7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 1/120
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 1/120
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 2/120
Diskretni signali i sistemi: analiza u vremenskom domenu
Sadržaj
Zadatak 1
Rešenje a)
Rešenje b)
Rešenje c)
Zadatak 2
Rešenje a)
Rešenje b)
Rešenje c)
Rešenje d)
Zadatak 3
Rešenje
Zadatak 4
Rešenje a)
Rešenje b)
Rešenje c)
Zadatak 5Rešenje
Zadatak 1
a) U programskom jeziku MATLAB generisati po trideset odbiraka diskretnih signala x(n) i h(n), definisanih izrazima,
x(n)=0.9nu(n), h(n)=0.8nu(n),
gde {u(n)} predstavlja jedinični odskočni niz.
b) Grafički prikazati ova dva signala.
c) Izračunati i grafički prikazati konvoluciju { y(n)} signala { x(n)} i {h(n)}.
Rešenje a)
clear all, close all;N=30;n=[0:N-1]';x=0.9.^n;h=0.8.^n;
Rešenje b)
figure,subplot(1,2,1),stem(n,x),xlabel('\itn'),ylabel('{\itx}({\itn})');subplot(1,2,2),stem(n,h),xlabel('\itn'),ylabel('{\ith}({\itn})');
etni signali i sistemi: analiza u vremenskom domenu file:///F:/glava01/glav
1 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 3/120
Rešenje c)
y1=conv(x,h);y2=conv(h,x);ny=[0:2*N-2]';figure,
subplot(1,2,1),stem(ny,y1),xlabel('\itn'),ylabel('{\ity}_1({\itn})');subplot(1,2,2),stem(ny,y2),xlabel('\itn'),ylabel('{\ity}_2({\itn})');
Zadatak 2
etni signali i sistemi: analiza u vremenskom domenu file:///F:/glava01/glav
1 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 4/120
a) Formirati diskretne nizove i predstaviti ih grafički:
x1(n)=sin(2πn/16), n=0, 1, ..., 63
x2(n)=sin(2π 1.3n/16), n=0, 1, ..., 63
x3(n)=sin(2π 17n/16), n=0, 1, ..., 63
x4(n)=sin(2πn/32), n=0, 1, ..., 63
x5(n)=sin(2πn/64), n=0, 1, ..., 63
Da li su svi dati nizovi periodični? Da li se odbirci nizova x1(n) i x3(n) razlikuju među sobom?
b) Formirati i grafički predstaviti na istom dijagramu eksponencijalne nizove:
h1(n)=0.9n, n=0, 1, ..., 63
h2(n)=0.8n, n=0, 1, ..., 63
h3(n)=0.7n, n=0, 1, ..., 63
c) Formirati i grafički predstaviti na istom dijagramu eksponencijalne nizove:
g 1(n)=(-0.9)n, n=0, 1, ..., 63
g 2(n)=(-0.8)n, n=0, 1, ..., 63
g 3(n)=(-0.7)n, n=0, 1, ..., 63
d) Odrediti i grafički predstaviti niz { x(n)} koji je proizvod nizova { x1(n)} i {h1(n)}.
Rešenje a)
clear all, close all;
n=[0:63]';x1=sin(2*pi*n/16);
x2=sin(2*pi*1.3*n/16);x3=sin(2*pi*17*n/16);x4=sin(2*pi*n/32);x5=sin(2*pi*n/64);
figure,subplot(5,1,1),stem(n,x1),ylabel('{\itx}_1({\itn})');subplot(5,1,2),stem(n,x2),ylabel('{\itx}_2({\itn})');
subplot(5,1,3),stem(n,x3),ylabel('{\itx}_3({\itn})');subplot(5,1,4),stem(n,x4),ylabel('{\itx}_4({\itn})');subplot(5,1,5),stem(n,x5),ylabel('{\itx}_5({\itn})'),xlabel('\itn');
etni signali i sistemi: analiza u vremenskom domenu file:///F:/glava01/glav
1 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 5/120
Rešenje b)
h1=0.9.^n;h2=0.8.^n;h3=0.7.^n;figure,
stem(n,[h1 h2 h3]),ylabel('{\ith}_1({\itn}), {\ith}_2({\itn}), {\ith}_3({\itn})'),xlabel('\itn'),
legend('{\ith}_1({\itn})','{\ith}_2({\itn})','{\ith}_3({\itn})');
etni signali i sistemi: analiza u vremenskom domenu file:///F:/glava01/glav
1 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 6/120
Rešenje c)
g1=(-0.9).^n;g2=(-0.8).^n;g3=(-0.7).^n;figure,stem(n,[g1 g2 g3]),ylabel('{\itg}_1({\itn}), {\itg}_2({\itn}), {\itg}_3({\itn})'),xlabel('\itn'),legend('{\itg}_1({\itn})','{\itg}_2({\itn})','{\itg}_3({\itn})');
Rešenje d)
y=x1.*h1;figure,stem(n,y),ylabel('{\ity}({\itn})'),xlabel('\itn');
etni signali i sistemi: analiza u vremenskom domenu file:///F:/glava01/glav
1 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 7/120
Zadatak 3
Formirati i grafički predstaviti diskretne kosinusne nizove: x(n)=cos(ωn), n=0, 1, ..., 31 za različite vrednosti ω. Frekvencija
uzima sledeće vrednosti:
ωk =2πωk /16, k =0, 1, ...,17.
Da li se brzina promene diskretnog niza uvek povećava sa porastom frekvencije ω?
Rešenje
clear all, close all;n=[0:31]';for k=0:17 x(:,k+1)=cos(2*pi*k/16*n);end;figure,for br=1:9 subplot(9,2,2*br-1),stem(n,x(:,br)),xlim([0 31]), ylabel(['{\itx}_{' num2str(br-1) '}({\itn})']);
if br==9, xlabel('\itn'), end; subplot(9,2,2*br),stem(n,x(:,18-br+1)),xlim([0 31]), ylabel(['{\itx}_{' num2str(18-br) '}({\itn})']);
if br==9, xlabel('\itn'), end;end;
cf=gcf;set(cf,'position',[0 0 800 600]);
etni signali i sistemi: analiza u vremenskom domenu file:///F:/glava01/glav
1 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 8/120
Zadatak 4
Za date parove diskretnih nizova izračunati i grafčki predstaviti njihove konvolucije. Kolike su dužine nizova dobijenih
konvolucijom?
a)
b)
c)
etni signali i sistemi: analiza u vremenskom domenu file:///F:/glava01/glav
1 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 9/120
Rešenje a)
clear all, close all;lx1=30; lh1=10; ly1=lx1+lh1-1;nx1=[0:lx1-1]';
x1=ones(size(nx1));nh1=[0:lh1-1]';h1=ones(size(nh1));ny1=[0:ly1-1]';y1=conv(x1,h1);figure,subplot(3,1,1),stem(nx1,x1),xlim([0 ly1-1]),ylabel('{\itx}_1({\itn})');subplot(3,1,2),stem(nh1,h1),xlim([0 ly1-1]),ylabel('{\ith}_1({\itn})');subplot(3,1,3),stem(ny1,y1),xlim([0 ly1-1]),ylabel('{\ity}_1({\itn})'),xlabel('{\itn}');
Rešenje b)
lx2=30; lh2=20; ly2=lx2+lh2-1;
nx2=[0:lx2-1]';x2=0.9.^nx2;nh2=[0:lh2-1]';
h2=ones(size(nh2));ny2=[0:ly2-1]';y2=conv(x2,h2);
figure,subplot(3,1,1),stem(nx2,x2),xlim([0 ly2-1]),ylabel('{\itx}_2({\itn})');subplot(3,1,2),stem(nh2,h2),xlim([0 ly2-1]),ylabel('{\ith}_2({\itn})');subplot(3,1,3),stem(ny2,y2),xlim([0 ly2-1]),ylabel('{\ity}_2({\itn})'),xlabel('{\itn}');
etni signali i sistemi: analiza u vremenskom domenu file:///F:/glava01/glav
1 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 10/120
Rešenje c)
lx3=15; lh3=10; ly3=lx3+lh3-1;nx3=[0:lx3-1]';x3=0.5*ones(size(nx3));nh3=[0:lh3-1]';
h3=sin(0.2*pi*nh3);ny3=[0:ly3-1]';y3=conv(x3,h3);
figure,subplot(3,1,1),stem(nx3,x3),xlim([0 ly3-1]),ylabel('{\itx}_3({\itn})');subplot(3,1,2),stem(nh3,h3),xlim([0 ly3-1]),ylabel('{\ith}_3({\itn})');
subplot(3,1,3),stem(ny3,y3),xlim([0 ly3-1]),ylabel('{\ity}_3({\itn})'),xlabel('{\itn}');
etni signali i sistemi: analiza u vremenskom domenu file:///F:/glava01/glav
1 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 11/120
Zadatak 5
Ulazno-izlazna relacija kauzalnog sistema data je diferencnom jednačinom prvog reda:
y(n)= x(n)+0.8 y(n-1).
Odrediti i grafički predstaviti prvih 40 odbiraka izlaznog signala ako je sistem pobuđen nizom { x3(n)} iz zadatka 4.
Rešenje
clear all, close all;lx=15;
n=[0:lx-1]';x=0.5*ones(size(n));ly=40;n=[0:ly-1]';x(ly)=0;y(1)=x(1);for br=2:ly y(:,br)=x(br)+0.8*y(:,br-1);end;figure,subplot(2,1,1),stem(n,x),ylabel('{\itx}({\itn})');subplot(2,1,2),stem(n,y),ylabel('{\ity}({\itn})'),xlabel('{\itn}');
etni signali i sistemi: analiza u vremenskom domenu file:///F:/glava01/glav
11 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 12/120
Published with MATLAB® 7.8
etni signali i sistemi: analiza u vremenskom domenu file:///F:/glava01/glav
11 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 13/120
Furijeova transformacija
Sadržaj
Zadatak 1
Rešenje
Zadatak 2
Rešenje
Zadatak 3
Rešenje
Zadatak 4
Rešenje
Zadatak 5
Rešenje
Zadatak 6
Rešenje
Zadatak 7
Rešenje
Zadatak 8
Rešenje a)
Rešenje b)
Rešenje c)
Zadatak 9
Rešenje a)
Rešenje b)
Rešenje c)
Zadatak 10
Rešenje a)
Rešenje b)
Zadatak 1
U programskom jeziku MATLAB generisati i prikazati u opsegu 0≤ω≤2π amplitudski i fazni spektar signala { x1(n)} i
{ x2(n)}, definisanih izrazima,
x1(n)=0.9nu(n), x2(n)=(-0.9)nu(n),
gde u(n) predstavlja jedinični odskočni niz.
Rešenje
clear all, close all;Nw=100;[X1,w]=freqz(1,[1 -0.9],Nw,'whole');[X2,w]=freqz(1,[1 0.9],Nw,'whole');figure,plot(w,abs(X1),w,abs(X2)),xlabel('\it\omega'),ylabel('|{\itX}_{1,2}({\ite^{j\omega}})|'),
legend('{\ita}=0.9','{\ita}=-0.9'),xlim([0 2*pi]);figure,plot(w,angle(X1),w,angle(X2)),xlabel('\it\omega'),ylabel('arg[{\itX}_{1,2}({\ite^{j\omega}})]'),
legend('{\ita}=0.9','{\ita}=-0.9'),xlim([0 2*pi]);
Zadatak 2
Generisati nizove { x1(n)}, { x2(n)} i { x3(n)} a zatim izračunati i grafički prikazati njihove amplitudske i fazne spektre u
opsegu 0≤ω≤π .
Rešenje
clear all, close all;
eova transformacija file:///F:/glava02/glav
09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 14/120
nx1=[0:15]';
x1=ones(size(nx1));nx2=[0:31]';x2=ones(size(nx2));nx3=[0:63]';x3=ones(size(nx3));Nw=100;[X1,w]=freqz(x1,1,Nw);
[X2,w]=freqz(x2,1,Nw);[X3,w]=freqz(x3,1,Nw);figure,plot(w/pi,abs(X1),w/pi,abs(X2),w/pi,abs(X3)),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('|{\itX}_{1,2,3}({\ite^{j\omega}})|'),legend('{\itX}_1({\ite^{j\omega}})','{\itX}_2({\ite^{j\omega}})','{\itX}_3({\ite^{j\omega}})'),xlim([0 1]);figure,
plot(w/pi,angle(X1),w/pi,angle(X2),w/pi,angle(X3)),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('arg[{\itX}_{1,2,3}({\ite^{j\omega}})]'),legend('{\itX}_1({\ite^{j\omega}})','{\itX}_2({\ite^{j\omega}})','{\itX}_3({\ite^{j\omega}})'),xlim([0 1]);
Zadatak 3
Generisati trougaoni niz {w(n)} dužine N =9. Izračunati i grafički prilkazati amplitudski i fazni spektar ovoga niza u opsegu
0≤ω≤π .
Rešenje
clear all, close all;N=9;n=[0:N-1]';
w(1+(0:(N-1)/2),1)=n(1+(0:(N-1)/2));w(1+((N+1)/2:(N-1)),1)=N-1-n(1+((N+1)/2:(N-1)));Nw=100;[W,omega]=freqz(w,1,Nw);figure,subplot(3,1,1),stem(n,w),xlabel('\itn'),ylabel('{\itw}({\itn})'),xlim([0 N-1]);
subplot(3,1,2),plot(omega/pi,abs(W)),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('|{\itW}({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 1]);subplot(3,1,3),plot(omega/pi,angle(W)),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('arg[{\itW}({\ite^{j\omega}})]'),xlim([0 1]);
eova transformacija file:///F:/glava02/glav
09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 15/120
Zadatak 4
Generisati niz {h(n)}. Izračunati i grafički prikazati njegov amplitudski i fazni spektar u opsegu 0≤ω≤π .
Rešenje
clear all, close all;N=9;n=[0:N-1]';h=sin(2*pi*n/16).^2;Nw=100;
[H,w]=freqz(h,1,Nw);figure,subplot(3,1,1),stem(n,h),xlabel('\itn'),ylabel('{\ith}({\itn})'),xlim([0 N-1]);subplot(3,1,2),plot(w/pi,abs(H)),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('|{\itH}({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 1]);
subplot(3,1,3),plot(w/pi,angle(H)),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('arg[{\itH}({\ite^{j\omega}})]'),xlim([0 1]);
Zadatak 5
Dat je neparno simetričan niz {h(n)} čiji su članovi: h(0)=-1/2, h(1)=1, h(2)=-1, h(3)=1/2 i h(n)=0 za svako drugo n.
Grafički predstaviti niz {h(n)}. Izračunati i grafički predstaviti njegov amplitudski i fazni spektar u opsegu 0≤ω≤π .
