Dạng 1 : Viết Phương Trình Tiếp tuyến tại điểm · Cho hàm số y x x x C 3 23 2 5 ( ) . viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949 ……………………………………………………………………………………………………… Bài 1 : Chuyên Đề Tiếp Tuyến Ví dụ 1: Cho hàm số 3 23 2 5 ( )y x x x C . viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 Bài giải : Với x = 1 y - 4 (1, 5)M ( )C ' 2 '3 6 2 (1) 1y x x y ; vậy tiếp tuyến tại M có dạng : 1( 1) 5 4y x y x Ví dụ 2 : (Dự bị D2006)

cho hàm số 3 ( )1

xy Cx

. cho m 0 0( , ) ( )M x y C . tiếp tuyến tại M cắt các tiện cận của đồ thị hàm số

(C) tại hai điểm A, B . chứng minh rằng M là trung điểm AB . bài giải:

00 0

0

3( , ) ( )1o

xM x y C yx

, '2 2

0

4 4( 1) ( 1)

y kx x

, tiếp tuyến tại M có dạng (d) :

20 0 0

0 0 02 2 2 20 0 0 0 0

3 5 34 4 4( ) ( )( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1)

x x xy x x y y x x y xx x x x x

Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến (d) và tiệm cận đứng x = 1 . suy ra tọa độ điểm A là nghiệm của hệ : 20 0

2 2 00 0 0

00

15 347(1, )( 1) ( 1) 71

11

xx xy x xAx x xy xxx

Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận ngang y = 1 , suy ra tọa độ của B là nghiệm của hệ : 20 0

02 200 0

5 34 2 1(2 1,1)( 1) ( 1)

11

x xy x x xB xx x

yy

Nhận xét :

00

0

0 0

0

1 2 12 2

7 à trung diem AB 11 3

2 2 1

A BM

A BM

xx x x x

x M lx xy y y

x

(đpcm)

Ví dụ 3 : (D2005)

Cho hàm số 3 21 1 ( )3 2 3 m

my x x C . cho M ( )mC , biết rằng 1Mx , tìm m để tiếp tuyến tại M

song song với đường thẳng 5x - y = 0 Bài giải :

' 2y x mx hệ số góc tiếp tuyến tại M '( 1) 1k y m , để tiếp tuyến song song với đường thẳng 5x – y = 0 1 5 4k m m http://chuyentoan.wordpress.com Nha Trang 8/2009

Dạng 1 : Viết Phương Trình Tiếp tuyến tại điểm 0 0M( , ) ( ) : ( )x y C y f x Cách giải : * tính ' '( )y f x ; tính '

0( )k f x ( hệ số góc của tiếp tuyến ) * tiếp tuyến tại M có dạng : 0 0( )y k x x y

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949 …………………………………………………………………………………………………………… Ví dụ 4 : (ĐH Thương Mại 2000) Cho hàm số 3 3 1 ( )y x x C , và điểm 0 0( , )A x y (C) , tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A cắt (C) tại điểm B khác điểm A . tìm hoành độ điểm B theo 0x Bài giải : Vi điểm 0 0( , )A x y (C) 3

0 0 03 1y x x , ' 2 ' 20 03 3 ( ) 3 3y x y x x

Tiếp tuyến của đồ thị hàm có dạng : ' 2 3 2 3

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( )( ) (3 3)( ) 3 1 (3 3)( ) 2 1 ( )y y x x x y y x x x x x y x x x x d phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) :

3 2 3 3 2 3 20 0 0 0 0 0 0

200

000

3 1 (3 3)( ) 2 1 3 2 0 ( ) ( 2 ) 0

( ) 0( 0)

22 0

x x x x x x x x x x x x x x

x xx xx

x xx x

Vậy điểm B có hoành độ 02Bx x Khi sử lý các bài toán dạng này thông thường hệ số góc k cho ở dạng gián tiếp thông thường bài toán cho tiếp tuyến song với đường thẳng : 1y k x m hệ số góc của tiếp tuyến 1k k . Nếu bài toán cho tiếp

tuyến vuông góc với đường thẳng : 2y k x m hệ số góc của tiếp tuyến 22

1 ( . 1)k do k kk

.

