LAPORAN RESMI MODUL 3 DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT DAN KONTINU Oleh: FAUZIAH GITRI D. 1311100029 IRMAYA FATWA Y. 1311100068 Asisten Dosen: BIN HARIYATI 1308100085 Jurusan Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Dec 13, 2014
LAPORAN RESMI
MODUL 3
DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT DAN KONTINU
Oleh:
FAUZIAH GITRI D. 1311100029
IRMAYA FATWA Y. 1311100068
Asisten Dosen:
BIN HARIYATI
1308100085
Jurusan Statistika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Surabaya
2011
ABSTRACT
In everyday of life is assorted by probability model. Uncertainty factor have many opportunity probability model that draws an effect of which possible happened if that only happened in certain conditions. Probability of distribution or theoretical probability represents an possible probability model to study the result of real random experiment and to anticipate what the result happened. In other word, the real events look as some events in model and some conditions from distribution of model that it can fulfill as conditions of experiment.
Probability distribution represents population distribution because that is relates to all values which possible happened and its population represent random variable. Pursuant to its variable, the type pertained to the discrete probability distribution and kontinu probability distribution. Discrete probability distribution is probability distribution at one particular random changer which the number are integer. While kontinu probability distribution is probability distribution that an random changer is kontinu have null in each dot x.
Some example of discrete probability distribution are binomial distribution, hypergeometric distribution, and poisson distribution. In binomial distribution, it got the number of success in n free enterprise. The difference with hypergeometric distribution, that is without needed free enterprise. While for the distribution of poisson, data will be calculated during by certain time gap or certain area. Contiguity of binomial formula with poisson formula also investigated a data with almost poisson distribution to binomial distribution.
The example of kontinu distribution is normal distribution. Normal distribution have important place in statistic area. An kontinu random changer of X which its distribution forms like bell referred as normal random changer.
This experiments analyses probability of distribution in certain conditions such as binomial, hypergeometric, poisson, almost of binomial and poisson, and normal kontinu distribution. After calculate these distributions, its varians, and mean of data, it can show how comparison the access parameter result of data with this theoretically and comparison fisis curve result of data with this theoretically. So that it expected information is useful for the phase after that, such as test analyse and making of decision.
Keywords : poisson, binomial, hypergeometric, normal
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL............................................................................................i
ABSTRAK............................................................................................................ii
DAFTAR ISI.........................................................................................................iii
DAFTAR GAMBAR............................................................................................v
DAFTAR TABEL.................................................................................................vi
BAB I PENDAHULUAN.....................................................................................1
1.1 Latar Belakang.......................................................................................1
1.2 Permasalahan.........................................................................................1
1.3 Tujuan....................................................................................................2
1.4 Manfaat..................................................................................................2
BAB II TINJAUAN PUSTAKA..........................................................................4
2.1 Variabel Acak...........................................................................................4
2.1.1 Variabel Acak Diskrit...................................................................4
2.1.2 Variabel Acak Kontinu.................................................................4
2.2 Distribusi Probabilitas Diskrit..................................................................4
2.2.1 Distribusi Binomial.......................................................................4
2.2.2 Distribusi Hipergeometrik...........................................................5
2.2.3 Distribusi Poisson........................................................................6
2.3 Distribusi Probabilitas Kontinu................................................................6
2.3.1 Distribusi Normal.........................................................................6
BAB III METODOLOGI PENULISAN..............................................................8
3.1 Sumber Data.............................................................................................8
3.2 Variabel Penelitian....................................................................................8
3.3 Langkah Analisis......................................................................................8
3.4 Diagram Alir.............................................................................................8
BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN......................................................10
4.1 Distribusi Binomial...........................................................................10
4.2 Distribusi Hipergeometrik................................................................12
4.3 Distribusi Poisson..............................................................................14
4.4 Hampiran Distribusi Poisson Terhadap Binomial.............................15
4.5 Distribusi Normal..............................................................................17
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN.............................................................19
5.1 Kesimpulan..........................................................................................19
5.2 Saran....................................................................................................20
DAFTAR PUSTAKA.........................................................................................21
LAMPIRAN
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Kurva Distribusi Normal..............................................................................7
Gambar 3.1 Flowchart Pelaksanaan Praktikum Distribusi Peluang................................9
Gambar 4.1 Kurva Peluang Distribusi Binomial Untuk n=10.........................................10
Gambar 4.2 Kurva Perbandingan Nilai Rata-rata dan Varians untuk n=10...................11
Gambar 4.3 Kurva Peluang Distribusi Binomial Untuk n=40.........................................11
Gambar 4.4 Kurva Perbandingan Nilai Rata-rata dan Varians untuk n=40....................12
Gambar 4.5 Kurva Peluang Distribusi Hipergeometrik...................................................13
Gambar 4.6 Kurva Perbandingan Nilai Rata-rata dan Varians Hipergeometrik.............14
Gambar 4.7 Kurva Peluang Distribusi Poisson...............................................................14
Gambar 4.8 Kurva Perbandingan Nilai Rata-rata dan Varians Distribusi Poisson.........15
Gambar 4.9 Kurva Perbandingan Distribusi Poisson- Binomial saat p= 0,03.................16
Gambar 4.10 Kurva Perbandingan Distribusi Poisson- Binomial p=0,09.......................16
Gambar 4.11 Kurva Perbandingan Distribusi Poisson – Binomial p= 0,1.....................16
Gambar 4.12 Kurva Peluang Distribusi Normal..............................................................17
Gambar 4.13 Stem and Leaf Distribusi Normal saat N=100...........................................17
Gambar 4.14 Stem and Leaf Distribusi Normal saat N=150...........................................18
Gambar 4.15 Stem and Leaf Distribusi Normal saat N=300...........................................18
DAFTAR TABEL
Tabel 4.1 Output Minitab Perbandingan Nilai Rata-Rata dan Varians Untuk n=10.........10
Tabel 4.2 Output Minitab Perbandingan Nilai Rata-Rata Dan Varians Untuk n=40........12
Tabel 4.3 Output Minitab Perbandingan Nilai Rata-Rata dan Varians Hipergeometrik...13
Tabel 4.4 Ouput Minitab Peluang Distribusi Poisson.......................................................14
Tabel 4.5 Perhitungan µ = n.p..........................................................................................15
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Di kehidupan sehari-hari kerap kali ditemui berbagai macam model
peluang. Faktor ketidakpastian banyak memiliki model peluang yang
menggambarkan suatu akibat yang mungkin terjadi seandainya kondisi-kondisi
tertentu terjadi. Distribusi peluang atau peluang teoritis merupakan suatu model
peluang yang memungkinkan untuk mempelajari hasil eksperimen random yang
riil dan menduga hasil-hasil yang akan terjadi. Dalam arti kata peristiwa-peristiwa
riil tersebut menyerupai peristiwa-peristiwa dalam model dan kondisi-kondisi dari
model distribusi dapat dipenuhi sebagai kondisi-kondisi eksperimen.
Distribusi peluang yang demikian itu merupakan distribusi populasi
karena berhubungan dengan semua nilai-nilai yang mungkin terjadi dan
populasinya merupakan variabel random. Berdasarkan jenis variabelnya tergolong
atas distribusi peluang diskret dan distribusi peluang kontinu. Distribusi peluang
diskret adalah distribusi peluang pada suatu peubah acak yang banyaknya
sebanyak bilangan bulat mendapati setiap nilainya dengan peluang tertentu.