Rešenje
clear all, close all;h=[-1/2 1 -1 1/2]';N=length(h);n=[0:N-1]';Nw=100;[H,w]=freqz(h,1,Nw);
figure,subplot(3,1,1),stem(n,h),xlabel('\itn'),ylabel('{\ith}({\itn})'),xlim([0 N-1]);subplot(3,1,2),plot(w/pi,abs(H)),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('|{\itH}({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 1]);
subplot(3,1,3),plot(w/pi,angle(H)),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('arg[{\itH}({\ite^{j\omega}})]'),xlim([0 1]);
Zadatak 6
Formirati niz {v(n)} definisan kao proizvod nizova {w(n)} i {h(n)} koji su dati u zadacima 3 i 4. Grafički predstaviti niz
{v(n)}. Izračunati i grafički predstaviti amplitudski i fazni spektar niza {v(n)} u opsegu 0≤ω≤π .
eova transformacija file:///F:/glava02/glav
09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 16/120
Rešenje
clear all, close all;N=9;n=[0:N-1]';w(1+(0:(N-1)/2),1)=n(1+(0:(N-1)/2));w(1+((N+1)/2:(N-1)),1)=N-1-n(1+((N+1)/2:(N-1)));
h=sin(2*pi*n/16).^2;v=w.*h;Nw=100;[V,omega]=freqz(v,1,Nw);figure,subplot(3,1,1),stem(n,[w h v]),xlabel('\itn'),ylabel('{\itv}({\itn})'),xlim([0 N-1]),legend('{\itw}({\itn})','{\ith}({\itn})','{\itv}({\itn})','Location','NorthEastOutside');
subplot(3,1,2),plot(omega/pi,abs(V)),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('|{\itV}({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 1]);subplot(3,1,3),plot(omega/pi,angle(V)),
xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('arg[{\itV}({\ite^{j\omega}})]'),xlim([0 1]);
Zadatak 7
Dati su signali { x1(n)} i { x2(n)}, gde je
a) Formirati i grafički predstaviti signal { x(n)} koji predstavlja konvoluciju signala { x1(n)} i { x2(n)}.
b) Izračunati i grafički predstaviti amplitudski spektar signala { x(n)} u opsegu 0≤ω≤π .
c) Rezultat uporediti sa rešenjem zadatka br. 3.
Rešenje
clear all, close all;
Nw=9;nw=[0:Nw-1]';w(1+(0:(Nw-1)/2),1)=nw(1+(0:(Nw-1)/2));
w(1+((Nw+1)/2:(Nw-1)),1)=Nw-1-nw(1+((Nw+1)/2:(Nw-1)));Nomega=100;[W,omega]=freqz(w,1,Nomega);Nx1=5;
nx1=[0:Nx1-1]';x1=ones(size(nx1));x=conv(x1,x1);Nx=Nx1+Nx1-1;
nx=[0:Nx-1]';[X,omega]=freqz(x,1,Nomega);figure,
subplot(3,1,1),stem(nw,w),hold on,stem(nx,x,'filled'),xlabel('\itn'),ylabel('{\itw}({\itn}), {\itx}({\itn})'),xlim([0 Nw-1]),legend('{\itw}({\itn})','{\itx}({\itx})','Location','NorthEastOutside');subplot(3,1,2),plot(omega/pi,abs([W X])),
xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('|{\itW}({\ite^{j\omega}})|,|{\itX}({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 1]),
legend('{\itW}({\ite^{j\omega}})','{\itX}({\ite^{j\omega}})','Location','NorthEastOutside');subplot(3,1,3),plot(omega/pi,angle([W X])),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('arg[{\itW}({\ite^{j\omega}})],arg[{\itX}({\ite^{j\omega}})]'),xlim([0 1]),legend('{\itW}({\ite^{j\omega}})','{\itX}({\ite^{j\omega}})','Location','NorthEastOutside');
eova transformacija file:///F:/glava02/glav
09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 17/120
Zadatak 8
a) Formirati kosinusne signale
x1(n)=cos(2πn·32/256), 0≤n≤255,
x2(n)=cos(2πn·100/256), 0≤n≤255.
b) Izračunati i prikazati amplitudski spektar signala { y1(n)} u opsegu 0≤ω≤π ., gde je
y1(n)=0.4 x1(n)+0.9 x2(n).
c) Izračunati i prikazati amplitudski spektar signala { y2(n)} u opsegu 0≤ω≤π , gde je
y2(n)= x1(n) x2(n).
Rešenje a)
clear all, close all;
N=256;N1=32;N2=100;n=[0:N]';
x1=cos(2*pi*n*N1/N);x2=cos(2*pi*n*N2/N);Nomega=1000;
[X1,omega]=freqz(x1,1,Nomega);[X2,omega]=freqz(x2,1,Nomega);figure,subplot(2,1,1),stem(n,[x1 x2]),xlabel('\itn'),ylabel('{\itx}_{1,2}({\itn})'),xlim([0 N/16-1]),
legend('{\itx}_1({\itn})','{\itx}_2({\itn})','Location','NorthEastOutside');subplot(2,1,2),plot(omega/pi,abs([X1 X2])),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('|{\itX}_{1,2}({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 1]),legend('{\itX}_1({\ite^{j\omega}})','{\itX}_2({\ite^{j\omega}})','Location','NorthEastOutside');
Rešenje b)
y1=0.4*x1+0.9*x2;[Y1,omega]=freqz(y1,1,Nomega);figure,
subplot(3,1,1),plot(omega/pi,abs(X1)),ylabel('|{\itX}_1({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 1]);subplot(3,1,2),plot(omega/pi,abs(X2)),ylabel('|{\itX}_2({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 1]);subplot(3,1,3),plot(omega/pi,abs(Y1)),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('|{\itY}_1({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 1]);
eova transformacija file:///F:/glava02/glav
09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 18/120
Rešenje c)
y2=x1.*x2;[Y2,omega]=freqz(y2,1,Nomega);figure,
subplot(3,1,1),plot(omega/pi,abs(X1)),ylabel('|{\itX}_1({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 1]);subplot(3,1,2),plot(omega/pi,abs(X2)),ylabel('|{\itX}_2({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 1]);subplot(3,1,3),plot(omega/pi,abs(Y2)),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('|{\itY}_2({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 1]);
Zadatak 9
a) Formirati signale { x1(n)}, { x2(n)} i { x3(n)},
x1(n)=0.9ncos(2πn·32/256), 0≤n≤255,
x2(n)=0.8ncos(2πn·32/256), 0≤n≤255,
x3(n)=0.5ncos(2πn·32/256), 0≤n≤255.
b) Grafički prikazati prvih 50 odbiraka signala { x1(n)}, { x2(n)} i { x3(n)}.
c) Izračunati i prikazati amplitudske spektre signala { x1(n)}, { x2(n)} i { x3(n)} u opsegu 0≤ω≤π .
Rešenje a)
clear all, close all;N=256;
n=[0:N-1]';x1=0.9.^n.*cos(2*pi*n*32/N);x2=0.8.^n.*cos(2*pi*n*32/N);x3=0.5.^n.*cos(2*pi*n*32/N);
Rešenje b)
figure,stem(n,[x1 x2 x3]),,xlabel('\itn'),ylabel('{\itx}_{1,2,3}({\itn})'),xlim([0 49]),legend('{\itx}_1({\itn})','{\itx}_2({\itn})','{\itx}_3({\itn})','Location','NorthEastOutside');
eova transformacija file:///F:/glava02/glav
09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 19/120
Rešenje c)
Nomega=1000;[X1,omega]=freqz(x1,1,Nomega);[X2,omega]=freqz(x2,1,Nomega);
[X3,omega]=freqz(x3,1,Nomega);figure,plot(omega/pi,abs([X1 X2 X3])),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('|{\itX}_{1,2,3}({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 1]),legend('{\itX}_1({\ite^{j\omega}})','{\itX}_2({\ite^{j\omega}})','{\itX}_3({\ite^{j\omega}})','Location','NorthEastOutside');
Zadatak 10
a) Formirati realni signal { x(n)} i kompleksni signal { y(n)}:
x(n)=0.8n, 0≤n≤255,
y(n)=0.8nexp( j2πn·32/256), 0≤n≤255.
b) Izračunati i grafički prikazati:
amplitudske spektre signala { x(n)} i { y(n)} u opsegu 0≤ω≤π ,
fazne spektre signala { x(n)} i { y(n)} u opsegu 0≤ω≤π ,
realne i imaginarne delove spektara signala { x(n)} i { y(n)} u opsegu 0≤ω≤π .
Rešenje a)
clear all, close all;N=256;
n=[0:N-1]';x=0.8.^n;y=0.8.^n.*exp(j*2*pi*n*32/256);
Rešenje b)
Nomega=1000;[X,omega]=freqz(x,1,Nomega,'whole');[Y,omega]=freqz(y,1,Nomega,'whole');
figure,plot(omega/pi,abs([X Y])),ylabel('|{\itX}({\ite^{j\omega}})|, |{\itY}({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 2]),legend('{\itX}({\ite^{j\omega}})','{\itY}({\ite^{j\omega}})','Location','NorthEastOutside');figure,plot(omega/pi,angle([X Y])),ylabel('arg[{\itX}({\ite^{j\omega}})], arg[{\itY}({\ite^{j\omega}})]'),xlim([0 2]),legend('{\itX}({\ite^{j\omega}})','{\itY}({\ite^{j\omega}})','Location','NorthEastOutside');figure,plot(omega/pi,[real([X Y]) imag([X Y])]),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('Re/Im({\itX}({\ite^{j\omega}})), Re/Im({\itY}({\ite^{j\omega}}))'),xlim([0 2]),legend('Re({\itX}({\ite^{j\omega}}))','Re({\itY}({\ite^{j\omega}}))','Im({\itX}({\ite^{j\omega}}))','Im({\itY}({\ite^{j\omega}}))','Location','NorthEastOutside');
eova transformacija file:///F:/glava02/glav
09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 20/120
Published with MATLAB® 7.8
eova transformacija file:///F:/glava02/glav
09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 21/120
Z transformacija
Sadržaj
Zadatak 1
Rešenje a)
Rešenje b)
Rešenje c)
Zadatak 2
Rešenje
Zadatak 3
Rešenje a)Rešenje b)
Rešenje c)
Rešenje d)
Zadatak 4
Rešenje a)
Rešenje b)
Zadatak 5
Rešenje a)
Rešenje b)
Zadatak 1
Generisati diskretni signal { x(n)} definisan izrazom,
x(n)=anu(n),
Signal u(n) predstavlja jedinični odskočni niz, dok vrednost konstante a iznosi 0.9.
a) Prikazati grafički prvih četrdeset odbiraka dobijenog diskretnog signala.
b) Odrediti izraz za njegovu z transformaciju i odrediti oblast konvergencije z transformacije.
c) Prikazati raspored nula i polova ove transformacije u z ravni.
d) Prikazati amplitudski spektar ovog signala.
Rešenje a)
clear all;close all;N=40;n=(0:N-1)';a=0.9;x=a.^n;figure,stem(n,x),xlabel('\itn'),ylabel('{\itx}({\itn})');
Rešenje b)
disp('Sabiranjem konvergentnog niza {x(n)} dobija se X(z)=z/(z-a).');
Sabiranjem konvergentnog niza {x(n)} dobija se X(z)=z/(z-a).
Rešenje c)
nsformacija file:///F:/glava03/glav
09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 22/120
figure,subplot(2,1,1),zplane(1,[1 -a]); % funkcija zplane kada su ulazni nizovi vrste podrazumeva da su to koef. polinoma pa prvo sračuna nule i polovesubplot(2,1,2),zplane(0,a); % funkcija zplane kada su ulazni nizovi kolone podrazumeva da su to nule i poloviNomega=1000;[X,omega]=freqz(1,[1 -a],Nomega);figure,plot(omega/pi,abs(X)),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('|{\itX}({\ite^{j\omega}})|');
Zadatak 2
Dati su diskretni signali { x(n)} i {h(n)}, definisani izrazima,
Izračunati konvoluciju ova dva signala i pokazati da je z transformacija njihove konvolucije proizvod z transformacija
pojedinačnih signala.
Rešenje
clear all; close all;x=[1 1]';
h=[1 0.5]';y=conv(x,h);disp('dobijena konvolucija y(n):');disp(y);disp('Z transformacija signala x(n) je:');disp('X(z)=1+z^(-1)');disp('Z transformacija signala h(n) je:');disp('H(z)=1+0.5z^(-1)');X=[1 1]';H=[1 0.5]';Y=conv(X,H); % funkcija conv se može koristiti i za množenje polinomadisp('Z transformacija signala y(n) je:');Y_str=num2str(y(1));
nsformacija file:///F:/glava03/glav
09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 23/120
for br=2:length(y) Y_str=[Y_str '+' num2str(y(br)) 'z^(-' num2str(br-1) ')'];end;disp(['Y(z)=' Y_str]);disp('Proizvod Z transformacija signala x(n) i h(n) je:');XxH_str=num2str(Y(1));for br=2:length(Y) XxH_str=[XxH_str '+' num2str(Y(br)) 'z^(-' num2str(br-1) ')'];end;disp(['X(z)H(z)=' XxH_str]);
dobijena konvolucija y(n): 1.0000 1.5000 0.5000
Z transformacija signala x(n) je:X(z)=1+z^(-1)Z transformacija signala h(n) je:H(z)=1+0.5z^(-1)
Z transformacija signala y(n) je:Y(z)=1+1.5z^(-1)+0.5z^(-2)Proizvod Z transformacija signala x(n) i h(n) je:X(z)H(z)=1+1.5z^(-1)+0.5z^(-2)
Zadatak 3
Za sisteme opisane datim diferencnim jednačinama izračunati z transformaciju njihovog impulsnog odziva, {h(n)}, i nacrtati
raspored nula i polova u z ravni:
a) y(n)= x(n)- x(n-5);
b) y(n)= x(n)+ x(n-5);
c) y(n)=2r cos(q) y(n-1)+r 2 y(n-2)+ x(n), q=π /4, r =0.9.
d) y(n)=2r cos(q) y(n-1)-r 2 y(n-2)+ x(n), q=π /4, r =0.9.
Rešenje a)
clear all; close all;h1=[1 0 0 0 0 -1];figure,zplane(h1,1);
Rešenje b)
h2=[1 0 0 0 0 1];figure,zplane(h2,1);
nsformacija file:///F:/glava03/glav
09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 24/120
Rešenje c)
b3=1;r=0.9; q=pi/4;a3=[1 -2*r*cos(q) -r^2];figure,zplane(b3,a3);
[h3,nh3]=impz(b3,a3);figure,stem(nh3,h3),xlabel('\itn'),ylabel('{\ith}_3({\itn})');
Rešenje d)
nsformacija file:///F:/glava03/glav
09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 25/120
b4=1;r=0.9; q=pi/4;a4=[1 -2*r*cos(q) r^2];figure,zplane(b4,a4);[h4,nh4]=impz(b4,a4);figure,stem(nh4,h4),xlabel('\itn'),ylabel('{\ith}_4({\itn})');
Zadatak 4
Izračunati z transformaciju datih nizova. Nacrtati raspored nula i polova izračunatih z transformacija i na osnovu crteža
odrediti da li su posmatrani sistemi stabilni.
a)
b)
Rešenje a)
clear all; close all;Nh1=20;n1=(0:Nh1-1);h1=(-1).^n1;figure,stem(n1,h1),xlabel('\itn'),ylabel('{\ith}_1({\itn})');figure,zplane(h1,1),text(.2,.2,'sistem je stabilan.');
nsformacija file:///F:/glava03/glav
09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 26/120
Rešenje b)
disp('H(z)=z/(z+1)');
b2=1;a2=[1 1];[h2,n2]=impz(b2,a2);figure,stem(n2,h2),xlabel('\itn'),ylabel('{\ith}_2({\itn})');figure,zplane(b2,a2),text(.2,.2,'sistem je nestabilan.');
H(z)=z/(z+1)
nsformacija file:///F:/glava03/glav
09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 27/120
Zadatak 5
Data je funkcija prenosa:
a) Za različite vrednosti parametra ρ (npr. ρ=0.5, 0.9 i 0.99) nacrtati raspored nula i polova date z transformacije.
b) Izračunat i | H (e jω)| korišćenjem funkcije freqz, rezultat predstaviti grafički i na osnovu crteža proveriti da li ova
amplitudska karakteristika ima konstantnu vrednost za svako ω.