Nếu bài toán cho tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d) : 'y k x m một góc là , các em có thể dùng công

thức sau để tìm k : '

'tan1k k

kk

( tuy nhiên các em phải chứng minh khi sử dụng , xem cuốn: giúp trí

nhớ Toán học , Nguyễn Dương 2008) Một số ví Dụ Điển Hình Ví Dụ 1 : (ĐH Ngoại Ngữ 2001)

cho hàm số 31 23 3

y x x , viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

1 2 ( )3 3

y x d

http://chuyentoan.wordpress.com Nha Trang 8/2009

Dạng 2 : Viết tiếp tuyến của đồ thi hàm số ( )y f x (C) khi biết trước hệ số góc của nó Nếu hệ số góc của tiếp tuyến là k ta có thể lập tiếp tuyến bằng 2 cách sau Cách 1 : Tiếp tuyến (d) có dạng y kx m ( k đã biết )

(d) tiếp xúc (C ) '

( ) (1)( ) (2)

f x kx mf x k

có nghiệm

Từ phương trình 2 ta giải ra được 0x x ( hoành độ tiếp điểm ) thế vào (1) ta tìm được k tiếp tuyến Cách 2 : Gọi 0 0( , )M x y là tiếp điểm , giải phương trình '

0 0( )f x k x x , 0 0( )y f x Đến đây trở về dạng một ta dễ dàng lập được tiếp tuyến của đồ thi : 0 0( )y k x x y

www.vietmaths.com

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949 …………………………………………………………………………………………………………… Bài giải : Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) tiếp tuyến có dạng : 3y x m

Điều kiện tiếp xúc : 3

2

1 2 3 (1)3 3

1 3 (2)

x x x m

x

có nghiệm

33

2

1 241 2 144 3 3 2,3 3 32

2, 642

x x mx x m x m

xx mx

x

Với 143

m tiếp tuyến có dạng 1433

y x

Với m = 6 tiếp tuyến có dạnh y = 3x +6 Ví dụ 2 : (ĐH cảnh sát 1998)

Cho hàm số 2 3 3

2x xy

x

; viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng :

y = -3x +2 Bài giải : Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 2 tiếp tuyến có dạng y = -3x + m

Điều kiện tiếp xúc

2

2

2

3 3 3 (1)2

4 3 3 (2)( 2)

x x x mx

x xx

có nghiệm 2x (2) 2

324 16 15 052

xx x

x

Với 3 32

x m tiếp tuyến có dạng : 3 3y x

Với 5 112

x m tiếp tuyến có dạng : 3 11y x

Ví dụ 3 : Cho hàm số 33 4y x viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d) :

3 6 0y x một góc 030 Hướng dẫn giải:

(d) 1 2 33

y x có hệ số góc 113

k ; tiếp tuyến có hệ số góc 2k

Áp dụng công thức (*) : 0 1 2

1 2

tan 301k k

k k

dễ dàng tính được 2k

Sau đó áp dụng dạng 2 lập tiếp tuyến khi biết trước hệ số góc ta tìm được 3 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu của bài toán đó là :

1 2 211 3 11 3( ) : 4 ; ( ) : 3 ; ( ) : 3

3 3d y d y x d y x

Ví dụ 4 : (ĐH Ngoại Thương 1998) Cho hàm số 3 23 9 5 ( )y x x x C . trong tất cả các tiếp tuyến của (C ) tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất http://chuyentoan.wordpress.com Nha Trang 8/2009

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949 …………………………………………………………………………………………………………… Bài giải : TXĐ: D R Ta có : , 23 6 9y x x ; gọi 0 0( , ) ( )M x y C hệ số góc tiếp tuyến của (C ) tại M :

20 0 0

' '0 0 0 0

( ) 3 6 9

( ) 6 6 ; ( ) 0 1

k f x x xf x x f x x

( 1)f -12

Bảng biến thiên : x 0 -1

f’(x 0 ) - 0 +

f(x) -12

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 0 0 0min ( ) 12 1 , 16f x x y Vậy tại điểm có ( 1,16)M thì tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất ( chính là điểm uốn của đồ thị ) Cach khác : Ta có : 2 2

