SILABUS 1. Identitas Mata Kuliah Nama Mata Kuliah : Kapita Selekta Matematika I Nomor Kode : MT 306 Jumlah SKS : 3 Semester : 1 (Satu) Kelompok Mata Kuliah : MKK Program Studi/ Jenjang : Pendidikan Matematika/ S-1 2. Tujuan Mahasiswa menguasai semua topik yang terdapat dalam mata kuliah Kapita Selekta Matematika I sebagai latar belakang untuk mengajarkan matematika di sekolah dan sebagai dasar pengembangan untuk mata kuliah selanjutnya. 3. Deskripsi Isi Perkuliahan ini dimaksudkan untuk memantapkan penguasaan para mahasiswa terhadap konsep-konsep dasar matematika SMP. Mata kuliah ini membahas tentang materi matematika SMP yang esensial yang meliputi: Bilangan bulat, operasi pada bilangan bulat, dan sifat-sifat operasi bilangan bulat, Bilangan Pecahan, Bilangan pecahan, operasi bilangan pecahan, dan sifat-sifat operasi bilangan pecahan masalah, Bentuk aljabar san unsur-unsurnya, KPK dan FPB bentuk aljabar, Operasi Hitung bentuk Aljabar, Kalimat terbuka, Persamaan linear satu variabel, Pertidaksamaan linear satu variabel, Nilai keseluruhan dan nilai per unit, Uang dalam perdagangan, persentase untung rugi, Bunga tunggal dan pajak(Aritmatika Sosial), Pengertian perbandingan, perbandingan senilai,
122
Embed
dosen.ikipsiliwangi.ac.id · Web viewProgram Studi/ Jenjang: Pendidikan Matematika/ S-1 Tujuan Mahasiswa menguasai semua topik yang terdapat dalam mata kuliah Kapita Selekta Matematika
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
SILABUS
1. Identitas Mata Kuliah
Nama Mata Kuliah : Kapita Selekta Matematika I
Nomor Kode : MT 306
Jumlah SKS : 3
Semester : 1 (Satu)
Kelompok Mata Kuliah : MKK
Program Studi/ Jenjang : Pendidikan Matematika/ S-1
2. Tujuan
Mahasiswa menguasai semua topik yang terdapat dalam mata kuliah Kapita Selekta
Matematika I sebagai latar belakang untuk mengajarkan matematika di sekolah dan
sebagai dasar pengembangan untuk mata kuliah selanjutnya.
3. Deskripsi Isi
Perkuliahan ini dimaksudkan untuk memantapkan penguasaan para mahasiswa
terhadap konsep-konsep dasar matematika SMP. Mata kuliah ini membahas tentang
materi matematika SMP yang esensial yang meliputi: Bilangan bulat, operasi pada
bilangan bulat, dan sifat-sifat operasi bilangan bulat, Bilangan Pecahan, Bilangan
pecahan, operasi bilangan pecahan, dan sifat-sifat operasi bilangan pecahan masalah,
Bentuk aljabar san unsur-unsurnya, KPK dan FPB bentuk aljabar, Operasi Hitung
bentuk Aljabar, Kalimat terbuka, Persamaan linear satu variabel, Pertidaksamaan
linear satu variabel, Nilai keseluruhan dan nilai per unit, Uang dalam perdagangan,
persentase untung rugi, Bunga tunggal dan pajak(Aritmatika Sosial), Pengertian
perbandingan, perbandingan senilai, Perbandingan berbalik nilai, Grafik perbandingan
dua besaran, Himpunan dan unsur-unsurnya, Garis-garis sejajar, Hubungan sudut-
sudut pada dua garis sejajar, Melukis dan membagi sudut, Segi empat, segitiga,
Menghitung besaran-besaran pada segitiga, Menyelesaikan bentuk aljabar,
Menentukan faktor-faktor suku aljabar, Menyelesaikan operasi pecahan bentuk
aljabar, Relasi, menyatakan bentuk fungsi, Menghitung nilai fungsi, Persamaan garis
lurus, Gradien suatu garis lurus, Kedudukan dua garis lurus, Membuat persamaan
garis lurus, Jarak dan titik tengah garis lurus, Persamaan linear satu variabel,
Persamaan linear dua variabel, Ssistem persamaan linear dua variabel, Unsur-unsur
dalam teorema pythagoras, Menentukan teorema pythagoras, Penerapan
teoremapythagoras, Menentukan panjang garis tinggi.
4. Metode/ Pendekatan Pembelajaran
Reciprocal teaching, diskusi, seminar, dan tanya jawab
5. Evaluasi
Kompetensi yang dicapai oleh mahaiswa diukur melalui tes tertulis pada UTS dan
UAS
6. Rincian Materi
Pertemuan ke-1 : Bilangan bulat, operasi pada bilangan bulat, dan
sifat-sifat operasi bilangan bulat, Bilangan
Pecahan
Pertemuan ke-2 : Bilangan pecahan, operasi bilangan pecahan, dan
sifat-sifat operasi bilangan pecahan masalah
Pertemuan ke-3 : Bentuk aljabar san unsur-unsurnya, KPK dan FPB
bentuk aljabar, Operasi Hitung bentuk Aljabar
Pertemuan ke-4 : Kalimat terbuka, Persamaan linear satu variabel,
Pertidaksamaan linear satu variabel
Pertemuan ke-5 : Nilai keseluruhan dan nilai per unit, Uang dalam
Amatilah lingkungan di sekitarmu. Carilah barang kebutuhan sehari-hari yang dijual
dengan menggunakan persen. Ceritakan hasil temuanmu di depan kelas.
b. Menentukan harga penjualan dan harga pembelian jika persentase untung atau rugi
diketahui
Jika persentase untung atau rugi diketahui, kita dapat menghitung harga beli atau harga
jualnya. Kalian telah mengetahui bahwa untung (laba) = harga penjualan – harga pembelian,
maka
1) harga penjualan = harga pembelian + untung;
2) harga pembelian = harga penjualan – untung.