Rešenje a)
clear all; close all;ro=[0.5 0.9 0.99];for br=1:length(ro) b(br,:)=[1 -1/ro(br)];
a(br,:)=[1 -ro(br)];end;boja=[0 0 1; 0 0.5 0; 1 0 0];for br=1:length(ro) nule(:,br)=roots(b(br,:)); polovi(:,br)=roots(a(br,:)); [hZ(br),hP(br),hl]=zplane(nule(:,br),polovi(:,br)); set(hZ(br),'color',boja(br,:)); set(hP(br),'color',boja(br,:)); hold onend;xlim([-2.1 2.1]);ylim([-2.1 2.1]);h=[hZ;hP];h=h(:);legend(h,'{\it\rho}=.5','','{\it\rho}=.9','','{\it\rho}=.99','');title('Raspored nula i polova funkcije prenosa {\itH}({\itz})');
nsformacija file:///F:/glava03/glav
09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 28/120
Rešenje b)
for br=1:length(ro) [H(:,br),w]=freqz(b(br,:),a(br,:));end;figure,plot(w/pi,abs(H)),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('|{\itH}({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 1]),ylim([.5 2.1]),
legend('{\it\rho}=.5','{\it\rho}=.9','{\it\rho}=.99');
Published with MATLAB® 7.8
nsformacija file:///F:/glava03/glav
09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 29/120
Diskretna Furijeova transformacija (DFT)
Sadržaj
Zadatak 1
Rešenje a)
Rešenje b)
Zadatak 2
Rešenje a)
Rešenje b)Zadatak 3
Rešenje
Zadatak 4
Rešenje a)
Rešenje b)
Rešenje c)
Rešenje d)
Zadatak 5
Rešenje
Zadatak 6
Rešenje
Zadatak 1
Dat je signal { x(n)}, definisan izrazom,
a) Izračunati i grafički prikazati Furijeovu transformaciju ovog signala.
b) Signal { x p(n)}, je dobijen periodičnim produžavanjem signala { x(n)}, sa periodom N =7. Izračunati i grafički prikazati
DFT signala { x p(n)}.
Rešenje a)
clear all, close all;N=7;x=ones(N,1);xc=x;xc(2*N)=0;n=(0:2*N-1)';figure,stem(n,xc),xlabel('\itn'),ylabel('{\itx({\itn})}');[X,w]=freqz(x,1,'whole');figure,plot(w/pi,abs(X)),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('|{\itX}({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 2]);
etna Furijeova transformacija (DFT) file:///F:/glava05/glav
09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 30/120
Rešenje b)
xp=[x;x];
Xp=fft(xp);k=(0:length(Xp)-1)';figure,stem(k,abs(Xp)),xlabel('\itk'),ylabel('|{\itX}({\itk})|'),xlim([-0.5 (max(k)+0.5)]);
etna Furijeova transformacija (DFT) file:///F:/glava05/glav
09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 31/120
Zadatak 2
Dat je signal x(t ), definisan izrazom,
x(t )=cos(2πf 1t )+cos(2πf 2t ).
Diskretni signal { x(n)} sadrži sto odbiraka signala x(t ), dobijenih sa frekvencijom odabiranja f s=1 kHz. Primenom DFT
izračunati amplitudski spektar signala i prikazati ga u opsegu frekvencija od 0 Hz do 500 Hz za,
a) f 1=200 Hz, f 2=240 Hz;
b) f 1=207 Hz, f 2=213 Hz.
Rešenje a)
clear all, close all;N=100;fs=1000;t=(0:N-1)'/fs;f1=200; f2=240;
xa=cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t);Xa=fft(xa);fa=[0:length(Xa)-1]/length(Xa)*fs;
figure,stem(fa(1:N/2),abs(Xa(1:N/2))),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('DFT({\itx_a})'),xlim([0 500]),legend(['\Delta{\itf}=' num2str(fs/N)]);
etna Furijeova transformacija (DFT) file:///F:/glava05/glav
09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 32/120
Rešenje b)
f1=207; f2=213;xb=cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t);
Xb=fft(xb);fb=[0:length(Xb)-1]/length(Xb)*fs;figure,stem(fb(1:N/2),abs(Xb(1:N/2))),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('DFT({\itx_b})'),xlim([0 500]),legend(['\Delta{\itf}=' num2str(fs/N)]);
Zadatak 3
Dati su diskretni signali { x(n)} i {h(n)},
{ x(n)}={1,2,3} i {h(n)}={1,2,3}.
Izračunati i grafički prikazati linearnu i cikličnu konvoluciju ova dva signala. Kružnu konvoluciju izračunati direktno i
preko DFT.
Rešenje
etna Furijeova transformacija (DFT) file:///F:/glava05/glav
09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 33/120
clear all, close all;x=[1 2 3]';h=[1 2 1]';yl=conv(x,h);
for br=0:length(x)-1 yc(br+1)=0;
for br_sum=0:length(x)-1 ind_h=br-br_sum+1;
if ind_h<1, ind_h=ind_h+length(h); end; yc(br+1)=yc(br+1)+x(br_sum+1)*h(ind_h);
end;
end;yc_FFT=ifft(fft(x).*fft(h));figure,subplot(3,1,1),stem([0:length(yl)-1],yl),xlim([0 length(yl)-1]),ylabel('{\ity_l}({\itn})');subplot(3,1,2),stem([0:length(yc)-1],yc),xlim([0 length(yl)-1]),ylabel('{\ity_c}({\itn})');subplot(3,1,3),stem([0:length(yc_FFT)-1],yc_FFT),xlim([0 length(yl)-1]),ylabel('{\ity_{cFFT}}({\itn})'),xlabel('\itn');
Zadatak 4
Izračunati DFT u osam tačaka sledećih nizova:
a)
b)
c)
d)
Rešenje a)
clear all, close all;
etna Furijeova transformacija (DFT) file:///F:/glava05/glav
09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 34/120
xa=ones(8,1);
Xa=fft(xa);figure,stem([0:length(Xa)-1],abs(Xa)),xlabel('\itk'),ylabel('|{\itX_a}({\itk})|');
Rešenje b)
xb=ones(5,1);
Xb=fft(xb,8);figure,stem([0:length(Xb)-1],abs(Xb)),xlabel('\itk'),ylabel('|{\itX_b}({\itk})|');
Rešenje c)
xc=zeros(8,1);xc(0+1)=1;xc(7+1)=-1;Xc=fft(xc);figure,stem([0:length(Xc)-1],abs(Xc)),xlabel('\itk'),ylabel('|{\itX_c}({\itk})|');
etna Furijeova transformacija (DFT) file:///F:/glava05/glav
09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 35/120
Rešenje d)
xd=zeros(8,1);xd(0+1)=1;
xd(5+1)=-1;Xd=fft(xd);figure,stem([0:length(Xd)-1],abs(Xd)),xlabel('\itk'),ylabel('|{\itX_d}({\itk})|');
Zadatak 5
Generisati N =16 odbiraka diskretnog niza x(n)=cos(0.1n). Izračunati DFT ovog niza. Posmatranjem pojedinih članova niza,
pokazati da DFT zadovoljava relaciju, X (k )= X *( N -k ), gde znak * označava konjugovano kompleksnu vrednost.
Rešenje
clear all, close all;N=16;n=(0:N-1)';
x=cos(0.1*n);X=fft(x);
etna Furijeova transformacija (DFT) file:///F:/glava05/glav
09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 36/120
for br=1:length(X)-1
uporedi(br,1:2)=[X(br+1) conj(X(N-br+1))];end;disp(uporedi);
-0.1869 - 2.7688i -0.1869 - 2.7688i 0.3413 - 1.2639i 0.3413 - 1.2639i
0.4331 - 0.7764i 0.4331 - 0.7764i 0.4645 - 0.5172i 0.4645 - 0.5172i 0.4784 - 0.3451i 0.4784 - 0.3451i
0.4853 - 0.2138i 0.4853 - 0.2138i 0.4886 - 0.1026i 0.4886 - 0.1026i
0.4896 0.48960.4886 + 0.1026i 0.4886 + 0.1026i
0.4853 + 0.2138i 0.4853 + 0.2138i 0.4784 + 0.3451i 0.4784 + 0.3451i 0.4645 + 0.5172i 0.4645 + 0.5172i 0.4331 + 0.7764i 0.4331 + 0.7764i 0.3413 + 1.2639i 0.3413 + 1.2639i -0.1869 + 2.7688i -0.1869 + 2.7688i
Zadatak 6
Izvršiti odabiranje kontinualnog signala x(t )=cos(2π 100t )+cos(2&pi105t ) sa frekvencijom odabiranja f s=500 Hz. Generisati
20, 50 i 100 odbiraka. Za sva tri slučaja izračunati amplitudski spektar korišćenjem DFT i videti kako broj odbiraka utiče na
oblik dobijenog spektra.
Rešenje
clear all, close all;fs=500;f1=100; f2=105;
t_20=(0:20-1)'/fs;x_20=cos(2*pi*f1*t_20)+sin(2*pi*f2*t_20);t_50=(0:50-1)'/fs;x_50=cos(2*pi*f1*t_50)+sin(2*pi*f2*t_50);t_100=(0:100-1)'/fs;x_100=cos(2*pi*f1*t_100)+sin(2*pi*f2*t_100);X_20=fft(x_20);
X_50=fft(x_50);X_100=fft(x_100);f_20=(0:length(X_20)-1)/length(X_20)*fs;
f_50=(0:length(X_50)-1)/length(X_50)*fs;
f_100=(0:length(X_100)-1)/length(X_100)*fs;figure,subplot(3,1,1),stem(f_20,abs(X_20)),ylabel('DFT({\itx}_{20})'),
legend(['\Delta{\itf}=' num2str(fs/20)],'Location','NorthEastOutside');subplot(3,1,2),stem(f_50,abs(X_50)),ylabel('DFT({\itx}_{50})'),legend(['\Delta{\itf}=' num2str(fs/50)],'Location','NorthEastOutside');subplot(3,1,3),stem(f_100,abs(X_100)),ylabel('DFT({\itx}_{100})'),xlabel('{\itf} [Hz]'),legend(['\Delta{\itf}=' num2str(fs/100)],'Location','NorthEastOutside');
etna Furijeova transformacija (DFT) file:///F:/glava05/glav
09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 37/120
Published with MATLAB® 7.8
etna Furijeova transformacija (DFT) file:///F:/glava05/glav
09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 38/120
Funkcija prenosa i frekvencijski odziv
Sadržaj
Zadatak 1
Rešenje
Zadatak 2
Rešenje
Zadatak 3
Rešenje
Zadatak 4
Rešenje a)
Rešenje b)
Rešenje c)
Zadatak 5
Rešenje a)
Rešenje b)
Zadatak 1
Data je funkcija prenosa H ( z )=Q( z )/ P ( z ), gde su Q( z ) i P ( z ) polinomi po z -1,
Q( z )=0.0647-0.0106 z -1+0.0997 z -2-0.0106 z -3+0.0647 z -4,
P ( z )=1-2.2800 z -1+2.6543 z -2-1.5624 z -3+0.4215 z -4.
Odrediti položaj nula i polova sistema u z ravni. Izračunati i prikazati amplitudsku i faznu karakteristiku
sistema kao i karakteristiku grupnog kašnjenja. Prikazati prvih 50 vrednosti odbiraka impulsnog odziva
sistema.
Rešenje
clear all, close all;Q=[0.0647 -0.0106 0.0997 -0.0106 0.0647];P=[1 -2.2800 2.6543 -1.5624 0.4215];N=50;figure,zplane(Q,P);[H,w]=freqz(Q,P);figure,plot(w/pi,abs(H));xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}({\it\omega})');
figure,plot(w/pi,unwrap(angle(H)));xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}({\it\omega}) [rad]');[gd,w]=grpdelay(Q,P);figure,plot(w/pi,gd);xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\itgd}({\it\omega}) [br. odbiraka]');[h,n]=impz(Q,P,N);figure,stem(n,h);xlabel('{\itn}'),ylabel('{\ith}({\itn})');
cija prenosa i frekvencijski odziv file:///F:/glava07/glav
4 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 39/120
cija prenosa i frekvencijski odziv file:///F:/glava07/glav
4 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 40/120
cija prenosa i frekvencijski odziv file:///F:/glava07/glav
4 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 41/120
Zadatak 2
Data je funkcija prenosa FIR sistema
H ( z )=0.0186-0.0294 z -1-0.0731 z -2+0.0396 z -3+
0.3045 z -4+0.4528 z -5+0.3045 z -6+
0.0396 z -7-0.0731 z -80.0294 z -9+0.0186 z -10.
Odrediti položaj nula i polova sistema u z ravni. Prikazati impulsni odziv sistema. Izračunati i prikazati
amplitudsku i faznu karakteristiku sistema kao i karakteristiku grupnog kašnjenja.
Rešenje
clear all, close all;h=[0.0186 -0.0294 -0.0731 0.0396 0.3045 0.4528... 0.3045 0.0396 -0.0731 -0.0294 0.0186];figure,zplane(h,1);[H,w]=freqz(h,1);
figure,plot(w/pi,abs(H));xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}({\it\omega})');figure,plot(w/pi,unwrap(angle(H)));xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}({\it\omega}) [rad]');[gd,w]=grpdelay(h,1);figure,plot(w/pi,gd);xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\itgd}({\it\omega}) [br. odbiraka]');n=0:length(h)-1;figure,stem(n,h);xlabel('{\itn}'),ylabel('{\ith}({\itn})');
cija prenosa i frekvencijski odziv file:///F:/glava07/glav
4 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 42/120
cija prenosa i frekvencijski odziv file:///F:/glava07/glav
4 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 43/120
cija prenosa i frekvencijski odziv file:///F:/glava07/glav
4 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 44/120
Zadatak 3
Data je funkcija prenosa H ( z )=Q( z )/ P ( z ), gde su Q( z ) i P ( z ) polinomi po z -1,
Q( z )=0.2031+0.2588 z -1+0.2588 z -2+0.2031 z -3
P ( z )=1.0000-0.6804 z -1
+0.7865 z -2
-0.1821 z -3
.
a) Odrediti položaj nula i polova sistema u z ravni. Izračunati i prikazati amplitudsku i faznu karakteristiku
sistema kao i karakteristiku grupnog kašnjenja. Prikazati prvih 50 vrednosti odbiraka impulsnog odziva
sistema.
b) Ponoviti proceduru iz tačke a) za H 1( z )= H ( z 2).
c) Ponoviti proceduru iz tačke a) za H 2( z )=[ H ( z )2].
