DISERTACION - doktoratura.unitir.edu.al · ndryshme praktike. Si baz¨e e teoris e s¨ e p¨ erafrimeve sic¸ theksoi A. F. Timan,¨ esht¨ ¨e teorema e zbuluar nga K. Weierstrass

UNIVERSITETI I TIRANESFAKULTETI I SHKENCAVE TE NATYRES

DEPARTAMENTI I MATEMATIKES

PROGRAMI I STUDIMIT: ANALIZE DHE ALGJEBER

DISERTACION

PER MARRJEN E GRADES ”DOKTOR I SHKENCAVE”

Me teme

”PERAFRIMET STATISTIKORE MEDISA TIPE TE OPERATOREVE”

Kandidati: Udheheqesit Shkencore:M.Sc.Behar BAXHAKU Prof. Dr. Xhezair TELITI

Prof. Dr. Fevzi BERISHA

Tirane, 2017

UNIVERSITETI I TIRANESFAKULTETI I SHKENCAVE TE NATYRES

DEPARTAMENTI I MATEMATIKES

PROGRAMI I STUDIMIT: ANALIZE DHE ALGJEBER

DISERTACION

PER MARRJEN E GRADES ”DOKTOR I SHKENCAVE”

Me teme

”PERAFRIMET STATISTIKORE ME DISA TIPE TEOPERATOREVE”

Kandidati: Udheheqesit Shkencore:M.Sc.Behar BAXHAKU Prof. Dr. Xhezair TELITI

Prof. Dr. Fevzi BERISHAMbrohet me date / /2017 para jurise

1. Kryetar

2. Oponent

3. Oponent

4. Anetar

5. Anetar

Tirane, 2017

Falenderime dhe MirenjohjePer te arritur deri ne hartimin e ketij disertacioni pervec punes dhe perpjekjeve personalenje kontribut te rendesishem kane edhe udheheqesit e mi shkencore Prof.Dr. Xhezair Telitidhe Prof.Dr. Fevzi Berisha te cileve ju shpreh mirenjohjen dhe falenderimet e mia.

Falenderoj Departamentin e Matematikes te Fshn-se, per mundesine qe me dha, perkahjenqe me ofroi dhe sygjerimet me vlere, pa te cilat punimi i doktorates nuk do te mund terealizohej.

Gjithashtu, falenderoj familjen time qe ne cdo moment me ka perkrahur, me ka mirekuptuardhe me ka nxitur akoma me shume per te finalizuar keto studime.

Se fundi dua te falenderoj te gjithe miqte, shoket, koleget qe me kane inkurajuar dhembeshtetur gjate kesaj pune te lodhshme.

i

ParathenieNe kete disertacion, jane perkufizuar disa tipe te ri te operatoreve lineare pozitive, si dhejane studiuar disa veti per keta operatore. Vecanerisht, jane shqyrtuar vetite e perafrimeve,vetite e perafrimeve statistikore, si dhe vetite e perafrimeve me peshe. Shpejtesia e kon-vergjences se ketyre operatoreve kah funksioni eshte shqyrtuar permes modulit te lemuesh-merise, moduleve te pjeseshme te vazhdueshmerise per rastin e funksioneve me dy variabla,si dhe Peetre K-funksionalit. Ne vecanti, jane vertetuar disa teorema te tipit Voronovskayadhe Gruus-Voronovskaya. Po ashtu jane bere disa pergjithesime te operatoreve lineare poz-itive ne hapesiren e te gjithe funksioneve te vazhdueshme sipas Bogel-it. Per te pare memire perafrimin e ketyre operatoreve kah funksioni jane dhene disa shembuj te ilustrimitgrafik dhe eshte llogaritur vleresimi i gabimit.

AbstractIn this thesis we have introduced new type of linear positiv operators and some propertiesof these operators are studied. Specifically, approximation properties, statistical approx-imation properties and weighted approximation properties are investigated. Speed of theconvergence for these operators to the function are elaborated using modulus of smothness,partial modulus of continuity for the case of bivariate functions and Peetre K-functional.In particular, some theorems of Voronoskaya and Gruus-Voronovskaya type are proved.Furthermore, some generalizations of linear positive operators in the space of all continousfunctions given by Bogel are composed. To better see the approximation of these operatorsto the function some graphical examples and error estimation are presented.

Fjale kyce: Operatoret e Szasz-Jain-Brenke-s, operatoret e Szasz-Gould-Hopper-it,GBS-operatoret, moduli i vazhdueshmerise, Peetre K-funksionali, operatoret e Chlodowskyq-Bernstein-Stancu-Kantorovich, q-numrat e plote, shpejtesia e konvergjences, moduli iperzier i vazhdueshmerise.

Fusha (AMS subject classification): 26A15, 41A10, 41A25, 41A28, 41A35, 41A63

ii

Lista e Tabelave

3.1 Vleresimi i gabimit te operatoreve (3.2.3) per funksionin f (x) = x2 . . . . . 523.2 Vleresimi i gabimit te operatoreve (3.2.3) per funksionin f (x) = x3− x2 + 1

4x 533.3 Vleresimi i gabimit te operatoreve (3.2.3) per funksionin f . . . . . . . . . . 58

iii

Lista e figurave

3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

iv

Lista e Permbajtjes

1 11.1 Moduli i lemueshmerise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Moduli i vazhdueshmerise dhe K-funksionali . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Moduli i unifikuar i vazhdueshmerise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Hapesirat me peshe dhe modulet perkatese te vazhdueshmerise . . . . . . . 31.5 Operatoret lineare pozitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6 Operatoret e Bernstein-it . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.7 Operatoret e Kantorovich-it . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.8 Operatoret e Szasz-it . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.9 Disa Kuptime nga q-Kalkulusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.10 Konvergjenca Statistikore dhe A-statistikore . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 92.1 Vetite e perafrimeve te operatoreve te tipit Szasz-Brenke dhe Szasz-Gould-

Hopper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Perkufizimi i operatoreve te tipit Szasz-Brenke . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Vetite e perafrimeve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Perafrimi i funksioneve me peshe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5 Teoremat e tipit Voronovskaya dhe Gruss-Voronovskaya . . . . . . . . . . 212.6 Shpejtesia e konvergjences per funksionet me variacion te kufizuar . . . . . 232.7 Konstruktimi i operatoreve te tipit Szasz-Gould-Hopper . . . . . . . . . . 282.8 Vetite e perafrimeve lokale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.9 Perafrimet me peshe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.10 Vetite e perafrimeve A-statistikore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 393.1 Operatoret e tipit Szasz-Jain-Charlier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Konstruktimi i operatoreve te tipit Szasz-Jain-Charlier . . . . . . . . . . . . 393.3 Vetite e perafrimeve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4 Vetite e perafrimeve me peshe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.5 Moduli i unifikuar i vazhdueshmerise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.6 Shpejtesia e konvergjences per funksionet me variacion te kufizuar . . . . . 53

v

LISTA E PERMBAJTJES

4 594.1 Perafrimet me ane te operatoreve te tipit Chlodowsky-Szasz-Kantorovich-

Charlier per funksionin me dy variabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2 Konstruktimi i operatoreve te tipit Chlodowsky-Szasz-Kantorovich-Charlier

per funksionin me dy ndryshore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3 Perafrimet ne hapesiren e funksioneve te vazhdueshme sipas Bogel-it . . . 674.4 Perafrimet Statistikore ne hapesiren e funksioneve B- te vazhdueshme . . . 72

5 775.1 Vetite e perafrimet te disa tipeve te kombinuara te operatoreve me opera-

toret e tipit Chlodowsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2 Konstruktimi i operatoreve te tipit Chlodowsky . . . . . . . . . . . . . . . 775.3 Perafrimet statistikore te tipit Korovkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.4 Operatoret e tipit Chlodowsky q-Bernstein-Stancu-Kantorovich . . . . . . 825.5 Vetite e perafrimeve me peshe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.6 Gjeneralizimi i operatoreve te tipit Chlodowsky q-Bernstein- Stancu- Kan-

torovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.7 Perafrimet e funksioneve te vazhdueshme ne hapesiren e Bogel-it . . . . . . 96

Literatura 101

vi

Hyrje

Teoria e perafrimeve eshte nje nder disiplinat me te rendesishme dhe me permbajtesore tematematikes, e cila ka lidhje te ngushte si me shkencat matematike ashtu edhe me atoteknike. Per nje lidhje te tille na bind fakti se me zhvillimin e teorise se perafrimevejane zhvilluar edhe shkencat e tjera e ne te shumten e rasteve ky zhvillim ka cuar edhene perkufizimin e kuptimeve te reja ne matematike. Me nje potencial te madh te aplikimitte kesaj fushe ne probleme te ndryshme, kjo para se gjithash paraqet nje nder fushat mete vjetra kerkimore ne matematike. Nje rol te rendesishem ne teorine e perafrimeve kaneoperatoret lineare pozitive, te cilet gjejne zbatim mjaft te madh ne procesim te imazhevesi per shembull, imazhe biomjekesore apo lloje te tjera te imazheve mund te rindertohendhe te zgjerohen me ndihmen e operatoreve lineare pozitive , per te zgjidhur probleme tendryshme praktike. Si baze e teorise se perafrimeve sic theksoi A. F. Timan, eshte teoremae zbuluar nga K. Weierstrass me 1885, qe pohon se per secilin funksion te vazhdueshemne ndonje segment ekziston vargu i polinomeve qe konvergjon uniformisht te ky funksionne segmentin e dhene. Vertetimi i kesaj teoreme me polinomet algjebrike ose polinometrigonometrike ishte momenti kyc i zhvillimit te kesaj teorie.Meqenese ky vertetim ishte mjaft i komplikuar dhe shume i gjate, u bene perpjekje temedha nga shume matematikane te ndryshem qe te gjejne vertetime me te thjeshta dhe in-duktive te kesaj teoreme. Disa prej matematikaneve qe kontribuan ne vertetimin sa me tethjeshte te kesaj teoreme jane edhe: Carl Runge (1885), Henri Lebesgue (1908), EdmundLandau (1908), Lipot Fejer dhe Sergej N. Bernstein (1912).

Me 1912, S.N. Bernstein [82] jep nje vertetim te thjesht te teoremes se Weirestrass-it,ku vargu i polinomeve te cilet konvergjojne uniformisht kah funksioni qe duhet perafruarkonstruktohet me metoda probabilitare. Nga ky rast u konstruktuan edhe polinomet eBernstein-it:

Bn,k( f ;x) :=n

∑k=0

(nk

)xk(1− x)n−k f

(kn

),

ku f ∈ C[0,1], x ∈ [0,1] dhe n ∈ N. Teorema e Weirestrass-it tregon se, me saktesi sadote madhe, mund te perafrojme funksionet e vazhdueshme me polinome. Por jo me pak erendesishme eshte te percaktohen polinomet qe me saktesine e caktuar me pare e perafrojnefunksionin e dhene ne nje segment. Keto polinome jane polinomet e Bernstein-it. Rendesiae ketyre operatoreve behet e qarte kur Paul de Faget Casteljau dhe Pierre Bezier ngakompania automobilistike Renault fusin ne perdorim polinomet e Bernstein-it per te gjeturmodele qe sherbejne si metoda per dizajn industrial. Vecanerisht, ne vitet e 1950-ta, teo-ria e perafrimit te funksioneve me ane te operatoreve lineare pozitive mori hov te madhkur T. Popovicious [88], H. Bohman [45] dhe P.P. Korovkin [76, 77] zbulojne nje kriter

vii

LISTA E PERMBAJTJES

te thjeshte dhe lehte te aplikueshem per te kontrolluar nese nje varg i operatoreve linearepozitive konvergjon ne menyre uniforme kah funksioni qe duhet perafruar. Ky kriter tre-gon se kusht i nevojshem dhe i mjaftueshem per konvergjence uniforme te vargut te op-eratoreve lineare pozitive An ne funksionin e vazhdueshem f ne ndonje interval kompakt[a,b], eshte konvergjenca uniforme e vargut An f kah funksioni f per vetem tri funksionetek(x) = xk, k = 0,1,2. Nese intervali i perkufizimit te funksionit f eshte e pakufizuar (pershembull [0,∞),) atehere rezultati mbetet i vlefshem vetem per funksionet te cilat kan lim-itin e fundem ne infinit. Ne kete rast, test-funksionet xk, k = 0,1,2 zevendesohen me trifunksionet e tjera (p.sh. e−kx, k = 0,1,2). Z. Didzian ne [98] vuri ne dukje se per tazgjeruar teoremen e Popovic-Bohman-Korovkin-it per funksionet e vazhdueshme dhe tepakufizuara te definuara ne [0,∞), kerkohen disa kufizime te funksioneve. Me 1974, A.D. Gadijev [17] perkufizoi hapesiren me peshe (weighted space) Cρ(I), e cila paraqetbashkesine e te gjitha funksioneve te vazhdueshme f ne intervalin I ⊂ R, per te cilin ekzis-ton numri pozitiv M i tille qe | f (x)| ≤M ·ρ(x) per cdo x ∈ I, ku ρ eshte funksion pozitiv ivazhdueshem e qe quhet pesha (weight). Cρ(I) eshte hapesire lineare e normuar e pajisurme normen ‖ f ‖ρ= sup

x∈I

f (x)ρ(x) .

Teorema e llojit Korovkin, e vertetuar nga Gadijev, pohon: nese ϕ : [0,∞)→ [0,∞)funksion rrites i pakufizuar, i vazhdueshem dhe ρ(x) = 1+ϖ2(x), atehere nese vargu ioperatoreve lineare pozitive An : Cρ [0,∞)→Cρ [0,∞) ploteson barazimet:

limn→∞‖ Anϖ

i ‖ρ= 0, i = 0,1,2,

atehere per cdo funksion f ∈ Cρ [0,∞), per te cilin ekziston limx→∞

f (x)ρ(x) dhe eshte i fundme

vlen:limn→∞‖ An f − f ‖ρ= 0.

Per shkak te rendesise shume te madhe te polinomeve te Bernstein-it jane bere gjener-alizime dhe aplikime te shumta qe mund te gjenden ne [19, 20, 21, 31, 50, 91]. Ne keteteze doktorature jane perkufizuar disa tipe te ri te operatoreve te tipit diskret si dhe atyreintegrale dhe jane shqyrtuar vetite e perafrimeve statistikore, vetite e perafrimeve, si dhevetite e perafrimeve me peshe. Teza perbehet nga pese kapituj, prej te cileve ne kater ka-pitujt e fundit shumica e rezultateve jane pune origjinale.

Kapitulli i pare permban instrumente te nevojshme qe do te perdoren me tej per nxjer-rjen e rezultateve tona, sic jane modulet e lemueshmerise, K-funksionali dhe lidhja memodulet e vazhdueshmerise, hapesira e funksioneve me peshe, si dhe moduli perkates ivazhdueshmerise. Ne fund jane shqyrtuar disa tipe te operatoreve lineare pozitive si dhejane dhene disa nocione e perkufizime ne lidhje me q-Kalkulusin dhe konvergjencen statis-tikore.

Ne kapitullin e dyte se pari jane perkufizuar nje tip i ri i operatoreve lineare pozitive qejane kombinim i operatoreve te Szasz-Jain-it dhe polinomeve Brenke, si dhe jane shqyrtuarvetite e perafrimit te tyre. Po ashtu eshte eshte bere pergjithesimi i ketyre operatoreve meanen e polinomeve te Gould-Hopper-it. Per me teper, jane dhene teoremat e tipit kuan-titativ Voronovskaya dhe Gruss-Voronovskaya. Ne vecanti, eshte shqyrtuar shpejtesia e

viii

LISTA E PERMBAJTJES

konvergjences se operatoreve te Szasz-Jain-Brenke-s per funksionet qe kane derivatin mevariacion te kufizuar dhe jane dhene disa shembuj grafike per te ilustruar kete shpejtesi tekonvergjences. Ne fund jane marre vetite e perafrimeve statistikore me peshe per operatorete tipit Szasz-Gould-Hopper.

Ne kapitullin e trete jane perkufizuar nje tip i ri i operatoreve lineare pozitive qe jane kom-binim i operatoreve Szasz-it me operatoret e Jain-it dhe polinomeve te Charlier-it. Pastajjane shqyrtuar vetite e perafrimeve me ane te modulit te vazhdueshmerise me peshe dheklases se funksioneve Lipschitz. Per me teper, jepet shpejtesia e perafrimeve per funk-sionet qe kane derivatin me variacion te kufizuar, si dhe ne fund merren disa shembuj teilustrimit grafik te konvergjences se ketyre operatoreve kah funksioni f .

Ne kapitullin e katert jane perkufizuar operatoret e tipit Szasz-Kantorovich-Chlodowski,duke u bazuar ne polinomet e Charlier-it, si kombinim i operatoreve te tipit Szasz-Charlierdhe Kantorovich-Chlodowsky. Pastaj jane shqyrtuar vetite e perafrimeve lokale, shpejtesiae konvergjences se ketyre operatoreve permes moduleve te pjesshme, si dhe Peetre K-funksionalit dhe po ashtu jane marre disa shembuj te ilustrimit grafik te konvergjencesse ketyre operatoreve kah funksioni. Vecanerisht, eshte dhene lidhja e ketyre operatoreveme GBS-operatoret. Dhe ne fund jane marre disa rezultate te perafrimeve statistikore nehapesiren e funksioneve te vazhdueshme sipas Bogel-it.

Ne kapitullin e peste jane pergjithesuar disa tipe te operatore lineare pozitive ne hapesira tendryshme. Ne fillim jane shqyrtuar vetite e perafrimeve statistikore me peshe per operatorete tipit Chlodowsky q-Bernstein-Schurer-Stancu-Kantorovich, pastaj jane perkufizuar oper-atoret e tipit Chlodowsky q-Bernstein- Stancu -Kantorovich per rastin dydimensional medomene te pakufizuar dhe kemi studiuar shpejtesine e konvergjences ne terma te klases sefunksioneve Lipschitz dhe modulit komplet te vazhdueshmerise. Vecanerisht, kemi shqyr-tuar vetite e perafrimeve me peshe per keta operatore. Pastaj kemi bere nje gjeneralizimtjeter te ketyre operatoreve, te cilet mund te perdoren per te perafruar funksionet e vazh-dueshme ne hapesirat me te pergjithshme me peshe. Ne fund jane shqyrtuar GBS opera-toret e tipit Chlodowsky q-Bernstein -Stancu-Kantorovich dhe jane marre disa rezultate mendihmen e modulit te perzier te lemueshmerise.

ix

LISTA E PERMBAJTJES

QELLIMI I STUDIMIT DHE METODOLOGJIAQellimi ne kete disertacion eshte, studimi i vetive te perafrimeve, perafrimeve statistikore,dhe perafrimeve me peshe me disa tipe te rinje te operatoreve lineare pozitive. Ne vecantianalizimi dhe hulumtimi i rezultateve ne kete teori pas vitit 1950 dhe krijimi i parakushteveper zbatime jo vetem ne teori matematikore por edhe ne probleme konkrete si: intelegjenceartificiale, metoda per disajn industrial, procesim te imazheve, inxhinieri te ndertimit etj.Nje tjeter qellim qe pershkon fund e krye kete disertacion eshte: trajtimi i perafrimit mete mire te funksioneve posaqerisht me rastin e trajtimit te shpejtesise se konvergjences seoperatoreve kah funksioni me nje dhe dy variabla, si dhe gjetja e shembujve qe japin njepasqyre me te qarte te shpejtesise se perafrimeve. Rezultatet qe do te merren gjate shqyr-timit te perafrimit me te mire, pastaj do te pergjithesohen per rastin e funksioneve meshume variabla, por mbetet per tu studiuar ne te ardhmen. Objektivi kryesor ne kete dis-ertacion eshte gjetja e disa tipeve te reja te operatoreve te kombinuar si dhe modifikimi iatyre ekzistues.

Metodologjia qe kemi perdorur ne kete studim ne lidhje me teorine e perfrimeve me oper-atore, mbeshtetet se pari ne rezultatet baze te cilat jane marre ne konsultim me literaturen ehuaj si ate klasike ashtu edhe ate te viteve te fundit ne lidhje me teorine tone duke studiuar,analizuar dhe vleresuar rezultatet shume te rendesishme te hasura ne punime nga studiueste ndryshem te botuara ne revista me prestigjioze. Ne vecanti, jane bere analizime kraha-suese dhe hulumtime te sintetizuara duke u bazuar ne arritjet e fundit per te pergjithesuarte gjitha rezultatet, si dhe duke bere nje lidhje me rezultatet tona. Gjithashtu nepermjetanalogjise dhe pergjithesimit kemi arritur ti formulojme disa perkufizime te reja ne lid-hje me pergjithesimin e ketyre operatoreve ne hapesira te ndryshme. Korrospondencat endryshme me akter te ndryshem si vendor ashtu edhe ata nderkombetar ka sjelle konkretiz-imin me disa punime shkencore ne lidhje me teorine e perafrimeve [20, 22, 23]. Vertetimirigoroz dhe shembujt e gjetur pas rezultateve te marra sigurojne saktesine e punimit dhe nabejne te besojme se kemi realizuar qellimin tone dhe kemi hedhur bazat per punime te rejane kete fushe.

x

Kapitulli 1

1.1 Moduli i lemueshmerisePer te matur shpejtesine e konvergjences se operatoreve lineare pozitive ndaj operatoritidentik na nevojitet moduli i rendit te pare dhe moduli i rendit e dyte te lemueshmerise.Prandaj ne kete paragraf rikujtojme perkufizimet e moduleve te lemueshmerise, te cilat dote na sherbejne gjate gjithe kesaj teze. Ne kete punim jane dhene disa vleresime me anene modulit te lemueshmerise se rendeve te larta, prandaj do te japim perkufizimin e modulitte lemueshmerise se rendeve te larta.

Perkufizim 1.1.1. ([78]) Per n ∈ N, t ∈ R+ dhe f ∈ C[a,b] moduli i lemueshmerise serendit n perkufizohet me relacionin:

ωn( f ; t) = sup|∆nh f (x)| : x,x+h ∈ [a,b],0≥ h≤ t,

ku

∆nh f (x) =

n

∑i=0

(−1)i f (x+(n− i)h) =n

∑j=0

(−1)n− j f (x+ jh).

Per n = 1 fitohet moduli i lemueshmerise se rendit te pare te cilin e perkufizoi D. Jack-son ne tezen e vet te doktorates [32].

Rrjedhim 1.1.2. ([78]) Per modulin e lemueshmerise se rendit te pare vlejne vetite vijuese:(1) ωn( f ;0) = 0;(2) ωn( f ; ·); eshte funksion pozitiv, i vazhdueshem dhe jozvogelues ne R+;(3) ωn( f ; ·); eshte subaditiv, d.m.th. ωn( f ; t1 + t2)≤ ωn( f ; t1)+ωn( f ; t2), ti ≥ 0, i = 1,2;(4) ∀δ ≥ 0,ωk+1( f ;δ )≤ 2ωk( f ;δ ).(5) Ne qofte se f ∈C1[a,b] atehere ωk+1( f ;δ )≤ δωk( f ′;δ ),δ > 0.(6) ∀δ > 0 dhe per n ∈ N, ωk( f ;nδ )≤ nkωk( f ;δ ).(7) ∀δ > 0 dhe r > 0, ωk( f ;rδ )≤ (1+[r])kωk( f ;δ ).(8) ∀δ ≥ 0, ωn( f ; ·) eshte seminorm ne C[a,b].(9) Ne qofte se f ∈Cr[a,b], atehere ωr( f ;δ )≤ δ r sup

δ∈[a,b]| f (r)(δ )|.

1

1.2. MODULI I VAZHDUESHMERISE DHE K-FUNKSIONALI

1.2 Moduli i vazhdueshmerise dhe K-funksionaliDuke trajtuar perafrimin me te mire te funksioneve pasacerisht ne rastin e trajtimit te sh-pejtesise se konvergjences se operatoreve, eshte konstatuar qe sa me te ”mira” te jenefunksionet aq me shpejte konvergjon procesi i perafrimit te funksionit. Funksioni do tejete aq i mire varesisht prej rendit te diferencimit te tij. Eshte e nevojshme te verejmeedhe klasifikimin e funksioneve te vazhdueshme por jo te diferencueshme. Karakteristikee pershtatshme e ketyre funksioneve eshte i ashtuquajturi moduli i vazhdueshmerise si dheK-funksionali. Ne vitin 1968 J. Peetre ne [52] perkufizoi nje funksional, i cili sot njihet meemrin Peetre K-funksionali, i cili gjeti zbatim mjaft te madh per te matur lemueshmerinee nje funksioni ne kuptimin qe sa me mire te perafrohet me funksione te lemueshme. Nevazhdim po japim perkufizimin e modulit te vazhdueshmerise, moduleve te pjesshme tevazhdueshmerise si dhe K−funksionalit ne ndonje bashkesi kompakte Iab = [0,a]× [0,b].

Perkufizim 1.2.1. ([18]) Le te jete f ∈C(Iab) dhe δ > 0. Atehere moduli i vazhdueshmerisese funksionit f (x,y) perkufizohet me

ω( f ;δ1,δ2) = sup| f (u,v)− f (x,y)| : (u,v),(x,y) ∈ Iab, |u− x| ≤ δ1, |v− y| ≤ δ2,

kurse modulet pjesshme ne varesi te x dhe y respektivisht jepen me

ω(1)( f ;δ ) = sup

0≤y≤bsup

|x1−x2|≤δ

| f (x1,y)− f (x2,y)|,

ω(2)( f ;δ ) = sup

0≤x≤asup

|y1−y2|≤δ

| f (x,y1)− f (x,y2)|.

Moduli i vazhdueshmerise ka keto veti:

(i) Nese f ∈C(Iab), atehere ω( f ;δ1,δ2)→ 0 per δ1→ 0 dhe δ2→ 0.

(ii) | f (u,v)− f (x,y)| ≤ω( f ; |u−x| ≤ δ1, |v−y| ≤ δ2)≤ω( f ;δ1,δ2)(|u−x|

δ1+1)(|v−y|

δ2+1).

Perkufizim 1.2.2. ([40]) Le te jete C2(Iab) hapesira e te gjithe funksioneve f te tille qe∂ i f∂xi ,

∂ i f∂xi ∈C(Iab),(i = 1,2). Norma ne hapesiren C2(Iab) perkufizohet me

‖ f ‖C2(Iab)=‖ f ‖C(Iab) +

2

∑i=1

(∣∣∣∣∣∣∂ i f∂xi

∣∣∣∣∣∣C(Iab)

+∣∣∣∣∣∣∂ i f

∂yi

∣∣∣∣∣∣C(Iab)

).

Per aplikimin e K-funksionalit ne kete teze do te marrim perkufizimin vijues

Perkufizim 1.2.3. ([98]) Per f ∈ C(Iab) dhe δ > 0, Peetre’s K-funksionalit perkufizohetme

K( f ;δ ) = infg∈c2(Iab)

‖ f −g ‖C(Iab) +δ ‖ g ‖C(Iab)

,

ku ‖ · ‖C(Iab) eshte sup-norma.

Ne ([71], faqe 192) tregohet se ekziston konstanta pozitive L e cila nuk varet nga δ dhef e tille qe

K( f ;δ )≤ L

ω2( f ;δ )+min(1,δ ) ‖ f ‖C(Iab)

.

2

1.3. MODULI I UNIFIKUAR I VAZHDUESHMERISE

1.3 Moduli i unifikuar i vazhdueshmerisePer te pershkruar rezultatet tona te ardhshme, rikujtojme perkufizimet e modulit te teunifikuar te rendit te pare si dhe dhe K-funksionalit. Le te jete φ 2(x) = x(1 + x) dhef ∈ CB[0,∞), hapesira e te gjithe funksioneve te kufizuara dhe te vazhdueshme ne [0,∞).Moduli ωφ τ ( f , t), 0≤ τ ≤ 1, jepet me

ωφ τ ( f , t) = sup0≤h≤t

supx± hφτ (x)

2 ∈[0,∞)

∣∣∣∣ f(x+hφ τ(x)

2

)− f(

x− hφ τ(x)2

)∣∣∣∣,ndersa K-funksionali per te jepet me:

Kφ τ ( f , t) = infg∈Wτ

|| f −g||+ t||φ τg′||, (1.3.1)

ku, Wτ = g : g ∈ ACloc[0,∞),‖φ τg′‖< ∞, ACloc[0,∞) perkufizojme hapesiren e te gjithefunksioneve absolutisht te vazhdueshme ne [0,∞). Nga [98], mund te gjendet konstantaM > 0 e tille qe

M−1ωφ τ ( f , t)≤ Kφ τ ( f , t)≤Mωφ τ ( f , t).

1.4 Hapesirat me peshe dhe modulet perkatese te vazh-dueshmerise

Me 1974, A. D. Gadijev [17] perkufizoi hapesiren me peshe (weighted space). Le te jeteDψ [0,∞) hapesira e te gjithe funksioneve f te perkufizuar ne [0,∞) qe ploteson kushtin| f (x)| ≤ M f ψ(x), ku M f eshte konstante pozitive e cila varet nga funksioni f dhe le tejete ψ(x) = 1+ x2 funksion peshe. Me Cψ [0,∞) perkufizojme nenhapesiren e te gjithafunksioneve te vazhdueshme f ∈ Dψ [0,∞) te pajisur me normen ‖ f‖ψ = sup

x∈[0,∞)

| f (x)|1+x2 dhe

C∗ψ [0,∞) =

f ∈Cψ [0,∞) : limn→∞

f (x)1+x2 < ∞

.

Ne [15] Gadjiev dhe Aral perkufizuan modulin e vazhueshmerise me peshe per funksioninf ∈C∗ψ [0,∞), si ne vijim:

Ωψ( f ;δ ) = sup0≤|ψ(x)−ψ(t)|<δ ,x,t∈[0,∞)

| f (x)− f (t)|[|ψ(x)−ψ(t)|+1]ψ(x)

. (1.4.1)

Ispir ne [64] dha nje perkufizim tjeter te modulit te vazhdueshmerise me peshe per funk-sionin f ∈C∗ψ [0,∞), qe jepet me barazimin

Ω( f ;δ ) = sup0≤|h|<δ ,x∈[0,∞)

| f (x+h)− f (x)|(1+h2)(1+ x2)

. (1.4.2)

Funksioni Ω( f ;δ ) ploteson vetite vijuese:

Leme 1.4.1. [64]. Per funksionin Ω( f ,δ ), kemi

3

1.5. OPERATORET LINEARE POZITIVE

1. Ω( f ,δ ) eshte monotono rrites,

2. limδ→0+Ω( f ,δ ) = 0;

3. per cdo λ ∈ [0,∞) dhe δ > 0,Ω( f ,λδ )≤ 2(1+λ )(1+δ 2)Ω( f ,δ ).

Ne vazhdim te shohim modulin e vazhdueshmerise me peshe per rastin e funksionit medy variabla.Le te jete R2

+ = (x,y) : x ≥ 0,y ≥ 0 dhe Bρ(R2+) hapesira e te gjitha funksioneve me

vetine qe | f (x,y)| ≤M f ρ(x,y), ku (x,y) ∈ R2+ dhe M f eshte konstante qe varet nga funk-

sioni f . Me Cρ(R2+) perkufizojme nenhapesiren e te gjitha funksioneve te vazhdueshme ne

Bρ(R2+). Qartazi Cρ(R2

+) eshte hapesire lineare e normuar e pajisur me normen ‖ f ‖ρ=

sup(x,y)∈R2

+

| f (x,y)|ρ(x,y) . Per me teper, le te jete C∗ρ(R2

+) nenhapesira e te gjithe funksioneve f ∈

Cρ(R2+), e tille qe lim

(x,y)→∞

f (x,y)1+x2+y2 = k f < ∞. Moduli i vazhdueshmerise me peshe per funk-

sionin me dy variabla f (shih [64]) jepet me barazimin:

Ω( f ;δn,δm) = sup(x,y)∈R2

+

sup|h1|≤δ1,|h2|≤δ2

| f (x+h1,y+h2)− f (x,y)|ρ(x,y)ρ(h1,h2)

, f ∈C∗ρ(R+). (1.4.3)

1.5 Operatoret lineare pozitiveNe kete paragraf ne do te japim disa perkufizime themelore dhe disa veti elementare nelidhje me operatoret pozitive lineare.

Perkufizim 1.5.1. [78] Le te jene X dhe Y hapesira lineare te funksioneve reale. PasqyrimiL : X → Y quhet operator linear nese ploteson kushtin:

L(α f +βg) = αL( f )+βL(g),

f ,g ∈ X dhe α,β ∈ R.

Operatori L( f ;x) quhet pozitiv ne bashkesine X , nese nga f ≥ 0 rrjedh se L( f ;x) ≥0,x ∈ X .

Pohim 1.5.2. [78] Le te jete L : X → Y operator linear pozitiv.i) Operatori L eshte monoton, nese per cdo f ,g ∈ X nga f ≥ g, rrjedh se L( f )≥ L(g).ii) ∀ f ∈ X vlen |L( f )| ≥ L| f |.

Perkufizim 1.5.3. [78] Le te jete L : X → Y, ku X jane dy hapesira lineare te normuara tefunksioneve reale. Per operatorin L perkufizojme numrin jonegativ ||L|| me

||L||= supf∈X ,|| f ||=1

||L( f )||= supf∈X ,|| f ||=1

||L( f )||.

Eshte e qarte se, || · || i ploteson kushtet e nje norme, per kete arsye quhet edhe norme eoperatorit.

4

1.6. OPERATORET E BERNSTEIN-IT

Perkufizim 1.5.4. [78] Le te jete L : X → Y operator linear. Thuhet se operatori L( f ;x)eshte i kufizuar nese ekziston numri real m≥ 0 i tille qe

||L( f ;x)||Y ≤M|| f ||X .

Nese X = Y =C[a,b], atehere per vazhdueshmerin dhe normen e operatorit vlene:

Rrjedhim 1.5.5. Ne qofte se L : C[a,b] ∈ C[a,b] eshte operator linear pozitiv atehere Leshte i vazhdueshem dhe ||L( f ;x)||= ||L(1;x)||.

Ne vazhdim do te shohim teoremen mbi kushtin e nevojshem dhe te mjaftueshemqe vargu i operatoreve konvergjon kah operatori identik. Kjo teoreme eshte vertetuar nemenyre te pavarur nga tre Matematikane: T. Popovic-i ne vitin 1951, H. Bohman-i ne vitin1952 dhe P.P. Korovkin ne vitin 1953. Ky rezultat klasik i teorise se perafrimeve eshtei njohur kryesisht me emrin teorema Bohman-Korovkin, sepse kontriubuti i T. Popovic-itmbeti i panjohur per nje kohe te gjate.

Teoreme 1.5.1. (Bohman-Korovkin [78]) Supozojme se Ln( f ;x) eshte varg i operatorevelineare pozitive dhe le te jete ei = t i. Nese lim

n→∞Lnei = ei, i = 0,1,2, konvergjon uniformisht

ne [a,b], atehere limn→∞

Ln f = f , konvergjon uniformisht ne [a,b], per cdo f ∈C[a,b].

Duke pasur parasysh kete rezultat, shume Matematikane kete teoreme e pergjithesuanne hapesira te ndryshme. Ne kete drejtim teorema Korovkin u nda si dege e vecante eteorise se perafrimit.

1.6 Operatoret e Bernstein-itNe vitin 1885, Karl Weierstrass vertetoi teoremen e mirenjohur mbi perafrimin e funksion-eve me polinome algjebrike ose trigonometrike dhe ishte celesi i zhvillimit te teorise seperafrimit. Meqe vertetimi ishte shume i komplikuar, shume matematikane te famshemfilluan te merren per te gjetur vertetime me te thjeshta. Ne vitin 1912 S.N. Bernstein [82]prezentoi operatoret e ri te perkufizuar me relacionin:

Bn( f ;x) =n

∑k=0

pn,k(x) f(

kn

)

ku pn,k(x) =(

nk

)xk(1− x)n−k. Operatoret e Bernstein-it plotesojne vetite vijuese:

(1) Bn(e0;x) = 1,Bn(e1;x) = x,Bn(e2;x) = x2 + x(1−x)n ;

(2) limn→∞

Bn( f ;x) = f (x), konvergjon uniformisht ne [0,1], ∀ f ∈C[0,1];

(3) ||Bn||= 1;(4) |Bn( f ;x)− f (x)| ≤Cω( 1√

n),∀x ∈ [0,1].