Sedangkan distribusi peluang diskret adalah distribusi peluang suatu peubah acak
kontinu yang mempunyai nilai nol pada setiap titik x.
Dalam hal ini, akan dipelajari mengenai distribusi peluang yang berbicara
mengenai bagaimana suatu kejadian dapat diperkirakan hasilnya. Pembuatan
laporan ini ditujukan untuk mengasah kompetensi mahasiswa dalam hal distribusi
peluang. Diharapkan pembuatan laporan ini dapat membantu mahasiswa statistika
dalam memahami aplikasi distribusi peluang pada data-data yang sudah tersedia.
1.2 Permasalahan
Dalam praktikum ini, permasalahan yang muncul sebagai acuan untuk
analisis adalah sebagai berikut,
1. Bagaimana perbandingan nilai parameter dan perbandingan bentuk fisis kurva
hasil bangkitan data dari distribusi binomial dengan teoritisnya ?
2. Bagaimana perbandingan nilai parameter dan perbandingan bentuk fisis kurva
hasil bangkitan data dari distribusi hipergeometrik dari probabilitas yang
mungkin dengan dengan teoritisnya ?
3. Bagaimana perbandingan nilai parameter dan perbandingan bentuk fisis kurva
hasil bangkitan data dari distribusi poisson dengan teoritisnya ?
4. Bagaimana perbandingan nilai parameter dan perbandingan bentuk fisis kurva
hasil bangkitan data dari hamparan distribusi poisson terhadap binomial?
5. Bagaimana perbandingan nilai parameter dan perbandingan bentuk fisis kurva
hasil bangkitan data dari distribusi dengan teoritisnya ?
1.3 Tujuan
Perumusan masalah di atas menghasilkan tujuan yang akan dicapai dalam
kegiatan praktikum ini, yaitu sebagai berikut,
1. Untuk mengetahui perbandingan nilai parameter dan perbandingan bentuk
fisis kurva hasil bangkitan data dari distribusi binomial dengan teoritisnya.
2. Untuk mengetahui perbandingan nilai parameter dan perbandingan bentuk
fisis kurva hasil bangkitan data dari distribusi hipergeometrik dari probabilitas
yang mungkin dengan teoritisnya.
3. Untuk mengetahui perbandingan nilai parameter dan perbandingan bentuk
fisis kurva hasil bangkitan data dari distribusi poisson dengan teoritisnya.
4. Untuk mengetahui perbandingan nilai parameter dan perbandingan bentuk
fisis kurva hasil bangkitan data dari hamparan distribusi poisson terhadap
binomial.
5. Untuk mengetahui perbandingan nilai parameter dan perbandingan bentuk
fisis kurva hasil bangkitan data dari distribusi normal dengan teoritisnya.
1.4 Manfaat
Dari kegiatan praktikum ini, manfaat yang dapat diambil adalah sebagai
berikut,
1. Mampu memahami pengertian variabel acak diskrit dan kontinu.
2. Mampu mengaplikasikan distribusi variabel diskrit maupun distribusi variabel
kontinu pada data yang tersedia.
3. Mampu menyajikan suatu data menjadi sebuah informasi yang lebih jelas dan
menarik.
4. Mampu memahami perbandingan nilai parameter hasil bangkitan data dengan
teoritisnya.
5. Mampu mengetahui perbandingan bentuk fisis kurva hasil bangkitan data
dengan teoritisnya.
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Variabel Acak
Variabel acak adalah fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap
unsur dalam ruang sampel. Peubah acak akan dinyatakan dengan huruf besar,
misalnya X, sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil padanannya
misalnya x (Walpole, 1995).
2.1.1 Variabel Acak Diskrit
Variabel acak diskret adalah suatu peubah acak yang mengandung titik yang
berhingga banyaknya atau sederetan anggota yang banyaknya sebanyak bilangan
bulat (Walpole, 1995).
2.1.2 Variabel Acak Kontinu
Variabel acak kontinu adalah suatu peubah acak yang mengandung titik yang
tak berhingga banyaknya dan banyak anggotanya sebanyak titik pada sepotong
garis (Walpole, 1995).
2.2 Distribusi Peluang Diskrit
Definisi distribusi peluang diskrit adalah distribusi yang mencantumkan
semua kemungkinan nilai peubah acak diskrit beserta probabilitasnya (Wibisono,
2009).
2.2.1 Distribusi Binomial
Suatu percobaan yang dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan
gagal dengan peluang q=1-p, dengan peubah acak binomial X yaitu banyaknya
sukses dalam n usaha bebas (Walpole, 1995).
b ( x ;n , p )=(nx ) px qn− x
x= 0, 1, 2, 3, ….., n (2.1)
Keterangan :
n = banyaknya data
x = banyak keberhasilan dalam peubah acak X
p = peluang berhasil pada setiap data
q = peluang gagal (1 – p) pada setiap data
Rata-rata dan ragam distribusi binomial b(x;n,p) adalah
µ = n.p (2.2)
σ2 = n.p.q (2.3)
Keterangan:
µ =rata-rata
σ2= ragam
n = banyak data
p = peluang keberhasilan pada setiap data
q = peluang gagal = 1 – p pada setiap data
2.2.2 Distribusi Hipergeometrik
Distribusi Hipergeometrik adalah banyaknya sukses dalam sampel acak
ukuran n yang diambil dari N benda yang mengandung k bernama sukses dan N-k
bernama gagal (Walpole, 1995)
h( x ; N , n ,k )=(¿ x
k ) (¿ n−kN−k )
(¿ nN ) x = 0,1, 2, ..., n (2.4)
Keterangan :
N = ukuran populasi
n = ukuran contoh acak
k = banyaknya penyekatan / kelas
x = banyaknya keberhasilan
Rata-rata dan Ragam untuk Distribusi Hipergeometrik h(x; N, n, k) adalah:
µ =
nkN
(2.5)
σ 2=N−nN−1
.n .kN
(1− kN
) (2.6)
Keterangan :
µ = rata-rata
σ2 = ragam
N = ukuran populasi
n = ukuran contoh acak
k = banyaknya penyekatan/kelas
2.2.3 Distribusi Poisson
Distribusi Poisson adalah distribusi peluang acak diskrit yang menyatakan
banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu yang
dinyatakan dengan t (Walpole, 1995)
p ( x ; λt )= e− λt(λt )x
x ! x=0,1,2,...n (2.7)
Keterangan :
x = banyak keberhasilan dalam peubah acak X
λt = rata-rata banyak sukses yang terjadi per satuan waktu
e= 2,71828...
Rata-rata dan Ragam untuk Distribusi p ( x ; λt )adalah:
µ = σ2 = λt (2.8)
Keterangan :
µ = rata-rata
σ2 = ragam
λt = rata-rata banyak sukses yang terjadi per satuan waktu
2.3 Distribusi Probabilitas Kontinu
Distribusi probabilitas kontinu adalah distribusi peubah acak kontinu yang
dinyatakan dalam persamaan yang merupakan fungsi nilai-nilai peubah acak
kontinu dan digambarkan dalam bentuk kurva (Wibisono, 2009).
