑�� = ¡ × ∑PP × ¡? (3.28)
Les coordonnées des sphères étant exprimées dans le système de coordonnées UTM, on
doit aussi exprimer leur incertitude dans ce système. Il faut donc tenir compte de la
rotation des axes du système de coordonnées. La translation n'est pas considérée étant
donné que la dérivée d'une constante est nulle.
Tableau 3.29 : Écart-type des coordonnées des sphères dans le système de référence
global
Sphère X (mm) Y (mm) Z (mm)
18 0,4 1,3 0,1
8 0,2 0,1 0,1
1 0,1 0,6 0,1
9 0,1 0,1 0,0
Les écart-types calculées des sphères 8 et 9 concordent relativement bien avec l'ordre de
grandeur des résiduelles sur la longueur des mires. On constate aussi que l'écart-type de
la coordonnée Z est assez semblable pour toutes les sphères. Cela s'explique par le fait
que toutes les sphères sont relativement à la même hauteur et que cette hauteur
correspond sensiblement à la hauteur de la lunette des stations totales. De ce fait, les
directions verticales observées sont toutes près de 90°. Pour ce qui est des coordonnées
planimétriques, on peut constater que l'écart-type de la coordonnée Y des sphères 18 et 1
est respectivement environ 10 et 5 fois plus grande que les autres coordonnées
planimétriques. Cela s'explique par la position de ces sphères par rapport aux stations
totales. Ces sphères sont situées aux extrémités de la partie couverte par le banc de
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
65
calibrage et dans la même orientation que les stations totales. De ce fait, lorsqu'un pointé
est effectué sur l'une de ces sphères, l'angle intérieur à la première station est très obtus
tandis que celui à la deuxième station est très aigu et vice-versa. L'erreur se propage donc
dans la direction de l'aplatissement du triangle formé par cette sphère et les stations
totales, ce qui correspond à l'axe Y du système de coordonnées global. Ce phénomène
est présenté à la Figure 3.20.
Figure 3.20 : Impact de la position d’une sphère sur la géométrie du triangle d’observation
Pour améliorer la géométrie du triangle d’observation et ainsi minimiser l'écart-type des
coordonnées des sphères 1 et 18, il faudrait repositionner les sphères de référence selon
une nouvelle configuration. Il faut toutefois s’assurer que les sphères couvrent le
laboratoire en largeur et en longueur. De plus, une analyse des données recueillies par le
MX2 a montré une dégradation des mesures de portée du LiDAR lorsque les sphères sont
situées trop près du banc de calibrage. Bref, plusieurs tests resteraient à faire de manière
à déterminer une configuration idéale entre les sphères de référence et les stations
totales. Ainsi, il serait possible de déterminer une configuration permettant de localiser le
centre des sphères avec une incertitude inférieure au millimètre.
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
66
En plus des sphères, des damiers ont été localisés lors de la cueillette de données du 16
mai 2016 (voir Figure 3.21). Ces damiers offrent l'avantage d'être peu coûteux et d'être
simples à installer étant donné que ceux-ci ne sont que des motifs de couleur noir et blanc
imprimés sur une feuille de papier standard.
Figure 3.21 : Répartition des damiers dans le laboratoire
Le centre des damiers est facilement localisable avec une station totale. Ces éléments
peuvent aussi être extraits dans un nuage de points. Des tests ont toutefois permis de
constater que le centre des sphères pouvait être estimé avec plus de fidélité que le centre
des damiers à partir d'un nuage de point LiDAR. C'est pour cette raison que ce type
d'éléments n'a pas été réutilisé lors de la deuxième collecte du 22 décembre.
L'utilisation de surfaces planes a aussi été envisagée. Lors de la collecte du 16 mai, des
tables avaient été positionnées avec différentes orientations dans le laboratoire, le tout tel
que présenté à la Figure 3.21. Il a été présenté au Chapitre 2 qu'il est possible d'estimer
les angles de visée et les bras de levier à partir de plans. Dans le cadre des approches
habituelles, il faut extraire des plans communs dans le nuage de points qui ont été
observés par deux passages différents. Il est ensuite possible d'ajuster les angles de visée
et les bras de levier pour tenter de faire coïncider le vecteur normal de chacun de ces
plans. Dans le cadre du présent travail de recherche, le fait d'effectuer plusieurs passages
aurait eu peu ou aucun impact étant donné que les plans auraient toujours été observés
exactement à partir des mêmes endroits sur le banc de calibrage. Le but était de
déterminer la normale de chaque plan avec le scanner LiDAR terrestre afin que celle-ci
serve de référence au relevé des plans par le scanner LiDAR mobile. Cependant, par
manque de temps, cette approche n'a pas été retenue et seulement l'approche avec les
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
67
sphères a été utilisée. Il aurait toutefois été intéressant de comparer les paramètres de
calibrage déterminés par les deux approches pour vérifier s'ils avaient été compatibles.
3.7. Détermination des coordonnés des cibles par s canner
LiDAR terrestre
Maintenant que les coordonnées des quatre sphères de référence sont connues, il est
possible d'ajouter d'autres sphères dans le laboratoire. Quatorze sphères de moyen et de
grand rayon ont été réparties dans le laboratoire en plus des quatre sphères de référence
reposant sur des trépieds d'arpentage. Ces sphères ont été positionnées de manière à ce
qu'elles couvrent toute la portion d'une longueur de 12 mètres utilisée sur le banc de
calibrage en plus de couvrir le laboratoire du plancher au plafond et du mur gauche au
mur droit (voir Figure 3.22).
Figure 3.22 : Répartition des sphères dans le laboratoire
Le scanner utilisé lors de la collecte du 22 décembre est le modèle Focus X330 de Faro.
Selon la fiche technique du fabricant, ce scanner effectue des mesures de distance avec
une fidélité de 0,3 millimètre pour des portées de 10 mètres (FARO, 2013). Étant donné
que la distance maximale entre le scanner et une sphère est inférieure à 10 mètres, on
peut s'attendre à ce qu'il soit possible que l'incertitude du géoréférencement des sphères
de référence soit sous la barre du millimètre.
Scanner LiDAR terrestre
Sphère 18 Sphère 9
Sphère 1
Sphère 8
Banc de calibrage
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
68
Deux scans ont été effectués à partir de deux stations d'enregistrement différentes. La
Figure 3.23 et la Figure 3.24 illustrent les nuages de points observés de chaque station.
Ces stations sont assez éloignées et ont été choisies de manière à ce que les sphères
puissent être observées selon des points de vue complémentaires. De cette façon, une
plus grande surface de chaque sphère est couverte permettant ainsi d'améliorer la qualité
de la détermination des coordonnées de son centre.
Figure 3.23 : Position des sphères vue de la station de scan numéro 1
Figure 3.24 : Position des sphères vue de la station de scan numéro 2
Le captage de données LiDAR terrestre est plutôt simple comparativement au captage de
données LiDAR mobile. En fonction de la densité et de la qualité du nuage de points qui
sont désirées, on peut personnaliser les paramètres d'acquisition du scanner. Étant donné
que les sphères utilisées sont relativement petites et qu'au moins une centaine de points à
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
69
la surface de ces sphères est jugée satisfaisante pour bien modéliser leur centre, il est
important de considérer une résolution adéquate du scan. Le Tableau 3.30 indique la
quantité de points et l’espacement entre chaque point qu’il est possible de générer en
fonction de certains paramètres d’acquisition (ex. : résolution et qualité) pour un scan.
Tableau 3.30 : Paramètres d'acquisition du FARO Focus 3D X330
Résolution Qualité Temps d'acquisition
en minutes
Nombre de
millions de
points
Distance entre chaque
point en mm à une
distance de 10 m
1/32 4x 2:03 0,7 49,1
1/20 4x 2:14 1,7 30,7
1/16 4x 2:23 2,7 24,5
1/10 4x 3:05 7,0 15,3
1/8 4x 3:44 10,9 12,3
1/5 4x 6:31 28,0 7,7
1/4 4x 9:06 43,7 6,1
1/2 4x 30:34 174,8 3,1
1/1 2x 30:34 699,1 1,5
Puisque la mesure de portée maximale de chaque scan est de l'ordre de 10 mètres, la
valeur de la distance d'échantillonnage entre les points montrée à la cinquième colonne du
Tableau 3.30 donne une bonne indication de la distance maximale entre deux points sur
une même sphère. Étant donné qu'on cherche à géoréférencer le centre des sphères de
référence avec une incertitude de 1 millimètre ou moins, la distance d'échantillonnage
choisie doit être le plus près possible de cet ordre de grandeur. Néanmoins, il faut aussi
prendre en considération le temps d'acquisition total des deux scans et le temps de
traitement qui sont grandement influencés par la résolution et la qualité du nuage de
points.
Les paramètres d'acquisition choisis sont ceux montrés à la septième ligne du Tableau
3.30, soit une résolution de 1/4 et une qualité de 4x. La qualité n'influence en rien la
résolution du nuage de points, mais influence la présence du bruit sur les mesures.
Lorsqu'on augmente la qualité d'un scan, le temps d'acquisition est plus long étant donné
que la vitesse de rotation du miroir est ralentie. De ce fait, plus d'observations d'un même
point peuvent être faites de manière à effectuer une moyenne et à réduire ainsi le bruit sur
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
70
les mesures de portée. La qualité de 4x est en fait la qualité maximale du scanner. Le
niveau de résolution a quant à lui été défini en fonction du temps d'acquisition et de la
distance d'échantillonnage entre les points. Étant donné qu'il faut 30 minutes pour
compléter un scan avec une résolution de 1/2 contre seulement 9 minutes pour un scan
avec une résolution de 1/4, le choix s'est arrêté sur ce deuxième. De plus, pour un temps
d'acquisition assez rapide et une qualité maximale, la distance d'échantillonnage entre les
points est de 6 millimètres à 10 mètres, ce qui est plus qu'acceptable puisque la plupart
des sphères sont situées à une distance entre 3 et 7 mètres.
Pour compléter cette étape de la collecte de données, il faut compter de 45 à 60 minutes à
un opérateur pour le positionnement des 14 sphères supplémentaires dans le laboratoire
et environ 30 minutes pour le temps d'effectuer les deux scans et de déplacer l'instrument
entre les scans. Bref, il faut prévoir de 4 à 6 heures au total pour effectuer toutes les
observations à la station totale et au scanner LiDAR terrestre par la suite. Dans un
contexte ou plusieurs SLM devraient être calibrés, il serait judicieux de laisser en place
certains des éléments (sphères et damiers) géoréférencés dans le laboratoire. De cette
manière, toutes les étapes de la localisation d'objets dans le système de coordonnées de
référence avec la méthode de l'intersection spatiale ne seraient plus nécessaires. Lors
d'une éventuelle collecte de données, il ne resterait qu'à positionner les sphères
additionnelles dans le laboratoire et à effectuer les deux scans avec le scanner LiDAR
terrestre. On estime qu’une économie de plus de 60% du temps d'acquisition serait ainsi
réalisée. Cependant, la pointe servant d'origine sur le banc de calibrage, laquelle constitue
la pierre angulaire de ce système de coordonnées de référence, doit rester fixée de
manière permanente. Le montage du système de référence et des points de contrôle
servant au calibrage du système LiDAR mobile étant bien en place, on peut maintenant
procéder à l’acquisition des données LiDAR mobiles qui serviront à son calibrage.
3.8. Acquisition de données avec le SLM pour le cal ibrage
L’acquisition des données LiDAR mobiles à l’intérieur du laboratoire peut maintenant être
effectuée avec le SLM de modèle MX2. On doit d’abord brancher une série de câbles au
MX2 dont un câble pour l'alimentation électrique à une batterie à décharge lente de 12
volts, un câble réseau pour le transfert de données vers un ordinateur portable et un câble
GNSS permettant d’acquérir les données de l'IMU et du scanner laser malgré le fait que
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
71
les données de positionnement GNSS seront remplacées par des mesures prises par
l’interféromètre.
Pour combler ce besoin, une antenne GNSS a été positionnée temporairement sur un
trépied d'arpentage à l'extérieur du laboratoire de métrologie. Un câble coaxial d'une
longueur de 60 mètres a été branché au port de sortie de cette antenne pour amener le
signal GNSS jusqu'au port d'entrée du MX2 dans le laboratoire. Le récepteur interne du
MX2 permet ensuite de convertir le signal GNSS en PPS. Le PPS, ou pulse per second,
est un signal avec une cadence juste et fidèle qui provient de l'horloge interne d'un
récepteur GNSS qui se synchronise avec les horloges atomiques à bord des satellites. Ce
signal est nécessaire pour la synchronisation de l'IMU et du scanner LiDAR du MX2 et de
tout SLM en général.
L'IMU est un instrument capable d'effectuer plusieurs dizaines ou centaines de mesures
par seconde. Par exemple, l'IMU faisant partie intégrante du MX2 utilisé lors de la collecte
de données est le modèle AP20 IMU-42 de Trimble qui permet d'enregistrer des mesures
d'orientation du système à une fréquence allant jusqu'à 200 hertz. Cependant, l'acquisition
de données sur le banc de calibrage qui est droit et au niveau n'implique pas de
changement important sur l'orientation du MX2. Pour cette raison, une fréquence de 20
hertz a été choisie, ce qui correspond à la fréquence minimale. Étant donné que plusieurs
manipulations sont nécessaires sur les données brutes en vue du calibrage, éviter une
surabondance excessive de données est nécessaire de manière à diminuer le temps de
traitement.
Pour l'acquisition des données LiDAR, la fréquence d'impulsion laser est fixée à 36 000
points par seconde pour le MX2. Le seul paramètre variable est la fréquence de balayage
du système, qui peut être ajustée de 5 à 20 hertz. La fréquence de balayage correspond
au nombre de rotations effectuées par la tête du laser en une seconde. Lorsque la
fréquence de balayage est fixée à 20 hertz, la rotation du système est tellement rapide
que des vibrations se font sentir sur le banc de calibrage. De manière à ne pas fausser les
données par ce genre de perturbations, la fréquence minimale de 5 hertz a été choisie,
puisqu’à cette fréquence, aucune vibration n’est perceptible.
Une fois les paramètres d'acquisition définis, il faut mettre en place une procédure de
collecte de données LiDAR mobiles en laboratoire (in lab). La première approche anticipée
était de procéder à une collecte de données dynamique sur le banc de calibrage. Le
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
72
charriot mobile serait déplacé sur le banc de calibrage et ce déplacement serait mesuré en
temps réel par l'interféromètre. Tout au long de ce déplacement, un scan LiDAR du
laboratoire serait effectué en continu. Pour y parvenir, il faudrait que les mesures prises
par le MX2, c'est-à-dire les mesures de l'IMU et du laser, soient parfaitement
synchronisées aux mesures prises par l'interféromètre. On disposerait alors de la mesure
de distance sur le banc de calibrage fournie par l'interféromètre, des mesures des angles
du système fournies par l'IMU et des mesures angulaires et de portée du laser fournies
par le scanner pour chaque époque d'observation. De ce fait, des allers-retours pourraient
être effectués sur le banc de calibrage et la collecte de données serait très rapide.
Cependant, pour mettre en œuvre cette approche, il faudrait que le MX2 et l'interféromètre
soient tous les deux synchronisés sur le signal GNSS provenant de l'antenne temporaire
située à l'extérieur du laboratoire. Du matériel supplémentaire et plusieurs heures de
travail additionnelles auraient été nécessaires pour assurer une synchronisation parfaite
entre les instruments. De plus, il aurait fallu développer des méthodes permettant de
quantifier la justesse et la fidélité de la synchronisation temporelle et de détecter si des
traces de latence résiduelle sont toujours présentes dans les observations. Un autre
problème à contrer serait de développer un moyen mécanique de déplacement uniforme
du MX2 sur le banc de calibrage. Si une personne se charge de pousser ou de tirer le
charriot pour le déplacer, cela augmente le risque que des mouvements brusques nuisent
à la qualité des mesures. Une solution serait de développer un montage impliquant un
moteur électrique qui permettrait de déplacer le charriot mobile sur le banc de calibrage
avec une vitesse constante. Bref, cette approche de collecte de données dynamique n'a
pas pu être possible au cours de cette maîtrise étant donné un manque de temps et de
ressources (humaines et financières).
L'approche qui a été retenue est beaucoup plus simple à appliquer, malgré qu’elle
nécessite plus de temps pour parvenir à collecter des données. Cette approche consiste à
arrêter le MX2 entre chaque déplacement, à démarrer une session d'enregistrement des
données LiDAR mobiles et à noter la distance mesurée par l'interféromètre. On peut
décortiquer cette approche de calibrage statique en une séquence d’étapes.
1. Déplacement du MX2 sur le banc de calibrage vis-à-vis une des sphères;
2. Immobilisation du MX2 sur le banc de calibrage;
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
73
3. Démarrage de la saisie de données par le MX2 d’une durée approximative de 3
secondes;
4. Enregistrement du nuage de points sur le disque dur de l’ordinateur;
5. Observation et enregistrement de la distance mesurée par l'interféromètre;
6. Répétition des étapes 1 à 5.
Il est nécessaire d'effectuer la mise à zéro de l'interféromètre lorsque le charriot mobile est
adossé à la pièce d'origine, le tout tel que présenté à la Section 3.4. Par la suite, le
charriot est déplacé jusqu'au premier endroit permettant de localiser une sphère. Cette
approche ne nécessite pas que des observations soient effectuées sur toute la longueur
de la section de 12 mètres du banc de calibrage, mais seulement aux endroits où une
sphère peut être mesurée. À partir de certains tests, il a été déterminé qu'il faut un
minimum de quatre lignes de balayage pour déterminer le centre d'une sphère
adéquatement. Étant donné que la plus petite des deux sphères utilisées possède un
diamètre d'environ 14 centimètres, il faut s'assurer que la distance entre les lignes de
balayage pourra permettre que cette sphère soit mesurée minimalement par quatre scans
consécutifs. Puisque le scanner LiDAR balaie la scène avec un angle de près de 90° avec
le banc de calibrage, la distance mesurée entre chaque déplacement du charriot mobile
correspond presque parfaitement à la distance mesurée entre les lignes de balayage. De
ce fait, pour assurer une couverture minimale des sphères à localiser, une distance de 2,5
centimètres a été jugée suffisante telle qu’illustrée à la Figure 3.25.
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
74
Figure 3.25 : Démonstration de la couverture d’une sphère avec des lignes de scan
Avec une distance de 2,5 centimètres entre chaque balayage, on assure que 5 à 6 lignes
de scan couvrent les moyennes sphères et que 7 à 8 lignes de scan couvrent les grandes
sphères. Pour chaque balayage effectué, un fichier contenant les valeurs de position du
récepteur GNSS et d'orientation de l'IMU est stocké dans un format .gps, un fichier
contenant les valeurs d'angles et de portées du laser est stocké dans un format .las et une
ligne est ajoutée dans un fichier de format .xls contenant les distances mesurées par
l'interféromètre. Par ailleurs, une durée de 2 à 4 secondes par position est accordée pour
la saisie de données par le MX2. Même si cette période de temps fournit beaucoup plus
de données qu'il est nécessaire, elle assure une bonne saisie de l'information. En réalité,
un simple balayage du laser est nécessaire pour mesurer une ligne de scan en entier et
comme la fréquence de balayage est de 5 hertz, seulement 0,2 seconde de temps
d'acquisition serait suffisante. Il est néanmoins plus prudent de s'assurer que le logiciel ait
le temps de procéder à l'enregistrement, d'où le temps alloué minimal de 2 secondes.
De manière à être efficace lors de l'acquisition de données LiDAR mobile, il est préférable
que deux personnes y participent. Une première personne est simplement attitrée à
Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
75
l'enregistrement des mesures de distance prises par l'interféromètre tandis que la
deuxième est en charge de l'enregistrement des données LiDAR en plus du déplacement
du charriot sur le banc de calibrage. Lors de la toute première collecte de données du 16
mai 2016, un total de 365 lignes de scan a été effectué pour localiser l'ensemble des 18
sphères. Suite au traitement de cet ensemble de données, on a réalisé que plusieurs
lignes de scan n’étaient pas nécessaires. Ce nombre a donc été diminué
considérablement lors de la deuxième collecte du 22 décembre 2016, passant à 221
lignes pour le même passage. De plus, lors de la collecte du 22 décembre, deux
passages, un aller et un retour, ont été réalisés en inversant le MX2 de 180° sur le charriot
mobile pour une deuxième collecte lors du retour. Cette procédure qui avait été omise lors
du premier relevé du 16 mai 2016 permettait de valider que les résultats du calibrage
peuvent fournir des valeurs équivalentes en direction avant comme en direction arrière. La
collecte de retour (en direction arrière) a quant à elle nécessité 226 lignes de scan.
Le temps d'acquisition est principalement influencé par deux éléments : l'expérience de
l'opérateur du SLM et la localisation des sphères dans le laboratoire. Lors du
positionnement des sphères, il est possible de placer plusieurs sphères sensiblement
dans le même plan perpendiculaire à l'axe du banc de calibrage. De cette façon, une
même ligne de scan peut couvrir plus d'une sphère, ce qui aide à diminuer le nombre total
de lignes de scan nécessaire pour la couverture en entier des 18 sphères. De plus,
l'expérience de l'opérateur favorise une acquisition efficace permettant d'enregistrer le
moins de lignes possibles ne contenant aucune sphère. Il faut cependant rester prudent
en observant une ou deux lignes de scan supplémentaires avant et après une sphère à
mesurer de manière à être certain de couvrir ladite sphère avec le plus de lignes de scan
possible. Par contre, un opérateur trop prudent pourrait enregistrer 40% de lignes de scan
non utilisables, ce qui augmente inutilement le temps d'acquisition et de traitement. Il faut
prévoir entre 80 et 120 minutes par passage pour balayer les 18 sphères présentes dans
le laboratoire qui sont réparties sur une longueur d'environ 12 mètres. Bref, environ 3
heures sont nécessaires pour effectuer une collecte de données LiDAR mobiles complète
à l’aller en direction avant et au retour en direction arrière.
Chapitre 4 : Traitement des données
76
Chapitre 4 : Traitement des données
Le chapitre précédent portait sur les différentes étapes de la réalisation d'un site de
calibrage de haute précision. Une cueillette de données complète a permis de recueillir les
observations de deux stations totales, d'un scanner LiDAR terrestre et d'un scanner LiDAR
mobile. Plusieurs étapes de calcul du traitement des observations recueillies à la station
totale ont été présentées au chapitre précédent. Le traitement des données provenant des
deux scanners LiDAR, terrestre et mobile, n'a toutefois pas encore été abordé. Le présent
chapitre présente la séquence d'opérations nécessaires pour la détermination des
coordonnées des sphères de référence mesurées par le scanner LiDAR terrestre. Ce
chapitre présente aussi l'approche utilisée pour modifier les fichiers d'observations
mesurées par le LiDAR mobile de manière à assembler le nuage de points par ligne de
scan.
4.1. Retour sur les observations à traiter
Différents instruments ont été utilisés pour recueillir les données nécessaires au
développement de cette nouvelle méthode de calibrage d'un SLM en laboratoire. Parmi
ces observations, on retrouve d’abord des mesures angulaires effectuées à la station
totale, lesquelles ont été présentées au Chapitre 3 portant sur la méthodologie. On
retrouve également des nuages de points et indirectement des mesures de portées et
d’angles obtenus à partir de scanners LiDAR 3D terrestre et LiDAR 2D mobile. Des
logiciels commerciaux comme Trimble Realworks et Trimble Trident ont été utilisés pour
visionner, analyser et extraire les informations les plus pertinentes au calibrage du SLM.
Cependant, la majeure partie du développement de la nouvelle méthode de calibrage in
lab au cœur de ce projet de maîtrise a nécessité la création de plusieurs outils logiciels
dans le langage de programmation Matlab. Une librairie de fonctions a donc été mise en
place afin d’accéder aux différentes données observées en laboratoire, de les reformater
pour les rendre compatibles aux logiciels commerciaux et de les traiter pour obtenir les
paramètres de calibrage recherchés. L’objectif visé par le développement de ces fonctions
était d’automatiser et de réduire autant que possible le temps de traitement menant à
l’estimation des paramètres de calibrage. Au total, huit programmes ont été développés
pour réaliser toutes les étapes de cette procédure de calibrage allant du traitement des
données de base jusqu'à la production de tableaux et de graphiques montrant les résultats
Chapitre 4 : Traitement des données
77
du calibrage. Ces programmes doivent être opérés par étape de manière à respecter
l'ordre de réalisation de la procédure proposée. Les quatre premiers programmes sont
dédiés au traitement des données observées par les stations totales et par
l'interféromètre. Le Tableau 4.1 présente ces quatre premiers programmes ainsi qu'une
brève description de leur contenu. Le nom des programmes principaux commence par
‘M_’ (M pour Main). Au sein même de ces programmes, plusieurs fonctions dont le nom
commence par ‘F_’ (F pour Function) ont aussi été développées. Plus de détails sur ces
diverses fonctions développées sont disponibles à l'Annexe A.
