distribusi kontinu 4.pptx

DISTRIBUSI KONTINU

Pandang interval 0 ≤ x ≤ 1. berapa p(xi) = P (X=xi), dimana 0 ≤ x ≤ 1? Karena banyaknya titik selang [0,1] tidak terbilang, kita tidak dapat mengatakan titik ke-i selang [0,1] dan P (X=xi) tidak mempunyai arti. Kita dapat mengganti fungsi p (x) yang ditentukan pada RX yang terbilang dengan fungsi f (x) yang didefinisikan untuk setiap x dalam interval I = (-~, ~) dengan syarat :

f(x) disebut fungsi padat atau fungsi kemungkinan variabel x.

Distribusi UniformMisal X varibel acak kontinu dengan interval [a,b], dimana a dan b kedua-duanya hingga dan fungsi padatnya :

maka X disebut mempunyai distribusi uniform R [a,b] atau distribusi persegipanjang R [a,b].

Distribusi UniformContoh: Sebuah ruang konferensi dapat disewa untuk rapat yang lamanya tidak lebih dari 4 jam . Misalkan X adalah peubah acak yang menyatakan waktu rapat, yang mempunyai distribusi seragam.a) Tentukan fungsi densitas peluang dari Xb) Tentukan peluang suatu rapat berlangsung 3 jam atau lebih

Distribusi Uniform

ContohWaktu seseorang menunggu datangnya pesawat disebuah bandara anatara jam 08.00-10.00 berdistribusi uniform.

a. Berapa probabilitas seseorang harus menunggu kurang sama dengan 30 menit dari jam 08.00?

b. lebih dari 30 Menit,

Distribusi Uniform

JawabInterval 08.00-10.00 adalah 120 menit, a=0 dan b=120

a. .

b. P(x>30)=1-P(x≤30)= 1 – 0,25 = 0.75

25.00120

1)30(30

0

dxxP

Distribusi Normal

• Distribusi kontinu yg penting adalah distribusi normal atau kadang-kadang disebut distribusi Gauss.

• Distribusi normal baku N (0,1) mempunyai fungsi padat :

• Variabel acak yang berdistribusi Normal Baku adalah suatu variabel acak berdistribusi Normal dengan rata-rata (μ) = 0 dan varian (σ) = 1, N (0,1) , dan dinotasikan dengan z.

• Variabel acak Normal dapat diubah menjadi variabel acak Normal Baku dengan transformasi:

xz

Grafik fungsi padat distribusi normal standar

Karena f(x) fungsi genap, maka grafiknya simetris terhadap sumbu Y dan sumbu X sebagai asimtotnya, grafik tsb mempunyai titik belok pada x = 1 dan x = -1.

Biasanya digunakan variabel acak Z sebagai ganti X apabila distribusinya normal baku. Nilai distribusi normal baku ditabelkan dan telah dihitung dg rumus :

Untuk 0 ≤ Z ≤ 3,99 (L adalah luas). (gambar a)

Mencari luas daerah dibawah kurva normal baku :

Contoh Distribusi Normal

P(0 ≤ Z ≤ 1,61) = L(1,61) = 0,4463 (gambar b)P(|Z| < 1,61) = P(-1,61 < Z < +1,61) = 2 x 0,4463 = 0,8926 (gambar c)


• P (-2,17 < Z < 0) = P(0 < Z < 2,17) = L(2,17) = 0,4850 (gambar d)

• P (0,5 < Z < 2,15) = L(2,15) – L(0,5) = 0,4842 – 0,1915 = 0,2927 (gambar e)


• P (-0,5 < Z < 1,00) = L(1,00) + L(0,5) = 0,3413 + 0,1915 = 0,5328 (gambar f)

• P (-2,73 < Z < -1,62) = L(2,73) - L(1,62) = 0,4968 0,4474 = 0,0494 (gambar g)


• Tentukan z, jika P(0 < Z < z) = 0,3997L(z) = 0,3997; jadi z = 1,28 (dari tabel) (gambar h)

• Tentukan z, jika P(Z < z) = 0,8023L(z) = 0,8023 – 0,5000 = 0,3023 ; jadi z = 1,85 (dari tabel) (gambar i)


• Tentukan z, jika P(Z < z) = 0,0643L(z) = 0,5000 – 0,0543 = 0,4357 ; jadi z = -1,52 (gambar j)