2.3.1 Distribusi Normal
Distribusi probabilitas yang sangat penting dalam ilmu statistika adalah
distribusi normal. Distribusi normal adalah distribusi yang bersifat kontinu
(continuous distribution) dimana distribusi probabilitas peubah acak normal
bergantung pada dua parameter rata-rata µ dan simpangan baku σ. Distribusi
normal mempunyai model kurva berbentuk simestris setangkup yang menyerupai
genta (bell’s shaped) di sekitar suatu nilai yang bertepatan denga puncak kurva
yang menjulur ke kiri dan menjulur ke kanan mendekati sumbu datar sebagai
asimtotnya (Wibisono, 2009).
Fungsi yang menentukan kurva galat normal dengan rata-rata dan
simpangan baku adalah
N ( μ , σ )= 1σ √2 π
e−12
( x−μσ
)2
(2.9)
Keterangan:
X= peubah acak kontinu normal
μ = mean,
σ = standar deviasi
π = 3,14159…
e = 2,71828…
Persamaan di atas bila dihitung dan diplot pada grafik akan terlihat seperti
pada Gambar berikut.
Gambar 2.1 Kurva Distribusi Normal
Sifat-sifat penting distribusi normal adalah sebagai berikut:
1. Grafiknya selalu berada di atas sumbu x
2. Bentuknya simetris pada x = µ
3. Mempunyai satu buah modus, yaitu pada x = µ
4. Luas grafiknya sama dengan satu unit persegi, dengan rincian
a. Kira-kira 68% luasnya berada di antara daerah µ – σ dan µ + σ
b. Kira-kira 95% luasnya berada di antara daerah µ – 2σ dan µ + 2σ
c. Kira-kira 99% luasnya berada di antara daerah µ – 3σ dan µ + 3σ
(wordpress ,2010)
BAB III
METODOLOGI PENULISAN
3.1 Sumber Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini berasal dari data primer. Data
sekunder diperoleh dari perhitungan hasil bangkitan data (program minitab) dan
perhitungan secara teoritis .
Sumber untuk melakukan penelitian ini kami ambil pada:
Hari / Tanggal : Rabu/ 26 oktober 2011
Tempat : Taman Sigma ITS
Jam : 15.00- selesai.
3.2 Variabel Penelitian
Variabel yang digunakan dalam penelitian ini adalah variabel acak diskrit
dan variabel acak kontinu.
3.3 Langkah Analisis
Langkah analisis yang dilakukan dalam pengamatan antara lain sebagai
berikut:
- Melakukan Percobaan
- Melakukan penghitungan data melalui program minitab
- Melakukan penghitungan data manual (secara teoritis)
- Membandingkan hasil percobaan dengan teori distribusi peluang
- Membuat kurva dan mengintepretasikan
- Memberikan kesimpulan dan saran
3.4 Diagram Alir
Selesai
Melakukan Percobaan
Melakukan penghitungan data melalui program minitab
Melakukan penghitungan data manual (secara teoritis)
Membandingkan hasil percobaan dengan teori distribusi peluang
Membuat kurva dan mengintepretasikan
Kesimpulan dan Saran
Diagram alir menggambarkan alur perjalanan pembuatan laporan ini,
mulai dari proses perumusan masalah hingga pemberian kesimpulan dan saran.
Diagram alir yang dipakai dalam laporan ini adalah :
Gambar 3.1 Flowchart Pelaksanaan Praktikum Distribusi Peluang
BAB IV
ANALISIS DAN PEMBAHASAN
4.1 Distribusi Binomial
Pada percobaan distribusi binomial, dilakukan perhitungan probabilitas
dengan p=0,2; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9 masing-masing untuk n= 10 dan n=40 dan disini
dimisalkan X=20 .
0,50,40,30,20,10,0
7
6
5
4
3
2
1
0
Data
Densi
ty 0,2463 0,07521 200,1561 0,07676 200,1755 0,06012 200,2049 0,07754 200,2944 0,1054 20
Mean StDev N
b(15;10,0.2)b(15;10,0.3)b(15;10,0.5)b(15;10,0.7)b(15;10,0.9)
Variable
Histogram of b(15;10,0.2); b(15;10,0.3); b(15;10,0.5); ...Normal
Gambar 4.1 Kurva Peluang Distribusi Binomial Untuk n=10
Gambar diatas menunjukkan bahwa puncak tertinggi terdapat pada kurva
distribusi binomial saat p=0,5 dengan nilai variansi paling kecil sedangkan puncak
terendah terdapat pada kurva distribusi binomial saat p=0,9 dengan nilai variansi
paling besar.
Tabel 4.1 Output Minitab Perbandingan Nilai Rata-Rata dan Varians Untuk n=10
PeluangOutput Minitab Hasil Teoritis
µ σ2 µ = n.p σ2 = n.p.q
0,2 1,30 0,747 2 1,6
0,3 3,05 3,524 3 2,1
0,5 5,20 2,379 5 2,5
0,7 7,15 1,818 7 2,1
0,9 9,15 1,187 9 0,9
Tabel diatas menunjukkan bahwa nilai rata-rata dan variansi distribusi
binomial untuk n=10 dari hasil bangkitan data (Minitab) dengan teoritisnya
43210
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
DataD
en
sity
1,931 1,085 51,84 0,6148 5
Mean StDev N
Varianceσ2 = n.p.q
Variable
Histogram of Variance; σ2 = n.p.qNormal
memiliki hasil yang hampir sama / mendekati, ditunjukkan bahwa semakin besar
peluangnya nilai rata-ratanya semakin mendekati teori dan dengan semakin kecil
nilai peluangnya nilai variansnya semakin mendekati teori.
121086420-2
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
Data
De
nsi
ty
5,17 3,132 55,2 2,864 5
Mean StDev N
Meanµ=n.p
Variable
Histogram of Mean; µ=n.pNormal
Gambar 4.2 Kurva Perbandingan Nilai Rata-rata dan Varians Distribusi Binomial untuk n=10
Selain itu di dukung pula dengan hasil data dari kurva yang hampir
bersentuhan. Lihat kurva diatas, sebelah kiri menujukkan perbandingan nilai rata-
rata antara hasil bangkitan data dengan teoritisnya sedangkan yang sebelah kanan
menunjukkan perbandingan nilai varians distribusi binomial.
0,250,200,150,100,050,00
14
12
10
8
6
4
2
0
Data
Densi
ty 0,09951 0,04662 200,1020 0,03057 20
0,09543 0,03570 200,1002 0,02958 200,1783 0,03056 20
Mean StDev N
b(15;40,0.2)b(15;40,0.3)b(15;40,0.5)b(15;40,0.7)b(15;40,0.9)
Variable
Histogram of b(15;40,0.2); b(15;40,0.3); b(15;40,0.5); ...Normal
Gambar 4.3 Kurva Peluang Distribusi Binomial Untuk n=40
Gambar diatas menunjukkan bahwa puncak tertinggi terdapat pada kurva
distribusi binomial saat p=0,7 dengan nilai variansi paling kecil sedangkan puncak
terendah terdapat pada kurva distribusi binomial saat p=0,2 dengan nilai variansi
paling besar.
121086420
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
Data
Densi
ty
5,283 2,252 57,36 2,459 5
Mean StDev N
Varianceσ2 = n.p.q
Variable
Histogram of Variance; σ2 = n.p.qNormal
Tabel 4.2 Output Minitab Perbandingan Nilai Rata-Rata Dan Varians Untuk n=40
PeluangOutput Minitab Hasil Teoritis
µ σ2 µ = n.p σ2 = n.p.q
0,2 9,50 7,105 8 6,40,3 12,85 5,397 12 8,40,5 21,45 6,471 20 100,7 27,35 6,029 28 8,40,9 36,40 1,411 36 3,6
Tabel diatas menunjukkan bahwa nilai rata-rata dan variansi distribusi
binomial untuk n=40 dari hasil bangkitan data (minitab) dengan teoritisnya
memiliki hasil yang hampir sama / mendekati, ditunjukkan bahwa semakin besar
peluangnya nilai rata-ratanya semakin mendekati teori dan dengan semakin kecil
nilai peluangnya nilai variansnya semakin mendekati teori.