0 0 0 0( ) 3 6 9 3( 1) 12 12 min 12,k f x x x x k đạt được khi 0 01 12x y Vậy tại điểm có ( 1,16)M thì tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất ( chính là điểm uốn của đồ thị) Một số ví Dụ Điển Hình Ví dụ 1 : (ĐH Ngoại Thương 1999)

Cho hàm số 22

xyx

; viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm ( 6,5)A

Bài giải : Tiếp tuyến đi qua ( 6,5)A có dạng : ( 6) 5y k x

Điều kiện tiếp xúc : 2

2 ( 6) 5 (1)24 (2)

( 2)

x k xx

kx

có nghiệm 2x

Thế (2) vào (1) ta được : 22

02 4 ( 6) 5 6 062 ( 2)

xx x x xxx x

Với x = 0 1k tiếp tuyến có dạng : 1y x http://chuyentoan.wordpress.com Nha Trang 8/2009

+

Dạng 3: viết phương trình tiếp tuyến biết nó đi qua một điểm cho trước Bài toán : cho hàm số : ( )y f x và điểm 0 0( , )A x y viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A Cách giải : bước 1 : tiếp tuyến đi qua 0 0( , )A x y có dạng : 0 0( )y k x x y

bước 2: điều kiện tiếp xúc 0 0'

( ) ( ) (1)ó

( ) (2)

f x k x x yc

f x k

nghiệm

bước 3: giải hệ này ta tìm được k phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

www.vietmaths.com

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949 ……………………………………………………………………………………………………………

Với x = 6 14

k tiếp tuyến có dạng : 1 74 2

y x

Như vậy ta kẻ được hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán Ví dụ 2 : (ĐH Ngoại Ngữ Hà Nội 1998)

Cho hàm số : 3 21 2 33

y x x x viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến đi qua 4 4( , )9 3

A

Bài giải :

Tiếp tuyến đi qua A có dạng : 4 4( )9 3

y k x

Điều kiện tiếp xúc : 3 2

2

1 4 42 3 ( ) (1)ó 3 9 3

4 3 (2)

x x x k xc

x x k

nghiệm

Thay (2) vào (1) ta được :

3 2 2 3 2

01 4 4 82 3 ( 4 3)( ) 3 11 8 03 9 3 3

1

x

x x x x x x x x x x

x

Với x = 0 3k tiếp tuyến có dạng : 3y x

Với x = 8 53 9

k tiếp tuyến là : 5 1289 81

y x

Với x = 1 0k tiếp tuyến có dạng : y = 43

Vậy từ A vẽ được ba tiếp tuyến tới đồ thị hàm số Ví dụ 3 : (dự bị B 2005)

Cho hàm số : 2 2 2 ( )

1x xy C

x

, chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C ) đi qua giao điêm I

của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (C ) Bài giải:

2 2 2 11

1 1x xy x

x x

tiệm cận đứng x = -1 ; tiệm cận xiên y = x +1 . gọi I là giao điểm của hai

đường tiệm cận trên ( 1,0)I Đường thẳng (d) qua I có dạng : ( 1)y k x

(d) là tiếp tuyến của (C )

2

2

2

2 2 ( 1) (1)1

2 (2)( 1)

x x k xx

x x kx

có nghiệm 1x

Thay (2) vào (1) ta được : 2 2

2

2 2 2 ( 1) 2 01 ( 1)

x x x x xx x

(vô nghiệm ) vậy từ I không kẻ được tiếp

tuyến nào tới đồ thị hàm số (đpcm) http://chuyentoan.wordpress.com Nha Trang 8/2009

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949 …………………………………………………………………………………………………………… Một số ví dụ điển hình : Ví dụ 1 : (D2007) Cho hàm số 2 ( )

1xy C

x

tìm điểm M ( )C sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M cắt hai trục tọa độ

tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 14

Bài giải :

00 0 0

0

2( , ) ( )1

xM x y C yx

, 2

2'( 1)

yx

Tiếp tuyến tại M có dạng : 2

0 00 0 0 02 2 2

0 0 0 0

2 22 2'( )( ) ( ) ( )( 1) 1 ( 1) ( 1)

x xy y x x x y y x x y x dx x x x

Gọi ( ) oxA d tọa độ điểm A là nghiệm của hệ : 20 2

202 200 0

22( ,0)( 1) ( 1)