Kalian juga telah mengetahui bahwa rugi = harga pembelian – harga penjualan, maka
1) harga penjualan = harga pembelian – rugi;
2) harga pembelian = harga penjualan + rugi.
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
b. Harga pembelian Rp75.000,00 dan harga penjualan Rp67.500,00.
1. Tentukan persentase untung atau ruginya.
a. Harga pembelian Rp60.000,00 dan harga penjualan Rp72.000,00.
RABAT (DISKON), BRUTO, TARA, DAN NETO
1. Rabat (Diskon)
Rabat artinya potongan harga atau lebih dikenal dengan istilah diskon. Pernahkah kalian
pergi ke swalayan menjelang hari raya atau tahun baru? Biasanya menjelang hari raya atau
tahun baru, toko-toko, supermarket atau swalayan memberikan potongan harga untuk
menarik para pembeli yang akan berbelanja. Potongan harga inilah yang disebut rabat
(diskon). Biasanya diskon (rabat) ini diperhitungkan dengan persen. Dalam pemakaiannya,
terdapat perbedaan istilah antara rabat dan diskon. Istilah rabat digunakan oleh produsen
kepada grosir, agen, atau pengecer, sedangkan istilah diskon digunakan oleh grosir, agen,
atau pengecer kepada konsumen.
Contoh:
Seseorang membeli baju di Toko Anugerah seharga Rp85.000,00. Toko tersebut memberikan
diskon 20% untuk setiap pembelian. Berapakah uang yang harus ia bayar?
Penyelesaian:
Harga pembelian = Rp85.000,00
Diskon 20% = 20 ×Rp85.000,00
100= Rp17.000,00
Uang yang harus dibayar = Rp85.000,00 – Rp17.000,00= Rp68.000,00
Jadi, uang yang harus ia bayarkan sebesar Rp68.000,00
Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.
Harga bersih = harga kotor – rabat (diskon)
dimana: harga kotor adalah harga barang sebelum dipotong rabat (diskon).
harga bersih adalah harga barang sesudah dipotong rabat (diskon).
2. Bruto, Tara, dan Neto
Coba perhatikan pada saat kalian membeli makanan kecil atau saat ibu membeli gula pasir.
Berat barang yang kalian beli merupakan berat kotor, artinya berat makanan kecil ditambah
berat kemasannya. Berat kemasan barang seperti plastik, karung, kertas disebut tara. Berat
barang beserta kemasannya disebut berat kotor atau bruto, sedangkan berat barangnya saja
disebut berat bersih atau neto. Dengan demikian dapat disimpulkan sebagai berikut.
Bruto = neto + tara
Neto = bruto – tara
Tara = bruto – neto
Jika diketahui persen tara dan bruto, kalian dapat mencari tara dengan rumus berikut.
Tara = persen tara bruto
Untuk menentukan harga bersih setelah memperoleh potongan berat (tara) dapat dirumuskan
sebagai berikut. Harga bersih = neto harga/satuan berat
BUNGA TABUNGAN DAN PAJAK
1. Bunga Tabungan
Apabila kita menyimpan uang di bank, maka kita akan mendapatkan tambahan uang yang
disebut bunga. Bunga tabungan dihitung berdasarkan persen nilai. Bunga tabungan dihitung
secara periodik, misalnya sebulan sekali atau setahun sekali. Ada dua jenis bunga tabungan,
yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. Bunga tunggal adalah bunga yang dihitung hanya
berdasarkan besarnya modal saja, sedangkan bunga majemuk adalah bunga yang dihitung
berdasarkan besarnya modal dan bunga. Pada pembahasan ini kita hanya akan mempelajari
mengenai bunga tunggal.
Iwan menabung di sebuah
2. Pajak
Perhatikan setiap ibu kalian membayar pajak listrik. Pajak tersebut biasanya dibayarkan
setiap bulan. Perhatikan pula saat kalian membeli barang, di setiap kemasannya biasanya
tertera tulisan harga ini sudah termasuk pajak. Jadi, menurut kalian, apa sebenarnya pajak
itu?
Pajak adalah suatu kewajiban yang dibebankan kepada masyarakat untuk menyerahkan
sebagian kekayaan kepada negara menurut peraturan-peraturan yang telah ditetapkan
pemerintah. Jadi, pajak bersifat mengikat dan memaksa. Banyak sekali jenis-jenis pajak,
antara lain Pajak Bumi dan Bangunan (PBB), Pajak Pertambahan Nilai (PPN), dan Pajak
Penghasilan (PPh). Perhitungan nilai pajak akan kalian pelajari pada bagian ini.
Contoh: Pak Putu memperoleh gaji Rp950.000,00 sebulandengan penghasilan tidak kena
pajak Rp380.000,00. Jika pajak penghasilan (PPh) diketahui 10%, berapakah besar gaji yang
diterima Pak Putu per bulan?
Penyelesaian:
Besar gaji = Rp950.000,00;
Penghasilan tidak kena pajak = Rp380.000,00
PPh = 10%
Besar penghasilan kena pajak
= Rp950.000,00 – Rp380.000,00
= Rp570.000,00
Besar pajak penghasilan = 10% penghasilan kena pajak
10 Rp570.000,00
100
Rp57.000,00
Gaji yang diterima = Rp950.000,00 – Rp57.000,00 = Rp893.000,00
Jadi, besar gaji yang diterima Pak Putu per bulan adalah
Rp893.000,00.
Latihan!
1. Setiap sak semen dengan berat bruto 40 kg dibeli dengan harga Rp24.000,00. Semen
ini dijual eceran dengan harga Rp800,00 tiap kilogramnya, dan tiap sak
pembungkusnya dijual laku Rp500,00. Tentukan keuntungan pengecer tersebut,
apabila semen yang terjual 5 sak dan diketahui tara 114% tiap sak.
2. Seorang pedagang berhasil menjual 200 buah mainan anak-anak dengan memperoleh
uang Rp623.000,00. Setelah dihitung, ternyata ia mengalami rugi sebesar 11%.