Chapitre 4 : Traitement des données
78
Tableau 4.1 : Description sommaire des programmes permettant de traiter les données
recueillies par les stations totales et l'interféromètre
No Nom du programme
(M_nom.m) Description sommaire
Nom des fonctions
associées (F_nom.m)
1 M_Base3D
Ce programme permet de calculer
les coordonnées des trous de
fixation et de la pointe mobile
dans le système de coordonnées
de référence global à partir des
observations angulaires
provenant des deux stations
totales et de la méthode
d'intersection spatiale.
F_BacksideCorrection
F_AngleCalculator
F_CoordCalculator
F_ScaleDist
F_Alignment
F_PointToLine
F_RotationTranslation
2 M_COGDetermination
Ce programme permet de
déterminer les constantes initiales
et l'erreur d'alignement (lacet) du
MX2.
F_det_param6
F_apply_param7
3 M_ReferenceSpatiale
Ce programme permet de calculer
les coordonnées UTM de la pointe
d'origine et de transformer les
distances mesurées par
l'interféromètre sur le banc de
calibrage en coordonnées sur
l'ellipsoïde (latitude, longitude,
hauteur).
F_UTMmerid
F_UTMproj
F_UTMproj_inv
4 M_IntersectionSpatiale
Ce programme permet de calculer
les coordonnées des sphères de
référence et leurs écarts-types
dans le système de coordonnées
UTM à partir des observations
angulaires provenant des deux
stations totales et de la méthode
d'intersection spatiale.
F_BacksideCorrection
F_AngleCalculator
F_CoordCalculator
F_Alignment
F_PointToLine
F_VarCovMatrix
F_Local2GlobalUTM
Chapitre 4 : Traitement des données
79
Les programmes présentés au Tableau 4.1 permettent d'interagir avec l'utilisateur et de
générer des rapports sur les résultats du traitement des données. Le contenu de ces
rapports a été présenté dans les différents tableaux du Chapitre 3. Le traitement des
données acquises par le scanner LiDAR terrestre est présenté à la section suivante.
4.2. Enregistrement des nuages de points LiDAR terr estre
Le traitement des fichiers contenant les mesures recueillies par le scanner LiDAR terrestre
s'est fait à partir du logiciel Realworks de Trimble. La cueillette et le traitement des
données LiDAR terrestre sont des étapes simples et conviviales étant donné que tout le
processus requiert peu d'interventions par l'utilisateur. Les deux fichiers de format .fls ont
été importés dans le logiciel pour une prévisualisation du nuage de points. Par la suite, il a
été possible d'extraire automatiquement des éléments de forme sphérique dans le nuage
de points en fonction du diamètre de ces sphères. L'algorithme a donc été appliqué une
première fois sur les deux jeux de données avec un diamètre imposé de 139 millimètres et
une deuxième fois avec un diamètre imposé de 198,8 millimètres. Par la suite,
l'assemblage ou l'enregistrement automatisé des deux nuages de points à partir des
sphères communes a été fait avec l'outil d'appariement automatique du logiciel. De 30 à
60 minutes de traitement sont nécessaires à la réalisation de toutes ces étapes, mais
seulement quelques minutes requièrent l'attention de l'opérateur. Le temps de traitement
dépend du nombre de scans effectués et de la densité de ces scans en termes de quantité
de points. Une fois l'assemblage complété, le logiciel permet une visualisation des
résultats et la possibilité de faire certaines modifications avant de procéder à
l'enregistrement final. Les résiduelles de l'assemblage des deux nuages de points sont
présentées dans le Tableau 4.2.
Chapitre 4 : Traitement des données
80
Tableau 4.2 : Résiduelles de l'enregistrement des deux nuages de points
Numéro de la sphère Écart-type du centre de la sphère (mm)
Résiduelles (mm) Scan 001 Scan 002
1 0,4 0,2 1,0
2 0,2 0,2 0,6
3 0,1 0,2 1,4
4 0,2 0,2 1,6
5 0,2 0,1 1,0
6 0,2 0,2 0,6
7 0,2 0,2 0,4
8 0,3 0,2 0,4
9 0,1 0,2 0,6
10 0,2 0,3 0,5
11 0,2 0,2 1,2
12 0,2 0,2 0,7
13 0,2 0,2 1,1
14 0,2 0,2 1,6
15 0,2 0,3 1,5
16 0,2 0,2 0,9
17 0,1 0,2 0,5
18 0,5 0,2 1,9
Moyenne 0,2 0,2 1,0
À partir du Tableau 4.2, on peut constater que l'écart-type de l'extraction du centre des
sphères est très semblable pour chaque scan. Cela signifie qu'il est possible de
déterminer le centre d'une sphère avec une grande fidélité (0,2 mm) à partir de mesures
LiDAR effectuées à sa surface. Les résiduelles associées à l'enregistrement des deux
scans sont quant à elles de l’ordre de 1,0 millimètre, ce qui correspond à l'erreur maximale
attendue pour les coordonnées du centre des sphères de référence. Le LiDAR terrestre
semble donc répondre aux besoins exigés pour la procédure de calibrage en termes de
fidélité des mesures, mais surtout en termes d'efficacité et de rapidité au niveau de la
collecte et du traitement des données.
Chapitre 4 : Traitement des données
81
4.3. Géoréférencement des nuages de points LiDAR te rrestre
Après l'étape de l'enregistrement des nuages de points, on peut procéder au
géoréférencement. Un outil pratique du logiciel Realworks permet d'entrer les
coordonnées théoriques du centre des sphères et de procéder à la transformation du
nuage de points. Cet outil permet aussi de visualiser les résiduelles de la transformation et
de retirer certaines sphères dont les résiduelles seraient trop grandes. Les résiduelles de
la transformation pour chaque sphère de référence sont présentées dans le Tableau 4.3.
Tableau 4.3 : Résiduelles de la transformation des quatre sphères de référence
Sphère X (mm) Y (mm) Z (mm) 3D (mm)
18 0,2 0,8 -1,7 1,9
8 0,1 -1,9 0,5 2,0
1 0,0 0,2 -1,7 1,7
9 -0,9 0,2 2,4 2,6
On constate des écarts plus importants qu'anticipés pour le géoréférencement des
sphères. Considérant que les étapes antérieures ont permis de contrôler les erreurs de
manière à ce que le centre des sphères soit connu avec une incertitude de l'ordre du
millimètre ou moins, des écarts de l'ordre de 2 millimètres ou plus deviennent donc
inacceptables.
En altimétrie, l'écart sur la sphère numéro 9 est le plus grand avec 2,4 millimètres. Cet
écart pourrait être justifié par le fait que l'altitude de cette sphère de référence soit erronée
d'environ 2 millimètres, le tout tel que discuté à la Section 3.5. Cette erreur aurait pu être
évitée si des adaptateurs d'embase avaient été disponibles pour chacune des quatre
sphères de référence.
Concernant l'analyse des résiduelles sur les composantes planimétriques, contrairement à
ce qui était anticipé, la sphère numéro 18 n'est pas celle dont les résiduelles sont les plus
importantes. Les résiduelles en planimétrie de la sphère numéro 8 sont anormalement
élevées considérant que la géométrie d'acquisition est excellente pour cette sphère. On
peut anticiper trois causes possibles d'erreur qui pourraient expliquer le fait que les
résiduelles soient plus importantes que prévu.
Chapitre 4 : Traitement des données
82
La première cause envisagée est un mauvais pointé par l'opérateur. Les observations
elles-mêmes peuvent permettre de déterminer la qualité d'un pointé. Tel que vu au
chapitre portant sur la méthodologie, pour chaque point mesuré, un total de quatre
mesures de directions horizontales et verticales sont observées. Pour chaque série
d'observations angulaires provenant des deux stations totales, l'écart-type a été calculé.
La valeur obtenue est comparée à l'écart-type de l'erreur de pointé déterminée pour toutes
les observations (sphères 1 à 18), le tout tel que vu au Tableau 4.4.
Tableau 4.4 : Écart-type des observations des sphères de référence par rapport à l'écart-
type de toutes les observations
Numéro
de la
sphère de
référence
Station 1 Station 2
Directions
horizontales ('')
Directions
verticales ('')
Directions
horizontales ('')
Directions
verticales ('')
18 3 3 9 16
8 1 4 8 15
1 1 1 9 20
9 2 4 7 24
1 à 18 3 4 8 14
Le Tableau 4.4 permet de constater qu'il n'existe pas une variabilité marquante sur les
observations des sphères de référence par rapport aux observations faites sur les autres
sphères, mis à part l'écart-type des directions verticales de la station 2 pour les sphères 1
et 9. Ces sphères correspondent également à celle dont les résiduelles sur la coordonnée
Z sont les plus élevées à -1,7 et 2,4 millimètres respectivement. Il est donc possible que la
qualité intrinsèque des observations soit en partie en cause, notamment la qualité des
observations de la station numéro 2 qui reflète l'utilisation d'une station totale avec une
fidélité angulaire de 5'' au lieu de 2''. Pour des travaux futurs, il est recommandé d'utiliser
deux stations totales avec une fidélité angulaire de 2'' ou mieux et de s'assurer que celles-
ci soient proprement calibrées et étalonnées avant la prise de mesures.
La deuxième cause de cette erreur pourrait être due aux pointes de jalon utilisées pour
faire le pointé. Il est possible que ces pointes ne soient pas parfaitement concentriques, ce
qui signifie que les coordonnées planimétriques calculées ne concorderaient pas tout à fait
avec le centre réel des sphères. De manière à contourner ce problème, une rotation de la
Chapitre 4 : Traitement des données
83
pointe et de l'adaptateur d'embase sur l'embase aurait pu être faite entre chaque mesure.
Étant donné que trois pattes de l'adaptateur d'embase s'insèrent dans l'embase, trois
rotations successives auraient permis de couvrir toutes les positions possibles pour le
centre d'une pointe. Par la suite, une moyenne des trois observations aurait permis de
calculer une valeur finale pour le centre de la pointe en éliminant le fait qu'elle ne soit pas
parfaitement droite et concentrique. De manière à éradiquer l'impact de cette erreur sur
toutes les sphères servant au géoréférencement, cette méthode devrait être appliquée aux
quatre sphères de référence. Cette façon de faire devrait fournir de bons résultats, mais
serait plus coûteuse en termes de temps d'acquisition. Une façon plus simple de régler ce
problème serait de tout simplement fabriquer des pièces parfaitement concentriques avec
les outils d'usinage du laboratoire. Ces pièces se visseraient aux adaptateurs d'embase et
leur hauteur totale pourrait concorder parfaitement avec la hauteur du centre des sphères
de grand format, soit 196 millimètres. De cette façon, localiser le bout de la pointe de ces
pièces judicieusement usinées serait équivalent à localiser directement et parfaitement le
centre réel des sphères.
La troisième cause de cette erreur pourrait être liée à l'assemblage entre les deux nuages
de points. Par exemple, la sphère numéro 18 est celle dont la résiduelle de
l'enregistrement des scans est la plus grande à 1,9 millimètre, ce qui est près du double
de la moyenne globale des 18 sphères qui est de 1,0 millimètre. Les résiduelles des
sphères 1, 8 et 9 sont respectivement de 1,0 millimètre, 0,4 millimètre et 0,6 millimètre.
L'assemblage des scans joue donc aussi un rôle crucial sur l'incertitude finale des cibles
suite au géoréférencement. On peut visualiser la position de toutes les sphères par
rapport aux positions du scanner sur la Figure 4.1.
Chapitre 4 : Traitement des données
84
Figure 4.1 : Plan de localisation du scanner par rapport aux sphères dans le laboratoire
La Figure 4.1 illustre que la sphère 18 est très près de la position du Scan 002. Cette
sphère est aussi sensiblement vue d'un seul et même côté, c'est-à-dire que l'angle entre
les deux positions du scanner est relativement faible en comparaison avec les autres
sphères de référence. Concrètement, cela implique qu'une plus petite portion de la surface
de cette sphère est observée. Encore une fois, la géométrie d'acquisition n'est pas
optimale. De plus, étant donné que seulement la face sud selon le système de
coordonnées global de cette sphère est observée, l'erreur se propage majoritairement en
direction nord-sud, ce qui correspond toujours à l'axe Y. Pour s'assurer d'optimiser
l'acquisition des données LiDAR, les deux scans auraient dû être situés en retrait des
sphères de chaque côté du laboratoire pour assurer une couverture plus importante de la
surface de toutes les sphères. Une autre solution serait d'effectuer des scans
supplémentaires, mais cela influencerait encore le temps d'acquisition et de traitement à la
hausse.
Chapitre 4 : Traitement des données
85
Étant donné que les résiduelles sur l'assemblage entre les deux scans sont relativement
importantes, il peut être intéressant de vérifier quels seraient les résultats du
géoréférencement des scans s'ils étaient traités individuellement. Les nuages de points
ont donc été traités de façon totalement indépendante et les résiduelles du
géoréférencement pour chacun des scans sont montrées au Tableau 4.5.
Tableau 4.5 : Résiduelles de la transformation des quatre sphères de référence pour
chaque scan
Résiduelles 3D (mm)
Sphère Scan 001 Scan 002
18 2,4 1,9
8 2,1 1,4
1 1,7 2,0
9 2,5 2,7
Erreur moyenne 2,2 2,0
Le Tableau 4.5 permet de valider que les résiduelles sont toujours assez élevées même
lorsque les scans sont traités séparément. Toutefois, dans les deux cas, les résiduelles
sur la sphère numéro 9 sont les plus importantes. Étant donné qu'il est fort possible que
l'altitude de la sphère numéro 9 soit réellement erronée d'environ 2 millimètres, il est donc
intéressant de vérifier s'il est possible d'effectuer le géoréférencement avec de meilleurs
résultats en écartant cette sphère.
Tableau 4.6 : Résiduelles de la transformation des trois sphères de référence pour chaque
scan
Résiduelles 3D (mm)
Sphère Scan 001 Scan 002
18 1,9 1,3
8 2,1 1,2
1 0,9 0,6
Erreur moyenne 1,6 1,0
Le Tableau 4.6 permet de constater que la solution de géoréférencement s'améliore
lorsque la sphère numéro 9 est mise de côté. Les résiduelles pour le Scan 002 sont même
Chapitre 4 : Traitement des données
86
très intéressantes et leur ordre de grandeur correspond à l'erreur maximale tolérée pour le
géoréférencement. L'utilisation d'un seul nuage de points n'est cependant pas optimale
pour la détermination du centre de toutes les sphères étant donné que certaines sphères
en périphérie du laboratoire ont très peu de points à leur surface. De manière à s'assurer
d'une plus grande couverture de la surface des sphères, deux scans ou une densité de
points plus importante sont nécessaires. Il aurait donc été intéressant d'effectuer un scan
à une position plus centrale dans le laboratoire avec une résolution de 0,3 millimètre à 10
mètres au lieu de 0,6 millimètre à 10 mètres. Compte tenu qu'un seul scan au lieu de deux
aurait été effectué, le temps d'acquisition aurait été très semblable.
L'exercice de procéder au géoréférencement de ces trois mêmes sphères en utilisant les
deux nuages de points assemblés a été effectué. Les différences entre les coordonnées
transformées des quatre sphères de référence et leurs coordonnées théoriques
déterminées par intersection spatiale sont présentées dans le Tableau 4.7.
Tableau 4.7 : Résiduelles de la transformation des quatre sphères de référence
Sphère X (mm) Y (mm) Z (mm) 3D (mm)
18 0,6 1,2 -1,6 2,1
8 0,1 -2,1 0,6 2,2
1 -0,9 0,3 -0,7 1,2
9 -1,7 -0,4 3,4 3,8
Le Tableau 4.7 permet de confirmer que l'altitude mesurée de la sphère numéro 9 par
rapport à son altitude de référence n'est réellement pas compatible. Une erreur s'est donc
glissée lors de la détermination de l'altitude de cette sphère par la méthode de
l'intersection spatiale et plus précisément lors des mesurages avec le vernier électronique.
Une erreur de 3,4 millimètres semble toutefois extrême considérant que l'erreur anticipée
était de 2 millimètres. On constate aussi qu'il n'y a pas vraiment de gain substantiel sur les
résiduelles des trois autres sphères de référence par rapport au Tableau 4.3. L'erreur
moyenne du géoréférencement pour ces trois sphères est toujours de l'ordre de 1,5 à 2,0
millimètres, peu importe la solution. L'utilisation de cette quatrième sphère permet aussi un
meilleur contrôle en planimétrie sans toutefois dégrader l'erreur moyenne du
géoréférencement sur les trois autres sphères de référence. Pour ces raisons, la décision
finale pour le géoréférencement du nuage de points est d'utiliser les quatre sphères et de
se contenter d'une erreur entre 1,6 et 2,6 millimètres sur les coordonnées des sphères de
Chapitre 4 : Traitement des données
87
référence. Cela ne respecte pas l'ordre de grandeur de l'erreur maximale anticipée, mais il
est tout de même possible de poursuivre la procédure. Il reste à voir quel sera l'impact
d'une plus ou moins grande erreur de justesse au niveau des coordonnées des sphères
de référence sur la détermination des paramètres de calibrage. Les coordonnées du
centre des 18 sphères ont donc pu être extraites du nuage de points.
Tableau 4.8 : Caractéristiques et coordonnées des 18 sphères extraites du nuage de
points
Numéro
de la
sphère
Diamètre
(mm)
Nombre
de points
Écart-
type
(mm)
X (m) Y (m) Z (m)
1 198,8 561 1,0 499997,1620 4982951,4218 0,8140
2 198,8 548 0,2 499992,2412 4982952,4995 0,8768
3 139 110 0,8 500000,8628 4982952,1546 1,2062
4 139 92 0,9 500000,1980 4982952,4410 3,4618
5 139 325 0,9 499995,4097 4982952,7258 -0,9379
6 139 438 0,3 499994,7462 4982953,5208 2,9544
7 198,8 400 0,2 499992,3317 4982954,8618 0,8770
8 198,8 720 0,5 499992,9366 4982956,3384 -0,0101
9 198,8 560 0,7 499998,1073 4982955,5733 0,5884
10 139 168 0,4 500000,6459 4982957,1398 0,3808
11 139 216 0,4 500000,1775 4982957,2949 3,4416
12 198,8 544 0,3 499997,1967 4982957,4806 -0,9319
13 139 365 0,5 499994,8994 4982956,8995 2,9629
14 139 618 0,5 499995,5354 4982959,8569 -0,9294
15 139 234 0,9 499992,9900 4982959,4461 3,3201
16 198,8 415 0,8 499992,3269 4982959,4142 0,8725
17 139 472 0,6 500000,8754 4982959,9365 1,2008
18 198,8 546 0,3 499997,2118 4982961,5018 0,5081
Le Tableau 4.8 montre qu'il est possible de connaître les coordonnées du centre d'une
sphère avec un écart-type inférieur à 1 millimètre. Cette valeur est impressionnante, tout
comme le nombre de points présents à la surface des sphères servant au calcul. À ce
sujet, les sphères numéro 3, 4 et 10 se distinguent du lot avec un nombre de points
Chapitre 4 : Traitement des données
88
nettement inférieur à celui des autres sphères. Par exemple, la sphère numéro 4 compte
seulement 92 points à sa surface, ce qui correspond à environ huit fois moins de points
que la sphère numéro 8 qui en compte 720. La position des sphères y joue pour beaucoup
dans ce cas alors que la sphère numéro 3 est isolée au plafond tandis que la sphère
numéro 8 est au centre du laboratoire à la même hauteur que les scanners LiDAR. Un
autre paramètre qui influence le nombre de points est nécessairement le diamètre des
sphères. Les sphères 3, 4 et 10 ont toutes un diamètre de 139 millimètres. Néanmoins,
même si leur nombre de points est inférieur au reste du groupe, il n'en reste pas moins
qu'il est amplement suffisant pour déterminer avec fidélité le centre de ces sphères, tel
que montré par la valeur de leur écart-type.
4.4. Formation du nuage de points à partir des donn ées LiDAR
mobile
Le dernier segment du traitement de données concerne les observations collectées par le
SLM. Tel que vu précédemment, chaque endroit où est effectué un scan avec le MX2
permet de générer un fichier .gps contenant les données de navigation de l'antenne GNSS
et de l'IMU, un fichier .las contenant les observations faites par le laser et une ligne
s'ajoute au fichier .xls contenant les mesures de distance prises par l'interféromètre. Pour
l'acquisition des données LiDAR avec le MX2, le logiciel Trident Capture de Trimble a été
utilisé. Pour la visualisation et le traitement des données laser et de navigation, le logiciel
Trident Imaging Hub de Trimble a ensuite été utilisé. Avant d’effectuer le transfert des
données entre ces deux logiciels, il a fallu remplacer les positions observées par le
l'antenne GPS par les mesures de l’interféromètre sur le banc de calibrage en
coordonnées de latitude et de longitude. Pour y arriver, plusieurs programmes et fonctions
en langage Matlab ont été développés. Il est important d’indiquer que les algorithmes ont
été adaptés à la collecte de données par le MX2. Des modifications seraient nécessaires
pour qu'ils soient compatibles à tous les SLM. Néanmoins, l'approche reste applicable aux
autres SLM dans sa forme générale.
Pour transformer les distances mesurées par l'interféromètre sur le banc de calibrage en
coordonnées ellipsoïdales (latitude, longitude et hauteur), le programme
M_ReferenceSpatiale et plusieurs fonctions sont utilisés, tel que présenté dans le Tableau
4.1. En disposant des coordonnées UTM de la pièce d'origine, il est possible de calculer
Chapitre 4 : Traitement des données
89
les coordonnées UTM de toutes les positions de l'IMU sur le banc de calibrage à partir des
équations suivantes.
��?� = ��?�, + �/ (4.1)
n�?� = n�?�, + �0 + U�N] (4.2)
q�?� = �1 (4.3)
où ��?� , n�?� , q�?� ∶ coordonnées UTM du centre de l'IMU;
��?�, , ��?�, , ��?�, ∶ coordonnées UTM de la pièce d'origine;
�/, �0, �1 ∶ constantes initiales; et
U�N] ∶ distance mesurée par l'interféromètre.
Une transformation inverse est ensuite utilisée pour convertir les coordonnées UTM
calculées en coordonnées sur l'ellipsoïde (latitude, longitude et hauteur). Étant donné que
les coordonnées ��?� et q�?� dépendent seulement des coordonnées de l'origine et des
constantes initiales, la longitude et la hauteur des coordonnées sur l'ellipsoïde ne varient
pas. Seulement la latitude varie en fonction du déplacement sur le banc de calibrage.
Par la suite, il faut remplacer les données de navigation contenues dans le fichier brut de
format .gps par les valeurs calculées sur le banc de calibrage. Le programme
M_TraceMod a été développé pour réaliser les cinq grandes étapes requises pour la
transformation du fichier de navigation, lesquelles sont présentées au Tableau 4.9.
Chapitre 4 : Traitement des données
90
Tableau 4.9 : Les cinq grandes étapes permettant de modifier le fichier de navigation .gps
No Fonction ou
programme utilisé Brève description de l'étape
Fichiers
d'entrée
Fichiers de
sortie
1 T3D GPS
(gps2shp.exe)
Appel du fichier exécutable
gps2shp.exe dans le logiciel
Matlab pour générer des fichiers
de format .dbf, .shp et .shx à
partir du fichier de format .gps.
record(X).gps
record(X).dbf
record(X).shp
record(X).shx
2 dbfread.m
Utilisation de la fonction
dbfread.m dans le logiciel
Matlab pour lire les fichiers de
format .dbf et modifier les
données de navigation
contenues dans ces fichiers et
les exporter dans des fichiers de
format .csv.
record(X).dbf record(X).csv
3 M_TraceMod.m
Génération de fichiers vidéo de
format .avi dans le logiciel
Matlab avec le même nom que
les fichiers de format .csv
contenant les données de
navigation modifiées.
record(X).csv record(X).avi
4
Advanced CSV
Converter
(csvcnv.exe)
Appel du fichier exécutable
csvcnv.exe dans le logiciel
Matlab pour générer des fichiers
de format .dbf à partir des
fichiers de format .csv contenant
les données de navigation
modifiées.
record(X).csv record(X).dbf
5 Trident Imaging
Hub
Génération de fichiers de format
.gps avec le logiciel Trident à
partir des fichiers de format .dbf
et .avi.
record(X).dbf
record(X).avi record(X).gps
Chapitre 4 : Traitement des données
91
Les étapes de calculs énoncées précédemment sont techniques et dépendantes des
instruments et des logiciels utilisés lors de la collecte et lors d'une partie du traitement des
données. Il est important de comprendre qu’elles ont été nécessaires pour s’adapter aux
formats de données propriétaires des logiciels commerciaux utilisés pour réaliser certaines
étapes de la procédure. Par conséquent, on a intentionnellement laissé de côté les détails
de ces opérations dans ce mémoire afin d’alléger son contenu et focaliser plutôt sur les
nouvelles contributions de la recherche.