Selain itu di dukung pula dengan hasil data dari kurva yang hampir
bersentuhan. Lihat kurva dibawah ini, sebelah kiri menujukkan perbandingan nilai
rata-rata antara hasil bangkitan data dengan teoritisnya sedangkan yang sebelah
kanan menunjukkan perbandingan nilai varians distribusi binomial.
403020100
0,04
0,03
0,02
0,01
0,00
Data
Densi
ty
21,51 10,90 520,8 11,45 5
Mean StDev N
Meanµ=n.p
Variable
Histogram of Mean; µ=n.pNormal
Gambar 4.4 Kurva Perbandingan Nilai Rata-rata dan Varians Distribusi Binomial untuk n=40
4.2 Distribusi Hipergeometrik
Pada percobaan distribusi hipergrometrik dilakukan perhitungan dari
probabilitas yang mungkin dengan N=15, D=2, 3, 4 dan n=3, 4, 5
0,80,70,60,50,40,30,20,1
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
Data
Densi
ty
0,48 0,1457 250,3762 0,1174 250,3092 0,1245 25
Mean StDev N
h(25;15,3,2)h(25;15,4,3)h(25;15,5,4)
Variable
Histogram of h(25;15,3,2); h(25;15,4,3); h(25;15,5,4)Normal
Gambar 4.5 Kurva Peluang Distribusi Hipergeometrik
Gambar diatas menunjukkan bahwa puncak tertinggi terdapat pada kurva
distribusi hipergeometrik saat n=3 dan D=4 dengan nilai variansi paling kecil
sedangkan puncak terendah terdapat pada kurva distribusi binomial saat D=2 dan
n=3 dengan nilai variansi paling besar.
Tabel 4.3 Output Minitab Perbandingan Nilai Rata-Rata dan Varians Distribusi Hipergeometrik
D n
Output Minitab Hasil Teoritis
µ σ2
µ =
nkN
σ 2=N−nN−1
.n .kN
(1− kN
)
2 3 0,52 0,260 0,4 0,2971428573 4 0,72 0,543 0,8 0,5028571434 5 1,36 0,823 1,33 0,698412698
Tabel diatas menunjukkan bahwa nilai rata-rata dan variansi distribusi
hipergeometrik untuk N=15 dari hasil bangkitan data (minitab) dengan teoritisnya
memiliki hasil yang hampir sama / mendekati, ditunjukkan bahwa semakin besar
n kali usaha dan D kali sukses maka nilai rata-ratanya semakin mendekati teori
dan dengan semakin kecil nilai n kali usaha dan D kali suksesnya nilai variansnya
semakin mendekati teori.
Selain itu di dukung pula dengan hasil data dari kurva yang hampir
bersentuhan. Lihat kurva dibawah ini, sebelah kiri menujukkan perbandingan nilai
rata-rata antara hasil bangkitan data dengan teoritisnya sedangkan yang sebelah
kanan menunjukkan perbandingan nilai varians distribusi binomial.
1,21,00,80,60,40,20,0
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
Data
Densi
ty
0,4995 0,2007 30,542 0,2815 3
Mean StDev N
σ^2=(N-n)/(N-1).n.k/N(1-k/N)Variance
Variable
Histogram of σ^2=(N-n)/ (N-1).n.k/ N(1-k/ N); VarianceNormal
1,51,00,50,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
Data
Densi
ty
0,8433 0,4665 30,8667 0,4388 3
Mean StDev N
µ =nK/nMean
Variable
Histogram of µ =nK/ n; MeanNormal
Gambar 4.6 Kurva Perbandingan Nilai Rata-rata dan Varians Distribusi Hipergeometrik
4.3 Distribusi Poisson
Pada percobaan distribusi poisson dilakukan perhitungan dari probabilitas
yang mungkin dengan μ=1,2,3,4
0,50,40,30,20,10,0
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Data
Densi
ty
0,2989 0,1050 400,2068 0,08378 400,1651 0,07200 400,1412 0,05067 40
Mean StDev N
p(40;1)p(40;2)p(40;3)p(40;4)
Variable
Histogram of p(40;1); p(40;2); p(40;3); p(40;4)Normal
Gambar 4.7 Kurva Peluang Distribusi Poisson
Gambar diatas menunjukkan bahwa puncak tertinggi terdapat pada kurva
distribusi binomial saat p=4 dengan nilai variansi paling kecil sedangkan puncak
terendah terdapat pada kurva distribusi binomial saat p=1 dengan nilai variansi
paling besar.
Tabel 4.4 Ouput Minitab Peluang Distribusi Poisson
λtOutput Minitab Hasil Teoritis
µ σ2 µ = λt σ2 = λt
1 0,680 0,727 1 12 2,160 2,223 2 2
543210
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
Data
Densi
ty
2 1 32,115 1,215 3
Mean StDev N
(λt)Variance
Variable
Histogram of (λt); VarianceNormal
3 3,440 3,257 3 34 4,720 4,460 4 4
Tabel diatas menunjukkan bahwa nilai rata-rata dan variansi distribusi
poisson dari hasil bangkitan data (minitab) dengan teoritisnya memiliki hasil yang
hampir sama / mendekati. Selain itu di dukung pula dengan hasil data dari kurva
yang hampir bersentuhan. Lihat kurva dibawah ini, sebelah kiri menujukkan
perbandingan nilai rata-rata antara hasil bangkitan data dengan teoritisnya
sedangkan yang sebelah kanan menunjukkan perbandingan nilai varians distribusi
poisson.
43210
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
Data
Densi
ty
2 1 32,008 0,8625 3
Mean StDev N
(λt)Mean (µ)
Variable
Histogram of (λt); Mean (µ)Normal
Gambar 4.8 Kurva Perbandingan Nilai Rata-Rata dan Varians Distribusi Poisson
4.4 Hampiran Distribusi Poisson Terhadap Binomial
Pada percobaan distribusi poisson terhadap binomial dilakukan perhitungan
dari probabilitas yang mungkin dengan binomial dengan p=0.03, 0.09, 0.1 dan
n=30. Sebelum memasukkan data di Minitab kita hitung dulu nilai rata-ratanya
µ = n.p sehingga didapatkan
Tabel 4.5 Perhitungan µ = n.p
n p µ = n.p
30 0,03 0,9
30 0,09 2,7
30 0,1 3
0,50,40,30,20,1
4
3
2
1
0
Data
Densi
ty
0,3413 0,1042 250,3371 0,1004 25
Mean StDev N
b(15;30,0.03)p(15;0.03)
Variable
Histogram of b(15;30,0.03); p(15;0.03)Normal
Gambar 4.9 Kurva Perbandingan Distribusi Poisson dengan Distribusi Binomial saat p= 0,03
0,320,240,160,080,00
5
4
3
2
1
0
Data
Densi
ty
0,1824 0,08057 250,1692 0,07806 25
Mean StDev N
b(15;30,0.09)p(15;0.09)
Variable
Histogram of b(15;30,0.09); p(15;0.09)Normal
Gambar 4.10 Kurva Perbandingan Distribusi Poisson dengan Distribusi Binomial saat p= 0,09
0,300,250,200,150,100,05
7
6
5
4
3
2
1
0
Data
Densi
ty
0,1771 0,06495 250,1803 0,06167 25
Mean StDev N
b(15;30,0.1)p(15;0.1)
Variable
Histogram of b(15;30,0.1); p(15;0.1)Normal
Gambar 4.11 Kurva Perbandingan Distribusi Poisson dengan Distribusi Binomial saat p= 0,1
Ketiga gambar diatas menunjukkan hasil kurva yang berhimpitan, yang
artinya nilai peluang distribusi binomial sama dengan nilai peluang distribusi
poisson sehingga dapat dikatakan bahwa data pada distribusi poisson bisa dihitung/
didekati dengan menggunakan disrtribusi binomial .