5

1.7. OPERATORET E KANTOROVICH-IT

1.7 Operatoret e Kantorovich-itNe rastin e pergjithshem polinomet e Bernstein-it nuk jane te pershtatshme per perafrimin efunksioneve jo te vazhdueshme. Duke zevendesuar ne vend te f

( kn

)ne perkufizimin e poli-

nomeve te Bernstein-it me mesataren integrale g = (n+ 1)∫ k+1

n+1k

n+1f (t)dt ne ndonje rrethine

te vogel te kn , mund te marrim rezultatet me te mira. Ne vitin 1930 L.V. Kantorovich

perkufizoi dhe studioi operatoret Kn : L1[0,1]→C[0,1], te perkufizuar me barazimin

Kn( f ;x) = (n+1)n

∑k=0

pn,k(x)∫ k+1

n+1

kn+1

f (t)dt.

Keta operatore jane lineare dhe pozitive dhe per f ∈L1[0,1], kemi reprezentimin: Kn( f ;x)=ddxBn+1(F ;x), ku F(x) =

∫ x0 f (t)dt dhe Bn+1 eshte operatori i Bernstein-it i rendit n+1.

Operatoret e Kantorovich-it i plotesojne kushtet vijuese:

Kn(e0;x) = 1; Kn(e1;x) = 2nx+12(n+1) ; Kn(e2;x) = (n(n−1)x2+2nx+ 1

3 )

(n+1)2 .

1.8 Operatoret e Szasz-itNe vitin 1950 Otto Szasz ne [68] perkufizoi nje tip te ri te operatoreve lineare pozitive qeme vone morren emrin e tij. Operatoret lineare pozitive:

Sn( f ;x) =∞

∑k=0

sn,k(x) f(

kn

)

ku sn,k(x) = e−nx (nx)k

k! ,x ∈ [0,∞) dhe n ∈ N thuhet se jane operatoret e Szasz-it. Shihet seberthama e operatoreve te Szasz eshte densiteti i shperndarjes se Poisson-it. Keta operatorejane pergjithesim i operatoreve te Bernstein-it ne interval te pafundme.

1.9 Disa Kuptime nga q-KalkulusiNe teorine e perafrimeve paraqiten edhe kuptime te reja sic eshte q-Kalkulusi. q-Kalkulusidaton qe nga koha e Leonhard Euler-it (1707-1783) dhe Carl Gustav Jakobi (1804-1851),kohet e fundit po gjene zbatim shume te madh ne Mekaniken kuantike. Perveq kesaj kagjetur aplikime te shumta edhe ne fusha te tjera matematike si per shembull ne: teori tenumrave, kombinatorike, polinome ortogonale, funksione hipergjeometrike etj. Ne fillim,le te japim disa kuptime te q-Kalkulusit te cilat do te na nevojiten ne kapitullin e peste. De-taje ne lidhje me q-Kalkulusin mund te gjenden ne [15]. Per cdo numer real te fiksuar q > 0dhe per cdo numer te plote jonegativ, q-numri i plote [n]q dhe q-faktorieli [n]q! definohenme

[n]q =

1−qn

1−q , if q 6= 1n if q = 1,

6

1.10. KONVERGJENCA STATISTIKORE DHE A-STATISTIKORE

dhe

[n]q! =

[n]q[n−1]q . . . [2]q[1]q, if n ∈ N

1 if n = 0,

respektivisht. Atehere, per cdo dy numra te plote n dhe k qe plotesojne kushtet 0≤ k ≤ n,dhe q > 0, koeficienti q-binomial perkufizohet me[

nk

]q=

[n]q![k]q![n− k]q!

.

q- integrali i tipit Jackson ne intervalin [0,a] perkufizohet me

a∫0

f (s)dqn1s = (1−qn1)a

∞

∑j1=0

f (aq j1n1)q j1

n1, 0 < qn1 < 1,

dhe provohet qe shuma konvergjon absolutisht.Supozojme se qn1 > 0,qn2 > 0, atehere q- integrali i tipit Jackson per funksionin me dyvariabla ne [0,a]× [0,b] jepet me

a∫0

b∫0

f (t1, t2)dqn1t1dqn2

t2 = (1−qn1)(1−qn2)ab∞

∑j1=0

∞

∑j2=0

f (aq j1n1,bq j2

n2)q j1

n1q j2

n2, (1.9.1)

ku qni ∈ (0,1) for i = 1,2.

1.10 Konvergjenca Statistikore dhe A-statistikoreKonvergjenca statistikore eshte nje teori e re dhe shume e rendesishme ne analizen reale,funksionale dhe ne teorine e Operatoreve. Ideja e konvergjences statistikore u shfaq needicionin e pare te monografise se Zigmund-it, e cila erdhi jo nga statistika por nga prob-lemet e shumave te serive. Kuptimi i konvergjences statistikore se pari eshte paraqiturne vitet e 50−ta nga Stenhausi, si dhe Fast [48] ne punimin e tij ne vitin 1951. Mirepoaplikimi i saj ne Teorine e operatoreve filloi ne vitin 2002 ku A.D.Gadijev dhe C. Orhan[14] provuan teoremen Korovkin-it per konvergjencen statistikore. Rikujtojme se: Nese Aeshte nebashkesi e N dhe ℵA eshte funksion karakteristik, atehere densiteti i bashkesise Aperkufizohet me barazimin

δ (A) = limn→∞

1n

n

∑j=1

ℵA( j),

dhe mund te provohet se ky limit ekziston. Thuhet se vargu i numrave real x = (xn)n≥1konvergjon ne menyre statistikore ne L nese per cdo ε > 0 vlen δn∈N : |xn−L| ≥ ε= 0.Ne kete rast shkruajme st− lim

n→∞xn = L. Ngjashem me teoremen klasike Korovkin, te dhene

ne [14] autoret moren kushtet e mjaftueshme qe garantojne qe vargu i operatoreve linearepozitive (An)n≥1 ploteson kushtet st − lim

n||An f − f || = 0, per cdo funksion f qe eshte i

7

1.10. KONVERGJENCA STATISTIKORE DHE A-STATISTIKORE

vazhdueshem ne [a,b] dhe i kufizuar ne drejtezen reale.Le te jete A = [a jn], j,n ∈ N matrice e pafundme e shumueshme. Per vargun (xn), A-transformati i x, shenohet me ((Ax) j), dhe jepet me

(Ax) j =∞

∑n=1

a jnxn.

Provohet se seria konvergjon per cdo j ∈ N. Thuhet se matrica A eshte regulare ne qoftese lim

j(Ax) j = L sahere qe lim

n(xn) = L. Vargu (xn) thuhet se konvergjon ne menyre A-

statistikore kah L nese, per cdo ε > 0, limj

∑n:|xn−L|≥ε

a jn = 0. Ky limit shenohet me stA−

limn

xn = L. Nese zevendesohet matrica A me matricen Cesaro C1, te rendit nje ne rela-cionin (6), atehere konvergjenca A-statistikore kthehet ne konvergjence statistikore. Ng-jashem, nese marrim A = I matrica njesi, atehere konvergjenca A-statistikore kthehet nekonvergjence te zakonshme. Ne [33] Kolk tregoi se nese lim

jmax

n= 0, konvergjenca A-

statistikore eshte me e forte se sa konvergjenca e zakonshme.

8

Kapitulli 2

2.1 Vetite e perafrimeve te operatoreve te tipit Szasz-Brenkedhe Szasz-Gould-Hopper

Ne kete kapitull jane shqyrtuar operatoret e tipit Szasz-it, si kombinim me operatoret e Jain-it, si dhe me polinomet e Brenke-s, po ashtu eshte bere nje gjeneralizim tjeter i operatorevete tipit Szasz-it, ku berthama e operatorit eshte perkufizuar permes polinomeve te Gould-Hopper-it. Jane shqyrtuar vetite e perafrimeve me anen e modulit te lemueshmerise, PeetreK-funksionalit dhe klases se funksioneve Lipschitz. Po ashtu jane marre dy teorema tetipit Voronovkaya dhe Gruus-Voronovskaya si dhe shpejtesia e konvergjences se ketyreoperatoreve per funksionet qe kane derivatin me variacion te kufizuar. Jane marre disateorema ne lidhje me vetite e perafrimeve statistikore si dhe vetite e perafrimeve me peshe.Dhe ne fund me ane te disa shembujve eshte bere ilustrimi grafik i konvergjences se ketyreoperatoreve.

2.2 Perkufizimi i operatoreve te tipit Szasz-BrenkeNe vitin 1972 Jain perkufizoi nje tip te ri te operatoreve te ngjashem me operatoret e tipitSzasz, qe me vone filluan te njihen me emrin operatoret e Jain-it.Operatoret e Jain-it jepen me anen e shumes:

J[β ]n ( f ;x) =∞

∑k=0

c(β )n,k (x) f(

kn

), x ∈ [0,∞), (2.2.1)

ku, β ∈ [0,1) dhe berthama e operatorit jepet permes shperndarjes se modifikuar te Poisson-it me

c(β )n,k (x) =nx(nx+ kβ )k−1e−(nx+kβ )

k!.

Rast i vecante nese β = 0, operatoret e propozuar nga Jain J[β ]n ( f ;x), shnderrohen ne oper-atore te tipit Szasz-Myrakyan, te cilet jane dhene ne [68]. Duke u motivuar nga kjo pune,shume autore shqyrtuan dhe vertetuan veti te ndryshme te operatoreve te perkufizuar ne(2.2.1) (shih punimet [5, 6, 7, 59, 60, 81, 96]). Koheve te fundit, Gupta dhe Greubel [97]perkufizuan dhe modifikuan operatoret e tipit te Durrmeyer-it te perkufizuar ne (2.2.1) dheprovuan shume rezultate te drejtperdrejta. Me pas, Jakimovski dhe Leviatan [4], propozuan

9

2.2. PERKUFIZIMI I OPERATOREVE TE TIPIT SZASZ-BRENKE

nje gjeneralizim te operatoreve te Szasz me ane te polinomeve te Appell-it pk(x). Le te jeteg(z) = ∑

∞k=0 akzk(a 6= 0) funksion analitik ne diskun |z| < R,(R > 1) dhe g(1) 6= 0. Poli-

nomet e Appellit pk(x) perkufizohen me anen e funksionit gjenerues

g(t)etx =∞

∑k=0

pk(x)tk. (2.2.2)

Se fundmi, Varma dhe te tjere ne [83] perkufizuan dhe gjeneralizuan operatoret e Szasz-it,me anen e polinomeve te tipit Brenke. Supozojme se

A(t) =∞

∑k=0

akzk,A(0) 6= 0,B(t) =∞

∑k=0

bkzk,B(0) 6= 0. (2.2.3)

jane funksione analitike ne |z| < R,(R > 1) ku ak dhe bk jane reale. Funksioni gjeneruesper polinomet e Brenke-s ka formen:

A(t)B(tx) =∞

∑k=0

pk(x)tk (2.2.4)

ndersa formula eksplicite e pk(x) jepet me shprehjen:

pk(x) =k

∑l=0

ak−lblxl,k = 0,1,2, .... (2.2.5)

Gjate gjithe ketij paragrafi do te supozojme se:

limy→∞

B(r)(y)B(y)

= 1, per r ∈ 1,2, ...,k. (2.2.6)

Le te jete CE [0,∞) bashkesia e te gjitha funksioneve te vazhdueshme me vetine qe| f (t)| ≤ AeBt(t ≥ 0), per disa konstante te fundme A,B > 0. Perkufizojme nje varg te ri teoperatoreve lineare pozitive qe jane kombinim i operatoreve te perkufizuar nga Jain [44]dhe polinomeve te tipit te Brenkes, si ne vijim:

S[β ]n ( f ;x) = 1A(1)B(nx)

∞

∑k=0

pk(nx)

∫∞

0 c(β )n,k (t) f (t)dt∫∞

0 c(β )n,k (t)dt

= 1A(1)B(nx)

∞

∑k=0

pk(nx)< c(β )n,k (t), f (t)>

< c(β )n,k (t),1 >. (2.2.7)

Operatorin e perkufizuar ne (2.2.7) mund ta rishkruajme ne formen

S[β ]n ( f ;x) =∫

∞

0M[β ]

n (x; t) f (t)dt,

ku, M[β ]n (x; t) =

∞

∑k=0

pk(nx)c(β )n,k (t)

A(1)B(nx)∫

∞

0 c(β )n,k (t)dt.

Qellimi i ketij kapitulli eshte qe te formuloje disa teorema te drejtperdrejta per operatoret edhene ne relacionin (2.2.7), duke perdorur kufizimet e meposhtme:

10

2.2. PERKUFIZIMI I OPERATOREVE TE TIPIT SZASZ-BRENKE

(i) A(1) 6= 0, ak−lblA(1) ≥ 1,k = 0,1,2, ...,

(ii) B : [0,∞)→ (0,∞),

(iii) (1.3) dhe (1.4) konvergjojne per | t |< R,(R > 1).

Per te vertetuar rezultatet kryesore na nevojiten lemat vijuese:

Leme 2.2.1. Per operatoret S[β ]n (ts;x), s = 0,1,2,3,4, vlejne relacionet

(i) S[β ]n (1;x) = 1;

(ii) S[β ]n (t;x) = (1−β )B′(nx)B(nx)

x+(1−β )2A′(1)+A(1)

n(1−β )A(1);

(iii) S[β ]n (t2;x) = (1−β )2 B′′(nx)B(nx)

x2 +x(1−β )2

nB′(nx)B(nx)

(2A′(1)+A(1)

A(1)+

3(1−β )2

)+

(1−β )2

n2

(A′′(1)+A′(1)

A(1)+

3A′(1)(1−β )2A(1)

+2

(1−β )3

);

(iv) S[β ]n (t3;x) =(1−β )3B′′′(nx)

B(nx)x3 +

3(1−β )3x2B′′(nx)nB(nx)

(A′(1)+A(1)

A(1)+

2(1−β )2

)+

(1−β )3xB′(nx)n2A(1)B(nx)

(3A′′(1)+6A′(1)+A(1)+

6(2A′(1)+A(1))(1−β )2 +

(11−8β )A(1)(1−β )4

)+(1−β )3

n3

(A′′′(1)+3A′′(1)+A′(1)

A(1)+

6(A′′(1)+A′(1))A(1)(1−β )2 +

11−8β

(1−β )4A′(1)A(1)

+3!

(1−β )4

);

(v) S[β ]n (t4;x) =(1−β )4B(4)(nx)x4

B(nx)+

2(1−β )4B′′′(nx)x3

nA(1)B(nx)

(2A′(1)+3A(1)+

5A(1)(1−β )2

)+

(1−β )4B′′(nx)x2

n2A(1)B(nx)

(6A′′(1)+18A′(1)+7A(1)+

30(A′(1)+A(1))(1−β )2)

+5(7−4β )A(1)

(1−β )4

)+

(1−β )4B′(nx)xn3A(1)B(nx)

(4A′′′(1)+18A′′(1)+14A′(1)+A(1)

+10(3A′′(1)+6A′(1)+A(1))

(1−β )2 +5(7−4β )(2A′(1)+A(1))

(1−β )4 +10(5−3β )A(1)

(1−β )5

)+

(1−β )4

n4A(1)

(A(4)(1)+6A′′′(1)+7A′′(1)+A′(1)+

10(A′′′(1)+3A′′(1)+A′(1))(1−β )2

+5(7−4β )(A′′(1)+A′(1))

(1−β )4 +10(5−3β )A′(1)+4!A(1)

(1−β )5

).

11

2.2. PERKUFIZIMI I OPERATOREVE TE TIPIT SZASZ-BRENKE

Ne vijim, supozojme qe: β = β (n)→ 0, kur n→ ∞, limn→∞ nβ = l ∈ R dhe

limy→∞

yB′(y)−B(y)B(y) = 0, lim

y→∞nB′′(y)−2B′(y)+B(y)

B(y) = 0, limy→∞

y2 B(4)(y)−4B′′′(y)+6B′′(y)−4B′(y)+B(y)B(y) = 0,

limy→∞

yB(4)(y)−3B′′′(y)+3B′′(y)−B′(y)B(y) = 0, lim

y→∞yB′′′(y)−3B′′(y)+3B′(y)−B(y)

B(y) = 0,

limy→∞

yB′′′(y)−2B′′(y)+B′(y)B(y) = 0, and lim

y→∞y5B′′′(y)−12B′′(y)+9B′(y)−2B(y)

B(y) = 0

Si rrjedhim marrim lemen e meposhtme:

Leme 2.2.2. Ne qofte se η[β ]n,s (x) = S[β ]n ((t− x)s;x), eshte momenti qendror i rendit te n-te

atehere:

(i) limn→∞

nη[β ]n,1(x) =−lx+

A′(1)+A(1)A(1)

;

(ii) limn→∞

nη[β ]n,2(x) = 3x;

(iii) limn→∞

n2η[β ]n,4(x) = 44lx3 +56x2.

Nga Lema 2.2.2, per cdo x ∈ [0,∞) dhe per n mjaft te madh, kemi

η[β ]n,1(x)≤

C1|− lx+ A′(1)+A(1)A(1) |

n, η

[β ]n,2(x)≤

C2xn

ku C1 and C2 jane konstante qe varen nga l.Rrjedhimisht,

S(β )n (|t− x|;x)≤ η [β ]n,2(x))

12 ≤

√C2x

n. (2.2.8)

Duke shfrytezuar Lemen 2.2.1, ekuacionin (2.2.6) dhe formulen rekurente te prezentuar ne[66], me induksion matematik provohet lehte se vlen:

η[β ]n,2s(x) = O(n−s), kur n→ ∞. (2.2.9)

Qe te shqyrtohet shpejtesia e perafrimit te funksioneve, derivati i pare i te cilave eshte mevariacion te kufizuar, na nevojitet Lema e meposhtme:

Leme 2.2.3. Le te jete β = β (n)→ 0, kur n→ ∞ dhe limn→∞

nβ (n) = l ∈ R. Nese x > 0atehere per n mjaft te madh, kemi

(i) ρ[β ]n (x,y) =

∫ y0 M[β ]

n (x,u)du≤ Cxn(x−y)2 , 0≤ y < x,

(ii) 1−ρ[β ]n (x,z) =

∫∞

0 M[β ]n (x,u)du≤ Cx

n(z−x)2 x≤ z < ∞.

Proof. Duke marre n mjaft te madh, nga Lema 2.2.2 rrjedh:

η[β ]n,s (x)≤

Cxn.

12

2.3. VETITE E PERAFRIMEVE

Duke shfrytezuar Lemen 2.2.1, marrim

ρ[β ]n (x,y) =

∫ y

0M[β ]

n (x,u)du≤∫ t

0

(x−ux− y

)2

M[β ]n (x,u)du

≤η[β ]n,2(x)

(x− t)2 ≤Cx

n(x− y)2 .

Mosbarazimi (ii) vertetohet ne menyre te ngjashme.

2.3 Vetite e perafrimeveParaqesim disa veti te perafrimeve ne forme te teoremave.

Teoreme 2.3.1. [24] Le te jete f ∈CE [0,∞), dhe supozojme se kushti (2.2.6) plotesohet perr = 1,2. Atehere

limn→∞

S[β ]n ( f ;x) = f (x),

konvergjon uniformisht ne cdo nenbashkesi kompakte te [0,∞).

Vertetim. Nga Lemma 2.2.1, dhe duke marre ne konsiderim relacionin (2.2.6), rrjedhse

limn→∞

S[β ]n (ei;x) = xi, i = 0,1,2

konvergjon uniformisht ne cdo nenbashkesi kompakte te [0,∞). Ne kete menyre, sipasLemes 2.2.1, duke aplikuar Teoremen e Bohman-Korovkin, drejtperdrejt rrjedh vertetimi iteoremes.Le te jete CB[0,∞) klasa e te gjitha funksioneve f me vlera reale, te kufizuara ne [0,∞) dheuniformisht te vazhdueshme, te pajisur me normen ‖ f ‖= sup

x∈[0,∞)

| f (x)|. Per f ∈CB[0,∞)

dhe δ > 0, Peetre K- funksionali perkufizohet me relacionin

K2( f ;δ ) = infg∈W 2

‖ f −g ‖+δ ‖ g′′ ‖

,

ku C2B = g ∈CB[0,∞) : g′,g′′ ∈ CB[0,∞), dhe norma ne C2

B jepet me barazimin

‖ f ‖C2B=‖ f ‖CB + ‖ f ′ ‖CB + ‖ f ′′ ‖CB,

kurse moduli i rendit te dyte te lemueshmerise se funksionit perkufizohet me shprehjen

ω2( f ;√

δ ) = sup0<|h|<δ

supx∈[0,∞)

| f (x+2h)−2 f (x+h)+ f (x)|.

Sipas ([80], Teorema 2.4) mund te gjendet konstanta C > 0 e tille qe

K2( f ;δ )≤Cω2( f ;√

δ ). (2.3.1)

13

2.3. VETITE E PERAFRIMEVE

Teoreme 2.3.2. Ne qofte se f ∈CE [0,∞), atehere per cdo x ∈ [0,a], plotesohet mosbaraz-imi: ∣∣∣S[β ]n ( f ;x)− f (x)

∣∣∣≤ 2ω( f ;√

δn(a)),

ku δn(a) = η[β ]n,s (a).

Vertetim. Nga vetia e linearitetit te operatorit S[β ]n , dhe duke shfrytezuar vetine e modulitte vazhdueshmerise si dhe mosbarazimin e Cauchy-Schwarz-it, fitojme rezultatin vijues

|S[β ]n ( f ;x)− f (x)| ≤

1+1δ

(1

A(1)B(nx)

∞

∑k=0

pk(nx)< c(β )n,k (t),(t− x)2 >

< c(β )n,k (t),1 >

) 12

ω( f ;δ )

≤

1+1δ

(η[β ]n,2(x);x

) 12

ω( f ;δ ). (2.3.2)

Sipas Lemes 2.2.1 per 0≤ x ≤ a, kemi η[β ]n,2(x)≤ η

[β ]n,2(a). Pastaj, duke shfrytezuar Lemen

2.2.1 dhe duke marre δ = δn(a) ne (2.3.2), menjehere rrjedh vertetimi i teoremes.

Teoreme 2.3.3. Ne qofte se f ∈C1B[0,∞), atehere per cdo x ∈ [0,∞), kemi

|S[β ]n ( f ;x)− f (x)| ≤∣∣ f ′(x)∣∣ ∣∣∣∣((1−β )B′(nx)−B(nx))x

B(nx)+

(1−β )2A′(1)+A(1)n(1−β )A(1)

∣∣∣∣+2ω( f ′;δ )

√η[β ]n,2(x).

Vertetim. Le te jete f ∈C1B[0,∞). Atehere per cdo t,x ∈ [0,∞), kemi

f (t)− f (x) = f ′(x)(t− x)+∫ t

x( f ′(u)− f ′(x))du.

Aplikojme operatorin S[β ]n,a ne relacionin e mesiperm, dhe marrim

S[β ]n ( f (t)− f (x);x) = f ′(x)S[β ]n ((t− x);x)+S[β ]n (∫ t

x( f ′(u)− f ′(x))du;x).

Duke shfrytezuar vetite e modulit te vazhdueshmerise dhe pastaj duke aplikuar mosbaraz-imin Cauchy-Schwarz-it, fitojme:

|S[β ]n ( f ;x)− f (x)| ≤∣∣ f ′(x)∣∣ ∣∣∣η [β ]

n,1(x)∣∣∣

+ω( f ′;δ )

(1δ

√η[β ]n,2(x)+1

)√η[β ]n,2(x).

Pastaj duke zgjedhur δ =√

η[β ]n,2(x), menjehere rrjedh vertetimi i teoremes.

14

2.3. VETITE E PERAFRIMEVE

Teoreme 2.3.4. Le te jete 0 < r ≤ 1, dhe f ∈CB[0,∞). Ne qofte se f ∈ LipM(α), atehereplotesohet kushti

| f (t)− f (x)| ≤M f|t− x|r

(t + x)r2

; t ∈ (0,∞),x > 0.

Keshtu qe, per cdo x ∈ (0,∞) kemi:

|Sβn,a( f ;x)− f (x)| ≤M f

(φ[β ]n (x)√

x

)r

,

ku φ[β ]n (x) =

√η[β ]n,2(x), dhe M f > 0 eshte konstante qe varet nga funksioni f .

Vertetim. Le te jete p,q > 1 : p = 2r dhe q = 2

2−r , atehere nga mosbarazimi i Holder-itgjejme:

|S[β ]n,a( f ;x)− f (x)| ≤

1A(1)B(nx)

∞

∑k=0

pk(nx)< c(β )n,k (t), | f (t)− f (x)| 2r >

< c(β )n,k (t),1 >

r2

≤ M f

1

A(1)B(nx)

∞

∑k=0

pk(nx)< c(β )n,k (t),

(t−x)2

t+x >

< c(β )n,k (t),1 >

r2

≤M f

xr2

1

A(1)B(nx)

∞

∑k=0

pk(nx)< c(β )n,k (t),(t− x)2 >

< c(β )n,k (t),1 >

r2

≤ M f

(φ[β ]n (x)√

x

)r

.

Me kete perfundon edhe vertetimi i teoremes.

Teoreme 2.3.5. Le te jete f ∈CB[0,∞), atehere per cdo x≥ 0, marrim vleresimin:

|S[β ]n ( f ;x)− f (x)| ≤ 5ω( f ;(η [β ]n,2)

1/2)+132

ω2( f ;η[β ]n,2).

Vertetim. Le te jete fh funksion i Steklov-it i rendit te dyte per funksionin f ∈CB[0,∞),pra

fh(x) =4h2

∫ h2

0

∫ h2

0

(2 f (x+u+ v)− f (x+2u+2v)

)dudv,h > 0.

Ne [91] provohet se vlejne:

‖ f ′h‖ ≤5h

ω( f ;h);‖ f ′′h ‖ ≤9h2 ω2( f ;h) dhe ‖ fh− f‖ ≤ ω2( f ;h). (2.3.3)

Duke pasur parasysh faktin qe S[β ]n (1;x) = 1, mund te shkruajme

|S[β ]n ( f ;x)− f (x)| ≤ |S[β ]n ( f − fh;x)|+ | fh(x)− f (x)|+ |S[β ]n ( fh− fh;x)|. (2.3.4)

15

2.3. VETITE E PERAFRIMEVE

Ne anen tjeter vlene:

|S[β ]n ( f ;x)| ≤ 1A(1)B(nx)

∞

∑k=0

pk(nx)< c(β )n,k (t), | f (t)|>

< c(β )n,k (t),1 >≤ ‖ f‖.

Duke shfrytezuar relacionin (2.3.3), kemi

S[β ]n (| f − fh|;x)≤ ‖ f − fh‖ ≤ ω2( f ;h). (2.3.5)

Nga Teorema e Taylor-it dhe mosbarazimi Cauchy-Schwarz, kemi

|S[β ]n ( fh;x)− fh(x)| ≤ ‖ f ′h‖√

η[β ]n,2(x)+

12‖ f ′′h ‖η

[β ]n,2(x).

Nga Lema 2.2.1 dhe mosbarazimi (2.3.3), fitojme

|S[β ]n ( fh;x)− fh(x)| ≤5h

ω( f ;h)√

η[β ]n,2(x)+

92h2 ω2( f ;h)η [β ]

n,2(x). (2.3.6)

Tani duke marre h=√

η[β ]n,2(x) dhe duke zevendesuar ne (2.3.6) dhe pastaj duke zevendesuar

relacionet (2.3.5) dhe (2.3.6) ne (2.3.4) menjehere rrjedh vertetimi i teoremes.

Teoreme 2.3.6. Le te jete f ∈ C2B[0,∞), dhe supozojme se kondita (2.2.6) plotesohet per

r ∈ 1,2,3,4. Atehere

limn→∞

n(S([β ]n ( f ;x)− f (x)) = (−lx+A′(1)+A(1)

A(1)) f ′(x)+

32

f ′′(x). (2.3.7)

konvergjon uniformisht per cdo x ∈ [a,b], ku 0≤ a < b < ∞.

Vertetim. Aplikojme operatorin linear dhe pozitiv S[β ]n ne formulen e Taylor-it, kemi:

n(S[β ]n ( f ;x)− f (x)) = nS[β ]n ((t− x);x) f ′(x)+12

S[β ]n ((t− x)2;x) f ′′(x)

+nS[β ]n ((ξ (t,x)(t− x)2;x). (2.3.8)

Ne baze te Lemes 2.2.2 dhe relacionin (2.2.7), kemi

limn→∞

n(S[β ]n ( f ;x)− f (x)) = (−lx+A′(1)+A(1)

A(1)) f ′(x)+

32

f ′′(x)

+ limn→∞

nS[β ]n ((ξ (t,x)(t− x)2;x). (2.3.9)

Duke zbatuar mosbarazimin Cauchy-Schwarz-it, ne anen e djathte te relacionit (2.3.9),kemi

nS[β ]n ((ξ (t,x)(t− x)2;x)≤ n√

S[β ]n ((ξ 2(t,x);x)√

S[β ]n (((t− x)4;x). (2.3.10)

16

2.3. VETITE E PERAFRIMEVE

Provohet lehte se ξ 2(x,x) = 0, dhe ξ 2(·,x) ∈CE [0,∞). Nga Teorema 2.3.1 rrjedh se

lim→∞

S[β ]n ((ξ 2(t,x);x) = 0 (2.3.11)

konvergjon uniformisht per cdo x ∈ [a,b]. Tani nga relacionet (2.3.10) dhe (2.10.7) si dheLema 2.2.2, rrjedh se

limn→∞

nS[β ]n (ξ (t,x)(t− x)2;x) = 0, (2.3.12)

konvergjon uniformisht per cdo x ∈ [a,b]. Duke zevendesuar relacionin (2.3.12) ne (2.3.9)kemi

limn→∞

n(S([β ]n ( f ;x)− f (x)) = (−lx+A′(1)+A(1)

A(1)) f ′(x)+

32

f ′′(x), (2.3.13)

qe konvergjon uniformisht per cdo x ∈ [a,b]. Me kete perfundon edhe vertetimi i teoremes.

Teoreme 2.3.7. Per cdo f ∈C2B[0,∞), dhe per x ∈ [0,∞) vlen relacioni vijues:

|S[β ]n ( f ;x)− f (x)| ≤ λn(x)‖ f‖C2B[0,∞),

ku λn(x) =(1−β )2B′′(nx)−2(1−β )B′(nx)+B(nx)

B(nx)x2 +

((1−β )(B′(nx)−B(nx)

B(nx)

+(1−β )2B′(nx)

B(nx)

(2A′(1)+A(1)

A(1)+

3(1−β )2

)− 2(1−β )2A′(1)+A(1)

n(1−β )A(1)

)x

+(1−β )2A′(1)+A(1)

n(1−β )A(1)+

(1−β )2

n2

(A′′(1)+A′(1)

A(1)+

3A′(1)(1−β )2A(1)

+2

(1−β )3

).

= η[ϑ ]n,1 (x)+η

[ϑ ]n,2 (x)

Vertetim. Nga lineariteti i operatorit S[β ]n , duke shfrytezuar zberthimin e Taylor-it perfunksionin f ∈C2

B[0,∞), kemi

S[β ]n ( f ;x)− f (x) = η[β ]n,1(x) f ′(x)+

12

η[β ]n,2(x) f ′′(ξ ),ξ ∈ (t,x). (2.3.14)

Duke marre parasysh faktin qe η[β ]n,1(x) ≥ 0 per x ≤ t, dhe po te zbatojme Lemen 2.2.1 per

relacionin (2.3.14) kemi

|S[β ]n ( f ;x)− f (x)| ≤ η[β ]n,1(x)‖ f ′‖CB[0,∞)+η

[ϑ ]n,2 (x)‖ f ′′‖CB[0,∞)

≤(

η[β ]n,1(x)+η

[β ]n,2(x)

)‖ f‖C2

B[0,∞).

Me kete perfundon edhe vertetimi i teoremes.

17

2.4. PERAFRIMI I FUNKSIONEVE ME PESHE

Teoreme 2.3.8. Per cdo funksion f ∈CB[0,∞), dhe per x ∈ [0,∞) vlene:

|S[β ]n ( f ;x)− f (x)| ≤Cω2( f ;√

δn(x)),

ku λn(x) jepet ne Teoremen 2.3.7.

Vertetim. Meqenese

f (t)− f (x) = f (t)−g(t)+g(x)− f (x)+g(t)−g(x),

atehere nga vetite e linearitetit te operatorit S[β ]n , marrim

|S[β ]n ( f ;x)− f (x)| ≤ |S[β ]n ( f −g;x)|+ |S[β ]n (g;x)−g(x)|+ | f (x)−g(x)|.

Le te jete g ∈C2B[0,∞). Atehere nga Teorema 2.3.7 mund te shkruajme

|S[β ]n ( f ;x)− f (x)| ≤ ‖ f −g‖CB[0,∞)+ |S[β ]n (g;x)−g(x)|

≤ 2(‖ f −g‖CB[0,∞)+λn(x)‖ f‖C2

B[0,∞)

). (2.3.15)

Tani duke marre infimumin ne anen e djathte te relacionit (2.3.15) sipas te gjithe g ∈C2

B[0,∞), dhe duke shfrytezuar relacionin (2.3.1), menjehere vijme te vertetimi i teoremes.

2.4 Perafrimi i funksioneve me peshePer shkak te paraqitjes se disa problemeve te perafrimeve te drejteperdrejta te funksion-eve perkufizohen te ashtuquajturit funksionet me peshe. Le te jete ξ (x) = 1+ x2 funksion

peshe dhe M f nje konstante qe varet vetem nga f . Atehere, perkufizojme Bψ [0,∞) =

f ∈

C[0,∞) : | f (x)| ≤M f ψ(x). Me Cψ [0,∞), perkufizojme nenhapesiren e te gjitha funksion-

eve te vazhdueshme ne Bψ [0,∞). Per me teper, C∗ψ [0,∞) =

f ∈ Cψ [0,∞) : limx→∞

| f (x)|1+x2 =

K f < ∞. Norma ne C∗ψ [0,∞) jepet me ‖ f‖ψ = sup

x≥0

| f (x)|1+x2 .

Teoreme 2.4.1. Le te jete f ∈Cψ [0,∞), dhe supozojme se vlen kondita (2.2.6) per r = 1,2dhe ψ(x) = 1+ x2. Atehere kemi:

limn→∞‖S[β ]n ( f )− f‖ψ = 0.

Vertetim. Nga [17], eshte e mjaftueshme te provohen se:

limn→∞‖S[β ]n (tm;x)− xm‖ψ = 0,m = 0,1,2.

18

2.4. PERAFRIMI I FUNKSIONEVE ME PESHE

Meqenese, S[β ]n (1;x) = 1, atehere kushti i mesiperm vlene per m= 0. Nga Lema 2.2.1, kemi

‖S[β ]n (t;x)− x‖ψ = sup0≤x<∞

∣∣∣∣ 1(1+ x2)

(((1−β )

B′(nx)B(nx)

−1)

x+(1−β )2A′(1)+A(1)

n(1−β )A(1)

)∣∣∣∣≤

((1−β )

B′(nx)B(nx)

−1)+

(1−β )2A′(1)+A(1)n(1−β )A(1)

.