L'étape 2 du Tableau 4.9 qui consiste à modifier des observations contenues dans le
fichier de navigation est une étape avec une portée plus générale, laquelle est directement
liée à la nouvelle procédure de calibrage. Les observations contenues dans le fichier de
navigation devant faire l'objet de modifications sont présentées dans le Tableau 4.10.
Tableau 4.10 : Liste des observations contenues dans le fichier de navigation devant faire
l'objet de modifications
Colonnes
du fichier Éléments Description
5, 6 et 7 Latitude, longitude et
hauteur
Coordonnées sur l'ellipsoïde du centre de l'IMU
déterminée avec les distances mesurées par
l'interféromètre et les constantes initiales.
18 Lacet Valeur du lacet (heading) déterminée à partir de
l'erreur d'alignement des trous de fixation.
27, 28 et 29
Incertitude des
coordonnées 3D (X,Y,Z)
du centre de l'MU
Écart-type final estimé des coordonnées 3D
(X,Y,Z) du centre de l'MU.
32 Incertitude du lacet
Écart-type de la valeur du lacet (heading)
déterminé à partir de l'erreur d'alignement des
trous de fixation.
37 Ondulation du géoïde Ondulation du géoïde nulle selon la définition du
système de coordonnées.
Pour les coordonnées ellipsoïdales du centre de l'IMU, on retrouve autant de valeurs que
de positions sur le banc de calibrage déterminées par les mesures prises par
l'interféromètre. Dans le cadre de la collecte du 22 décembre 2016 en direction de l'aller,
221 valeurs différentes de latitude ont été calculées, ce qui correspond aux 221 lignes de
Chapitre 4 : Traitement des données
92
scan effectuées. La valeur du lacet correspond aux valeurs déterminées à la Section 3.4
et contenues dans le Tableau 3.21 et le Tableau 3.22. Cette valeur varie de 180° si la
collecte est effectuée à l’aller en direction avant ou au retour en direction arrière. Son
incertitude correspond à la valeur de l'écart-type des trois mesures d'orientation calculées
sur le banc de calibrage, soit 0,0141°, tel que montré au Tableau 3.20.
Pour la détermination de l'incertitude des coordonnées 3D (X, Y, Z) du centre de l'MU,
plusieurs facteurs ont été pris en considérations. Le premier facteur est la qualité de la
mesure de distance prise par l'interféromètre. La fidélité d'une mesure prise par cet
interféromètre dépend de la longueur de la portée et peut être de l'ordre de 0,2 millimètre
sans compensateur pour une distance de 10 mètres selon les spécifications du fabricant
(Renishaw, 2016). Le deuxième facteur est la fidélité des constantes initiales qui ont été
déterminées avec un écart-type de 0,1 millimètre chacune tel que montré au Tableau 3.19.
Le troisième facteur correspond à l'incertitude du plan de conception fournie par le
fabricant du MX2 contenant les distances entre les trous de fixation et le centre de l'IMU.
L'incertitude garantie par le fabricant dans ce cas est de 1 millimètre (Trimble, 2013a).
Bref, même si les deux premiers facteurs laissent présager qu'une incertitude de 0,2 à 0,3
millimètre pour les coordonnées du centre de l'IMU est raisonnable, celle-ci est trop
optimiste. En raison du troisième facteur, un écart-type de 1 millimètre a été attribuée aux
3 coordonnées du centre de l'IMU.
La valeur de l'ondulation du géoïde choisie est nulle de manière à ce que l'altitude sur
l'ellipsoïde contenue dans le fichier de navigation soit la même que l'altitude orthométrique
affichée dans le logiciel de visualisation des données LiDAR mobile. Pour ce qui est des
valeurs des autres angles mesurés par l'IMU, soit le roulis et le tangage, les valeurs
observées ainsi que leur écart-type estimé ont été conservées. La qualité de ces valeurs
et de leur écart-type estimé sera discutée au Chapitre 7.
Une fois les fichiers modifiés, il est possible de les importer dans le logiciel Trident pour
visualiser le nuage de points. Habituellement, une collecte de données LiDAR mobile est
effectuée en mouvement, alors la scène est complètement balayée et le nuage de points
est plutôt homogène. Dans le cas d'une collecte de données LiDAR selon la présente
procédure, le nuage de points est entièrement composé de lignes de scan parallèles les
unes aux autres. La Figure 4.2 présente un aperçu du nuage de points assemblé à partir
des données collectées le 22 décembre 2016.
Chapitre 4 : Traitement des données
93
Figure 4.2 : Nuage de points capté par un scanner LiDAR mobile
À partir de ce nuage de points, on peut extraire les points localisés à la surface des 18
sphères de référence. Le logiciel Trident ne permet pas d'extraire automatiquement ces
points, alors plusieurs manipulations manuelles ont été nécessaires. Étant donné que
cette problématique est propre au logiciel utilisé, la façon de la résoudre n'est pas
présentée dans le cadre de ce mémoire. La sélection manuelle des sphères est l'étape qui
nécessite le plus de temps dans le processus entier du traitement de données. Il faut
prévoir de deux à quatre heures pour compléter cette étape avec les 18 sphères
contenues dans le nuage de points mesurées dans les deux directions. Il est donc clair
qu'un processus d'extraction automatisé des sphères dans un nuage de points permettrait
de diminuer grandement le temps de traitement. La Figure 4.3 et la Figure 4.4 montrent la
sélection manuelle des points localisés à la surface des sphères numéro 12 et 16.
Chapitre 4 : Traitement des données
Figure 4.3 : Sélection manuelle des
points sur la sphère 12
Pour contourner le problème d'extraction manuelle des sphères, il faudrait complètement
éliminer le recours à un logiciel de visualisation des données
dispose des coordonnées des sphères de référence, il serait possible d'extraire tous les
points situés à proximité de ces sphères avec un algorithme de recherche. Par la suite,
pourrait détecter l'ensemble des points qui appa
nuage de points. Non seulement cette méthode serait plus efficace, mais elle permettrait
de rendre la procédure plus générale et celle
le type de SLM utilisé. Bref, une
les observations suivantes pour chaque point situé à la surface d'une sphère tel que
présenté dans le Tableau 4.11
Traitement des données
94
: Sélection manuelle des
points sur la sphère 12
Figure 4.4 : Sélection manuelle des
points sur la sphère 16
Pour contourner le problème d'extraction manuelle des sphères, il faudrait complètement
éliminer le recours à un logiciel de visualisation des données LiDAR. Compte tenu
dispose des coordonnées des sphères de référence, il serait possible d'extraire tous les
points situés à proximité de ces sphères avec un algorithme de recherche. Par la suite,
détecter l'ensemble des points qui appartiennent à une sphère pour les extraire du
nuage de points. Non seulement cette méthode serait plus efficace, mais elle permettrait
de rendre la procédure plus générale et celle-ci deviendrait donc applicable, peu importe
le type de SLM utilisé. Bref, une fois cette procédure appliquée, il est possible d'extraire
les observations suivantes pour chaque point situé à la surface d'une sphère tel que
11.
: Sélection manuelle des
points sur la sphère 16
Pour contourner le problème d'extraction manuelle des sphères, il faudrait complètement
Compte tenu que l'on
dispose des coordonnées des sphères de référence, il serait possible d'extraire tous les
points situés à proximité de ces sphères avec un algorithme de recherche. Par la suite, on
rtiennent à une sphère pour les extraire du
nuage de points. Non seulement cette méthode serait plus efficace, mais elle permettrait
ci deviendrait donc applicable, peu importe
fois cette procédure appliquée, il est possible d'extraire
les observations suivantes pour chaque point situé à la surface d'une sphère tel que
Chapitre 4 : Traitement des données
95
Tableau 4.11 : Observations de tous les capteurs permettant de localiser un point à la
surface d'une sphère
Colonnes du fichier Éléments Description
1, 2 et 3 X¤¥¦§¨, Y¤¥¦§¨ et Z¤¥¦§¨ Coordonnées 3D (X, Y et Z)
du point à la surface de la
sphère
4, 5 et 6 α, β et ρ Mesures d'angles (α et β) et
de portée (ρ) du laser
7, 8 et 9 X«¬, Y«¬ et Z«¬ Coordonnées 3D (X, Y et Z)
du centre de l'IMU
10, 11 et 12 l, r et t Lacet (l), roulis (r) et tangage
(t)
14, 15 et 16 σ®¯°± ,σ²¯°± et σ³¯°± Écart-type des coordonnées
3D (X, Y et Z) du centre de
l'IMU
17, 18 et 19 σ´,σµ et σ¨ Écart-type du lacet (σ´), du
roulis (σµ) et du tangage (σ¨)
Peu importe le type de SLM utilisé, il est nécessaire de disposer de toutes les
observations présentées dans le Tableau 4.11 pour correctement modéliser l'équation de
projection d'un point LiDAR correspondant à l'Équation 2.1. Le cadre mathématique de
l'approche de calibrage est présenté au Chapitre 5.
4.5. Nettoyage des points erratiques
Avant de procéder au calibrage, il est nécessaire d'effectuer un nettoyage du nuage de
points de manière à éliminer les données aberrantes. Un programme et plusieurs
fonctions dans le langage Matlab ont été développés pour éliminer les points à la surface
de la sphère qui sont manifestement à part des autres. Plus de détails sur les fonctions
sont disponibles à l'Annexe B.
Chapitre 4 : Traitement des données
96
Tableau 4.12 : Description sommaire du programme et des fonctions permettant d'éliminer
les points erratiques
No Nom du programme
(M_nom.m) Brève description
Fonctions associées
(F_nom.m)
7 M_MX2SphereCleaner
Ce programme permet de
calculer les coordonnées du
centre des sphères mesurées
par le MX2 et d'éliminer les
points erratiques.
F_SphereCenterExtractor
F_SphereFitFixedRadius
La première étape de ce programme est de calculer les coordonnées du centre de toutes
les sphères en fonction du rayon à partir de tous les points contenus dans le fichier. La
deuxième étape consiste à calculer les écarts (¢) de tous les points par rapport à la
surface de la sphère. La troisième étape est de conserver seulement les points dont les
écarts par rapport à la surface de la sphère sont les plus faibles. Pour y parvenir, une
discrimination en fonction de l'écart-type est utilisée. Tous les points qui satisfont
l'Équation 4.4 sont conservés.
¢� < · × ¸¹ (¢�);9 − 1N�º: (4.4)
où 9 ∶ nombre total de points sur la sphère;
G ∶ numéro d'indice du point;
· ∶ constante de multiplication; et ¢� ∶ écart par rapport à la surface de la sphère.
La valeur retenue pour la constante de multiplication (·) est 2. Cela signifie que tous les
points dont l'écart est inférieur au double de l'écart-type sont conservés. Cet algorithme
est itératif et nécessite d'estimer à nouveau le centre de la sphère à chaque fois qu'un
groupe de points est rejeté. L'itération cesse lorsque tous les points dont l'écart est
supérieur au double de l'écart-type sont éliminés. Cette discrimination en fonction de
l'écart-type permet d'éliminer les points aberrants sans toutefois imposer une contrainte
numérique en lien avec le degré de fidélité recherché. De ce fait, si le nuage de points
d'une sphère est plus bruité par rapport aux autres, il est possible de conserver une plus
Chapitre 4 : Traitement des données
97
grande quantité de points au lieu d'éliminer systématiquement la majorité des points et de
conserver un certain groupe local qui permet de respecter la contrainte numérique.
Néanmoins, cette étape préliminaire est nécessaire pour faciliter la convergence de la
solution de calibrage et empêcher les erreurs de se propager dans la solution. Il est
possible de comparer les caractéristiques des nuages de points avant et après le
nettoyage des points erratiques à partir du Tableau 4.13. L'aller correspond à la collecte
en direction avant alors que le retour correspond à la collecte en direction arrière.
Tableau 4.13 : Comparaison des nuages de points avant et après le nettoyage
Numéro de
la sphère
Nombre de points Écart-type (mm) Écart maximal (mm)
Aller Retour Aller Retour Aller Retour
Av. Apr. Av. Apr. Av. Apr. Av. Apr. Av. Apr. Av. Apr.
1 457 383 403 313 12 7 10 5 48 13 47 10
2 351 304 406 317 5 4 5 3 23 8 18 6
3 201 162 298 238 7 5 7 4 21 9 21 8
4 250 175 200 162 6 3 6 4 22 7 17 8
5 255 204 248 181 6 3 6 3 22 6 19 6
6 252 228 244 192 6 4 6 3 16 9 19 7
7 402 331 360 298 4 3 6 4 16 6 29 7
8 418 403 358 307 5 5 5 4 17 9 16 7
9 456 320 403 300 13 5 11 5 42 10 75 9
10 302 199 306 175 7 3 6 2 22 6 22 4
11 252 179 252 217 6 3 6 4 18 7 17 9
12 402 286 403 313 6 3 6 3 22 6 24 6
13 249 220 247 206 5 4 5 3 25 8 20 6
14 299 228 253 205 6 3 5 3 23 5 16 7
15 290 249 295 273 6 4 5 4 19 8 17 8
16 397 345 352 329 5 4 5 4 24 8 16 8
17 298 248 254 227 6 4 6 5 17 7 21 10
18 403 308 402 317 11 5 11 6 41 10 53 11
Moyenne 330 265 316 254 7 4 6 4 24 8 26 8
Le Tableau 4.13 permet de constater que de procéder à un nettoyage avant le calibrage
est primordial. Avant le nettoyage, certains points erratiques avaient un écart de plus de 4
Chapitre 4 : Traitement des données
98
centimètres par rapport à la surface de la sphère. Une fois ces points enlevés, la moyenne
de l'écart maximal est passée d'environ 25 à 8 millimètres autant à l'aller qu'au retour. Ce
nettoyage a permis d'éliminer, en moyenne, environ 20% des points formant le nuage de
points de chaque sphère pour conserver seulement ceux dont l'écart-type est le plus
faible. De ce fait, l'écart-type s'est amélioré de près d'un facteur 2 en moyenne. Les étapes
du traitement des données étant complétées, l'approche mathématique de la nouvelle
procédure de calibrage peut être présentée.
Chapitre 5 : Cadre mathématique du calibrage
99
Chapitre 5 : Cadre mathématique du calibrage
Les deux derniers chapitres ont décrit les étapes d'acquisition et de traitement des
données pour la réalisation de la présente méthode de calibrage. Ces étapes ont
notamment permis de déterminer les coordonnées des sphères de référence en plus
d'extraire les nuages de points des sphères mesurées par le MX2. Les observations
brutes du MX2 sont utilisées pour calculer les coordonnées des points à la surface des
sphères. En résumé, l'approche de cette nouvelle procédure de calibrage consiste à
déterminer les angles de visée et des bras de levier qui permettent de diminuer l'écart
entre le centre des sphères mesurées par le MX2 et le centre des sphères de référence
mesurées par le scanner LiDAR terrestre. Le modèle mathématique complet de cette
méthode de calibrage dite rigoureuse est présenté dans ce chapitre.
5.1. Définition des équations
Les méthodes rigoureuses de calibrage utilisent des formes géométriques pour intégrer
des contraintes aux équations de projection d'un point LiDAR. L'approche retenue
implique l'utilisation de sphères dont on connait précisément les coordonnées. Ces
sphères, au nombre de 18, agissent à titre de sphères de référence. Tout point localisé à
la surface d'une de ces sphères doit satisfaire l'Équation 5.1.
(��Z�N] − �[QN]aQ); + (n�Z�N] − n[QN]aQ); + (q�Z�N] − q[QN]aQ); = »; (5.1)
où ��Z�N] , n�Z�N] , q�Z�N] ∶ coordonnées d'un point à la surface de la sphère;
�[QN]aQ , n[QN]aQ , q[QN]aQ ∶ coordonnées du centre de la sphère; et
» ∶ rayon de la sphère.
Les coordonnées du centre des sphères de référence ont été déterminées par un scanner
LiDAR terrestre et sont connues à quelques millimètres près, le tout tel que présenté à la
Section 4. 3. L'Équation 5.1 peut être reformulée pour former l'équation suivante.
(��Z�N] − �[QN]aQ); + (n�Z�N] − n[QN]aQ); + (q�Z�N] − q[QN]aQ); − »; = 0 (5.2)
Chapitre 5 : Cadre mathématique du calibrage
100
Les sphères localisées par le MX2 sont les mêmes que celles localisées par le scanner
LiDAR terrestre. Cependant, en raison des erreurs aléatoires et des erreurs systématiques
au niveau de la géométrie interne entre l'IMU et le scanner LiDAR, le centre des sphères
localisées par LiDAR mobile est décalé par rapport à celui des sphères de référence. De
ce fait, si on intègre les coordonnées des points localisés par le SLM dans l'Équation 5.2,
l'équation n'est plus valable. On doit intégrer une variable supplémentaire à l'Équation 5.2
qui correspond à une erreur de fermeture (L) pour formuler l'Équation 5.3.
(��Z�N] − �[QN]aQ); + (n�Z�N] − n[QN]aQ); + (q�Z�N] − q[QN]aQ); − »; = L (5.3)
On est donc en présence de l'équation de base de cette nouvelle méthode de calibrage.
Le principe de cette méthode est de faire coïncider le nuage de points des sphères
mesurées par le SLM avec le nuage de points des sphères de référence mesurées par le
scanner LiDAR terrestre en ajustant les bras de levier et les angles de visée pour
minimiser les écarts entre les deux nuages de points. De manière à faciliter la
convergence du système d'équations, l'Équation 5.3 est réécrite de la manière suivante où
W correspond au vecteur de fermeture.
¼ = ½(��Z�N] − �[QN]aQ); + (n�Z�N] − n[QN]aQ); + (q�Z�N] − q[QN]aQ); − » = √L (5.4)
La raison pour laquelle la présente méthode de calibrage est dite rigoureuse est parce les
observations brutes de navigation et de laser du SLM sont utilisées pour calculer les
coordonnées des points à la surface des sphères (��Z�N], n�Z�N] J� q�Z�N]). De plus,
l'ajustement est fait à partir de tous les points à la surface des sphères mesurées par le
SLM et non simplement avec le centre estimé de ces sphères, tel qu'il est habituellement
fait avec les approches semi-rigoureuses traditionnelles. L'équation complète qui permet
de calculer les coordonnées des points à partir des observations, des bras de levier et des
angles de visée est la suivante.
Chapitre 5 : Cadre mathématique du calibrage
101
3���Z�N]n�Z�N]q�Z�N]4� = #�����n���q���(� + �����?�(K, D, �)∙ 3�� ������� (%, ', &) ∙ 3�¾ ∙ wF(~) ∙ wF(¿)¾ ∙ FG9(~) ∙ wF(¿)¾ ∙ FG9(¿) 4� + #��/�0�1(�4� (5.5)
où ��Z�N] , n�Z�N] , q�Z�N] ∶ coordonnées d'un point à la surface de la sphère;
���� , n��� , q��� : coordonnées du centre de l'IMU; �����?�(K, D, �) ∶ matrice de changement de repère entre l'IMU et le système de
coordonnées UTM;
K, D J� � ∶ angles mesurés par l'IMU (lacet, roulis et tangage);
� ������� (%, ', &) ∶ matrice de changement de repère entre le LiDAR et l'IMU;
%, ' J� & ∶ angles de visée entre le LiDAR et l'IMU (lacet, roulis et tangage);
¾, ~ J� ¿ ∶ portée et angles mesurés par le laser; et
�/, �0J� �1 ∶ bras de levier entre le LiDAR et l'IMU.
Les valeurs fournies par le fabricant pour les bras de levier (�/,, �0,J� �1,) ainsi que les
angles de visée (%,, ', J� &,) entre le scanner LiDAR et l'IMU sont présentées dans le
Tableau 5.1.
Tableau 5.1 : Valeur des bras de levier et des angles de visée a priori
Bras de levier (m) Angles de visée (°) �/, �0, �1, %, (lacet) ', (roulis) &, (tangage)
0,000 -0,244 0,052 180 0 0
Les valeurs fournies par le fabricant sont représentatives de la géométrie interne entre les
capteurs. Néanmoins, ces valeurs varient d'un SLM à l'autre et ne sont donc pas
parfaitement adaptées au SLM utilisé. Ces valeurs permettent de former le vecteur des
valeurs approchées �,.
On doit donc ajouter un paramètre de correction supplémentaire pour les trois
composantes des bras de levier (�/∗ , �0∗ , �1∗) et les trois composantes des angles de visée (%∗, '∗, &∗) de manière à représenter plus finement la géométrie interne entre les capteurs.
Ce paramètre de correction est l'élément qu'on cherche à déterminer lors du calibrage.
Chapitre 5 : Cadre mathématique du calibrage
102
�/ = �/, + �/∗ (5.6)
�0 = �0, + �0∗ (5.7)
�1 = �1, + �1∗ (5.8)
% = %, + %∗ (5.9)
' = ', + '∗ (5.10)
& = &, + &∗ (5.11)
Les valeurs �/ , �0 �1 , % , ' et & correspondent aux valeurs finales des bras de levier et
des angles de visée déterminées par calibrage. L'Équation 5.5 peut donc être réécrite en
remplaçant les valeurs finales des paramètres par les valeurs approchées et les
corrections à appliquer aux valeurs approchées.
3���Z�N]n�Z�N]q�Z�N]4� = #�����n���q���(� + »����?�(K, D, �)∙ 3�» ������� (%, + %∗, ', + '∗, &, + &∗) ∙ 3�¾ ∙ wF(~) ∙ wF(¿)¾ ∙ FG9(~) ∙ wF(¿)¾ ∙ FG9(¿) 4�+ 3��/, + �/∗�0, + �0∗�1, + �1∗ 4�4�
(5.12)
Il est possible d'insérer l'Équation 5.12 dans l'Équation 5.4. Cependant, de manière à
alléger la notation et à favoriser l’efficacité des calculs, les équations sont traitées
séparément.
Chapitre 5 : Cadre mathématique du calibrage
103
5.2. Pondération des observations
L'approche préconisée pour la détermination des paramètres de calibrage est une
approche par moindres carrés. L'avantage de ce type d'approche est qu'elle permet
d'attribuer un poids aux observations en fonction de leur incertitude a priori. Parmi les
observations dont on estime l'incertitude par l'écart-type, on retrouve les coordonnées 3D
du centre de l'IMU et les angles d'attitude de l'IMU. L'incertitude des coordonnées 3D du
centre de l'IMU et l'incertitude du lacet ont été déterminées en fonction de la fidélité des
observations faites avec la méthode de l'intersection spatiale. L'incertitude du roulis et du
tangage est estimée par le MX2 lors de la collecte de données. Un autre type
d'observation peut être ajoutée, soit l'incertitude de la mesure de portée laser du MX2 qui
est de plus ou moins 1 centimètre selon le fabricant (Trimble, 2014). Il est donc possible
de former la matrice de variance et de covariance des observations.
∑PP =
�������������
�
�À; 0�/�ÁÂ; �0�ÁÂ; �1�ÁÂ; �P; �a; �];�/Ã���Ä�; �0Ã���Ä�;0 �1Ã���Ä�; ������������
� (5.13)
où ∑PP ∶ matrice de variance et de covariance des observations;
�À ∶ écart-type d'une mesure de portée laser;
�/�Á , �0�Á J� �1�Á ∶ écart-type des coordonnées 3D du centre de l'IMU;
�P , �a J� �] ∶ écart-type des angles mesurés par l'IMU (lacet, roulis et tangage); et
�/Ã���Ä� , �0Ã���Ä�J� �1Ã���Ä� : écart-type des coordonnées 3D des sphères de référence.
Étant donné que les observations sont présumées indépendantes, la matrice ∑PP est
diagonale. Les coordonnées du centre des sphères de référence sont traitées comme
étant des observations et leur incertitude correspond à l'écart-type de la détermination de
Chapitre 5 : Cadre mathématique du calibrage
104
leur centre. À partir de la matrice de variance et de covariance des observations, on peut
déterminer la matrice des cofacteurs.