00

xy x x xA xx x

yy

Gọi ( ) oyB d tọa độ điểm B là nghiệm của hệ : 20 2 2

2 2 0 00 0 2 2

0 0

22 0 2 2(0, )( 1) ( 1)( 1) ( 1)

0

xy x x x xBx xy x x

x

Tam giác OAB vuông tại O ; OA = 2 20 0x x ; OB =

2 20 0

2 20 0

2 2( 1) ( 1)

x xx x

Diện tích tam giác OAB : S = 12

OA.OB

= 2 240 0 0 0 0 04 20

0 02 2 20 0 0 0 0

0 0

12 1 2 1 0 221 1. 4 ( 1) 22 ( 1) 4 2 1 2 1 1( ) 1 1

x x x x x yx x xx x x x x vn x y

Vậy tìm được hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán : 1 21( ; 2) ; (1,1)2

M M

Vi Dụ 2 : (A2009)

Cho hàm số 2 (1)2 3xyx

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt

tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ . http://chuyentoan.wordpress.com Nha Trang 8/2009

Dạng 4 : Một Số Bài Toán Nâng Cao Về Tiếp Tuyến Luyện Thi Đại Học

www.vietmaths.com

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949 …………………………………………………………………………………………………………… Ví dụ 3 : (dự bị D 2007)

Cho hàm số 1

xyx

(C ) ; viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C ) ; sao cho (d) cắt hai đường tiệm cận

của (C) tạo thành một tam giác cân Ví dụ 4: (dự bị B2007)

Cho hàm số 1 ( )2 m

my x Cx

tìm m để hàm số có cực đại tại A và tiếp tuyến của ( )mC tại A cắt

trục oy tại B mà tam giác OAB vuông cân Ví dụ 5: (học viện BCVT 1998) Cho hàm số 3 12 12 ( )y x x C . tìm trên đường thẳng y = - 4 những điểm mà từ đó vẽ được 3 tiếp tuyến phân biệt tới đò thị ( C) Bài giải : Điểm M nằm trên đường thẳng y = -4 nên M( m , - 4) Tiếp tuyến qua M có dạng : ( ) 4y k x m

Điều kiện tiếp xúc : 3

2

12 12 ( ) 4 (1)3 12 (2)x x k x mx k

có nghiệm

Thế (2) vào (1) ta được : 3 2 3 2

2 2

2

12 12 (3 12)( ) 4 12 16 (3 12)( )

( 2)( 2 8) 3( 2)( 2)( ) ( 2) 2 (4 3 ) 8 6 0

2( ) 2 (4 3 ) 8 6 0

x x x x m x x x x m

x x x x x x m x x m x m

xg x x m x m

Để từ M có thể kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị (C) thì g(x) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt 2

2 2

4(4 3 ) 8(8 6 ) 0 3 8 16 0 4

(2) 24 12 0 24 12 0 32

mm m m m

mg m m

m

Vậy M (m , -4) với 4( , 4) ( , ) & 23

m m là điểm cần tìm

Ví dụ 5 : ( học viện BCVT 199) Cho hàm số 3 23 2 ( )y x x C . Tìm cá điểm thuộc đồ thị (C) mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C ) Bài giải :

3 2 20 0 0 0 0( , ) ( ) 3 2 ; ' 3 6M x y C y x x y x x

Tiếp tuyến qua M : 3 20 0 0 0 0( ) ( ) 3 2y k x x y k x x x x

Điều kiện tiếp xúc :

3 2 3 2

0 0 0

2

3 2 ( ) 3 2 (1)

3 6 (2)

x x k x x x xx x k

( có nghiệm )

Thế (2) vào (1) ta được : Nha Trang 8/2009

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949 ……………………………………………………………………………………………………………

3 2 2 3 2 3 2 3 20 0 0 0 0 0 0

0(2)20 0 0

3 2 ( 3 6 )( ) 3 2 2 3( 1) 6 3 0 (1)

( )(2 3) 0 32

x x x x x x x x x x x xx x xx x

x x x x xx

Để từ M vẽ được 1 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số thì phương trình (2) phải có một nghiệm 0

0 0 03 1 0

2xx x y

vậy điểm M cần tìm có tọa độ là : M ( 1, 0)