4.5 Distribusi Normal
Pada percobaan distribusi normal dilakukan perhitungan dari probabilitas
yang mungkin dengan dengan µ = 10 dan σ=2 untuk n=100, 150, 300
0,240,200,160,120,080,040,00
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Data
Densi
ty
0,1430 0,05593 1000,1329 0,05665 1500,1407 0,05593 300
Mean StDev N
p (n=100)p(n=150)p(n=300)
Variable
Histogram of p (n=100); p(n=150); p(n=300)Normal
Gambar 4.12 Kurva Peluang Distribusi Normal
Kurva diatas menunjukkan bahwa nilai probabilitas distriusi normal saat
n= 100, 150 maupun 300 didapatkan hasil dengan kurva yang berhimpitan, ini
menunjukkan bahwa pada saat itu nilai distribusinya hampir sama .
Gambar 4.13 Stem and Leaf Distribusi Normal saat N=100
Gambar diatas menunjukkan bahwa pada perhitungan distribusi normal
saat N=100 terdapat frekuensi paling besar yaitu 50 yang terdapat pada stem 10
dan frekuensi terkecil terdapat pada stem 14 dengan nilai frekuensi 2 . Dilihat dari
bentuk penyebaran datanya, apabila ditarik kurva maka kuva itu akan terlihat
simetris sehingga dapat diasumsikan bahwa data diatas berdistribusi normal.
Gambar 4.14 Stem and Leaf Distribusi Normal saat N=150
Gambar diatas menunjukkan bahwa pada perhitungan distribusi normal
saat N=150 terdapat frekuensi paling besar yaitu 69 yang terdapat pada stem 9 dan
frekuensi terkecil terdapat pada stem 5 dengan nilai frekuensi 1. Dilihat dari
bentuk penyebaran datanya, apabila ditarik kurva maka kuva itu akan terlihat
simetris sehingga dapat diasumsikan bahwa data diatas berdistribusi normal.
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
Gambar 4.15 Stem and Leaf Distribusi Normal saat N=300
Gambar diatas menunjukkan bahwa pada perhitungan distribusi normal
saat N=300 terdapat frekuensi paling besar yaitu 62 yang terdapat pada stem 10
dan frekuensi terkecil terdapat pada stem 15,4 dengan nilai frekuensi 2. Dilihat
dari bentuk penyebaran datanya, apabila ditarik kurva maka kuva itu akan terlihat
simetris sehingga dapat diasumsikan bahwa data diatas berdistribusi normal.
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
1. Perbandingan nilai parameter dan perbandingan bentuk fisis kurva hasil
bangkitan data dari distribusi binomial saat p=0.2, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9 masing-
masing untuk n=10 dan n=40 dengan teoritisnya bahwa puncak tertinggi
memiliki nilai variansi paling kecil sedangkan puncak terendah memiliki nilai
variansi paling besar, ditunjukkan pula bahwa semakin besar peluang nilai
rata-ratanya semakin mendekati teori dan dengan semakin kecil nilai
peluangnya nilai variansnya semakin mendekati teori.
2. Perbandingan nilai parameter dan perbandingan bentuk fisis kurva hasil
bangkitan data dari distribusi hipergeometrik dari probabilitas yang mungkin
dengan N=15, D=2, 3, 4 dan n=3, 4, 5 dengan teoritisnya adalah semakin
tinggi n kali usaha dan k kali sukses, semakin tinggi nilai distribusi
hipergeometriknya dan semakin mendekati teori.
3. Perbandingan nilai parameter dan perbandingan bentuk fisis kurva hasil
bangkitan data dari distribusi poisson dengan μ=1,2,3,4 dengan teoritisnya
adalah semakin besar rata-rata populasi semakin tinggi nilai distribusi poisson
dan semakin mendekati teori.
4. Perbandingan nilai parameter dan perbandingan bentuk fisis kurva hasil
bangkitan data dari hamparan distribusi poisson terhadap binomial dengan
p=0.03, 0.09, 0.1 dan n=30 memiliki nilai yang hampir sama, artinya untuk
mencari nilai peluang pada distribusi poisson bisa dihitung melalui
pendekatan distribusi binomial.
5. Perbandingan nilai parameter dan perbandingan bentuk fisis kurva hasil
bangkitan data dari distribusi normal dengan µ = 10 dan σ=2 untuk n=100,
150, 300 dengan teoritisnya adalah semakin kecil n kali usaha semakin tinggi
nilai distribusi normal dan semakin mendekati teori. Ditunjukkan pula dengan
hasil stem and leaf bahwa data yang dihasilkan jika ditarik garis kurva akan
membentuk kurva yang simetris (normal).
5.2 Saran
Kegiatan praktikum tentang distribusi probabilitas diskrit dan kontinu
hendaknya dapat dilakukan dengan lebih cermat. Melakukan penghitungan
dengan berbagai macam jenis distribusi melalui percobaan yang dilakukan secara
manual dibutuhkan kesabaran untuk mendapatkan data.