ÅPP = 1�,; ∙ ∑PP (5.14)
où ÅPP ∶ matrice des cofacteurs des observations;
�,; ∶ facteur de variance a priori; et
∑PP ∶ matrice de variance et de covariance des observations.
La valeur du facteur de variance a priori choisie est de 1 de sorte que la matrice des
cofacteurs soit identique à la matrice de variance et de covariance des observations. La
fidélité des observations est souvent variable, alors cette matrice doit être calculée pour
chaque point formant le nuage de points.
5.3. Linéarisation des équations
L'Équation 5.4 et l'Équation 5.12 se prêtent bien à une approche de compensation
générale qui nécessite l'implication des paramètres recherchés et des observations dans
un même système d'équations. Pour parvenir à estimer les paramètres par moindres
carrés, il est nécessaire de linéariser les équations. Deux matrices contenant les dérivées
partielles doivent être formées. La première matrice � contient les dérivées partielles des
équations par rapport aux observations. On doit donc dériver les équations du modèle
fonctionnel par rapport à chacune des 10 observations dont on estime l'écart-type.
Tableau 5.2 : Dérivées partielles formant la matrice B � ¾ ���� n��� q��� K D � �[QN]aQ n[QN]aQ q[QN]aQ
¼ Ƽƾ
ƼÆ���� ƼÆn���
ƼÆq��� ƼÆK
ƼÆD ƼÆ�
ƼÆ�[QN]aQ ƼÆn[QN]aQ
ƼÆq[QN]aQ
Tel que vu à l'Équation 5.4, la fonction ¼ n'est pas directement exprimée en fonction des
10 observations. Elle est toutefois exprimée en fonction des variables ��Z�N] , n�Z�N] , q�Z�N]
et �[QN]aQ , n[QN]aQ , q[QN]aQ. Il n'est donc pas possible de former directement la matrice �. Pour y parvenir, il faut procéder à une dérivation de fonction composée. On peut donc
former une première matrice des dérivées partielles �:.
Chapitre 5 : Cadre mathématique du calibrage
105
Tableau 5.3 : Dérivées partielles formant la première matrice �: �: ��Z�N] n�Z�N] q�Z�N] �[QN]aQ n[QN]aQ q[QN]aQ
¼ ƼÆ��Z�N]
ƼÆn�Z�N] ƼÆq�Z�N] ƼÆ�[QN]aQ
ƼÆn[QN]aQ ƼÆq[QN]aQ
À partir de l'Équation 5.12, on peut former la deuxième matrice des dérivées partielles �;.
Tableau 5.4 : Dérivées partielles formant la deuxième matrice �; �; ¾ ���� n��� q��� K D � �[QN]aQ n[QN]aQ q[QN]aQ
��Z�N] ��Z�N]ƾ ��Z�N]����
Æ��Z�N]Æn��� Æ��Z�N]Æq���
Æ��Z�N]ÆK Æ��Z�N]ÆD
��Z�N]� 0 0 0
n�Z�N] Æn�Z�N]ƾ Æn�Z�N]Æ����
Æn�Z�N]Æn��� Æn�Z�N]Æq���
Æn�Z�N]ÆK Æn�Z�N]ÆD
Æn�Z�N]Æ� 0 0 0
q�Z�N] Æq�Z�N]ƾ Æq�Z�N]Æ����
Æq�Z�N]Æn��� Æq�Z�N]Æq���
Æq�Z�N]ÆK Æq�Z�N]ÆD
Æq�Z�N]Æ� 0 0 0
�[QN]aQ 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 n[QN]aQ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 q[QN]aQ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
Une fois les deux matrices de dérivées partielles calculées, il est possible de les multiplier
pour calculer la matrice des dérivées partielles totale �.
� = �: ∙ �; (5.15)
La matrice � contient les dérivées partielles des équations par rapport aux paramètres
recherchés. Les 6 paramètres recherchés sont les trois composantes des bras de levier (�/∗ , �0∗ , �1∗) et les trois composantes des angles de visée (%∗, '∗, &∗).
Tableau 5.5 : Dérivées partielles formant la matrice A
� %∗
(lacet)
'∗
(roulis)
&∗ (tangage)
�/∗ �0∗ �1∗
¼ ƼÆ%∗ ƼÆ'∗
ƼÆ&∗ ƼÆ�/∗ ƼÆ�0∗
ƼÆ�1∗
Chapitre 5 : Cadre mathématique du calibrage
106
Pour la formation de la matrice �, le même constat est fait que pour la formation de la
matrice �. La fonction ¼ est seulement exprimée en fonction des variables ��Z�N] , n�Z�N] et q�Z�N]. On doit donc encore procéder à une dérivation de fonction
composée.
Tableau 5.6 : Dérivées partielles formant la première matrice �: �: ��Z�N] n�Z�N] q�Z�N] ¼
ƼÆ��Z�N] ƼÆn�Z�N]
ƼÆq�Z�N] On peut ensuite former la deuxième matrice des dérivées partielles par rapport aux
paramètres recherchés �;.
Tableau 5.7 : Dérivées partielles formant la deuxième matrice �;
�; %∗
lacet
'∗
roulis
&∗ tangage
�/∗ �0∗ �1∗
��Z�N] Æ��Z�N]Æ%∗ Æ��Z�N]Æ'∗
Æ��Z�N]Æ&∗ Æ��Z�N]Æ�/∗
Æ��Z�N]Æ�0∗ Æ��Z�N]Æ�1∗
n�Z�N] Æn�Z�N]Æ%∗ Æn�Z�N]Æ'∗
Æn�Z�N]Æ&∗ Æn�Z�N]Æ�/∗
Æn�Z�N]Æ�0∗ Æn�Z�N]Æ�1∗
q�Z�N] Æq�Z�N]Æ%∗ Æq�Z�N]Æ'∗
Æq�Z�N]Æ&∗ Æq�Z�N]Æ�/∗
Æq�Z�N]Æ�0∗ Æq�Z�N]Æ�1∗
Une fois les deux matrices des dérivées partielles formées, il est possible de les multiplier
pour calculer la matrice des dérivées partielles totale �.
� = �: ∙ �; (5.16)
Pour chaque point à la surface d'une sphère, il est possible de calculer le vecteur de
fermeture ¼, la matrice des cofacteurs ÅPP et les matrices des dérivées partielles � et �.
Un total de 5682 points sont présents sur les 18 sphères observées en direction avant lors
de la collecte du 22 décembre 2016. Les dimensions des matrices pour chaque point et
pour l'ensemble des points sont présentées dans le Tableau 5.8.
Chapitre 5 : Cadre mathématique du calibrage
107
Tableau 5.8 : Dimensions des matrices
Matrice
Pour chaque point Pour l'ensemble des points
Nombre de
lignes
Nombre de
colonnes
Nombre de
lignes
Nombre de
colonnes ¼ 1 1 5682 1 ÅPP 10 10 56820 56820 � 1 10 5682 56820 � 1 6 5682 6
La prochaine section traite de la formation des matrices normales È, 5 et du vecteur 9.
Les matrices étant assez volumineuses, une approche de construction séquentielle a été
favorisée.
5.4. Formation des matrices par une approche de con struction
séquentielle
La première matrice normale à former contient de l'information sur la pondération des
observations puisqu'elle intègre la matrice des dérivées partielles � et la matrice des cofacteurs ÅPP. Dans une approche de construction séquentielle, cette
matrice désignée par la lettre È doit être formée pour chaque point de la manière
suivante.
È = � ∙ ÅPP ∙ �? (5.17)
Pour chaque point, la matrice È est une matrice unitaire (1 x 1) selon le présent modèle
fonctionnel. Cette matrice se prête bien à une inversion.
È^: = (� ∙ ÅPP ∙ �?)^: (5.18)
Si une approche séquentielle n'était pas utilisée, la matrice È aurait été de dimensions
(5682 x 5682) étant donné que celle-ci aurait été formée à partir des 5682 équations de
projection d'un point LiDAR. L'inversion de cette matrice aurait requis plus de temps et de
ressources informatiques, notamment dans le cas où plusieurs itérations sont nécessaires
Chapitre 5 : Cadre mathématique du calibrage
108
pour la convergence de la solution. La matrice È^: peut ensuite être utilisée pour la
formation de la deuxième matrice normale 5∗. 5∗ = �? ∙ È^: ∙ � (5.19)
La matrice 5∗ est une matrice de dimensions (6 x 6). Les dimensions de cette matrice sont
en lien avec le nombre de paramètres à estimer qui est de 6 selon le présent modèle
fonctionnel. En plus des matrices normales à former pour chaque point, on doit aussi
former le vecteur 9 de dimensions (6 x 1).
9∗ = −�? ∙ È^: ∙ ¼ (5.20)
Une approche de construction séquentielle implique l'ajout de la contribution de la matrice 5∗ et du vecteur 9∗ de chaque point à la matrice 5 et au vecteur 9 de tous les points.
5 = ¹ 5∗ÉÊË;�º: (5.21)
9 = ¹ 9∗ÉÊË;�º: (5.22)
La matrice 5 doit elle aussi être inversée pour devenir la matrice 5^:. Il n'y a pas
réellement de gain à utiliser une approche de construction séquentielle pour l'inversion de
cette matrice étant donné que la matrice 5 a les mêmes dimensions que la matrice 5∗. 5.5. Estimation des paramètres et de leur incertitu de
Il est possible de calculer le vecteur des paramètres recherchés � à partir de la matrice 5^: et du vecteur 9.
Chapitre 5 : Cadre mathématique du calibrage
109
� = 5^: ∙ 9 (5.23)
Le vecteur � est un vecteur de dimensions (6 x 1). Ce vecteur contient les corrections à
apporter aux valeurs approchées des paramètres de calibrage recherchés étant les trois
composantes des angles de visée et les trois composantes des bras de levier.
� = �������%∗'∗&∗�/∗�0∗�1∗ ���
�� � (5.24)
Étant donné que le modèle fonctionnel n'est pas linéaire, la détermination de ces
paramètres par moindres carrés est un processus itératif. Les corrections peuvent donc
être appliquées aux valeurs approchées de manière à obtenir des valeurs approchées de
meilleure qualité pour la prochaine itération.
�, = �, + � (5.25)
Le processus itératif peut être arrêté lorsque les valeurs des corrections atteignent un
certain seuil. Dans le cadre de la présente procédure de calibrage, on cherche à
déterminer les angles de visée avec une erreur maximale de 0,01 degré et les bras de
levier avec une erreur maximale de 1 millimètre. Bref, lorsque les corrections estimées
pour ces paramètres seront inférieures à ces valeurs, il sera possible de mettre fin au
processus itératif.
L'avantage de l'utilisation d'une méthode de détermination par moindres carrés est qu'il est
possible d'estimer l'incertitude des paramètres par leur écart-type. La matrice 5^: est
équivalente à la matrice des cofacteurs des paramètres recherchés Å//. Cette relation
permet de calculer la matrice de variance et de covariance des paramètres inconnus ∑//.
∑// = F,; ∙ Å// (5.26)
Chapitre 5 : Cadre mathématique du calibrage
110
La variable F,; correspond au facteur de variance a posteriori. Sa valeur peut être
déterminée à partir de l'Équation 5.27.
F,; = g? ∙ Ì ∙ g9, − I, (5.27)
où g ∶ résiduelles des observations après compensation;
Ì ∶ matrice de poids des observations;
9, ∶ nombre d'équations; et
I, ∶ nombre d'inconnus.
Puisqu'il n'est pas nécessaire de former le vecteur des résiduelles g et la matrice Ì pour
déterminer une solution par moindres carrés avec une approche générale, ce vecteur et
cette matrice n'ont pas été explicitement formés. Le terme g? ∙ Ì ∙ g peut toutefois être
estimé à partir de l'Équation 5.28.
g? ∙ Ì ∙ g = ¼? ∙ È^: ∙ ¼ − �? ∙ 9 (5.28)
Les termes ¼, È^:, � et 9 ont tous été calculés dans le processus de détermination des
paramètres par moindres carrés. L'Équation 5.27 peut être réécrite de la manière suivante.
F,; = ¼? ∙ È^: ∙ ¼ − �? ∙ 99, − I, (5.29)
Une fois la valeur du terme F,; déterminée, il est possible de calculer la matrice de
variance et de covariance des paramètres inconnus ∑// à partir de l'Équation 5.26. Un
programme et des fonctions ont été développés pour appliquer la nouvelle approche de
calibrage aux jeux de données recueillis le 16 mai et le 22 décembre 2016. Plus de détails
sur les fonctions sont présentés à l'Annexe C.
Chapitre 5 : Cadre mathématique du calibrage
111
Tableau 5.9 : Description sommaire du programme et des fonctions permettant d'appliquer
la nouvelle méthode de calibrage
No Nom du programme
(M_nom.m) Brève description
Fonctions associées
(F_nom.m)
8 M_BoresightCalib
Ce programme permet de
mettre en œuvre la procédure
de calibrage pour l'estimation
des angles de visée et des
bras de levier.
F_Calibration
F_ComputeXYZPoint_1Line
F_RecomputeXYZ
Ce chapitre a donc permis de présenter l'approche mathématique de la nouvelle méthode
de calibrage. Cette méthode de calibrage peut être qualifiée de rigoureuse puisque
chaque point du nuage de points LiDAR à la surface d'une sphère mesurée par le MX2 est
considéré individuellement dans l'ajustement. Le chapitre suivant présentera les valeurs
déterminées pour les angles de visée et les bras de levier avec cette approche à partir des
deux collectes de données réalisées en laboratoire.
Chapitre 6 : Présentation des résultats
112
Chapitre 6 : Présentation des résultats
Le dernier chapitre a permis de présenter le modèle mathématique de cette nouvelle
approche de calibrage. Deux cueillettes de données ont été réalisées avec le même SLM
à plus de six mois d'intervalle en 2016. Des valeurs pour les angles de visée et les bras de
levier ont pu être déterminées pour ces deux séances d'acquisition. Le présent chapitre
permet de présenter les résultats du calibrage suite à ces collectes de données.
6.1. Résultats de la collecte du 16 mai 2016
La première collecte de données LiDAR mobile sur le banc de calibrage a été réalisée le
16 mai 2016. Cette première collecte de données a permis de valider le bon
fonctionnement et l’efficacité des divers programmes en langage Matlab développés pour
la nouvelle procédure de calibrage in lab. De plus, cette cueillette de données servait de
vérification à la méthodologie envisagée, de manière à savoir si l’intégration des divers
instruments de mesure était faite adéquatement. Cette première collecte a été réalisée en
direction avant (aller) seulement. Les centres des sphères mesurées par le MX2 ont pu
être extraits du nuage de points pour les comparer aux centres des sphères de référence
mesurées par le scanner LiDAR terrestre. Le Tableau 6.1 montre les écarts entre les
coordonnées des sphères obtenues par LiDAR terrestre (référence) et LiDAR mobile
avant le calibrage de ce dernier.
Chapitre 6 : Présentation des résultats
113
Tableau 6.1 : Écarts par rapport aux sphères de référence avant le calibrage
No de la sphère ∆X (m) ∆Y (m) ∆Z (m) ∆3D (m)
1 -0,0494 -0,0175 0,0387 0,0652
2 -0,0199 0,0014 0,0206 0,0287
3 -0,0368 -0,0031 -0,0035 0,0371
4 -0,0611 -0,0146 0,0294 0,0693
5 -0,0567 -0,0164 0,0407 0,0717
6 -0,0336 0,0046 0,0296 0,0451
7 -0,0534 -0,0126 0,0420 0,0691
8 -0,0659 -0,0121 0,0129 0,0683
9 -0,0461 0,0018 -0,0119 0,0477
10 0,0402 0,0085 0,0205 0,0460
11 0,0515 0,0090 0,0059 0,0526
12 0,0457 -0,0032 0,0050 0,0461
13 0,0355 0,0048 0,0132 0,0382
14 0,0169 0,0068 0,0429 0,0466
15 0,0161 0,0095 0,0481 0,0516
16 -0,0211 -0,0002 0,0680 0,0712
17 -0,0364 -0,0052 0,0464 0,0592
18 -0,0367 -0,0048 0,0518 0,0637
Moyenne -0,0173 -0,0024 0,0278 0,0543
Écart-type 0,0402 0,0091 0,0214 0,0133
À première vue, on constate que les écarts sur la coordonnée Y sont assez faibles avec
une moyenne de -2 millimètres. Cette valeur est encourageante puisqu’elle signifie que le
positionnement du centre de l’IMU sur le banc de calibrage, fortement corrélé avec la
coordonnée Y, ne semble pas erroné. Les écarts sur les coordonnées X et Z sont plus
importants. Théoriquement, ces écarts peuvent être majoritairement causés par une erreur
sur la valeur de l’angle de visée du roulis '∗, étant donné que le plan XZ est
perpendiculaire à l’axe Y du système de coordonnées géographiques qui pointe vers
l'avant du SLM.
Ce jeu de données a donc été introduit dans la routine de calibrage pour en extraire les
valeurs des six paramètres à estimer, soit les trois angles de visée et les trois bras de
Chapitre 6 : Présentation des résultats
114
levier. Étonnamment, suite un premier traitement de ce jeu de données, la solution de
calibrage divergeait. Une visualisation des données avec le logiciel Trident a donc été
nécessaire. En analysant la position du centre des sphères mesurées par le MX2 par
rapport au centre des sphères de référence, un phénomène a pu être observé. Les
vecteurs de la différence entre les deux centres pointent toujours en direction du MX2 sur
le banc de calibrage, c’est-à-dire que la distance mesurée par le MX2 est toujours trop
courte par rapport à la distance mesurée par le scanner terrestre. Bref, lorsque la sphère
est positionnée à la même hauteur que le MX2, mais éloignée du banc de calibrage,
l’écart est principalement observé sur la coordonnée X tandis que lorsque la sphère est
directement au-dessus du MX2, l’écart est principalement observé sur la coordonnée Z.
On peut observer ce phénomène sur la Figure 6.1 et la Figure 6.2 où les points verts
correspondent au centre de la sphère de référence tandis que les points rouges
correspondent au centre de la sphère mesurée par le MX2.
Figure 6.1 : Écart sur la sphère numéro
11
Figure 6.2 : Écart sur la sphère numéro
16
La Figure 6.1 et la Figure 6.2 montrent qu'il semble y avoir une erreur sur les mesures de
portée fournies par le laser qui sont trop courtes pour chaque sphère. Pour déterminer
l’ordre de grandeur de cette erreur, il est possible de comparer la longueur des vecteurs
partant du centre de l'IMU jusqu'au centre de la sphère de référence Ív����édéaQN[QÎ avec la
longueur des vecteurs partant du centre de l'IMU jusqu'au centre de la sphère mesurée
par le MX2 (v����/;). Pour chacune des sphères, les coordonnées du centre de l'IMU
Chapitre 6 : Présentation des résultats
115
utilisées correspondent à la moyenne des coordonnées du centre de l'IMU pour chaque
ligne de scan couvrant la sphère.
����bZcQN = ¹ ����9N�º: (6.1)
n���bZcQN = ¹ n���9N�º:
(6.2)
q���bZcQN = ¹ q���9N�º:
(6.3)
où ����bZcQN, n���bZcQN, q���bZcQN ∶ Coordonnées moyennes du centre de l'IMU; ���� , n��� , q��� ∶ Coordonnées du centre de l'IMU pour chaque ligne de scan; et 9 ∶ nombre de lignes de scan associées à une sphère. Par la suite, il est possible de calculer la longueur des vecteurs par une simple norme
euclidienne. La différence entre la longueur de ces vecteurs fournit une bonne
approximation de la valeur de l'erreur de portée du laser (¾∗) mesurée par le MX2.
Chapitre 6 : Présentation des résultats
116
Tableau 6.2 : Estimation de l'erreur de portée du laser du MX2
Numéro de la sphère v����/;(y) v����édéaQN[Q(y) ¾∗(y)
1 7,7289 7,7789 -0,0500
2 3,0356 3,0542 -0,0186
3 2,0860 2,1192 -0,0331
4 7,2669 7,3204 -0,0535
5 8,1336 8,1846 -0,0509
6 8,6426 8,6594 -0,0168
7 8,9697 9,0113 -0,0416
8 5,2288 5,2914 -0,0625
9 4,8298 4,8482 -0,0184
10 2,8147 2,8414 -0,0267
11 0,6325 0,6815 -0,0490
12 3,2567 3,2688 -0,0121
13 5,1515 5,1552 -0,0037
14 6,9765 6,9906 -0,0141
15 4,3139 4,3434 -0,0295
16 6,1116 6,1629 -0,0513
17 9,9147 9,9502 -0,0355
18 5,8846 5,9411 -0,0565
Moyenne 5,6446 5,6099 -0,0347
Écart-type - - 0,0179
Le Tableau 6.2 permet de confirmer qu'il existe une erreur systématique sur la mesure de
portée du laser fournie par le MX2. La mesure indiquée est toujours trop courte et l'ordre
de grandeur de cette erreur est de 3,5 centimètres. Cette valeur reste toutefois
approximative étant donné que le système n'est pas encore calibré pour les bras de levier
et les angles de visée.
Pour s'assurer que cette erreur est bel et bien due à une erreur sur la mesure de portée et
non à une erreur de positionnement du système, une vérification externe a été utilisée.
Deux nuages de points ont été acquis à partir de deux instruments de mesure
complètement indépendants, soit le LiDAR terrestre et le LiDAR mobile. Ces nuages de
points permettent de bien modéliser le laboratoire, notamment les murs latéraux de
Chapitre 6 : Présentation des résultats
117
chaque côté du banc de calibrage. L'idée est de vérifier si la largeur du laboratoire entre
les deux murs mesurée par le MX2 sera plus courte que celle mesurée par le LiDAR
terrestre qui correspond à la largeur réelle. Pour y parvenir, un échantillonnage de 12 sites
couvrant la portion du laboratoire mesurée a été utilisé. Les coordonnées globales de ces
sites sont présentées dans le Tableau 6.3.
Tableau 6.3 : Coordonnées des sites d'échantillonnage
Numéro
du site
Mur à l'est (à droite et plus rapproché)
du banc de calibrage
Mur à l'ouest (à gauche et plus
éloigné) du banc de calibrage
X (m) Y (m) Z (m) X (m) Y (m) Z (m)
1 500001,00 4982961,75 2,00 499992,00 4982961,75 2,00
2 500001,00 4982961,25 2,00 499992,00 4982961,25 2,00
3 500001,00 4982956,75 2,00 499992,00 4982956,75 2,00
4 500001,00 4982956,25 2,00 499992,00 4982956,25 2,00
5 500001,00 4982954,25 2,00 499992,00 4982954,25 2,00
6 500001,00 4982952,75 2,00 499992,00 4982952,75 2,00
7 500001,00 4982961,75 3,25 499992,00 4982961,75 3,25
8 500001,00 4982961,25 3,25 499992,00 4982961,25 3,25
9 500001,00 4982956,75 3,25 499992,00 4982956,75 3,25
10 500001,00 4982956,25 3,25 499992,00 4982956,25 3,25
11 500001,00 4982954,25 3,25 499992,00 4982954,25 3,25
12 500001,00 4982952,75 3,25 499992,00 4982952,75 3,25
Les coordonnées de ces sites ont été importées dans les logiciels Realworks et Trident.
Les outils de mesure intégrés dans ces logiciels ont été utilisés pour calculer la distance
entre les murs à chacun des sites. Les sites 7 à 12 ont les mêmes coordonnées
planimétriques que les sites 1 à 6, mais ils sont situés à une élévation supérieure de 1,25
mètre des premiers. La distance mesurée entre les murs pour chaque site est présentée
dans le Tableau 6.4.
Chapitre 6 : Présentation des résultats
118
Tableau 6.4 : Largeur mesurée entre les murs par les deux instruments
Numéro du
site
Largeur mesurée par le
LiDAR mobile (m)
Largeur mesurée par le
LiDAR terrestre (m) Écart (m)
1 8,9193 9,0044 -0,0850
2 8,9202 9,0033 -0,0831
3 8,8981 8,9876 -0,0895
4 8,8985 8,9882 -0,0896
5 8,9100 8,9938 -0,0838
6 8,9251 8,9963 -0,0712
7 9,0063 9,0782 -0,0719
8 9,0063 9,0615 -0,0552
9 8,9925 9,0621 -0,0695
10 8,9965 9,0699 -0,0734
11 9,0033 9,0744 -0,0711
12 9,0190 9,0827 -0,0637
Moyenne - - -0,0756
Écart-type - - 0,0107
Le Tableau 6.4 permet de confirmer que les distances mesurées par le MX2 sont toujours
trop courtes. L'écart entre les deux murs est aussi assez constant avec un écart-type de 1
centimètre, ce qui correspond à la fidélité d'une mesure laser effectuée par le MX2 selon
le fabricant (Trimble, 2014). Pour obtenir une deuxième estimation de l'erreur de portée du
laser du MX2, on peut diviser la moyenne des écarts par un facteur 2. La valeur estimée
est de -3,78 centimètres, ce qui concorde assez bien avec la valeur de -3,47 centimètres
estimée précédemment.