Tentukan harga pembelian sebuah mainan anakanak tersebut.
HAND OUT PERKULIAHAN
Nama Mata Kuliah : Kapita Selekta Matematika I
Kode Mata Kuliah : MT 306
Jumlah SKS : 3 (Tiga)
Pertemuan ke : 6 (enam)
Pokok Bahasan : Pengertian perbandingan, perbandingan senilai, Perbandingan
berbalik nilai, Grafik perbandingan duabesaran
A. Pengertian PerbandinganBerat badan Riam 24 kg, sedangkan berat badan Yoga 30 kg. Perbandingan berat badan Riam
dan oga dapat dinyatakan dengan dua cara berikut.
a. Berat badan Riam kurang dari berat badan Yoga. Dalam hal ini, yang dibandingkan adalah
selisih berat badan.
b. Berat badan Riam : berat badan Yoga = 24 : 30 = 4 : 5. Dalam hal ini, yang dibandingkan
adalah hasil bagi berat badan Riam dan berat badan Yoga.
Berdasarkan uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut. Ada dua cara dalam
membandingkan dua besaran sebagai berikut.
a. Dengan mencari selisih.
b. Dengan mencari hasil bagi.
B. Menyederhanakan Perbandingan Dua Besaran Sejenis
Sebuah meja berukuran 150 cm dan lebar 100 cm. Perbandingan panjang dan lebar meja
dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan mencari selisihnya, 150 cm – 100 cm = 50 cm
atau dapat pula dengan mencari hasil baginya, yaitu 150 : 100 = 3 : 2. Panjang dan lebar meja
adalah dua besaran sejenis, karena mempunyai satuan yang sama, yaitu cm. Namun, panjang
meja dan luas meja adalah dua besaran tidak sejenis, karena mempunyai satuan yang berbeda
sehingga tidak dapat dibandingkan.
Dalam pembahasan ini, kita akan membandingkan dua besaran sejenis dengan cara mencari
hasil bagi
Contoh: berikut dalam bentuk yang paling sederhana.
a. 2 ½ :1 ¼
b. 400 cm3 : 1 l
Penyelesaian:
a.
212
:114
=52
:54
= 10:5 = 2:1
b. 400 cm3 : 1 l = 400 cm3 : (1 1.000) cm3
= 400 : 1.000
= 4 : 10 = 2 : 5
C. Pengertian Skala
Pernahkah kalian menggambar sebuah rumah? Bandingkan ukuran rumah pada gambar
kalian dengan ukuran rumah sesungguhnya, tentu lebih kecil, bukan? Ukuran rumah pada
gambar kalian adalah salah satu contoh gambar berskala. Pada gambar berskala digunakan
perbandingan. Perbandingan antara ukuran rumah pada gambar dengan ukuran rumah
sebenarnya dinamakan skala.
Skala adalah perbandingan antara jarak pada gambar (model)
dengan jarak sebenarnya.
skala=jarakpadagambar (mod el )
jaraksebenarnyaSecara umum, skala 1 : p artinya setiap jarak 1 cm pada gambar (model) mewakili p cm jarak
sebenarnya.
Catatan
Skala biasanya dituliskan pada bagian bawah peta, denah, model gedung, dan gambar
berskala lainnya. Penulisan skala yang baik adalah dalam bentuk perbandingan paling
sederhana.
D. Bentuk-Bentuk Perbandingan
Secara umum ada dua macam perbandingan, yaitu perbandingan senilai dan perbandingan
berbalik nilai.
1. Perbandingan Senilai (Seharga)
Pernahkah kalian membeli buku di toko buku? Kalian dapat membeli sejumlah buku sesuai
dengan jumlah uang yang kalian punya. Jika harga 1 buah buku Rp2.500,00 maka harga 5
buah buku = 5xRp2.500,00 = Rp12.500,00.
Makin banyak buku yang dibeli, makin banyak pula harga yang harus dibayar. Perbandingan
seperti ini disebut perbandingan senilai.
Pada perbandingan senilai, nilai suatu barang akan naik/turun sejalan dengan nilai barang
yang dibandingkan
2.Perbandingan Berbalik Nilai (Berbalik Harga)
Kalian telah mempelajari bahwa pada perbandingan senilai, nilai suatu barang akan
naik/turun sejalan dengan nilai barang yang dibandingkan. Pada perbandingan berbalik nilai,
hal ini berlaku sebaliknya.
E. Menggambar Grafik Perbandingan
Pada perbandingan senilai dan perbandingan berbalik nilai, dapat dibuat grafik
perbandingannya. Menurutmu, berupa apakah grafik perbandingan senilai dan berbalik nilai?
Untuk dapat menjawabnya, perhatikan uraian berikut.
a. Grafik perbandingan senilai
Tabel berikut menunjukkan hubungan antara jarak yang dapat ditempuh dan waktu yang
diperlukan oleh seorang siswa yang mengendarai sepeda.
Gambar di atas menunjukkan grafik dari tabel di atas. Tampak bahwa grafik perbandingan
senilai berupa garis lurus. Jika jarak bertambah (makin jauh), waktu yang dibutuhkan
bertambah (makin lama).
b. Grafik perbandingan berbalik nilai
Agar kalian mudah dalam membuat grafik perbandingan, buatlah tabel atau daftar terlebih
Jarak(km) 1 2 3 4 5 6
Waktu(menit) 3 6 9 12 15 18
dahulu.
F. Memecahkan masalah sehari-hari yang melibatkan konsep perbandingan
Jika kalian amati masalah dalam kehidupan sehari-hari,banyak di antaranya dapat
diselesaikan dengan konsep perbandingan. Untuk menyelesaikannya, tentukan terlebih
dahulu apakah perbandingan tersebut merupakan perbandingan senilai atau berbalik nilai.