DAFTAR PUSTAKA
Wibisono Yusuf. 2009. Metode Statistik. Yogyakarta:Gadjah Mada University Press
Walpole Ronald.1995. Pengantar Statistika. Jakarta: Gramedia Pustka Utama
Wordpress.Distribusi Normal.Tersedia :http://hatta2stat.wordpress.com/category/distribusi-normal-2/,diakses
30 Oktober 2011
LAMPIRAN
Tabel Distribusi Binomial dengan n=10
n Random Data Probabilty Distribution2 3 5 7 9 b(15;10,0.2) b(15;10,0.3) b(15;10,0.5) b(15;10,0.7) b(15;10,0.9)
1 0 5 7 5 7 0,107374 0,102919 0,117188 0,102919 0,0573962 1 4 6 8 10 0,268435 0,200121 0,205078 0,233474 0,348678
3 1 3 410
9 0,268435 0,266828 0,205078 0,028248 0,387420
4 2 2 6 8 10 0,301990 0,233474 0,205078 0,233474 0,3486785 2 7 4 6 8 0,301990 0,009002 0,205078 0,200121 0,1937106 3 1 8 7 8 0,201327 0,121061 0,043945 0,266828 0,1937107 0 5 3 7 8 0,107374 0,102919 0,117188 0,266828 0,1937108 1 1 4 6 10 0,268435 0,121061 0,205078 0,200121 0,3486789 2 5 6 8 10 0,301990 0,102919 0,205078 0,233474 0,34867810 0 4 5 7 10 0,107374 0,200121 0,246094 0,266828 0,34867811 1 1 4 6 10 0,268435 0,121061 0,205078 0,200121 0,34867812 1 1 6 8 10 0,268435 0,121061 0,205078 0,233474 0,34867813 1 5 8 8 10 0,268435 0,102919 0,043945 0,233474 0,34867814 2 4 3 7 9 0,301990 0,200121 0,117188 0,266828 0,387420
15 2 3 710
9 0,301990 0,266828 0,117188 0,028248 0,387420
16 0 2 4 7 7 0,107374 0,233474 0,205078 0,266828 0,05739617 2 0 4 7 8 0,301990 0,028248 0,205078 0,266828 0,19371018 2 3 6 7 10 0,301990 0,266828 0,205078 0,266828 0,34867819 2 1 5 5 10 0,301990 0,121061 0,246094 0,102919 0,34867820 1 4 4 6 10 0,268435 0,200121 0,205078 0,200121 0,348678
Tabel Distribusi Binomial dengan n=40
nRandom Data Probabilty Distribution
2 3 5 7 9b(15;10,0.2
)b(15;10,0.3
)b(15;10,0.5
)b(15;10,0.7
)b(15;10,0.9)
1 14 17
24 28
36 0,011492 0,031362 0,057164 0,136574 0,205887
2 6 15
27 31
36 0,124563 0,077405 0,010944 0,084916 0,205887
3 8 13
20 29
38 0,155981 0,126068 0,125371 0,131864 0,142334
4 5 9 24 27
37 0,085414 0,084916 0,057164 0,126068 0,200323
5 8 11
21 27
38 0,155981 0,131864 0,119401 0,126068 0,142334
6 10 14
23 24
34 0,107454 0,104199 0,080702 0,051834 0,106756
7 11 15
19 29
35 0,073264 0,077405 0,119401 0,131864 0,164710
8 15 12
22 26
36 0,004980 0,136574 0,103119 0,104199 0,205887
9 6 14
20 27
37 0,124563 0,104199 0,125371 0,126068 0,200323
10 8 11
19 29
38 0,155981 0,131864 0,119401 0,131864 0,142334
11 10 11
18 27
35 0,107454 0,131864 0,103119 0,126068 0,164710
12 9 9 26 25
35 0,138650 0,084916 0,021107 0,077405 0,164710
13 6 11
22 26
36 0,124563 0,131864 0,103119 0,104199 0,205887
14 9 16
24 25
38 0,138650 0,051834 0,057164 0,077405 0,142334
15 12 15
19 25
37 0,044264 0,077405 0,119401 0,077405 0,200323
16 11 14
21 26
37 0,073264 0,104199 0,119401 0,104199 0,200323
17 9 10
19 31
37 0,138650 0,112817 0,119401 0,084916 0,200323
18 10 12
19 23
35 0,107454 0,136574 0,119401 0,031362 0,164710
19 11 13
22 31
36 0,073264 0,126068 0,103119 0,084916 0,205887
20 12 15
20 31
37 0,044264 0,077405 0,125371 0,084916 0,200323
Tabel Distribusi Hipergeometrik
nRandom Data Probability Distribution
2-3 3-4 4-5h(25;15,3,2
)h(25;15,4,3) h(25;15,5,4)
1 1 0 1 0,342857 0,362637 0,4395602 0 1 1 0,628571 0,483516 0,4395603 0 1 2 0,628571 0,483516 0,3296704 1 0 2 0,342857 0,362637 0,3296705 0 1 3 0,628571 0,483516 0,0732606 1 2 2 0,342857 0,145055 0,3296707 0 1 2 0,628571 0,483516 0,3296708 0 1 1 0,628571 0,483516 0,4395609 1 0 2 0,342857 0,362637 0,32967010 1 0 0 0,342857 0,362637 0,15384611 1 2 2 0,342857 0,145055 0,32967012 0 0 1 0,628571 0,362637 0,43956013 0 0 0 0,628571 0,362637 0,15384614 1 1 1 0,342857 0,483516 0,43956015 0 1 1 0,628571 0,483516 0,43956016 1 0 2 0,342857 0,362637 0,329670
17 1 0 2 0,342857 0,362637 0,32967018 0 1 0 0,628571 0,483516 0,15384619 0 0 0 0,628571 0,362637 0,15384620 1 2 3 0,342857 0,145055 0,07326021 0 0 0 0,628571 0,362637 0,15384622 1 2 2 0,342857 0,145055 0,32967023 1 1 1 0,342857 0,483516 0,43956024 1 0 1 0,342857 0,362637 0,43956025 0 1 2 0,628571 0,483516 0,329670
Tabel Distribusi Poisson
nRandom Data Probability Distribution
1 2 3 4 p(40;1) p(40;2) p(40;3) p(40;4)
1 0 0 2 4 0,3678790,13533
50,224042 0,195367
2 2 2 3 4 0,1839400,27067
10,224042 0,195367
3 1 2 5 6 0,3678790,27067
10,100819 0,104196
4 1 2 5 3 0,3678790,27067
10,100819 0,195367
5 2 3 3 5 0,1839400,18044
70,224042 0,156293
6 0 1 4 5 0,3678790,27067
10,168031 0,156293
7 0 2 7 8 0,3678790,27067
10,021604 0,029770
8 3 0 2 3 0,0613130,13533
50,224042 0,195367
9 0 1 4 2 0,3678790,27067
10,168031 0,146525
10 0 1 1 7 0,3678790,27067
10,149361 0,059540
11 2 1 3 4 0,1839400,27067
10,224042 0,195367
12 3 4 0 4 0,0613130,09022
40,049787 0,195367
13 1 1 5 5 0,3678790,27067
10,100819 0,156293
14 2 2 2 1 0,1839400,27067
10,224042 0,073263
15 2 2 2 4 0,1839400,27067
10,224042 0,195367
16 1 1 0 6 0,3678790,27067
10,049787 0,104196
17 2 3 2 2 0,183940 0,18044 0,224042 0,146525
7
18 0 0 3 3 0,3678790,13533
50,224042 0,195367
19 1 3 2 2 0,3678790,18044
70,224042 0,146525
20 1 6 7 5 0,3678790,01203
00,021604 0,156293
21 1 2 3 5 0,3678790,27067
10,224042 0,156293
22 0 2 3 2 0,3678790,27067
10,224042 0,146525
23 1 1 4 6 0,3678790,27067
10,168031 0,104196
24 1 2 1 8 0,3678790,27067
10,149361 0,029770
25 1 3 5 6 0,3678790,18044
70,100819 0,104196
26 1 4 2 2 0,3678790,09022
40,224042 0,146525
27 1 2 3 3 0,3678790,27067