L'hypothèse est que l'erreur de portée du laser est réellement une valeur constante. Selon
cette hypothèse, il est possible d'apporter une correction aux mesures qui est elle aussi
une constante. Il se peut qu'une partie de cette erreur soit en fonction de la longueur de la
portée mesurée. Il devient toutefois très dangereux d'estimer un paramètre de correction
en fonction de la distance étant donné que les distances mesurées dans le laboratoire
sont relativement courtes. Le laboratoire a une largeur maximale de 9 mètres et les
sphères sont situées à une distance moyenne de 5 mètres de l'IMU, tel que vu dans le
Tableau 6.2 et le Tableau 6.4. Dans cette situation, l'utilisation d'un paramètre de
Chapitre 6 : Présentation des résultats
119
correction en fonction de la distance déterminée à partir de courts vecteurs pourrait être
catastrophique si appliqué lors d'une collecte de données à l'extérieur où les vecteurs
peuvent atteindre plus de 50 mètres. Pour cette raison, la correction à appliquer aux
mesures de portée du laser effectuées par le MX2 (¾∗) doit être une constante. Un
septième paramètre à estimer doit être ajouté au modèle mathématique fonctionnel établi
au Chapitre 5. Ceci implique notamment l'ajout de ce septième paramètre à l'équation de
base du géoréférencement d'un point LiDAR, mais aussi l'ajout d'une colonne à la matrice
A représentant la matrice des dérivées partielles par rapport aux paramètres inconnus à
estimer.
3���Z�N]n�Z�N]q�Z�N]4�= #�����n���q���(� + »����?�(K, D, �)∙ 3�» ������� (%, + %∗, ', + '∗, &, + &∗) ∙ 3�(¾ + ¾∗) ∙ wF(~) ∙ wF(¿)(¾ + ¾∗) ∙ FG9(~) ∙ wF(¿)(¾ + ¾∗) ∙ FG9(¿) 4� + 3��/, + �/∗�0, + �0∗�1, + �1∗ 4�4�
(6.4)
Une fois ces changements faits, un nouveau traitement de calibrage a été réalisé. Cette
fois-ci, la solution de calibrage a convergé et seulement trois itérations ont été nécessaires
pour obtenir une solution avec les seuils (ou conditions d’arrêt) déterminés
précédemment. Les sept paramètres estimés et leur écart-type sont présentés dans le
Tableau 6.5, soit les trois angles de visée (lacet, roulis et tangage), les trois bras de levier
(X, Y et Z) et l'erreur de portée du laser.
Chapitre 6 : Présentation des résultats
120
Tableau 6.5 : Valeurs estimées des sept paramètres de correction et de leur écart-type
Paramètres de correction Valeur Écart-type
Angle de visée
%∗ (lacet) -0,153° 0,003° '∗ (roulis) -0,289° 0,005° &∗ (tangage) 0,078° 0,006°
Bras de levier
�/∗ -0,0003 m 0,0003 m �0∗ 0,0054 m 0,0002 m �1∗ 0,0021 m 0,0004 m
Portée ¾∗ 0,0478 m 0,0003 m
À partir des valeurs approchées fournies par le fabricant, qui sont présentées au Tableau
5.1, il est possible de déterminer les valeurs finales obtenues par calibrage des angles de
visée, des bras de levier et de l'erreur de portée du MX2.
Tableau 6.6 : Valeurs des paramètres avant et après le calibrage
Paramètres Valeur initiale Valeur finale
Angle de visée
% (lacet) 180° 179,847° ' (roulis) 0° -0,289° & (tangage) 0° 0,078°
Bras de levier
�/ 0,000 m -0,0003 m �0 -0,244 m -0,2386 m �1 0,052 m 0,0541 m
Portée ¾ 0 m 0,0478 m
On peut maintenant calculer la position du centre des sphères mesurées par le MX2 une
fois le calibrage complété. Par la suite, le centre de ces sphères peut être comparé au
centre des sphères de référence. Le Tableau 6.7 montre les écarts entre les coordonnées
des sphères obtenues par LiDAR terrestre (référence) et LiDAR mobile après le calibrage
de ce dernier.
Chapitre 6 : Présentation des résultats
121
Tableau 6.7 : Écarts par rapport aux sphères de référence après le calibrage pour la
solution à sept paramètres
No de la
sphère ∆X (m) ∆Y (m) ∆Z (m) ∆3D (m)
1 0,0049 0,0030 0,0058 0,0082
2 -0,0235 -0,0019 0,0041 0,0240
3 -0,0086 0,0019 -0,0116 0,0146
4 0,0123 0,0008 0,0062 0,0138
5 0,0122 0,0018 0,0037 0,0129
6 -0,0100 -0,0058 -0,0044 0,0124
7 0,0088 -0,0017 0,0022 0,0093
8 0,0134 0,0018 0,0041 0,0142
9 0,0027 -0,0022 -0,0079 0,0086
10 -0,0049 0,0007 0,0130 0,0139
11 -0,0052 -0,0013 0,0026 0,0059
12 0,0003 0,0106 0,0052 0,0118
13 -0,0007 0,0045 0,0210 0,0215
14 -0,0012 0,0033 0,0067 0,0076
15 -0,0024 -0,0001 0,0021 0,0032
16 0,0096 0,0027 -0,0139 0,0171
17 0,0075 0,0005 0,0034 0,0083
18 0,0079 0,0001 -0,0022 0,0082
Moyenne 0,0013 0,0010 0,0022 0,0120
Écart-type 0,0096 0,0034 0,0082 0,0053
En analysant le Tableau 6.7 on constatee que le calibrage permet une diminution
importante des écarts par rapport aux sphères de référence, la moyenne des écarts
passant de 0,0543 mètre (Tableau 6.1) à 0,0120 mètre (Tableau 6.7). Il est certain que
l'erreur de portée du MX2 a un impact qui empêche de quantifier l'impact des bras de
levier et des angles de visée sur les écarts avant le calibrage. Il devient maintenant
intéressant de recalculer les écarts avant le calibrage en utilisant la valeur estimée de
l'erreur de portée du laser qui est de 0,0478 mètre.
Chapitre 6 : Présentation des résultats
122
Tableau 6.8 : Écarts par rapport aux sphères de référence avant le calibrage sans
considérer l'erreur de portée du laser
∆X (m) ∆Y (m) ∆Z (m) ∆3D (m)
Moyenne -0,0032 0,0023 -0,0149 0,0264
Écart-type 0,0117 0,0089 0,0191 0,0097
Le Tableau 6.8 confirme qu'il y a réellement un gain à procéder au calibrage du SLM et
que ce gain est observable sur l'écart des sphères mesurées par le MX2 par rapport aux
sphères de référence. La détermination des angles de visée et des bras de levier permet
d'améliorer la moyenne des écarts d'un facteur de l'ordre de 2,5. Cependant, la moyenne
des écarts après le calibrage reste tout de même assez élevée avec une valeur supérieure
à 10 millimètres. Cette valeur coïncide toujours avec l'ordre de grandeur de la fidélité
d'une mesure laser selon le fabricant. Étant donné que les écarts sont plus importants que
le degré d'incertitude avec laquelle on veut estimer les bras de levier, il est possible que
l'estimation des bras de levier soit biaisée. Il devient donc intéressant de refaire la
procédure de calibrage en n'estimant pas les bras de levier. Les valeurs estimées des
quatre paramètres, soit les trois angles de visée et l'erreur de portée du laser, sont
présentées au Tableau 6.9.
Tableau 6.9 : Valeurs estimées des quatre paramètres de correction et de leur écart-type
Paramètres de correction Valeur Écart-type
Angle de visée
%∗ (lacet) -0,104° 0,003° '∗ (roulis) -0,308° 0,003° &∗ (tangage) 0,132° 0,007°
Portée ¾∗ 0,0482 m 0,0003 m
On constate certaines ressemblances entre la solution de calibrage à sept paramètres
(Tableau 6.5) et celle à quatre paramètres (Tableau 6.9). Les angles de visées associés
au lacet et au tangage (%∗ et &∗) sont différents de l'ordre de cinq centièmes de degré
alors que l'angle de visée associé au roulis ('∗) est presque identique avec une valeur
qui diffère de seulement deux centièmes de degré. L'erreur de portée du laser (¾∗) est la
même à quelques dixièmes de millimètre près. On peut aussi vérifier cet impact sur les
écarts par rapport aux sphères de référence.
Chapitre 6 : Présentation des résultats
123
Tableau 6.10 : Écarts par rapport aux sphères de référence pour la solution à quatre
paramètres
∆X (m) ∆Y (m) ∆Z (m) ∆3D (m)
Moyenne 0,0017 -0,0009 0,0012 0,0120
Écart-type 0,0096 0,0042 0,0082 0,0054
Le Tableau 6.10 est semblable au Tableau 6.7 à quelques dixièmes de millimètres près.
On peut conclure rapidement que les paramètres déterminés permettent d'améliorer la
justesse de la collecte de données par le MX2. Cependant, certaines questions restent
sans réponse. Est-ce que les angles déterminés correspondent réellement aux angles de
visée du MX2 ou s'agit-il d'une erreur d'orientation autre du système? Est-ce que les
résultats seraient répétables avec une autre configuration de sphères dans le laboratoire?
Est-ce que les paramètres déterminés en direction de l'aller seraient les mêmes que ceux
déterminés en direction du retour? De manière à trouver des réponses à ces questions et
à valider les résultats obtenus, une deuxième collecte de données s'imposait.
6.2. Résultats de la collecte du 22 décembre 2017
La deuxième séance d'expérimentation avait comme but principal de vérifier si une
collecte de données en direction avant permettrait d'extraire les mêmes angles qu'une
collecte de données en direction arrière. Théoriquement, peu importe la direction du SLM,
les mêmes angles de visée devraient être observés et cette affirmation est aussi vraie
pour les bras de levier. Si les résultats sont identiques, ou équivalents statistiquement,
cela signifie que la procédure de calibrage est adéquate et que tous les éléments ont bien
été modélisés. Lors de cette deuxième collecte, les sphères ont été positionnées à des
endroits différents de la première collecte, mais toujours bien dispersées dans le
laboratoire de façon à optimiser la géométrie d'acquisition et à minimiser le couplage entre
les paramètres. Les paramètres estimés pour la collecte en direction avant et la collecte
en direction arrière sont présentés dans le Tableau 6.11.
Chapitre 6 : Présentation des résultats
124
Tableau 6.11 : Paramètres estimés dans les 2 directions
Paramètres Direction avant Direction arrière
Valeur Écart-type Valeur Écart-type
Angle de
visée
%∗ (lacet) -0,066° 0,004° 0,069° 0,005° '∗ (roulis) -0,359° 0,006° -0,255° 0,006° &∗ (tangage) 0,106° 0,009° 0,045° 0,011°
Bras de levier
�/∗ -0,0037 m 0,0003 m 0,0040 m 0,0003 m �0∗ 0,0008 m 0,0002 m 0,0034 m 0,0003 m �1∗ -0,0034 m 0,0004 m -0.0105 m 0,0004 m
Portée ¾∗ 0,0505 m 0,0003 m 0,0497 m 0,0004 m
À première vue, le Tableau 6.11 indique que les paramètres estimés semblent
incompatibles. Les paramètres %∗ et �/∗ ont la même valeur entre les deux directions, mais
avec un signe opposé. Pour les autres paramètres, ceux-ci ont des écarts supérieurs au
niveau d'incertitude avec lequel on cherche à les estimer. Le seul paramètre équivalent en
direction avant comme en direction arrière est l'erreur de portée du laser. On peut aussi
calculer les écarts entre le centre des sphères mesurées par le MX2 et le centre des
sphères de référence après le calibrage. La moyenne des écarts et leur écart-type sont
présentés dans le Tableau 6.12.
Tableau 6.12 : Écarts par rapport aux sphères de référence pour la solution à sept
paramètres dans les deux directions
∆X (m) ∆Y (m) ∆Z (m) ∆3D (m)
Direction
avant
Moyenne 0,0007 0,0009 0,0032 0,0101
Écart-type 0,0080 0,0022 0,0062 0,0036
Direction
arrière
Moyenne 0,0017 -0,0014 -0,0026 0,0101
Écart-type 0,0085 0,0031 0,0054 0,0039
On peut constater que même si les paramètres estimés ne concordent pas tout à fait entre
les directions, les écarts entre les sphères sont très semblables. Il est aussi possible
d'estimer les paramètres de la solution complète qui combine les observations en direction
avant et en direction arrière. Cette solution utilise donc un total de 36 sphères étant donné
que les 18 mêmes sphères sont observées dans les deux directions.
Chapitre 6 : Présentation des résultats
125
Tableau 6.13 : Valeurs estimées des sept paramètres de correction et de leur écart-type
pour la solution dans les deux directions
Paramètres de correction Direction avant et arrière
Valeur Écart-type
Angle de visée
%∗ (lacet) 0,036° 0,003° '∗ (roulis) -0,343° 0,004° &∗ (tangage) 0,072° 0,009°
Bras de levier
�/∗ -0,0002 m 0,0002 m �0∗ -0,0050 m 0,0001 m �1∗ -0,0059 m 0,0002 m
Portée ¾∗ 0,0532 m 0,0002 m
Après la détermination des sept paramètres de calibrage, pour la solution complète en
direction avant et arrière, les écarts entre le centre des sphères mesurées par le MX2 et le
centre des sphères de référence peuvent être calculés. La moyenne des écarts et leur
écart-type sont présentés dans le Tableau 6.14.
Tableau 6.14 : Écarts par rapport aux sphères de référence pour la solution complète à
sept paramètres
∆X (m) ∆Y (m) ∆Z (m) ∆3D (m)
Moyenne 0,0039 -0,0021 -0,0011 0,0126
Écart-type 0,0080 0,0059 0,0078 0,0040
Le Tableau 6.14 indique qu'en moyenne, les écarts de la solution complète sont
légèrement supérieurs aux écarts de chaque solution prise séparément. Toutefois, cette
différence est de quelques millimètres seulement. Dans le cas où il serait inopportun
d'estimer les bras de levier avec la présente procédure de calibrage, une solution à quatre
paramètres pour l'estimation des trois angles de visée et de l'erreur de portée du laser a
aussi été déterminée dans les deux directions. En n'estimant pas les bras de levier au
même moment que les angles de visée, on prévient les risques de transfert d'erreur entre
ces paramètres causé par la possible corrélation entre ceux-ci. En raison du couplage
entre les bras de levier et les angles de visée, une erreur angulaire pourrait être
faussement interprétée comme une erreur de translation et vice-versa. Avec un nombre
élevé de sphères et une répartition uniforme de celles-ci dans le laboratoire, on peut
Chapitre 6 : Présentation des résultats
126
minimiser la corrélation entre les bras de levier et les angles de visée. Néanmoins, étant
donné que le banc de calibrage n'est pas centré dans le laboratoire et qu'il est situé près
d'un mur, la géométrie d'acquisition n'est pas optimale. La probabilité qu'il existe une
corrélation plus ou moins importante entre les bras de levier et les angles de visée est plus
grande. C'est pour cette raison que les bras de levier ont été retirés de la liste des
paramètres à estimer et que seulement les valeurs estimées des angles de visée et de
l'erreur de portée du laser ont été retenues à des fins de comparaison. Les résultats pour
les collectes de données du mois de mai et du mois de décembre pour la solution à quatre
paramètres sont compilés dans le Tableau 6.15.
Tableau 6.15 : Valeurs estimées des quatre paramètres de correction pour toutes les
collectes de données
Paramètres de correction
16 mai 2016 22 décembre 2016
Direction
avant
Direction
avant
Direction
arrière
Direction
avant et
arrière
Angle de
visée
%∗ (lacet) -0,104° -0,075° 0,100° 0,024° '∗ (roulis) -0,308° -0,318° -0,368° -0,341° &∗ (tangage) 0,132° 0,099° -0,034° -0,023°
Portée ¾∗ 0,0482 m 0,0521 m 0,0493 m 0,0522 m
Le Tableau 6.15 permet de bien visualiser tous les résultats de manière à mieux les
comparer entre chaque collecte de données. On remarque que l'angle de visée associé au
roulis ('∗) et l'erreur de portée du laser (¾∗) sont les deux seuls paramètres dont les
valeurs estimées sont plutôt cohérentes d'une collecte à l'autre, même si le critère de
l'estimation avec une erreur maximale de 1 centième de degré n'est pas respecté. Une
analyse plus approfondie des résultats sera présentée au Chapitre 7.
Chapitre 7 : Analyse des résultats
127
Chapitre 7 : Analyse des résultats
Le chapitre précédent a permis de présenter divers tableaux de résultats montrant les
paramètres de calibrage estimés pour les cueillettes de données du 16 mai et du 22
décembre 2016. Il n'a cependant pas été question de la compatibilité entre les solutions de
calibrage ni de la qualité réelle des paramètres obtenus. Le présent chapitre fournit une
analyse plus étoffée des résultats de calibrage obtenus lors des différentes séances
d’acquisition de données réalisées avec le même SLM, le MX2 de la compagnie Trimble.
7.1. Différence entre les paramètres par rapport à leur écart-type
estimé
Le Tableau 6.15 montre que les collectes de données effectuées en direction avant en
date du 16 mai et du 22 décembre 2016 produisent des résultats comparables. Les
différences entre les paramètres estimés sont plus marquantes lorsque la direction de la
collecte est inversée. Il a été mentionné à plusieurs reprises que l'incertitude maximale
recherchée pour le calibrage des angles de visée est de 1 centième de degré de manière
à ce que la contribution de l'erreur engendrée par ces angles soit inférieure à 1 centimètre
pour une cible localisée à 50 mètres de distance. La différence entre les paramètres est
cependant plus importante que le degré d'incertitude escompté, même si les valeurs
estimées pour l'écart-type des paramètres sont très faibles.
Figure 7.1 : Estimation de l'angle de
visée associé au lacet (Ψ)
Figure 7.2 : Estimation de l'angle de
visée associé au roulis (φ)
-0,104 ± 0,003 degré
-0,075 ± 0,003 degré
-0.11 -0.09 -0.07
Collecte du 16 mai 2016Collecte du 22 décembre 2016-0,318 ± 0,003 degré
-0,308 ± 0,004 degré
-0.33 -0.32 -0.31 -0.3
Collecte du 16 mai 2016Collecte du 22 décembre 2016
Chapitre 7 : Analyse des résultats
128
Figure 7.3 : Estimation de l'angle de
visée associé au tangage (θ)
Figure 7.4 : Estimation de l'erreur de
portée du laser (ρ)
Selon l'écart-type des paramètres estimés, les solutions du calibrage semblent
complètement incompatibles. Pourtant, selon l'hypothèse initiale, les angles de visée sont
constants et propres à chaque instrument. Cela signifie que leurs valeurs, une fois
déterminées, ne changent pas avec le temps. Étant donné que la même procédure et le
même SLM ont été utilisés lors des deux collectes, les écarts entre les paramètres
estimés devraient être plus faibles. Il semble donc plus probable que l'écart-type des
paramètres soit surestimé (valeur trop petite). La surestimation de l'écart-type des
paramètres pourrait être causée par la surestimation de la fidélité des observations. Il
existe toutefois une façon de vérifier statistiquement si la fidélité des observations a été
surestimée. Cette façon implique l'utilisation du facteur de variance a priori et a posteriori.
7.2. Tests statistiques sur le facteur de variance
Le facteur de variance a posteriori se calcule à partir des résiduelles des observations
après la compensation, de la fidélité a priori des observations et de la redondance du
système d'équations, le tout tel que présenté à la l'Équation 5.27. Le vecteur des
résiduelles g est lié aux observations.
g = K× − K (7.1)
où g ∶ vecteur des résiduelles;
K× ∶ vecteur des observations compensées; et
K ∶ vecteur des observations brutes.
0,132 ±0.007 degré0,099 ±0,009 degré
0.08 0.1 0.12 0.14
Collecte du 16 mai 2016Collecte du 22 décembre 20160,0482
±0,0003 mètre0,0521
±0,0003 mètre0.047 0.049 0.051 0.053
Collecte du 16 mai 2016Collecte du 22 décembre 2016
Chapitre 7 : Analyse des résultats
129
Ceci implique que plus les observations doivent être modifiées pour ajuster le modèle
mathématique de détermination par moindres carrés, plus les résiduelles sont grandes.
Une modification importante des observations peut signifier que le modèle mathématique
est inadéquat et que certains éléments ne sont pas ou sont mal modélisés. Il est aussi
possible qu'une modification importante des observations soit justifiée lorsque les
observations sont très peu précises. C'est pour cette raison qu'une matrice de pondération
des observations est utilisée dans le calcul du facteur de variance a posteriori.
Ì = 1ÅPP = �,;∑PP (7.2)
où Ì ∶ matrice de poids des observations;
ÅPP ∶ matrice des cofacteurs des observations;
�,; ∶ facteur de variance a priori; et
∑PP ∶ matrice de variance et de covariance des observations.
La matrice Ì peut permettre de justifier la grandeur des résiduelles. Si la valeur d'une
résiduelle est élevée, mais que la faible fidélité de cette observation est connue, la valeur
de l'écart-type de cette observation est aussi élevée. Étant donné que la pondération de
l'élément par la matrice Ì est inversement proportionnelle à la fidélité de l'observation, la
contribution de cette résiduelle sur le facteur de variance a posteriori est donc peu
importante. En revanche, si la fidélité d'une observation est surestimée, la pondération par
la matrice Ì devient plus importante. Bref, lorsque les résiduelles sont assez importantes,
en raison d'une mauvaise modélisation ou d'une qualité réelle des observations plus faible
que la qualité anticipée, la surestimation de la fidélité des observations peut faire exploser
le terme g? ∙ Ì ∙ g, surtout lorsque le nombre d'observations est important. Heureusement,
un grand nombre d'observations peut aussi influencer la redondance du modèle
mathématique.
Le terme 9, − I, de l'Équation 5.27 est associé à la redondance, ci-après dénommée Ø.
Dans le cadre de la collecte en direction avant du 22 décembre 2016, le nombre total
d'équations du modèle mathématique, qui correspond au nombre total de points LiDAR
utilisés, était de 5682 contre 7 paramètres à estimer. La redondance du système
d'équations était donc de 5675. Puisque la présente procédure de calibrage implique 18
sphères qui sont touchées en moyenne par 6 lignes de scan comportant une quarantaine
Chapitre 7 : Analyse des résultats
130
de points, la redondance du système d'équations selon la présente procédure est toujours
un nombre très élevé. Le facteur de variance a priori défini lors des 2 collectes de données
est 1.
Tableau 7.1 : Comparaison du facteur de variance entre les 2 collectes de données
Date de la
collecte
Direction Redondance (Ø)
Facteur de variance
a priori (�,;)
Facteur de variance a
posteriori (F,;) 16 mai 2016 Avant 5130 1 2,86
22 décembre
2016
Avant 5675 1 2,45
Arrière 5470 1 2,81
Il existe un moyen de valider statistiquement les résultats d'une solution déterminée par
moindres carrés avec le facteur de variance a posteriori, soit par un test du khi deux (Ù;).
Le ratio des facteurs de variance suit une distribution khi deux réduite (Ù̅;).
F,;�,; ∼ Ù̅; = Ù;Ø (7.3)
Cette distribution dépend du degré de liberté qui correspond à la valeur de la redondance
exprimée par le terme Ø. Comme la redondance est très grande pour les deux collectes de
données, il est impossible d'effectuer un réel test du khi deux puisqu'aucune table de
statistique ne couvre ce degré de liberté. Néanmoins, en vertu du théorème central limite,
l'espérance et la variance de la distribution réduite khi deux peuvent s'exprimer selon les
Équations 7.4 et 7.5 (Cocard, 2012).
�(Ù̅;) = 1 (7.4)
Ü(Ù̅;) = 2 Ø (7.5)
Ces équations signifient que plus le degré de liberté augmente, plus la distribution Ù̅; tend
vers une distribution normale avec une valeur centrale égale à 1 et une variance de 0, soit 5(1,0). Bref, la distribution Ù̅; tend vers la constante 1.