Kemudian, selesaikan perhitungan sesuai dengan jenis perbandingannya. Contoh: Seorang
pedagang membeli 24 kg mangga seharga Rp42.000,00. Pada hari berikutnya, ia membeli 60
kg mangga dengan kualitas yang sama. Tentukan besarnya uang yang harus dibayar oleh
pedagang itu.
Penyelesaian:
Soal di samping termasuk perbandingan senilai, karena semakin banyak mangga yang dibeli,
harga yang harus dibayar juga makin bertambah.
Cara 1
Harga 24 kg mangga = Rp42.000,00
Harga 1 kg mangga =
Rp . 42 . 00024
= Rp1.750,00
Harga 60 kg mangga = 60 x Rp1.750,00
= Rp105.000,00
Jadi, pedagang tersebut harus membayar Rp105.000,00.
Cara 2
Banyak Mangga Harga yang Harus
( kg) Dibayar (Rp)
24 42.000
60 x
x=6024
x42 .000=105 .000
Jadi, pedagang tersebut harus membayar Rp105.000,00
Kerjakan soal-soal berikut!
1. Untuk menempuh jarak dua kota dengan kecepatan rata-rata 48 km/jam diperlukan waktu
12 jam. Tentukan lama perjalanan jika kecepatannya 60 km/jam.
2. Sebuah keluarga mempunyai persediaan beras yang cukup untuk 4 orang selama 24 hari.
Jika dalam keluarga itu bertambah 2 orang saudaranya, berapa hari persediaan beras tersebut
akan habis?
3. Skala denah suatu gedung diketahui 1 : 600. Denah tersebut berbentuk persegi panjang
dengan ukuran 5,5 cm 4,5 cm.
a. Berapakah ukuran sesungguhnya gedung tersebut?
b. Berapakah luas tanah yang diperlukan untuk membangun gedung tersebut?
c. Berapakah harga tanah seluruhnya,jika harga 1 m2 tanah tersebut Rp350.000,00?
4. Untuk memperbaiki jalan, diperlukan waktu 37 hari dengan jumlah pekerja 16 orang.
Setelah berjalan 7 hari, pekerjaan terhenti selama 6 hari. Tentukan tambahan pekerja yang
diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan itu tepat waktu.
HAND OUT PERKULIAHAN
Nama Mata Kuliah : Kapita Selekta Matematika I
Kode Mata Kuliah : MT 306
Jumlah SKS : 3 (Tiga)
Pertemuan ke : 7 (tujuh)
Pokok Bahasan : Himpunan dan unsur-unsurnya
A. PENGERTIAN HIMPUNAN DAN NOTASI HIMPUNAN
Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas,
sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak
termasuk dalam himpunan tersebut.
Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B,
C, ..., Z. Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis dengan
menggunakan pasangan kurung kurawal {...}.
Perhatikan kumpulan berikut ini:
a. Kumpulan lukisan indah.
b. Kumpulan wanita cantik di Indonesia.
Kumpulan lukisan indah tidak dapat disebut himpunan, karena lukisan indah menurut
seseorang belum tentu indah menurut orang lain. Dengan kata lain, kumpulan lukisan indah
tidak dapat didefinisikan dengan jelas. Demikian halnya dengan kumpulan wanita cantik di
Indonesia. Wanita cantik menurut seseorang belum tentu cantik menurut orang lain. Jadi,
kumpulan wanita cantik bukan termasuk himpunan.
B. MENYATAKAN ANGGOTA SUATU HIMPUNAN
Setiap benda (objek) yang terdapat di dalam himpunan di sebut anggota atau elemen dari
himpunan itu. Untuk menuliskan anggota himpunan dipakai notasi “ ”.
Contoh:
Bila A = {2,3,5,7}, maka:
2 termasuk di A, berarti 2 termasuk anggota A dan ditulis 2 A
3 termasuk di A, berarti 3 termasuk anggota A dan ditulis 3 A
4 tidak termuat di A, berarti 4 termasuk anggota A dan ditulis 4 bukan A
9 tidak termuat di A, berarti 9 termasuk anggota A dan ditulis 9 bukan A
Cara Menyatakan Himpunan
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara sebagai berikut:
a. Dengan kata-kata.
Dengan cara menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya.
Contoh: P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40, ditulis P = {bilangan prima
antara 10 dan 40}.
b. Dengan notasi pembentuk himpunan.
Sama seperti menyatakan himpunan dengan kata-kata, pada cara ini disebutkan semua
syarat/sifat keanggotannya. Namun, anggota himpunan dinyatakan dengan suatu peubah.
Peubah yang biasa digunakan adalah x atau y.
Contoh: P : {bilangan prima antara 10 dan 40}.
Dengan notasi pembentuk himpunan, ditulis P = {10 < x < 40, x ∈bilangan prima}.
c. Dengan mendaftar anggota-anggotanya.
Dengan cara menyebutkan anggota-anggotanya, menuliskannya dengan menggunakan
kurung kurawal, dan anggota-anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.
Contoh: P = {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}
A = {1, 2, 3, 4, 5}
HIMPUNAN BAGIAN
Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap anggota A juga menjadi anggota B
dan dinotasikan A ⊂B atau B ⊃A. Banyaknya semua himpunan bagian dari suatu himpunan
adalah 2n, dengan n banyaknya anggota himpunan tersebut
HIMPUNAN SEMESTA
Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota
atau objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta (semesta pembicaraan) biasanya
dilambangkan dengan S.
Contoh:
Tentukan tiga himpunan semesta yang mungkin dari himpunan berikut:
a. {2, 3, 5, 7}
b. {kerbau, sapi, kambing
Penyelesaian:
1. Misalkan A = {2, 3, 5, 7}, maka himpunan semesta yang mungkin dari himpunan A
adalah:
S = {bilangan prima} atau
S = {bilangan asli} atau
S = {bilangan cacah}.
c. Himpunan semesta yang mungkin dari {kerbau, sapi, kambing} adalah {binatang},
{binatang berkaki empat}, atau {binatang memamah biak}.