Rešenje
clear all, close all;Q=[0.2031 0.2588 0.2588 0.2031];P=[1 -0.6804 0.7865 -0.1821];N=50;figure(1),subplot(3,1,1),zplane(Q,P);[H,w]=freqz(Q,P);figure(2),subplot(3,1,1),plot(w/pi,abs(H));ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}({\it\omega})');figure(3),subplot(3,1,1),plot(w/pi,unwrap(angle(H)));ylabel('{\it\fontname{symbol}j}({\it\omega}) [rad]');[gd,w]=grpdelay(Q,P);
cija prenosa i frekvencijski odziv file:///F:/glava07/glav
4 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 45/120
figure(4),subplot(3,1,1),plot(w/pi,gd);ylabel('{\itgd}({\it\omega}) [br. odbiraka]');[h,n]=impz(Q,P,N);figure(5),subplot(3,1,1),stem(n,h);ylabel('{\ith}({\itn})');Q1(1:2:2*length(Q))=Q;P1(1:2:2*length(P))=P;figure(1),subplot(3,1,2),zplane(Q1,P1);[H1,w]=freqz(Q1,P1);figure(2),subplot(3,1,2),plot(w/pi,abs(H1));
ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}_1({\it\omega})');figure(3),subplot(3,1,2),plot(w/pi,unwrap(angle(H1)));ylabel('{\it\fontname{symbol}j}_1({\it\omega}) [rad]');[gd1,w]=grpdelay(Q1,P1);figure(4),subplot(3,1,2),plot(w/pi,gd1);ylabel('{\itgd}_1({\it\omega}) [br. odbiraka]');[h1,n]=impz(Q1,P1,N);figure(5),subplot(3,1,2),stem(n,h1);ylabel('{\ith}_1({\itn})');Q2=conv(Q,Q);P2=conv(P,P);figure(1),subplot(3,1,3),zplane(Q2,P2);[H2,w]=freqz(Q2,P2);
figure(2),subplot(3,1,3),plot(w/pi,abs(H2));xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}_2({\it\omega})');figure(3),subplot(3,1,3),plot(w/pi,unwrap(angle(H2)));xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}_2({\it\omega}) [rad]');[gd2,w]=grpdelay(Q2,P2);figure(4),subplot(3,1,3),plot(w/pi,gd2);xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\itgd}_2({\it\omega}) [br. odbiraka]');[h2,n]=impz(Q2,P2,N);figure(5),subplot(3,1,3),stem(n,h2);xlabel('{\itn}'),ylabel('{\ith}_2({\itn})');
cija prenosa i frekvencijski odziv file:///F:/glava07/glav
4 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 46/120
cija prenosa i frekvencijski odziv file:///F:/glava07/glav
4 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 47/120
Zadatak 4
Dat je realni signal { xr (n)},
Primenom instrukcije hilbert iz MATLAB-a formirati analitički signal { x(n)},
cija prenosa i frekvencijski odziv file:///F:/glava07/glav
14 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 48/120
a) Nacrtati odbirke signala Re{ x(n)} i Im{ x(n)},
b) Izračunati diskretne Furijeove transformacije za signale Re{ x(n)}, Im{ x(n)} i { x(n)},
c) Grafički prikazati rezultate iz tačke b).
Rešenje a)
clear all, close all;N=32;xr=ones(8,1);xr(N)=0;x=hilbert(xr);n=(0:N-1)';figure,subplot(2,1,1),stem(n,real(x)),ylabel('Re({\itx}({\itn}))');subplot(2,1,2),stem(n,imag(x)),xlim([0 N-1]),ylabel('Im({\itx}({\itn}))'),xlabel('{\itn}');
Rešenje b)
ReX=fft(real(x));ImX=fft(imag(x));X=fft(x);
Rešenje c)
figure,subplot(3,1,1),stem(n,real(ReX)),
cija prenosa i frekvencijski odziv file:///F:/glava07/glav
14 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 49/120
hold onstem(n,real(ImX),'marker','*','color',[0 0.5 0]),stem(n,real(X),'marker','d','color',[1 0 0]),xlim([0 N-1]),ylabel('Relani deo DFT-a'),xlim([0 N+10]),legend('real(x)','imag(x)','x','location','northeastoutside');subplot(3,1,2),stem(n,imag(ReX)),hold on
stem(n,imag(ImX),'marker','*','color',[0 0.5 0]),
stem(n,imag(X),'marker','d','color',[1 0 0]),xlim([0 N-1]),ylabel('Imag. deo DFT-a'),xlim([0 N+10]),legend('real(x)','imag(x)','x','location','northeastoutside');subplot(3,1,3),stem(n,abs(ReX)),hold on
stem(n,abs(ImX),'marker','*','color',[0 0.5 0]),stem(n,abs(X),'marker','d','color',[1 0 0]),xlim([0 N-1]),ylabel('moduo DFT-a'),xlim([0 N+10]),xlabel('{\itk}'),legend('real(x)','imag(x)','x','location','northeastoutside');
Zadatak 5
Dati su polovi funkcije prenosa propusnika svih frekvencija drugog reda,
p1=e jπ /4 i p2=e- jπ /4.
a) Na osnovu datih polova formirati funkciju prenosa H ap( z ).
b) Izračunati amplitudsku i faznu karakteristiku, kao i karakteristiku grupnog kašnjenja za funkciju H ap( z ).
cija prenosa i frekvencijski odziv file:///F:/glava07/glav
14 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 50/120
c) Nacrtati položaj nula i polova funkcije H ap( z ) u kompleksnoj z ravni.
d) Nacrtati karakteristike izračunate u tački b).
Rešenje a)
clear all, close all;a=poly(0.8*exp(j*pi/4*[1;-1]));
b=fliplr(a);figure,zplane(b,a);
Rešenje b)
[Hap,w]=freqz(b,a);figure,subplot(3,1,1),plot(w/pi,abs(Hap)),ylabel('|{\itH_{ap}}({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 1]),ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}({\it\omega})');subplot(3,1,2),plot(w/pi,unwrap(angle(Hap))),
xlim([0 1]),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}({\it\omega}) [rad]');[gd,w]=grpdelay(b,a);subplot(3,1,3),plot(w/pi,gd),xlim([0 1]),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\itgd}({\it\omega}) [br. odbiraka]');
cija prenosa i frekvencijski odziv file:///F:/glava07/glav
14 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 51/120
Published with MATLAB® 7.8
cija prenosa i frekvencijski odziv file:///F:/glava07/glav
14 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 52/120
Digitalni filtri beskonačnog impulsnog odziva, IIR
Sadržaj
Zadatak 1Rešenje a)Rešenje b)
Rešenje c)Rešenje d)Rešenje e)Rešenje f)
Zadatak 2Rešenje
Zadatak 3Rešenje
Zadatak 4Rešenje
Zadatak 5Rešenje a)Rešenje b)Rešenje c)Rešenje d)
Zadatak 6Rešenje a)Rešenje b)Rešenje c)Rešenje d)
Zadatak 7Rešenje a)Rešenje b)
Rešenje c)Zadatak 8
Rešenje a)Rešenje b)Rešenje c)
Zadatak 1
Dat je signal x(t ), definisan izrazom
x(t )=cos(2π 100t )+cos(2π 300t ).
a) Generisati diskretni signal { x(n)} koji sadrži prvih 256 odbiraka signala x(t ). Frekvencija odabiranja iznosi f s=1000Hz.
b) Projektovati Batervortov IIR filtar propusnik niskih frekvencija koji će prvu komponentu signala x(t ) oslabiti najviše 1dB, a drugu komponentu će oslabiti barem 30 dB.
c) Izračunati i grafički prikazati željenu i realizovanu amplitudsku karakteristiku u linearnoj razmeri.
d) Izračunati i prikazati grupno kašnjenje.
e) Izračunati i grafički prikazati raspored nula i polova projektovanog filtra.
alni filtri beskonačnog impulsnog odziva, IIR file:///F:/glava08/glav
1 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 53/120
f) Izračunati diskretni signal { y(n)} koji se dobija na izlazu projektovanog IIR filtra kada se ovaj pobudi signalom { x(n)}i grafički prikazati amplitudski spektar signala na ulazu i izlazu projektovanog filtra u linearnoj razmeri.
Rešenje a)
clear all, close all;N=256; fs=1000;f1=100; f2=300;t=(0:N-1)'/fs;
x=cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t);
Rešenje b)
wp=f1/(fs/2); ws=f2/(fs/2);rp=1; rs=30;[Nf,wn]=buttord(wp,ws,rp,rs);[b,a]=butter(Nf,wn);
Rešenje c)
[H,f]=freqz(b,a,[],fs);figure,plot(f,abs(H)),line([0 f1],[1 1],'color',[1 0 0]);line([f2 fs/2],10.^(-rs/20)*[1 1],'color',[1 0 0]),ylim([0 1.1]),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}(2{\it\pif}/{\itf_s})'),legend('realizovana','zadata');
Rešenje d)
[gd,f]=grpdelay(b,a,1000,fs);figure,plot(f,gd),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\itgd}(2{\it\pif}/{\itf_s}) [br. odbiraka]');
alni filtri beskonačnog impulsnog odziva, IIR file:///F:/glava08/glav
1 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 54/120
Rešenje e)
nule=roots(b);disp('Nule f-je prenosa projektovanog filtra:');disp(nule);polovi=roots(a);disp('Polovi f-je prenosa projektovanog filtra:');disp(polovi);figure,subplot(2,1,1),zplane(b,a); % Dobija se isti grafik, na dva nacina, b i a su vektori-vrste,
subplot(2,1,2),zplane(nule,polovi); % nule i polovi su vektori-kolone
Nule f-je prenosa projektovanog filtra: -1.0000 + 0.0000i -1.0000 - 0.0000i -1.0000
Polovi f-je prenosa projektovanog filtra: 0.4988 + 0.4640i 0.4988 - 0.4640i 0.3934
alni filtri beskonačnog impulsnog odziva, IIR file:///F:/glava08/glav
1 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 55/120
Rešenje f)
y=filter(b,a,x);X=fft(x);Y=fft(y);f_crt=(0:length(X)-1)/length(X)*fs;figure,plot(f_crt(1:N/2),abs(X(1:N/2)),f_crt(1:N/2),abs(Y(1:N/2))),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('DFT({\itx}), DFT({\ity})'),legend('signal na ulazu filtra','signal na izlazu filtra','location','northeastoutside');
alni filtri beskonačnog impulsnog odziva, IIR file:///F:/glava08/glav
1 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 56/120
Zadatak 2
Projektovati Batervortov, Čebiševljev filtar I i II vrste i eliptički IIR filtar propusnik niskih frekvencija koji će zafrekvencije niže od 100 Hz imati slabljenje od najviše 1 dB, a za frekvencije više od 300 Hz imati slabljenje od bar 30dB. Filtre treba projektovati za frekvenciu odabiranja od 1 kHz.
Izračunati i grafički prikazati amplitudske karakteristike projektovanih filtara u logaritamskoj razmeri, njihove faznekarakteristike, kao i grupno kašnjenje.
Rešenje
clear all, close all;fs=1000;f1=100; f2=300;wp=f1/(fs/2); ws=f2/(fs/2);rp=1; rs=30;[Nb,wnb]=buttord(wp,ws,rp,rs);[Nc1,wnc1]=cheb1ord(wp,ws,rp,rs);[Nc2,wnc2]=cheb2ord(wp,ws,rp,rs);[Ne,wne]=ellipord(wp,ws,rp,rs);[bb,ab]=butter(Nb,wnb);[bc1,ac1]=cheby1(Nc1,rp,wnc1);[bc2,ac2]=cheby2(Nc2,rs,wnc2);[be,ae]=ellip(Ne,rp,rs,wne);[Hb,f]=freqz(bb,ab,[],fs);[Hc1,f]=freqz(bc1,ac1,[],fs);[Hc2,f]=freqz(bc2,ac2,[],fs);[He,f]=freqz(be,ae,[],fs);figure,plot(f,20*log10(abs([Hb Hc1 Hc2 He])));xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\itg}(2{\it\pif}/{\itf_s}) [dB]'),legend('Batervortov','Cebisevljev I vrste','Cebisevljev II vrste','elipticki');ylim([-100 10]);figure,plot(f,unwrap(angle([Hb Hc1 Hc2 He])));xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}(2{\it\pif}/{\itf_s}) [rad]'),legend('Batervortov','Cebisevljev I vrste','Cebisevljev II vrste','elipticki');[gdb,f]=grpdelay(bb,ab,1000,fs);[gdc1,f]=grpdelay(bc1,ac1,1000,fs);
[gdc2,f]=grpdelay(bc2,ac2,1000,fs);[gde,f]=grpdelay(be,ae,1000,fs);figure,plot(f,[gdb gdc1 gdc2 gde]);xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\itgd}(2{\it\pif}/{\itf_s}) [br. odbiraka]');legend('Batervortov','Cebisevljev I vrste','Cebisevljev II vrste','elipticki');
alni filtri beskonačnog impulsnog odziva, IIR file:///F:/glava08/glav
1 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 57/120
alni filtri beskonačnog impulsnog odziva, IIR file:///F:/glava08/glav
1 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 58/120
Zadatak 3
Napisati program u MATLAB-u kojim se generiše diskretni niz { x(n)} koji sadrži 20 odbiraka signala
x(t )=cos(2π 100t ).
Frekvencija odabiranja iznosi 500 Hz.
Generisati signal { y(n)} propuštanjem signala { x(n)} kroz filtar čija je funkcija prenosa
Nacrtati prvih pedeset odbiraka impulsnog odziva filtra i amplitudski spektar odziva { y(n)} na izlazu iz filtra.
Rešenje
clear all, close all;N=20;fs=500;t=(0:N-1)/fs;
x=cos(2*pi*100*t);a=0.9;bf=[1 -1/a];af=[1 -a];y=filter(bf,af,x);Nimpz=50;[h,n]=impz(bf,af,Nimpz);figure,stem(n,h),xlabel('{\itn}'),ylabel('{\ith}({\itn})');[H,f]=freqz(bf,af,[],fs);figure,plot(f,abs(H));xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}(2{\it\pif}/{\itf_s})');X=fft(x);Y=fft(y);
alni filtri beskonačnog impulsnog odziva, IIR file:///F:/glava08/glav
1 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 59/120
f_crt=(0:length(X)-1)/length(X)*fs;figure,plot(f_crt(1:N/2),abs(X(1:N/2)),f_crt(1:N/2),abs(Y(1:N/2))),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('DFT({\itx}), DFT({\ity})'),legend('signal na ulazu filtra','signal na izlazu filtra','location','northeastoutside');
alni filtri beskonačnog impulsnog odziva, IIR file:///F:/glava08/glav
1 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 60/120
Zadatak 4
Generisati u MATLAB-u N =1000 odbiraka signala x(t ), opisanog izrazom,
x(t )=cos(2π 50t )+n(t ).
Frekvencija odabiranja iznosi f s=500 Hz. n(t ) je Gaussov šum snage σ 2=4.
Projektovati IIR Batervortov filtar propusnik niskih frekvencija četvrtog reda koji na svojoj graničnoj frekvenciji f p=100
Hz ima slabljenje od 3 dB. Nacrtati amplitudsku karakteristiku ovog filtra i impulsni odziv.
Izračunati diskretni signal { y(n)} koji se dobija na izlazu projektovanog IIR filtra kada se ovaj pobudi signalom { x(n)} igrafički prikazati amplitudski spektar signala na ulazu i izlazu projektovanog filtra u linearnoj razmeri.
Rešenje
clear all, close all;N=1000;fs=500;sigma_na_2=4;t=(0:N-1)/fs;x=cos(2*pi*150*t)+sqrt(sigma_na_2)*randn(size(t));
[b,a]=butter(4,100/(fs/2));[H,f]=freqz(b,a,[],fs);figure,plot(f,20*log10(abs(H)),100,-3,'o'),text(100,-10,'{\itf}_g')xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\itg}(2{\it\pif}/{\itf_s}) [dB]'),ylim([-100 5]);[h,n]=impz(b,a);figure,stem(n,h),xlabel('{\itn}'),ylabel('{\ith}({\itn})');y=filter(b,a,x);figure,plot(t,x,t,y),xlabel('{\itt} [s]'),ylabel('{\itx}({\itt}), {\ity}({\itt})'),legend('signal na ulazu filtra','signal na izlazu filtra','location','northeastoutside');
alni filtri beskonačnog impulsnog odziva, IIR file:///F:/glava08/glav
1 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 61/120
X=fft(x);Y=fft(y);f_crt=(0:length(X)-1)/length(X)*fs;figure,plot(f_crt(1:N/2),abs(X(1:N/2)),f_crt(1:N/2),abs(Y(1:N/2))),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('DFT({\itx}), DFT({\ity})'),legend('signal na ulazu filtra','signal na izlazu filtra','location','northeastoutside');
alni filtri beskonačnog impulsnog odziva, IIR file:///F:/glava08/glav
21 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 62/120
Zadatak 5
U programskom jeziku MATLAB:
a) Generisati N =1000 odbiraka signala x(t ), opisanog izrazom,
x(t )=cos(2π 150t )+n(t ).