Keshtu, limn→∞‖S[β ]n (t;x)− x‖ψ = 0, kur n→ ∞. Ne menyre te ngjashme, kemi

‖S[β ]n (t2;x)− x2‖ψ = sup0≤x<∞

1(1+ x2)

∣∣∣∣((1−β )2 B′′(nx)B(nx)

−1)

x2

+x(1−β )2

nB′(nx)B(nx)

(2A′(1)+A(1)

A(1)+

3(1−β )2

)+(1−β )2

n2

(A′′(1)+A′(1)

A(1)+

3A′(1)(1−β )2A(1)

+2

(1−β )3

)∣∣∣∣≤((1−β )2 B′′(nx)

B(nx)−1)

+(1−β )2

nB′(nx)B(nx)

(2A′(1)+A(1)

A(1)+

3(1−β )2

)+(1−β )2

n2

(A′′(1)+A′(1)

A(1)+

3A′(1)(1−β )2A(1)

+2

(1−β )3

)gje qe implikon se limn→∞ ‖S[β ]n (t2;x)−x2‖ψ = 0. Me kete perfundon edhe vertetimi i teo-remes.

Nga [65] per f ∈C∗ψ [0,∞), moduli i vazhdueshmerise me peshe te funksionit f perkufizohetme shprehjen:

Ω( f ;δ ) = sup0≤|h|<δ ,x∈[0,∞)

| f (x+h)− f (x)|(1+h2)(1+ x2)

. (2.4.1)

Funksioni Ω( f ;δ ) ploteson kushtet e meposhtme:

limδ→0+

Ω( f ,δ ) = 0;

dhe

Ω( f ,λδ )≤ 2(1+λ )(1+δ2)Ω( f ,δ ), (2.4.2)

per cdo λ ∈ [0,∞) dhe δ > 0.

Teoreme 2.4.2. [5] Le te jete f ∈C∗ψ [0,∞), β = β (n)→ 0, kur n→ ∞ dhe limn→∞ nβ =l ∈ R, atehere ekziston konstanta C =C(l)> 0, e tille qe

supx∈[0,∞)

|S[β ]n ( f ;x)− f (x)|(1+ x2)

52

≤CΩ( f ;n−12 ). (2.4.3)

19

2.4. PERAFRIMI I FUNKSIONEVE ME PESHE

Vertetim. Per f ∈C∗ψ [0,∞), δ > 0 dhe t,x ∈R+, nga (2.4.1) dhe (2.4.2), mund te nxjerrimse

| f (t)− f (x)| ≤ 2(

1+ |t− x|δ−1)(1+δ

2)(1+ x2)(1+(t− x)2)Ω( f ;δ ).

Meqenese operatori S[β ]n eshte linear dhe pozitiv, duke aplikuar kete ne mosbarazimin emesiperm fitohet:

|S[β ]n ( f ;x)− f (x)| ≤[

S[β ]n

((1+ |t− x|δ−1

)(1+(t−x)2);x

)]2(1+δ

2)Ω( f ;δ )(1+x2)

≤ 2(1+δ2)Ω( f ;δ )(1+ x2)

S[β ]n (1;x)+S[β ]n ((t− x)2;x)

+1δ

S[β ]n (|t− x|;x)+1δ

S[β ]n (|t− x|(t− x)2;x). (2.4.4)

Sipas Lemes 2.2.2, kemi

η[β ]n,2(x)≤

C1(l)(1+ x2)

n, (2.4.5)

Duke zbatuar mosbarazimin e Cauchy-Schwarz-it, ne mosbarazimin (2.4.4) kemi

|S[β ]n ( f ;x)− f (x)| ≤ 2(1+δ2)Ω( f ;δ )(1+ x2)

1+η

[β ]n,2(x)

+1δ

√η[β ]n,2(x)+

1δ

√η[β ]n,2(x)

√η[β ]n,4(x)

. (2.4.6)

Nga Lema 2.2.2 ekziston konstanta C2(l) qe varet nga l e tille qe

η[β ]n,4(x)≤

C2(l)(1+ x2)2

n2 . (2.4.7)

Keshtu, zevendesojme konditen (2.4.5) dhe (2.4.7) ne mosbarazimin (2.4.6) kemi

|S[β ]n ( f ;x)− f (x)| ≤ 2(1+δ2)Ω( f ;δ )(1+ x2)

1+

C1(1+ x2)

n

+

√C1

δ√

n(1+ x2)

12 +√

C1C2(1+ x2)

δ√

nn(1+ x2)

12

.

Po te marrim C = 4(1 +C1 +√

C1 +√

C1C2), dhe δ = 1√n , menjehere rrjedh relacioni

(2.4.3).

20

2.5. TEOREMAT E TIPIT VORONOVSKAYA DHE GRUSS-VORONOVSKAYA

2.5 Teoremat e tipit Voronovskaya dhe Gruss-VoronovskayaNe kete paragraf vertetojme teoremen e tipit Gruus Voronovskaya, qe tregon jomultiplika-tivitetin e operatorit S[β ]n ( f ;x). Ne [41] jepet vleresimi ndermjet integralit te prodhimit tedy funksioneve me prodhimin e integrimit te atyre dy funksioneve. Shume studiues kanedhene kontribute te cmuara ne kete drejtim ([41, 49, 84, 85, 86]).Ne vijim paraqesim teoremen e tipit Voronovskaya:

Teoreme 2.5.1. Le te jete f ∈C∗ψ [0,∞) i tille qe f ′(x), f ′′(x) ∈C∗ψ [0,∞). Me pastaj, le tejete β = βn varg i tille qe βn → 0, kur n→ ∞ dhe limn→∞ nβ = l (l ∈ R) atehere per nmjaft te madh dhe x ∈ [0,∞), eshte i vertete relacioni:∣∣∣∣n[S[β ]n ( f ;x)− f (x)]−n

(((1−β )B′(nx)−B(nx))x

B(nx)+

(1−β )2A′(1)+A(1)n(1−β )A(1)

)f ′(x)

−nf ′′(x)

2!

[((1−β )2B′′(nx)

B(nx)−2

(1−β )B′(nx)B(nx)

+1)

x2 +

((1−β )2B′(nx)

nB(nx)

(2A′(1)+A(1)

A(1)

+3

(1−β )2

)− 2(1−β )2A′(1)+A(1)

n(1−β )A(1)

)x+

(1−β )2

n2

(A′′(1)+A′(1)

A(1)

+3A′(1)

(1−β )2A(1)+

2(1−β )3

)]∣∣∣∣= O(1)Ω( f ′′;n−1/2).

Vertetim. Nga teorema e Taylor-it, kemi

f (t) = f (x)+ f ′(x)(t− x)+f ′′(ξ )

2!(t− x)2

= f (x)+ f ′(x)(t− x)+f ′′(x)

2!(t− x)2 +h2(t,x) (2.5.1)

ku ξ eshte numer i tille, i cili ndodhet ndermjet t dhe x dhe h2(t,x) =f ′′(ξ )− f ′′(x)

2! (t− x)2.

Aplikojme operatorin S[β ]n ne barazimin e mesiperm (2.5.1) dhe shfrytezojme Lemen 2.2.2,kemi∣∣∣∣S[β ]n ( f ;x)− f (x)− f ′(x)S[β ]n ((t− x);x)− f ′′(x)

2! S[β ]n ((t− x)2;x)∣∣∣∣

=

∣∣∣∣n[S[β ]n ( f ;x)− f (x)]−n(((1−β )B′(nx)−B(nx))x

B(nx)+

(1−β )2A′(1)+A(1)n(1−β )A(1)

)f ′(x)

−nf ′′(x)

2!

[((1−β )2B′′(nx)

B(nx)−2

(1−β )B′(nx)B(nx)

+1)

x2 +

((1−β )2B′(nx)

nB(nx)

(2A′(1)+A(1)

A(1)

+3

(1−β )2

)− 2(1−β )2A′(1)+A(1)

n(1−β )A(1)

)x+

(1−β )2

n2

(A′′(1)+A′(1)

A(1)

+3A′(1)

(1−β )2A(1)+

2(1−β )3

)]∣∣∣∣≤ nS[β ]n (|h2(t,x)|;x).

Duke shfrytezuar relacionin (2.4.1) dhe vetine (2.4.2) te modulit te vazhdueshmerise mepeshe, fitojme∣∣∣∣ f ′′(ξ )− f ′′(x)

2

∣∣∣∣ ≤ 12

Ω( f ′′; |ξ − x|)(1+(ξ − x)2)(1+ x2)

21

2.5. TEOREMAT E TIPIT VORONOVSKAYA DHE GRUSS-VORONOVSKAYA

≤ 12

Ω( f ′′; |t− x|)(1+(t− x)2)(1+ x2)

≤(

1+|t− x|

δ

)(1+δ

2)Ω( f ′′,δ )(1+(t− x)2)(1+ x2).

Keshtu,∣∣∣∣ f ′′(ξ )− f ′′(x)2

∣∣∣∣≤

2(1+δ 2)(1+ x2)Ω( f ′′;δ ), |t− x|< δ ,

2(1+δ 2)(1+ x2) (t−x)4

δ 4 Ω( f ′′;δ ), |t− x| ≥ δ .

Tani zgjedhim 0 < δ < 1, dhe kemi

∣∣∣∣ f ′′(ξ )− f ′′(x)2

∣∣∣∣ ≤ 2(1+δ2)2(1+ x2)Ω( f ′′;δ )

(1+

(t− x)4

δ 4

)≤ 8(1+ x2)Ω( f ′′,δ )

(1+

(t− x)4

δ 4

).

Ne kete menyre,

|h2(t; ,x)| ≤ 8(1+ x2)Ω( f ′′,δ )((t− x)2 +

(t− x)6

δ 4

).

Me aplikimin e Lemes 2.2.2, per n mjaft te madh dhe per x ∈ [0,∞) nxjerrim

S[β ]n (|h2(t;x)| ≤ 8(1+ x2)Ω( f ′′;δ )S[β ]n ((t− x)2;x)+1

δ 4 S[β ]n ((t− x)6;x)

= 8(1+ x2)Ω( f ′′,δ )O(

1n

)+

1δ 4 O

(1n3

).

Zgjedhim δ = n−1/2, dhe fitojme

S[β ]n (h2(t,x);x) = 8(1+ x2)Ω

(f ′′;n−1/2

)O(

1n

).

Si rrjedhim, per n mjaft te madh dhe per x ∈ [0,∞), kemi

nS[β ]n (h2(t,x)|;x) = O(1)Ω(

f ′′;n−1/2),

me kete perfundon edhe vertetimi i teoremes.Rezultati ne vijim jep teoremen e tipit, Gruss Voronovskaya.

Teoreme 2.5.2. Le te jene f , g ∈C∗ψ [0,∞) te tilla qe f ′, g′, f ′′, g′′, ( f g)′′ ∈C∗ψ [0,∞) dheβ = βn→ 0, kur n→ ∞ dhe limn→∞ nβ = l (l ∈ R) atehere vlen:

limn→∞

nS[β ]n ( f g)(x)−S[β ]n ( f )(x)S[β ]n (g)(x)= 3 f ′(x)g′(x).

22

2.6. SHPEJTESIA E KONVERGJENCES PER FUNKSIONET ME VARIACION TE KUFIZUAR

Vertetim. Ne fillim shfrytezojme ekuacionin

( f g)′′(x) = ( f (x)g(x))′′+g′(x) f ′(x)+g′′(x) f (x)+g′(x) f ′(x)

dhe pastaj me disa llogaritje te thjeshta, kemi

nS[β ]n ( f g)(x)−S[β ]n ( f )(x)S[β ]n (g)(x)= n(

S[β ]n ( f g)(x)− f (x)g(x)− ( f g)′(x)η [β ]n,1(x)

−η[β ]n,2(x)( f g)′′(x)

2−g(x)

(S[β ]n ( f ;x)− f (x)− f ′(x)η [β ]

n,1(x)−η[β ]n,2(x))

2f ′′(x)

)−S[β ]n ( f ;x)

(S[β ]n (g;x)−g(x)−g′(x)η [β ]

n,1(x)−η[β ]n,2(x)

2g′′(x)

)+η

[β ]n,2(x) f ′(x)g′(x)

+g′′(x)η[β ]n,2(x)

2!( f (x)−S[β ]n ( f ;x))+g′(x)η [β ]

n,1(x)( f (x)−S[β ]n ( f ;x))). (2.5.2)

Duke shfrytezuar Teoremen 2.3.1, per funksionin f ∈C∗ψ [0,∞) rrjedh qe S[β ]n ( f ;x)→ f (x)kur n→ ∞ . Po ashtu per f ′′ ∈C∗ψ [0,∞) dhe per x ∈ [0,∞) nga Teorema 2.3.1, kemi

n(

S[β ]n ( f )(x)− f (x)− f ′(x)η [β ]n,1(x)−

η[β ]n,2(x) f ′′(x)

2

)→ 0, kur n→ ∞.

Keshtu, duke shfrytezuar Lemen 2.2.2, kemi

limn→∞

nS[β ]n ( f g)(x)−S[β ]n ( f )(x)S[β ]n (g)(x)= 3 f ′(x)g′(x).

Me kete perfundon edhe vertetimi i teoremes.

2.6 Shpejtesia e konvergjences per funksionet me varia-cion te kufizuar

Ne kete paragraf paraqesim vleresimin e shpejtesise se konvergjences se operatoreve S[β ]n ( f ;x)per funksionet qe kane derivatet me variacion te kufizuar. Ne vitet e fundit, shume studiuesjane marre me kete problematike per vargje te ndryshme te operatoreve lineare pozitive[5, 6, 7]. Ne vazhdim do te tregojme se ne pikat ku f ′(x+) dhe f ′(x−) ekziston, vargu ioperatoreve qe konvergjon kah funksioni f (x). Le te jete f ∈ DBV [0,∞) klasa e te gjithafunksioneve te vazhdueshme ne [0,∞) te cilet kane derivatin me variacion te kufizuar ne cdoneninterval te fundem te [0,∞) dhe f (t) =O(t2s), t→∞. Nje funksion i tille f ∈DBV [0,∞)ka kete forme

f (x) =∫ x

0g(t)dt + f (0),

ku me g perkufizojme nje funksion me variacion te kufizuar ne cdo neninterval te [0,∞).Ne vijim shenojme:

∆1(x) =f ′(x+)+ f ′(x−)

2dhe ∆2(x) =

f ′(x+)− f ′(x−)2

.

23

2.6. SHPEJTESIA E KONVERGJENCES PER FUNKSIONET ME VARIACION TE KUFIZUAR

Perkufizojme funksionin ndihmes f ′x, me shprehjen:

f ′x(t) =

f ′(t)− f ′(x+), x < t ≤ ∞

0 , t = xf ′(t)− f ′(x−), 0≤ t < x.

Atehere, marrim rezultatin vijues:

Teoreme 2.6.1. Le te jete f ∈ DBV [0,∞), β = β (n)→ 0, kur n→ ∞ dhe limn→∞

nβ = l ∈ R.Nese x > 0, s > 1 dhe f (t) = O(t2s), t→ ∞ atehere per n mjaft te madh, kemi

|F( f )| ≤ C1(x)n

∣∣∆1(x)∣∣∣∣∣∣− lx+

A′(1)+A(1)A(1)

∣∣∣∣+ (∣∣∆2(x)∣∣+ ∣∣ f (x+)∣∣)√C2x

n+O(n−s)

+Cn

[√

n]

∑k=1

( x+ xk∨

x− xk

f ′x

)+

x√n

( x+ x√n∨

x− x√n

f ′x

)+

Cnx

(∣∣ f (x)∣∣+∣∣ f (2x)− f (x)−x f ′(x+)∣∣).

ku∨b

a( f ′(x)) eshte variacioni total i f ′x ne [a,b].

Vertetim. Per f ∈ DBV [0,∞), dhe x ∈ (0,∞), mund te shkruajme

f ′(t) = ∆1(x)+ f ′x(t)+∆2(x)sgn(t− x)+δx(t)(

f ′(t)−∆1(x))

(2.6.1)

ku

δx(t) =

1 , t = x0 , t 6= x.

Shfrytezojme ekuacionin (4.3.4), si dhe duke pasur parasysh se S[β ]n , eshte operator linearpozitiv, kemi

|S[β ]n ( f ;x)− f (x)| ≤∣∣∣∣∫ ∞

0( f (t)− f (x))M[β ]

n (x, t)dt∣∣∣∣= ∣∣∣∣∫ ∞

0

(∫ x

tf ′(u)du

)M[β ]

n (x, t)dt∣∣∣∣

≤∣∣∆1(x)

∣∣∣∣∫ ∞

0(t− x)M[β ]

n (x, t)dt∣∣+ ∣∣∆2(x)

∣∣∫ ∞

0|t− x|M[β ]

n (x, t)dt

+

∣∣∣∣∫ ∞

0

(∫ x

tf ′x(u)du

)M[β ]

n (x, t)dt∣∣∣∣

+∣∣ f ′(t)−∆1(x)

∣∣∣∣∣∣∫ ∞

0

(∫ x

tδx(u)du

)M[β ]

n (x, t)dt∣∣∣∣ (2.6.2)

Meqenese∫ x

t δx(u)du = 0, perfundojme

|S[β ]n ( f ;x)− f (x)| ≤∣∣∆1(x)

∣∣∣∣η [β ]n,1(x)

∣∣+ ∣∣∆2(x)∣∣S[β ]n,a(|t− x|;x)

+

∣∣∣∣∫ x

0

(∫ x

tf ′x(u)du

)M[β ]

n (x, t)dt∣∣∣∣

24

2.6. SHPEJTESIA E KONVERGJENCES PER FUNKSIONET ME VARIACION TE KUFIZUAR

+

∣∣∣∣∫ ∞

x

(∫ t

xf ′x(u)du

)M[β ]

n (x, t)dt∣∣∣∣. (2.6.3)

Sipas relacionit (2.2.8) rrjedh qe

|S[β ]n ( f ;x)− f (x)| ≤∣∣∆1(x)

∣∣∣∣η [β ]n,1(x)

∣∣+ ∣∣∆2(x)∣∣√Cx

n

+

∣∣∣∣P[β ]n ( f ′x,x)

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣Q[β ]n ( f ′x,x)

∣∣∣∣. (2.6.4)

ku P[β ]n ( f ′x,x)=

∫ x0

(∫ xt f ′x(u)du

)M[β ]

n (x, t)dt, dhe Q[β ]n ( f ′x,x)=

∫∞

x

(∫ tx f ′x(u)du

)M[β ]

n (x, t)dt.

Ne kete menyre, duhet vleresuar P[β ]n ( f ′x,x) dhe Q[β ]

n ( f ′x,x). Nga perkufizimi i ρ[β ]n i dhene

ne Lemen 2.2.2, duke integruar ne pjese, mund te shkruajme

P[β ]n ( f ′x,x) =

∫ x

0

(∫ x

tf ′x(u)du

)dt(ρ

[β ]n (x, t)) =

∫ x

0f ′x(t)ρ

[β ]n (x, t)dt.

Keshtu qe,

|P[β ]n ( f ′x,x)| ≤

(∫ x− x√n

0+∫ x

x− x√n

)| f ′x(t)|ρ

[β ]n (x, t)dt.

Meqenese | f ′x(t)− f ′x(x)| ≤∨x

t f ′x dhe ρ[β ]n (x, t)≤ 1, kemi∫ x

x− x√n

| f ′x(t)|ρ[β ]n (x, t)dt ≤ x√

n

( x∨x− x√

n

f ′x

).

Duke shfrytezuar Lemen 2.2.3 dhe duke marre zevendesimin t = x− xu , fitojme

∫ x− x√n

0| f ′x(t)|ρ

[β ]n (x, t)dt ≤ Cx

n

∫ x− x√n

0| f ′x(t)|

dt(x− t)2

≤ Cxn

∫ x− x√n

0

( x∨t

f ′x

)dt

(x− t)2

=Cn

∫ √n

1

( x∨x− x

u

f ′x

)du≤ C

n

[√

n]

∑k=1

( x∨x− x

k

f ′x

).

Prandaj,

|P[β ]n ( f ′x,x)| ≤

Cn

[√

n]

∑k=1

( x∨x− x

k

f ′x

)+

x√n

( x∨x− x√

n

f ′x

). (2.6.5)

Ne vazhdim vleresojme Q[β ]n ( f ′x,x) si ne vijim:

|Q[β ]n ( f ′x,x)| ≤

∣∣∣∣∫ ∞

2x

(∫ t

xf ′x(u)du

)M[β ]

n (x, t)dt∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∫ 2x

x

(∫ t

xf ′x(u)du

)M[β ]

n (x, t)dt∣∣∣∣

25

2.6. SHPEJTESIA E KONVERGJENCES PER FUNKSIONET ME VARIACION TE KUFIZUAR

= Q[β ]n,1( f ′x,x)+Q[β ]

n,2( f ′x,x). (2.6.6)

Se pari vleresojme Q[β ]n,1( f ′x,x). Mund te tregohet qe

Q[β ]n,1( f ′x,x) ≤

∣∣∣∣∫ ∞

2x

(∫ t

xf ′x(u)du

)M[β ]

n (x, t)dt∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∫ ∞

2x

(∫ t

x( f ′(u)− f ′(x+))du

)M[β ]

n (x, t)dt∣∣∣∣

≤∣∣∣∣∫ ∞

2x( f (t)− f (x))M[β ]

n (x, t)dt∣∣∣∣+ ∣∣ f ′(x+)∣∣∣∣∣∣∫ ∞

2x(t− x)M[β ]

n (x, t)dt∣∣∣∣

≤∫

∞

2x

∣∣ f (t)∣∣M[β ]n (x, t)dt +

∣∣ f (x)∣∣∫ ∞

2xM[β ]

n (x, t)dt

+∣∣ f ′(x+)∣∣∫ ∞

2x

∣∣t− x∣∣M[β ]

n (x, t)dt∣∣∣∣

= I1 + I2 + I3 respektivisht. (2.6.7)

Vleresojme I1, I2 dhe I3. Meqenese t ≥ 2x, kemi t− x ≥ x, t ≤ 2(t− x), dhe nga supozimise ekziston numri i plote s > 1 i tille qe f (t) = O(t2s), t → ∞, nga relacionet (2.2.8) dhe(2.2.9) perfundojme se

I1 ≤ M∫

∞

2xt2sM[β ]

n (x, t)dt

≤ M22sµ[β ]n,2s = O(n−s) as n→ ∞, (2.6.8)

I2 ≤∣∣ f (x)∣∣∫ ∞

2xM[β ]

n (x, t)dt

≤∣∣ f (x)∣∣

x2

∫∞

0(t− x)2M[β ]

n (x, t)dt

≤∣∣ f (x)∣∣

x2Cxn

=C

∣∣ f (x)∣∣nx

. (2.6.9)

Duke shfrytezuar relacionin (2.2.8) kemi

I3 =∣∣ f (x+)∣∣∫ ∞

2x

∣∣t− x∣∣M[β ]

n (x, t)dt

≤∣∣ f (x+)∣∣∫ ∞

0

∣∣t− x∣∣M[β ]

n (x, t)dt ≤∣∣ f (x+)∣∣√Cx

n. (2.6.10)

Me kombinimin e relacioneve (2.6.7)- (2.6.10), fitojme

Q[β ]n,1( f ′x,x) ≤ O(n−s)+C

∣∣ f (x)∣∣nx

+ | f (x+)∣∣√Cx

n. (2.6.11)

Per vleresimin e Q[β ]n,2( f ′x,x), aplikojme integrimin ne pjese dhe kemi:

Q[β ]n,2( f ′x,x) =

∣∣∣∣∫ 2x

x

(∫ t

xf ′x(u)du

)M[β ]

n (x, t)dt∣∣∣∣

26

2.6. SHPEJTESIA E KONVERGJENCES PER FUNKSIONET ME VARIACION TE KUFIZUAR

≤∣∣∣∣∫ 2x

xf ′x(u)du

∣∣∣∣∣∣1−ρ[β ]n (x,2x)

∣∣+ ∣∣∣∣∫ 2x

x(1−ρ

[β ]n (x, t)) f ′x(t)dt

∣∣∣∣.(2.6.12)

Tani nga Lema 2.2.3, kemi

Q[β ]n,2( f ′x,x) ≤

Cnx

∣∣∣∣∫ 2x

x( f ′(u)− f ′(x+))du

∣∣∣∣+∫ 2x

x(1−ρ

[β ]n (x, t))

∣∣ f ′x(t)∣∣dt

≤ Cnx

∣∣∣∣ f (2x)− f (x)− x f ′(x+)∣∣∣∣+ J, (2.6.13)

ku

J =∫ 2x

x| f ′x(t)|(1−ξ

[β ]n,a (x, t))dt =

∫ x+ x√n

x| f ′x(t)|(1−ρ

[β ]n (x, t))dt

+∫ 2x

x+ x√n

| f ′x(t)|(1−ρ[β ]n (x, t))dt = J1 + J2 (respektivisht). (2.6.14)

Vleresojme ne fillim J1. Meqenese | f ′x(t)− f ′x(x)| ≤∨x

t f ′x dhe ρ[β ]n (x, t)≤ 1, rrjedh se

J1 =∫ x+ x√

n

x| f ′x(t)− f ′x(x)|ρ

[β ]n (x, t)dt ≤ x√

n

( x+ x√n∨

xf ′x

).

Duke shfrytezuar Lemen 2.2.3 dhe duke zevendesuar t = x+ xu ne integralin e mesiperm,

kemi

J2 ≤Cxn

∫ 2x

x+ x√n

| f ′x(t)− f ′x(x)|dt

(t− x)2

≤ Cxn

∫ 2x

x+ x√n

( t∨x

f ′x

)dt

(t− x)2 =Cn

∫ √n

1

( x+ xu∨

xf ′x

)du

≤ Cn

[√

n]

∑k=1

∫ k+1

k

( x+ xu∨

xf ′x

)du≤ C

n

[√

n]

∑k=1

( x+ xk∨

xf ′x

).

Duke i zevendesuar J1 dhe J2 ne (2.6.14), fitojme

J =∫ 2x

x| f ′x(t)|(1−ξ

[β ]n,a (x, t))dt ≤ x√

n

( x+ x√n∨

xf ′x

)+

Cn

[√

n]

∑k=1

( x+ xk∨

xf ′x

).

Prandaj,

Q[β ]n,2( f ′x,x) ≤

Cnx

∣∣∣∣ f (2x)− f (x)− x f ′(x+)∣∣∣∣

+x√n

( x+ x√n∨

xf ′x

)+

Cn

[√

n]

∑k=1

( x+ xk∨

xf ′x

). (2.6.15)

27

2.7. KONSTRUKTIMI I OPERATOREVE TE TIPIT SZASZ-GOULD-HOPPER

Me zevendesimin e relacioneve (2.6.11) dhe (2.6.13) ne (2.6.6) kemi

|Q[β ]n ( f ′x,x)| ≤O(n−s)+C

∣∣ f (x)∣∣nx

+| f (x+)∣∣√Cx

n+

Cnx

∣∣∣∣ f (2x)− f (x)−x f ′(x+)∣∣∣∣

+x√n

( x+ x√n∨

xf ′x

)+

Cn

[√

n]

∑k=1

( x+ xk∨

xf ′x

). (2.6.16)

Dhe ne fund duke kombinuar relacionet (2.6.4), (2.6.5) dhe (2.6.16), fitojme rezultatin edeshiruar.

2.7 Perkufizimi i operatoreve te tipit Szasz duke u bazuarne polinomet Gould-Hopper

Ne [4], Jakimovski dhe Leviatan perkufizuan dhe shqyrtuan disa veti te perafrimeve peroperatoret e tipit Favard-Szasz:

J( f ;x) =enx

g(1)

∞

∑k=0

pk(nx) f(

kn

bn

),x ∈ [0,∞), (2.7.1)

ku pk(x)≥ 0 jane polinomet e Appell-it qe plotesojne identitetin (2.2.2).Varma dhe te tjere ne [83] bene lidhjen e ketyre operatoreve me polinomet ortogonale.Koheve te fundit, Buyukyazıcı dhe te tjere ne [9], perkufizuan variantin Chlodowsky peroperatoret e tipit Szasz-Brenke te perkufizuar nga Varma ne [83]. Te inspiruar nga kjopune, perkufizojme operatoret e tipit Szasz-Chlodowsky duke u bazuar ne polinomet eGould-Hopper-it. Funksioni gjenerues per keto polinome jepet me formulen:

ehtd+1ext =

∞

∑k=0

gd+1k (x,h)

tk

k!(2.7.2)

kurse formula eksplicite per keta operatore eshte

gd+1k (x,h)) =

[k/d+1]

∑k=0

k!s!(k− (d +1)s)!

hsxk−(d+1)s (2.7.3)

ku, [·] eshte pjesa e plote. Tani, ne [24], me ndihmen e funksionit gjenerues (2.7.2) janeperkufizuar operatoret e tipit Szasz-Chlodowsky, qe jane gjeneralizim i operatoreve Szasz-it, sic vijon:

G(d)n,h ( f ;x) = e−

nxbn−h

∞

∑k=0

gd+1k

(nxbn,h)

k!f(

kn

bn

),x ∈ [0,∞), (2.7.4)

ku h≥ 0 dhe bn eshte varg jozvogelues i numrave qe ka keto veti

limn→∞

bn = ∞, limn→∞

bn

n= 0.

Jane bere shume gjeneralizime dhe jane studiuar mjaft shume operatoret e Szasz-it nga au-tore te ndryshem duke u bazuar ne polinomet ortogonale [4, 5, 6, 7, 35].

28

2.8. VETITE E PERAFRIMEVE LOKALE

2.8 Vetite e perafrimeve lokaleNe kete paragraf jane dhene disa rezultate te drejtperdrejta ne lidhje me modulin e renditte pare dhe te dyte te vazhdueshmerise, konvergjences se derivatit te operatoreve kah funk-sionet e derivueshme, si dhe shpejtesia e perafrimit te operatoreve G

(d)n,h kah funksionit f .

Ne vijim marrim kuptime dhe Lema te cilat na sherbejne per pjesen tjeter te ketij paragrafi.Le te jete ei(t) = t i , i ∈ N0 test funksion.

Leme 2.8.1. [24] Nga funksioni gjenerues (2.7.2) kemi:

(i)∞

∑k=0

gd+1k

(nxbn,h)

k!= e

nxbn +h = κ1(x);

(ii)∞

∑k=0

kgd+1k

(nxbn,h)

k!= e

nxbn +h

(nxbn

+h(d +1))= κ2(x);

(iii)∞

∑k=0

k2gd+1k

(nxbn,h)

k!= e

nxbn +h

(n2x2

b2n

+nxbn

(2h(d +1)+1)+h(d +1)2(h+1))= κ3(x);

(iv)∞

∑k=0

k3gd+1k

(nxbn,h)

k!= e

nxbn +h

(n3x3

b3n

+3n2x2

b2n

(h(d +1)+1)

+3nxbn

(h(d +1)(h(d +1)+d +2)+

13

)+h(d +1)3(h2 +3h+1)

)= κ4(x);

(v)∞

∑k=0

k4gd+1k

(nxbn,h)

k!= e

nxbn +h

(n4x4

b4n

+2n3x3

b3n

(2h(d +1)+3)+6n2x2

b2n

(h2(d +1)2

+h(d +1)(d +3)+7/6)+

2nxbn

(3h2(d +1)2(2d +3)+h(d +1)(2d2 +7d +7)

+2h3(d +1)3 +1/2)+h(d +1)4(h3 +6h2 +7h+1)

)= κ5(x).

Leme 2.8.2. [24] Per operatoret G(d)n,h , vlejne:

(i) G(d)n,h (e0;x) = 1;

(ii) G(d)n,h (e1;x) = x+

bn

nh(d +1);

(iii) G(d)n,h (e2;x) = x2 +

bnxn

(2h(d +1)+1)+b2

nn2 h(h+1)(d +1)2;

(iv) G(d)n,h (e3;x) = x3 +

3bnx2

n(h(d +1)+1)+

3b2nx

n2

(h(d +1)(h(d +1)+d +2)+

13

)+

3b3n

n3 h(d +1)2 ((d +1)(h2 +1)+h(2d +1))

;

29

2.8. VETITE E PERAFRIMEVE LOKALE

(v) G(d)n,h (e4;x)= x4+

2bnx3

n(2h(d +1)+3)+

6b2nx2

n2

(h2(d +1)2 +h(d +1)(d +3)+7/6

)+

2b3nx

n3

(3h2(d +1)2(2d +3)+h(d +1)(2d2 +7d +7)+2h3(d +1)3 +1/2

)+

b4n

n4

(h(d +1)4(h3 +6h2 +7h+1)

).

Teoreme 2.8.3. [24] Le te jete f ∈ CE [0,∞). Atehere limn→∞

G(d)n,h ( f ;x) = f (x), konvergjon

uniformisht ne cdo nenbashkesi kompakte te [0,∞).

Ne vazhdim po japim dy shembuj te konvergjences se ketyre operatoreve kah funksioni.

Shembulli 2.8.4. Per n = 50,100,500, d = 0.5,dhebn =√

n, konvergjenca G(d)n,h ( f ;x) kah

f unksioni f (x) = xcos(x+1) eshte paraqitur ne Figuren (a).

Shembulli 2.8.5. Per n = 50,100,500, d = 0.5,dhebn =√

n, konvergjenca G(d)n,h ( f ;x) kah

f unksioni f (x) = x2√

x2+1eshte paraqitur ne Figuren (b).

(a) (b)

Teoreme 2.8.6. [24] Le te jete f ∈CE [0,∞), atehere per cdo x ∈ [0,c] kemi∣∣∣G (d)n,h ( f ;x)− f (x)

∣∣∣≤1+

√c+

bn

nh(h+1)(d +1)2

ω

(f ;

√bn

n

).

Vertetim. Duke shfrytezuar Lemen 2.8.2 dhe vetite e mirenjohura te modulit te vazh-dueshmerise, kemi∣∣∣G (d)

n,h ( f ;x)− f (x)∣∣∣≤ G

(d)n,h

(∣∣∣∣ f (kn

bn

)− f (x)

∣∣∣∣ ;x)

≤

1+1δ

G(d)n,h

(∣∣∣∣knbn− x∣∣∣∣ ;x)

ω( f ;δ ). (2.8.1)

30

2.8. VETITE E PERAFRIMEVE LOKALE

Zbatojme mosbarazimin e Cauchy-Schwarz-it, dhe marrim mosbarazimin vijues:

∣∣∣G (d)n,h ( f ;x)− f (x)

∣∣∣≤1+

1δ

(G

(d)n,h

((kn

bn− x)2

;x))1/2

ω( f ;δ )

=

1+

1δ

√G

(d)n,h ((t− x)2;x)

. (2.8.2)

Nga Lema 2.8.2 per 0≤ x≤ c, fitojme

G(d)n,h ((e1− x)2;x)≤ bnc

n+

b2n

n2 h(h+1)(d +1)2. (2.8.3)

Me pastaj, duke shfrytezuar relacionin (2.8.3) dhe duke marre δ =√

bn/n ne relacionin(2.8.2), menjehere vijme tek vertetimi i teoremes.Teorema e meposhtme tregon se derivati dr

dxr G(d)n,h ( f ;x) eshte gjithashtu proces i perafrimit

per dr fdxr .

Teoreme 2.8.7. [24] Le te jete f ∈CE [0,∞). Nese f (r) ekziston ne piken x∈ (0,∞), ateherekemi∣∣∣∣ dr

dxr G(d)n,h ( f ;x)− dr

dxr f (x)∣∣∣∣≤ r!

1+

√c+

bn

nh(h+1)(d +1)2

ω( f ;

√bn

n)+ω(

dr

dxr f ;rbn

n),

ku ω(dr fdxr , ·) eshte moduli i vazhdueshmerise se dr f

dxr .

Vertetim. Me njesime te thjeshta, shohim se vlen formula

dr

dxr G(d)n,h ( f ;x) =

(nbn

)r

G(d)n,h (∆

rbnn

f ;x) (2.8.4)

ku ∆rbnn

f ( knbn) eshte diferenca e rendit r per funksionin f te cilit i korrospondohet vargut

jozvogelues bnn . Duke shfrytezuar relacionet ndermjet diferences se fundme dhe diferen-

cave te ndara, derivati i rendit r per operatoret, ka paraqitjen vijuese:

dr

dxr G(d)n,h ( f ;x) = r!G (d)

n,h

( ∆rbnn

f

r!(bnn )

r;x)

= r!e−nxbn−h

∞

∑k=0

gd+1k

(nxbn,h)

k!