Lời bàn : ( vì tiếp tuyến có tọa độ tiếp điểm là M nên (1) luôn có nghiệm kép 0x x , dùng sơ đồ horney chia ra ta được phương trình (2) thôi ) Ví dụ 6 : Cho hàm số : 3 3 ( )y x x C . tìm trên đường thẳng : x = 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với đồ thị hàm (C ) Bài giải : Điểm M đường thẳng x = 2 (2, )M a Tiếp tuyến qua M có dạng : ( 2)y k x a

Điều kiện tiếp xúc : 3

2

x 3 ( 2) (1)3 3 (2)

x k x ax k

có nghiệm

Thay (2) vào (1) ta được phương trình : 3 2 3 2 3 23 (3 3)( 2) 2 6 6 6 0 2 6 6x x x x a x x x a a x x (*)

Xét hàm số : 3 2( ) 2 6 6 ,f x x x TXĐ : D = R ; 2'( ) 6 12f x x x

2 0'( ) 0 6 12 0

2x

f x xx

Bảng biến thiên: x 0 2 y’ - 0 + 0 -

y 2 -6

Để từ M kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số thì phương trình (*) phải có 3 nghiệm phân biệt . dựa vào bảng biến thiên ta thấy (*) có 3 nghiệm phân biệt 6 2a Kết luận : vậy điểm M (2, a ) với ( 6,2)a là điểm nằm trên đường thẳng x = 2 có thể kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị hàm (C ) Ví dụ 7 : (ĐH Y dược TP HCM 1998 ) Cho hàm số 4 22 1y x x (C ) . tìm trên trục tung những điểm mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số (C) Ví dụ 8 : (ĐH Sư Phạm TP HCM 2001 )

Cho hàm số 2 ( )2

xy Cx

, cho điểm A ( 0 , a ) tìm a để từ A có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến

(C) đồng thời 2 tiếp điểm nằm về trục ox Nha Trang 8/2009

www.vietmaths.com

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949 …………………………………………………………………………………………………………… Bài giải : Phương trình tiếp tuyến qua A có dạng : y = kx + a

Điều kiện tiếp xúc : 2

2 (1)13 (2)

( 1)

x kx ax

kx

có nghiệm 1x

Thay (2) vào (1) ta được : 22

2 3 ( ) ( 1) 2( 2) 2 ( 1)1 ( 1)

x x a g x a x a x a xx x

(*)

Để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới (C ) thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1 :

2( 2) ( 1)( 2) 3 6 01

1 02

(1) 3 0

a a a aa

aa

g

(**)

Giả sử hai tiếp điểm lần lượt là : 1 1 2 2( , ) ; ( , )A x y B x y là tọa độ hai tiếp điểm thì 1 2,x x là nghiệm của (*)

Và 1 21 2

1 2

2 2;1 1

x xy yx x

; áp dụng định lý Vi-et ta được : 1 2

1 2

2( 2)1

21

ax xa

ax xa

Để A, B nằm về 2 phía trục ox thì y 1 2 1 2 1 21 2

1 2 1 2 1 2

( 2) ( 2) 2( ) 40 . 0 0( 1) ( 1) ( ) 1x x x x x xy yx x x x x x

2 2( 2)2. 4 21 1 0 3 2 02 2( 2) 32. 11 1

a aa a a aa aa a

Dối chiếu với điêu kiện (**) thì ta tìm được : 2 ; 13

a a

Lời bàn : Nếu bài toán yêu cầu tìm a để từ a kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị , sao cho tiếp điểm nằm về 2 phía trục oy thì chỉ cần phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt 1 2,x x sao cho 1 20x x Ví dụ 9 : Cho hàm số : 3 23 2 ( )y x x C . tìm trên đường thẳng : y = -2 những điểm mà từ đó có thể kẻ đến đồ thị hàm số (C ) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau ? Hướng dẫn giải : Diểm M đường thẳng : y = -2 ( , 2)M m Sau đó các em lập phương trình tiếp tuyến qua M , sử dụng điều kiện tiếp xúc ta đưa ra được phương trình sau :