Diagram HimpunanTerdiri dari :
Diagram Venn
Diagram Garis
Diagram Cartess
C. Macam macam oprasi himpunan adalah sebagai berikut:
1. PERPADUAN
Perpaduan himpunan A dan B adalah himpunan dari semua elemen – elemen yang
termasuk dalam A atau B atau keduanya. Kita nyatakan perpaduan A dan B dengan
A U B
Atau dibaca “ perpaduan A dan B “
Contoh 1.1 yang diberi arsiran.
Dalam diagram venn diatas, menunujukkan A U B
Contoh 1.2 : misalkan S = {a,b,c,d} dan T= { r,s,c,u} , maka S U T = {a,b,c,d,r,s,u}
Contoh 1.3 : misal P himpunan bilangan- bilangan riil positif dan Q himpunan
bilangan – bilangan rill negative. Maka P U Q, yaitu perpaduan P dan Q, terdiri dari semua
bilangan rill kecuali nol.
Perpaduan A dan B dapat juga dituliskan
A U B = {x l x∈A atau x ∈ B}
Dari perpaduan diatas dapat disimpulkan :
a. sesuai perpaduan dua buah himpunan, maka berarti A ¿ B = B ¿ A
b. A dan B keduanya selalu berupa subhimpunan-subhimpunan dari A ¿ B, yaitu
A ⊂ (A U B) dan B ⊂ (A U B)
2. PERPOTONGAN
Perpotongan adalah himpunan dari elementer-elementer yand dimiliki bersama oleh
kedua himpunan. Dinyatakan dengan
A ∩ B
Dibaca “ perpotongan A dan B
Contoh 2.1 yang diberi arsiran.
Contoh 2.2 misalkanS={a,b,c,d} dan T={f,b,d,g}.Maka
S ∩ T = {b,d}
Perpotongan A dan B dapat juga di definisikan secara ringkas oleh
A ∩ B = {x | x∈ A, x ∈B}
Disini, tanda koma memiliki arti sama dengan “dan”
Pernyataan :
sesuai dengan definisi perpotongan 2 buah himpunan maka
A∩B = B∩A
Pernyataan:
Setiap himpunan A dan B mengandung A ∩ B sebagai subhimpunan , jadi
(A∩B) ⊂ A dan (A∩B) ⊂ B
Jika himpunan A dan B tidak mempunyai elemen yang dimiliki bersama, jadi berarti
A dan B terpisah maka perpotongan A dan Badalah himpunan kosong yaitu
A ∩ B =Ǿ.
3. SELISIH
Selisih himpunan A dan B adalah himpunan dari elemen yang termasuk A tetapi tidak
termasuk B.
A B
Yang dibaca “selisih A dan B” atau, secara singkat, “A kurang B”.
Contoh 3.1 diagram venn disamping
contoh 3.2 : misal S = {a,b,c,d} dan T={f,b,d,g} maka S T = {a,c}
contoh 3.1 : misalkan R himpunan bilangan riil dan Q himpunan bilangan rasional. Maka R
Q terdiri dari bilangan-bilangan irasional.
Selisih A dapat didefinisikan A dan B dapat juga didefinisikan secara ringkas oleh
A B = {x | x ∈ A , x ∉ B}
Pernyataan :
Himpunan A mengandung A −¿B sebagai subhimpunan,jadi berarti
(A−¿B)⊂A
Pernyataan :
Himpunan-himpunan (A−¿B), A∩B dan (B−¿A) saling terpisah,artinya perpotongan setiap
dua buah himpunan di atas adalah himpunan nol
Selisih dari A dan B kadang-kadang dinyatakan oleh A/B atau A ~ B.
4. Komplemen
Komplemen dari sebuah himpunanA adalah himpunan dari elemen-elemen yang tidak
termasuk A, yaitu, selisih dari himpunan semesta U dan A. Kita nyatakan komplemen dari A
dengan komplemen A dapat didefinisikan secara ringkas oleh atau,secara singkat
Α ' = { x | x∈¿ ,x ∉ Α }
Α ' = { x | x ∉ Α }
Kita nyatakan beberapa pernyataan mengenai himpunan-himpunan yang merupakan
akibat langsung dari definisi komplemen himpunan.
Pernyataan:
Penggabungan sembarang himpunan A dan komplemennya A’ adalah himpunan
semesta, yaitu
Α∪Α ' =U
Selanjutnya himpunan A dan komplemennya A terpisah, yaitu
Α∩Α '=φ
Pernyataan:
Komplemen himpunan Uadalah himpunan-nol φ , dan begitu pula sebaliknya,yaitu
U ' =φ dan φ ' = U
Pernyataan :
Komplemen dari komplemen himpunan A adalah himpunan A sendiri. Secara lebih
singkat, ( Α ' ) '=Α
Pernyataan kita yang berikut memperlihatkan bagaimana selisih dua buah himpunan
dapat didefinisikan dalam komplemen sebuah himpunan dan perpotongan dua buah
himpunan. Lebih terinci, kita peroleh hubungan mendasar berikut:
Pernyataan :
selisih A dan B sama dengan perpotongan A dan komplemen B, Α−Β=Α∩Β '
Bukti dari pernyataan tersebut adalah sebagai akibat langsung dari definisi:
Α−Β={ x|x∈ Α , x∈Β }={ x|x∈ Α , x∈Β ' }=Α∩Β '
D. SIFAT-SIFAT OPERASI HIMPUNAN
1. Sifat komutatif
A ∩ B = B ∩ A dan A U B = B U A
2. Sifat asosiatif
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C dan A U (B U C) = (A U B) U C
3. Sifat distributif
A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) dan A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
4. Hukum De Morgan
(A ∩ B)C = S AC ∩ BC dan (A U B)C = AC U BC
5. Hukum Identitas
A U A = A, A ∩ A = A, A U Ø = A , A ∩ Ø = Ø dan A U AC =S dan S ∩ AC = Ø
S U A = S, S ∩ A = A, dan (Ø)C = S , (S)C = Ø, dan (AC)C = A
6. Sifat dasar himpunan
n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – n (A U B) jika A ∩ B ≠ Ø
n(A U B) = n(A) + n(B) – n (A ∩ B) jika A U B ≠ Ø
n (A – B) = n(A) – n(A ∩ B)
7. Sifat Absorpsi
Α∩( Α∪Β )=Α,
Α∪( Α∩Β )=Α
8. Sifat Idempoten
Α∩Α=Α , Α∪Α=Α
E. TEOREMA-TEOREMA DALAM OPERASI HIMPUNAN
Operasi-operasi perpaduan, perpotongan,selisih dan komplemen mempunyai sifat-sifat yang
sederhana apabila himpunan-himpunan yang ditinjau dapat diperbandingkan. Teorema-
teorema berikut dapat dibuktikan :
TEOREMA I :Misalkan A subhimpunan B. Maka perpotongan A dan B adalah A,
jadi,bila Α⊂Β maka Α∩Β=Α
TEOREMA II : Misalkan A subhimpunan B. Maka perpaduan A dan B adalah
B, jadi,bila Α⊂Β maka Α∪Β=Β
TEOREMA III : Misalkan A sebuah subhimpunan B. Maka Β' adalah subhimpunan
Α ' , yaitu jika Α⊂Β maka Β' ⊂Α ' .