[kn

bn,k+1

nbn, ...,

k+ rn

bn; f]

= r!G (d)n,h (µ;x). (2.8.5)

ku µ(x) =[x,x+ bn

n , ...,x+ r bnn ; f

]. Atehere, duke u bazuar ne Teoremen 2.8.6, kemi

31

2.9. PERAFRIMET ME PESHE

∣∣∣∣ dr

dxr G(d)n,h ( f ;x)− dr

dxr f (x)∣∣∣∣≤ r!

∣∣∣G (d)n,h (µ;x)−µ(x)

∣∣∣+∣∣∣∣r!µ(x)− dr

dxr f (x)∣∣∣∣

≤ r!

1+

√c+

bn

nh(h+1)(d +1)2

ω( f ;

√bn

n)+

∣∣∣∣r!µ(x)− dr

dxr f (x)∣∣∣∣ . (2.8.6)

Ne baze te teoremes mbi vleren mesatare dhe disa veti te modulit klasik te vazhdueshmerisete dhene ne punimin [34], kemi

|µ(x+δ )−µ(x)|=∣∣∣∣[x+δ ,x+δ +

bn

n, ...,x+δ + r

bn

n; f]−[

x,x+bn

n, ...,x+ r

bn

n; f]∣∣∣∣

+1r!

∣∣∣∣ dr

dxr f (x+δ + rbn

nφ1)−

dr

dxr f (x+ rbn

nφ2)

∣∣∣∣+

1r!

ω(dr

dxr f ;δ + rbn

n|φ1−φ2|)

≤ 1r!

ω(dr

dxr f ;δ + rbn

n)

ku φ1,φ2 ∈ (0,1). Ne kete menyre, fitojme

ω(µ,δ )≤ 1r!

ω(dr

dxr f ;δ + rbn

n). (2.8.7)

Nga ana tjeter,∣∣∣∣r!µ(x)− dr

dxr f (x)∣∣∣∣≤ ∣∣∣∣r!

[x,x+

bn

n, ...,x+ r

bn

n; f]− dr

dxr f (x)∣∣∣∣

≤∣∣∣∣ dr

dxr f (x+ rbn

nφ3)−

dr

dxr f (x)∣∣∣∣

≤ ω(dr

dxr f ;φ3rbn

n)

≤ ω(dr

dxr f ;rbn

n) (2.8.8)

ku φ3 ∈ (0,1). Duke zevendesuar vleresimet (2.8.7) dhe (2.8.8) ne mosbarazimin (2.8.6),menjehere rrjedh vertetimi i Teoremes.

2.9 Perafrimet me peshe

Ne vazhdim jepen disa rezultate per vargun e operatoreve G(d)n,h ne hapesiren e funksioneve

me peshe.

Teoreme 2.9.1. [24] Le te jete f ∈Cψ [0,∞), dhe ψ(x) = 1+x2 nje funksion peshe, ateherevlen mosbarazimi

‖G (d)n,h (ψ;x)‖ψ ≤ 1+M f .

32

2.9. PERAFRIMET ME PESHE

Vertetim. Nga Lema 2.8.2, marrim

‖G (d)n,h (ψ;x)‖ψ = sup

x≥0

11+ x2

1+ x2 +

bnxn

(2h(d +1)+1)+b2

nn2 h(h+1)(d +1)2

≤

1+bn

n(2h(d +1)+1)+

b2n

n2 h(h+1)(d +1)2.

Meqenese limn→∞

bnn = 0, atehere ekziston konstanta M f e tille qe

‖G (d)n,h (ψ;x)‖ψ ≤ 1+M f .

Qe eshte dashur te tregohet.Ne rastin kur funksioni f nuk eshte uniformisht i vazhdueshem ne [0,∞), atehere modulii vazhdueshmerise se rendit te pare ω( f ;δ ) nuk tenton ne zero, kur δ → 0. Prandaj per tefituar rezultatet tona na duhet perkufizimi i modulit te vazhdueshmerise me peshe. Ne [15]per f ∈C∗ψ [0,∞), moduli i vazhdueshmerise me peshe per funksionin f perkufizohet me

Ωψ( f ;δ ) = sup0≤|ψ(x)−ψ(t)|<δ ,x,t∈[0,∞)

| f (x)− f (t)|[|ψ(x)−ψ(t)|+1]ψ(x)

, (2.9.1)

ku ψ eshte funksion me derivat te vazhdueshem ne [0,∞), ψ(0) = 0 dhe infx≥0 ψ ′(x) ≥1. Tani, me ndihmen e operatoreve G

(d)n,h te perkufizuar ne (2.7.4) perkufizojme vargun e

operatoreve P(d)n,h me:

P(d)n,h ( f ;x) = e−

nxbn−h

ψ2(x)

∞

∑k=0

gd+1k

(nxbn

,h)

1ψ2( k

nbn)

k!f(

kn

bn

),x ∈ [0,∞). (2.9.2)

Teoreme 2.9.2. [15] Le te jete (Ln) varg i operatoreve lineare dhe pozitive si dhe ψ(x)≤ηk(x),k = 1,2,3. Ne qofte se

‖Ln1−1‖η1 = αn,

‖Lnψ−ψ‖η2 = βn,

‖Lnψ2−ψ

2‖η3 = γn,

ku η(x) = maxη1,η2,η3 dhe αn, βn dhe γn tenton ne zero kur n→ ∞, atehere per cdofunksion f ∈C∗ψ [0,∞), dhe per n mjaft te madh vlen mosbarazimi

‖Ln( f ;x)− f‖ψη2 ≤Ωψ( f ;√

αn +βn + γn)+ || f ||ψαn.

Teoreme 2.9.3. [24] Le te jete P(d)n,h varg i operatoreve lineare dhe pozitive i perkufizuar

ne (2.9.2) dhe η(x) = 1+ x2. Nese f ∈C∗ψ [0,∞), atehere plotesohet mosbarazimi

‖P(d)n,h ( f ;x)− f‖ψ4η ≤ 16Ωψ( f ;

√αn +2βn)+ || f ||ψαn,

ku αn = (2h(d +1)+1)bnn +(bn

n )2h(h+1)(d +1)2 dhe βn =

bnn h(d +1).

33

2.9. PERAFRIMET ME PESHE

Vertetim. Pas disa kalkulimeve nxjerrim:

P(d)n,h (1;x)−1 = ψ

2(x)

[e−

nxbn−h

∞

∑k=0

gd+1k

(nxbn

,h)

1ψ2( k

nbn)

k!− 1

ψ2(x)

], (2.9.3)

P(d)n,h (t;x)− x = ψ

2(x)

[e−

nxbn−h

∞

∑k=0

gd+1k

(nxbn

,h)

1ψ( k

nbn)

k!− 1

ψ(x)

], (2.9.4)

P(d)n,h (ψ

2;x)−ψ2(x) = 0. (2.9.5)

Nga Lema 2.8.2, kemi

limn→∞

∥∥∥∥∥e−nxbn−h

∞

∑k=0

gd+1k

(nxbn

,h)

1ψ2( k

nbn)

k!− 1

ψ2(x)

∥∥∥∥∥η

= 0,

limn→∞

∥∥∥∥∥e−nxbn−h

∞

∑k=0

gd+1k

(nxbn

,h)

1ψ( k

nbn)

k!− 1

ψ(x)

∥∥∥∥∥η

= 0,

duke u bazuar ne Lemen 2.8.2 dhe relacionin (2.9.3) fitojme

‖P(d)n,h (1;x)−1‖ψ2η = lim

n→∞

∥∥∥∥∥e−nxbn−h

∞

∑k=0

gd+1k

(nxbn

,h)

1ψ2( k

nbn)

k!− 1

ψ2(x)

∥∥∥∥∥η

≤ (2h(d +1)+1)bn

n+

(bn

n

)2

h(h+1)(d +1)2 = αn.

Me anen e Lemes 2.8.2 dhe relacionit (2.9.4), shohim se

‖P(d)n,h (ψ;x)−ψ‖ψ2η = lim

n→∞

∥∥∥∥∥e−nxbn−h

∞

∑k=0

gd+1k

(nxbn

,h)

1ρ( k

nbn)

k!− 1

ψ(x)

∥∥∥∥∥η

≤ bn

nh(d +1) = βn.

Ne fund nga relacioni (2.9.5), fitojme

‖P(d)n,h (ψ

2;x)−ψ2‖ψ2η = 0 = γn.

Vertetimi i teoremes mbaron me aplikimin e Teoremes 2.9.2.

34

2.10. VETITE E PERAFRIMEVE A-STATISTIKORE

2.10 Vetite e perafrimeve A-statistikoreLe te jete A = [a jn], j,n ∈ N matrice e pafundme e shumueshme. Per vargun (xn), A-transformati i x, shenohet me ((Ax) j), dhe jepet me

(Ax) j =∞

∑n=1

a jnxn.

Mund te provohet se seria konvergjon per cdo j ∈ N. Thuhet se matrica A eshte regu-lare ne qofte se lim

j(Ax) j = L sa here qe lim

n(xn) = L. Vargu (xn) thuhet se konvergjon ne

menyre A-statistikore kah L nese, per cdo ε > 0, limj

∑n:|xn−L|≥ε

a jn = 0. Ky limit shenohet

me stA− limn

xn = L. Nese zevendesohet matrica A me matricen Cesaro C1, atehere kon-vergjenca A-statistikore kthehet ne konvergjence statistikore. Ngjashem, nese marrim A= Imatrica njesi, atehere konvergjenca A-statistikore kthehet ne konvergjence te zakonshme.Ne [33] Kolk, tregoi se nese lim

jmax

n= 0, konvergjenca A-statistikore eshte me e forte se

konvergjenca e zakonshme.Ne vijim japim Teoremen e perafrimit me peshe te Korovkin-it me anen e konvergjencesA-statistikore.

Teoreme 2.10.1. [24] Le te jete (ank) matrice regulare e shumueshme jonegative dhe x ∈[0,∞). Le te jete ψγ ≥ 1 funksion i vazhdueshem qe ploteson kushtin:

limn→∞

ψ(x)ψ−1γ (x) = 0.

Atehere, per cdo funksion f ∈C∗ψ [0,∞), kemi

stA− limn→∞||G (d)

n,h ( f ;x)− f ||ψγ= 0.

Vertetim. Nga [1], per cdo funksion f ∈C∗ψ [0,∞), duhet provuar se:

stA− limn→∞||G (d)

n,h (ei;x)− ei||ψ = 0, f or ei = t i, i = 0,1,2.

Keshtu, nga Lema 2.8.2, shohim se vlene

stA− limn→∞||G (d)

n,h (e0;x)− e0||ψ = 0 .

poashtu, nga Lema 2.8.2, kemi

||G (d)n,h (e1;x)−e1||ψ =

bn

nh(d+1) sup

x∈[0,∞)

11+ x2 ≤

bn

nh(d+1).

Tani per ε > 0, te dhene le te perkufizojme bashkesite:

S = n : ||G (d)n,h (e1;x)− e1||ψ ≥ ε

35

2.10. VETITE E PERAFRIMEVE A-STATISTIKORE

S1 = n :bn

nh(d +1)≥ ε.

Eshte e qarte se S⊆ S1. Keshtu per cdo n ∈ N marrim

∑k∈S

ank ≤ ∑k∈S1

ank.

Prandaj, stA− limn→∞||G (d)

n,h (e1;x)− e1||ψ = 0.Ngjashem, kemi

||G (d)n,h (e2;x)−e2||ψ = sup

x∈[0,∞)

x1+ x2

bn

n(2h(d +1)+1)+

b2n

n2 h(h+1)(d+1)2 supx∈[0,∞)

11+ x2

≤ (2h(d +1)+1)bn

n+(

bn

n)2h(h+1)(d +1)2. (2.10.1)

Tani, perkufizojme bashkesite vijuese:

U = n : ||G (d)n,h (e2;x)− e2||ψ ≥ ε

U1 = n : (2h(d +1)+1)bn

n≥ ε/2,

U2 = n : (bn

n)2h(h+1)(d +1)2 ≥ ε/2.

Nga relacioni (2.10.1), eshte e qarte se U ⊆U1∪U2, prej nga

∑k∈U

ank ≤ ∑k∈U1

ank + ∑k∈U2

ank.

Keshtu, fitojme stA− limn→∞||G (d)

n,h (e2;x)− e2||ψ = 0.Ngjashem, nga Lema 2.8.2, kemi

stA− limn→∞||η(d)

n,s (x)||ψ = 0,s = 1,2,3,4. (2.10.2)

Ne vazhdim japim teoremen e tipit Voronovskaya per operatoret G(d)n,h .

Teoreme 2.10.2. [24] Le te jete A = (ank) matrice e pafundme e shumueshme regularejonegative. Atehere, per cdo f ∈C∗ψ [0,∞) te tille qe f ′, f ′′ ∈C∗ψ [0,∞), rrjedh se

stA− limn→∞

nbn

(G(d)n,h ( f ;x)− f (x)) = h(d +1) f ′(x)+

x2

f ′′(x).

konvergjon uniformisht ne x ∈ [0,E],(E > 0).

Vertetim. Le te jete x≥ 0, dhe f ′, f ′′ ∈C∗ψ [0,∞). Perkufizojme funksionin θ me

θ(t,x) =

f (t)− f (x)−(t−x) f ′(x)− 1

2 (t−x)2 f ′′(x)(t−x)2 nese t 6= x

0 nese t = x.

36

2.10. VETITE E PERAFRIMEVE A-STATISTIKORE

Atehere nga supozimi rrjedh se θ(x,x) = 0 dhe θ(·,x) ∈C∗ψ [0,∞).

Duke aplikuar operatorin linear dhe pozitiv G(d)n,h ne barazimin e mesiperm, fitojme

nbn

(G(d)n,h ( f ;x)− f (x)) =

nbn

η(d)n,1 (x) f ′(x)+

12

nbn

η(d)n,2 (x) f ′′(x)

+nbn

G(d)n,h ((θ(t,x)(t− x)2;x). (2.10.3)

Ne baze te Lemes 2.8.2, marrim

stA− limn→∞

nbn

η(d)n,1 (x) = h(d +1) (2.10.4)

stA− limn→∞

nbn

η(d)n,2 (x) = x (2.10.5)

stA− limn→∞

n2

b2n

η(d)n,4 (x) = 3x2. (2.10.6)

Duke zbatuar mosbarazimin e Cauchy-Schwarz-it, ne termin e fundit te relacionit (2.10.3),kemi

nbn

G(d)n,h ((θ(t,x)(e1− x)2;x)≤

√G

(d)n,h ((θ

2(t,x);x)

√n2

b2n

η(d)n,4 (x).

Mund te provohet qe θ 2(x,x) = 0, dhe θ 2(,x) ∈C∗γ [0,∞). Ne baze te Teoremes 2.8.3 rrjedh

stA− limn→∞

G(d)n,h (θ

2(t,x);x) = θ2(x,x) = 0. (2.10.7)

Nga (2.10.7) rrjedh se

stA− limn→∞

nbn

G(d)n,h ((θ(t,x)(e1− x)2;x) = 0 (2.10.8)

konvergjon uniformisht per cdo x ∈ [a,b]. Me kombinimin e relacioneve (17), (18) dhe(21), menjehere fitohet rezultati i teoremes.

Teoreme 2.10.3. [24] Le te jete f ∈ ∆2. Atehere kemi:

stA− limn→∞||G (d)

n,h ( f ;x)− f ||CB[0,∞) = 0

Vertetim. Nga vetia e linearitetit te operatoreve G(d)n,h , dhe duke shfrytezuar formulen e

Taylorit per funksioni f ∈ ∆2, kemi

G(d)n,h ( f ;x)− f (x) = η

(d)n,1 (x) f ′(x)+

12

η(d)n,2 (x) f ′′(ξ ),ξ ∈ (t,x). (2.10.9)

Prej nga fitojme

G(d)n,h ( f ;x)− f ||CB[0,∞) = || f ′||CB[0,∞)||η

(d)n,1 (x)||CB[0,∞)

37

2.10. VETITE E PERAFRIMEVE A-STATISTIKORE

+12|| f ′′||CB[0,∞)||η

(d)n,2 (x)||CB[0,∞). (2.10.10)

Ne baze te (2.10.2) per ε > 0, kemi

limn ∑

k∈N:I1≥ ε

2

ank = 0,

limn ∑

k∈N:I2≥ ε

2

ank = 0.

Nga relacioni (2.10.10), ne vijim mund te shkruajme

∑k∈N:||G (d)

n,h ( f ;x)− f ||CB[0,∞)

ank ≤ ∑k∈N:I1≥ ε

2

ank + ∑k∈N:I2≥ ε

2

ank = 0.

Vertetimi i teoremes rrjedh menjehere duke vepruar me limit kur n→ ∞.Teorema vijuese jep vleresimet kuantitative me ane te Peetre’s K-funksionalit.

Teoreme 2.10.4. [24] Le te jete f ∈CB[0,∞), atehere kemi vleresimin

||G (d)n,h ( f ;x)− f ||CB[0,∞) ≤Mω2( f ;

√δn),

ku δn = ‖η(d)n,1 (x)‖CB[0,∞)+‖η

(d)n,2 (x)‖CB[0,∞).

Vertetim. Le te jete g ∈ ∆2, nga relacioni (2.10.10) kemi

||G (d)n,h ( f ;x)− f ||CB[0,∞) = || f ′||CB[0,∞)||η

(d)n,1 (x)||CB[0,∞)+

12|| f ′′||CB[0,∞)||η2

n,2(x)||CB[0,∞)

≤||η(d)

n,1 (x)||CB[0,∞)+12||η(d)

n,2 (x)||CB[0,∞)

|| f ||∆2.

Duke u bazuar ne mosbarazimin e mesiperm per f ∈CB[0,∞), dhe g ∈ ∆2, fitojme

||G (d)n,h ( f ;x)− f ||CB[0,∞) = ||G

(d)n,h ( f ;x)−G

(d)n,h (g)||CB[0,∞)

+ ||G (d)n,h (g;x)−g||CB[0,∞)+ ||g− f ||CB[0,∞)

≤ ||g− f ||CB[0,∞)+ ||G(d)n,h (g;x)−g||CB[0,∞)

≤ 2||g− f ||CB[0,∞)+δn||g||W 2.

Duke marre infimumin ne anen e djathte te mosbarazimit te mesiperm sipas g ∈ ∆2, fitojme

||G (d)n,h ( f ;x)− f ||CB[0,∞) ≤ K2( f ;δn).

Nga lidhja ndermjet Petree’s K-funksionalit dhe modulit te rendit te dyte te lemueshmerise,te dhene ne [80] kemi

||G (d)n,h ( f ;x)− f ||CB[0,∞) ≤Mω2( f ;

√δn)+min(1,δn)||g||CB[0,∞)

Nga (2.10.2), rrjedh se stA− limn→∞

δn = 0, keshtu stA− limn→∞

ω2( f ;√

δn) = 0. Prandaj, marrim

shpejtesine e konvergjences A-statistikore per vargun G(d)n,h kah f (x) ne hapesiren CB[0,∞).

38

Kapitulli 3

3.1 Operatoret e tipit Szasz-Jain-CharlierNe kete kapitull, se pari eshte shqyrtuar nje tip i ri i operatoreve lineare pozitive, te ciletjane kombinim i operatoreve te perkufizuar nga Jain-i [44] dhe polinomeve te Charlier-it.Pastaj, shqyrtohet shpejtesia e konvergjences permes modulit te vazhdueshmerise me peshedhe klases se funksioneve te Lipschitz-it. Po ashtu, jane fituar disa rezultate ne lidhje meshpejtesine e konvergjences permes modulit te unifikuar te vazhdueshmerise se perkufizuarnga Guo dhe te tjere ne [81], si dhe funksioneve derivati i te cileve eshte me variacion tekufizuar.

3.2 Perkufizimi i operatoreve te tipit Szasz-Jain-Charliersi dhe disa Rezultate ndihmse

Ne vitin 2012 Varma dhe Tasdelen [94] konstruktuan nje tip te ri te operatoreve lineare poz-itive duke u bazuar ne polinomet ortogonale, me konkretisht permes funksionit gjenerueste polinomeve te Charlier. Funksioni gjenerues per keto polinome jepet me barazimin:

et(

1− ta

)u=

∞

∑k=0

k

∑r=0

(kr

)(−u)r

(1a

)r tk

k!, |t|< a, (3.2.1)

ku, (m) j =j

∏k=1

(m+ k−1), ( j ∈ N), and (m)0 = 1.

Per γ > 0, le te jete Cγ [0,∞) := f ∈C[0,∞) : | f (t)| ≤Meγt , per disa M > 0 dhe t ∈ [0,∞).Per funksionin f ∈Cγ [0,∞), ne [94] autoret dhane nje pergjithesim te operatoreve te tipitte Szasz-it duke u bazuar ne polinomet e Charlier-it si ne vijim:

Ln( f ;x,a) =∞

∑k=0

Θ(a)k (nx) f

(kn

), (3.2.2)

ku Θ(a)k (nx) = e−1

(1− 1

a

)(a−1)nxC(a)

k (−(a−1)nx)k! , x ∈ [0,∞) dhe a > 1. Ne vecanti, nese

zevendesojme x− 1n → x, dhe duke marre a→ ∞, fitojme operatoret e tipit te Szasz-it. Me

pas, Kajla dhe Agrawal, ne [6] studiuan vetite e perafrimeve me peshe per keta operatore

39

3.2. KONSTRUKTIMI I OPERATOREVE TE TIPIT SZASZ-JAIN-CHARLIER

dhe shpejtesin e konvergjences per funksionet qe kane derivatin me variacion te kufizuar.Po ashtu, Kajla dhe Agrawal, ne [7] dhe [5] modifikuan operatoret e tipit Kantorovich dheDurrmeyer perkatesisht. Koheve te fundit, Gupta dhe Greubel, [97] perkufizuan variantine operatoreve te tipit Durrmeyer per operatoret e perkufizuar ne [44] dhe provuan disarezultate interesante te cilat me vone i shfrytezuan shume autore ne punimet e tyre. Perfunksionin e kufizuar dhe te integrueshem ne [0,∞), a≥ 0 dhe β ∈ [0,1), Gupta dhe Malik[96] propozuan operatoret hibrid te perzier te tipit Durrmeyer dhe vertetuan shume rezultatedirekte p.sh. teorema e tipit Voronovskaya, teoremat e perafrimeve lokale dhe globale sidhe disa rezultate direkte ne lidhje me modulin e vazhdueshmerise dhe lemueshmerise.

Ne vazhdim, per γ > 0, le te shenojme me Dγ [0,∞) := f ∈C[0,∞) : | f (t)| ≤M(1+tγ),∀t ∈ [0,∞) dhe norma e indukuar ne te, jepet me

‖ f‖γ = supt∈[0,∞)

| f (t)|(1+ tγ)

.

Per f ∈Dγ [0,∞) perkufizizojme nje varg te ri te operatoreve lineare pozitive, qe jane kom-binim i operatoreve te perkufizuar nga Jain [44] dhe polinomeve te Charlier si ne vijim:

S[β ]n,a( f ;x) =∞

∑k=0

Θ(a)k (nx)

< b(β )n,k (t), f (t)>

< b(β )n,k (t),1 >. (3.2.3)

ku b(β )n,k (x) =nx(nx+kβ )k−1e−(nx+kβ )

k! dhe < f ,g >=∫

∞

0 f (t)g(t)dt.Qellimi i ketij paragrafi eshte qe te formuloje disa teorema te drejtperdrejta per operatorete dhene me relacionin (3.2.3).

Leme 3.2.1. Operatoret S[β ]n,a te perkufizuar ne (3.2.3) plotesojne kushtet:

(i) S[β ]n,a(1;x) = 1;

(ii) S[β ]n,a(t;x) = (1−β )x+(1−β )2 +1

n(1−β );

(iii) S[β ]n,a(t2;x) = (1−β )2x2 +x(1−β )2

n

(3+

1a−1

+3

(1−β )2

)+

(2(1−β )3 +3(1−β )+2!)(1−β )n2 ;

(iv) S[β ]n,a(t3;x) = (1−β )3x3 +(1−β )3x2

n

(6+

3a−1

+6

(1−β )2

)+

(1−β )3x)n2

(2

(a−1)2 +6

a−1+10+

6(1−β )2

(3+

1a−1

)+

11−8β

(1−β )4

)+

(1−β )3

n3

[5+

12(1−β )2 +

(11−8β )

(1−β )4 +3!

(1−β )4

];

40

3.2. KONSTRUKTIMI I OPERATOREVE TE TIPIT SZASZ-JAIN-CHARLIER

(v) S[β ]n,a(t4;x) = (1−β )4x4 +(1−β )4x3

n·(

10+6

a−1+

10(1−β )2

)+

(1−β )4x2

n2

(31

+10

a−1+

11(a−1)2 +

10(a−β )2

(6+

3a−1

)+

5(7−4β )

(1−β )4

)+

(1−β )4xn3

[67+

31a−1

+20

(a−1)2 +6

(a−1)3 +20

(1−β )2

(1

(a−1)2 +3

a−1+5)+

5(7−4β )

(1−β )4 · (3+1

a−1)

+10(5−3β )

(1−β )5

]+

(1−β )4

n4

(15+

50(1−β )2 +

10(7−4β )

(1−β )4 +10(5−3β )+4!

(1−β )5

).

Vertetim. Nga funksioni gjenerues (3.2.1) si dhe duke aplikuar Lemen 2 te dhene ne[97], marrim identitetet (i)-(v). Detajet lidhur me vertetimin e ketyre identiteteve po i lemeanash.Momenti qendror i rendit m per operatoret S[β ]n,a jepet me barazimin:

µ[β ]n,m,a(x) = S[β ]n,a((t− x)m;x). (3.2.4)

Leme 3.2.2. Le te jete β = β (n)→ 0, kur n→ ∞ dhe limn→∞ nβ = l ∈ R. Per funksioninµ[β ]n,m,a(x)te dhene ne (3.2.4), kemi

(i) limn→∞

n(µ [β ]n,1,a;x) =−lx+2;

(ii) limn→∞

n(µ [β ]n,2,a;x) =

x(a−1)

;

(iii) limn→∞

n2(S[β ]n,a(µ[β ]n,3,a;x) =−18lx2 +

(2

(a−1)2 +12

(a−1)+18

)x;

(iv) limn→∞

n2(µ[β ]n,4,a;x) =

(3

(a−1)2 −8

(a−1)−30

)x2.

Qe te vertetojme teoremen ne lidhje me perafrimin e funksioneve derivati i pare i tecileve eshte me variacion te kufizuar, fillimisht na nevojitet rezultati vijues:

Leme 3.2.3. Le te jete β = β (n)→ 0, kur n→ ∞ dhe limn→∞ nβ (n) = l ∈ R. Nese x > 0dhe per n mjaft te madh, kemi

(i) ξ[β ]n,a (x, t) =

∫ t0 K[β ]

n,a(x,u)du≤ N(l,a)(1+x2)n(x−t)2 , 0≤ t < x,

(ii) 1−ξ[β ]n,a (x, t) =

∫∞

0 K[β ]n,a(x,u)du≤ N(l,a)(1+x2)

n(t−x)2 x≤ t < ∞.

Vertetim. Nga Lema 3.2.2 duke marre n mjaft te madh rrjedh

S[β ]n,a((u− x)2;x)≤ N(l,a)(1+ x2)

n.

41

3.3. VETITE E PERAFRIMEVE

Tani duke shfrytezuar Lemen 3.2.1, kemi

ξ[β ]n,a (x, t) =

∫ t

0K[β ]

n,a(x,u)du≤∫ t

0

(x−ux− t

)2

K[β ]n,a(x,u)du

≤ S[β ]n,a((u− x)2;x)(x− t)2 ≤ N(l,a)(1+ x2)

n(x− t)2 .

Mosbarazimi (ii) provohet ne menyre te ngjashme.

Gjate gjithe ketij punimi, do te supozojme se δn(x) =√

µ[β ]n,2,a(x).

3.3 Vetite e perafrimeveTeoreme 3.3.1. [24] Le te jete f ∈ Dγ [0,∞), dhe β = β (n)→ 0 kur n→ ∞. Atehere

limn→∞

S[β ]n,a( f ;x) = f (x),

konvergjon uniformisht ne cdo nenbashkesi kompakte te [0,∞).

Vertetim. Nga Lema 3.2.1, rrjedh se limn→∞

S[β ]n,a(ei;x) = xi, i=0,1,2 konvergjon uni-

formisht ne cdo nenbashkesi kompakte te [0,∞). Vertetimi i teoremes rrjedh menjeherenese zbatojme teoremen e Korovkin-it.Me ωb( f ;δ ), δ > 0 perkufizojme modulin e vazhdueshmerise se funksionit f ne [0,b].Teorema vijuese jep shpejtesine e konvergjences me anen e modulit te vazhdueshmerise sederivatit te funksionit.

Teoreme 3.3.2. Nese f (x) eshte funksion i derivueshem [0,∞), dhe | f ′(x)| ≤ L per disakonstante L > 0, atehere vlene:∣∣∣S[β ]n,a( f ;x)− f (x)

∣∣∣≤ L

[βx+

(1−β )2 +1n(1−β )

]+2δn(x)ω( f ′;δn(x)),

ku δn(x) =√

µ[β ]n,2,a(x).

Vertetim. Nga teorema Lagrange-it mbi vleren mesatare, kemi

f (t)− f (x) = (t− x) f ′(ξ ) = (t− x) f ′(x)+(t− x)( f ′(ξ )− f (x)), (3.3.1)

ku ξ eshte pike ndermjet x dhe t. Nga lineariteti dhe monotonia e operatorit S[β ]n,a, relacionit(3.3.1), si dhe nga vetite e mirenjohura te modulit te vazhdueshmerise se funksionit kemi:

|S[β ]n,a( f ;x)− f (x)| ≤ L(

βx+(1−β )2 +1

n(1−β )

)+S[β ]n,a(|t− x|;x) ·ω( f ′;δ )

+ω( f ′;δ )

δS[β ]n,a((t− x)2;x). (3.3.2)

42

3.3. VETITE E PERAFRIMEVE

Duke zbatuar mosbarazimin e Cauchy-Schwarz-it ne mosbarazimin e mesiperm, fitojme

|S[β ]n,a( f ;x)− f (x)| ≤ L(

βx+(1−β )2 +1

n(1−β )

)+

S[β ]n,a((t− x)2;x)1/2·ω( f ′;δ )

+ω( f ′;δ )

δS[β ]n,a((t− x)2;x)≤ L

(βx+

(1−β )2 +1n(1−β )

)+ω( f ′;δ )

√S[β ]n,a((t− x)2;x)+

ω( f ′;δ )

δS[β ]n,a((t− x)2;x).

Zgjedhim δ = δn(x) =√

S[β ]n,a((t− x)2;x), dhe perfundimisht marrim:

∣∣∣S[β ]n,a( f ;x)− f (x)∣∣∣≤ L

(βx+

(1−β )2 +1n(1−β )

)+2δn(x)ω( f ′;δn(x)).

Teoreme 3.3.3. Le te jete f ∈Dγ [0,∞), β = β (n)→ 0, kur n→∞ dhe limn→∞ nβ = l ∈R,atehere ekziston f ′′ ne piken x ∈ [0,∞), dhe vlene

limn→∞

n(S([β ]n,a ( f ;x)− f (x)) = (−lx+2) f ′(x)+x

(a−1)f ′′(x). (3.3.3)

Vecanerisht, nese ekziston f ′′ dhe eshte i vazhdueshem ne (a−η ,b+η), η > 0 ateherevlene (3.3.3) dhe konvergjon uniformisht per cdo x ∈ [a,b], ku 0≤ a < b < ∞.

Vertetim. Nga zberthimi i Taylor-it per funksionin f , kemi

f (t) =2

∑k=0

f (k)(x)(t− x)k

k!+ξ (t,x)(t− x)2,

ku ξ (t,x) eshte mbetja dhe limt→x ξ (t,x) = 0. Aplikojme operatorin S[β ]n,a ne te dy anet eekuacionit te mesiperm dhe duke shfrytezuar Lemen 3.2.2, rrjedh se

limn→∞

n(S[β ]n,a( f ;x)− f (x)) = (−lx+2) f ′(x)+x

(a−1)f ′′(x)

2

+ limn→∞

nS[β ]n,a((ξ (t,x)(t− x)2;x), (3.3.4)

konvergjon uniformisht ne [a,b].Nese shfrytezojme mosbarazimin e Cauchy-Schwarz-it ne anen e djathte te relacionit (3.3.4),dhe ne baze te, Teoremes 3.3.1 dhe Lemes 3.2.3 rrjedh se:

limn→∞

nS[β ]n,a(ξ (t,x)(t− x)2;x) = 0, (3.3.5)

konvergjon uniformisht sipas x ∈ [a,b]. Me kombinimin e relacioneve (3.3.4) dhe (3.3.5),fitojme rezultatin e deshiruar.

43

3.3. VETITE E PERAFRIMEVE

Teoreme 3.3.4. [5] Le te jete f ∈ D2[0,∞). Atehere, vlen

|S[β ]n,a( f ;x)− f (x)| ≤ 4M f (1+ x2)δ 2n (x)+2ωb+1( f ;δn(x)).

Vertetim. Per cdo x ∈ [0,b] dhe t ≥ 0, kemi

| f (t)− f (x)| ≤ 4M f (1+ x2)(t− x)2 +

(1+|t− x|

δ

)ωb+1( f ;δ ),δ > 0.

Keshtu duke aplikuar mosbarazimin e Cauchy-Schwarz-it, fitojme

|S[β ]n,a( f ;x)− f (x)| ≤ 4M f (1+ x2)δ 2n (x)+ωb+1( f ;δ )

(1+

δn(x)δ

).

Tani nese zgjedhim, δ = δn(x), menjehere rrjedh vertetimi i Teoremes.Shenojme me CB[0,∞) hapesiren e te gjitha funksione f te kufizuara me vlera reale dhe tecilat jane uniformisht te vazhdueshme ne [0,∞), te indukuara me normen ‖ f ‖= sup

x∈[0,∞)

| f (x)|.

Teorema ne vazhdim jep vleresimin e shpejtesise se perafrimit te nje funksioni f me anete operatoreve lineare pozitive S[β ]n,a, duke perdorur modulin e rendit te pare dhe te dyte tevazhdueshmerise.

Teoreme 3.3.5. Le te jete f ∈ CB[0,∞) dhe β = β (n)→ 0, kur n→ ∞. Atehere per cdox > 0, kemi

|S[β ]n,a( f ;x)− f (x)| ≤Cω2( f ;√

δn(x)+ω

(f ;∣∣∣∣−βx+

(1−β )2 +1n(1−β )

∣∣∣∣) ,

ku C eshte konstante pozitive dhe

δn(x) = 2β2x2 +

xn(1−β )2

((3a−2)

a−1+

3(1−β )2 −

2(β +1)[1+(1−β )2]

(1−β )3

)

+3(1−β )4 +5(1−β )2 +2(1−β )+1

n2(1−β )2 .

Vertetim. Per funksionin f ∈ CB[0,∞), le te marrim ne konsiderim operatorin e modifikuarte perkufizuar me:

S[β ]n,a = S[β ]n,a( f ;x)+ f (x)− f(

1−β )x+(1−β )2 +1

n(1−β )

). (3.3.6)

Duke shfrytezuar Lemen 3.2.1, rrjedh S[β ]n,a(1;x) = 1; S[β ]n,a(t;x) = x.Le te jete g ∈W 2. Nga formula e Taylor-it, mund te shkruajme

g(t) = g(x)+(t− x)g′(x)+∫ t

x(t−u)g′′(u)du.