10,224042 0,195367
28 3 2 3 6 0,0613130,27067
10,224042 0,104196
29 1 0 3 7 0,3678790,13533
50,224042 0,059540
30 0 1 3 5 0,3678790,27067
10,224042 0,156293
31 2 0 1 6 0,1839400,13533
50,149361 0,104196
32 1 6 0 6 0,3678790,01203
00,049787 0,104196
33 1 2 3 2 0,3678790,27067
10,224042 0,146525
34 2 3 0 4 0,1839400,18044
70,049787 0,195367
35 1 0 2 3 0,3678790,13533
50,224042 0,195367
36 0 4 1 4 0,3678790,09022
40,149361 0,195367
37 2 2 5 7 0,1839400,27067
10,100819 0,059540
38 1 1 6 6 0,3678790,27067
10,050409 0,104196
39 0 5 2 2 0,3678790,03608
90,224042 0,146525
40 2 1 3 4 0,1839400,27067
10,224042 0,195367
Tabel Distribusi Normal
nRandom Data Probability Distribution
100 150 300 p (n=100) p(n=150) p(n=300)1 11,1890 10,9660 6,2929 0,167159 0,177511 0,0357952 5,5569 11,6005 11,3234 0,016912 0,144815 0,1602503 8,1165 10,8420 11,2543 0,128025 0,182556 0,1638584 6,6758 9,5385 10,7081 0,050119 0,194230 0,1873525 9,5325 7,1212 10,2403 0,194095 0,070793 0,1980376 12,0608 10,0530 12,5476 0,117310 0,199401 0,0886237 9,4858 10,8731 12,0951 0,192986 0,181343 0,1152388 8,4925 8,8386 4,2235 0,150143 0,168522 0,0030799 10,8838 9,9055 6,3212 0,180914 0,199249 0,03674310 7,9670 9,8325 10,5822 0,118990 0,198773 0,19119711 12,1223 6,0942 8,2977 0,113597 0,029631 0,13885912 8,4988 11,7556 9,3728 0,150499 0,135691 0,18990113 11,0035 12,3777 8,8022 0,175878 0,098394 0,16672314 11,7116 13,7821 6,4706 0,138307 0,033370 0,04203715 13,5507 7,9814 5,9727 0,041253 0,119863 0,02626516 10,0620 11,7243 8,2072 0,199375 0,137555 0,13347517 11,4063 7,6527 8,8839 0,155780 0,100179 0,17070918 7,7079 5,3645 7,6729 0,103438 0,013595 0,10136419 10,3658 8,4938 7,6154 0,196163 0,150220 0,09799120 9,1630 6,6258 11,9552 0,182746 0,048064 0,12369221 12,1115 14,5926 11,5642 0,114248 0,014284 0,14691122 6,3150 9,9371 9,0859 0,036536 0,199372 0,17968723 7,7304 11,1186 11,0693 0,104772 0,170591 0,17290624 12,1181 11,4004 10,3156 0,113852 0,156107 0,19700325 7,3807 9,2425 11,3306 0,084611 0,185665 0,15987126 11,6754 11,5185 12,0546 0,140445 0,149520 0,11768227 8,9639 6,7671 10,0524 0,174421 0,054012 0,19940328 8,6473 6,7822 9,8081 0,158687 0,054675 0,19855529 11,9624 6,1577 10,4454 0,123259 0,031509 0,19458630 7,3269 13,3444 11,8222 0,081655 0,049281 0,13171331 10,0912 8,9018 12,2186 0,199264 0,171557 0,10781532 8,9329 11,4770 9,2724 0,173005 0,151863 0,18670033 10,0462 11,2377 9,1414 0,199418 0,164709 0,18191334 6,9192 6,2636 9,7667 0,060903 0,034835 0,19811935 12,5401 9,8593 8,4926 0,089044 0,198978 0,15015136 11,0202 11,7087 8,0885 0,175136 0,138480 0,12633337 10,9945 11,8320 11,2825 0,176276 0,131125 0,16240238 5,2859 10,5615 9,3296 0,012401 0,191762 0,18857439 5,3962 7,5640 14,5073 0,014102 0,095005 0,01573940 7,0524 8,0249 11,1206 0,067333 0,122492 0,17049241 10,4910 11,6175 9,7361 0,193550 0,143830 0,19774242 10,8875 11,0419 11,9517 0,180769 0,174159 0,12390543 11,2321 12,6617 8,6520 0,164993 0,082278 0,158942
44 7,3996 13,2695 9,4778 0,085663 0,052431 0,19278645 9,8060 12,1024 6,6547 0,198535 0,114795 0,04924546 10,3568 12,0223 9,8975 0,196322 0,119636 0,19920947 9,5450 11,9239 11,1460 0,194376 0,125589 0,16927348 8,3749 9,2867 11,7539 0,143388 0,187180 0,13579749 14,6028 10,9732 8,0504 0,014117 0,177201 0,12403150 9,8580 8,5822 11,1761 0,198969 0,155149 0,16780051 6,8774 11,8269 12,8499 0,058957 0,131432 0,07227152 10,4030 11,3416 10,1063 0,195462 0,159281 0,19918953 10,3546 12,3592 10,5003 0,196360 0,099479 0,19332754 11,2776 9,9960 12,0169 0,162655 0,199471 0,11996355 9,6845 11,0623 10,7912 0,197005 0,173230 0,18445856 10,9828 9,6443 9,8481 0,176785 0,196341 0,19889657 10,6507 14,0610 11,8841 0,189187 0,025385 0,12798958 8,3854 9,9145 10,3852 0,144000 0,199289 0,19580659 12,8154 11,3055 12,1791 0,074058 0,161200 0,11017760 8,3942 9,4733 11,9191 0,144510 0,192674 0,12587861 13,0538 11,9597 13,4239 0,062173 0,123425 0,04607662 11,0627 10,6393 10,7193 0,173209 0,189537 0,18697763 10,4734 9,0105 10,4466 0,193961 0,176493 0,19455964 10,1886 10,0916 12,1564 0,198586 0,199262 0,11154265 8,2822 8,9799 10,3742 0,137938 0,175142 0,19601066 10,8689 6,8188 9,9842 0,181505 0,056299 0,19946567 10,8112 10,5627 13,2797 0,183720 0,191730 0,05199368 10,3184 7,4058 11,7438 0,196959 0,086009 0,13639769 11,4514 8,3782 10,2343 0,153292 0,143579 0,19810770 7,4017 11,5163 8,7126 0,085776 0,149647 0,16214871 7,4189 9,3528 12,5165 0,086741 0,189296 0,09038372 11,0359 6,9881 7,8892 0,174432 0,064184 0,11428873 8,4721 8,0211 11,1143 0,148990 0,122260 0,17079374 8,5995 8,7350 8,0116 0,156102 0,163309 0,12168775 11,2939 8,5580 12,9573 0,161806 0,153814 0,06685276 5,9248 10,4269 11,6336 0,025023 0,194978 0,14289377 10,1787 11,3474 11,0096 0,198677 0,158973 0,17560978 14,3825 10,0266 7,9041 0,018081 0,199454 0,11519179 9,2690 11,8975 9,1211 0,186582 0,127182 0,18111280 7,9617 7,0273 9,1475 0,118666 0,066091 0,18215181 11,8235 12,2762 12,8752 0,131634 0,104379 0,07097582 9,7524 10,1013 11,6481 0,197948 0,199215 0,14204383 10,6118 10,4777 11,9124 0,190352 0,193861 0,12627984 9,5775 7,4257 9,6059 0,195071 0,087121 0,19563685 8,7329 8,7239 10,3721 0,163202 0,162734 0,19604986 13,4796 12,7256 8,7877 0,043913 0,078811 0,16599687 10,4750 9,0502 14,6064 0,193924 0,178199 0,01405988 9,4765 11,0029 10,8944 0,192753 0,175905 0,18048989 12,5348 8,2636 9,8038 0,089346 0,136839 0,198513