TEOREMA IV : Misalkan A sebuah subhimpunan dari B. Maka perpaduan A dan (B
−¿A) adalah B, yaitu, bila Α⊂Β maka A∪(B−A )=B
F. SOAL
PERPADUAN
1. Misalkan A = {1,2,3,4}, B={2,4,6,8} dan C={3,4,5,6}. Carilah ( a ) Α∪Β , ( b )
A∪C , ( c ) Β∪C , ( d ) Β∪Β .
2. Misalkan A,B dan C adalah himpunan-himpunan dalam soal 1. Carilah ( 1 ) ( Α∪Β )
¿C ,(2 ) Α∪( Β∪C ) .
PERPOTONGAN
1. Misalakan A = {1,2,3,4}, B = {2,4,6,8} dan C = {3,4,5,6}. Carilah (a) Α∩Β ,
(b ) Α∩C , (c ) Β∩C , (d ) Β∩Β .
2. Misalkan A,B dan C adalah himpunan-himpunan didalam soal 1. Carilah
(a ) ( Α∩Β )∩C (b ) Α∩(Β∩C ) .SELISIH
1. Misalkan A = {1,2,3,4}, B = {2,4,6,8} dan C = {3,4,5,6}. Carilah
(a ) ( Α−Β ) , (b ) (C−Α ) , (c ) (Β−C ) , (d ) (Β−Α ) , (e ) ( Β−Β ) .2. Berikan arsiran untuk selisih A dan B yaitu A – B dalam diagram-diagram Venn yang
diperlihatkan dalam soal 1.
KOMPLEMEN
1. Dalam digram-Venn di bawah ini, berikan arsiran untuk
a) sudut-sudut sehadap adalah:∠A1 dengan ∠B1∠A4 dengan ∠B4∠A2 dengan ∠B2∠B3 dengan ∠B3
b) sudut-sudut bertolak belakang∠A1 dengan ∠A3∠A2 dengan ∠A4∠B1 dengan ∠B3∠B2 dengan ∠B4
c) sudut-sudut berseberangan dalam (dalam berseberangan)∠A3 dengan ∠B1∠A4 dengan ∠B2
d) sudut-sudut berseberangan luar∠A2 dengan ∠B4∠A1 dengan ∠B3
e) sudut-sudut dalam sepihak∠A3 dengan ∠B2∠A4 dengan ∠B1
f) sudut-sudut luar sepihak∠A2 dengan ∠B3∠A1 dengan ∠B4
g) sudut-sudut berpelurus
∠A1 dengan ∠A2∠A1 dengan ∠A4∠A2 dengan ∠A3∠A3 dengan ∠A4∠B1 dengan ∠B2∠B1 dengan ∠B4∠B2 dengan ∠B3∠B3 dengan ∠B4
G. Melukis dan membagi sudut
Untuk menggambar sebuah sudut, misalnya <KLM dengan ukuran 600 , langkah-langkah
yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Gambarlah salah satu kaki <KLM, misalnya KL dengan L sebagai titik sudutnya
2. Letakkan busur derajat pada garis KL sedemikian sehingga garis nol padabusur
berimpit dengan garis KL dan titik L berimpit dengan titik tengah(pusat) busur.
3. Perhatikan angka nol pada busur yang berimpit dengan garis KL,ada yang terletak di
dalam dan di luar. Jika letak angka nol ada pada skala bagian luar, maka angka 60 yang
digunakan pada skala bagian luar. Jika angka nol ada pada skala bagian dalam maka
angka 60 yang digunakan pada skala bagian dalam. Beri tanda titik M pada posisi 600.
4. Lepas busur, kemudian tarik garis dari titik sudut L ke titik M yang sudah ditandai tadi.
Buat keterangan sudut 600 dengan garis lengkung dan arsiran.
HAND OUT PERKULIAHAN
Nama Mata Kuliah : Kapita Selekta Matematika I
Kode Mata Kuliah : MT 306
Jumlah SKS : 3 (Tiga)
Pertemuan ke : 10 (sepuluh)
Pokok Bahasan : Segi empat (jajar genjang, belah ketupat, layang-layang, dan
trapesium), segitiga, Menghitung besaran-besaran pada
segitiga
A. Segi empat
1. Jajaran Genjang
Perhatikan bentuk bangunan pada Gambar 1. Bangunan tersebut berbentuk segiempat di
mana sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar. Sekarang, Anda perhatikan
setiap sudut-sudut yang berhadapan pada ubin sama besar dan besar sudut-sudut yang
bersebelahan saling berpelurus. Bangun datar yang memiliki ciri-ciri seperti bangunan
pada Gambar 1 disebut jajargenjang. Penampang jajargenjang jika digambar akan
tampak sebagai berikut.