44

3.3. VETITE E PERAFRIMEVE

Duke aplikuar operatorin S[β ]n,a ne te dy anet e ekuacionit te mesiperm, fitojme

S[β ]n,a(g;x) = g(x)+ S[β ]n,a

(∫ t

x(t−u)g′′(u)du;x

)= S[β ]n,a

(∫ t

x(t−u)g′′(u)du;x

)

+g(x)−

(1−β )x+ (1−β )2+1n(1−β )∫

x

((1−β )x+

(1−β )2 +1n(1−β )

−u

)g′′(u)du,

prej nga rrjedh se

∣∣∣S[β ]n,a(g;x)−g(x)∣∣∣≤ S[β ]n,a

(∣∣∣∫ t

x|t−u||g′′(u)du|

∣∣∣;x

)

+

∣∣∣∣∣(1−β )x+ (1−β )2+1

n(1−β )∫x

∣∣∣(1−β )x+(1−β )2 +1

n(1−β )−u∣∣∣|g′′(u)|du

∣∣∣∣∣≤

S[β ]n,a((t− x)2;x)+

((1−β )x+

(1−β )2 +1n(1−β )

− x

)2‖ g′′ ‖ .

Meqenese

∣∣∣S[β ]n,a( f ;x)∣∣∣≤ ∞

∑k=0

Θ(a)k (nx)

〈b(β )n,k (t), | f (t)|〉

〈b(β )n,k (t),1〉

≤‖ f ‖∞

∑k=0

Θ(a)k (nx)

〈b(β )n,k (t),1〉

〈b(β )n,k (t),1〉≤‖ f ‖ .

Nga relacioni (3.3.6), per cdo f ∈CB[0,∞) kemi

‖ S[β ]n,a( f ;x) ‖≤‖ S[β ]n,a( f ;x) ‖+2 ‖ f ‖≤ 3 ‖ f ‖ . (3.3.7)

Duke shfrytezuar relacionet (3.3.6) dhe (3.3.7), per f ∈ CB[0,∞) dhe per g ∈W 2, fitojme∣∣∣S[β ]n,a( f ;x)− f (x)∣∣∣≤ ∣∣∣S[β ]n,a( f −g;x)

∣∣∣+ ∣∣∣S[β ]n,a(g;x)−g(x)∣∣∣

+ |g(x)− f (x)|+

∣∣∣∣∣ f((1−β )x+

(1−β )2 +1n(1−β )

)− f (x)

∣∣∣∣∣≤

∣∣∣∣∣ f(

1−β )x+(1−β )2 +1

n(1−β )

)− f (x)

∣∣∣∣∣+4 ‖ f −g ‖+δn(x) ‖ g′′ ‖

≤C‖ f −g ‖+δn(x) ‖ g′′ ‖+ω

(f ;∣∣∣∣−βx+

(1−β )2 +1n(1−β )

∣∣∣∣) . (3.3.8)

45

3.4. VETITE E PERAFRIMEVE ME PESHE

Duke marre ne anen e djathte infimumin sipas te gjithe g ∈ W 2 dhe duke shfrytezuarperkufizimin e Peetre K-funksionalit, kemi∣∣∣S[β ]n,a( f ;x)− f (x)

∣∣∣≤CK2( f ;δn(x))+ω

(f ;∣∣∣∣−βx+

(1−β )2 +1n(1−β )

∣∣∣∣) .

Ne baze te relacionit (2.3.1), kemi∣∣∣S[β ]n,a( f ;x)− f (x)∣∣∣≤Cω2( f ;

√δn(x))+ω

(f ;∣∣∣∣−βx+

(1−β )2 +1n(1−β )

∣∣∣∣) ,

me kete perfundon edhe vertetimi i teoremes.Ne vazhdim japim nje vleresim per operatoret e perkufizuar ne (3.2.3) duke shfrytezuarfunksionin maksimal Lipschitz te rendit r ne lidhje me funksionin f , te perkufizuar ngaLenze [26] me:

ωr( f ,x) = supt 6=x,t∈[0,∞)

| f (t)− f (x)||t− x|r

, x ∈ [0,∞) and r ∈ (0,1]. (3.3.9)

Teoreme 3.3.6. [6] Le te jete f ∈ CB[0,∞). Atehere, per cdo x ∈ [0,∞) vlene mosbarazimi:

|S[β ]n,a( f ;x)− f (x)| ≤ ωr( f ,x)(δn(x))r,

ku 0 < r ≤ 1.

Vertetim. Nga Perkufizimi (3.3.9), kemi

|S[β ]n,a( f ;x)− f (x)| ≤ S[β ]n,a(|t− x|r;x)ωr( f ,x).

Duke aplikuar mosbarazimin e Holder-it per p = 2r dhe q = 2

2−r , perfundojme se

|S[β ]n,a( f ;x)− f (x)| ≤ ωr( f ,x)(S[β ]n,a((t− x)2;x))r2 ≤ ωr( f ,x)(δn(x))r.

Me kete kompletohet edhe vertetimi i teoremes.

3.4 Vetite e perafrimeve me pesheLe te jete D∗2[0,∞) nenhapesire e D2[0,∞) e perbere nga funksioni f i tille qe te ekzistojelimiti lim

x→∞

| f (x)|(1+x2)

.Ne vijim duke zbatuar Teoremen e Korovkin-it, sipas peshes te perkufizuar ne [17] marrimrezultatin vijues:

Teoreme 3.4.1. Le te jete f ∈ D∗2[0,∞) dhe β = β (n)→ 0, kur n→ ∞. Atehere, kemi

limn→∞‖S[β ]n,a( f )− f‖2 = 0.

46

3.4. VETITE E PERAFRIMEVE ME PESHE

Vertetim. Nga [17], mjafton te provojme qe:

limn→∞‖S[β ]n,a(tm;x)− xm‖2 = 0,m = 0,1,2.

Meqenese, S[β ]n,a(1;x) = 1, relacioni i mesiperm eshte i vertete per m = 0. Tani,

‖S[β ]n,a(t;x)− x‖2 = sup0≤x<∞

∣∣∣∣ 1(1+ x2)

(−βx+

(1−β )2 +1n(1−β )

)∣∣∣∣≤ β

2+

(1−β )2 +1n(1−β )

.

Keshtu, limn→∞ ‖S[β ]n,a(t;x)− x‖2 = 0, kur n→ ∞. Ngjashem, marrim

‖S[β ]n,a(t2;x)−x2‖2 = sup0≤x<∞

1(1+ x2)

∣∣∣∣(1−β )2x2+x(1−β )2

n

(3+

1(a−1)

+3

(1−β )2

)+

2(1−β )3 +3(1−β )+2(1−β )n2 − x2

∣∣∣∣≤ (β 2 +2β )+

(1−β )2

2n

(3+

1(a−1)

+3

(1−β )2

)+

2(1−β )3 +3(1−β )+2(1−β )n2 ,

prej nga rrjedh se limn→∞ ‖S[β ]n,a(t2;x)− x2‖2 = 0. Kjo e kompleton vertetimin e teoremes.

Teoreme 3.4.2. [6] Per cdo f ∈ D∗2[0,∞) dhe β = β (n)→ 0, kur n→ ∞ dhe α > 0, kemi

limn→∞

supx∈[0,∞)

|S[β ]n,a( f ;x)− f (x)|(1+ x2)1+α

= 0.

Vertetim. Le te jete x0 > 0, nje pike arbitrare e fiksuar, atehere

supx∈[0,∞)

|S[β ]n,a( f ;x)− f (x)|(1+ x2)1+α

≤ supx≤x0

|S[β ]n,a( f ;x)− f (x)|(1+ x2)1+α

+ supx>x0

|S[β ]n,a( f ;x)− f (x)|(1+ x2)1+α

≤ ‖S[β ]n,a( f ; .)− f‖C[0,x0]+‖ f‖2 supx>x0

|S[β ]n,a(1+ t2;x)|(1+ x2)1+α

+ supx>x0

| f (x)|(1+ x2)1+α

= E1 +E2 +E3, respektivisht.

Meqenese | f (x)| ≤ ‖ f‖2(1+ x2), shihet lehte se

E3 = supx>x0

| f (x)|(1+ x2)1+α

≤ ‖ f‖2

(1+ x20)

α.

Le te jete dhene ε > 0. Ne baze te Teoremes 3.3.1, mund te gjendet n1 ∈ N i tille qe

|S[β ]n,a(1+ t2;x)− (1+ x2)| <ε

3‖ f‖2, ∀ n≥ n1,

47

3.4. VETITE E PERAFRIMEVE ME PESHE

rrjedhimisht,

S[β ]n,a(1+ t2;x) < (1+ x2)+ε

3‖ f‖2, ∀ n≥ n1.

Ne kete menyre,

‖ f‖2|S[β ]n,a(1+ t2;x)(1+ x2)1+α

<‖ f‖2

(1+ x2)1+α

((1+ x2)+

ε

3‖ f‖2

)<

‖ f‖2

(1+ x20)

α+

ε

3, ∀ n≥ n1.

Prandaj,

‖ f‖2 supx>x0

|S[β ]n,a(1+ t2;x)(1+ x2)1+β

<‖ f‖2

(1+ x20)

α+

ε

3, ∀ n≥ n1.

Keshtu,

E2 +E3 <2‖ f‖2

(1+ x20)

α+

ε

3, ∀ n≥ n1.

Tani, nese zgjedhim x0 mjaft te madh te tille qe

‖ f‖2

(1+ x20)

α<

ε

6.

Atehere,

E2 +E3 <2ε

3, ∀ n≥ n1. (3.4.1)

Nga Teorema 3.4.1, ekziston n2 ∈ N i tille qe

E1 = ||S[β ]n,a( f )− f ||C[0,x0] <

ε

3, ∀ n≥ n2. (3.4.2)

Le te jete n0 =max(n1,n2). Atehere, me kombinimin e relacioneve (3.4.1) dhe (3.4.2) kemi

supx∈[0,∞)

|S[β ]n,a( f ;x)− f (x)|(1+ x2)1+α

< ε, ∀ n≥ n0.

Me kete kompletohet vertetimi i teoremes.Per f ∈ D∗2[0,∞), Ispir ne [65] perkufizoi modulin e vazhdueshmerise se funksionit f si nevijim

Ω( f ;δ ) = sup0≤|h|<δ ,x∈[0,∞)

| f (x+h)− f (x)|(1+h2)(1+ x2)

. (3.4.3)

Funksioni Ω( f ;δ ) ploteson vetite vijuese:

48

3.4. VETITE E PERAFRIMEVE ME PESHE

Leme 3.4.3. [65]. Per funksionin Ω( f ,δ ), kemi

(i) Ω( f ,δ ) eshte monotono rrites,

(ii) limδ→0+Ω( f ,δ ) = 0;

(iii) per cdo λ ∈ [0,∞) dhe δ > 0,Ω( f ,λδ )≤ 2(1+λ )(1+δ 2)Ω( f ,δ ).

Teorema ne vazhdim jep vleresimin e gabimit te perafrimit te operatoreve S[β ]n,a me anete Ω( f ,δ ).

Teoreme 3.4.4. Le te jete f ∈D∗2[0,∞), β = β (n)→ 0, kur n→∞ dhe limn→∞ nβ = l ∈R,atehere mund te gjendet konstanta C =C(l,a)> 0, e tille qe

supx∈[0,∞)

|S[β ]n,a( f ;x)− f (x)|(1+ x2)

52

≤CΩ( f ;n−12 ).

Vertetimi i teoremes behet ne menyre analoge sikur Teorema 2.4.1. Prandaj detajet poi leme anash.Ne vijim per 0 < r ≤ 1, klasa e funksioneve Lipschitz e dhene ne [59] perkufizohet me:

Lip∗M(r) :=

f ∈C[0,∞) : | f (t)− f (x)| ≤M f|t− x|r

(t + x)r2

; t ∈ (0,∞),x > 0,

per disa konstante M f > 0.

Teoreme 3.4.5. Le te jete f ∈ Lip∗M(r) dhe r ∈ (0,1]. Atehere per cdo x > 0, vlen:

|Sβn,a( f ;x)− f (x)| ≤M f

(δn(x)√

x

)r

.

Vertetim. Le te jete p,q > 1 : p = 2r dhe q = 2

2−r , atehere duke aplikuar mosbarazimine Holder-it, gjejme

|S[β ]n,a( f ;x)− f (x)| ≤ ∞

∑k=0

Θ(a)k (nx)

< b(β )n,k (t), | f (t)− f (x)| 2r >

< b(β )n,k (t),1 >

r2

≤ M f ∞

∑k=0

Θ(a)k (nx)

< b(β )n,k (t),(t−x)2

t+x >

< b(β )n,k (t),1 >

r2

≤M f

xr2

∞

∑k=0

Θ(a)k (nx)

< b(β )n,k (t),(t− x)2 >

< b(β )n,k (t),1 >

r2

≤ M f

(δn(x)√

x

)r

.

Me kete perfundon edhe vertetimi i teoremes.

49

3.5. MODULI I UNIFIKUAR I VAZHDUESHMERISE

3.5 Moduli i unifikuar i vazhdueshmeriseNe vijim shqyrtojme shpejtesine e konvergjences me anen e modulit te unifikuar te vazh-dueshmerise ωφ τ ( f , t),0 ≤ τ ≤ 1. Do te shfrytezojme modulin e unifikuar te perkufizuarnga Guo dhe te tjere ne [81]. Le te jete φ 2(x) = x(1+ x) dhe f ∈ CB[0,∞), hapesira e tegjitha funksioneve te kufizuara dhe te vazhdueshme ne [0,∞). Moduli ωφ τ ( f , t), 0≤ τ ≤ 1,jepet me

ωφ τ ( f , t) = sup0≤h≤t

supx± hφτ (x)

2 ∈[0,∞)

∣∣∣∣ f(x+hφ τ(x)

2

)− f(

x− hφ τ(x)2

)∣∣∣∣,dhe K-funksionali per te jepet me:

Kφ τ ( f , t) = infg∈Wτ

|| f −g||+ t||φ τg′||, (3.5.1)

ku, Wτ = g : g ∈ ACloc[0,∞),‖φ τg′‖ < ∞, dhe me ACloc[0,∞) perkufizojme hapesirene te gjitha funksioneve absolutisht te vazhdueshme ne [0,∞). Nga [98], mund te gjendetkonstanta M > 0 e tille qe

M−1ωφ τ ( f , t)≤ Kφ τ ( f , t)≤Mωφ τ ( f , t).

Teoreme 3.5.1. Le te jete f ∈CB[0,∞), atehere per n mjaft te madh kemi

|S[β ]n,a( f ;x)− f (x)| ≤Cωφ τ

(f ;

φ 1−τ(x)√n

),

ku C eshte konstante qe nuk varet nga f dhe n.

Vertetim. Le te jene x, τ pika te cfaredoshme te fiksuara. Atehere nga relacioni (3.5.1),rrjedh se ekziston g = gn,x,τ ∈Wτ i tille qe

‖ f −g‖+ φ 1−τ(x)√n‖φ τg′‖ ≤ 2Kφ τ

(f ;

φ 1−τ(x)√n

).

Mund te shkruajme

|S[β ]n,a( f ;x)− f (x)| ≤ |S[β ]n,a( f −g,x)|+ |S[β ]n,a(g;x)−g(x)|+ |g(x)− f (x)|

≤ 2‖ f −g‖+ |S[β ]n,a(g;x)−g(x)|. (3.5.2)

Meqenese g ∈Wτ , kemi

g(t) = g(x)+∫ t

xg′(u)du

atehere

|S[β ]n,a(g;x)−g(x)| ≤ S[β ]n,a

(∣∣∣∣∫ t

xg′(u)du

∣∣∣∣;x). (3.5.3)

50

3.5. MODULI I UNIFIKUAR I VAZHDUESHMERISE

Duke aplikuar mosbarazimin e Holder-it, kemi:∣∣∣∣∫ t

xg′(u)du

∣∣∣∣ ≤ ‖φ τg′‖∣∣∣∣∫ t

x

duφ τ(u)

∣∣∣∣≤ ‖φ τg′‖|t− x|1−τ

∣∣∣∣∫ t

x

duφ(u)

∣∣∣∣τ .Nga ana tjeter mund te shkruajme∣∣∣∣∫ t

x

duφ(u)

∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣∫ x

t

du√u

∣∣∣∣( 1√1+ x

+1√

1+ t

)= 2|

√t−√

x|(

1√1+ x

+1√

1+ t

)=

2|t− x|√t +√

x

(1√

1+ x+

1√1+ t

)≤ 2|t− x|√

x

(1√

1+ x+

1√1+ t

).

Keshtu duke aplikuar mosbarazimin |a+b|r ≤ |a|r + |b|r,0≤ r ≤ 1 kemi∣∣∣∣∫ t

xg′(u)du

∣∣∣∣ ≤ 2τ‖φ τg′‖|t− x|xτ/2

(1√

1+ x+

1√1+ t

)τ

≤ 2τ‖φ τg′‖|t− x|xτ/2

(1

(1+ x)τ/2 +1

(1+ t)τ/2

), (3.5.4)

Ne kete menyre, nga relacionet (3.5.3) dhe (3.5.4) dhe duke zbatuar mosbarazimin eCauchy-Schwarz-it, marrim

|S[β ]n,a(g;x)−g(x)| ≤ 2τ‖φ τg′‖xτ/2 S[β ]n,a

(|t− x|

(1

(1+ x)τ/2 +1

(1+ t)τ/2

);x)

≤ 2τ‖φ τg′‖xτ/2

(1

(1+ x)τ/2

√η[β ]n,a(x)+

√η[β ](x)n,a

√S[β ]n,a(1+ t)−τ ;x

).

Por,

S[β ]n,a((1+ t)−τ ;x)→ S[β ]n,a((1+ x)−τ ;x) kur n→ ∞.

Keshtu, per cdo ε > 0, ∃ n0 ∈ N, te tille qe

|S[β ]n,a((1+ t)−τ ;x)−S[β ]n,a((1+ x)−τ ;x)|< ε, ∀ n≥ n0,

vlene

|S[β ]n,a((1+ t)−τ ;x)− (1+ x)−τ |< ε, ∀ n≥ n0.

51

3.5. MODULI I UNIFIKUAR I VAZHDUESHMERISE

Le te jete ε = (1+ x)−τ > 0, atehere

|S[β ]n,a((1+ t)−τ ;x)|< 2(1+ x)−τ .

Duke aplikuar mosbarazimin e Cauchy-Schwarz-it, kemi√S[β ]n,a((1+ t)−τ ;x)< 2

12 (1+ x)

−τ

2 .

Per n mjaft te madh vlen:

|S[β ]n,a(g;x)−g(x)| ≤ 2τ ‖ φτg′ ‖C

√φ 2(x)

nφ−τ(x)+2

12 x−τ

2 (1+ x)−τ

2 . (3.5.5)

Prandaj, me kombinimin e relacioneve (3.5.2) dhe (3.5.5), gjejme

|S[β ]n,a( f ;x)− f (x)| ≤ 2‖ f −g‖+2τ+1‖φ τg′‖Cφ 1−τ(x)√n

≤ C‖ f −g‖+ φ 1−τ(x)√n‖φ τg′‖

≤ CKτφ

(f ;

φ 1−τ(x)√n

)≤ Cω

τφ

(f ;

φ 1−τ

√n

).

Prej nga, perfundon edhe vertetimi i teoremes.Ne vijim japim disa shembuj te ilustrimit grafik te konvergjences se operatoreve S[β ]n,a( f ;x)kah funksioni f (x) si dhe jepet vleresimi i gabimit te ketyre operatoreve per funksionin f .

Shembulli 3.5.2. Le te shqyrtojme funksionin f (x) = x2. Per n = 50,100,500, a = 2,dhe β = n

n4+1 konvergjenca e operatorit S[β ]n,a( f ;x) kah f unksioni f (x), eshte paraqitur neFiguren 3.1 (A). Per me teper, ne tabelen 3.1 kemi llogaritur vleresimin e gabimit te oper-atoreve (3.2.3) per funksionin f.

Shembulli 3.5.3. Per n = 50,100, dhe 500, a = 2,dheβ = n2+1n6+2 , konvergjenca e S[β ]n,a( f ;x)

kah f unksioni f (x) = x3− x2 + 14x eshte paraqitur ne Figure 3.1 (B). Ne fund, ne tabelen

kemi marre vleresimin e gabimit te operatorit S[β ]n,a( f ;x) per funksioni f.

Table 3.1: Vleresimi i gabimit te operatoreve (3.2.3) per funksionin f (x) = x2

x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1n = 500 0.0014 0.0028 0.0042 0.0056 0.0070 0.0084 0.0098 0.0112 0.0126 0.0140n = 100 0.0077 0.0147 0.0217 0.0287 0.0357 0.0427 0.0497 0.0567 0.0637 0.0707n = 50 0.0168 0.0308 0.0448 0.0588 0.0728 0.0868 0.1008 0.1148 0.1288 0.1428

52

3.6. SHPEJTESIA E KONVERGJENCES PER FUNKSIONET ME VARIACION TE KUFIZUAR

(a) (b)

Figure 3.1

Table 3.2: Vleresimi i gabimit te operatoreve (3.2.3) per funksionin f (x) = x3− x2 + 14x

x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1n = 500 0.0001 0.0006 0.0005 0.0002 0.0015 0.0034 0.0059 0.0091 0.0128 0.0172n = 100 0.0012 0.0036 0.0030 0.0007 0.0075 0.0175 0.0307 0.0470 0.0667 0.0896n = 50 0.0035 0.0084 0.0070 0.0008 0.0151 0.0361 0.0637 0.0983 0.1399 0.1887

3.6 Shpejtesia e konvergjences per funksionet me varia-cion te kufizuar

Ne vijim jepet shpejtesia e konvergjences se operatoreve S[β ]n,a(.;x) per funksionet qe kanederivatin me variacion te kufizuar ne [0,∞). Tregojme se ne piken x ku f ′(x+) dhe f ′(x−)ekzistojne, operatoret S[β ]n,a( f ;x) konvergjojne kah funksioni f (x). Le te jete DBV [0,∞)klasa e te gjithe funksioneve f ∈ D2[0,∞) qe kane derivatin me variacion te kufizuar necdo neninterval te fundem te [0,∞). Nje funksion i tille f ∈ DBV [0,∞) ka kete paraqitje:

f (x) =∫ x

0g(t)dt + f (0)

ku, g eshte nje funksion me variacion te kufizuar ne cdo neninterval te fundme te [0,∞).

Teoreme 3.6.1. Le te jete f ∈DBV [0,∞), β = β (n)→ 0, kur n→ ∞ dhe limn→∞ nβ = l ∈R. Nese x > 0 dhe n mjaft i madh, atehere kemi

|S[β ]n,a( f ;x)− f (x)| ≤ λ

∣∣∣∣ f ′(x+)+ f ′(x−)2

∣∣∣∣∣∣∣∣−lx+2n

∣∣∣∣+

∣∣∣∣ f ′(x+)− f ′(x−)2

∣∣∣∣+ | f ′(x+)|

N(l,a)(1+ x2)

n

1/2

53

3.6. SHPEJTESIA E KONVERGJENCES PER FUNKSIONET ME VARIACION TE KUFIZUAR

+N(l,a)(

1+ x2

nx2

)(| f (2x)− f (x)− x f ′(x+)|

)+

x√n

[√

n]

∑k=1

( x+ xk∨

x− xk

f ′x

)

+

(4M f x2 +M f + | f (x)|

)N(l,a)

(1+ x2

nx2

)+

x√n

( x+ x√n∨

x− x√n

f ′x

),

ku λ > 1,

f ′x(t) =

f ′(t)− f ′(x+), x < t ≤ ∞

0 , t = xf ′(t)− f ′(x−), 0≤ t < x.

,

∨ba( f ′(x)) eshte variacioni total i f ′x ne [a,b] dhe N(l,a) eshte konstante qe varet nga l dhe

a.

Vertetim. Per cdo f ∈ DBV [0,∞), provohet lehte se vlen

f ′(t) =12

(f ′(x+)+ f ′(x−)

)+ f ′x(t)+

12

(f ′(x+)− f ′(x−)

)sgn(t− x)

+δx(t)(

f ′(t)− 12

(f ′(x+)+ f ′(x−)

)), (3.6.1)

ku

δx(t) =

1 , t = x0 , t 6= x.

Zbatojme Lemen 3.2.3, kemi

S[β ]n,a( f ;x)− f (x) =∫

∞

0K[β ]

n,a(x, t) f (t)dt− f (x) =∫

∞

0( f (t)− f (x))K[β ]

n,a(x, t)dt

=∫ x

0( f (t)− f (x))K[β ]

n,a(x, t)dt +∫

∞

x( f (t)− f (x))K[β ]

n,a(x, t)dt

= −∫ x

0

(∫ x

tf ′(u)du

)K[β ]

n,a(x, t)dt +∫

∞

x

(∫ t

xf ′(u)du

)K[β ]

n,a(x, t)dt

= I1(x)+ I2(x), say.

Duke shfrytezuar relacionin (3.6.1), fitojme

I1(x) = −∫ x

0

∫ x

t

(12( f ′(x+)+ f ′(x−))+ f ′x(u)+

12( f ′(x+)− f ′(x−))sgn(u− x)

+δx(u)(

f ′(u)− 12( f ′(x+)+ f ′(x−))

))duK[β ]

n,a(x, t)dt.

Meqenese∫ t

x (δx(u))du = 0, kemi

I1(x) =12

(f ′(x+)+ f ′(x−)

)∫ x

0(t− x)K[β ]

n,a(x, t)dt−∫ x

0

(∫ x

tf ′x(u)du

)K[β ]

n,a(x, t)dt

54

3.6. SHPEJTESIA E KONVERGJENCES PER FUNKSIONET ME VARIACION TE KUFIZUAR

+12

(f ′(x+)− f ′(x−)

)∫ x

0(x− t)K[β ]

n,a(x, t)dt. (3.6.2)

Me procedura te ngjashme, mund te gjejme se

I2(x) =12

(f ′(x+)+ f ′(x−)

)∫∞

x(t− x)K[β ]

n,a(x, t)dt +∫

∞

x

(∫ t

xf ′x(u)du

)K[β ]

n,a(x, t)dt

+12

(f ′(x+)− f ′(x−)

)∫∞

x(t− x)K[β ]

n,a(x, t)dt. (3.6.3)

Nga kombinimi i relacioneve (3.6.2) dhe (3.6.3), kemi

S[β ]n,a( f ;x)− f (x) =12

(f ′(x+)+ f ′(x−)

)∫∞

0(t− x)K[β ]

n,a(x, t)dt

+12

(f ′(x+)− f ′(x−)

)∫∞

0|t− x|K[β ]

n,a(x, t)dt

−∫ x

0

(∫ x

tf ′x(u)du

)K[β ]

n,a(x, t)dt +∫

∞

x

(∫ t

xf ′x(u)du

)K[β ]

n,a(x, t)dt.

Keshtu

|S[β ]n,a( f ;x)− f (x)| ≤∣∣∣∣ f ′(x+)+ f ′(x−)

2

∣∣∣∣|S[β ]n,a(t−x;x)|+∣∣∣∣ f ′(x+)− f ′(x−)

2

∣∣∣∣S[β ]n,a(|t−x|;x)

+

∣∣∣∣∫ x

0

(∫ x

tf ′x(u)du

)K[β ]

n,a(x, t)dt∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∫ ∞

x

(∫ t

xf ′x(u)du

)K[β ]

n,a(x, t)dt∣∣∣∣. (3.6.4)

Tani, le te jete

A[β ]n,a( f ′x,x) =

∫ x

0

(∫ x

tf ′x(u)du

)K[β ]

n,a(x, t)dt,

dhe

B[β ]n,a( f ′x,x) =

∫∞

x

(∫ t

xf ′x(u)du

)K[β ]

n,a(x, t)dt.

Ne kete menyre, ne duhet te vleresojme A[β ]n,a( f ′x,x) dhe B[β ]

n,a( f ′x,x). Nga perkufizimi i ξ[β ]n,a ( f ′x,x)

i dhene ne Lemen 3.3.1, duke aplikuar integrimin ne pjese, mund te shkruajme

A[β ]n,a( f ′x,x) =

∫ x

0

(∫ x

tf ′x(u)du

)dt(ξ

[β ]n,a (x, t)) =

∫ x

0f ′x(t)ξ

[β ]n,a (x, t)dt.

Keshtu,

|A[β ]n,a( f ′x,x)≤

∫ x

0| f ′x(t)|ξ

[β ]n,a (x, t)dt ≤

∫ x− x√n

0| f ′x(t)|ξ

[β ]n,a (x, t)dt +

∫ x

x− x√n

| f ′x(t)|ξ[β ]n,a (x, t)dt.

55

3.6. SHPEJTESIA E KONVERGJENCES PER FUNKSIONET ME VARIACION TE KUFIZUAR

Meqenese f ′x(x) = 0 dhe ξ[β ]n,a (x, t)≤ 1, kemi∫ x

x− x√n

| f ′x(t)|ξ[β ]n,a (x, t)dt =

∫ x

x− x√n

| f ′x(t)− f ′x(x)|ξ[β ]n,a (x, t)dt

≤∫ x

x− x√n

( x∨t

f ′x

)dt ≤

( x∨x− x√

n

f ′x

)(∫ x

x− x√n

dt)

=x√n

( x∨x− x√

n

f ′x

).

Duke shfrytezuar Lemen 3.2.3 dhe duke marre ne konsiderim se t = x− xu , kemi

∫ x− x√n

0| f ′x(t)|ξ

[β ]n,a (x, t)dt ≤ N(l,a)

(1+ x2

n

)∫ x− x√n

0| f ′x(t)|

dt(x− t)2

≤ N(l,a)(

1+ x2

n

)∫ x− x√n

0

( x∨t

f ′x

)dt

(x− t)2

= N(l,a)(

1+ x2

nx

)∫ √n

1

( x∨x− x

u

f ′x

)du≤ N(l,a)

(1+ x2

nx

) [√

n]

∑k=1

( x∨x− x

k

f ′x

).

Prandaj,

|A[β ]n,a( f ′x,x)| ≤ N(l,a)

(1+ x2

nx

) [√

n]

∑k=1

( x∨x− x

k

f ′x

)+

x√n

( x∨x− x√

n

f ′x

). (3.6.5)

Perseri duke aplikuar integrimin ne pjese per B[β ]n,a( f ′x,x) dhe pastaj duke pasur parasysh

Lemen 3.2.3, fitojme

|B[β ]n,a( f ′x,x)| ≤

∣∣∣∣∫ 2x

x

(∫ t

xf ′x(u)du

)∂

∂ t(1−ξ

[β ]n,a (x, t))dt

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∫ ∞

2x

(∫ t

xf ′x(u)du

)K[β ]

n,a(x, t)dt∣∣∣∣

≤∣∣∣∣∫ 2x

xf ′x(u)du

∣∣∣∣|1−ξ[β ]n,a (x,2x)|+

∫ 2x

x| f ′x(t)|(1−ξ

[β ]n,a (x, t))dt

+

∣∣∣∣∫ ∞

2x( f (t)− f (x))K[β ]

n,a(x, t)dt∣∣∣∣+ | f ′(x+)|

∣∣∣∣∫ ∞

2x(t− x)K[β ]

n,a(x, t)dt∣∣∣∣.

Nga ana tjeter, kemi

∫ 2x

x| f ′x(t)|(1−ξ

[β ]n,a (x, t))dt =

∫ x+ x√n

x| f ′x(t)|(1−ξ

[β ]n,a (x, t))dt

+∫ 2x

x+ x√n

| f ′x(t)|(1−ξ[β ]n,a (x, t))dt = J1 + J2 (respektivisht). (3.6.6)

56

3.6. SHPEJTESIA E KONVERGJENCES PER FUNKSIONET ME VARIACION TE KUFIZUAR

Meqenese f ′x(x) = 0 dhe ξ[β ]n,a (x, t)≤ 1, fitojme

J1 ≤x√n

( x+ x√n∨

xf ′x

).

Nga Lema 3.2.3 dhe duke marre ne konsiderim se t = x+ xu , fitojme

J2 ≤ N(l,a)(

1+ x2

n

)∫ 2x

x+ x√n

| f ′x(t)− f ′x(x)|dt

(t− x)2

≤ N(l,a)(

1+ x2

n

)∫ 2x

x+ x√n

( t∨x

f ′x

)dt

(t− x)2 = N(l,a)(

1+ x2

nx

)∫ √n

1

( x+ xu∨

xf ′x

)du

≤ N(l,a)(

1+ x2

nx

) [√

n]

∑k=1

∫ k+1

k

( x+ xu∨

xf ′x

)du≤ N(l,a)

(1+ x2

nx

) [√

n]

∑k=1

( x+ xk∨

xf ′x

).

Duke i zevendesuar vlerat e J1 dhe J2 ne (3.6.6), gjejme

∫ 2x

x| f ′x(t)|(1−ξ

[β ]n,a (x, t))dt ≤ x√

n

( x+ x√n∨

xf ′x

)+N(l,a)

(1+ x2

nx

) [√

n]

∑k=1

( x+ xk∨

xf ′x

).

Ne kete menyre,

|B[β ]n,a( f ′x,x)| ≤ M f

∫∞

2x(t2 +1)K[β ]

n,a(x, t)dt + | f (x)|∫

∞

2xK[β ]

n,a(x, t)dt

+ | f ′(x+)|

√N(l,a)

(1+ x2

n

)+N(l,a)

(1+ x2

nx2

)| f (2x)− f (x)− x f ′(x+)|

+x√n

( x+ x√n∨

xf ′x

)+N(l,a)

(1+ x2

nx

) [√

n]

∑k=1

( x+ xk∨

xf ′x

). (3.6.7)

Per t ≥ 2x, ne baze te mosbarazimeve t ≤ 2(t− x) dhe x≤ t− x, marrimM f∫

∞

2x(t2 +1)K[β ]

n,a(x, t)dt + | f (x)|∫

∞

2x K[β ]n,a(x, t)dt

≤ (M f + | f (x)|)∫

∞

2xK[β ]

n,a(x, t)dt +4M f

∫∞

2x(t− x)2K[β ]

n,a(x, t)dt

≤M f + | f (x)|

x2

∫∞

0(t− x)2K[β ]

n,a(x, t)dt +4M f

∫∞

0(t− x)2K[β ]

n,a(x, t)dt

≤(

4M f +M f + | f (x)|

x2

)N(l,a)

(1+ x2

n

). (3.6.8)

Me kombinimin e relacioneve (3.6.7)-(3.6.8), rrjedh

|B[β ]n,a( f ′x,x)| ≤

(4M f +

M f + | f (x)|x2

)N(l,a)

(1+ x2

n

)57

3.6. SHPEJTESIA E KONVERGJENCES PER FUNKSIONET ME VARIACION TE KUFIZUAR

+ | f ′(x+)|

√N(l,a)

(1+ x2

n

)+N(l,a)

(1+ x2

nx2

)| f (2x)− f (x)− x f ′(x+)|

+x√n

( x+ x√n∨

xf ′x

)+N(l,a)

(1+ x2

nx

) [√

n]

∑k=1

( x+ xk∨

xf ′x

). (3.6.9)

Tani nga (3.6.4), (3.6.5) dhe (3.6.9), menjehere rrjedh vertetimi i teoremes.Shembulli ne vijim tregon shpejtesine e konvergjences se operatoreve kah funksioni i cilieshte me variacion te kufizuar.

Shembulli 3.6.2. Le te jete a = 2, β = n2

n3+1 , dhe funksioni f : [0,1]→ R, i perkufizuar me

f (x) =

x2 · sin

(1x

)nese x 6= 0

0 nese x = 0.

Funksioni f eshte i diferencueshem dhe me variacion te kufizuar ne [0,1]. Per n = 50,100,dhe 200, konvergjenca e operatoreve S[β ]n,a( f ;x) tek f (x) eshte paraqitur ne Figuren 3.2. Nefund, ne Tabelen 3.3 kemi marre vleresimin e gabimit te operatoreve (3.2.3) per funksioninf .