Chapitre 7 : Analyse des résultats
131
limÝ→Þ Ù̅Ý; = 1 (7.6)
Cette propriété de la distribution Ù̅; permet de confirmer qu'autant pour la collecte du 16
mai 2016 et du 22 décembre 2016, les solutions de calibrage sont statistiquement
inacceptables et doivent être rejetées. Il était de possible d'anticiper cette conclusion étant
donné la grande variabilité des résultats entre les solutions.
Entre la collecte 16 mai et du 22 décembre, certains éléments peuvent contribuer à la
différence entre les solutions de calibrage. Un de ces éléments est la localisation des
sphères dans le laboratoire. Il a été remarqué en analysant les données LiDAR mobiles de
la collecte du 16 mai que les sphères situées très près du banc de calibrage (à moins de 2
mètres de distance) étaient plus bruitées que les autres. Il semblait que les mesures de
portée laser soient moins précises à une très courte distance. Pour cette raison, lors de la
deuxième collecte, les sphères ont été positionnées à une plus grande distance du banc
de calibrage, tout en respectant une distribution tout autant variée dans le laboratoire. Un
autre élément est en lien avec le traitement des données. Le traitement des données de la
deuxième collecte a été plus rapide et plus efficace étant donné que certains algorithmes
ont été perfectionnés entre les deux collectes.
Il est plus étonnant que les résultats diffèrent entre la collecte en direction avant et la
collecte en direction arrière du 22 décembre. Les mêmes sphères ont été localisées dans
les deux directions avec un nombre de points très semblable. Pourtant, les écarts entre les
paramètres de calibrage déterminés sont importants, d'autant plus que certains sont de
signes opposés. Pour cette raison, l'équation de projection d'un point LiDAR et le modèle
mathématique de calibrage ont été décortiqués rigoureusement de manière à trouver des
failles. Les coordonnées calculées d'un point LiDAR à partir des observations et des
fonctions Matlab développées dans le cadre de cette maîtrise ont été comparées avec les
coordonnées calculées par le logiciel Trident pour différents angles de visées et les
résultats étaient toujours identiques. Ces mêmes équations ont été linéarisées avec les
outils de dérivation partielle dont fait partie la fonction jacobian intégrée dans le logiciel
Matlab. Étant donné qu'on peut conclure qu'il n'existe pas d'erreur au niveau des calculs
et de la programmation, on peut faire l'hypothèse que l'erreur découle de la qualité des
observations qui serait plus bruitée qu'on ne l'estime. Une autre hypothèse est que
certains paramètres ne seraient pas modélisés et causeraient des erreurs qui se
Chapitre 7 : Analyse des résultats
132
propageraient directement dans la solution. Ces points sont traités dans les prochaines
sections qui traitent de l'impact de la qualité des différents types d'observations.
7.3. Installation du MX2 sur le banc de calibrage
Une panoplie d'observations est utilisée dans le calcul du géoréférencement d'un point
LiDAR. Parmi ces observations, on retrouve les trois coordonnées du centre de l'IMU, les
trois angles mesurés par l'IMU ainsi que la mesure de portée et les deux mesures
angulaires du laser. On dénombre cinq observations qui sont directement observées par le
SLM alors que les quatre autres ont été observées avec les stations totales et la méthode
de l'intersection spatiale. Ces quatre dernières observations concernent l'installation du
SLM sur le banc de calibrage.
Les coordonnées 3D du centre de l'IMU ont pu être estimées précisément à l'aide de la
méthode de l'intersection spatiale. L'incertitude de 1 millimètre estimée pour les
coordonnées a été jugée raisonnable compte tenu que les distances montrées sur le plan
du fabricant sont données avec cet ordre de grandeur. Il faut toutefois prendre en
considération que ce sont les trous de la plateforme qui ont été mesurés et non les trous
de fixation du MX2 directement. Or, ceci peut avoir un impact plus ou moins considérable
étant donné que le diamètre des vis insérées dans les trous de fixation du MX2 est
inférieur au diamètre de ces trous. Le diamètre des vis est de 6,0 millimètres alors que
celui des trous est de 8,3 millimètres. Il existe donc un petit espace vide autour de chaque
vis, ce qui permet de petits déplacements lors de la fixation du MX2 sur la plateforme.
Figure 7.5 : Espace entre la vis et le trou de fixation
On peut quantifier la valeur de cet espace à 2,3 millimètres. Ce petit jeu facilite
l'installation du MX2 sur la plateforme, mais peut influencer négativement la solution du
Chapitre 7 : Analyse des résultats
133
calibrage. Une erreur maximale de 2,3 millimètres sur les coordonnées du centre de l'IMU
influence la valeur des angles de visées déterminée par moindres carrés en plus
d'introduire une erreur directe sur la détection des bras de levier.
Une autre contribution directe de cette erreur concerne l'erreur d'alignement de la
plateforme correspondant à la valeur de l'angle du lacet. La valeur déterminée pour le
lacet entre la collecte du 16 mai et du 22 décembre était presque identique à 2 centièmes
de degrés près. Cette valeur correspond toutefois à l'alignement des trous de la
plateforme et non à celui des trous de fixation. De légers déplacements lors de
l'installation du MX2 peuvent instaurer une erreur d'une fraction de degré sur la valeur
réelle du lacet, ce qui n'est pas négligeable. Par exemple, une erreur de 2,3 millimètres
sur une longueur de 33 centimètres entre les trous de fixation peut causer une erreur
maximale de 0,4 degré, ce qui est de loin l'erreur la plus importante qui peut se propager
dans la solution de l'angle de visée du lacet. L'angle de visée associé au lacet estimé lors
des deux collectes permet de confirmer que si cette erreur a contribué aux diverses
solutions, sa valeur était beaucoup moins importante. Cette erreur pourrait toutefois
expliquer l'inversion du signe entre la collecte en direction avant et la collecte en direction
arrière qui diffère de 0,175 degré.
Des tests ont été menés sur le modèle mathématique de l'approche de calibrage pour
intégrer un paramètre de correction supplémentaire pour l'erreur du lacet causée par
l'installation dans les deux directions. Cependant, cette erreur a démontré une trop grande
corrélation avec l'angle de visée associé au lacet pour que les trois paramètres soient
estimés dans une même solution par moindres carrés. Dans le même ordre d'idée, trois
paramètres de correction supplémentaires pour tenter de modaliser l'erreur sur les
coordonnées du centre de l'IMU ont aussi été ajoutés pour effectuer divers tests. Ces trois
paramètres de correction étaient aussi directement corrélés avec les trois bras de levier
qu'on cherche initialement à déterminer. Bref, puisque l'erreur d'installation du MX2 sur la
plateforme ne peut pas être estimée en ajoutant des paramètres dans la solution de
calibrage par moindres carrés, on doit trouver un autre moyen de la déterminer pour
l'éliminer.
La solution qui offre le plus grand potentiel de réussite est tout simplement d'éliminer cette
erreur à la source. De cette façon, nul besoin de tenter de la mesurer ou de l'estimer.
Cette solution consiste à remplacer la plateforme existante par une plateforme dont les
Chapitre 7 : Analyse des résultats
134
trous sont exactement de la même grosseur que ceux du MX2. Pour y parvenir, les trous
devraient être percés précisément sur la table de perçage disponible au laboratoire. De
cette façon, les coordonnées mesurées des trous de la plateforme correspondraient
parfaitement aux trous de fixation du MX2 et il n'y aurait aucune erreur de positionnement
ou d'alignement lors de l'installation. Cette solution est pratique et abordable puisque tout
est en place à l'Université Laval pour la mettre en œuvre.
Une des raisons pour laquelle tout paramètre supplémentaire serait fortement corrélé avec
les paramètres de calibrage recherchés actuellement est directement liée à la procédure
de calibrage utilisée. L'utilisation du banc de calibrage et de l'interféromètre implique que
le déplacement du SLM est unidirectionnel. Deux collectes de données consécutives en
direction avant avec des arrêts situés aux mêmes endroits créeraient des nuages de
points qui se superposeraient parfaitement si on exclut la variabilité causée par les erreurs
aléatoires. La géométrie d'acquisition de la procédure serait trop dépendante d'une
collecte de données à l'autre. C'est pour cette raison qu'une méthode de calibrage telle
celle de Rieger et al. (2010) qui implique le recoupement des données suite à plusieurs
passages ne pourrait être envisageable. La seule façon qui permet d'estimer les angles de
visée nécessite l'utilisation de points de contrôle.
Une autre raison qui explique la forte corrélation de tout paramètre supplémentaire est liée
au SLM utilisé. Le MX2 de type « Single Head » est presque parfaitement aligné avec le
banc de calibrage, ce qui implique que le centre de l'IMU et le centre de la tête rotative
sont tous situés sur une même ligne qui correspond à l'axe Y du système de coordonnées
global. Tout au long de la collecte, cette relation ne change pas. Cela signifie que
l'orientation des axes du système de coordonnées global et celui du système de
coordonnées de l'IMU sont très semblables. Si une erreur systématique est présente au
niveau d'une des coordonnées des sphères de référence, cette erreur se répercute
directement sur le bras de levier correspondant. Toute erreur de positionnement est donc
fortement corrélée avec les bras de levier. C'est pour cela que ceux-ci ont finalement été
mis de côté dans cette procédure de calibrage. Le même impact est aussi observé au
niveau des angles de visée. Les données sont captées par le scanner LiDAR qui est
presque parfaitement perpendiculaire au banc de calibrage. Toute erreur de portée
mesurée par le scanner influence seulement la coordonnée X et la coordonnée Z du
nuage de points. La géométrie d'acquisition rend aussi très difficile l'estimation de l'angle
de visée associé au tangage. L'écart-type estimé de ce paramètre est d'ailleurs toujours
Chapitre 7 : Analyse des résultats
135
de deux à trois fois supérieur à celui des deux autres angles de visée. De manière à
augmenter la variabilité de la géométrie d'acquisition et à favoriser la décorrélation des
paramètres à estimer, l'utilisation d'un autre type de SLM tel le MX2 en version « Dual
Head » ou Tilted Head » montré à la Figure 3.9 pourrait être envisagée. L'inclinaison de la
tête rotative du laser devrait permettre d'améliorer l'estimation de l'angle de visée associé
au tangage en plus d'aider à estimer les bras de levier. Il serait donc intéressant
d'appliquer la procédure de calibrage in lab à un de ces SLM ou à tout autre SLM dont le
laser et l'IMU ne sont pas situés dans le plan sur une même ligne tel que le SLM utilisé
dans le cadre de cette maîtrise.
Une autre source d'erreur qui affecte directement la position et l'orientation du MX2 est
liée à l'incertitude réelle des coordonnées des 18 sphères positionnées dans le laboratoire.
Les résiduelles sur les quatre sphères de référence lors du géoréférencement sont de
l'ordre de 2 millimètres. L'origine du système de coordonnées, l'alignement des axes de ce
système, les constantes initiales et les sphères de référence sont tous solidement ancrés
dans un même système de coordonnées avec une incertitude de l'ordre de 1 millimètre ou
mieux. Si la localisation du centre des sphères avec le scanner LiDAR terrestre n'est pas
mieux que 2 millimètres, cela implique que tous les éléments ne partagent pas exactement
le même système de coordonnées. L'erreur de 2 millimètres peut être sur les coordonnées
du centre de l'IMU ou sur les coordonnées des sphères de référence. Il n'en reste pas
moins que cette erreur se propage directement sur les valeurs estimées des angles de
visée et des bras de levier.
L'étroitesse du laboratoire importe aussi dans la procédure de calibrage. Si
l'environnement était plus vaste, les sphères seraient plus distantes et l'impact de l'erreur
sur la détermination de leurs coordonnées serait moins important. Puisque la distance
moyenne des sphères par rapport au centre de l'IMU est de 5,6 mètres seulement, une
erreur de l'ordre de 2 millimètres sur les sphères de référence induit systématiquement
une erreur de 2 centièmes de degrés, ce qui dépasse l'erreur maximale tolérée pour la
détermination des angles de visée. Cette erreur, quoiqu'elle ne soit pas la plus importante,
doit obligatoirement être minimisée. Pour y parvenir, il faut trouver une façon d'améliorer le
géoréférencement du scan LiDAR terrestre. Une augmentation de la résolution et de la
densité sont des avenues à analyser, tout comme un meilleur positionnement des stations
dans le laboratoire. Il faut aussi s'assurer que la localisation du centre des sphères avec la
méthode de l'intersection spatiale n'introduise aucune erreur supplémentaire. De plus, il
Chapitre 7 : Analyse des résultats
136
serait intéressant de varier la position en planimétrie des sphères de référence, mais
surtout la position en altimétrie. Lors des deux collectes de données, les sphères de
référence étaient sensiblement positionnées entre 1 et 2 mètres du sol. Il est possible que
cette similitude sur l'altitude des sphères de référence introduise une erreur sur les
sphères situées au plafond ou complètement au sol. Bref, déterminer une procédure qui
minimise les résiduelles lors du géoréférencement du scan LiDAR terrestre devrait faire
l'objet de travaux supplémentaires pour permettre de minimiser l'erreur de justesse des
coordonnées du centre des sphères de référence dans le système de référence global.
7.4. Fidélité et justesse des mesures de portée LiD AR
Le traitement des données LiDAR mobiles a permis de détecter une erreur systématique
sur les mesures de portée laser effectuées par le MX2. L’ordre de grandeur estimée à
partir des données recueillies est de près de 5 centimètres à quelques millimètres près. Il
a aussi été discuté qu’il y ait une possibilité que cette erreur comporte une portion qui est
proportionnelle à la distance mesurée. Néanmoins, vu l’étroitesse du laboratoire et la
faible longueur des distances mesurées par le MX2, cette partie a été mise de côté au
profit d’une erreur constante. Une hypothèse est formée pour la provenance de cette
erreur constante sur les mesures du laser. Le centre de la tête rotative du laser est aligné
sur l’axe central du MX2. Selon le plan du fabricant, le diamètre de la tête rotative est de
148 millimètres tel que montré à la Figure 7.6.
Figure 7.6 : Plan du fabricant montrant l’axe central du MX2 (Trimble, 2013a)
Chapitre 7 : Analyse des résultats
137
Situées côte à côte à la surface de la tête rotative sont deux ouvertures. L’une de ces
ouvertures sert à l’émission alors que l’autre sert à la réception du pulse laser.
Figure 7.7 : Émetteur et récepteur du pulse laser du MX2
Selon la présentation du système, il semble peu probable que l’origine de l’émetteur et du
récepteur soit située en plein centre du laser, soit sur l’axe central du MX2. L’écart entre
cette origine et la partie centrale de la tête rotative serait la cause de l’erreur d’environ 5
centimètres sur les mesures de distance effectuées par le MX2. Les mesures laser
enregistrées par le système correspondraient aux mesures brutes qui sont toujours trop
courtes par rapport aux mesures réelles.
Puisque les bras de levier et les angles de visées sont calculés du centre de l’IMU
jusqu’au centre de la tête rotative du laser, le fait que la distance brute soit utilisée et non
la distance ramenée sur l’axe central de la tête rotative implique que les nuages de points
capturés par le MX2 sont toujours trop près de l’instrument. Cette erreur est bien sûr
indétectable sans points de contrôle ou sans recoupement des données. Même avec
ceux-ci, dans un contexte d’acquisition de données sur le terrain, cette erreur pourrait être
attribuée maladroitement à une déficience au niveau du système de positionnement
GNSS. Néanmoins, puisque cette erreur s’est glissée lors de la confection et de
l’intégration des différents capteurs sur le système, il est du ressort du fabricant de la
modéliser et de l’éliminer. La distance réelle entre l’origine du laser et l’axe central de la
tête rotative doit être précisément mesurée lors de l’assemblage du laser et cette valeur,
Chapitre 7 : Analyse des résultats
propre à chaque système, doit être appliquée automatiquement à la donnée brute lors de
l’enregistrement des mesures de portée.
En plus de l’erreur systématique sur les mesures de portée laser, il semble que les erreurs
aléatoires soient plus importantes que ce qui est garanti par le fabricant. Sur la fiche des
spécifications du MX2, l’écart-
distance de 50 mètres, et ce, dans des conditions de calibrage à 1 sigma
Le bruit observé sur les mesures de portée laser est plutôt de l’ordre de plus ou moins 2
centimètres selon les nuages de points recueillis lors des deux collectes. Cette erreur est
facilement détectable dans le nuage de points étant donné que la surface des éléments
mesurés semble plus « épaisse ». Dans un contexte d’acquisition avec un laser de
précision, on s’attend que les points
superposent presque parfaitement. Ce n’est pas le cas dans le présent contexte
d’acquisition où la surface des sphères mesurées peut atteindre jusqu’à 4 centimètres
d’épaisseur.
Figure 7.8 : Nuage de points de la sphère
12 (vue en angle)
L’impact du bruit sur la portée du laser peut causer une
centre des sphères. L’étape de nettoyage des données
erratiques, mais il est possible que
du laser était en cause. De plus, p
direction du laser, il est probable
Analyse des résultats
138
propre à chaque système, doit être appliquée automatiquement à la donnée brute lors de
l’enregistrement des mesures de portée.
En plus de l’erreur systématique sur les mesures de portée laser, il semble que les erreurs
atoires soient plus importantes que ce qui est garanti par le fabricant. Sur la fiche des
-type d’une mesure de portée laser est de 1 centimètre à une
distance de 50 mètres, et ce, dans des conditions de calibrage à 1 sigma (Trimble, 2014)
Le bruit observé sur les mesures de portée laser est plutôt de l’ordre de plus ou moins 2
centimètres selon les nuages de points recueillis lors des deux collectes. Cette erreur est
ns le nuage de points étant donné que la surface des éléments
mesurés semble plus « épaisse ». Dans un contexte d’acquisition avec un laser de
que les points LiDAR à la surface d’une sphère ou d’un mur se
rfaitement. Ce n’est pas le cas dans le présent contexte
d’acquisition où la surface des sphères mesurées peut atteindre jusqu’à 4 centimètres
: Nuage de points de la sphère
(vue en angle)
Figure 7.9 : Ligne de scan de la sphère 5
(vue en coupe)
L’impact du bruit sur la portée du laser peut causer une erreur lors de la détection du
centre des sphères. L’étape de nettoyage des données LiDAR permet d’éliminer les points
erratiques, mais il est possible que pour la plupart des points éliminés, seulem
De plus, puisque le bruit se propage toujours entièrement en
probable que la solution déterminée par moindres carrés soit plus
Épaisseur maximale surface de la sphère
propre à chaque système, doit être appliquée automatiquement à la donnée brute lors de
En plus de l’erreur systématique sur les mesures de portée laser, il semble que les erreurs
atoires soient plus importantes que ce qui est garanti par le fabricant. Sur la fiche des
type d’une mesure de portée laser est de 1 centimètre à une
(Trimble, 2014).
Le bruit observé sur les mesures de portée laser est plutôt de l’ordre de plus ou moins 2
centimètres selon les nuages de points recueillis lors des deux collectes. Cette erreur est
ns le nuage de points étant donné que la surface des éléments
mesurés semble plus « épaisse ». Dans un contexte d’acquisition avec un laser de haute
à la surface d’une sphère ou d’un mur se
rfaitement. Ce n’est pas le cas dans le présent contexte
d’acquisition où la surface des sphères mesurées peut atteindre jusqu’à 4 centimètres
: Ligne de scan de la sphère 5
(vue en coupe)
de la détection du
permet d’éliminer les points
la plupart des points éliminés, seulement l’erreur
uisque le bruit se propage toujours entièrement en
que la solution déterminée par moindres carrés soit plus
Épaisseur maximale de la surface de la sphère de 4 cm
Chapitre 7 : Analyse des résultats
139
faible en cette direction. Pour cette raison, il est essentiel de bien répartir les sphères de
haut en bas du laboratoire de manière à ce que la géométrie d’acquisition permette de
minimiser l’impact du bruit sur les mesures de portées.
De manière à mieux documenter la qualité du laser du MX2, il serait intéressant d’analyser
le nuage de points d’une collecte de données traditionnelle à l’extérieur. Pour les murs
plats des bâtiments localisés par un passage seulement, il serait pertinent de mesurer
l’épaisseur de ces murs, de manière à confirmer si l’écart-type d’une mesure de portée est
réellement de 2 centimètres au lieu de 1 centimètre, tel qu’estimé par le fabricant. Il est
aussi possible que la qualité des mesures du laser du MX2 soit déficiente à de courtes
distances. Néanmoins, aucune mise en garde n’est émise par le fabricant à cet égard.
Bref, il serait intéressant d’effectuer une collecte de données supplémentaire en
laboratoire avec un autre MX2 et un autre modèle de SLM de manière à confirmer si le
laser du MX2 utilisé fait défaut, si l’ensemble des MX2 a une erreur de portée laser
importante ou si cette erreur est attribuée à la procédure de calibrage elle-même.
7.5. Fidélité et justesse des observations de l'IMU
Un autre instrument est incertain quant à la fidélité et la justesse de ses mesures. Cet
instrument est l’IMU qui est utilisé dans un contexte d’acquisition particulier.
Habituellement, les observations de l’IMU sont combinées aux observations du récepteur
GNSS pour former la solution de navigation complète du véhicule. Une initialisation de
l’IMU par des mouvements du véhicule est toujours nécessaire de manière à stimuler les
angles de l’IMU, notamment le lacet. Dans le cadre de la procédure de calibrage, le lacet
observé par le MX2 a été éliminé de la solution, mais les observations du roulis et du
tangage ont été conservées. Lors de l’acquisition, la fidélité des angles est estimée et
enregistrée dans le fichier de capture. Il est possible d’observer la variation de la fidélité de
ces angles en fonction du temps pour la collecte du 22 décembre 2016. Les valeurs des
angles observés ont aussi été compilées de manière à vérifier que les données fournies
par l’IMU ne dérivent pas avec le temps.
Chapitre 7 : Analyse des résultats
140
Figure 7.10 : Écart-type du lacet, du
roulis et du tangage en fonction du temps
Figure 7.11 : Roulis et tangage en
fonction du temps
Le graphique à la Figure 7.11 permet de constater que les angles fournis par l’IMU ne
dérivent pas en fonction du temps. Les variations du roulis sont beaucoup plus
importantes que celles du tangage sur la portion du banc de calibrage étudiée. Sur le
graphique à la Figure 7.10, les courbes de l'écart-type du roulis et du tangage se
superposent parfaitement. Le système estime que la fidélité de ces deux angles est la
même. Pour ce qui est de la fidélité du lacet, la valeur utilisée est constante et elle
correspond à l’écart-type des trois mesures d’alignement déterminées avec la méthode de
l’intersection spatiale.
L'écart-type estimé des angles se situe entre 8 et 10 centièmes de degrés et il se stabilise
légèrement avec le temps. Dans le cadre d’une acquisition de données standard avec un
véhicule à l’extérieur, la fidélité du roulis et du tangage fournie par l’IMU est de 2
centièmes de degrés selon le fabricant (Trimble, 2013b) lorsque le récepteur GNSS est
utilisé en mode relatif avec une station de référence. Après une perte de signal GNSS
d’une durée de 60 secondes, la fidélité des angles reste inchangée. Cependant, dans le
cadre de la présente procédure de calibrage, le positionnement par satellites GNSS n’a
pas été interrompu, mais est plutôt complètement absent de la collecte. Il est possible que
la fidélité estimée des angles soit représentative, tout comme il est possible que
l’estimation soit inadéquate. Étant donné qu’aucune vérification externe ne permet
actuellement de valider la justesse et la fidélité des angles fournis par l’IMU, les données
recueillies elles-mêmes ont été utilisées à cet effet. Pour vérifier la justesse des données
0.000
0.020
0.040
0.060
0.080
0.100
0.120
0.00 1000.00 2000.00 3000.00
Écar
t-ty
pe
des
an
gles
(d
egré
s)
Temps écoulé (secondes)
Lacet
Roulis
Tangage
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.00 1000.00 2000.00 3000.00
An
gles
(d
egré
s)
Temps écoulé (secondes)
Roulis
Tangage
Chapitre 7 : Analyse des résultats
141
mesurées par l'IMU, l'utilisation d'un deuxième IMU ancré solidement au SLM aurait pu
permettre de comparer les résultats. Idéalement, ce deuxième IMU devrait être de qualité
équivalente ou supérieure à l'IMU intégré au MX2. Malheureusement, cette vérification n'a
pas été faite dans le cadre de ce travail de recherche.