22

2( 2) 2 (3 1) 2 0

( ) 2 (3 1) 2 0x

x x m xg x x m x

Với x = 2 thì tiếp tuyến : y = 2 ; không tìm được tiếp tuyến nào của (C ) vuông góc với đường thẳng trên Vậy để từ M có thể kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau thì g(x) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt

1 2, 2x x và 1 2 1k k làm tương tự như ví dụ trên ta tìm được 55 55( , 2)27 27

m M

Nha Trang 8/2009

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949 ……………………………………………………………………………………………………………

Ta đã biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại mọi điểm bất kì trên khoảng lồi luôn nằm phía trên đồ thị và tiếp tuyến tại mọi điểm trên khoảng lõm luôn nằm phía dưới đồ thị, còn tại điểm uốn của đồ thị thì tiếp tuyến xuyên qua nên ta có nhận xét sau

Nhận xét: Nếu là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm

( A không phải là điểm uốn) , khi đó tồn tại một khoảng I chứa điểm sao cho hoặc . Đẳng thức xảy ra khi

Bây giờ ta vận dụng nhận xét này để chứng minh một số bất đẳng thức

Bài toán 1: Cho và . Cmr :

Lời giải:

*Nhận xét: Ta thấy đẳng thức xảy ra khi và Bđt cần chứng minh có dạng :

Trong đó với .Nên ta đánh giá f(x) và tiếp tuyến tại điểm có hoành độ

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là:

Ta có:

đpcm

Chú ý: Nếu là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm thì ta luôn phân tích được

Bài toán 2 :Cho và . Cmr :

Lời giải : Ta thấy đẳng thức xảy ra khi và Bđt đã cho có dạng

trong đó với Nha Trang 8/2009

Dạng 5 : Ý Nghĩa Hình Học của Tiếp Tuyến ( tham khảo thêm)

www.vietmaths.com

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949

……………………………………………………………………………………………………………

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là:

Tiếp theo ta sẽ đánh giá . Thật vậy

điều này luôn đúng với mọi x và đẳng

thức xảy ra khi . Vậy ta có:

Mặt khác : nên suy ra đpcm

Ta thấy rằng yếu tố quan trọng nhất để chúng ta có thể sử dụng phương pháp này là ta chuyển được Bđt về dạng

hoặc và thỏa mãn điều kiện nào đó.

Bài toán 3: Cho .Cmr : Cmr: 2 2 2

9( ) ( ) ( ) 4( )

a b cb c a c a b a b c

Lời giải: Vì nếu Bđt đúng với bộ số thị cũng đúng với bộ số nên ta có thể giả sử .Khi đó Bđt đã cho trở thành

với

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là

Ta có:

Suy ra : đpcm

Bài toán 4:Cho . 2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) 6( ) ( ) ( ) 5

a b c b a c c b aa b c b a c c b a

Nha Trang 8/2009

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949

……………………………………………………………………………………………………………

(Trích đề thi Olympic 30-4 Lớp 11 năm 2006)

Lời giải: Không mất tính tổng quát ta giả sử

Khi đó bđt đã cho trở thành:

Hay

với với 0<x<1

Ta thấy đẳng thức xảy ra khi và tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

là:

Ta có:

Vậy đpcm

Bài tập về tiếp tuyến Vấn Đề 5: Tiếp Tuyến Của Đồ Thị

bài 1: cho hàm số 2 2 102( 1)

x xyx

. viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = -1.

bài 2 : cho hàm số 2 2 2

1x xy

x

. viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục ox

bài 3: cho hàm số 31

xyx

(C) , cho điểm 0 0 0( , ) ( )M x y C . tiếp tuyến của ( )C tại 0M cắt các tiệm cận của (C)

tại A và B . chứng minh rằng 0M là trung điểm của AB và tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí của điểm 0M . (Dự Bị D 2006)

bài 4: cho hàm số 2 11

xyx

(C) , gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận . tìm điểm ( )M C

sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M vuông góc với đường thẳng IM ( Dự Bị B2003)

bài 5 : cho hàm số 23

xyx

( )C . viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết rằng tiếp tuyến cắt hai đường tiêm

Nha Trang 8/2009

www.vietmaths.com

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949 …………………………………………………………………………………………………………… cận của ( )C tại hai điêm A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O ( Khối A 2009) Bài 6: cho hàm số 3 22 3 5y x x viết phương trình tiếp tuyến ,biết rằng tiếp tuyến đi qua