Frekvencija odabiranja iznosi f s=500 Hz. n(t ) je Gaussov šum snage σ 2=4.
alni filtri beskonačnog impulsnog odziva, IIR file:///F:/glava08/glav
21 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 63/120
b) Projektovati IIR Čebiševljev filtar I vrste, propusnik visokih frekvencija četvrtog reda granične frekvencije f p=100 Hz
sa varijacijom slabljenja u propusnom opsegu od 1 dB. Nacrtati raspored nula i polova ovog filtra, amplitudskukarakteristiku i impulsni odziv.
c) Kako su raspoređene nule i polovi projektovanog IIR filtra u odnosu na jedinični krug i šta se može zaključiti iznjihovog rasporeda?
d) Propustiti signal { x(n)} kroz projektovani filtar i tako dobijeni signal nazvati { y(n)}. Nacrtati signale { x(n)} i { y(n)}.
Rešenje a)
clear all, close all;N=1000;fs=500;rp=3;sigma_na_2=4;t=(0:N-1)/fs;x=cos(2*pi*150*t)+sqrt(sigma_na_2)*randn(size(t));
Rešenje b)
[b,a]=cheby1(4,rp,100/(fs/2),'high');figure,zplane(b,a);[H,f]=freqz(b,a,[],fs);figure,plot(f,20*log10(abs(H)),100,-3,'o'),text(100,-10,'{\itf}_g'),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\itg}(2{\it\pif}/{\itf_s}) [dB]'),ylim([-100 5]);[h,n]=impz(b,a);figure,stem(n,h),xlabel('{\itn}'),ylabel('{\ith}({\itn})');
alni filtri beskonačnog impulsnog odziva, IIR file:///F:/glava08/glav
21 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 64/120
Rešenje c)
disp('Filtar je stabilan, minimalne faze.')
Filtar je stabilan, minimalne faze.
Rešenje d)
alni filtri beskonačnog impulsnog odziva, IIR file:///F:/glava08/glav
21 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 65/120
y=filter(b,a,x);figure,plot(t,x,t,y);xlabel('{\itt} [s]'),ylabel('{\itx}({\itt}), {\ity}({\itt})'),legend('signal na ulazu filtra','signal na izlazu filtra','Location','NorthEastOutside');X=fft(x);Y=fft(y);f_crt=(0:length(X)-1)/length(X)*fs;figure,plot(f_crt(1:N/2),abs(X(1:N/2)),f_crt(1:N/2),abs(Y(1:N/2))),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('DFT({\itx}), DFT({\ity})'),legend('signal na ulazu filtra','signal na izlazu filtra','Location','NorthEastOutside');
alni filtri beskonačnog impulsnog odziva, IIR file:///F:/glava08/glav
21 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 66/120
Zadatak 6
Zadate su specifikacije filtra propusnika niskih frekvencija:
granična frekvencija propusnog opsega π p=0.35π ,
granična frekvencija nepropusnog opsega π a=0.46π ,
maksimalno dozvoljeno slabljenje u propusnom opsegu a p=0.2 dB,
minimalno dozvoljeno slabljenje u nepropusnom opsegu aa=50 dB.
a) Prema postavljenim zahtevima projektovati, (i) eliptički filtar, (ii) Čebiševljev filtar, (iii) inverzni Čebiševljev filtar.
b) Uporediti karakteristike slabljenja filtara (i), (ii) i (iii).
c) Uporediti fazne karakteristike filtara (i), (ii) i (iii) u propusnom opsegu.
d) Uporediti karakteristike grupnog kašnjenja filtara (i), (ii) i (iii) u propusnom opsegu.
Rešenje a)
clear all, close all;wp=0.35*pi;wa=0.46*pi;ap=0.2;aa=50;[Nc1,wnc1]=cheb1ord(wp/pi,wa/pi,ap,aa);[Nc2,wnc2]=cheb2ord(wp/pi,wa/pi,ap,aa);[Ne,wne]=ellipord(wp/pi,wa/pi,ap,aa);[bc1,ac1]=cheby1(Nc1,ap,wnc1);[bc2,ac2]=cheby2(Nc2,aa,wnc2);[be,ae]=ellip(Ne,ap,aa,wne);
Rešenje b)
[Hc1,w]=freqz(bc1,ac1);[Hc2,w]=freqz(bc2,ac2);[He,w]=freqz(be,ae);figure,plot(w/pi,-20*log10(abs([Hc1 Hc2 He])));xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\ita}({\it\omega}) [dB]'),legend('Cebisevljev I vrste','Cebisevljev II vrste','elipticki');ylim([-10 100]);
alni filtri beskonačnog impulsnog odziva, IIR file:///F:/glava08/glav
21 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 67/120
Rešenje c)
figure,plot(w/pi,unwrap(angle([Hc1 Hc2 He]))),xlim([0 wp/pi]);xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}({\it\omega}) [rad]'),legend('Cebisevljev I vrste','Cebisevljev II vrste','elipticki');
Rešenje d)
alni filtri beskonačnog impulsnog odziva, IIR file:///F:/glava08/glav
21 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 68/120
[gdc1,w]=grpdelay(bc1,ac1);[gdc2,w]=grpdelay(bc2,ac2);[gde,w]=grpdelay(be,ae);figure,plot(w/pi,[gdc1 gdc2 gde]),xlim([0 wp/pi]);xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\itgd}({\it\omega}) [br. odbiraka]');legend('Cebisevljev I vrste','Cebisevljev II vrste','elipticki');
Zadatak 7
Zadate su specifikacije filtra propusnika opsega:
granične frekvencije propusnog opsega π p1=0.30π , π p2=0.55π ,
granične frekvencije nepropusnih opsega π a1=0.20π , π a2=0.70π ,
maksimalno dozvoljeno slabljenje u propusnom opsegu a p=0.5 dB,
minimalno slabljenje u nepropusnim opsezima aa=40 dB.
a) Prema postavljenim zahtevima projektovati eliptički filtar.
b) Predstaviti položaj nula i polova ovog filtra u kompleksnoj z ravni.
c) Nacrtati karakteristiku slabljenja ovog filtra i njegovu faznu karakteristiku.Rešenje a)
clear all, close all;wp=[0.3*pi 0.55*pi];wa=[0.2*pi 0.7*pi];ap=0.5;aa=40;[N,wn]=ellipord(wp/pi,wa/pi,ap,aa);[b,a]=ellip(N,ap,aa,wn);
alni filtri beskonačnog impulsnog odziva, IIR file:///F:/glava08/glav
21 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 69/120
Rešenje b)
figure,zplane(b,a);
Rešenje c)
[H,w]=freqz(b,a);figure,plot(w/pi,-20*log10(abs(H)));xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\ita}({\it\omega}) [dB]');ylim([-10 100]);figure,plot(w/pi,unwrap(angle(H))),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}({\it\omega}) [rad]');
alni filtri beskonačnog impulsnog odziva, IIR file:///F:/glava08/glav
21 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 70/120
Zadatak 8
Zadate su specifikacije filtra nepropusnika opsega:
granične frekvencije propusnih opsega π p1=0.20π , π p2=0.70π ,
granične frekvencije nepropusnog opsega π a1=0.30π , π a2=0.60π ,
maksimalno dozvoljeno slabljenje u propusnom opsegu a p=0.5 dB,
minimalno slabljenje u nepropusnim opsezima aa=40 dB.
alni filtri beskonačnog impulsnog odziva, IIR file:///F:/glava08/glav
21 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 71/120
a) Prema postavljenim zahtevima projektovati eliptički filtar.
b) Predstaviti položaj nula i polova ovog filtra u kompleksnoj z ravni.
c) Nacrtati karakteristiku slabljenja ovog filtra i njegovu faznu karakteristiku.
Rešenje a)
clear all, close all;
wp=[0.2*pi 0.7*pi];wa=[0.3*pi 0.6*pi];ap=0.5;aa=40;[N,wn]=ellipord(wp/pi,wa/pi,ap,aa);[b,a]=ellip(N,ap,aa,wn,'stop');
Rešenje b)
figure,zplane(b,a);
Rešenje c)
[H,w]=freqz(b,a);figure,plot(w/pi,-20*log10(abs(H)));xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\ita}({\it\omega}) [dB]');ylim([-10 100]);figure,plot(w/pi,unwrap(angle(H))),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}({\it\omega}) [rad]');
alni filtri beskonačnog impulsnog odziva, IIR file:///F:/glava08/glav
21 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 72/120
Published with MATLAB® 7.8
alni filtri beskonačnog impulsnog odziva, IIR file:///F:/glava08/glav
21 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 73/120
Digitalni filtri konačnog impulsnog odziva (FIR)
Sadržaj
Zadatak 1
Rešenje a)
Rešenje b)
Rešenje c)
Rešenje d)
Rešenje e)
Zadatak 2
Rešenje a)
Rešenje b)
Rešenje c)
Rešenje d)
Zadatak 3
Rešenje a)
Rešenje b)Rešenje c)
Rešenje d)
Zadatak 4
Rešenje a)
Rešenje b)
Rešenje c)
Rešenje d)
Zadatak 5
Rešenje a)
Rešenje b)Rešenje c)
Rešenje d)
Zadatak 1
Dat je signal x(t ), definisan izrazom,
x(t )=cos(2π 200t )+n(t ),
gde je n(t ) Gausov šum jedinične snage.
a) Generisati diskretni signal { x(n)} koji sadrži prvih 512 odbiraka signala x(t ). Frekvencija odabiranja iznosi
f s=1000 Hz.
b) Projektovati FIR filtar propusnik opsega frekvencija 32. reda graničnih frekvencija f c1=100 Hz i f c2=300 Hz
primenom Hamingovog prozora. Izračunati i grafički prikazati impulsni odziv projektovanog filtra.
c) Izračunati i grafički prikazati raspored nula i polova projektovanog filtra u z ravni, njegovu amplitudsku
karakteristiku i slabljenje, faznu karakteristiku, kao i njegovo grupno kašnjenje.
d) Izračunati diskretni signal { y(n)} koji se dobija na izlazu iz projektovanog filtra kada se ovaj pobudi
alni filtri konačnog impulsnog odziva, FIR file:///F:/glava09/glav
9 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 74/120
signalom { x(n)}.
e) Grafički prikazati amplitudski spektar signala na ulazu i izlazu projektovanog filtra.
Rešenje a)
clear all, close all;N=512;
fs=1000;sigma_na_2=1;t=(0:N-1)/fs;x=cos(2*pi*200*t)+sqrt(sigma_na_2)*randn(size(t));
Rešenje b)
N_FIR=32;h=fir1(N_FIR,[100 300]/(fs/2)); % Hammingov prozor je podrazumevani (default) izborn=0:N_FIR;figure,stem(n,h),xlabel('{\itn}'),ylabel('{\ith}({\itn})');
Rešenje c)
nule=roots(h);polovi=zeros(size(nule));figure,zplane(nule,polovi);[H,f]=freqz(h,1,[],fs);figure,subplot(2,1,1),plot(f,abs(H)),ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}(2{\it\pif}/{\itf_s})'),
alni filtri konačnog impulsnog odziva, FIR file:///F:/glava09/glav
9 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 75/120
subplot(2,1,2),plot(f,-20*log10(abs(H))),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\ita}(2{\it\pif}/{\itf_s}) [dB]'),ylim([-5 100]);figure,subplot(2,1,1),plot(f,unwrap(angle(H))),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}(2{\it\pif}/{\itf_s}) [rad]');[gd,f]=grpdelay(h,1,1000,fs);subplot(2,1,2),plot(f,gd),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\itgd}(2{\it\pif}/{\itf_s}) [br. odbiraka]');
alni filtri konačnog impulsnog odziva, FIR file:///F:/glava09/glav
9 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 76/120
Rešenje d)
y=filter(h,1,x);figure,plot(t,x,t,y),xlim([0 t(N)]),
alni filtri konačnog impulsnog odziva, FIR file:///F:/glava09/glav
9 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 77/120
xlabel('{\itt} [s]'),ylabel('{\itx}({\itt}), {\ity}({\itt})'),legend('signal na ulazu filtra','signal na izlazu filtra','Location','NorthEastOutside');
Rešenje e)
X=fft(x);
Y=fft(y);f_crt=(0:length(X)-1)/length(X)*fs;figure,plot(f_crt(1:N/2),abs(X(1:N/2)),f_crt(1:N/2),abs(Y(1:N/2))),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('DFT({\itx}), DFT({\ity})'),legend('signal na ulazu filtra','signal na izlazu filtra','Location','NorthEastOutside');
alni filtri konačnog impulsnog odziva, FIR file:///F:/glava09/glav
9 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 78/120
Zadatak 2
Dat je signal x(t ), definisan izrazom,
x(t )=cos(2π 100t )+n(t ),
gde je n(t ) Gausov šum snage σ2=2.
a) Generisati diskretni signal { x(n)} koji sadrži prvih 512 odbiraka signala x(t ). Frekvencija odabiranja iznosi
f s=1000 Hz.
b) Projektovati FIR filtar propusnik niskih frekvencija 32. reda granične frekvencije f g =50 Hz primenom
pravougaonog prozora i primenom trougaonog prozora.
c) Izračunati i grafički prikazati amplitudsku karakteristiku i karakteristiku slabljenja oba filtra.
d) Izračunati diskretni signal { y(n)} koji se dobija na izlazu FIR filtra projektovanog primenom pravougaonog
prozora kada se ovaj pobudi signalom { x(n)} i grafički prikazati signal na ulazu i izlazu projektovanog filtra.
Rešenje a)
clear all, close all;N=512;fs=1000;sigma_na_2=2;t=(0:N-1)/fs;x=cos(2*pi*10*t)+sqrt(sigma_na_2)*randn(size(t));
alni filtri konačnog impulsnog odziva, FIR file:///F:/glava09/glav
9 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 79/120
Rešenje b)
N_FIR=32;h_p=fir1(N_FIR,50/(fs/2),rectwin(N_FIR+1));h_t=fir1(N_FIR,50/(fs/2),triang(N_FIR+1));n=0:N_FIR;figure,stem(n,[h_p;h_t]'),xlabel('{\itn}'),ylabel('{\ith}({\itn})'),legend('pravougaoni','trugaoni');
Rešenje c)
[H_p,f]=freqz(h_p,1,[],fs);[H_t,f]=freqz(h_t,1,[],fs);figure,subplot(2,1,1),plot(f,abs([H_p H_t])),ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}(2{\it\pif}/{\itf_s})'),legend('pravougaoni','trugaoni');subplot(2,1,2),plot(f,-20*log10(abs([H_p H_t]))),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\ita}(2{\it\pif}/{\itf_s}) [dB]'),
ylim([-5 100]);
alni filtri konačnog impulsnog odziva, FIR file:///F:/glava09/glav
9 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 80/120
Rešenje d)
y=filter(h_p,1,x);figure,plot(t,x,t,y),xlim([0 t(N)]),xlabel('{\itt} [s]'),ylabel('{\itx}({\itt}), {\ity}({\itt})'),legend('signal na ulazu filtra','signal na izlazu filtra','Location','NorthEastOutside');
X=fft(x);Y=fft(y);f_crt=(0:length(X)-1)/length(X)*fs;figure,plot(f_crt(1:N/2),abs(X(1:N/2)),f_crt(1:N/2),abs(Y(1:N/2))),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('DFT({\itx}), DFT({\ity})'),legend('signal na ulazu filtra','signal na izlazu filtra','Location','NorthEastOutside');
alni filtri konačnog impulsnog odziva, FIR file:///F:/glava09/glav
9 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 81/120
Zadatak 3
Dat je signal x(t ), definisan izrazom,
x(t )=cos(2π 150t )+n(t ),
alni filtri konačnog impulsnog odziva, FIR file:///F:/glava09/glav
9 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 82/120
gde je n(t ) Gausov šum snage σ2=2.
a) Generisati diskretni signal { x(n)} koji sadrži prvih 256 odbiraka signala x(t ). Frekvencija odabiranja iznosi
f s=1000 Hz.
b) Projektovati optimalni FIR filtar propusnik opsega 29. reda graničnih frekvencija propusnog opsega f p1=100
Hz i f p2=200 Hz, kao i graničnih frekvencija nepropusnog opsega f a1=50 Hz i f a2=250 Hz.
c) Izračunati i grafički prikazati željenu i realizovanu amplitudsku karakteristiku.
d) Izračunati i prikazati grupno kašnjenje.
e) Izračunati diskretni signal { y(n)} koji se dobija na izlazu projektovanog FIR filtra kada se ovaj pobudi
signalom { x(n)} i grafički prikazati amplitudski spektar signala na ulazu i izlazu projektovanog filtra.