Lors de la collecte du 22 décembre, une première séance d’acquisition a été réalisée en
direction avant et une deuxième en direction arrière. Lors de l’enregistrement des
données, le MX2 était immobile sur le banc de calibrage. Étant donné que le MX2 a été
retourné de 180° entre les deux séances et que la même procédure d’acquisition a été
appliquée dans les deux directions, les angles mesurés par l’IMU devraient être de même
magnitude, mais de signes opposés lorsque le MX2 était au même endroit sur le banc de
calibrage. Les angles d’attitude observés dans les 2 directions ont été comparés en
fonction de la coordonnée Y du centre de l'IMU.
Figure 7.12 : Roulis en fonction de la coordonnée Y du centre de l'IMU dans le système de
coordonnées global
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 2 4 6 8 10 12
Ro
uli
s (d
eg
rés)
Coordonnée Y (mètres)
Direction avant
Direction arrière
Chapitre 7 : Analyse des résultats
142
En observant la Figure 7.12 on constate qu'il existe certaines similitudes entre les valeurs
du roulis mesurées dans les deux directions. On constate toutefois que la courbe semble
décalée par rapport à la coordonnée Y, c'est-à-dire que la valeur de la coordonnée Y pour
une courbe semblable est toujours plus petite en direction arrière qu'en direction avant. Au
niveau de la magnitude du roulis, on retrouve beaucoup de ressemblance entre les deux
courbes. Le comportement des deux courbes est donc plutôt semblable, mais de sens
opposés. Néanmoins, il semble aussi y avoir un décalage constant au niveau de la
magnitude du roulis étant donné que les deux courbes ne sont pas centrées sur la valeur
0. Le même exercice a pu être fait pour le tangage dans les deux directions.
Figure 7.13 : Tangage en fonction de la coordonnée Y du centre de l'IMU dans le système
de coordonnées global
Les courbes associées au tangage ne sont pas opposées l'une à l'autre contrairement à
celles du roulis. Il semble que les deux courbes ont des comportements complètement
distincts. Néanmoins, l'amplitude de ces courbes est plutôt faible et est toujours comprise
à l'intérieur de dix centièmes de degrés.
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
0 2 4 6 8 10 12
Ta
ng
ag
e (
de
gré
s)
Coordonnée Y (mètres)
Direction avant
Direction arrière
Chapitre 7 : Analyse des résultats
143
Dans le cas du roulis et du tangage, la différence entre l'amplitude des courbes semble
respecter l'ordre de grandeur de l'écart-type estimé pour ces angles d'attitude qui est tout
juste sous la barre de 1 dixième de degré. Si la fidélité réelle des observations de l'IMU est
de 8 ou 9 centièmes de degré, il semble peu probable qu'il soit possible d'estimer les
angles de visée avec une incertitude de 0,01 degré à partir des observations brutes.
L'étude du comportement des IMU dans un environnement sans signal GNSS et sans
initialisation est un projet très intéressant qui permettrait certainement d'améliorer les
résultats de la présente procédure de calibrage en laboratoire.
7.6. Impact des paramètres de calibrage sur les obs ervations
Tout au long de la procédure, les erreurs ont été minimisées et, dans plusieurs cas, elles
ont été modélisées pour être éliminées de manière à pouvoir estimer les paramètres de
calibrage avec une certaine marge d'erreur préétablie. L'erreur maximale tolérée est de 1
millimètre pour les bras de levier et de 1 centième de degré pour les angles de visée. Un
écart total de 5 millimètres sur les trois bras de levier se traduit directement par un
déplacement de même valeur sur un point situé à une certaine distance. La raison pour
laquelle on cherche à estimer les corrections à apporter aux bras de levier avec une
incertitude de l'ordre du millimètre est que les valeurs du fabricant sont fournies avec cet
ordre de grandeur.
Dans le cas des angles de visée, la règle triviale du budget d'erreur de 1 centimètre sur les
coordonnées d'un point exige une erreur maximale de 0,01 degré sur les angles de visées
pour une distance de 50 mètres. Dans le cas d'une collecte de données LiDAR mobiles, la
largeur du corridor à couvrir est très variable. En ville, il est plus rare que les distances
mesurées atteignent le plateau des 50 mètres. La distance du milieu de la chaussée
jusqu'à la façade des bâtiments est plutôt de l'ordre de 10 à 25 mètres. Cependant, sur de
longs corridors routiers tels les autoroutes, la modélisation complète de la chaussée
incluant les fossés de drainage et les terre-pleins centraux peut nécessiter des distances
de 100 mètres et plus. Il est certain que plus les distances sont grandes, plus l'incertitude
finale des points est grande. Néanmoins, pour ce type d'application, le budget d'erreur est
toujours plus large. La partie nécessitant des mesurages plus fidèles et plus justes, surtout
en altimétrie, est la voie carrossable et les éléments à proximité tels les viaducs.
Chapitre 7 : Analyse des résultats
144
La présente procédure de calibrage est orchestrée dans un environnement assez
restreint. Toutes les sphères sont situées à une distance inférieure à 10 mètres du MX2.
Pour une sphère située à cette distance, l'estimation des angles de visée avec une erreur
maximale de 0,01 degré nécessite que le budget d'erreur global associé au
positionnement du montage incluant la position des sphères de référence et du centre de
l'IMU soit exactement inférieur à 1,7 millimètre. Ce budget d'erreur devant être réduit d'un
facteur 2 puisque la distance moyenne des sphères jusqu'au MX2 est de l'ordre de 5
mètres. L'incertitude totale de toutes les manipulations permet d'estimer le budget d'erreur
total réel à environ 3 millimètres pour l'incertitude des coordonnées du centre des sphères
de référence, une majorité de cette erreur causée par le géoréférencement des sphères
dans le système de coordonnées global. Si les observations du MX2 étaient exemptes
d'erreur, la procédure de calibrage ne serait pas à point, mais tout de même assez près du
but en termes du respect des objectifs sur le degré d'incertitude pour le montage. Avec
une erreur de 3 millimètres sur les coordonnées des sphères de référence, on pourrait
espérer déterminer les angles de visée avec une incertitude de 0,03 degré, ce qui signifie
une erreur de 3 centimètres sur une cible située à une distance de 50 mètres. Bref, cette
erreur concorde avec l'ordre de grandeur de la fidélité des observations GNSS.
Cependant, avec une variation pouvant atteindre 4 centimètres sur les mesures de portée
laser et 1 dixième de degrés sur les angles d'attitude mesurés par le MX2, le budget total
d'erreur est largement dépassé pour cet instrument. On peut toutefois se questionner sur
l'impact réel de la variation des paramètres de calibrage sur les observations recueillies en
laboratoire.
Une façon de vérifier la compatibilité des paramètres de calibrage entre les solutions est
d'appliquer les paramètres déterminés par la collecte du 16 mai aux observations de la
collecte du 22 décembre. Le seul paramètre propre à la collecte du 22 décembre qui a été
conservé est l'erreur de portée du laser qui diffère de près de 4 millimètres entre les deux
collectes. De cette façon, seulement les angles de visée influencent les écarts entre les
solutions. Les coordonnées du centre des sphères mesurées par le MX2 le 22 décembre
peuvent être calculées selon les deux séries de paramètres pour être comparées par la
suite.
Chapitre 7 : Analyse des résultats
145
Tableau 7.2 : Impact de l'utilisation des paramètres de calibrage déterminés le 16 mai
2016 sur le centre des sphères mesurées par le MX2 le 22 décembre 2016
No de la sphère ∆X (m) ∆Y (m) ∆Z (m) ∆3D (m)
1 0,0001 0,0011 0,0004 0,0012
2 0,0001 0,0036 0,0013 0,0038
3 0,0002 -0,0010 -0,0001 0,0010
4 0,0006 -0,0019 0,0000 0,0020
5 -0,0003 0,0030 0,0008 0,0031
6 0,0004 0,0010 0,0009 0,0014
7 0,0000 0,0035 0,0013 0,0037
8 -0,0001 0,0037 0,0012 0,0039
9 0,0000 0,0007 0,0003 0,0008
10 0,0001 -0,0004 -0,0001 0,0004
11 0,0006 -0,0019 0,0001 0,0020
12 -0,0002 0,0021 0,0005 0,0021
13 0,0004 0,0010 0,0009 0,0014
14 -0,0002 0,0029 0,0007 0,0030
15 0,0005 0,0017 0,0013 0,0022
16 0,0000 0,0035 0,0012 0,0037
17 0,0003 -0,0010 -0,0001 0,0010
18 0,0000 0,0012 0,0005 0,0013
Moyenne 0,0001 0,0013 0,0006 0,0021
Écart-type 0,0003 0,0019 0,0005 0,0011
Le Tableau 7.2 permet de constater que les angles de visée estimés lors des deux
collectes sont équivalents dans le contexte d'acquisition présent et que l'utilisation de l'une
ou l'autre des solutions engendrent un déplacement du centre des sphères de 2
millimètres en moyenne avec un faible écart-type de 1 millimètre. Ce constat est valable
seulement pour les courtes distances mesurées dans le laboratoire. Par une simple règle
de trois, on peut estimer que les écarts entre les deux solutions à une distance dix fois
plus grande, soit 50 mètres, seraient de l'ordre de 2 centimètres en moyenne. Ces écarts
ne concordent toutefois pas avec l'ordre de grandeur des écarts avec les sphères de
référence qui sont beaucoup plus importants. La différence entre les paramètres de
calibrage déterminés lors de ces deux collectes est présentée au Tableau 7.3.
Chapitre 7 : Analyse des résultats
146
Tableau 7.3 : Différence entre les paramètres de correction entre les deux collectes en
direction avant
Paramètres de correction Direction avant
16 mai 2016 22 décembre 2016 Différence
Angle de
visée
%∗ (lacet) -0,104° -0,075° 0,029° '∗ (roulis) -0,308° -0,318° -0,010° &∗ (tangage) 0,132° 0,099° 0,033°
Portée ¾∗ 0,0482 m 0,0521 m 0,0039 m
Les paramètres déterminés lors des deux collectes sont tout de même assez semblables
compte tenu de toutes les erreurs qui se propagent dans la solution. Le processus
d'acquisition était lui aussi très semblable si on exclut le fait que les sphères n'étaient pas
situées exactement aux mêmes endroits entre les collectes. De manière à vérifier si la
procédure de calibrage produit réellement des résultats avec le degré d'incertitude
attendu, la rotation de 180° du MX2 sur le banc de calibrage et une collecte en direction
renversée était nécessaire.
Une rotation de 180° du MX2 sur le banc de calibrage implique des modifications au
niveau du calcul des coordonnées du centre de l'IMU avec les constantes initiales et du
calcul du lacet auquel on ajoute 180°. Cependant, le calcul des bras de levier et des
angles de visée reste le même étant donné que ceux-ci sont exprimés dans le système de
coordonnées de l'IMU. Les valeurs déterminées dans les deux directions devraient donc
être statistiquement équivalentes. Cependant, la solution de calibrage en direction arrière
diffère de celle en direction avant tel qu'on peut le voir dans le Tableau 7.4.
Tableau 7.4 : Différence entre les paramètres de calibrage entre les deux directions pour
la collecte du 22 décembre 2016
Paramètres Collecte du 22 décembre 2016
Direction avant Direction arrière Différence %∗ (lacet) -0,075° 0,100° -0,175° '∗ (roulis) -0,318° -0,368° -0,050° &∗ (tangage) 0,099° -0,034° -0,133° ¾∗(portée) 0,0521 m 0,0493 m -0,0028 m
Chapitre 7 : Analyse des résultats
147
La différence entre les paramètres estimés dans les deux directions en date du 22
décembre est beaucoup plus importante que la différence entre les paramètres estimés en
direction avant pour chaque date d'acquisition. On peut toutefois encore se questionner
sur l'impact réel de la différence des paramètres sur les observations. Le même exercice
qu'au Tableau 7.2 a été réalisé avec l'impact du calcul des coordonnées de la solution en
direction arrière avec les paramètres estimés pour la direction avant. Encore une fois, seul
le paramètre de l'erreur de portée du laser a été conservé pour la collecte en direction
arrière de manière à seulement quantifier l'impact des angles de visée sur la solution.
Tableau 7.5 : Impact de l'utilisation des paramètres de calibrage déterminés en direction
avant sur le centre des sphères mesurées par le MX2 en direction arrière pour la collecte
du 22 décembre 2016
No de la sphère ∆X (m) ∆Y (m) ∆Z (m) ∆3D (m)
1 -0,0006 0,0100 -0,0024 0,0103
2 -0,0007 0,0251 -0,0068 0,0260
3 -0,0009 -0,0004 0,0007 0,0012
4 -0,0029 0,0069 0,0001 0,0075
5 0,0009 0,0112 -0,0039 0,0119
6 -0,0025 0,0223 -0,0046 0,0229
7 -0,0007 0,0249 -0,0066 0,0258
8 0,0001 0,0209 -0,0061 0,0218
9 -0,0004 0,0065 -0,0017 0,0067
10 -0,0001 -0,0016 0,0006 0,0017
11 -0,0029 0,0069 0,0002 0,0075
12 0,0009 0,0058 -0,0024 0,0063
13 -0,0025 0,0218 -0,0044 0,0224
14 0,0010 0,0109 -0,0039 0,0116
15 -0,0028 0,0286 -0,0061 0,0294
16 -0,0007 0,0247 -0,0066 0,0256
17 -0,0009 -0,0004 0,0008 0,0012
18 -0,0003 0,0091 -0,0025 0,0094
Moyenne -0,0009 0,0130 -0,0031 0,0138
Écart-type 0,0013 0,0099 0,0028 0,0097
Chapitre 7 : Analyse des résultats
148
Puisque la différence entre les paramètres est plus importante, il est normal de constater
que la différence entre les coordonnées l'est aussi. On constate que l'écart en trois
dimensions est de 1,4 centimètre en moyenne avec un écart-type de 1,0 centimètre. Les
écarts sur la coordonnée Y contribuent pour presque la totalité des écarts globaux dans
les trois dimensions. Le seul angle n'ayant aucune incidence sur la coordonnée Y du
système de coordonnées global est le roulis. L'angle de visée associé au roulis est aussi
celui dont la différence avec la solution en direction avant est la plus faible.
Étant donné que le seul élément qui diffère entre la collecte en direction avant et la
collecte en direction arrière est la position et l'alignement du centre de l'IMU, le facteur qui
contribue à l'incompatibilité entre les solutions doit être lié à la rotation du MX2 sur le banc
de calibrage. Cette rotation implique une variation de la position de l'IMU sur le banc de
calibrage puisque celui-ci n'est pas parfaitement centré par rapport aux trous de fixation.
Cependant, ce facteur a déjà été traité, car les constantes initiales ont été déterminées
dans les deux directions à la Section 3.4. La seule constate initiale qui est réellement
affectée par la rotation du MX2 sur le banc de calibrage est la constante �0. La différence
entre la constante �0 en direction avant et en direction arrière est exactement de 44
millimètres. Il est possible d'observer directement cet écart sur le plan du fabricant
présenté à la Figure 3.12. Il est possible que le centre de l'IMU par rapport aux trous de
fixation ne soit pas réellement à l'endroit indiqué sur le plan du fabricant. Aucun mesurage
n'a été effectué pour confirmer la position physique du centre de la boîte contenant l'IMU.
Cependant, il est très peu probable que la différence réelle soit plus importante que
quelques millimètres tout au plus étant donné que le fabricant indique que les distances
entre les composantes présentes sur son plan sont données avec un millimètre
d'incertitude . Un autre élément pouvant contribuer à ces écarts est le fait que le diamètre
des vis utilisées pour fixer le MX2 sur la plateforme mobile est inférieur à celui des trous
de fixation. Néanmoins, la contribution de cette erreur est de loin inférieure aux écarts
observés entre les angles de visée déterminés dans les deux directions.
À ce stade-ci, la raison pour laquelle la solution de calibrage en direction avant diffère de
celle en direction arrière est inconnue. Toutefois, puisque l'écart observé entre les deux
solutions semble dépendre entièrement d'une différence sur la coordonnée Y, on peut
faire l'hypothèse qu'une erreur s'est glissée lors du calcul de la coordonnée Y du centre de
l'IMU sur le banc de calibrage. Plusieurs tests ont été effectués en ajoutant une constante
sur la coordonnée Y de toutes les positions du centre de l'IMU pour la collecte en direction
Chapitre 7 : Analyse des résultats
149
arrière. En additionnant une valeur de 13 millimètres, ce qui correspond à l'erreur
moyenne sur la coordonnée Y entre les deux solutions telles que vues au Tableau 7.5, les
angles de visée se rapprochent de ceux déterminés lors de la collecte en direction avant.
Tableau 7.6 : Différence entre les paramètres de correction après l'ajout d'une constante
sur la coordonnée Y du centre de l'IMU en direction arrière
Paramètres de correction Collecte du 22 décembre 2016
Direction avant Direction arrière Différence
Angle de
visée
%∗ (lacet) -0,075° -0,027° 0,048° '∗ (roulis) -0,318° -0,370° -0,052° &∗ (tangage) 0,099° 0,168° 0,069°
Portée ¾∗ 0,0521 m 0,0508 m -0,0013 m
L'ajout de cette constante permet de diminuer les écarts entre les paramètres déterminés
dans les deux directions, mais ceux-ci restent toujours incompatibles. Il est donc fort
probable qu'une erreur non modélisée se propage dans la solution de calibrage. Cette
erreur peut aussi affecter la solution en direction avant en causant un biais qui serait
indétectable entre les deux collectes dans cette direction. Tant que cette erreur ne sera
pas éliminée, la solution complète utilisant l'aller-retour sur le banc de calibrage n'est pas
exploitable.
Il est tentant d'essayer de modéliser cette erreur en ajoutant un paramètre supplémentaire
à déterminer par moindres carrés. Cependant, plus le nombre de paramètres à estimer
devient élevé, moins la solution est rigide. Ceci est causé par la forte dépendance entre
les paramètres à estimer. Si un angle supplémentaire est introduit comme paramètre
inconnu, celui-ci aura probablement une forte corrélation avec un ou des angles de visée.
On observe le même phénomène avec l'ajout d'une translation de coordonnées à
appliquer qui serait directement corrélée avec les bras de levier. Bref, s'il est possible de
déterminer la cause de cette erreur, celle-ci devrait être modélisée et éliminée à la source.
On pourrait par la suite la traiter comme une observation supplémentaire auquel on
attribue un poids dans la solution par moindres carrés. De cette façon, cette erreur ne
contribuerait pas à augmenter la corrélation entre les paramètres, mais permettrait une
certaine flexibilité sur sa valeur en fonction de son incertitude.
Chapitre 8 : Conclusion
150
Chapitre 8 : Conclusion
8.1. Retour sur les objectifs
La démocratisation des scanners LiDAR dans le domaine de l'acquisition et de la
modélisation en trois dimensions permet à plusieurs nouveaux utilisateurs d'avoir recours
à cette technologie. Les données LiDAR sont utilisées pour représenter la réalité sous la
forme d'un nuage de points que ce soit dans un contexte de modélisation architecturale,
de planification forestière, de volumétrie des matériaux, etc. Les utilisateurs, qu'ils soient
des professionnels, étudiants ou autres, utilisent les données LiDAR pour toutes sortes
d'applications propres à leur champ d'expertise. Cependant, ces gens ne sont pas tous
aptes à juger de la fidélité et de la justesse des coordonnées de chaque point formant le
nuage de points mis à leur disposition. Il importe donc que ces gens aient accès à des
méthodes ou à des ressources qui leur permettent de calibrer leur système.
L'Université Laval est en processus de modernisation de son laboratoire de métrologie
incluant le renouvellement d’une partie de ses équipements, dont un nouvel interféromètre
laser de modèle XL-80 (Renishaw, 2016) qui a été ajouté au laboratoire à l'automne 2016.
Ce nouvel instrument a permis de remplacer l'ancien interféromètre laser de modèle
5518A (Keysight Technologies, 2010) qui datait des années 1980. Cet outil moderne
permettra de mettre à jour les procédures d'étalonnage existantes des mires,
distancemètres, rubans d'arpentage et autres, en plus de développer de nouveaux
moyens pour calibrer et améliorer les performances des SLM au sein des installations
existantes du Laboratoire de métrologie du Département des sciences géomatiques de
l’Université Laval (Larouche, 2016).
Le présent projet de recherche est donc un premier pas dans le développement d'une
nouvelle méthode de calibrage rigoureuse des SLM in lab. Le but de ce travail était de
mettre sur pied une procédure pour l'acquisition et le traitement des données menant au
calibrage propre du système. L'utilisation de la méthode d'intersection spatiale pour
l'établissement d'une infrastructure géodésique de haute précision en plus du
géoréférencement des sphères de référence est un incontournable étant donné les
instruments et les outils présents au laboratoire. Le recours au scanner LiDAR terrestre
pour la modélisation de l'intérieur du laboratoire et la localisation de sphères permet
Chapitre 8 : Conclusion
151
d'économiser beaucoup de temps sur l'acquisition des données. Bref, l'idée d'immobiliser
le SLM sur le banc de calibrage à des endroits précisément localisés par des distances
interférométriques et de faire des balayages de la scène pour former un nuage de points
ligne de scan par ligne de scan a permis d'exploiter le LiDAR mobile à l'intérieur même si
celui-ci est conçu pour des collectes de données à l’extérieur. La procédure décrite pour
l'acquisition et le traitement des données LiDAR mobiles est innovante. Elle permet en
plus d'éliminer le recours aux observations de positionnement GNSS pour la détermination
des bras de levier et des angles de visée, ce qui constitue une des raisons principales
pour laquelle une approche en laboratoire a été préconisée.
Le cadre mathématique développé pour cette approche de calibrage est rigoureux.
L'utilisation de l'équation complète de géoréférencement d'un point LiDAR a permis
d'intégrer les paramètres de calibrage pour les estimer avec une approche par moindres
carrés. Cette approche est flexible en ce sens qu'il est possible d'ajouter ou de soustraire
des paramètres de la solution. Il faut toutefois ne pas négliger l'impact de la corrélation
entre les paramètres à estimer. Étant donné que les angles de visée et les bras de levier
peuvent être assimilés à trois rotations et trois translations, il est probable que tout
paramètre additionnel soit plus ou moins corrélé avec ceux-ci. De plus, l'intégration de la
fidélité des observations pour former la matrice de variance et de covariance des
observations permet d'ajuster la contribution de l'erreur associée à chaque observation sur
les paramètres estimés.
L'approche de calibrage développée dans le cadre de cette maîtrise a été testée sur un
SLM avec lequel deux jeux de données collectés à près de six mois d'intervalle ont été
observés. Il a été montré que la méthode produit des résultats comparables pour les
angles de visée déterminés en direction avant lors de ces deux collectes. Il existe toutefois
certaines différences assez importantes entre les angles de visée déterminés en direction
avant et en direction arrière lors de la collecte du 22 décembre 2016. Comme l'inversion
du SLM sur le banc de calibrage n'a pas été faite lors de la collecte du 16 mai 2016, on ne
dispose pas d’une série de valeurs estimées pour les paramètres en direction arrière à
cette date. Cependant, il aurait été intéressant de vérifier si les paramètres estimés en
direction arrière le 22 décembre avaient été comparables à ceux qui auraient été estimés
le 16 mai. Si les valeurs pour ces paramètres avaient été semblables, cela aurait permis
de confirmer qu'il existe réellement une erreur non modélisée introduite par l'inversion du
SLM sur le banc de calibrage, le tout tel qu'avancé au Chapitre 7. Il aurait aussi été
Chapitre 8 : Conclusion
152
intéressant de refaire quelques collectes de données supplémentaires de manière à
comparer les résultats et à pousser l'analyse encore plus loin. De plus, pour valider la
justesse des valeurs des bras de levier et des angles de visée déterminés en laboratoire,
une collecte de données à l'extérieur avec le MX2 fixé sur le toit du véhicule aurait pu être
envisagée. Il aurait été possible de vérifier la qualité des paramètres de calibrage en
analysant les écarts entre des surfaces planes localisées par des passages différents en
voiture à la manière de Rieger et al. (2010). Malheureusement, un manque de temps et de
disponibilité des équipements a empêché la réalisation de cueillettes de données
supplémentaires.
Malgré le fait que les résultats obtenus avec la nouvelle méthode de calibrage ne soient
pas satisfaisants à 100%, on peut conclure que les objectifs du présent travail de
recherche ont été atteints. Le but de ce travail était de mettre sur pied les bases d'une
nouvelle approche de calibrage in lab à partir des installations présentes au Laboratoire de
métrologie du Département des sciences géomatiques de l’Université Laval. Toutes les
étapes de la procédure mise en place incluant la localisation d'objets par intersection
spatiale et par scanners LiDAR terrestre et mobile forment une base solide pour les
travaux futurs à être réalisés dans ce domaine. De plus, tous les programmes Matlab
développés dans le cadre de ce projet pourront être adaptés et réutilisés par d'autres
étudiants et chercheurs qui pourront poursuivre l'avancement de cet axe de recherche
dans le but d'améliorer les performances des SLM.