Figure 3.2

Table 3.3: Vleresimi i gabimit te operatoreve (3.2.3) per funksionin f .

x 0.01 0.11 0.21 0.31 0.41 0.51 0.61 0.71 0.81 0.91n = 200 0.0001 0.0042 0.0187 0.0238 0.0144 0.0094 0.0070 0.0058 0.0050 0.0044n = 100 0.0001 0.0087 0.0314 0.0446 0.0295 0.0195 0.0145 0.0118 0.0101 0.0088n = 50 0.0001 0.0092 0.0543 0.0789 0.0587 0.0411 0.0306 0.0245 0.0207 0.0180

58

Kapitulli 4

4.1 Perafrimet me ane te operatoreve te tipit Chlodowsky-Szasz-Kantorovich-Charlier per funksionin me dy vari-abla

Ne kete kapitull jane perkufizuar operatoret e tipit Kantorovich si kombinim i operatorevete Szasz-it dhe Chlodowsky-it, duke u bazuar ne polinomet e Charlier-it. Pastaj, jane studi-uar vetite e perafrimeve lokale per keta operatore. Po ashtu, eshte vleresuar shpejtesiae konvergjences ne terma te moduleve te pjeseshme se vazhdueshmerise, si dhe PeetreK-funksioneles. Per me teper, eshte dhene lidhja e ketyre operatoreve me GBS (Gener-alized Boolean Sum) operatoret si dhe eshte studiuar shpejtesia e perafrimit me anen eklases Lipschitz-it, per funksionet e vazhdueshme sipas Bogel-it. Ne fund, jane dhene disashembuj te ilustrimit grafik me anen e te cileve shihet shpejtesia e konvergjences se ketyreoperatoreve ne shqyrtim.

4.2 Konstruktimi i operatoreve te tipit Chlodowsky-Szasz-Kantorovich-Charlier per funksionin me dy ndryshore

Ne [94], Varma dhe Tasdelen bene lidhjen ndermjet polinomeve ortogonale dhe operatorevelineare pozitive. Ata perkufizuan nje tip te ri te operatoreve si kombinim te operatoreve tetipit Szasz-it dhe polinomeve te Charlier-it si ne vijim

Ln( f ;x,a) =∞

∑k=0

Πn,k(nx,a) f(

kn

),

ku Πn,k(nx,a) = e−1 (1− 1a

)(a−1)nx C(a)j (−(a−1)nx

k! , a> 1 dhe x∈ [0,∞). Disa gjeneralizime teoperatoreve te tipit Szasz, duke u bazuar ne polinomet e Charlier, jane studiuar ne [5, 6, 7].

Po ashtu, jane bere shume gjeneralizime per operatoret e Bernstein-Chlodowsky-it:

Bn( f ;x) =n

∑k=0

pn,k

(xan

)f(

kn

an

)

59

4.2. KONSTRUKTIMI I OPERATOREVE TE TIPITCHLODOWSKY-SZASZ-KANTOROVICH-CHARLIER PER FUNKSIONIN ME DY NDRYSHORE

ku pn,k

(xan

)=(n

k

)( xan

)k(1− x

an

)n−k, 0≤ x≤ an dhe (an) varg i numrave pozitive te tille

qe limn→∞

an = ∞ and limn→∞

ann = 0.

Agrawal dhe Ispir ne [73] perkufizuan operatoret e tipit Szasz-Chlodowsky-Charlier me

Sm( f ;x,a) =∞

∑j=0

Πm, j(bmy,a) f(

jcm

);a > 1

ku (bm),(cm) jane vargje te numrave pozitive te tille qe cm≥ 1, bm≥ 1 dhe limn→∞(1/cm)=0,bm/cm = 1+O(1/cm). Ne vecanti, Agrawal dhe Ispir [73] perkufizuan rastin dydimen-sional per keta operatore si kombinim te operatoreve te tipit Bernstein-Chlodowsky dheSzasz-Charlier si me poshte:

San,m( f ;x,y) =

n

∑k=0

∞

∑j=0

pn,k

(xan

)Πm, j(bmy,a) f

(kn

an,j

cn

)(4.2.1)

ku n,m ∈N, f ∈C(In), Ian =(x,y) : 0≤ x≤ an,y≥ 0

dhe C(Ian) =

f : Ian →R+ eshte

i vazhdueshem. Perafrimet e funksioneve me peshe per rastin dydimensional me ane te

operatoreve te modifikuar te Szasz-it, jane studiuar ne [16, 58, 67].Qellimi i ketij paragrafi eshte shqyrtimi i operatoreve te perkufizuar ne [25], qe jane

kombinim i operatoreve te tipit Kantorovich dhe operatoreve te dhene ne (4.2.1) si ne vijim:

Can,m( f ;x,y) =

nan

cm

n

∑k=0

∞

∑j=0

pn,k

(xan

)Πm, j(bmy,a)

j+1cm∫j

cm

k+1n an∫

kn an

f (t,s)dtds (4.2.2)

ku a > 1, dhe vargjet (an), (bm),(cm) jane te perkufizuara si me poshte:

limn→∞

(an/n) = 0 and limm→∞

(1/cm) = 0, bm/cm = 1+O(1/cm). (4.2.3)

Ne vazhdim, do te shqyrtojme perafrimin e operatoreve Can,m te dhene ne (4.2.2) ne

hapesiren e funksioneve te vazhdueshme ne bashkesine kompakte Ide = [0,d]× [0,e]⊂ Ian.Per Ide = [0,d]× [0,e], le te jete C(Ide), hapesira e te gjithe funksioneve me vlera reale neIde, te pajisur me normen ‖ f ‖C(Ide)= sup

(x,y)∈Ide

| f (x,y)|.

Le te jete ei j : Ian → R, ei j(x,y) = xiy j, test-funksion, ku (x,y) ∈ Ian, (i, j) ∈ N0×N0

te tille qe i+ j ≤ 4.Per te vertetuar rezultatet kryesore te ketij kapitulli marrim:

Leme 4.2.1. [25] Vlejne relacionet vijuese:

(i) Can,m(e00;x,y) = 1;

(ii) Can,m(e10;x,y) = x+ an

2n ;

(iii) Can,m(e01;x,y) = bmy

cm+ 3

2cm;

60

4.2. KONSTRUKTIMI I OPERATOREVE TE TIPITCHLODOWSKY-SZASZ-KANTOROVICH-CHARLIER PER FUNKSIONIN ME DY NDRYSHORE

(iv) Can,m(e20;x,y) =

(1− 1

n

)x2 +2an

n x+ a2n

3n2 ;

(v) Can,m(e02;x,y) = b2

my2

c2m

+ bmyc2

m+ 10

3c2m

;

(vi) Can,m(e03;x,y) = b3

my3

c3m

+b2

my2

c3m

(15+ 6

a−1

)+ bmy

2c3m

(31+ 15

a−1 +4

(a−1)2

)+ 37

4c3m

;

(vii) Can,m(e04;x,y) = b4

my4

c4m

+b3

my3

2c4m

(12+ 6

a−1

)+

b2my2

c4m

(45+ 36

a−1 +36

(a−1)2

)+bmy

c4m

(64+ 45

a−1 +24

(a−1)2 +6

(a−1)3

)+ 151

5c4m.

Rrjedhim 4.2.2. [25] Nga lineariteti i operatoreve Can,m, si dhe duke zbatuar Lemen 4.2.1,

kemi

Can,m((e10− x)2;x,y

)=

x(an− x)n

+a2

n3n2 ;

Can,m((e01− y)2;x,y

)=

(bm

cm−1)2

y2 +

(bm

c2m

(4+

1a−1

)− 3

cm

)y+

103c2

m.

Keshtu, per cdo (x,y) ∈ Ian , dhe per n dhe m mjaft te medha, duke marre ne konsiderimLemen 4.2.1, Rrjedhimin 4.2.2, si dhe relacionin (4.2.3), mund te shkruajme

Can,m((e10− x)2;x,y

)= O

(an

n

)(

2

∑i=0

xi); (4.2.4)

Can,m((e10− x)4;x,y

)= O

(an

n

)(

4

∑i=0

xi); (4.2.5)

dhe

Can,m((e10− y)2;x,y

)≤ τ(a)

cm(

2

∑i=0

yi); (4.2.6)

Can,m((e10− y)4;x,y

)≤ ω(a)

cm(

4

∑i=0

yi); (4.2.7)

ku τ(a) dhe ω(a) jane konstante qe nuk varen nga a > 1. Per (x,y)∈ Ide dhe nga relacionet(4.2.4) dhe (4.2.6) mund te shkruajme

Can,m((e10− x)2;x,y

)≤ an(x2 + x)

n+

a2n

3n2 ≤an(d2 +d)

n+

a2n

n+

a2n

3n2 = ρ(d)an

n(4.2.8)

Can,m((e10− y)2;x,y

)≤ τ(a)

cm(y2 + y+1)≤ τ(a)

cm(b2 +b+1) =

γ(a)cm

(4.2.9)

ku ρ(d) eshte konstante qe varet nga d dhe γ(a) eshte konstante qe varet nga a > 1.Ne vecanti, le te jete δn(x) = Ca

n,m

((e10 − x)2;x,y

), δm(y) = Ca

n,m((e01− y)2;x,y

)dhe

δn,m(x,y) =(

O(an

n

)(

2∑

i=0xi)+ τ(a)

cm(

2∑

i=0yi))1/2

.

61

4.2. KONSTRUKTIMI I OPERATOREVE TE TIPITCHLODOWSKY-SZASZ-KANTOROVICH-CHARLIER PER FUNKSIONIN ME DY NDRYSHORE

Perkufizim 4.2.3. ([3]) Per f ∈C(Ide) dhe δ > 0, moduli i vazhdueshmerise se funksionitf (x,y) perkufizohet me shprehjen:

ω( f ;δn,δm) = sup| f (t,s)− f (x,y)| : (t,s),(x,y) ∈ Ide, |t− x| ≤ δn, |s− y| ≤ δm,

kurse modulet e pjeseshme ne lidhje me x dhe y jepen me relacionet:

ω(1)( f ;δ ) = sup

0≤y≤esup

|x1−x2|≤δ

| f (x1,y)− f (x2,y)| ,

ω(2)( f ;δ ) = sup

0≤x≤dsup

|y1−y2|≤δ

| f (x,y1)− f (x,y2)| .

Perkufizim 4.2.4. ([90]) Per f ∈ C(Ide) dhe δ > 0, Peetre K-funksionali dhe moduli irendit te dyte te lemueshmerise se funksionit f perkufizohen me infimumin:

K( f ;δ ) = infg∈C2(Ide)

∥∥∥ f −g∥∥∥

C(Ide)+δ

∥∥∥g∥∥∥

C2(Ide)

,

dhe suprimumin:ω2( f ;δ ) = sup√

t2+s2≤δ

∥∥∥∆2t,s f (x,y)

∥∥∥,respektivisht, ku ∆2

t,s f (x,y) =2∑j=0

(−1)2− j(2j

)f (x+ jt,y+ js). Ne kete rast, C2(Ide) eshte

hapesira e te gjitha funksioneve f te tilla qe∂ i f∂xi ,

∂ i f∂yi ∈C(Ide), (i = 1,2).

Norma ne hapesiren C2(Ide) perkufizohet me

‖ f ‖C2(Ide)=‖ f ‖C(Ide) +

2

∑i=1

∥∥∥∥∥∂ i f∂xi

∥∥∥∥∥C(Ide)

+

∥∥∥∥∥∂ i f∂yi

∥∥∥∥∥C(Ide)

.

Nga ([71], faqe 192) ekziston konstanta pozitive, e pavarur nga δ dhe f e tille qe

K( f ;δ )≤ L

ω2( f ;δ )+min(1,δ )‖ f‖C(Ide)

.

Per te studiuar konvergjencen e vargut operatoreve

Can,m( f ;x,y)

do te zbatojme teoremen

e tipit Korovkin, te dhene nga Volkov [95].

Teoreme 4.2.1. [25] Ne qofte se f ∈C(Ide), atehere vargu i operatoreve Can,m i dhene me

relacionin (4.2.2) konvergjon uniformisht kah funksioni f ne bashkesine kompakte Ide, kurn,m→ ∞.

Vertetim. Duke u bazuar ne Lemen 4.2.1, dhe duke pasur parasysh relacionin (4.2.2),gjejme

limn,m→∞

∥∥∥Can,m(ei j;x,y)− ei j

∥∥∥C(Ide)

= 0, i, j = 0,1,2,

62

4.2. KONSTRUKTIMI I OPERATOREVE TE TIPITCHLODOWSKY-SZASZ-KANTOROVICH-CHARLIER PER FUNKSIONIN ME DY NDRYSHORE

dhelim

n,m→∞

∥∥∥Can,m(e20 + e02;x,y)− e20 + e02

∥∥∥C(Ide)

= 0.

Vertetimi i teoremes kompletohet me zbatimin e teoremes Volkov te dhene ne punimin[95]. Ne vijim japim disa shembuj te ilustrimit grafik te konvergjences se operatoreveCa

n,m( f ;x,y) kah funksioni f (x,y).

Shembulli 4.2.5. Le te marrim ne shqyrtim funksionin f : R2→ R, te dhenen me f (x,y) =xy2e−y−x2

. Per n =m = 50, dhe a = 2, an =√

n, bm =m, cm =m+ 1√m konvergjenca e op-

eratoreve Chlodowsky-Szasz-Kantorovich-Charlier Can,m( f ;x,y) (ngjyra e zeze) kah funk-

sioni f (x,y) (ngjyra e gjelber), eshte ilustruar ne figuren a).

Shembulli 4.2.6. Le te marrim ne shqyrtim funksionin f : R2→R te perkufizuar me f (x,y)=x2excos(πy). Per n = m = 50, dhe a = 2, an =

√n, bm = m, cm = m+ 1√

m konvergjencae operatoreve Chlodowsky-Szasz-Kantorovich-Charlier Ca

n,m( f ;x,y) (ngjyra e zeze) kahfunksioni f (x,y) (ngjyra e gjelber), eshte ilustruar ne figuren b).

(a) (b)

Ne vijim shqyrtojme, teoremen mbi perafrimin e operatoreve te perkufizuar ne (4.2.2) kahfunksioni f , me anen e modulit te vazhdueshmerise se funksionit.

Teoreme 4.2.2. [25] Le te jete f ∈C(Ide), atehere vlejne mosbarazite vijuese:∣∣∣Can,m( f ;x,y)− f (x,y)

∣∣∣≤ 2(ω

(1)( f ;δn)+ω(2)( f ;δm)

)∣∣∣Ca

n,m( f ;x,y)− f (x,y)∣∣∣≤ 2ω( f ;δn,m)

ku δn = δn(x), δm = δm(y) dhe δn,m = δn,m(x,y).

Vertetim. Nga relacioni (4.2.2), duke shfrytezuar Lemen 4.2.1 si dhe perkufizimin emodulit te pjesshem te vazhdueshmerise se funksionit f (x,y), mund te shkruajme

63

4.2. KONSTRUKTIMI I OPERATOREVE TE TIPITCHLODOWSKY-SZASZ-KANTOROVICH-CHARLIER PER FUNKSIONIN ME DY NDRYSHORE

∣∣∣Can,m( f ;x,y)− f (x,y)

∣∣∣≤Can,m

(| f (t,s)− f (x,y)|;x,y

)≤Ca

n,m

(| f (t,s)− f (x,s)|;x,y

)+Ca

n,m

(| f (x,s)− f (x,y)|;x,y

)≤Ca

n,m

(ω

(1)( f ; |t− x|);x,y)+Ca

n,m

(ω

(2)( f ; |s− y|);x,y)

≤ ω(1)( f ;δn)

(1+δ

−1n Ca

n,m(|t− x|;x,y))+ω

(2)( f ;δm)(1+δ

−1m Ca

n,m(|s− y|;x,y)).

Ne kete menyre, duke aplikuar mosbarazimin Cauchy-Schwarz-it, ne mosbarazimin e mesiperm,fitojme∣∣∣Ca

n,m( f ;x,y)− f (x,y)∣∣∣≤ ω

(1)( f ;δn)

(1+

1δn

Ca

n,m((e10− x)2;x,y)1/2

)+ω

(2)( f ;δm)

(1+

1δn

Ca

n,m((e01− y)2;x,y)1/2

).

Ne fund, per (x,y) ∈ Ide, duke marre δn = δn(x) dhe δm = δm(x), menjehere vijme tevertetimi i teoremes.

Vertetojme pjesen e dyte te teoremes. Ne baze te relacioneve (4.2.3) dhe (4.2.5) si dhevetive te njohura te modulit te vazhdueshmerise, kemi

∣∣∣Can,m( f ;x,y)− f (x,y)

∣∣∣≤Can,m

(ω( f ;

√(t− x)2 +(s− y)2;x,y)

)

≤ ω( f ;δn,m)

(1+

1δn,m

Can,m(√(t− x)2 +(s− y)2;x,y)

).

Aplikojme serish mosbarazimin Cauchy-Schwarz-it dhe marrim mosbarazimin vijues:

∣∣∣Can,m( f ;x,y)− f (x,y)

∣∣∣≤ ω( f ;δn,m)

(1+

1δn,m

(Ca

n,m((t− x)2 +(s− y)2;x,y)

)1/2)

≤ ω( f ;δn,m)

(1+

1δn,m

(O(an

n

)(

2

∑i=0

xi)+τ(a)cm

(2

∑i=0

yi)

)1/2).

Duke marre δn,m =

(O(an

n

)(∑2

i=0 xi)+ τ(a)cm

(∑2i=0 yi)

)1/2

, menjehere vijme deri te vertetimi

i teoremes.Ne vijim perkufizojme klasen e funksioneve Lipschitz, per rastin e funksionit me dy vari-abla. Per 0 < γ1 ≤ 1 dhe 0 < γ2 ≤ 1 le te jete

LipL( f ;γ1,γ2) = f : | f (t,s)− f (x,y)| ≤ L|t− x|γ1|s− y|γ2

ku (t,s),(x,y) ∈ Ide.

64

4.2. KONSTRUKTIMI I OPERATOREVE TE TIPITCHLODOWSKY-SZASZ-KANTOROVICH-CHARLIER PER FUNKSIONIN ME DY NDRYSHORE

Teoreme 4.2.3. [25] Supozojme se f ∈ LipL( f ;γ1,γ2). Atehere, per cdo (x,y) ∈ Ide, kemi∣∣∣Can,m( f ;x,y)− f (x,y)

∣∣∣≤ L(δn)γ1/2(δm)

γ2/2,

ku δn = δn(x) dhe δm = δm(y).

Vertetim. Duke pasur parasysh se f ∈ LipL( f ;γ1,γ2), nga lineariteti dhe monotonia eoperatorit Ca

n,m( f ;x,y), kemi∣∣∣Can,m( f ;x,y)− f (x,y)

∣∣∣≤Can,m(| f (t,s)− f (x,y)|;x,y)

≤ LCan,m (|t− x|γ1 |s− y|γ2;x,y)

≤ L ·x C∗n |t− x|γ1;x,y) ∗ySam (|s− y|γ2;x,y) .

Per (u1,v1) =

(2γ1, 2

1−γ1

)dhe (u2,v2) =

(2γ2, 2

1−γ2

), aplikojme mosbarazimin e Holder-it,

dhe fitojme∣∣∣Can,m( f ;x,y)− f (x,y)

∣∣∣≤L(

xC∗n((t−x)2;x;y)

)γ1/2(yS∗n(s−y)2;x;y)

)γ2/2

≤ (δn)γ1/2(δm)

γ2/2,

prej nga rrjedh edhe vertetimi i teoremes.

Teoreme 4.2.4. [25] Le te jete f ∈C(Ide). Marrim ne konsiderim operatorin e modifikuar

Can,m( f ;x,y) =Ca

n,m( f ;x,y)+ f (x,y)− f(

x+an

2n,bmycm

+3

2cm

). (4.2.10)

Atehere, per cdo g ∈C2(Ide), marrim vleresimin

|Can,m( f ;x,y)− f (x,y)| ≤ L

ω2(

f ;√

χn,m(x,y))

+min1,χn,m(x,y) ‖ f ‖C(Ide)

+ω

(f ;√( an

2n)2 +(bmy

cm+ 3

2cm− y)2

),

ku χn,m(x,y) = O(an

n

)(x2 + x+1)+( an

2n)2 + τ(a)

cm(y2 + y+1)+ ((bm−cm)y+3)2

c2m

.

Vertetim. Nga relacioni (4.2.10) dhe nga Lema 4.2.1, kemi Can,m(1;x,y) = 1, Ca

n,m(u−x;x,y) = 0, dhe Ca

n,m(v−y;x,y) = 0. Nga zberthimi i Taylor-it, per funksionin g ∈C2(Ide),mund te shkruajme:

g(u,v)−g(x,y) =∂g(x,y)

∂x(u− x)+

u∫x

(u−η)∂ 2g(η ,y)

∂η2 dη

+∂g(x,y)

∂y(v− y)+

v∫y

(v−ζ )∂ 2g(x,ζ )

∂ζ 2 dζ . (4.2.11)

65

4.2. KONSTRUKTIMI I OPERATOREVE TE TIPITCHLODOWSKY-SZASZ-KANTOROVICH-CHARLIER PER FUNKSIONIN ME DY NDRYSHORE

Duke aplikuar operatorin Can,m( f ;x,y) ne te dy anet e barazimit te mesiperm si dhe duke

shfrytezuar Lemen 4.2.1 marrim

Can,m(g(u,v);x,y)−g(x,y) = Ca

n,m

u∫x

(u−η)∂ 2g(η ,y)

∂η2 dη ;x,y

+Ca

n,m

v∫y

(v−ζ )∂ 2g(x,ζ )

∂ζ 2 dζ ;x,y)

=Ca

n,m

u∫x

(u−η)∂ 2g(η ,y)

∂η2 dη ;x,y)

− x+ an2n∫

x

(x+an

2n−η)

∂ 2g(x,η)

∂η2 dη

+Can,m

v∫y

(v−ζ )∂ 2g(ζ ,x)

∂ζ 2 dζ ;x,y)

−bmycm + 3

2cm∫y

(bmycm

+3

2cm−ζ )

∂ 2g(x,ζ )∂ζ 2 dζ .

Ne ana tjeter, meqenese∣∣∣∣ u∫x(u−η)∂ 2g(η ,y)

∂η2 dη

∣∣∣∣≤ ∣∣∣∣ u∫x|(u−η)|

∣∣∣∂ 2g(η ,y)∂η2

∣∣∣dη

∣∣∣∣≤‖ g ‖C2(Ide)

∣∣∣∣ u∫x|u−η |

∣∣∣∂ 2g(η ,y)∂η2

∣∣∣dη

∣∣∣∣≤‖ g ‖C2(Ide)(u− x)2,

dhe ∣∣∣∣∣x+an2n∫

x(x+ an

2n −η)∂ 2g(η ,y)∂η2 dη

∣∣∣∣∣≤ ( an2n)

2 ‖ g ‖C2(Ide),

ne menyre te ngjashme∣∣∣∣∣ v∫y(v−ζ )∂ 2g(x,ζ )

∂ζ 2 dζ

∣∣∣∣∣≤‖ g ‖C2(Ide)(v− y)2,

dhe ∣∣∣∣∣∣bmycm + 3

2cm∫y

(bmycm

+ 32cm−ζ )∂ 2g(x,ζ )

∂ζ 2 dζ

∣∣∣∣∣∣≤ (bmycm

+ 32cm− y)2 ‖ g ‖C2(Ide)

,

perfundojme se

∣∣Can,m (g;x,y)−g(x,y))

∣∣≤Can,m

∣∣∣∣∣∣u∫

x

(u−η)∂ 2g(η ,y)

∂η2 dη

∣∣∣∣∣∣ ;x,y)

+

∣∣∣∣∣∣∣x+ an

2n∫x

(x+an

2n−η)

∂ 2g(x,η)

∂η2 dη

∣∣∣∣∣∣∣+Can,m

∣∣∣∣∣∣v∫

y

(v−ζ )∂ 2g(x,ζ )

∂ζ 2 dζ

∣∣∣∣∣∣ ;x,y

66

4.3. PERAFRIMET NE HAPESIREN E FUNKSIONEVE TE VAZHDUESHME SIPAS BOGEL-IT

+

∣∣∣∣∣∣∣∣bmycm + 3

2cm∫y

(bmycm

+3

2cm−ζ )

∂ 2g(x,ζ )∂ζ 2 dζ

∣∣∣∣∣∣∣∣≤

xC∗n

((u− x)2;x,y)+

(an

2n

)2)‖ g ‖C2

(Ide)

+

yS∗m((v− y)2;x,y

)+

(bmycm

+3

2cm− y)2‖ g ‖C2

(Ide)

≤

O(an

n

)(x2 + x+1)+(

an

2n)2 +

τ(a)cm

(y2 + y+1)+((bm− cm)y+3)2

c2m

‖ g ‖C2(Ide)

= χn,m(x,y) ‖ g ‖C2(Ide). (4.2.12)

Pervec kesaj, nga relacionet (4.2.2) dhe (4.2.10) si dhe nga Lema 4.2.1, kemi∣∣Can,m ( f ;x,y)

∣∣≤ ∣∣Can,m ( f ;x,y)

∣∣+ | f (x,y)|+ ∣∣∣∣ f (x+an

2n,bmycm

+3

2cm

)∣∣∣∣≤ 3 ‖ f ‖C(Ide) . (4.2.13)

Ne kete menyre, nga relacionet (4.2.2) dhe (4.2.12), kemi∣∣Can,m ( f ;x,y)− f (x,y)

∣∣= ∣∣∣∣Can,m ( f ;x,y)− f (x,y)+ f

(x+

an

2n,bmycm

+3

2cm

)− f (x,y)

∣∣∣∣≤∣∣Ca

n,m ( f −g;x,y)∣∣+ ∣∣Ca

n,m (g;x,y)−g(x,y)∣∣

+ |g(x,y)− f (x,y)|+∣∣∣∣ f (x+

an

2n,bmycm

+3

2cm

)− f (x,y)

∣∣∣∣≤ 4 ‖ f −g ‖C(Ide)

+∣∣Ca

n,m (g;x,y)−g(x,y)∣∣

+

∣∣∣∣ f (x+an

2n,bmycm

+3

2cm

)− f (x,y)

∣∣∣∣≤ (4 ‖ f −g ‖C(Iab) +χn,n2(x,y))‖ g ‖C(Ide)

+ω

f ;

√(an

2n

)2+

(bmycm

+3

2cm− y)2≤ 4K ( f ; χn,m(x,y))

+ω

f ;

√(an

2n

)2+

(bmycm

+3

2cm− y)2≤ L

ω2

(f ;√

χn,m(x,y))+

+min1,χn,m(x,y) ‖ f ‖C(Ide)

+ω

f ;

√(an

2n

)2+

(bmycm

+3

2cm− y)2 .

Me kete kompletohet edhe vertetimi i teoremes.

4.3 Perafrimet ne hapesiren e funksioneve te vazhdueshmesipas Bogel-it

Ne kete paragraf jane pergjithesuar operatoret e perkufizuar me relacionin (4.2.2) per funk-sionet B-te vazhdueshme. Ne fillim, jane perkufizuar GBS-operatoret ne lidhje me oper-

67

4.3. PERAFRIMET NE HAPESIREN E FUNKSIONEVE TE VAZHDUESHME SIPAS BOGEL-IT

atoret e tipit Chlodowsky-Szasz-Kantorovich-Charlier, me ane te cileve pastaj jane shqyr-tuar vetite e lemueshmerise per keta operatore. Kuptimet e B-vazhdueshmerise dhe B-diferencueshmerise se pari jane inicuar nga Bogel ne [55, 56]. Per te shqyrtuar perafriminuniform te funksioneve B-te vazhdueshme perdoren GBS-operatoret. Per here te pare kup-timi i GBS-operatoreve eshte perkufizuar nga Badea dhe te tjere ne [28, 30]. Teoremate perafrimit te funksioneve B-te vazhdueshme dhe B-te diferencueshme jane perkufizuardhe vertetuar nga Bogel dhe te tjere ne [56]. Kohet e fundit, Agrawal dhe Ispir ne [73]shqyrtuan shpejtesine e perafrimit per operatoret dydimensional te tipit Chlodowsky-Szasz-Charlier, ndersa ne [74] autoret perkufizuan GBS-operatoret e tipit Lupas-Durrmayer, dheshqyrtuan shpejtesine e perafrimit te ketyre operatoreve me ane te modulit te perzier telemueshmerise, si dhe K-funksioneles. Ne vecanti, ne [75] Agrawal dhe Sidhard shqyrtuanperafrimin e funksioneve te vazhdueshme sipas Bogel-it me ane te klases se funksioneve teLipschitz-it, modulit te perzier te lemueshmerise si dhe K-funksioneles. Kontribut te madhne teorine e perafrimeve kane dhene autoret ne punimet [27, 29, 51, 58, 62, 69, 71]. Dukeu inspiruar nga puna e mesiperme, perkufizojme GBS-operatoret ne lidhje me operatoret edhene me relacionin (4.2.2). Per te paraqitur rezultatet tona ne fillim na duhen disa kuptimedhe perkufizime. Detaje ne lidhje me keto perkufizime mund te gjenden ne [55, 56]. Le tejene I dhe J intervale reale kompakte dhe A = I× J. Per cdo funksion f : A→ R dhe percdo (u,v),(x,y) ∈ A, le te jete ∆(u,v) f (x,y) operatori i perzier i diferences i perkufizuar me

∆(u,v) f (x,y) = f (u,v)− f (u,y)− f (x,v)+ f (x,y).

Funksioni f : A→ R eshte i vazhdueshem sipas Bogel (B-i vazhdueshem) ne piken (x,y) ∈A atehere dhe vetem atehere, nese vlene:

lim(u,v)→(x,y)

∆(u,v) f (x,y) = 0.

Nese f eshte B-i vazhdueshem ne piken (x,y) ∈ A atehere f eshte B-i vazhdueshem ne A.Perkufizojme me Cb(A) = f | f : A→ R, f eshte B− i ku f izuar ne A, hapesiren e te gjithafunksioneve B-te vazhdueshme ne A.Funksioni f : A→ R thuhet se eshte B-i diferencueshem ne piken (x,y) ∈ A nese ekzistondhe eshte i fundme limiti:

lim(u,v)→(x,y)

∆(u,v) f (x,y)(u− x)(v− y)

.

Shkurtimisht shenohet me DB f (x,y).Perkufizojme me Db(A) = f | f : A→ R, f eshte B i diferencueshem ne A.Funksioni f : A→ R eshte B-i kufizuar ne D ne qofte se ekziston konstanta K > 0 e tilleqe per cdo (u,v),(x,y) ∈ A vlen ∆(u,v) f (x,y)≤ K. Prandaj, meqenese A eshte nenbashkesikompakte, cdo funksion B-i vazhdueshem eshte edhe B-i kufizuar ne A→ R. Shenojmeme Bb(A), bashkesine e te gjithe funksioneve B-te kufizuara ne A te pajisur me normen ‖f ‖B= sup

(x,y),(u,v)∈A|∆(u,v) f (x,y)|. Per te vleresuar shpejtesine e perafrimit te nje funksioni B-

te vazhdueshem, duke perdorur operatoret lineare pozitive nje element i rendesishem eshtemoduli i perzier i vazhdueshmerise se operatorit. Le te jete f ∈ Bb(Ide). Moduli i perzier ivazhdueshmerise se funksionit f eshte funksioni ωB : [0,∞)× [0,∞)→ R, i perkufizuar me

68

4.3. PERAFRIMET NE HAPESIREN E FUNKSIONEVE TE VAZHDUESHME SIPAS BOGEL-IT

suprimumin:

ωB( f ;δ1,δ2) = sup∆(u,v) f (x,y) : |u− x| ≤ δ1, |v− y| ≤ δ2, per cdo (u,v),(x,y) ∈ A.

Per Ide = [0,d]× [0,e], le te jete Cb(Ide) hapesira e te gjithe funksioneve B-te vazh-dueshme ne Ide, ndersa C(Ide) hapesira e funksioneve te vazhdueshme ne menyre te zakon-shme ne Ide.

Per cdo f ∈C(Ide) dhe n,m∈N, perkufizojme GBS operatoret me ndihmen operatoreveCa

n,m me formulen:

San,m( f (t,s);x,y) =Ca

n,m( f (t,y)+ f (x,s)− f (t,s);x,y), (4.3.1)

per cdo (x,y) ∈ Ide.Me fjale tjera, per cdo f ∈C(Ide), GBS operatori i tipit Chlodowsky-Szasz-Kantorovich-

Charlier, jepet me barazimin:

San,m( f ;x,y) =

nan

cm

n

∑k=0

∞

∑j=0

pn,k

(xan

)Πm, j(bmy,a)

×

j+1cm∫j

cm

k+1n an∫

kn an

( f (t,y)+ f (x,s)− f (t,s);x,y)dtds.

Teoreme 4.3.1. [25] Ne qofte se f ∈ Cb(Ide), atehere per cdo (x,y) ∈ Ide, dhe m,n ∈ N,kemi

|Sam,n( f (t,s);x,y)− f (x,y)| ≤ 4ωB( f ;δn,δm),

ku δn =(ρ(a)an

n

)1/2 dhe δm =(

ς(a)cm

)1/2.

Vertetim. Nga vetite e modulit te perzier te vazhdueshmerise ωB kemi∣∣4(x,y) f (t,s)∣∣≤ ωB( f ; |t− x|, |s− y|)

≤(

1+|t− x|

δn

)(1+|s− y|

δm

)ωB( f ;δn,δm), (4.3.2)

ku (x,y),(t,s) ∈ Ide dhe δn,δm > 0. Ne kete menyre, nga monotonia dhe lineariteti i opera-torit Sa

n,m ( f (t,s);x,y) , duke shfrytezuar mosbarazimin Cauchy-Schwarz-it, sipas relacionit(4.3.2) rrjedh

|San,m ( f (t,s);x,y)− f (x,y)| ≤Ca

n,m(|∆(x,y) f (t,s)|;x,y

)≤(

Can,m

(e00;x,y

)+

1δn

(Ca

n,m((e10− x)2;x,y

))1/2

+

(1

δm

(Ca

n,m((e01− y)2;x,y

))1/2

+

(1δn

(Ca

n,m((e10− x)2;x,y

))1/2

69

4.3. PERAFRIMET NE HAPESIREN E FUNKSIONEVE TE VAZHDUESHME SIPAS BOGEL-IT

×(

1δm

(Ca

n,m((e01− y)2;x,y

))1/2)

ωB( f ;δn,δm).

Tani nga mosbarazimet (4.2.8) dhe (4.2.9), kemi

|San,m

(f (t,s);x,y

)− f (x,y)| ≤

1+

1δn

(ρ(a)

an

n

)1/2+

1δm

(ς(a)cm

)1/2

+1

δnδm

(ρ(a)

an

n

)1/2(

ς(a)cm

)1/2.

Duke marre δn =(ρ(a)an

n

)1/2 dhe δm =(

ς(a)cm

)1/2drejtperdrejte rrjedh vertetimi i teo-

remes.Perafrimet e funksioneve B-te vazhdueshme ne klasen Lipschitz. Per 0 < γ ≤ 1, le te

jeteLipLγ =

f ∈C(Ian) : |∆(x,y) f [t,s;x,y]| ≤ L||r− s||γ

,

ku r = (u,v),s = (x,y) ∈ Ian dhe ‖ r− s ‖=(u− x)2 +(v− y)2

1/2

norma Euklidiane.

Duke shfrytezuar perkufizimin Lipschitz te dhene me siper marrim rezultatin:

Teoreme 4.3.2. [25] Ne qofte se f ∈ LipLγ, atehere per cdo (x,y) ∈ Ide, kemi∣∣San,m ( f (t,s);x,y)− f (x,y)

∣∣≤ Lδn(x)+δm(y)γ/2 ,

ku L > 0, dhe γ ∈ (0,1].