Rešenje a)
clear all, close all;N=256;
fs=1000;sigma_na_2=2;t=(0:N-1)/fs;x=cos(2*pi*150*t)+sqrt(sigma_na_2)*randn(size(t));
Rešenje b)
N_FIR=29;h=firpm(N_FIR,[0 50 100 200 250 fs/2]/(fs/2),[0 0 1 1 0 0]);n=0:N_FIR;figure,stem(n,h),xlabel('{\itn}'),ylabel('{\ith}({\itn})');[H,f]=freqz(h,1,[],fs);figure,plot(f,abs(H)),line([0 50],[0 0],'color',[1 0 0]),line([100 200],[1 1],'color',[1 0 0]),line([250 fs/2],[0 0],'color',[1 0 0]),ylim([0 1.1]),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}(2{\it\pif}/{\itf_s})'),legend('realizovana','zadata');
alni filtri konačnog impulsnog odziva, FIR file:///F:/glava09/glav
19 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 83/120
Rešenje c)
[gd,f]=grpdelay(h,1,1000,fs);figure,plot(f,gd);xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\itgd}(2{\it\pif}/{\itf_s}) [br. odbiraka]');
alni filtri konačnog impulsnog odziva, FIR file:///F:/glava09/glav
19 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 84/120
Rešenje d)
y=filter(h,1,x);figure,plot(t,x,t,y),xlim([0 t(N)]),xlabel('{\itt} [s]'),ylabel('{\itx}({\itt}), {\ity}({\itt})'),legend('signal na ulazu filtra','signal na izlazu filtra','Location','NorthEastOutside');
X=fft(x);Y=fft(y);f_crt=(0:length(X)-1)/length(X)*fs;figure,plot(f_crt(1:N/2),abs(X(1:N/2)),f_crt(1:N/2),abs(Y(1:N/2))),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('DFT({\itx}), DFT({\ity})'),legend('signal na ulazu filtra','signal na izlazu filtra','Location','NorthEastOutside');
alni filtri konačnog impulsnog odziva, FIR file:///F:/glava09/glav
19 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 85/120
Zadatak 4
Dat je signal x(t ), definisan izrazom,
x(t )=cos(2π 100t )+n(t )+cos(2π 300t ).
alni filtri konačnog impulsnog odziva, FIR file:///F:/glava09/glav
19 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 86/120
a) Generisati diskretni signal { x(n)} koji sadrži prvih 512 odbiraka signala x(t ). Frekvencija odabiranja iznosi
f s=1000 Hz.
b) Projektovati FIR filtar propusnik niskih frekvencija 32. reda granične frekvencije f g =200 Hz primenom
Hamingovog prozora. Grafički prikazati impulsni odziv projektovanog filtra.
c) Izračunati prvih 50 odbiraka diskretnog signala { y(n)} koji se dobija na izlazu projektovanog filtra kada se
ovaj pobudi signalom { x(n)}.
d) Grafički prikazati prvih 50 odbirak signala na ulazu i izlazu projektovanog filtra.
Rešenje a)
clear all, close all;N=512;fs=1000;t=(0:N-1)/fs;x=cos(2*pi*100*t)+cos(2*pi*300*t);
Rešenje b)
N_FIR=32;fg=200;h=fir1(N_FIR,fg/(fs/2));n=0:N_FIR;figure,stem(n,h),xlabel('{\itn}'),ylabel('{\ith}({\itn})');
alni filtri konačnog impulsnog odziva, FIR file:///F:/glava09/glav
19 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 87/120
Rešenje c)
y=filter(h,1,x);
Rešenje d)
figure,plot(t,x,t,y),
xlim([0 t(N)]),xlabel('{\itt} [s]'),ylabel('{\itx}({\itt}), {\ity}({\itt})'),legend('signal na ulazu filtra','signal na izlazu filtra','Location','NorthEastOutside');X=fft(x);Y=fft(y);f_crt=(0:length(X)-1)/length(X)*fs;figure,plot(f_crt(1:N/2),abs(X(1:N/2)),f_crt(1:N/2),abs(Y(1:N/2))),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('DFT({\itx}), DFT({\ity})'),legend('signal na ulazu filtra','signal na izlazu filtra','Location','NorthEastOutside');
alni filtri konačnog impulsnog odziva, FIR file:///F:/glava09/glav
19 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 88/120
Zadatak 5
Zadate su specifikacije FIR filtra propusnika niskih frekvencija:
Granična frekvencija propusnog opsega ω p=0.35π ,
Granična frekvencija nepropusnog opsega ωa=0.46π ,
Tolerancija amplitudske karakteristike u propusnom opsegu δ p=0.025,Tolerancija amplitudske karakteristike u nepropusnom opsegu δa=0.01.
a) Prema postavljenim zahtevima projektovati optimalan FIR filtar linearne fazne karakteristike.
b) Izračunati i prikazati amplitudsku karakteristiku i karakteristiku slabljenja filtra.
c) Izračunati i prikazati faznu karakteristiku filtra.
d) Prikazati impulsni odziv filtra.
Rešenje a)
clear all, close all;wp=0.35*pi;wa=0.46*pi;deltap=0.025;deltaa=0.01;[N_FIR,fo,mo,w_FIR]=firpmord([wp/pi wa/pi],[1 0],[deltap deltaa]);h=firpm(N_FIR,fo,mo,w_FIR);
Rešenje b)
alni filtri konačnog impulsnog odziva, FIR file:///F:/glava09/glav
19 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 89/120
[H,w]=freqz(h,1);figure,subplot(2,1,1),plot(w/pi,abs(H)),ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}({\it\omega})'),subplot(2,1,2),plot(w/pi,-20*log10(abs(H))),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\ita}({\it\omega}) [dB]');
Rešenje c)
figure,plot(w/pi,unwrap(angle(H))),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}({\it\omega}) [rad]');
alni filtri konačnog impulsnog odziva, FIR file:///F:/glava09/glav
19 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 90/120
Rešenje d)
n=0:N_FIR;figure,stem(n,h),xlabel('{\itn}'),ylabel('{\ith}({\itn})');
alni filtri konačnog impulsnog odziva, FIR file:///F:/glava09/glav
19 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 91/120
Published with MATLAB® 7.8
alni filtri konačnog impulsnog odziva, FIR file:///F:/glava09/glav
19 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 92/120
Realizacija digitalnih filtara
Sadržaj
Zadatak 1Rešenje a)Rešenje b)Rešenje c)Rešenje d)
Rešenje e)Zadatak 2Rešenje a)Rešenje b)Rešenje c)Rešenje d)Rešenje e)
Zadatak 3Rešenje a)Rešenje b)Rešenje c)Rešenje d)
Zadatak 4Rešenje a)
Rešenje b)Rešenje c)Rešenje d)Rešenje e)
Zadatak 5Rešenje a)Rešenje b)Rešenje c)Rešenje d)
Zadatak 1
a) Projektovati IIR eliptički filtar propusnik niskih frekvencija 4. reda prema sledećim specifikacijama:
granična frekvencija propusnog opsega ω p
=0.4π ,
maksimalno dozvoljeno slabljenje u propusnom opsegu a p=0.5 dB,
minimalno slabljenje u nepropusnom opsegu aa=30 dB.
b) Izračunati i prikazati karakteristiku slabljenja i faznu karakteristiku ovog filtra.
c) Odrediti konstante direktne realizacione strukture.
d) Odrediti konstante kaskadne strukture.
e) Odrediti konstante paralelne strukture.
Rešenje a)
clear all, close all;
N=4;ap=0.5;aa=30;wp=0.4*pi;[z,p,k]=ellip(N,ap,aa,wp/pi); % ovaj oblik pogodniji za kasnije dobijanje koeficijenata kaskadne i paralelne strukture
Rešenje b)
b=k*poly(z);a=poly(p);[H,w]=freqz(b,a);figure,subplot(2,1,1),plot(w/pi,-20*log10(abs(H)));ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}({\it\omega})'),subplot(2,1,2),plot(w/pi,unwrap(angle(H))),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}({\it\omega}) [rad]');
zacija digitalnih filtara file:///F:/glava10/glav
5 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 93/120
Rešenje c)
disp('Keoficiejnti direktne realizacione strukture:');disp(' -brojilac:');disp(b);disp(' -imenilac:');disp(a);
Keoficiejnti direktne realizacione strukture: -brojilac: 0.1048 0.1366 0.2134 0.1366 0.1048
-imenilac: 1.0000 -1.2475 1.4920 -0.7518 0.2449
Rešenje d)
[basos_c,g_c]=zp2sos(z,p,k);[br_sec_c,ni]=size(basos_c);disp('Keoficiejnti kaskadne realizacione strukture:');disp('konstanta pojacanja:');disp(g_c);for brojac=1:br_sec_c disp([num2str(brojac) '. sekcija']); disp(' -brojilac:'); disp(basos_c(brojac,1:3)); disp(' -imenilac:'); disp(basos_c(brojac,4:6));end;
Keoficiejnti kaskadne realizacione strukture:konstanta pojacanja:
0.1048
1. sekcija -brojilac: 1.0000 1.2754 1.0000
-imenilac: 1.0000 -0.7335 0.3008
2. sekcija -brojilac: 1.0000 0.0281 1.0000
-imenilac: 1.0000 -0.5140 0.8141
zacija digitalnih filtara file:///F:/glava10/glav
5 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 94/120
Rešenje e)
[rb,ra,g_p]=residuez(b,a);br_sec_p=ceil(length(ra)/2);tr_ind=1;sec_ind=1;while tr_ind<=length(ra)
if tr_ind==length(ra) | ra(tr_ind)~=conj(ra(tr_ind+1)) basos_p(sec_ind,1:6)=[rb(tr_ind),0,0,1 -ra(tr_ind),0]; tr_ind=tr_ind+1; sec_ind=sec_ind+1;
else
[basos_p(sec_ind,1:3),basos_p(sec_ind,4:6)]=residuez([rb(tr_ind),rb(tr_ind+1)],[ra(tr_ind),ra(tr_ind+1)],0); tr_ind=tr_ind+2; sec_ind=sec_ind+1;
end;end;disp('Keoficiejnti paralelne realizacione strukture:');disp('konstanta pojacanja:');disp(g_p);for brojac=1:br_sec_p disp([num2str(brojac) '. sekcija']); disp(' -brojilac:'); disp(basos_p(brojac,1:3)); disp(' -imenilac:'); disp(basos_p(brojac,4:6));end;H_c_uk=g_c*ones(size(H));for brojac=1:br_sec_c H_c_uk=H_c_uk.*freqz(basos_c(brojac,1:3),basos_c(brojac,4:6));
end;H_p_uk=g_p*ones(size(H));for brojac=1:br_sec_p H_p_uk=H_p_uk+freqz(basos_p(brojac,1:3),basos_p(brojac,4:6));end;figure,subplot(3,1,1),plot(w/pi,-20*log10(abs(H)));ylim([-5 100]),ylabel('{\ita}_d({\it\omega}) [dB]');subplot(3,1,2),plot(w/pi,-20*log10(abs(H_c_uk)));ylim([-5 100]),ylabel('{\ita}_c({\it\omega}) [dB]');subplot(3,1,3),plot(w/pi,-20*log10(abs(H_p_uk)));ylim([-5 100]),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\ita}_p({\it\omega}) [dB]');
Keoficiejnti paralelne realizacione strukture:konstanta pojacanja:
0.4280
1. sekcija -brojilac: -0.1094 + 0.0000i -0.1311 0
-imenilac: 1.0000 -0.5140 0.8141
2. sekcija -brojilac: -0.2138 0.6115 0
-imenilac: 1.0000 -0.7335 0.3008
zacija digitalnih filtara file:///F:/glava10/glav
5 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 95/120
Zadatak 2
Zadatak 2
a) Projektovaati IIR Batervortov filtar propusnik visokih frekvencija 7. reda za graničnu frekvenciju ω p=0.4π .
b) Izračunati i prikazati karakteristiku slabljenja i faznu karakteristiku ovog filtra.
c) Odrediti konstante direktne realizacione strukture.
d) Odrediti konstante kaskadne strukture.
e) Odrediti konstante paralelne strukture.