Gambar.1
AB = DC AD = BC
A = C B = D
dan A + D = A + B = B + C = C + D = 180°
Jika keempat sudut pada jajargenjang siku-siku maka akan terbentuk persegipanjang.
Seperti pada bangun datar lainnya, keliling jajargenjang adalah jumlah panjang keempat
sisinya, yaitu sebagai berikut.
K = AB + BC + CD + AD
Oleh karena AB = CD dan BC = AD maka
K = 2AB + 2BC
= 2(AB + BC)
Sebelum mempelajari luas jajargenjang, berikut Anda akan mempelajari terlebih dahulu
tinggi dan alas jajargenjang. Seperti pada segitiga, tinggi jajargenjang adalah garis yang
tegak lurus dengan kedua sisi jajargenjang yang berhadapan. Sisi yang tegak lurus
dengan tinggi disebut alas jajargenjang.
Luas jajargenjang adalah hasil kali alas dengan tingginya. Jika alas jajargenjang
dinyatakan dengan a dan tinggi jajargenjang dinyatakan dengan t maka luas jajargenjang
dapat dicari dengan rumus berikut. L = a × t
2. Belah Ketupat
Berbeda dengan persegi, belahketupat seperti pada Gambar 2 walaupun sama-sama
memiliki sisi-sisi yang sama panjang, pada belahketupat sudut-sudut yang berhadapan
adalah sama besar.
Perhatikan belahketupat ABCD berikut.
Gambar. 2
AB = BC = CD = AD
A = C dan B = D
Jika keempat sudut pada belahketupat siku-siku maka akan terbentuk persegi. Keliling
belahketupat adalah jumlah panjang keempat sisinya. Oleh karena keempat sisi
belahketupat sama panjang, maka keliling belahketupat sama dengan empat kali sisinya.
Perhatikan Gambar 2 di atas
Jika sisi belahketupat dinyatakan dengan s, keliling belahketupat adalah K = 4s
3. Layang-layang
Seperti namanya, layang-layang berbentuk seperti mainan layang-layang. Layang-layang
adalah salah satu bangun segiempat yang masing-masing pasangan sisinya sama panjang
dan sepasang sudut yang berhadapan sama besar.
Perhatikan gambar layang-layang ABCD berikut.
Keliling layang-layang adalah jumlah panjang keempat sisinya. Jika panjang sisi layang-
layang ABCD adalah AB, BC, CD, dan AD dengan AD = CD dan AB = CB maka
keliling layang-layang ABCD adalah K = 2(AD + AB)
Jika diagonal pada layang-layang ABCD adalah AC dan BD maka luas layang-layang
ABCD adalah
L= AC × BD2
B. Segitiga
Perhatikan Gambar. 1 Berikut.
Gambar.1
Perhatikan sisi-sisinya, ada berapa sisi-sisi yang membentuk segitiga ABC? Sisi-sisi
yang membentuk segitiga ABC berturut-turut adalah AB, BC, dan AC. Sudut-sudut yang
terdapat pada segitiga ABC sebagai berikut.
∠ A atau ∠BAC atau ∠ CAB.
∠ B atau ∠ ABC atau∠CBA.
∠C atau ∠ACB atau ∠ BCA.
Jadi, ada tiga sudut yang terdapat pada ∠ ABC. Dari uraian di atas dapat disimpulkan
sebagai berikut. Segitiga adalah bangun datar yang dibatasi oleh tiga buah sisi dan
mempunyai tiga buah titik sudut.
Segitiga biasanya dinotasikan dengan “∆”. Pada suatu segitiga setiap sisinya dapat
dipandang sebagai alas, dimana tinggi tegak lurus alas merupakan salah satu sisi dari suatu
segitiga, sedangkan tingginya adalah garis yang tegak lurus dengan sisi alas dan melalui titik
sudut yang berhadapan dengan sisi alas.
Perhatikan Gambar. 2 berikut.
Gambar. 2
Pada Gambar. 2 di atas, menunjukkan ∆ ABC jika
Alas = AB maka tinggi = CD (CD⊥ AB)
Alas = BC maka tinggi = AE (AE ⊥ BC)
Alas = AC maka tinggi = BF (BF ⊥ AC)
Terdapat macam-mcam bentuk segitiga, ditinjau dari panjang sisinya, besar sudutnya,
dan ditinjau dari panjang sisi dan besar sudutnya, antara lain:
Ditinjau dari panjang sisi-sisinya
Segitiga sebarang
Segitiga sebarang adalah segitiga yang sisi-sisinya tidak sama panjang. Pada Gambar. 3
(i) di bawah tampak bahwa AB≠ BC≠ AC.
Segitiga sama kaki
Segitiga sama kaki adalah segitiga yang mempunyai dua buah sisi yang sama panjang.
Pada Gambar (ii) di bawah segitiga sama kaki ABC dengan AB = BC
Segitiga sama sisi
Segitiga sama sisi adalah segitiga yang memiliki tiga buah sisi sama panjang dan tiga
buah sudut yang sama besar. Pada Gambar.3 (iii) tampak bahwa AB = BC = AC, dan ∠A = ∠ B = ∠ C
Gambar. 3
Ditinjau dari besar sudut-sudutnya
Segitiga lancip
Segitiga lancip adalah segitiga yang ketiga sudutnya merupakan sudut lancip, sehingga
sudut-sudut yang terdapat pada segitiga tersebut besarnya antara 00 dan 900. Pada
Gambar.4 (i) ketiga sudut ∆ ABC adalah sudut lancip.
Segitiga tumpul
Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut tumpul. Pada
Gambar 4(ii) tampak bahwa ∠ ABC adalah sudut tumpul.
Segitiga siku-siku
Segitia siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut siku-siku,
yakni 900.