Vertetim. Duke shfrytezuar perkufizimin e operatoreve San,m ( f (t,s);x,y) mund te shkru-

ajme:

San,m ( f (t,s);x,y) =Ca

n,m ( f (x,s)+ f (t,y)− f (t,s);x,y) =

=Can,m(

f (x,y)−∆(x,y) f (t,s);x,y)= f (x,y)Ca

n,m (e00;x,y)

−Can,m(∆(x,y) f (t,s);x,y

).

Nga supozimi i teoremes, kemi∣∣San,m ( f (t,s);x,y)− f (x,y)

∣∣≤Can,m(∣∣∆(x,y) f (t,s)

∣∣ ;x,y)

≤ LCan,m (‖ r− s ‖γ ;x,y) .

Duke zbatuar mosbarazimin e Holder-it per u1 = 2γ

and v1 = 22−γ

, dhe Rrjedhimin 4.2.2,gjejme∣∣Sa

n,m ( f (t,s);x,y)− f (x,y)∣∣≤ L

Ca

n,m(‖ r− s ‖2,x,y

)γ/2

≤ L

Cn,m((u− x)2,x,y

)+Ca

n,m((v− y)2,x,y

)γ/2,

prej nga perfundon edhe vertetimi i teoremes.

70

4.3. PERAFRIMET NE HAPESIREN E FUNKSIONEVE TE VAZHDUESHME SIPAS BOGEL-IT

Teoreme 4.3.3. [25] Nese f ∈Db(Ide) dhe DB f ∈ B(Ide), atehere per cdo (x,y)∈ Ide, kemi

|San,m( f ;x,y)− f (x,y)| ≤C

3||DB f ||∞ +2ωmixed( f ;δn,δm)

√x2 + x

√y2 + y+1

δnδm

+

ωmixed( f ;δn,δm)

(δm

√x4 + x3 + x2 + x

√y2 + y+1

+δn√

y4 + y3 + y2 + y+1√

x2 + x)

,

ku δn =

√an

n, δm =

√η(a)cm

, η(a) = maxτ(a),ω(a) dhe C eshte konstante qe varet vetemnga n,m.

Vertetim. Nga supozimi se f ∈ Db(Ide), ne ([55] faqe 62) tregohet se vlene:

∆(x,y) f (t,s) = (t− x)(s− y)DB f (α,β ), ku x < α < t ; y < β < s.

Qartazi,

DB f (α,β ) = ∆(x,y)DB f (α,β )+DB f (α,y)+DB f (x,β )−DB f (x,y).

Meqenese DB f ∈ B(Ide), nga barazimi i mesiperm, kemi

|San,m(∆(x,y) f (t,s);x,y)|= |Sa

n,m((t− x)(s− y)DB f (α,β );x,y)|≤ Sa

n,m(|t− x||s− y||∆(x,y)DB f (α,β )|;x,y)

+San,m(|t− x||s− y|(|DB f (α,y)|+ |DB f (x,β )|+ |DB f (x,y)|);x,y)

≤ San,m(|t− x||s− y|ωmixed(DB f ; |α− x|, |β − y|);x,y)

+3 ||DB f ||∞ San,m(|t− x||s− y|;x,y). (4.3.3)

Nga vetite e modulit te perzier te lemueshmerise ωmixed , mund te shkruajme

ωmixed(DB f ; |α− x|, |β − y|)≤ ωmixed(DB f ; |t− x|, |s− y|)≤ (1+δ

−1n |t− x|)(1+δ

−1m |s− y|) ωmixed(DB f ;δn,δm). (4.3.4)

Me kombinimin e relacioneve (4.3.3) dhe (4.3.4) si dhe duke zbatuar mosbarazimin eCauchy-Schwarz-it, gjejme

|San,m( f ;x,y)− f (x,y)|= |Sa

n,m∆(x,y) f (t,s);x,y|

≤ 3||DB f ||∞√

San,m((t− x)2(s− y)2;x,y)+

(Sa

n,m(|t− x||s− y|;x,y)

+δ−1n Sa

n,m((t− x)2|s− y|;x,y)+δ−1m Sa

n,m(|t− x|(s− y)2;x,y)

+δ−1n δ

−1m Sa

n,m((t− x)2(s− y)2;x,y))

ωmixed(DB f ;δn,δm)

≤ 3||DB f ||∞√

San,m((t− x)2(s− y)2;x,y)+

(√Sa

n,m((t− x)2(s− y)2;x,y)

71

4.4. PERAFRIMET STATISTIKORE NE HAPESIREN E FUNKSIONEVE B- TE VAZHDUESHME

+δ−1n

√Sa

n,m((t− x)4(s− y)2;x,y)+δ−1m

√Sa

n,m((t− x)2(s− y)4;x,y)

+δ−1n δ

−1m Sa

n,m((t− x)2(s− y)2;x,y))

ωmixed(DB f ;δn,δm). (4.3.5)

Prej nga per (x,y),(t,s) ∈ Ide dhe i, j ∈ 1,2, kemi

San,m((t− x)2i(s− y)2 j;x,y) = xBn

((t− x)2i;x

)yP∗m((s− y)2 j;y

), (4.3.6)

dhe sipas Rrjedhimit 4.2.2, vlejne:

xBn((t− x)2;x

)= O

(an

n

)(x2 + x),

xBn((t− x)4;x

)= O

(an

n

)(x4 + x3 + x2 + x),

yP∗m((s− y)2;y

)≤ τ(a)

cm(y2 + y+1)

yP∗m((s− y)4;y

)≤ ω(a)

cm(y4 + y3 + y2 + y+1),

duke kombinuar relacionet (4.3.5) dhe (4.3.6), si dhe duke zgjedhur δn =

√an

n,δm =√

η(a)cm

dhe η(a) = max(τ(a),ω(a)), menjehere vijme deri te vertetimi i teoremes.

4.4 Perafrimet Statistikore ne hapesiren e funksioneve tevazhdueshme sipas Bogel

Ne kete paragraf eshte shqyrtuar shpejtesia e konvergjences A-statistikore me ane te GBSoperatoreve te tipit Chlodowsky-Szasz-Kantorovich-Charlier, ne hapesiren e te gjitha funk-sioneve te vazhdueshme sipas Bogel-it ne ndonje nenbashkesi kompakte te drejtezes reale.Japim disa kuptime dhe perkufizime te nevojshme te cilat na duhen per te fituar rezultatetkryesore te ketij paragrafi.

Thuhet se vargu i dyfishte x= xm,n, ku m,n∈N, konvergjon sipas Pringsheim-it ne x,ne qofte se, per cdo ε > 0, ekziston N = N(ε) ∈N i tille qe |xm,n−L|< ε sahere qe m,n >N. Faktin se L eshte limit i Pringsheim te vargut x = xm,n e shenojme me P− limx = L(shih [9]). Ne kete rast, themi se x = xm,n “P-konvergjon kah L”. Per me teper, neseekziston numri pozitiv M i tille qe |xm,n| ≤M per cdo (m,n) ∈ N2 = N×N, atehere vargux = xm,n thuhet se eshte i kufizuar. Thuhet se vargu i njefishte eshte konvergjent, neseai eshte i kufizuar. Por ne rastin, e vargut te dyfishte kjo nuk eshte e vertete d.m.th. ngakonvergjenca e vargut dyfishte sipas Pringsheim-it nuk rrjedh se ai eshte i kufizuar. Tani lete jete A = [a j,k,m,n], j,k,m,n ∈N, matrice kater-dimenzionale e shumueshme. Per vargune dyfishte x= xm,n, A-transformati i x− it, shenohet me Ax := (Ax) j,k, dhe perkufizohet

72

4.4. PERAFRIMET STATISTIKORE NE HAPESIREN E FUNKSIONEVE B- TE VAZHDUESHME

me barazimin:(Ax) j,k = ∑

(m,n)∈N2

a j,k,m,nxm,n, j,k ∈ N.

Mund provohet se seria e dyfishte konvergjon sipas Pringsheim-it per cdo ( j,k) ∈ N2. Neteorine e shumueshmerise transformati i matrices dydimensionale thuhet se eshte regu-lar nese cdo varg konvergjent, e pasqyron ne nje varg konvergjent, tek i njejti limit. Njekarakterizim i regularitetit per transformimet e matrices dy dimensionale njihet si kondita eSilverman-Toeplitz (shih [53]). Ne vitin 1926, Robison [43] prezentoi ne menyre analogeregularitetin per matricen katerdimensionale nen supozimin e disa kushteve shtese mbi ku-fizueshmerine. Ky supozim u be per arsyen se vargu i dyfishte P-konvergjent domosdo nukeshte i kufizuar. Definimi dhe karakterizimi i regularitetit per matricat katerdimensionalenjihen si kushtet e Robinson-Hamilton-it apo shkurtimisht RH-regulariteti (shih [46], [43]).

Thuhet se matrica katerdimensionale A = [a j,k,m,n] eshte RH-regulare nese cdo varg tekufizuar P-konvergjent e pasqyron ne nje varg P-konvergjent tek i njejti P-limit.

Kondita e Robison-Hamilton tregon se matrica kater dimensionale A = [a j,k,m,n] eshteRH-regulare atehere dhe vetem atehere

(i) Per cdo (m,n) ∈ N2, vlen P− limj,k

a j,k,m,n = 0,

(ii) P− limj,k

∑(m,n)∈N2

a j,k,m,n = 1,

(iii) per cdo n ∈ N vlen, P− limj,k

∑m∈N

∣∣a j,k,m,n∣∣= 0,

(iv) per cdo m ∈ N, P− limj,k

∑n∈N

∣∣a j,k,m,n∣∣= 0,

(v) per cdo ( j,k) ∈ N2 seria ∑(m,n)∈N2

∣∣a j,k,m,n∣∣ eshte P−konvergjente,

(vi) ekzistojne numrat e plote dhe te fundme A dhe B te tille qe per cdo ( j,k) ∈ N2, tevleje ∑

m,n>B

∣∣a j,k,m,n∣∣< A

Tani, le te jete A = [a j,k,m,n] matrice jonegative e shumueshme dhe RH-regulare, dhe lete jete K ⊂N2. Atehere, vargu i dyfishte real x= xm,n thuhet se konvergjon A-statistikishtkah numri L nese, per cdo ε > 0, vlen

P− limj,k

∑(m,n)∈K(ε)

a j,k,m,n = 0,

kuK(ε) := (m,n) ∈ N2 : |xm,n−L| ≥ ε.

Ne kete rast shkruajme st2(A)− lim

m,nxm,n = L. Provohet se, vargu i dyfishte i cili eshte P-

konvergent, eshte po ashtu A-statistikisht konvergjent dhe konvergjon tek e njejta vlere,

73

4.4. PERAFRIMET STATISTIKORE NE HAPESIREN E FUNKSIONEVE B- TE VAZHDUESHME

mirepo e anasjellta nuk eshte e vertete. Duhet theksuar se nese marrim matricen e dy-fishte A =C(1,1), atehere konvergjenca C(1,1)-statistikore kthehet ne konvergjence statis-tikore per vargun e dyfishte. Detaje me te hollesishme mund te gjenden ne [36], [61].Ne fund, nese ne vend te matrices A marrim matricen identitet katerdimenzionale, ateherekonvergjenca A-statistikore kthehet ne konvergjence sipas Pringsheim-it.

Perkufizim 4.4.1. ([37]) Let A = [a j,k,m,n] matrice jonegative e shumueshme RH-regularedhe le te jete αm,n varg i dyfishte jozvogelues i numrave pozitive. Thuhet se vargu idyfishte x = xm,n eshte A-statistikisht konvergjent tek numri L me shkallen o(αm,n), neseper cdo ε > 0,

P− limj,k→∞

1α j,k

∑(m,n)∈K(ε)

a j,k,m,n = 0,

ku K(ε) = (m,n) ∈ N2 : |xm,n−L| ≥ ε.

Ne kete rast shkruajme

xm,n−L = st(2)A −o(αm,n) kur n→ ∞.

Perkufizim 4.4.2. ([37]) Le te jete A = [a j,k,m,n] matrice jonegative e shumueshme RH-regulare dheαm,n varg i dyfishte jozvogelues i numrave pozitive. Atehere, vargu i dyfishtex = (xm,n) konvergjon A- statistikisht kah numri A me shkallen om,n(αm,n) nese per cdoε > 0,

P− limj,k→∞

∑(m,n)∈M(ε)

a j,k,m,n = 0,

ku K(ε) = (m,n) ∈ N2 : |xm,n−L| ≥ ε.Ne kete rast shkruajme xm,n−L = st(2)A −om,n(αm,n) as m,n→ ∞.

Le te jene e0(t,s) = 1, e1(t,s) = t,e2(t,s) = s,e3(t,s) = t2+s2, test funksione. Teoremane vijim tregon perafrimin statistikor me ane te operatoreve lineare pozitive ne hapesirene te gjitha funksioneve B-te vazhdueshme ne ndonje nenbashkesi kompakte te drejtezesreale.

Teoreme 4.4.1. [38] Le te jete A= [a j,k,m,n] matrice jonegative e shumueshme RH-regularedhe le te jete Ln,m varg i operatoreve lineare pozitive nga Cb (D) ne Bb (D). Supozojmese plotesohen konditat:

δA(m,n) ∈ N2 : Lm,n(e0;x,y) = 1 per cdo(x,y) ∈ Iab

dhe

st(2)A − limm,n||Lm,n (ei)− ei| |C(D) = 0, per(i = 0,1,2,3) .

Atehere, per cdo f ∈Cb(D), kemi

limm,n

∣∣|L∗m,n ( f )− f∣∣ |= 0,

ku L∗m,n ( f (t,s);x,y) = Ln,m( f (t,y)+ f (x,s)− f (t,s);x,y).

74

4.4. PERAFRIMET STATISTIKORE NE HAPESIREN E FUNKSIONEVE B- TE VAZHDUESHME

Se kjo teoreme eshte me e fuqishme se sa rezultatet klasike te perkufizuar nga Badeadhe te tjere ne [28] tregohet ne ([38] Verejtja 2.3). Nese ne Teoremen 4.4.1, matrica Azevendesohet me matricen dyfishte identitet fitohen rezultatet klasike te dhena ne [28].Nga [37] teorema 2.7 mund te nxjerrim rezultatin:

Teoreme 4.4.2. Le te jete A = [a j,k,m,n] matrice jonegative e shumueshme RH-regulare dhele te jete Sa

n,m varg i operatoreve lineare pozitive i perkufizuar me relacionin (4.3.1). Lete jene αm,n dhe βm,n vargje jozvogeluese. Supozojme se plotesohet kondita:

P− limj,k

1α j,k

∑(m,k)∈K

a j,k,m,n = 1, (4.4.1)

ku K = (m,n) ∈ N2 : San,m(e00;x,y) = 1 per cdo (x,y) ∈ Iab dhe

ω( f ;γm,n,δm,n) = st(2)A −O(βm,n) kur n→ ∞, (4.4.2)

ku γm,n =√||Sa

n,m((t− x)2;x)|| dhe δm,n =√||Sa

n,m((s− y)2;x)||. Atehere, per cdo f ∈

CB(Iab), vlen ||San,m( f ;x)− f || = st(2)A − o(cm,n) kur m,n→ ∞, ku cm,n = αm,n,βm,n per

cdo (m,n) ∈ N2.

Vertetim. Le te jene x,y ∈ Ia,b dhe f ∈CB(Iab). Atehere nga relacioni (4.4.2) kemi:

P− limj,k

1α j,k

∑(m,k)∈N2\K

a j,k,m,n = 0. (4.4.3)

Ne Teoremen 4.3.1, vertetuam se

|Sam,n( f (t,s);x,y)− f (x,y)| ≤ 4ωB( f ;δn,δm),

ku δn =(ρ(a)an

n

)1/2 dhe δm =(

ς(a)cm

)1/2. Tani, le te jete ε > 0, perkufizojme bashkesite si

ne vijim:

T = (m,n) ∈ N2 : |Sam,n( f (t,s);x,y)− f (x,y)| ≥ ε

T1 = (m,n) ∈ N2 : ωB( f ;δn,δm)≥ ε/4. (4.4.4)

Atehere, nga Teorema 4.4.1, lehte provohet se vlene:

T ∩K ⊂ T1∩K,

keshtu qe per, ( j,k) ∈ N2, kemi

1c j,k

∑(m,k)∈T∩K

a j,k,m,n ≤1

c j,k∑

(m,k)∈T1

a j,k,m,n ≤1

β j,k∑

(m,k)∈T1

a j,k,m,n, (4.4.5)

ku cm,n = maxαm,n,βm,n. Nese veprojme me limit ne te relacionin (4.4.5), kur j,k→ ∞,dhe duke shfrytezuar 4.4.2, mund te perfundojme se

P− limj,k

1α j,k

∑(m,k)∈T∩K

a j,k,m,n = 0. (4.4.6)

75

4.4. PERAFRIMET STATISTIKORE NE HAPESIREN E FUNKSIONEVE B- TE VAZHDUESHME

Vecanerisht, duke shfrytezuar mosbarazimin

∑(m,k)∈T

a j,k,m,n ≤ ∑(m,k)∈T∩K

a j,k,m,n ≤ ∑(m,k)∈T∩(N2\K)

a j,k,m,n

≤ ∑(m,k)∈T∩K

a j,k,m,n + ∑(m,k)∈(N2\K)

a j,k,m,n, (4.4.7)

rrjedh qe

1c j,k

∑(m,k)∈T

a j,k,m,n ≤1

c j,k∑

(m,k)∈T∩Ka j,k,m,n

≤ 1c j,k

∑(m,k)∈T∩K

a j,k,m,n + ∑(m,k)∈(N2\K)

a j,k,m,n. (4.4.8)

Tani, veprojme me limit kur j,k→ ∞ ne (4.4.8), atehere nga (4.4.6) dhe (4.4.3) kemi:

P− limj,k

1α j,k

∑(m,k)∈N2\K

a j,k,m,n = 1.

Qe duhej te vertetohet.Rast i vecante nese matrica A zevendesohet me matricen e dyfishte identitet dhe dukemarre αm,n = βm,n = 1 per cdo m,n ∈ N, atehere konvergjenca A-statistikore kthehet nekonvergjence te zakonshme. Kjo tregon se konvergjenca A-statistikore eshte me e forte sekonvergjenca e zakonshme.

76

Kapitulli 5

5.1 Vetite e perafrimet te disa tipeve te kombinuara te op-eratoreve me operatoret e tipit Chlodowsky

Ne kete kapitull jane perkufizuar operatoret e tipit Chlodowsky q-Bernstein-Schurer-Stancu-Kantorovich si dhe jane shqyrtuar vetite e perafrimeve statistikore me peshe. Po ashtu janebere disa modifikime te operatoreve te tipit Chlodowsky q-Bernstein-Stancu-Kantorovichne domenen e pakufizuar dhe eshte studiuar shpejtesia e konvergjences ne terma te klasesse funksioneve Lipschitz si dhe modulit komplet te vazhdueshmerise. Sidomos jane shqyr-tuar vetite e perafrimeve me peshe per keta operatore. Gjithashtu, eshte bere nje gjener-alizim tjeter i cili mund te perdoret per te perafruar funksionet e vazhdueshme me peshene hapesirat me te pergjithshme. Jane marre disa shembuj te ilustrimit grafik qe tregojnekonvergjencen e ketyre operatoreve kah funksioni. Ne fund jane perkufizuar GBS opera-toret e tipit Chlodowsky q-Bernstein-Stancu-Kantorovich, dhe eshte shqyrtuar shpejtesia ekonvergjences se ketyre operatoreve me ndihmen e modulit te perzier te lemueshmerise.

5.2 Konstruktimi i operatoreve te tipit Chlodowskyq-Bernstein-Schurer-Stancu-Kantorovich

Ne dekaden e fundit aplikimi i q-Kalkulusit eshte bere nje fushe shume e rendesishme ekerkimeve ne teorine e perafrimeve [10]. Ne vitin 1987 Lupas ne [11] perkufizoi nje mod-ifikim te operatoreve te Bernstein-it, ndersa dhjete vite me vone ishte Phillips ne [39] qegjeneralizoi keta operatore duke u bazuar ne q-numrat e plote. Polinomet me dy ndryshorete tipit q-Bernstein ne lidhje me perafrimet e llojit Korovkin jane studiuar ne [3, 72]. Kohete fundit, Karsli dhe Gupta [47] perkufizuan operatoret e tipit q-Bernstein-Chlodowsky qejane gjeneralizim i operatoreve te tipit q-Bernstein-it ne nje domene te pakufizuar dhe qejepen me barazimin:

Cn( f ,qn,x)) =n

∑k=0

f([k]qn

[n]qn

an

)[nk

]qn

(xan

)k n−k−1

∏s=0

(1−qs

nxan

),

ku 0≤ x≤ an dhe an eshte varg i numrave pozitive te tille qe limn→∞

an = ∞ dhe limn→∞

an[n]qn

=

0.

77

5.2. KONSTRUKTIMI I OPERATOREVE TE TIPIT CHLODOWSKY

Me pastaj, Vedi dhe Ozarslan ne [87] perkufizuan dhe shqyrtuan vetite e operatorevete tipit Chlodowsky q-Bernstein-Stancu-Kantorovich. Ata vertetuan teoremen e perafrimitKorovkin si dhe shqyrtuan shpejtesine e konvergjences permes modulit te rendit pare dhedyte te vazhdueshmerise si dhe klases se funksioneve Lipschitz. Per n1 ∈ N, p1 ∈ N0dhe 0 ≤ x ≤ an1 , operatoret e tipit Chlodowsky q-Bernstein–Stancu-Kantorovich jane teperkufizuar ne [87] me barazimin

C(α1,β1)n1+p1

( f ;qn1,x)=n1+p1

∑k1=0

[n1 + p1

k1

]qn1

(x

an1

)k1(

1− xan1

)n1+p1−k1

qn1

1∫0

f(

qk1n1 t1+[k1]qn1

+α1

[n1+1]qn1+β1

an1

)dqn1t1

ku α1,β1 ∈ R jane te tille qe 0 < α1 ≤ β1 ndersa 0 < q < 1. Lin ne [89] perkufizoi oper-atoret e tipit q-Bernstein-Schurer-Stancu-Kontorovich Kα,β

n,p ( f ;q;x) : C[0,1+ p]→C[0,1],qe jepen me barazimin:

K(α,β )n,p ( f ;q;x) =

n+p

∑k=0

[n+ p

k

]xk ·

n+p−k−1

∏s=0

(1−qsx)1∫

0

f(

t[n+1+β ]q

+q[k+α]q

[n+1+β ]q

)dqt,

ku 0≤ x≤ 1, dhe 0≤ α ≤ β .Le te jete bn varg rrites i numrave reale pozitive i cili ploteson kushtin lim

n→∞bn = ∞,

atehere vargu bn[n]qn

konvergjon ne zero kur n→ ∞, ku qn eshte varg i numrave reale itille qe 0 < qn ≤ 1 per cdo n dhe lim

n→∞qn = 1. Ne [23] jane konstruktuar operatoret e tipit

Chlodowski q-Bernstein-Schurer-Stancu-Kantorovich per funksionin f sic vijon:

T (α,β )n,p ( f ;q,x) =

n+p

∑k=0

pn+p,k(q;x)1∫

0

f(

t ·bn

[n+1+β ]q+

q · [k+α]q ·bn

[n+1+β ]q

)dqt, (5.2.1)

ku pn+p,k(q;x) =[n+p

k

]·(

xbn

)k·

n+p−k−1∏

s=0(1−qs x

bn), 0≤ x≤ bn, n∈N, p∈N0 dhe α,β jane

parametra qe plotesojne kushtin 0≤ α ≤ β . Eshte e qarte se, T (α,β )n,p ( f ;q,x) jane operator

linear pozitiv. Per te fituar rezultatet kryesore te paragrafit vijues na nevojitet formulimi ilemave te meposhtme:

Leme 5.2.1. [23] Per operatorin T (α,β )n,p ( f ;q,x) ku f (t) = t i, i = 0,1,2 vlejne:

i) T (α,β )n,p (1;q;x) = 1,

ii) T (α,β )n,p (t;q,x) = [n+p]qqα+1

[n+1+β ]qx+ bn

[n+1+β ]q·(

1[2]q

+q · [α]q

),

iii) T (α,β )n,p (t2;q,x) = q2α+3[n+p]q·[n+p−1]q

[n+1+β ]2q· x2 +

[n+p]q[n+1+β ]2q

bn·

·[

2[2]q

qα+1+qα+2 ·(2 ·[α]q+qα))

]x+ b2

n[n+1+β ]2q

(1[3]q

+2q·[α]q[2]q

+q2 · [α]2q

).

Leme 5.2.2. [23] Per operatoret T (α,β )n,p e perkufizuar me relacionin (5.2.1), vlene

sup0≤x≤bn

T (α,β )n,p

((t− x)2;q;x

)≤ b2

n

([n+p]q

[n+1+β ]q qqα+1−1

)+

2·(1+α)[n+p]q[n+1+β ]q

+ (1+α)2

[n+1+β ]2q

.

78

5.3. PERAFRIMET STATISTIKORE TE TIPIT KOROVKIN

5.3 Perafrimet statistikore te tipit KorovkinKonceptin e konvergjences statistikore ne teorine e perafrimeve me operatoret lineare pozi-tive se pari e futen Gadijev dhe Orhan [14]. Ata provuan teoremen e tipit Bohman-Korovkinper konvergjencen statistikore.

Le te jete R bashkesia e numrave reale. Funksioni real ρ thuhet se eshte funksion peshenese eshte i vazhdueshem ne R dhe lim

|x|→∞

ρ(x) = ∞, ρ(x)≥ 1 per cdo x ∈ R.

Le te perkufizojme Bρ(R) hapesiren me peshe te te gjithe funksioneve f me vlera realeme vetine qe | f (x)| ≤ M f ρ(x) per cdo x ∈ R, ku M f eshte konstante qe varet vetem ngafunksioni f . Konsiderojme nenhapesiren me peshe Cρ(R)=

f ∈Bρ(R) : f i vazhdueshem

ne R

te hapesires Bρ(R) te pajisur me normen ‖ f ‖ρ= supx∈R

| f (x)|ρ(x) . Mund te provohet qe

Bρ(R) dhe Cρ(R) jane hapesira te Banach-ut.

Teoreme 5.3.1. ([14]). Ne qofte se vargu i operatoreve lineare pozitive An : C[a,b]→C[a,b], ploteson konditat:

stA− limn‖ An(ei; ·)− ei ‖C[a,b]= 0,

per ei(t) = t i, i = 0,1,2, atehere per cdo f ∈C[a,b], vlen

stA− limn‖ An( f ; ·)− f ‖C[a,b]= 0.

Duke shfrytezuar konvergjencen A-statistikore, Duman dhe Orhan provuan ne vijimteoremen e tipit Bohman-Korovkin ([70], teorema 3.1).

Teoreme 5.3.2. Le te jete A = (a jn) j,n matrice jonegative e shumueshme regulare dhele te jete (Ln)n varg i operatoreve lineare pozitive nga Cρ1(R) ne Bρ2(R), ku ρ1 dhe ρ2plotesojne kushtin:

lim|x|→∞

ρ1

ρ2= 0. (5.3.1)

Atehere stA− limn‖ LnFv−Fv ‖ρ1= 0, v = 0,1,2 ku Fv(x) =

xvρ1(x)1+x2 , v = 0,1,2. Ne vecanti,

duke marre ne vend te matrices Cesaro A, matricen njesi, nga Teorema 5.3.2 rrjedh:

Rrjedhim 5.3.1. ([70]) Per cdo varg (Tn)n≥1 te operatoreve lineare pozitive nga Cρ0(R+)ne Cρλ

(R+), λ > 0 vlen

stA− limn‖ Tn f − f ‖ρλ

= 0, f ∈Cρ0(R+), (5.3.2)

atehere dhe vetem atehere kur

stA− limn‖ Tnei− ei ‖ρ0= 0, i = 0,1,2, (5.3.3)

ku ρ0 = 1+ x2.Le te jete q = qn, 0 < qn < 1, varg i numrave reale qe ploteson kushtet:

stA− limn

qn = 1, stA− limn

qnn = a (a < 1), stA− lim

n

bn

[n]q= 0. (5.3.4)

79

5.3. PERAFRIMET STATISTIKORE TE TIPIT KOROVKIN

Teoreme 5.3.3. [23] Nese q = (qn) ploteson konditen (5.3.4), atehere per cdo funksionf ∈Cρ0(R

+), kemi:

stA− limn‖ T (α,β )

n,p ( f ;q;x)− f ‖ρ0= 0.

Vertetim. Per cdo f ∈Cρ0(R+), operatori T (α,β )n,p ( f ;q,x) eshte i perkufizuar ne [0,bn].

Le te zgjerojme operatorin ne R+, prandaj po e perkufizojme operatorin T (α,β )n,p me

T (α,β )n,p ( f ,q,x) =

T (α,β )

n,p ( f ;q;x) nese x ∈ Ibn

f (x), nese x ∈ R+\Ian.

Norma ‖ T (α,β )n,p ( f ;q;x)− f ‖ρ0 konsiston me normen e elementit (T (α,β )

n,p ( f ;q;x)− f ) nehapesiren Bρλ

[0,bn] ku ρλ = 1+ x2+λ , per λ ≥ 0. Duke aplikuar Rrjedhimin 5.3.1 peroperatorin Tn ≡ T α,β

n,p , vertetimi i teoremes kompletohet. Ne kete menyre ne duhet provuarse operatori i ploteson konditat e relacionit (5.3.3). Nga Teorema 5.3.1, duhet provuar qestA− limn ‖ T (α,β )

n,p (ei;q,x)− ei ‖ρ0= 0 ku ei = t i per i = 0,1,2. Eshte e qarte se

stA− limn ‖ T (α,β )n,p (1;q,x)−1 ‖ρ0= 0.

Nga Lema 5.2.1 rasti ii) kemi

‖ T (α,β )n,p (t;q,x)− x ‖ρ0= sup

x∈[0,∞)

|T (α,β )n (t;qn,x)− x)

1+ x2 ≤ sup0≤x≤bn

|T (α,β )n (t;qn,x)− x|

1+ x2 =

= sup0≤x≤bn

11+ x2

∣∣∣∣qα+1[n+ p]q[n+1+β ]q

−1∣∣∣∣x+

bn

[n+1+β ]q(

1[2]q

+q[α]q)≤

≤∣∣∣∣qα+1[n+ p]q[n+1+β ]q

−1∣∣∣∣bn +

bn

[n+1+β ]q

(1[2]q

+q[α]q

)≤∣∣∣∣qα+1[n+ p]q[n+1+β ]q

−1∣∣∣∣bn +

bn

[n]q(1+α). (5.3.5)

Shenojme θn =

(qα+1[n+p]q[n+1+β ]q

−1

)·bn, dhe γn =

bn[n]q

(1+α). Nga relacioni (5.3.4), rrjedh

stA− limn θn = stA− limn γn = 0.Tani, per ε > 0, le te perkufizojme bashkesite:

T1 =

n :‖ T (α,β )n,p (t;q;x)− x ‖ρ0≥ ε

,

T2 =

n :(

qα+1[n+p]q[n+1+β ]q

−1)

bn ≥ ε/2,

T3 =

n : (α+1)bn[n]q

≥ ε/2.

Atehere, nga (5.3.5), tregohet lehte se vlene T1 ⊆ T2 ∪ T3, prej ketu rrjedh qe ∑k∈T1

ank ≤

∑k∈T1

ank + ∑k∈T2

ank. Rrjedhimisht,

80

5.3. PERAFRIMET STATISTIKORE TE TIPIT KOROVKIN

stA− limn‖ K(α,β )

n,p (t;qn, ·− x ‖ρ0= 0.Nga Lema 5.2.1 rasti iii) kemi

‖ Tn,p(α,β )(t2;q;x)−x2 ‖ρ0= supx∈[0,∞)

|T (α,β )n (t2;q,x)− x2|

1+ x2 ≤ sup0≤x≤bn

|T (α,β )n (t2;q,x)− x2|

1+ x2

≤ sup0≤x≤bn

11+ x2

∣∣∣∣∣q2α+3[n+ p]q[n+ p−1]q[n+1+β ]2q

−1

∣∣∣∣∣x2 +[n+ p]q

[n+1+β ]qbn·(

2[2]q

qα+1 +qα+2(2[α]q +qα)

)x+

b2n

[n+1+β ]2q

(1[3]q

+2q[α]q[2]q

+q2[α]2q

)≤

∣∣∣∣∣q2α+2[n+ p]2q[n+1+β ]2q

−1

∣∣∣∣∣+ [n+ p]qnq2α+2n bn

[n+1+β ]2q+

(2+2α)[n+ p]qnbn

[n+1+β ]2qn

+(1+α)2b2

n[n+1+β ]2qn

≤

∣∣∣∣∣ [n+ p]2qnq2α+2

[n+1+β ]2qn

−1

∣∣∣∣∣+ (3+2α)bn

[n]qn

(1+

[p]qn

[n]qn

)+(1+α)2

[n]2qn

b2n = αn+βn+γn.

Nga relacioni (5.3.4) dhe nga identitetet [n+ p]qn = [n]qn +qnn[p]qn , [n+1+β ]qn = [n]qn +

qnn[β +1], kemi st− lim

nαn = st− limβn = st− lim

nγn = 0.

Le te ε > 0. Atehere, perkufizojme bashkesite:U =

k :‖ T (α,β )

n,p (t2;q;x)− x2 ‖ρ0≥ ε

,

U1 = k : αk ≥ ε/3 ,U2 = k : βk ≥ ε/3 ,U3 = k : γk ≥ ε/3 .

Eshte e qarte, U ⊆U1∪U2∪U3, prej nga rrjedh se ∑k∈U

ank ≤ ∑k∈U1

ank + ∑k∈U2

ank + ∑k∈U3

ank.

Ne kete menyre, kemi:stA− lim

n→∞‖ T (α,β )

n,p (t2;q,x)− x2 ‖ρ0= 0.

Teoreme 5.3.4. [23] Ne qofte se f ∈CB[0,+∞), dhe q = qn eshte varg i numrave reale itille qe 0 < qn < 1, atehere kemi:

|T (α,β )n,p ( f ;q;x)− f (x)| ≤ 2ω( f ;

√δn,p(x)),

ku, δn,q(x) = T (α,β )n,p ((t− x)2,q,x).

Vertetim. Nga fakti qe T (α,β )n,p ( f ;q;x) eshte operator linear dhe pozitiv, duke aplikuar

vetite e mirenjohura te modulit te vazhdueshmerise:

| f (t)− f (x)| ≤ ω( f ,δ )(|t− x|

δ+1), perδ > 0,

kemi

|T (α,β )n,p ( f ;q;x)− f (x)| ≤ |T (α,β )

n,p (| f (t)− f (x)|;q,x)

81

5.4. OPERATORET E TIPIT CHLODOWSKY Q-BERNSTEIN-STANCU-KANTOROVICH

≤ ω( f ;δ )(T (α,β )n,p (1,q,x)+

1δ

T (α,β )n,p (|t− x|;q,x)).

Duke aplikuar mosbarazimin e Holder-it, per p = q = 2 fitojme:

|T (α,β )n,p ( f ;q;x)− f (x)| ≤ ω( f ;δ )(T (α,β )

n,p (1)+1δT (α,β )

n,p ((t− x)2;q,x))1/2.

Duke zgjedhur δ = δn,q = T (α,β )n,p ((t− x)2;q,x))1/2, atehere drejtperdrejt rrjedh:

|T (α,β )n,p ( f ;q;x)− f (x)| ≤ 2ω( f ;δn,p(x)).

Nga kondita (5.3.4) tregohet qe vlen st−limn

δn(x)= 0, prej nga rrjedh qe st−limn

ω( f ;δn(x))=0.