Rešenje a)
clear all, close all;
N=5;wp=0.4*pi;[z,p,k]=butter(N,wp/pi,'high'); % ovaj oblik pogodniji za kasnije dobijanje koeficijenata kaskadne i paralelne strukture
Rešenje b)
b=k*poly(z);a=poly(p);[H,w]=freqz(b,a);figure,subplot(2,1,1),plot(w/pi,-20*log10(abs(H)));ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}({\it\omega})'),subplot(2,1,2),plot(w/pi,unwrap(angle(H))),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}({\it\omega}) [rad]');
zacija digitalnih filtara file:///F:/glava10/glav
5 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 96/120
Rešenje c)
disp('Keoficiejnti direktne realizacione strukture:');disp(' -brojilac:');disp(b);disp(' -imenilac:');disp(a);
Keoficiejnti direktne realizacione strukture: -brojilac: 0.1084 -0.5419 1.0837 -1.0837 0.5419 -0.1084
-imenilac: 1.0000 -0.9853 0.9738 -0.3864 0.1112 -0.0113
Rešenje d)
[basos_c,g_c]=zp2sos(z,p,k);[br_sec_c,ni]=size(basos_c);disp('Keoficiejnti kaskadne realizacione strukture:');disp('konstanta pojacanja:');disp(g_c);for brojac=1:br_sec_c disp([num2str(brojac) '. sekcija']); disp(' -brojilac:'); disp(basos_c(brojac,1:3)); disp(' -imenilac:'); disp(basos_c(brojac,4:6));end;
Keoficiejnti kaskadne realizacione strukture:konstanta pojacanja: 0.1084
1. sekcija -brojilac: 1 -1 0
-imenilac: 1.0000 -0.1584 0
2. sekcija -brojilac: 1 -2 1
-imenilac: 1.0000 -0.3493 0.1303
3. sekcija -brojilac:
zacija digitalnih filtara file:///F:/glava10/glav
5 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 97/120
1 -2 1
-imenilac: 1.0000 -0.4777 0.5457
Rešenje e)
[rb,ra,g_p]=residuez(b,a);br_sec_p=ceil(length(ra)/2);tr_ind=1;sec_ind=1;while tr_ind<=length(ra)
if tr_ind==length(ra) || ra(tr_ind)~=conj(ra(tr_ind+1)) basos_p(sec_ind,1:6)=[rb(tr_ind),0,0,1 -ra(tr_ind),0]; tr_ind=tr_ind+1; sec_ind=sec_ind+1;
else [basos_p(sec_ind,1:3),basos_p(sec_ind,4:6)]=residuez([rb(tr_ind),rb(tr_ind+1)],[ra(tr_ind),ra(tr_ind+1)],0); tr_ind=tr_ind+2; sec_ind=sec_ind+1;
end;end;disp('Keoficiejnti paralelne realizacione strukture:');disp('konstanta pojacanja:');disp(g_p);for brojac=1:br_sec_p disp([num2str(brojac) '. sekcija']); disp(' -brojilac:'); disp(basos_p(brojac,1:3)); disp(' -imenilac:'); disp(basos_p(brojac,4:6));end;H_c_uk=g_c*ones(size(H));for brojac=1:br_sec_c H_c_uk=H_c_uk.*freqz(basos_c(brojac,1:3),basos_c(brojac,4:6));end;H_p_uk=g_p*ones(size(H));for brojac=1:br_sec_p H_p_uk=H_p_uk+freqz(basos_p(brojac,1:3),basos_p(brojac,4:6));end;figure,subplot(3,1,1),plot(w/pi,-20*log10(abs(H)));ylim([-5 100]),ylabel('{\ita}_d({\it\omega}) [dB]');subplot(3,1,2),plot(w/pi,-20*log10(abs(H_c_uk)));ylim([-5 100]),ylabel('{\ita}_c({\it\omega}) [dB]');subplot(3,1,3),plot(w/pi,-20*log10(abs(H_p_uk)));
ylim([-5 100]),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\ita}_p({\it\omega}) [dB]');
Keoficiejnti paralelne realizacione strukture:konstanta pojacanja: 9.6217
1. sekcija -brojilac: 0.0889 0.5978 0
-imenilac: 1.0000 -0.4777 0.5457
2. sekcija -brojilac: -3.7717 1.1655 0
-imenilac: 1.0000 -0.3493 0.1303
3. sekcija -brojilac: -5.8304 0 0
-imenilac: 1.0000 -0.1584 0
zacija digitalnih filtara file:///F:/glava10/glav
5 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 98/120
Zadatak 3
a) Projektovati FIR filtar linearne faze propusnik niskih frekvencija dužine N =31 sa graničnom frekvencijom ωc=0.4π .Primeniti Hanov prozor.
b) Izračunati i prikazati karakteristiku slabljenja i faznu karakteristiku ovog filtra.
c) Odrediti konstante direktne realizacione strukture.
d) Odrediti konstante kaskadne strukture.
Rešenje a)
clear all, close all;N=30;wp=0.4*pi;h=fir1(N,wp/pi,hann(N+1));
Rešenje b)
[H,w]=freqz(h,1);figure,subplot(2,1,1),plot(w/pi,-20*log10(abs(H)));ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}({\it\omega})'),subplot(2,1,2),plot(w/pi,unwrap(angle(H))),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}({\it\omega}) [rad]');
zacija digitalnih filtara file:///F:/glava10/glav
5 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 99/120
Rešenje c)
disp('Keoficiejnti direktne realizacione strukture:');disp(h);
Keoficiejnti direktne realizacione strukture: Columns 1 through 8
0 -0.0002 -0.0006 0.0015 0.0046 -0.0000 -0.0116 -0.0105
Columns 9 through 16
0.0148 0.0330 -0.0000 -0.0631 -0.0564 0.0895 0.2993 0.3998
Columns 17 through 24
0.2993 0.0895 -0.0564 -0.0631 -0.0000 0.0330 0.0148 -0.0105
Columns 25 through 31
-0.0116 -0.0000 0.0046 0.0015 -0.0006 -0.0002 0
Rešenje d)
z=roots(h);tr_ind=1;sec_ind=1;while tr_ind<=length(z)
if tr_ind==length(z) || z(tr_ind)~=conj(z(tr_ind+1)) h_c(sec_ind,1:2)=poly(z(tr_ind)); tr_ind=tr_ind+1; sec_ind=sec_ind+1;
else h_c(sec_ind,1:3)=poly([z(tr_ind) z(tr_ind+1)]); tr_ind=tr_ind+2; sec_ind=sec_ind+1;
end;end;[br_sec_c,ni]=size(h_c);disp('Keoficiejnti kaskadne realizacione strukture:');for brojac=1:br_sec_c disp([num2str(brojac) '. sekcija']); disp(h_c(brojac,:));end;H_c_uk=ones(size(H));for brojac=1:br_sec_c h_c(brojac,:)=h_c(brojac,:)./abs(sum(h_c(brojac,:))); H_c_uk=H_c_uk.*freqz(h_c(brojac,:),1);end;figure,subplot(2,1,1),plot(w/pi,-20*log10(abs(H)));
zacija digitalnih filtara file:///F:/glava10/glav
5 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 100/120
ylim([-5 100]),ylabel('{\ita}_d({\it\omega}) [dB]');subplot(2,1,2),plot(w/pi,-20*log10(abs(H_c_uk)));ylim([-5 100]),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\ita}_c({\it\omega}) [dB]');
Keoficiejnti kaskadne realizacione strukture:1. sekcija 1 0 0
2. sekcija 1.0000 2.9817 0
3. sekcija 1.0000 -2.2289 0
4. sekcija 1.0000 -3.4593 3.2706
5. sekcija 1.0000 -2.2997 2.5556
6. sekcija 1.0000 1.9894 1.0000
7. sekcija 1.0000 1.9050 1.0000
8. sekcija 1.0000 1.7396 1.0000
9. sekcija 1.0000 1.5000 1.0000
10. sekcija 1.0000 1.1970 1.0000
11. sekcija 1.0000 0.8448 1.0000
12. sekcija 1.0000 0.4616 1.0000
13. sekcija 1.0000 0.0727 1.0000
14. sekcija 1.0000 -0.8999 0.3913
15. sekcija 1.0000 -1.0577 0.3058
16. sekcija 1.0000 -0.4487 0
17. sekcija 1.0000 0.3354 0
zacija digitalnih filtara file:///F:/glava10/glav
5 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 101/120
Zadatak 4
a) Projektovaati IIR Čebiševljev filtar propusnik opsega 6. reda graničnih frekvencija f p1=2000 Hz i f p2=3000 Hz.Frekvencija odabiranja je 10000 Hz. Maksimalno dozvoljeno slabljenje u propusnom opsegu je a p=0.5 dB.
b) Izračunati i prikazati karakteristiku slabljenja i faznu karakteristiku ovog filtra.
d) Odrediti konstante kaskadne strukture.
e) Odrediti konstante paralelne strukture.
Rešenje a)
clear all, close all;N=6;ap=0.5;fp=[2000 3000];
fs=10000;[z,p,k]=cheby1(N/2,ap,fp/(fs/2)); % ovaj oblik pogodniji za kasnije dobijanje koeficijenata kaskadne i paralelne strukture
Rešenje b)
b=k*poly(z);a=poly(p);[H,f]=freqz(b,a,[],fs);figure,subplot(2,1,1),plot(f,-20*log10(abs(H)));ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}(2{\it\pif}/{\itf_s})'),subplot(2,1,2),plot(f,unwrap(angle(H))),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}(2{\it\pif}/{\itf_s}) [rad]');
zacija digitalnih filtara file:///F:/glava10/glav
15 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 102/120
Rešenje c)
disp('Keoficiejnti direktne realizacione strukture:');disp(' -brojilac:');disp(b);disp(' -imenilac:');disp(a);
Keoficiejnti direktne realizacione strukture: -brojilac: 0.0154 0 -0.0462 0 0.0462 0 -0.0154
-imenilac: 1.0000 -0.0000 1.9900 -0.0000 1.5715 0.0000 0.4583
Rešenje d)
[basos_c,g_c]=zp2sos(z,p,k);[br_sec_c,ni]=size(basos_c);disp('Keoficiejnti kaskadne realizacione strukture:');disp('konstanta pojacanja:');disp(g_c);for brojac=1:br_sec_c disp([num2str(brojac) '. sekcija']); disp(' -brojilac:'); disp(basos_c(brojac,1:3)); disp(' -imenilac:'); disp(basos_c(brojac,4:6));end;
Keoficiejnti kaskadne realizacione strukture:konstanta pojacanja:
0.0154
1. sekcija -brojilac: 1 0 -1
-imenilac: 1.0000 0.0000 0.6618
2. sekcija -brojilac: 1 2 1
-imenilac: 1.0000 0.5798 0.8322
3. sekcija
zacija digitalnih filtara file:///F:/glava10/glav
15 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 103/120
-brojilac: 1 -2 1
-imenilac: 1.0000 -0.5798 0.8322
Rešenje e)
[rb,ra,g_p]=residuez(b,a);br_sec_p=ceil(length(ra)/2);tr_ind=1;sec_ind=1;while tr_ind<=length(ra)
if tr_ind==length(ra) || ra(tr_ind)~=conj(ra(tr_ind+1)) basos_p(sec_ind,1:6)=[rb(tr_ind),0,0,1 -ra(tr_ind),0]; tr_ind=tr_ind+1; sec_ind=sec_ind+1;
else [basos_p(sec_ind,1:3),basos_p(sec_ind,4:6)]=residuez([rb(tr_ind),rb(tr_ind+1)],[ra(tr_ind),ra(tr_ind+1)],0); tr_ind=tr_ind+2; sec_ind=sec_ind+1;
end;end;disp('Keoficiejnti paralelne realizacione strukture:');disp('konstanta pojacanja:');disp(g_p);for brojac=1:br_sec_p disp([num2str(brojac) '. sekcija']); disp(' -brojilac:'); disp(basos_p(brojac,1:3)); disp(' -imenilac:'); disp(basos_p(brojac,4:6));end;H_c_uk=g_c*ones(size(H));for brojac=1:br_sec_c H_c_uk=H_c_uk.*freqz(basos_c(brojac,1:3),basos_c(brojac,4:6));end;H_p_uk=g_p*ones(size(H));for brojac=1:br_sec_p H_p_uk=H_p_uk+freqz(basos_p(brojac,1:3),basos_p(brojac,4:6));end;figure,subplot(3,1,1),plot(f,-20*log10(abs(H)));ylim([-5 100]),ylabel('{\ita}_d(2{\it\pif}/{\itf_s}) [dB]');subplot(3,1,2),plot(f,-20*log10(abs(H_c_uk)));ylim([-5 100]),ylabel('{\ita}_c(2{\it\pif}/{\itf_s}) [dB]');
subplot(3,1,3),plot(f,-20*log10(abs(H_p_uk)));ylim([-5 100]),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\ita}_p(2{\it\pif}/{\itf_s}) [dB]');
Keoficiejnti paralelne realizacione strukture:konstanta pojacanja: -0.0336
1. sekcija -brojilac: -0.1878 - 0.0000i 0.0154 - 0.0000i 0
-imenilac: 1.0000 -0.5798 0.8322
2. sekcija -brojilac: -0.1878 -0.0154 0
-imenilac: 1.0000 0.5798 0.8322
3. sekcija -brojilac: 0.4247 - 0.0000i 0.0000 0
-imenilac: 1.0000 0.0000 0.6618
zacija digitalnih filtara file:///F:/glava10/glav
15 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 104/120
Zadatak 5
a) Projektovati IIR eliptički filtar propusnik opsega 6. reda sa sledećim specifikacijama: granične frekvencije propusnogopsega ω p1=0.3π i ω p2=0.3π , maksimalno dozvoljeno slabljenje u propusnom opsegu a p=1 dB, minimalno slabljenje u
nepropusnom opsegu aa=50 dB.
b) Formirati kaskadnu realizacionu strukturu ovog filtra.
c) Izračunati i prikazati amplitudske karakteristike sekcija drugog reda.
d) Izračunati i prikazati amplitudsku karakteristiku slabljenja filtra u celini.
Rešenje a)
clear all, close all;N=6;ap=1;
aa=50;wp=[0.3 0.4]*pi;[z,p,k]=ellip(N/2,ap,aa,wp/pi); % ovaj oblik pogodniji za kasnije dobijanje koeficijenata kaskadne i paralelne strukture
Rešenje b)
[basos_c,g_c]=zp2sos(z,p,k);[br_sec_c,ni]=size(basos_c);disp('Keoficiejnti kaskadne realizacione strukture:');disp('konstanta pojacanja:');disp(g_c);for brojac=1:br_sec_c disp([num2str(brojac) '. sekcija']); disp(' -brojilac:'); disp(basos_c(brojac,1:3)); disp(' -imenilac:');
disp(basos_c(brojac,4:6));end;
Keoficiejnti kaskadne realizacione strukture:konstanta pojacanja: 0.0060
1. sekcija -brojilac: 1.0000 0.0000 -1.0000
-imenilac: 1.0000 -0.8509 0.8511
2. sekcija -brojilac:
zacija digitalnih filtara file:///F:/glava10/glav
15 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 105/120
1.0000 0.3232 1.0000
-imenilac: 1.0000 -0.6030 0.9237
3. sekcija -brojilac: 1.0000 -1.6400 1.0000
-imenilac: 1.0000 -1.1308 0.9344
Rešenje c)
za_legendu='';for brojac=1:br_sec_c [H_c(:,brojac),w]=freqz(basos_c(brojac,1:3),basos_c(brojac,4:6)); za_legendu=[za_legendu; num2str(brojac) '. sekcija'];end;figure,plot(w,abs(H_c)),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}_{sos}({\it\omega})'),legend(za_legendu);
Rešenje d)
[H,w]=freqz(k*poly(z),poly(p));H_c_uk=g_c*ones(size(H));for brojac=1:br_sec_c H_c_uk=H_c_uk.*freqz(basos_c(brojac,1:3),basos_c(brojac,4:6));end;figure,subplot(2,1,1),plot(w/pi,-20*log10(abs(H)));ylim([-5 100]),ylabel('{\ita}_d({\it\omega}) [dB]');subplot(2,1,2),plot(w/pi,-20*log10(abs(H_c_uk)));ylim([-5 100]),
xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\ita}_c({\it\omega}) [dB]');
zacija digitalnih filtara file:///F:/glava10/glav
15 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 106/120
Published with MATLAB® 7. 8
zacija digitalnih filtara file:///F:/glava10/glav
15 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 107/120
Softverska implementacija u MATLAB-u
Sadržaj
Zadatak 1Rešenje a)Rešenje b)Rešenje c)
Zadatak 2Rešenje a)Rešenje b)
Zadatak 3Rešenje a)Rešenje b)
Zadatak 4Rešenje
Zadatak 5Rešenje a)Rešenje b)
Zadatak 1
a) Projektovati FIR filtar propusnik opsega dužine N =21 sa graničnim frekvencijamaω p1=0.32π i ω p2=0.55π . Filtar projektovati primenom Hamingovog prozora. Nacrtati
amplitudsku i faznu karakteristiku ovog filtra koristeći funkciju freqz.
b) Napisati MATLAB program za implementaciju ovog filtra na osnovu kaskadnerealizacione strukture.
c) Proveriti realizacionu strukturu iz tačke b) koristeći odziv sistema na jedinični impuls. Zaulazni signal { x(n)} uzeti,
Izračunati amplitudski spektar signala { y(n)} koji se dobija na izlazu filtra iz tačke b) irezultat uporediti sa amplitudskom karakteristikom filtra izračunatom u tački a).