Gambar. 4
Ditinjau dari panjang sisi dan besar sudutnya
Segitiga siku-siku sama kaki
Segitiga siku-siku sama kaki adalah segitiga yang keda sisinya sama panjang dan salah
satu sudutnya merupakan sudut siku-siku. (Lihat Gambar. 5)
Segitiga tumpul sama kaki
Segitiga tumpul sama kaki adalah segitiga yang kedua sisinya sama panjang dan salah
satu sudutnya merupakan sudut tumpul. (Lihat Gambar. 5)
Gambar. 5
Kesimpulan
Suatu segitiga yang mempunyai dua buah sisi yang sama panjang disebut segitiga
sama kaki
Suatu segitiga yang ketiga sisinya sama panjang disebut segitiga sama sisi
Jumlah besar sudut-sudut segitiga adalah 1800
Segitiga sama kaki dapat diperoleh dari dua segitiga siku-siku yang kongruen
Segitga sama kaki mempunyai dua sisi yang sama panjang, dan mempinyai dua sudut
yang sama besar yang berhadapan dengan sisi-sisi itu.
Segitiga sama kaki mempunyai saru sumbu simetri
Segitiga sama kaki dapat menempati bingkainya dengan dua cara
Segitiga sama sisi mempunyai tiga sisi yang sama panjang, dan mempunyai tiga sudut
yang sama besar
Segitiga sama sisi dapat menempati bingkaina dengan 6 cara
Segitiga sama sisi mempunyai tiga buah sumbu simetri
Keliling suatu segitiga
Jika K adalah panjang keliling suatu segitiga yang sama panjang sis-sisinya adalah a, b, c
satuan panjang maka:
K = a + b + c
Catatan Penting.
1. Pada setiap segitiga selalu berlaku bahwa jumlah dua buah sisinya selalu lebih
panjang dari pada sisi ketiga
2. Jika suatu segitiga memiliki sisi a, b, dan c maka akan berlaku salah satu dari
ketidak samaa berikut:
a. a+b>c b. a+c>b c. b+c>a
Ketidaksamaan tersebut dinamakan ketidaksamaan segitiga
HAND OUT PERKULIAHAN
Nama Mata Kuliah : Kapita Selekta Matematika I
Kode Mata Kuliah : MT 306
Jumlah SKS : 3 (Tiga)
Pertemuan ke : 11(sebelas)
Pokok Bahasan : Menyelesaikan bentuk aljabar, Menentukan faktor-faktor suku
aljabar, Menyelesaikan operasi pecahan bentuk aljabar
A. Bentuk Aljabar Dan Unsur-UnsurnyaPerhatikan ilustrasi berikut:
Bayak boneka rika 5 lebihnya dari boneka Desi. Jika banyak boneka Desy dinyatakan dengan x maka banyak boneka rika inyatakan dengan x +5. Jikaa boneka Desy sebanyak 4 buah maka boneka Rika sebanyak 9 buah.
Bentuk seperti (x+5) disebut bentuk aljabar.
Bentuk ajabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat hurup-hurup untuk mewakili bilangan-bilangan yang belum diketahui.
1. Variabel, konstanta, dan factorPerhatikan bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Pada bentuk variabr tetrsebut, huruf x dan y disebut variabel.
Variabel adalah lambang penganti sutu bilangan yang belumdi ketahui nilainya dengan jelas.
Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, …,z.
Adapun bilangan Sembilan pada bentuk aljabar di atas disebut konstanta.
Konstanta adalah sukudari suatau bentuk aljabar yang berupa biangan dan tidak memuat variabel.
Jika suatu bilangan a dapat di ubah menjadi a = p xq dengn a,p,q bilangn bulat,maka p dan q disebur faktor-faktor dari a.
Pada bentuk aljabar di atas ,5x dapat diuraikan sebagai 5x = 5 × x atau 5x = 1 ×5x. jadi, factor-faktor dari 5x adalah 1, 5,x,dan 5x.
Adapun yang dimaksud koefisien dalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar.
Perhatikan koefisien masing-masing suku pada bentuk aljabar 5x +3y +8x -6y + 9 . koefisien pada suku 5x adalah 5, pada suku 3y adalah 3 pada suku 8x adalah 8 dan pada suku -6y adalah -6 .
2. Suku sejenis dan suku tak sejenia suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki pariabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama
contoh :5x dan -2x, 3a2, dan a2,y dan 4y,……a b. suku-suku takes jenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing ariabel yang tidak sama.
Contoar : 2x dan -3x2, -y dan –x3, 5x dan -2y,….Contoh: tentukan kuefisien dari x2 dan vaktor dari masing-masing bentuk aljabar berikut.a. 7x2
b. 3x2 + 5c. 2x2 + 4x – 3penyelesaian:
a. 7x2 = 7 × x × xkoefisien dari x2 adalah 7Faktor dari 7x2 adalah 1,7,x, x2, 7x, dan 7x2
b. 3x2 +5 = 3 × x × x + 5 × 1koevisien dari x2 adalah 3factor dari 3x2 adalah 1, 3, x, x2, 3x, dan 3x2
factor dari 5 adalah 1 dan 5.
c. 2x2 + 4x – 3 = 2 × x × x + 4 × x -3 × 1
koefisien dari 2x2 adalah 2Faktor dari 2x2 adalah 1, 2, x, x2, dan 2xKoefisien dari 4x adalah 4
Faktor dari4x adalah 1, 4, x, dan 4x
Faktor dari -3 adalah -3, -1, 1, dan 3
B. Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar1. Penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar
Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan padasuku-suku yang sejenis.
Contoh:
Tentukan hasilpenjumlahan dan pengurangan bentuk aljabarberikut:
d. (a – 4)4 = 1a4+ 4 × a3 ×(-4)1 + 6 × a2 × (-4)2 + 4 × a × (-4)3 +1 × (-4)4
= a4 – 16 × a3 + 6a2 × 16 + 4a × (-64) + 1 × 256= a4 – 16a3 + 96a2 – 256a + 2564. PembagianHasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh dengan menentukan terlebih dahulu factor sekutu masing – masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilng dan penyebut.