19( , 4)12

A ( ĐH Quốc Gia Thành Phố HCM 2001)

Bài 7: cho hàm số 22

xyx

( )C . viết phương trình tiếp tuyến tuyến với đồ thị hàm số , biết tiếp tuyến đi qua

điểm A ( -6,5) ( ĐH Ngoại Thương TPHCM 1995)

Bài 8 : cho hàm số y = 11

xx

, CMR có thể kẻ từ A( 1,-1) tới đồ thị hai tiếp tuyến vuông góc với nhau (ĐH

Bách Khoa 1996)

Bài 9: cho hàm số sau : 4 21 332 2

y x x . viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua 3(0, )2

A

Bai10: cho hàm số : 3 21 2 33

y x x x . qua điểm 4 4( , )9 3

A kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến tới đồ thị hàm s

(ĐH Ngoại Ngữ 1998)

Bài 11 : cho hàm số 2 2 2( 1)

x xyx

. chứng minh rằng từ giao điểm của hai đường tiệm cận không kẻ được tiếp

tuyến nào tới đồ thị của hàm số (B 2005)

Bài 12: cho hàm số 2 3 3 ( )

2x xy C

x

. Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường

thẳng (d) : 3 6 0y x (ĐH Cảnh Sát 1998) Bài 13 : cho hàm số 33 4 ( )y x C . viết phương trình tiếp tuyến ,biết rằng tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d) :

3 6 0y x một góc 030 Bài 14 : cho hàm số : 3 23 9 5 ( )y x x x C . trong các tiếp tuyến với đồ thị tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất ( ĐH Ngoại Thương 1998)

Bài 15 : cho hàm số 2 11

xyx

, gọi I là tâm đối xứng của đồ thị . tìm điểm M thuộc đồ thị ,sao cho tiếp tuyến tại

M vuông góc với đường thẳng IM ( Dự bị B2003)

Bài 16: cho hàm số : 31 2 ( )3 3

y x x C tìm trên đồ thị những điểm mà từ đó kẻ được tiếp tuyến vuông góc

với đường thẳng 1 23 3

y x (ĐH Ngoại Ngữ 2001)

Bài 17: cho hàm số 1 ( )1

xy Cx

. Tìm m để đường thẳng ( ) : 2d y x m cắt đồ thị hàm số ( )C tại hai điểm

phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến tại A, B song song với nhau (CĐSP 2005)

Bài 18: cho hàm số 2 ( )1

xy Cx

, tìm điểm ( )M C , biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M tại hai diểm A, B và

tam giác OAB có diện tích bằng 12

(D2007)

Bài 19: cho hàm số ( )1

xy Cx

, Viết phương trình tiếp tuyến ( )d của đồ thị cắt hai đường tiệm cận tại A,B sao

cho tam giác IAB cân , I là giao điểm của hai đường tiệm cận ( D2007_dự bị) http://chuyentoan.wordpress.com Nha Trang 8/2009

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949 …………………………………………………………………………………………………………… Bài 20: cho hàm số 3 12 12 ( )y x x C tìm trên đường thẳng y = 4 mà từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị ( )C ( HV Bưu Chính Viễn Thông 1998) Bài 21: cho hàm số 3 23 2 ( )y x x C Tìm trên ( )C những điểm mà từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( )C ( HV Bưu Chính Viễn Thông 1999)

Bài 22: cho hàm số 2 ( )1

xy Cx

. và điểm A(0, a ) . tìm a để từ điểm A có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến ( )C .

sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía trục ox (ĐH Sư Phạm TP HCM 2001) Bài 23 : cho hàm số 3 23 2 ( )y x x C tìm trên đường thẳng 2y các điểm mà từ đó có thể kẻ đến đồ thị hàm số (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau Bài 24 cho hàm số 3 23 ( )y x x C Tìm trên đường thẳng 2x những điểm mà từ đó có thể kẻ đúng 3 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số Bài 25: cho hàm số 4 22 1 ( )y x x C tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị ( )C (ĐH Y Dược TP HCM 1998)

Nha Trang 8/2009

www.vietmaths.com