8.2. Recommandations pour des travaux futurs
Étant donné que le présent ouvrage consiste en un premier travail de recherche pour le
développement de nouvelles techniques de calibrage des SLM en laboratoire à l'Université
Laval, des recommandations sont à faire pour tous ceux qui voudraient poursuivre dans
cette voie. Tout au long de ce travail, plusieurs pistes de solution ont été soulevées pour
éliminer des difficultés rencontrées lors des étapes de collecte et de traitement de
données. L'élimination de ces éléments nuisibles peut certainement améliorer les
performances de cette approche de calibrage.
Un premier problème est survenu lors du géoréférencement des quatre sphères localisées
par le scanner LiDAR par rapport à leur localisation par intersection spatiale. Des écarts
de 2 à 3 millimètres, plus importants que l'erreur maximale tolérée de 1 millimètre pour le
Chapitre 8 : Conclusion
153
géoréférencement des sphères, ont été constatés. Pour parvenir à améliorer la qualité de
la transformation, on doit chercher à diminuer l'incertitude sur les coordonnées des
sphères de référence. Améliorer la géométrie d'acquisition des sphères de référence en
positionnant les stations totales à des endroits stratégiquement déterminés permettrait de
minimiser les erreurs de fidélité et de justesse sur les coordonnées du centre des sphères.
Il faut éviter les configurations défavorables comme celle présentée à la Figure 3.20. De
plus, pour assurer que le centre de la sphère soit localisé plus précisément, la pointe de
jalon montrée à la Figure 3.17 devrait être remplacée par une pièce usinée sur mesure qui
serait parfaitement concentrique et dont la pointe à son extrémité aurait la même hauteur
que le centre de la sphère. Quant au scanner LiDAR terrestre, l'augmentation de la
densité du scan devrait permettre d'améliorer la qualité de l'assemblage entre les scans et
du géoréférencement sur les sphères de référence. Plusieurs tests seraient aussi à faire
quant à la position relative des scans par rapport aux sphères de référence, dont l'ajout de
scans supplémentaires ou l'utilisation d'un seul scan de très haute densité. Bref, les
manières de minimiser les erreurs sur les coordonnées des sphères de référence
nécessitent d'être approfondies.
Un autre aspect de l'amélioration de la technique de calibrage est l'élaboration d'un site
permanent de calibrage au sein du laboratoire. Pour y parvenir, certains éléments
devraient toujours être maintenus à leur position une fois qu'ils sont localisés précisément
dans le système de coordonnées de référence global. Parmi ces éléments, on retrouve la
pièce matérialisant l'origine du système de coordonnées montrée à la Figure 3.1. En plus
de cette pièce, des cibles permanentes comme des sphères, des damiers ou autres
éléments localisables précisément dans un nuage de points LiDAR pourraient être
réparties uniformément dans le laboratoire. Dans le but de vérifier la fidélité et la justesse
des coordonnées des cibles permanentes, la localisation à plusieurs reprises de ces
éléments en variant la position du scanner LiDAR devrait être faite pour comparer les
écarts sur le géoréférencement. Pour parvenir à implanter correctement ce site de
calibrage permanent, il faudrait que les écarts entre les sphères localisées par le scanner
LiDAR terrestre et les sphères théoriques localisées par intersection spatiale soient
toujours inférieurs à 1 millimètre. De plus, le calcul des constantes initiales et de l'erreur
d'alignement devrait être refait à quelques reprises en démontant le charriot mobile du rail
entre chaque prise de mesures. Si les différentes valeurs sont statistiquement
équivalentes, celles-ci pourraient toujours être réutilisées lors du calibrage d'un SLM de
Chapitre 8 : Conclusion
154
même modèle. Un registre des constantes initiales et de l'erreur d'alignement en fonction
du SLM utilisé pourrait donc être mis sur pied. Bref, avec un registre et un site permanent
de calibrage, le recours aux relevés avec les stations totales ne serait plus nécessaire.
Lors de calibrages futurs, il resterait simplement à ajouter des sphères additionnelles dans
le laboratoire pour les géoréférencer avec le scanner LiDAR terrestre et d'effectuer la
collecte LiDAR mobile sur le banc de calibrage. Le temps total pour la collecte de données
en laboratoire serait facilement diminué de moitié. De plus, si plusieurs systèmes sont à
calibrer, seule l'étape de la collecte de données LiDAR mobiles sur le banc de calibrage
serait à faire pour chacun d'entre eux. Des économies substantielles de temps seraient
réalisées.
Une autre façon d'accélérer la procédure de calibrage serait d'automatiser tous les
traitements de données. Plusieurs programmes Matlab ont été développés à cette fin,
mais certaines manipulations doivent toujours être faites par l'utilisateur, dont la sélection
manuelle des points à la surface des sphères dans le logiciel Trident de Trimble. De
manière à éliminer le recours à un logiciel de visualisation de points LiDAR, qui est
totalement dépendant du fabricant du SLM, un algorithme d'extraction automatisée des
points formant une sphère devrait être développé. Cet algorithme devrait facilement
s'implanter dans un programme Matlab ou autre, étant donné que les coordonnées
approchées pour les sphères sont disponibles avec les relevés du LiDAR terrestre. Cet
algorithme pourrait aussi prendre en charge la modification des fichiers bruts des
observations du SLM contenant les données de navigation et du laser pour intégrer les
mesures de distance prises à l'interféromètre. De cette façon, le programme développé
serait compatible avec tous les types de SLM et le temps de traitement serait amplement
réduit. Le temps consacré au traitement des données est actuellement un frein pour
l'efficacité de la méthode de calibrage. Plus le traitement est rapide et plus il devient
possible de faire des collectes de données et d'obtenir des résultats rapidement. De ce
fait, plus de jeux de données seraient disponibles pour vérifier et comparer les différentes
solutions de calibrage obtenues. Il deviendrait donc possible de peaufiner la méthode de
calibrage et de déterminer la cause de la discordance entre les valeurs des angles de
visée obtenues en direction avant et en direction arrière lors de la collecte du 22
décembre. Une fois que toutes ces étapes seraient réalisées et que la procédure serait
mise au point, la prochaine étape qui pourrait être mise de l'avant serait la collecte de
données dynamique sur le banc de calibrage.
Chapitre 8 : Conclusion
155
La collecte dynamique de données sur le banc de calibrage implique les mêmes étapes
préparatoires que la collecte statique actuelle. La différence majeure est qu'au lieu
d'immobiliser le SLM sur le banc de calibrage pour enregistrer des données pour chaque
ligne de scan, le SLM serait déplacé en continu sur le banc de calibrage et
l'enregistrement des données ne serait pas interrompu. La section de 12 mètres sur le
banc de calibrage pourrait être parcourue en une dizaine de secondes au lieu de 80 à 120
minutes comme il a été nécessaire lors de la dernière collecte du 22 décembre 2016. Des
allers-retours sur le banc de calibrage pourraient être faits, ce qui augmenterait
substantiellement le nombre de points disponibles pour le calibrage. Il serait aussi
intéressant d'analyser les observations angulaires de l'IMU lorsque soumis à un
mouvement comparativement aux observations angulaires de l'IMU qui était immobile lors
de chaque enregistrement pendant la dernière collecte. En favorisant cette méthode
dynamique d'acquisition de données, en privilégiant l'établissement d'un site de calibrage
permanent et en priorisant un traitement de données automatisé indépendant du type de
SLM utilisé, l'Université Laval pourrait se démarquer dans le domaine du calibrage des
systèmes LiDAR en laboratoire.
Pour parvenir à mettre au point une collecte de données dynamique sur le banc de
calibrage, il est nécessaire de synchroniser l'acquisition de données entre le SLM et
l'interféromètre. Le laser et l'IMU sont synchronisés avec le PPS provenant du signal
GNSS pour permettre que les observations soient observées selon la même référence
temporelle, soit l'horloge interne du récepteur elle-même synchronisée avec les horloges
atomiques à bord des satellites. Il faudrait donc déterminer un moyen de synchroniser
l'acquisition de données par l'interféromètre avec ce même PPS. Plusieurs tests seraient à
faire pour déterminer si des traces de latence résiduelle sont présentes dans les jeux de
données après la synchronisation des systèmes. Ce paramètre de latence pourrait être
ajouté au modèle mathématique du calibrage et être déterminé avec les bras de levier et
les angles de visée. Bref, il reste beaucoup de travail à faire pour mettre sur pied une
installation complète et permanente de calibrage des SLM au Laboratoire de métrologie
du Département des sciences géomatiques de l’Université Laval. Le présent projet de
recherche est toutefois un premier pas dans la bonne direction et permet de tracer le
chemin pour les travaux futurs qui seront réalisés dans cet axe de recherche.
156
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Trimble (2014) ‘Trimble MX2 Mobile Mapping System’, Geotronics, pp. 1–2. Available at: http://trl.trimble.com/docushare/dsweb/Get/Document-666707/022515-152C_TrimbleMX2_DS_1114_LR.pdf.
Vosselman, G. and Maas, H. (2001) ‘Adjustment and filtering of raw laser altimetry data’, Proceedings OEEPE Workshop on Airborne Laserscanning and Interferometric SAR for Detailed Digital Elevation Models, pp. 62–72.
159
Annexe A : Fonctions Matlab permettant de traiter
les données recueillies par les stations totales et
l'interféromètre
A.1. F_BacksideCorrection
Cette fonction permet de calculer la correction à a ppliquer aux directions horizontales en visée directe et en visé e renversée de manière à rétablir la visée arrière à 90 ou 270 degrés. Auteur : Michael Landry (2016) Paramètres d'entrée observations : matrice des observations brutes de la station totale Paramètres de sortie corr_d : correction à appliquer aux directions hor izontales en visée directe corr_r : correction à appliquer aux directions hor izontales en visée renversée function [corr_d, corr_r] = F_BacksideCorrection(ob servations)
A.2. F_AngleCalculator
Cette fonction permet de calculer la moyenne des di rections horizontales et verticales de chaque station en plus de calculer l'angle intérieur du triangle formé par la visée arrière, la station d'o bservation et le point visé. Auteur : Michael Landry (2016) Paramètres d'entrée observations : matrice des observations brutes de la station totale corr_d : correction à appliquer aux directions hor izontales en visée directe corr_r : correction à appliquer aux directions hor izontales en visée renversée Paramètres de sortie dir_h : directions horizontales moyennes dir_v : directions verticales moyennes angle_h : angles horizontaux function [dir_h, dir_v, angle_h] = F_AngleCalculato r(observations, corr_d, corr_r)
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A.3. F_CoordCalculator
Cette fonction permet de calculer la distance entre la station et un point visé à partir des angles intérieurs et de la distance entre les 2 stations en utilisant la loi des sinus. Par la suit e, cette fonction permet de calculer les coordonnées en 3 dimensions d'un point en disposant de la distance, de la direction horizonta le et de la direction verticale entre la station et ce point. La coordonn ée Z est calculée à partir des 2 stations, ce qui permet de calculer un e moyenne et une approximation de la différence de hauteur entre les 2 stations. Auteur : Michael Landry (2016) Paramètres d'entrée angle_h_st1 : angles horizontaux de la station 1 angle_h_st2 : angles horizontaux de la station 2 dir_v_st1 : directions verticales de la station 1 dir_v_st2 : directions verticales de la station 2 dz_st2 : différence d'altitude entre la station 1 et 2 dist : distance planimétrique entre les 2 stations Paramètres de sortie x, y : coordonnées 2d d'un point z_st1 : z d'un point mesuré à partir de la station 1 z_st2 : z d'un point mesuré à partir de la station 2 z_moy : z moyen d'un point function [x, y, z_st1, z_st2, z_moy] = F_CoordCalcu lator(angle_h_st1, angle_h_st2, dir_v_st1, dir_v_st2, dz_st2, distance )
A.4. F_ScaleDist
Cette fonction permet de calculer le facteur échell e à appliquer à la distance mesurée à la chaîne entre les deux station s à partir de la longueur mesurée et théorique des mires graduées. U n facteur échelle moyen est ensuite appliqué à la distance entre les 2 stations. Auteur : Michael Landry (2016) Paramètres d'entrée x_left, y_left, z_left_moy : coordonnées de l'ext rémité gauche des mires étalonnées x_right, y_right, z_right_moy : coordonnées de l' extrémité droite des mires étalonnées dist_ch : distance mesurée à la chaîne entre les deux stations dist_in_hor : distance entre les deux extrémités d es mires mesurées à l'interféromètre Paramètres de sortie dist_corr_mean : distance entre les 2 stations cor rigée par le facteur échelle function [dist_corr_mean, scale, d_mes] = F_ScaleDi st(x_left, y_left, z_left_moy, x_right, y_right, z_right_moy, dist_ch, dist_in_hor)
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A.5. F_Alignment
Cette fonction permet de calculer une ligne moyenne à partir de plusieurs points et d'un point dont les coordonnées sont fixé es. Auteur : Michael Landry (2016) Paramètres d'entrée x_ori, y_ori : coordonnées de l'origine (point fix e) x_dir, y_dir : coordonnées de points le long de la ligne moyenne à établir Paramètres de sortie mean_direction : direction de la ligne moyenne function [mean_direction] = F_Alignment(x_ori, y_or i, x_dir, y_dir)
A.6. F_PointToLine
Cette fonction permet de calculer la distance ortho gonale entre une ligne et un point. Auteur : Michael Landry (2016) Paramètres d'entrée x_ori, y_ori, z_ori : coordonnées de l'origine (po int fixe) direction : direction de la ligne x_p, y_p, z_p : coordonnées d'un point le long de la ligne moyenne Paramètres de sortie d_ortho : distance orthogonale entre la ligne et l e point delta_z : écart en z par rapport au banc de calibr age function [d_ortho, delta_z] = F_PointToLine(x_ori, y_ori, z_ori, direction, x_p, y_p, z_p)
A.7. F_RotationTranslation
Cette fonction permet d'appliquer une translation e t une rotation à un jeu de coordonnées à partir des paramètres de trans lation et de l'angle de rotation pour passer dans le système de coordonn ées global. Auteur : Michael Landry (2016) Paramètres d'entrée x_local, y_local, z_local : coordonnées des points dans le système local T : vecteur de translation alpha : angle de rotation
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Paramètres de sortie x_global, y_global, z_global : coordonnées des poi nts dans le système global function [x_global, y_global, z_global] = F_Rotatio nTranslation(x_local, y_local, z_local, T, alpha)
A.8. F_det_param6
Cette fonction permet de déterminer les 6 paramètre s de la transformation par moindres carrés entre 2 jeux de coordonnées (3 rotations et 3 translations). Cette fonction permet aussi d'ajoute r des contraintes sur les paramètres de manière à les fixer. La transform ation doit permettre d'amener les coordonnées théoriques des trous de fi xation du MX2 sur les coordonnées mesurées des trous de fixation du MX2. Auteur : Michael Landry (2016) Fonction adaptée de Dany Gaboury et Michael Landry (2013) Paramètres d'entrée xyz1 : coordonnées théoriques des trous de fixatio n du MX2 xyz2 : coordonnées mesurées des trous de fixation du MX2 Paramètres de sortie param : vecteur des 6 paramètres recherchés (Tx, T y, Tz, Ex, Ey, Ez) Tx,Ty et Tz : paramètres de translation Ex, Ey et Ez : paramètres de rotation function [param] = F_det_param6(xyz1, xyz2)
A.9. F_apply_param6
Cette fonction permet d'appliquer une transformatio n à 6 paramètres à un jeu de coordonnées (3 rotations et 3 translations). La transformation permet d'amener les coordonnées théoriques des trou s de fixation du MX2 sur les coordonnées mesurées des trous de fixation du MX2. Auteur : Michael Landry Fonction adaptée de Dany Gaboury et Michael Landry (2013) Paramètres d'entrée param : vecteur des 6 paramètres de la transformat ion (Tx, Ty, Tz, Ex, Ey, Ez) Tx,Ty et Tz : paramètres de translation Ex, Ey et Ez : paramètres de rotation xyz1 : coordonnées théoriques des trous de fixatio n du MX2 Paramètres de sortie xyz2 : coordonnées théoriques des trous de fixatio n du MX2 amenées sur les coordonnées mesurées des trous de fixati on du MX2 function [xyz2] = F_apply_param6(param, xyz1)
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A.10. F_UTMmerid
Cette fonction permet de calculer le méridien centr al d'une zone de projection UTM en fonction de son numéro. Auteur : Michael Landry (2016) Fonction adaptée de Dany Gaboury et Michael Landry (2012) Paramètre d'entrée zone : numéro de la zone UTM Paramètres de sortie lon_mc : longitude du méridien central corresponda nt function [lon_mc] = F_UTMmerid(zone)
A.11. F_UTMproj
Cette fonction permet de déterminer les coordonnées de projection UTM d'un point à partir de sa zone, de sa latitude et d e sa longitude. Auteur : Michael Landry (2016) Fonction adaptée de Dany Gaboury et Michael Landry (2012) Paramètre d'entrée a : demi-grand axe de l’ellipsoïde e2 : excentricité au carré de l’ellipsoïde lat, lon : latitude et longitude zone : numéro de la zone UTM Paramètres de sortie xp,yp = coordonnées planimétriques UTM function [xp, yp] = F_UTMproj(a, e2, zone, lat, lon )
A.12. F_UTMproj_inv
Cette fonction permet de calculer la longitude et l a latitude d'un point en fonction de ses coordonnées et de sa zone UTM. Auteur : Michael Landry (2016) Fonction adaptée de Dany Gaboury et Michael Landry (2012) Paramètre d'entrée a : demi-grand axe de l’ellipsoïde e2 : excentricité au carré de l’ellipsoïde xp, yp : coordonnées planimétriques UTM zone : numéro de la zone UTM Paramètres de sortie lat, lon – latitude et longitude
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function [lat, lon] = F_UTMproj_inv(a, e2, zone, xp , yp)
A.13. F_VarCovMatrix
Cette fonction permet de former la matrice de varia nce et de covariance des observations en fonction du nombre d'observatio ns. Les observations de la station 1 et de la station 2 sont utilisées. Auteur : Michael Landry (2016) Paramètre d'entrée nb_obs_1 : nombre d'observations de la station 1 nb_obs_2 : nombre d'observations de la station 2 prec_dir_h_st1 : écart-type d'une mesure de direct ion horizontale (station 1) prec_dir_v_st1 : écart-type d'une mesure de direct ion verticale (station 1) prec_dir_h_st2 : écart-type d'une mesure de direct ion horizontale (station 2) prec_dir_v_st2 : écart-type d'une mesure de direct ion verticale (station 2) prec_dist_ch : écart-type de la mesure de distance entre les stations function [sigma_xx] = F_VarCovMatrix(nb_obs_1, nb_o bs_2, prec_dir_h_st1, prec_dir_v_st1, prec_dir_h_st2, prec_dir_v_st2, pre c_dist_ch)
A.14. F_Local2GlobalUTM
Cette fonction permet d'appliquer une transformatio n à 5 paramètres à un jeu de coordonnées (rotation en z, translation en x , en y et en z et facteur échelle). Une rotation dans le plan et une translation sont tout d'abord appliquées en fonction des coordonnées du p oint d'origine (0,0,0) et de l'orientation du banc de calibrage (0°). Une deuxième translation est ensuite appliquée en fonction des coordonnées U TM du point d'origine. Auteur : Michael Landry (2016) Paramètres d'entrée x_local, y_local, z_local : coordonnées des points dans le système local T : vecteur de translation alpha : angle de rotation coord_ori_utm : coordonnées du point d'origine en UTM scale : facteur échelle de projection UTM Paramètres de sortie x_global, y_global, z_global : coordonnées des poin ts dans le système global function [x_global, y_global, z_global] = F_Local2G lobalUTM(x_local, y_local, z_local, T, alpha, coord_ori_utm)
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Annexe B : Fonctions Matlab permettant
d'éliminer les points erratiques
B.1. F_SphereCenterExtractor
Cette fonction permet de calculer le centre d'une s phère et son écart-type à partir d'un nuage de points. La fonction éli mine les points dont les résiduelles sont les plus importantes en foncti on de l'écart-type. Auteur : Michael Landry (2016) Paramètres d'entrée SphereData : matrice contenant les coordonnées des nuages de points des sphères Paramètres de sortie : SphereHits : nombre de points sur la sphère Center : centre déterminé de la sphère CenterStdDev : écart-type du centre déterminé de l a sphère CleanDataIndex : index des points à conserver ResidualsNearClean : vecteur des résiduelles function [SphereHits, Center, CenterStdDev, CleanDa taIndex, ResidualsNearClean] = F_SphereCenterExtractor(Spher eData)
B.2. F_SphereFitFixedRadius
Cette fonction permet de calculer le centre d'une s phère en imposant son rayon théorique. Auteur : Michael Landry (2016) Fonction adaptée de Levente Hunyadi (2010) Paramètres d'entrée xyz : matrice des coordonnées des points sur la sp hère r : rayon connu de la sphère Paramètres de sortie : center : coordonnées du centre de la sphère residuals : vecteur des résiduelles function [center,residuals] = SphereFitFixedRadius( xyz,r)
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Annexe C : Fonctions Matlab permettant
d'appliquer la nouvelle méthode de calibrage
C.1. F_Calibration
Cette fonction permet de former les matrices des dé rivés partielles, le vecteur de fermeture et la matrice de variance et d e covariance des observations de manière à estimer les paramètres de calibrage. Auteur : Michael Landry (2016) Paramètres d'entrée FAROSphereCenter : coordonnées 3D du centre des sp hères de référence mesurées par le scanner LiDAR terrestre FAROSphereCenterStdDev : écart-type de l'estimatio n de la position du centre des sphères mesurées par le scanner LiDA R terrestre FAROSphereRadius : rayon théorique des sphères de référence mesurées par le FARO param0 : vecteur des valeurs approchées pour les p aramètres de calibrage Paramètres de sortie param : vecteur contenant les valeurs estimées des 7 paramètres de calibrage dans l'ordre suivant (roll, pitch, headi ng, dx, dy, dz et beamdistcorr) param_var : vecteur contenant l'écart-type estimé des 7 paramètres de calibrage dans l'ordre suivant (roll, pitch, he ading, dx, dy, dz et beamdistcorr) s02 : facteur de variance a posteriori function [param, param_var, s02] = F_Calibration(FA ROSphereCenter, FAROSphereCenterStd, FAROSphereRadius, param0)
C.2. F_ComputeXYZPoint_1Line
Cette fonction permet de calculer les coordonnées d 'un point LiDAR mobile à partir des observations de tous les capteurs et d es paramètres de calibrage. Auteur : Michael Landry (2016) Paramètres d'entrée LaserID : numéro d'identifiant du laser ANGLE1 et ANGLE2 : angles mesurés par le laser BEAMDIST : distances mesurées par le laser ORI_X, ORI_Y et ORI_Z : coordonnées du centre de l 'IMU IMU_H, IMU_R et IMU_P : angles mesurés par l'IMU ( heading, roll et pitch)
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Paramètres de sortie X_Terrain, Y_Terrain et Z_Terrain : Coordonnées 3D d'un point function [X_Terrain, Y_Terrain, Z_Terrain] = F_ComputeXYZPoint_1Line(LaserID,ANGLE1,ANGLE2,BEAMD IST,ORI_X,ORI_Y,ORI_Z,IMU_H,IMU_R,IMU_P,CoM)
C.3. F_RecomputeXYZ
Cette fonction chapeaute la fonction F_ComputeXYZPo int_1Line et permet de calculer les coordonnées de tous les points LiDAR m obiles sur une ligne de scan à partir des observations de tous les capte urs et des paramètres de calibrage. Auteur : Michael Landry (2016) Fonction adaptée de Christian Larouche Paramètres d'entrée pathstr : chemin complet des fichiers contenant le s points d'une sphère namelist : liste des noms des fichiers contenant l es points d'une sphère ext : extension du fichier MaxHitSize : nombre maximal de points sur une lign e de scan param : vecteur contenant les paramètres de calibr age Paramètres de sortie XYZ_Terrain : coordonnées 3D de tous les points su r une ligne de scan function [XYZ_Terrain] s= F_RecomputeXYZ(pathstr, n amelist, ext, MaxHitSize, param)