• Tentukan z, jika P(Z > z) = 0,05L(z) = 0,5000 – 0,05 = 0,45 ; jadi z = 1,645 (dari tabel) (gambar k)


• Tentukan z, jika P (|Z| > z) = 0,95L(z) = ½ x 0,95 = 0,475 ; jadi z = 1,96 (dari tabel) (gambar l)

• Tentukan z, jika P (|Z| > z) = 0,01L(z) = 0,5000 - 0,005 = 0,495 ; jadi z = 2,575 (dari tabel) (gambar m)

• Distribusi normal yang umum Ɲ(μ,σ2) mempunyai fungsi padat :

• f(x) mempunyai maksimum pada x = μ dan sama dg titik beloknya pada x = ±μ

• Dimana μ dan σ adalah nilai rata-rata dan simpangan baku distribusi.

• Dengan transformasi kita akan mendapatkan distribusi normal baku (standar), shg tabel normal masih bisa dipakai.

• Distribusi normal baku adalah distribusi normal dengan rata-rata μ dan simpangan baku σ

Karakterisik Distribusi Probabilitas Normal Bentuk kurva normal seperti bel dan simetris. Parameter , menunjukkan lebar dari kurva normal

(semakin besar nilainya, semakin lebar) Titik tertinggi dari kurva nomal terletak pada nilai rata-

rata=median=modus Luas total area di bawah kurva normal adalah 1. (luas

bagian di sebelah kiri µ = sebelah kanan µ). Probabilitas suatu random variabel normal sama

dengan luas di bawah kurva normal.

Sifat-Sifat Distribusi Normal:• Bentuk distribusi normal ditentukan oleh μ dan σ.

12

μ1 = μ2 σ1 > σ2

1

2

μ1 < μ2 σ1 = σ2

1

2

μ1 < μ2 σ1 < σ2

Fungsi Distribusi Kumulatif

Disingkat fungsi distribusi didefinisikan :F(x) = P(X ≤ x)

Bila a < b, maka P(X ≤ b) = P(X ≤ a) + P(a < X ≤ b), yaitu F(b) = F(a) + P(a < X ≤ b). JadiP(a < X ≤ b) = F(b) – F(a) (*)

Jika fungsi distribusi F(x) dari variabel acak diketahui untuk semua x ϵ R, maka distribusi kemungkinan X seluruhnya diketahui.

Sifat fungsi distribusi1. Jika F(X) adalah fungsi monoton tidak turun, karena

F(b) ≥ F(a) untuk b > a.2. Jika variabel acak terhingga, maka

karena P(X < ∞) = 1, dan Jadi o ≤ F(X) ≤ 1

3. Jika b tetap dan a→b, maka rumus (*) menjadi F(b) – F(b-0) = P(X=b) ≥ 0, untuk setiap b. Sebaliknya, jika a tetap dan b →a, rumus (*) menjadi

F(a+0) – F(a) = 0 untuk setiap a.

pdf dan cdf• Probability density function (pdf) • Cumulative distribution function (cdf)

Hasil grafik berikut membedakan fungsi kepadatan probabilitas (pdf) dan fungsi kepadatan kumulatif (cdf).

pdf dan cdf

CONTOH: Penjualan oli di sebuah toko diketahui mengikuti distribusi normal dengan rata-rata 15 kaleng dan simpangan baku 6 kaleng. Suatu hari pemilik toko ingin mengetahui berapa probabilita terjualnya lebih dari 20 kaleng. Berapa P(X > 20)?

• Tabel normal baku menunjukkan luas sebesar 0,2967 untuk daerah antara z = 0 dan z = 0,83.

• P(X > 20) = P(Z > 0,83) = daerah yang diarsir = 0,5 – 0,2967 = 0,2033.

83,061520

xz

00 .83.83

Area = .2967Area = .2967

Area = .5Area = .5

Area = .5 Area = .5 -- .2967.2967= .2033= .2033

zz00 .83.83

Area = .2967Area = .2967

Area = .5Area = .5

Area = .5 Area = .5 -- .2967.2967= .2033= .2033

zz

Tabel Normal Baku

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879

.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224

.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2518 .2549

.7 .2580 .2612 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852

.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133

.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389

Contoh: Fungsi distribusi dari distribusi binomial b(n = 4, p = 1/3)

Catatan : Grafik fungsi distribusi dari distribusi diskrit merupakan suatu fungsi tangga ( step function)

distribusi kontinu 4.pptx

Documents