90 9,9315 9,9853 10,8747 0,199354 0,199466 0,18127991 10,0669 8,3941 12,5209 0,199359 0,144506 0,09013692 8,0510 10,1669 15,9203 0,124072 0,198778 0,00249593 12,7649 12,4962 10,2216 0,076713 0,091543 0,19825194 9,6989 13,3249 10,2531 0,197224 0,050087 0,19788095 8,6981 7,9542 14,4019 0,161387 0,118214 0,01770096 9,5343 9,0517 11,1390 0,194135 0,178263 0,16961097 9,9411 6,1106 7,3850 0,199385 0,030107 0,08484898 11,4347 12,6950 10,0464 0,154219 0,080465 0,19941799 9,7644 10,2704 9,0770 0,198092 0,197656 0,179320100 8,9854 12,8957 8,8268 0,175386 0,069931 0,167942101 7,7757 6,3932 0,107473 0,039236102 12,2780 10,5577 0,104271 0,191865103 14,0404 5,9512 0,025921 0,025701104 8,7805 13,0194 0,165631 0,063821105 14,9197 10,9045 0,009681 0,180081106 12,9599 8,5464 0,066724 0,153170107 11,3426 8,6342 0,159231 0,157986108 10,8578 9,8845 0,181943 0,199139109 9,4969 13,1084 0,193259 0,059613110 6,3138 7,0892 0,036494 0,069171111 8,5803 8,2674 0,155046 0,137064112 9,9102 9,1892 0,199270 0,183734113 7,9925 10,3917 0,120531 0,195682114 14,5459 6,0910 0,015067 0,029536115 9,1468 10,1486 0,182123 0,198921116 7,6074 11,3610 0,097524 0,158241117 11,0202 12,2556 0,175139 0,105602118 11,3767 10,9302 0,157396 0,179024119 7,9169 9,9578 0,115963 0,199427120 6,7638 8,6749 0,053871 0,160163121 10,2302 12,8624 0,198155 0,071631122 10,6630 13,0034 0,188808 0,064594123 8,9931 9,3995 0,175730 0,190679124 11,4526 10,6900 0,153227 0,187945125 10,1521 11,9189 0,198895 0,125887126 12,2949 7,0256 0,103270 0,066006127 8,4251 7,1020 0,146299 0,069819128 11,4757 9,9491 0,151937 0,199407129 8,6405 13,7542 0,158322 0,034257130 8,4777 10,3848 0,149305 0,195813131 12,0925 10,4819 0,115395 0,193763132 11,5466 15,1057 0,147921 0,007668133 12,7265 8,2400 0,078762 0,135431134 12,6062 7,9206 0,085340 0,116185135 12,2917 6,8769 0,103460 0,058937
136 7,4592 11,4471 0,089006 0,153533137 9,5086 8,0535 0,193541 0,124221138 11,2589 8,9755 0,163623 0,174947139 9,5837 8,7320 0,195197 0,163152140 9,4616 12,4930 0,192372 0,091723141 10,5303 9,9838 0,192581 0,199465142 11,8055 11,8847 0,132716 0,127954143 14,6262 10,0148 0,013742 0,199466144 7,2698 9,1351 0,078562 0,181666145 10,1397 12,2669 0,198985 0,104930146 13,8960 11,5300 0,029915 0,148865147 14,0545 7,7987 0,025554 0,108851148 13,0297 11,5674 0,063327 0,146725149 9,1534 12,9276 0,182376 0,068328150 8,9730 13,3969 0,174832 0,047150151 11,3316 0,159818152 6,9499 0,062349153 8,2933 0,138597154 10,8736 0,181321155 12,5323 0,089489156 10,5543 0,191956157 9,9108 0,199273158 9,7139 0,197440159 9,9592 0,199430160 8,0929 0,126599161 13,5050 0,042950162 10,5482 0,192116163 9,7719 0,198179164 6,3564 0,037949165 7,5330 0,093217166 6,3990 0,039439167 12,8256 0,073527168 7,7433 0,105538169 8,8403 0,168604170 7,5630 0,094943171 9,9108 0,199273172 11,7580 0,135550173 7,4829 0,090349174 11,0494 0,173821175 10,4494 0,194499176 13,5710 0,040514177 11,2490 0,164133178 7,3222 0,081398179 9,3050 0,187784180 9,5471 0,194423181 9,4974 0,193270
182 13,1369 0,058303183 6,5338 0,044425184 4,6289 0,005417185 10,9899 0,176476186 8,2797 0,137789187 7,8849 0,114028188 8,8981 0,171384189 8,4896 0,149980190 8,2358 0,135180191 10,4636 0,194185192 11,1885 0,167186193 5,8450 0,023051194 9,7112 0,197402195 6,7942 0,055201196 11,3565 0,158486197 7,7636 0,106750198 11,9196 0,125849199 11,7786 0,134324200 11,0425 0,174134201 11,2533 0,163909202 11,3494 0,158868203 7,1654 0,073063204 9,4468 0,191986205 8,7834 0,165779206 8,4220 0,146119207 11,0261 0,174871208 7,2791 0,079065209 11,5079 0,150125210 10,4606 0,194251211 9,2635 0,186393212 12,5600 0,087926213 10,6538 0,189094214 11,2153 0,165845215 9,3584 0,189467216 7,8371 0,111151217 10,8848 0,180877218 12,3211 0,101720219 13,6281 0,038485220 11,2027 0,166477221 6,6493 0,049024222 11,2666 0,163224223 10,2986 0,197261224 10,8561 0,182007225 11,2635 0,163386226 10,3641 0,196194227 10,2713 0,197644
228 9,1711 0,183055229 11,9184 0,125917230 6,9845 0,064006231 10,7100 0,187291232 9,9785 0,199460233 8,6334 0,157940234 10,1291 0,199056235 9,5439 0,194352236 9,9369 0,199372237 11,1569 0,168740238 7,0718 0,068299239 9,1879 0,183685240 10,0106 0,199468241 8,4558 0,148058242 11,8370 0,130824243 10,1591 0,198841244 10,8679 0,181546245 10,3061 0,197148246 9,7499 0,197917247 6,5852 0,046437248 8,4018 0,144950249 11,0557 0,173533250 13,0293 0,063344251 9,2555 0,186119252 10,7891 0,184535253 14,9337 0,009516254 9,8742 0,199077255 10,1331 0,199030256 9,4925 0,193151257 13,4468 0,045177258 8,3485 0,141848259 9,1990 0,184099260 8,9784 0,175075261 11,0487 0,173853262 10,7173 0,187045263 10,8710 0,181423264 11,5076 0,150141265 10,8446 0,182453266 8,6374 0,158158267 11,1553 0,168818268 14,9422 0,009417269 8,7521 0,164190270 10,1451 0,198947271 9,3976 0,190626272 8,7771 0,165463273 8,1474 0,129884
274 12,1534 0,111721275 10,0066 0,199470276 6,9404 0,061902277 12,1858 0,109775278 12,3176 0,101930279 10,7048 0,187461280 10,1289 0,199057281 9,6154 0,195816282 12,0349 0,118877283 10,8658 0,181629284 14,3836 0,018060285 7,7499 0,105935286 10,3969 0,195581287 7,3350 0,082098288 7,8401 0,111330289 11,4000 0,156126290 10,3385 0,196635291 8,6949 0,161217292 11,1074 0,171120293 12,4971 0,091493294 10,1491 0,198918295 10,4515 0,194453296 5,8767 0,023818297 11,1732 0,167940298 12,6289 0,084079299 11,0025 0,175923300 7,5974 0,096940