Rešenje a)
clear all, close all;N=20;wp=[0.32 0.55]*pi;h=fir1(N,wp/pi,hamming(N+1));[H,w]=freqz(h,1);figure,subplot(2,1,1),plot(w/pi,-20*log10(abs(H)));ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}({\it\omega})'),subplot(2,1,2),plot(w/pi,unwrap(angle(H))),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}({\it\omega}) [rad]');
erska implementacija u MATLAB-u file:///F:/glava11/glav
4 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 108/120
Rešenje b)
z=roots(h);p=zeros(size(z));figure,zplane(z,p);tr_ind=1;sec_ind=1;while tr_ind<=length(z)
if tr_ind==length(z) || z(tr_ind)~=conj(z(tr_ind+1)) h_c(sec_ind,1:2)=poly(z(tr_ind)); tr_ind=tr_ind+1; sec_ind=sec_ind+1;
else
h_c(sec_ind,1:3)=poly([z(tr_ind) z(tr_ind+1)]); tr_ind=tr_ind+2; sec_ind=sec_ind+1;
end;
end;[br_sec_c,ni]=size(h_c);disp('Keoficiejnti kaskadne realizacione strukture:');
for brojac=1:br_sec_c disp([num2str(brojac) '. sekcija']); disp(h_c(brojac,:));end;
Keoficiejnti kaskadne realizacione strukture:1. sekcija 1.0000 -2.2100 7.6744
2. sekcija 1.0000 -1.9781 1.0000
3. sekcija 1.0000 -1.8971 1.0000
4. sekcija 1.0000 -1.7807 1.0000
5. sekcija 1.0000 2.4373 1.6417
6. sekcija 1.0000 1.2831 1.0000
7. sekcija 1.0000 1.7044 1.0000
8. sekcija 1.0000 1.9756 1.0000
9. sekcija 1.0000 1.4846 0.6091
10. sekcija
erska implementacija u MATLAB-u file:///F:/glava11/glav
4 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 109/120
1.0000 -0.2880 0.1303
Rešenje c)
H_c_uk=ones(size(H));x=zeros(256,1);x(1)=1;y=x;for brojac=1:br_sec_c H_c_uk=H_c_uk.*freqz(h_c(brojac,:),1); y=filter(h_c(brojac,:),1,y);
end;g_c=1/max(abs(H_c_uk));y=g_c*y;H_c_uk=g_c*H_c_uk;figure,subplot(3,1,1),plot(w/pi,-20*log10(abs(H)));xlim([0 1]),ylim([-5 100]),ylabel('{\ita}_d({\it\omega}) [dB]');subplot(3,1,2),plot(w/pi,-20*log10(abs(H_c_uk)));
xlim([0 1]),ylim([-5 100]),ylabel('{\ita}_c({\it\omega}) [dB]');Y=freqz(y,1);subplot(3,1,3),plot(w/pi,-20*log10(abs(Y)));xlim([0 1]),ylim([-5 100]),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\itY}({\it\omega}) [dB]');
erska implementacija u MATLAB-u file:///F:/glava11/glav
4 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 110/120
Zadatak 2
a) Projektovati Čebiševljev IIR filtar propusnik opsega 6. reda sa graničnim frekvencijamaω p1=0.32π i ω p2=0.55π , i varijacijom slabljenja u propusnom opsegu a p=0.5 dB. Nacrtati
amplitudsku i faznu karakteristiku ovog filtra.
b) Napisati MATLAB program za implementaciju ovog filtra u kaskadnoj strukturi koristeći prog11_5 za implementaciju sekcije drugog reda.
c) Proveriti realizacionu strukturu iz tačke b) na osnovu odziva sistema na jedinični impuls.Koristiti postupak iz zadatka br.1, tačka c).
Rešenje a)
clear all, close all;N=3; % red LP prototip filtra (red BP filta je dva puta veci)
ap=0.5;wp=[0.32 0.55]*pi;[z,p,k]=cheby1(N,ap,wp/pi); % ovaj oblik pogodniji za kasnije dobijanje koeficijenata kaskadne i paralelne struktureb=k*poly(z);a=poly(p);[H,w]=freqz(b,a);figure,subplot(2,1,1),plot(w/pi,-20*log10(abs(H)));ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}({\it\omega})'),subplot(2,1,2),plot(w/pi,unwrap(angle(H))),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}({\it\omega}) [rad]');
Rešenje b)
figure,zplane(z,p);[basos_c,g_c]=zp2sos(z,p,k);[br_sec_c,ni]=size(basos_c);disp('Keoficiejnti kaskadne realizacione strukture:');disp('konstanta pojacanja:');
disp(g_c);
for brojac=1:br_sec_c disp([num2str(brojac) '. sekcija']); disp(' -brojilac:'); disp(basos_c(brojac,1:3)); disp(' -imenilac:'); disp(basos_c(brojac,4:6));end;H_c_uk=g_c*ones(size(H));x=zeros(256,1);x(1)=1;y=g_c*x;for brojac=1:br_sec_c H_c_uk=H_c_uk.*freqz(basos_c(brojac,1:3),basos_c(brojac,4:6)); y=prog11_5(basos_c(brojac,:),y);end;
erska implementacija u MATLAB-u file:///F:/glava11/glav
4 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 111/120
figure,subplot(3,1,1),plot(w/pi,-20*log10(abs(H)));xlim([0 1]),ylim([-5 100]),ylabel('{\ita}_d({\it\omega}) [dB]');subplot(3,1,2),plot(w/pi,-20*log10(abs(H_c_uk)));
xlim([0 1]),ylim([-5 100]),ylabel('{\ita}_c({\it\omega}) [dB]');Y=freqz(y,1);subplot(3,1,3),plot(w/pi,-20*log10(abs(Y)));xlim([0 1]),ylim([-5 100]),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\itY}({\it\omega}) [dB]');
Keoficiejnti kaskadne realizacione strukture:konstanta pojacanja: 0.0223
1. sekcija -brojilac: 1 0 -1
-imenilac: 1.0000 -0.3506 0.6172
2. sekcija -brojilac: 1 2 1
-imenilac: 1.0000 0.2996 0.8001
3. sekcija -brojilac:
1 -2 1
-imenilac: 1.0000 -0.9923 0.8272
erska implementacija u MATLAB-u file:///F:/glava11/glav
4 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 112/120
Zadatak 3
a) Za IIR filtar projektovan u zadatku br.2 napisati MATLAB program za implementaciju u
paralelnoj strukturi koristeći prog11_5 za implementaciju sekcije drugog reda.
b) Proveriti realizacionu strukturu iz tačke a) na osnovu odziva sistema na jedinični impuls.Koristiti postupak iz zadatka br.1, tačka c).
Rešenje a)
clear all, close all;N=3; % red LP prototip filtra (red BP filta je dva puta veci)ap=0.5;wp=[0.32 0.55]*pi;[z,p,k]=cheby1(N,ap,wp/pi); % ovaj oblik pogodniji za kasnije dobijanje koeficijenata kaskadne i paralelne strukture
b=k*poly(z);a=poly(p);[H,w]=freqz(b,a);
figure,subplot(2,1,1),plot(w/pi,-20*log10(abs(H)));ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}({\it\omega})'),subplot(2,1,2),plot(w/pi,unwrap(angle(H))),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}({\it\omega}) [rad]');
Rešenje b)
erska implementacija u MATLAB-u file:///F:/glava11/glav
4 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 113/120
figure,zplane(z,p);[rb,ra,g_p]=residuez(b,a);br_sec_p=ceil(length(ra)/2);tr_ind=1;sec_ind=1;while tr_ind<=length(ra)
if tr_ind==length(ra) || ra(tr_ind)~=conj(ra(tr_ind+1)) basos_p(sec_ind,1:6)=[rb(tr_ind),0,0,1 -ra(tr_ind),0]; tr_ind=tr_ind+1; sec_ind=sec_ind+1;
else
[basos_p(sec_ind,1:3),basos_p(sec_ind,4:6)]=residuez([rb(tr_ind),rb(tr_ind+1)],[ra(tr_ind),ra(tr_ind+1)],0);
tr_ind=tr_ind+2; sec_ind=sec_ind+1;
end;end;disp('Keoficiejnti paralelne realizacione strukture:');disp('konstanta pojacanja:');disp(g_p);for brojac=1:br_sec_p disp([num2str(brojac) '. sekcija']); disp(' -brojilac:'); disp(basos_p(brojac,1:3)); disp(' -imenilac:'); disp(basos_p(brojac,4:6));
end;H_p_uk=g_p*ones(size(H));x=zeros(256,1);x(1)=1;y=g_p*x;
for brojac=1:br_sec_p H_p_uk=H_p_uk+freqz(basos_p(brojac,1:3),basos_p(brojac,4:6)); y=y+prog11_5(basos_p(brojac,:),x);end;figure,subplot(3,1,1),plot(w/pi,-20*log10(abs(H)));xlim([0 1]),ylim([-5 100]),ylabel('{\ita}_d({\it\omega}) [dB]');subplot(3,1,2),plot(w/pi,-20*log10(abs(H_p_uk)));xlim([0 1]),ylim([-5 100]),ylabel('{\ita}_p({\it\omega}) [dB]');Y=freqz(y,1);subplot(3,1,3),plot(w/pi,-20*log10(abs(Y)));xlim([0 1]),ylim([-5 100]),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\itY}({\it\omega}) [dB]');
Keoficiejnti paralelne realizacione strukture:konstanta pojacanja:
-0.0546
1. sekcija -brojilac: -0.1961 0.0679 0
-imenilac: 1.0000 -0.9923 0.8272
2. sekcija -brojilac: -0.2285 + 0.0000i 0.0144 - 0.0000i 0
-imenilac: 1.0000 0.2996 0.8001
3. sekcija -brojilac: 0.5015 -0.1087 0
-imenilac: 1.0000 -0.3506 0.6172
erska implementacija u MATLAB-u file:///F:/glava11/glav
4 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 114/120
Zadatak 4
a) Formirati signal,
x(n)=cos(2πnf 1/ f s)+1.5cos(2πnf 2/ f s) +1.8cos(2πnf 3/ f s)
gde je frekvencija odabiranja f s=8000 Hz, i f 1=1530 Hz, f 2=1800 Hz, f 3=2050 Hz. Signalu je
dodat šum varijanse 2.
b) Izračunati spektralnu gustinu snage ovog signala za sledeće dužine signala { x(n)}:
N =32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096.Rezultate predstaviti grafički.
Rešenje
clear all, close all;fs=8000;f1=1530; f2=1800; f3=2050;N=[32 64 128 256 512 1024 2048 4096];for br=1:length(N) n=(0:N(br)-1)'; x=cos(2*pi*n*f1/fs)+1.5*cos(2*pi*n*f2/fs)+1.8*cos(2*pi*n*f3/fs);%+sqrt(2)*randn(size(n)); X=fft(x); Sx=X.*conj(X)/N(br)/fs; f=fs*(0:N(br)/2-1)/N(br); figure,subplot(2,1,1),plot(f,10*log10((2*Sx(1:N(br)/2))));
erska implementacija u MATLAB-u file:///F:/glava11/glav
4 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 115/120
xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\itS_x}'),title(['duzina niza {\itN}=' num2str(N(br))]); Hs=spectrum.periodogram; subplot(2,1,2),psd(Hs,x,'Fs',fs);
end;
erska implementacija u MATLAB-u file:///F:/glava11/glav
4 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 116/120
erska implementacija u MATLAB-u file:///F:/glava11/glav
14 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 117/120
Zadatak 5
erska implementacija u MATLAB-u file:///F:/glava11/glav
14 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 118/120
Analizirati efekte konačne dužine reči na karakteristiku slabljenja IIR filtra projektovanog uzadatku br.2, tačka a).
a) Analiza kaskadne realizacione strukture. Konstante filtra izračunate u zadatku br.2, tačka b), predstaviti sa dužinom reči od 10 bita. Primeniti zaokružavanje. Izračunati karakteristikuslabljenja filtra i uporediti sa karakteristikom koja se dobija sa tačnim vrednostima konstanti.
b) Analiza paralelne realizacione strukture. Postupak iz prethodne tačke ponoviti i za paralelnu realizacionu strukturu.
c) Postupak iz tačaka a) i b) ponoviti za dužine reči od 8 i 12 bita.
Rešenje a)
clear all, close all;duz_kod_rec=[8 10 12];N=3; % red LP prototip filtra (red BP filta je dva puta veci)
ap=0.5;wp=[0.32 0.55]*pi;[z,p,k]=cheby1(N,ap,wp/pi); % ovaj oblik pogodniji za kasnije dobijanje koeficijenata kaskadne i paralelne struktureb=k*poly(z);a=poly(p);[H,w]=freqz(b,a);[basos_c_full,g_c_full]=zp2sos(z,p,k);[br_sec_c,ni]=size(basos_c_full);for br=1:length(duz_kod_rec) basos_c=round(basos_c_full*2^(duz_kod_rec(br)-1))/2^(duz_kod_rec(br)-1); g_c=round(g_c_full*2^(duz_kod_rec(br)-1))/2^(duz_kod_rec(br)-1);
H_c_uk(:,br)=g_c*ones(size(H));for br_sec=1:br_sec_c
H_c_uk(:,br)=H_c_uk(:,br).*freqz(basos_c(br_sec,1:3),basos_c(br_sec,4:6));end;
end;figure,plot(w/pi,-20*log10(abs(H)),w/pi,-20*log10(abs(H_c_uk)));xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\ita}_c({\it\omega}) [dB]');legend('MATLAB','8 bita','10 bita','12 bita');figure,plot(w/pi,(abs(H)),w/pi,(abs(H_c_uk)));xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}_c({\it\omega})');legend('MATLAB','8 bita','10 bita','12 bita');
erska implementacija u MATLAB-u file:///F:/glava11/glav
14 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 119/120
Rešenje b)
[rb,ra,g_p_full]=residuez(b,a);br_sec_p=ceil(length(ra)/2);tr_ind=1;sec_ind=1;while tr_ind<=length(ra)
if tr_ind==length(ra) || ra(tr_ind)~=conj(ra(tr_ind+1)) basos_p_full(sec_ind,1:6)=[rb(tr_ind),0,0,1 -ra(tr_ind),0]; tr_ind=tr_ind+1; sec_ind=sec_ind+1;
else [basos_p_full(sec_ind,1:3),basos_p_full(sec_ind,4:6)]=residuez([rb(tr_ind),rb(tr_ind+1)],[ra(tr_ind),ra(tr_ind+1)],0);
tr_ind=tr_ind+2; sec_ind=sec_ind+1;
end;
end;for br=1:length(duz_kod_rec) basos_p=round(basos_p_full*2^(duz_kod_rec(br)-1))/2^(duz_kod_rec(br)-1); g_p=round(g_p_full*2^(duz_kod_rec(br)-1))/2^(duz_kod_rec(br)-1);
H_p_uk(:,br)=g_p*ones(size(H));for br_sec=1:br_sec_p
H_p_uk(:,br)=H_p_uk(:,br)+freqz(basos_p(br_sec,1:3),basos_p(br_sec,4:6));end;
end;figure,plot(w/pi,-20*log10(abs(H)),w/pi,-20*log10(abs(H_p_uk)));xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\ita}_p({\it\omega}) [dB]');legend('MATLAB','8 bita','10 bita','12 bita');figure,plot(w/pi,(abs(H)),w/pi,(abs(H_p_uk)));xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}_p({\it\omega})');legend('MATLAB','8 bita','10 bita','12 bita');
erska implementacija u MATLAB-u file:///F:/glava11/glav
14 09-Dec-15
7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana
http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 120/120
erska implementacija u MATLAB-u file:///F:/glava11/glav