5.4 Konstruktimi i operatoreve te tipit Chlodowsky q-Bernstein-Stancu-Kantorovich

Ne kete paragraf jane perkufizuar operatoret e tipit Chlodowsky q-Bernstein-Stancu- Kan-torovich per funksionin me dy variabla dhe eshte studiuar shpejtesia e konvergjences neterma te klases se funksioneve te Lipschitz dhe modulit te vazhdueshmerise, pastaj eshteshqyrtuar shpejtesia e perafrimeve te ketyre operatoreve ne terma te moduleve pjeseshmese vazhdueshmerise si dhe Peetre K- funksioneles.Kohet e fundit, Agrawal dhe te tjere ne [72] perkufizuan dhe shqyrtuan vetite e opera-toreve te tipit q-Bernstein–Schurer–Kantorovich per rastin dy dimenzional. Buyukyazıcıne [50] konstruktoi operatoret e tipit q-Bernstein–Chlodowsky per rastin dydimenzional teperkufizuar me barazimin:

Bqn,qmn,m ( f ;x,y) =

n

∑k=0

m

∑j=0

f([k]qn

[n]qn

αn,[ j]qm

[n]qm

βm

)Ωk,n,qn

(x

αn

)Ω j,m,qm

(y

βm

)

ku x ∈ [0,αn], y ∈ [0,βm], dhe Ωk,n,qn(u) =[

nk

]qn

ukn−k−1

∏s=0

(1−qsnu).

Ne vazhdim, le te jene qn1 dhe qn2 varg i numrave reale te tille qe 0 < qni < 1, dhelim

ni→∞qni = 1 per i = 1,2, dhe le te jene an1 dhe bn2 vargje te numrave reale pozitive qe

plotesojne kushtet:

limn1→∞

an1 = limn2→∞

bn2 = ∞, and limn1→∞

an1

[n]qn1

= limn2→∞

bn2

[n2]qn2

= 0.

Le te marrim ne konsiderim parametrat reale α1,β1,α2 and β2 qe plotesojne kushtet 0 ≤α1 ≤ β1, 0 ≤ α2 ≤ β2. Ne [22] per f ∈C(Ian1bn2

) dhe 0 < qn1,qn2 < 1, jane konstruktuaroperatoret e tipit Chlodowski q-Bernstein-Stancu-Kantorovich sikur ne vijim:

C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

( f ;qn1,qn2,x,y)=

82

5.4. OPERATORET E TIPIT CHLODOWSKY Q-BERNSTEIN-STANCU-KANTOROVICH

=n1+p1

∑k1=0

n2+p2

∑k2=0

pk1n1+p1

(x)pk2n2+p2

(y) ·1∫

0

1∫0

f (Ψ1(t1),Ψ2(t2))dqn1t1dqn2

t2 (5.4.1)

ku (x,y) ∈ Ian1bn2, Ψ1(t1) =

qk1n1 t1+[k1]qn1

+α1

[n1+1]qn1+β1

an1, Ψ2(t2) =qk2

n2 t2+[k2]qn2+α2

[n2+1]qn2+β2

bn2, dhe

pk1n1+p1

(x) =[ n1 + p1

k1

]qn1

(x

an1

)k1(

1− xan1

)n1+p1−k1

qn1

,

pk2n2+p2

(y) =[ n2 + p2

k2

]qn2

(y

bn2

)k2(

1− ybn2

)n2+p2−k2

qn2

.

Provohet lehte se operatoret e perkufizuar me relacionin (5.4.1) jane lineare dhe pozitive.

Leme 5.4.1. [22] Per operatoret e perkufizuar me siper vlejne relacionet

(i) C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

( f ;qn1,qn2,x,y) =C(α1,β1)n1+p1

(C(α2,β2)

n2+p2( f ;qn2;x,y)

);

(ii) C(α1,α2,β1,β2)(n1+p1,n2+p2)

( f ;qn1,qn2 ,x,y) =C(α2,β2)n2+p2

(C(α1,β1)

n1+p1( f ;qn1 ;x,y)

);

Per te vertetuar Lemen vijuese se pari marrim test-funksionet ei j : Ian1bn2→ R, ei j(x,y) =

xiy j, (x,y) ∈ Ian1bn2,(i, j) ∈ N0×N0 ku i+ j ≤ 4. Vlene lema vijuese.

Leme 5.4.2. [22] Operatoret e tipit Chlodowsky q-Bernstein-Stancu-Kantorovich te perku-fizuar ne relacionin (5.4.1) plotesojne barazimet:

(i)C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

(1;qn1 ,qn2,x,y) = 1.

(ii)C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

(e10;qn1,qn2,x,y) =2qn1[n1 + p1]qn1

x+(1+[2]qn1α1)an1

[2]qn1([n1 +1]qn1

+β1),

(iii)C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

(e11;qn1,qn2,x,y) =2qn1[n1 + p1]qn1

x+(1+[2]qn1α1)an1

[2]qn1([n1 +1]qn1

+β1)

·2qn2[n2 + p2]qn2

y+(1+[2]qn2α2)bn2

[2]qn2([n2 +1]qn2

+β2),

(iv)C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

(e20;qn1,qn2,x,y) =[n1 + p1]qn1

[n1 + p1−1]qn1

([n1 +1]qn1+β1)2 x2

(4q4

n1+q3

n1+q2

n1

[3]qn1[2]qn1

)

+[n1 + p1]qn1

an1x

([n1 +1]qn1+β1)2

(4q3

n1(1+α1)+q2

n1(4α1 +5)+qn1(4α1 +3)

[3]qn1[2]qn1

)

83

5.4. OPERATORET E TIPIT CHLODOWSKY Q-BERNSTEIN-STANCU-KANTOROVICH

+a2

n1([n1 +1]qn1

+β1

)2

([4]qn1

α21 +2α1[3]qn1

+[2]qn1(1+qn1α2

1 )

[3]qn1[2]qn1

)

(v)C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

(e01;qn1,qn2,x,y) =2qn2[n2 + p2]qn2

y+(1+[2]qn2α2)bn2

[2]qn2([n2 +1]qn2

+β2),

(vi)C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

(e02;qn1,qn2,x,y) =[n2 + p2]qn2

[n2 + p2−1]qn2

([n2 +1]qn2+β2)2 y2

(4q4

n2+q3

n2+q2

n2

[3]qn2[2]qn2

)

+[n2 + p2]qn2

bn2y

([n2 +1]qn2+β2)2

(4q3

n2(1+α2)+q2

n2(4α2 +5)+qn2(4α2 +3)

[3]qn2[2]qn2

)

+b2

n2

([n2 +1]qn2+β2)2

([4]qn2

α22 +2α2[3]qn2

+[2]qn2(1+qn2α2

2 )

[3]qn2[2]qn2

).

Ne vazhdim shqyrtojme shpejtesine e konvergjences se operatoreve C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

tedhene ne (5.4.1), ne hapesiren e funksioneve te vazhdueshme ne ndonje bashkesi kompakteIab = [0,a]× [0,b]⊂ Ian1bn2

.

Perkufizim 5.4.3. ([18]) Le te jete f ∈C(Iab) dhe δ > 0. Atehere moduli i vazhdueshmerisese funksionit f (x,y) perkufizohet me

ω( f ;δ1,δ2) = sup| f (u,v)− f (x,y)| : (u,v),(x,y) ∈ Iab, |u− x| ≤ δ1, |v− y| ≤ δ2,

kurse modulet pjesshme ne varesi te x dhe y respektivisht jepen me

ω(1)( f ;δ ) = sup

0≤y≤bsup

|x1−x2|≤δ

| f (x1,y)− f (x2,y)|,

ω(2)( f ;δ ) = sup

0≤x≤asup

|y1−y2|≤δ

| f (x,y1)− f (x,y2)|.

Teoreme 5.4.1. [22] Le te jete f ∈C(Ian1bn2). Atehere, per (x,y) ∈ Iab, marrim vleresimin∣∣∣C(α1,α2,β1,β2)

n1+p1,n2+p2( f ;qn1,qn2,x,y)− f (x,y)

∣∣∣≤ 4ω( f ;√

δn1(x),√

δn2(y)).

ku δn1(x) =C(α1,β1)n1+p1

((u− x)2,qn1,x) dhe δn2(y) =C(α2,β2)n2+p2

(v− y)2,qn2,y).

Ne vijim perkufizojme klasen e funksioneve Lipschitz per rastin e funksionit me dyndryshore. Le te jete r = (u,v), s = (x,y) nga Iab dhe 0 < γ ≤ 1, perkufizojme klasen efunksioneve te Lipschitz-it:

LipL(γ) := f : | f (u,v)− f (x,y)| ≤ L||r− s||γ ,

ku ||r− s||=(u− x)2 +(v− y)21/2 eshte norma Euklidiane.

84

5.4. OPERATORET E TIPIT CHLODOWSKY Q-BERNSTEIN-STANCU-KANTOROVICH

Teoreme 5.4.2. [22] Supozojme qe f ∈ LipL(γ). Atehere, per cdo (x,y) ∈ Iab, vlen:∣∣∣C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

( f ;qn1,qn2,x,y)− f (x,y)∣∣∣≤ Lδn1(x)+δn2(y)

γ/2 ,

ku δn1(x) dhe δn2(y) jane dhene si ne Teoremen 5.4.1.

Vertetim. Nga monotonia dhe lineariteti i operatoreve C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

, si dhe nga supoz-imi se f ∈ LipL(γ), kemi∣∣∣C(α1,α2,β1,β2)

n1+p1,n2+p2( f ;qn1,qn2 ,x,y)− f (x,y)

∣∣∣≤C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

(| f (u,v)− f (x,y)|;qn1 ,qn2,x,y)

≤ LC(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

(‖ r− s ‖γ ;qn1,qn2,x,y) ,

ku r = (u,v) dhe s = (x,y).Duke zbatuar mosbarazimin e Holder-it per u1 =

2γ

dhe v1 =2

2−γ, si dhe Lemen 5.4.2, fi-

tojme:∣∣∣C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

( f ;qn1,qn2 ,x,y)− f (x,y)∣∣∣≤ L

C(α1,α2,β1,β2)

n1+p1,n2+p2

(‖ r− s ‖2,qn1,qn2,x,y

)γ/2

≤ L

C(α1,β1)n1+p1

((u− x)2,qn1,x

)+C(α2,β2)

n2+p2

((v− y)2,qn2 ,y

)γ/2,

me kete perfundon edhe vertetimi i teoremes.

Teoreme 5.4.3. [22] Supozojme qe f ∈C1(Ian1bn2). Atehere, per cdo (x,y) ∈ Iab, vlen∣∣∣C(α1,α2,β1,β2)

n1+p1,n2+p2( f ;qn1,qn2 ,x,y)− f (x,y)

∣∣∣≤‖ f′x ‖C(Iab)

√δn1(x)+ ‖ f

′y ‖C(Iab)

√δn2(y),

ku δn1(x) dhe δn2(y) jane te perkufizuara si ne Teoremen 5.4.1.

Vertetim. Le te jete (x,y) ∈ Iab nje pike e fiksuar, atehere vlene relacioni:

f (u,v)− f (x,y) =u∫

x

f′t (t,v)dt +

v∫y

f′z(x,z)dz, per (u,v) ∈ Iab.

Tani, aplikojme operatorin C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

ne barazimin e mesiperm dhe fitojme,

C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

( f (u,v);qn1,qn2,x,y)− f (x,y) =C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

u∫x

f′t (t,v)dt;qn1,qn2 ,x,y

+C(α1,α2,β1,β2)

n1+p1,n2+p2

v∫y

f′z(x,z)dz;qn1,qn2,x,y

.

Duke shfrytezuar sup-normen ne Iab, kemi:∣∣∣∣∣∣u∫

x

f′t (t,v)dt

∣∣∣∣∣∣≤u∫

x

∣∣∣ f ′t (t,v)dt∣∣∣ |du| ≤‖ f

′x ‖C(Iab)

|u− x|

85

5.4. OPERATORET E TIPIT CHLODOWSKY Q-BERNSTEIN-STANCU-KANTOROVICH

dhe ∣∣∣∣∣∣v∫

y

f′z(x,z)dz

∣∣∣∣∣∣≤v∫

y

∣∣∣ f ′z(x,z)∣∣∣ |dz| ≤‖ f′y ‖C(Iab)

|v− y|.

Duke perdorur keto mosbarazime, rrjedh se:

∣∣∣C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

( f (u,v);qn1,qn2,x,y)− f (x,y)∣∣∣≤C(α1,α2,β1,β2)

n1+p1,n2+p2

∣∣∣∣∣∣u∫

x

f′t (t,v)dt

∣∣∣∣∣∣ ;qn1,qn2,x,y

+C(α1,α2,β1,β2)

n1+p1,n2+p2

∣∣∣∣∣∣v∫

y

f′z(x,z)dz

∣∣∣∣∣∣ ;qn1,qn2,x,y

≤‖ f′x ‖Iab C(α1,β1)

n1+p1(|u− x|;qn1,x)+

+ ‖ f′y ‖Iab C(α2,β2)

n2+p2(|v− y|;qn2,y). (5.4.2)

Aplikojme mosbarazimin e Holder-it, dhe duke pasur parasysh qe C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

(1;qn1,qn2 ,x,y)=1 si dhe Lemen 5.4.2 kemi

C(α1,β1)n1+p1

(|u− x|;qn1,x)≤

C(α1,β1)n1+p1

((u− x)2;qn1,x)×C(α1,β1)n1+p1

(1;qn1 ,x)1/2

≤ δn1(x)1/2 . (5.4.3)

Ne menyre analoge, kemi

C(α2,β2)n2+p2

(|v− y|;qn2,y)≤

C(α2,β2)n2+p2

((v− y)2;qn2,y)×C(α2,β2)n2+p2

(1;qn2 ,y)1/2

≤ δn2(y)1/2 . (5.4.4)

Me kombinimin e relacioneve (5.4.2)-(5.4.4), fitojme∣∣∣C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

( f ;qn1,qn2,x,y)− f (x,y)∣∣∣≤‖ f

′x ‖C(Iab)

√δn1(x)+ ‖ f

′y ‖C(Iab)

√δn2(y).

Me kete perfundon edhe vertetimi i teoremes.Le te jete C2(Iab) hapesira e te gjithe funksioneve f te tille qe ∂ i f

∂xi ,∂ i f∂xi ∈C(Iab),(i = 1,2).

Ne [27] norma ne hapesiren C2(Iab) perkufizohet me barazimin:

‖ f ‖C2(Iab)=‖ f ‖C(Iab) +

2

∑i=1

(∣∣∣∣∣∣∂ i f∂xi

∣∣∣∣∣∣C(Iab)

+∣∣∣∣∣∣∂ i f

∂yi

∣∣∣∣∣∣C(Iab)

).

Per f ∈C(Iab) dhe δ > 0, ne ([54, 90]) Peetre K-funksionali dhe moduli i lemueshmerisese rendit te dyte perkufizohet me infimumin:

K( f ;δ ) = infg∈c2(Iab)

‖ f −g ‖C(Iab) +δ ‖ g ‖C(Iab)

dhe suprimumin:

ω2( f ;δ ) = sup√u2+v2≤δ

‖ f (x+2u,y+2v)−2 f (x+u,y+ v)+ f (x,y) ‖C(Iab),

86

5.4. OPERATORET E TIPIT CHLODOWSKY Q-BERNSTEIN-STANCU-KANTOROVICH

respektivisht, ku ‖ · ‖C(Iab) eshte sup-norma.Ne ([71], faqe 192) tregohet se ekziston konstanta pozitive L, e cila nuk varet nga δ dhe

f e tille qe te vlene:

K( f ;δ )≤ L

ω2( f ;δ )+min(1,δ ) ‖ f ‖C(Iab)

.

Teorema ne vazhdim jep shpejtesine e konvergjences se perafrimeve te operatoreve teperkufizuar ne (5.4.1) me ane te modulit te vazhdueshmerise se funksionit.

Teoreme 5.4.4. [22] Le te jete f ∈ C(Ian1bn2). Marrim ne konsiderim operatorin e modi-

fikuar:

C∗(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

( f ;qn1 ,qn2,x,y) =C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

( f ;qn1,qn2,x,y)

+ f (x,y)− f (un1,vn2). (5.4.5)

Atehere, per cdo g ∈C2(Iab), vlen:

|C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

( f ;qn1,qn2,x,y)− f (x,y)| ≤ L

ω2(

f ;√

λn1,n2,p1,p2(qn1 ,qn2,x,y))

+min

1,λn1,n2,p1,p2(qn1,qn2,x,y)‖ f ‖C(Iab)

+ω

(f ;√(un1− x)2 +(vn2− y)2

),

ku un1 =2qn1 [n1+p1]qn1

x+(1+[2]qn1α1)an1

[2]qn1([n1+1]qn1

+β1), vn2 =

2qn2 [n2+p2]qn2y+(1+[2]qn2

α2)bn2[2]qn2

([n2+1]qn2+β2)

.

Vertetim. Nga relacioni (5.4.5) si dhe duke shfrytezuar Lemen 5.4.2, kemi C∗(α1,α2,β1,β2)n+1+p1,n2+p2

(1,

qn1,qn2;x,y) = 1, C∗(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

(u−x;qn1 ,qn2,x,y) = 0, dhe C∗(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

(v−y;qn1 ,qn2,

x,y) = 0. Duke shfrytezuar teoremen e Taylor-it per funksionin g∈C2(Iab), mund te shkru-ajme:

g(u,v)−g(x,y) =∂g(x,y)

∂x(u− x)+

u∫x

(u−α)∂ 2g(α,y)

∂α2 dα

+∂g(x,y)

∂y(v− y)+

v∫y

(v−β )∂ 2g(x,β )

∂β 2 dβ . (5.4.6)

Aplikojme operatorin C∗(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

( f ;qn1,qn2 ,x,y) ne te dy anet e ekuacionit te mesipermfitojme:

C∗(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

(g(u,v);qn1,qn2,x,y)−g(x,y)

=C∗(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

u∫x

(u−α)∂ 2g(α,y)

∂α2 dα;qn1 ,qn2,x,y

87

5.4. OPERATORET E TIPIT CHLODOWSKY Q-BERNSTEIN-STANCU-KANTOROVICH

+C∗(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

v∫y

(v−β )∂ 2g(x,β )

∂β 2 dβ ;qn1,qn2,x,y)

=C(α1,α2,β1,β2)

n1+p1,n2+p2

u∫x

(u−α)∂ 2g(α,y)

∂α2 dα;qn1 ,qn2,x,y)

− un1∫x

(un1−α)∂ 2g(x,α)

∂α2 dα

+C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

v∫y

(v−β )∂ 2g(β ,x)

∂β 2 dβ ;qn1,qn2,x,y)

− vn2∫y

(vn2−β )∂ 2g(x,β )

∂β 2 dβ .

Ne anen tjeter, meqenese∣∣∣∣ u∫x(u−α)∂ 2g(α,y)

∂α2 dα

∣∣∣∣≤ ∣∣∣∣ u∫x|(u−α)|

∣∣∣∂ 2g(α,y)∂α2

∣∣∣dα

∣∣∣∣≤‖ g ‖C2(Iab)

∣∣∣∣ u∫x|u−α|

∣∣∣∂ 2g(α,y)∂α2

∣∣∣dα

∣∣∣∣≤‖ g ‖C2(Iab)(u− x)2,

dhe ne menyre te ngjashme∣∣∣∣∣un1∫x(un1−α)∂ 2g(α,y)

∂α2 dα

∣∣∣∣∣≤ (un1− x)2 ‖ g ‖C2(Iab),

perfundojme:∣∣∣C∗(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

(g;qn1,qn2,x,y)−g(x,y))∣∣∣

≤C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

∣∣∣∣∣∣u∫

x

(u−α)∂ 2g(α,y)

∂α2 dα

∣∣∣∣∣∣ ;qn1,qn2 ,x,y)

+

∣∣∣∣∣∣un1∫x

(un1−α)∂ 2g(x,α)

∂α2 dα

∣∣∣∣∣∣+C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

∣∣∣∣∣∣v∫

y

(v−β )∂ 2g(β ,x)

∂β 2 dα

∣∣∣∣∣∣ ;qn1,qn2 ,x,y

+

∣∣∣∣∣∣vn2∫y

(vn2−β )∂ 2g(x,β )

∂β 2 dβ

∣∣∣∣∣∣≤

C(α1,β1)n1+p1

((u− x)2;qn1,x)− (un1− x)2) ‖ g ‖C2

(Iab)

+

C(α2,β2)n2+p2

((v− y)2;qn2 ,y)+(vn2− y)2) ‖ g ‖C2

(Iab)

≤

δn1 +δn2 +(un1− x)2 +(vn2− y)2 ‖ g ‖C2(Iab)

= λn1,n2( f ;qn1,qn2,x,y) ‖ g ‖C2(Iab). (5.4.7)

Pervec kesaj, nga Lema 5.4.2 dhe nga relacionet (5.4.1) dhe (5.4.5), kemi:∣∣∣C∗(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

( f ;qn1,qn2,x,y)∣∣∣≤ ∣∣∣C(α1,α2,β1,β2)

n1+p1,n2+p2( f ;qn1,qn2,x,y)

∣∣∣+ | f (x,y)|+ | f (un1 ,vn2)| ≤ 3 ‖ f ‖C(Iab) (5.4.8)

Prandaj, nga Lema 5.4.2 dhe nga relacionet (5.4.7) dhe (5.4.8), fitojme:

88

5.4. OPERATORET E TIPIT CHLODOWSKY Q-BERNSTEIN-STANCU-KANTOROVICH

∣∣∣C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

( f ;qn1,qn2,x,y)− f (x,y)∣∣∣

=∣∣∣C∗(α1,α2,β1,β2)

n1+p1,n2+p2( f ;qn1,qn2,x,y)− f (x,y)+ f (un1 ,vn2)− f (x,y)

∣∣∣≤∣∣∣C∗(α1,α2,β1,β2)

n1+p1,n2+p2( f −g;qn1,qn2,x,y)

∣∣∣+ ∣∣∣C∗(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

(g;qn1,qn2,x,y)−g(x,y)∣∣∣

+ |g(x,y)− f (x,y)|+ | f (un1,vn2)− f (x,y)| ≤ 4 ‖ f −g ‖C(Iab)

+∣∣∣C∗(α1,α2,β1,β2)

n1+p1,n2+p2(g;qn1,qn2,x,y)−g(x,y)

∣∣∣+ | f (un1 ,vn2)− f (x,y)| ≤

(4 ‖ f −g ‖C(Iab) +λn1,n2( f ;qn1,qn2,x,y)

)‖ g ‖C(Iab)

+ω

(f ;√(un1− x)2 +(vn2− y)2

)≤ 4K ( f ;λn1,n2,p1,p2(qn1,qn2,x,y))

+ω

(f ;√(un1− x)2 +(vn2− y)2

)≤ L

ω2

(f ;√

λn1,n2,p1,p2(qn1,qn2,x,y))+

+min1,λn1,n2,p1,p2(qn1,qn2,x,y) ‖ f ‖C(Iab)

+ω

(f ;√(un1− x)2 +(vn2− y)2

).

Me kete merr fund vertetimi i Teoremes.

Teoreme 5.4.5. [22] Le te jene ∂ f∂x dhe ∂ f

∂y derivatet e pjesshme te funksionit f (x,y) dhe

ω(1)( f′x;δ ) dhe ω(2)( f

′y;δ ) modulet e vazhdueshmerise te derivateve te pjeseshme ∂ f

∂x dhe∂ f∂y respektivisht. Atehere vlen:∣∣∣C(α1,α2,β1,β2)

n1+p1,n2+p2( f ;qn1,qn2,x,y)− f (x,y)

∣∣∣≤M1λn1(x)+M2λn2(y)

+ω(1)( f′x;δn1)(1+

√δn1)+ω(2)( f

′y;δn2)(1+

√δn2),

ku M1,M2 jane konstante pozitive te tilla qe∣∣∣∂ f

∂x

∣∣∣≤M1,∣∣∣∂ f

∂y

∣∣∣≤M2, (0≤ x≤ a,0≤ y≤ b),

dhe λn1(x) =∣∣∣∣ 2qn1 [n1+p1]qn1[2]qn1

([n1+1]qn1+β1)−1∣∣∣∣x+ (1+[2]qn1

α1)an1[2]qn1

([n1+1]qn1+β1)

,

λn2(y) =∣∣∣∣ 2qn2 [n2+p2]qn2[2]qn2

([n2+1]qn2+β2)−1∣∣∣∣y+ (1+[2]qn2

α2)bn2[2]qn2

([n2+1]qn2+β2)

.

Vertetim. Nga teorema mbi vleren mesatare kemif (Ψ1(t1),Ψ2(t2))− f (x,y) = f (Ψ1(t1),y)− f (x,y)+ f (Ψ1(t1),Ψ2(t2))− f (Ψ1(t1),y)

= (Ψ1(t1)− x)∂ f (ξ1,y)∂x +(Ψ2(t2)− y)∂ f (x,ξ2)

∂y = (Ψ1(t1)− x)∂ f (x,y)∂x

+(Ψ1(t1)−x)(

∂ f (ξ1,y)∂x − ∂ f (x,y)

∂x

)+(Ψ2(t2)−y)∂ f (x,y)

∂y +(Ψ2(t2)−y)(

∂ f (x,ξ2)∂y − ∂ f (x,y)

∂y

),

ku x < ξ1 < Ψ1(t1) dhe y < ξ2 < Ψ2(t2). Duke shfrytezuar identitetin e mesiperm, rrjedhbarazimi:

C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

( f ;qn1 ,qn2,x,y)− f (x,y) =

89

5.4. OPERATORET E TIPIT CHLODOWSKY Q-BERNSTEIN-STANCU-KANTOROVICH

=∂ f (x,y)

∂x

n1+p1

∑k1=0

n2+p2

∑k2=0

pk1n1+p1

(x)pk2n2+p2

(y)1∫

0

1∫0

(Ψ1(t1)− x)dqn1t1dqn2

t2

+n1+p1

∑k1=0

n2+p2

∑k2=0

1∫0

1∫0

(Ψ1(t1)− x)(

∂ f (ξ1,y)∂x

− ∂ f (x,y)∂x

)pk1

n1+p1(x)pk2

n2+p2(y)dqn1

t1dqn2t2

+∂ f (x,y)

∂y

n1+p1

∑k1=0

n2+p2

∑k2=0

1∫0

1∫0

(Ψ2(t2)− y)pk1n1+p1

(x)pk2n2+p2

(y)dqn1t1dqn2

t2

+n1+p1

∑k1=0

n2+p2

∑k2=0

1∫0

1∫0

(Ψ2(t2)− y)(

∂ f (x,ξ2)

∂y− ∂ f (x,y)

∂y

)pk1

n1+p1(x)pk2

n2+p2(y)dqn1

t1dqn2t2.

Ne kete menyre,∣∣∣C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

( f ;qn1,qn2 ,x,y)− f (x,y)∣∣∣

≤∣∣∣∣∂ f (x,y)

∂x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣n1+p1

∑k1=0

n2+p2

∑k2=0

pk1n1+p1

(x)pk2n2+p2

(y) ·1∫

0

1∫0

(Ψ1(t1)− x)dqn1t1dqn2

t2

∣∣∣∣∣+

n1+p1

∑k1=0

n2+p2

∑k2=0

1∫0

1∫0

|Ψ1(t1)− x|∣∣∣∣∂ f (ξ1,y)

∂x− ∂ f (x,y)

∂x

∣∣∣∣ pk1n1+p1

(x)pk2n2+p2

(y)dqn1t1dqn2

t2

+

∣∣∣∣∂ f (x,y)∂y

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣n1+p1

∑k1=0

n2+p2

∑k2=0

1∫0

1∫0

(Ψ2(t2)− y)pk1n1+p1

(x)pk2n2+p2

(y)dqn1t1dqn2

t2

∣∣∣∣∣∣++

n1+p1

∑k1=0

n2+p2

∑k2=0

1∫0

1∫0

|Ψ2(t2)− y|∣∣∣∣∂ f (x,ξ2)

∂y− ∂ f (x,y)

∂y

∣∣∣∣ pk1n1+p1

(x)pk2n2+p2

(y)dqn1t1dqn2

t2

≤M1

∣∣∣C(α1,β1)n1+p1

(e10− x,qn1,x)∣∣∣+M2

∣∣∣C(α2,β2)n2+p2

(e01− y,qn2,y)∣∣∣

+n1+p1

∑k1=0

n2+p2

∑k2=0

1∫0

1∫0

|Ψ1(t1)−x|ω(1)( f′x;δn1)

(|Ψ1(t1)− x|

δn1

+1)

pk1n1+p1

(x)pk2n2+p2

(y)dqn1t1dqn2

t2

+n1+p1

∑k1=0

n2+p2

∑k2=0

1∫0

1∫0

|Ψ2(t2)−y|ω(2)( f′y;δn2)

(|Ψ2(t2)− y|

δn2

+1)

pk1n1+p1

(x)pk2n2+p2

(y)dqn1t1dqn2

t2.

Duke shfrytezuar mosbarazimet e mesiperme, kemi

C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

( f ;qn1,qn2,x,y)− f (x,y)≤

≤M1

∣∣∣C(α1,β1)n1+p1

(e10− x,qn1,x)∣∣∣+M2

∣∣∣C(α2,β2)n2+p2

(e01− y,qn2,y)∣∣∣+

90

5.4. OPERATORET E TIPIT CHLODOWSKY Q-BERNSTEIN-STANCU-KANTOROVICH

+ω(1)( f

′x;δn1)

n1+p1

∑k1=0

n2+p2

∑k2=0

1∫0

1∫0

|Ψ1(t1)− x|pk1n1+p1

(x)pk2n2+p2

(y)dqn1t1dqn2

t2

+ω(1)( f

′x;δn1)

δn1

n1+p1

∑k1=0

n2+p2

∑k2=0

1∫0

1∫0

|Ψ1(t1)− x|2 pk1n1+p1

(x)pk2n2+p2

(y)dqn1t1dqn2

t2

+ω(2)( f

′y;δn2)

n1+p1

∑k1=0

n2+p2

∑k2=0

1∫0

1∫0

|Ψ2(t2)− y|pk1n1+p1

(x)pk2n2+p2

(y)dqn1t1dqn2

t2

+ω(2)( f

′y;δn2)

δn2

n1+p1

∑k1=0

n2+p2

∑k2=0

1∫0

1∫0

|Ψ2(t2)− y|2 pk1n1+p1

(x)pk2n2+p2

(y)dqn1t1dqn2

t2.

Tani, duke aplikuar mosbarazimin e Cauchy-Schwarz-it fitojme:

C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

( f ;qn1,qn2,x,y)− f (x,y)≤

≤M1

∣∣∣C(α1,β1)n1+p1

(e10− x,qn1,x)∣∣∣+M2

∣∣∣C(α2,β2)n2+p2

(e01− y,qn2,y)∣∣∣

+ω(1)( f

′x;δn1)

n1+p1

∑k1=0

n2+p2

∑k2=0

1∫0

1∫0

(Ψ1(t1)−x)2 pk1n1+p1

(x)pk2n2+p2

(y)dqn1t1dqn2

t2

1/2

+ω(1)( f

′x;δn1)

δn1

n1+p1

∑k1=0

n2+p2

∑k2=0

1∫0

1∫0

(Ψ1(t1)− x)2 pk1n1+p1

(x)pk2n2+p2

(y)dqn1t1dqn2

t2

+ω(2)( f

′y;δn2)

n1+p1

∑k1=0

n2+p2

∑k2=0

1∫0

1∫0

(Ψ2(t2)−y)2 pk1n1+p1

(x)pk2n2+p2

(y)dqn1t1dqn2

t2

1/2

+ω(2)( f

′y;δn2)

δn2

n1+p1

∑k1=0

n2+p2

∑k2=0

1∫0

1∫0

(Ψ2(t2)− y)2 pk1n1+p1

(x)pk2n2+p2

(y)dqn1t1dqn2

t2

= M1

∣∣∣C(α1,β1)n1+p1

(e10− x,qn1 ,x)∣∣∣+M2

∣∣∣C(α2,β2)n2+p2

(e01− y,qn2,y)∣∣∣

+ω(1)( f

′x;δn1)

C(α1,β1)

n1+p1

(u− x)2,qn1,x

)1/2

+C(α1,β1)n1+p1

((u− x)2,qn1,x

)+ω

(2)( f′y;δn2)

C(α2,β2)

n2+p2

(v− y)2,qn2,y

)1/2

+C(α2,β2)n2+p2

((v− y)2,qn2,y

).

Ne fund zgjedhim δn1 = δn1(x) dhe δn2 = δn2(y), kemi∣∣∣C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

( f ;qn1 ,qn2,x,y)− f (x,y)∣∣∣≤M1λn1(x)+M2λn2(y)

+ω(1)( f′x;δn1)(1+

√δn1)+ω(2)( f

′y;δn2)(1+

√δn2).

Ne vijim marrim disa shembuj numerike te paraqitjes grafike, qe tregojne konvergjencen eoperatoreve te tipit Chlodowsky q-Bernstein-Stancu-Kantorovich kah funksioni f (x,y).

91

5.5. VETITE E PERAFRIMEVE ME PESHE

Shembulli 5.4.4. Le te marrim ne konsiderim funksionin f : R2 → R, te perkufizuar mef (x,y) = x2y−xy2. Per n1,n2 = 100, p1, p2 = 2, α1 = α2 = 3.86, β1 = β2 = 12.96, qn1 =1− 1/

√n1, qn2 = 1− 1/

√2n2 dhe an1 = an2 = ln(n1), bn1 = bn2 = ln(n2), konvergjenca

e operatoreve C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

( f ;qn1,qn2,x,y) (ngjyra e kaltert) tek funksioni f (x,y) (ngjyraportokalli), eshte paraqitur ne Figuren 5.1 a).

Shembulli 5.4.5. Per n1,n2 = 500, p1, p2 = 3, α1 = α2 = 1.5, β1 = β2 = 21.6, qn1 = 1−1/√

n1, qn2 = 1−1/√

2n2 dhe an1 = an2 = ln(n1), bn1 = bn2 = ln(n2), atehere konvergjenca

e operatoreve C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

( f ;qn1,qn2,x,y) (ngjyra e kaltert) kah funksioni f (x,y) = x2y−xy2 (ngjyra portokalli), eshte paraqitur ne Figuren 5.1 b).

(a) (b)

Figure 5.1

5.5 Vetite e perafrimeve me pesheNe rastin rastin kur funksioni f nuk eshte uniformisht i vazhdueshem ne [0,∞), ateheremoduli i vazhdueshmerise se rendit te pare ω( f ;δ ) nuk konvergjon ne zero, kur δ → 0.Prandaj, per te marre rezultatet tona na duhet perkufizimi i funksioneve me peshe.

Le te jete R2+ = (x,y) : x≥ 0,y≥ 0 dhe Ian1 bn2

= (x,y) : 0≤ x≤ an1,0≤ y≤ bn2. Lete jete C(R2

+) hapesira e te gjitha funksioneve te vazhdueshme f ne R2+ e tille qe ploteson

konditen | f (x,y)| ≤ M f ρ(x,y), ku ρ(x,y) = 1+ x2 + y2 dhe M f eshte konstante qe varetvetem nga funksioni f . Eshte e qarte se C(R2

+) eshte hapesire lineare e normuar e pajisurme normen ‖ f ‖ρ= sup

(x,y)∈R2+

| f (x,y)|ρ(x,y) .

Leme 5.5.1. ([12, 13]) Kondite e nevojshme dhe e mjaftueshme qe vargu i operatorevelineare pozitive An1,n2n1,n2≥1 te jete nga Cρ(R2

+) ne Bρ(R2+), eshte qe te plotesohet mos-

barazimi:‖ An1,n2(ρ;x,y) ‖ρ≤ k

92

5.5. VETITE E PERAFRIMEVE ME PESHE

ku k eshte konstante pozitive .

Teoreme 5.5.1. ([12, 13].) Ne qofte se vargu i operatoreve lineare pozitive An1,n2 , ngaCρ(R2

+) ne Bρ(R2+), ploteson kushtet

limn1,n2→∞

‖ An1,n2(1;x,y)−1 ‖ρ= 0, (5.5.1)

limn1,n2→∞

‖ An1,n2(t1;x,y)− x ‖ρ= 0, (5.5.2)

limn1,n2→∞

‖ An1,n2(t2;x,y)−1 ‖ρ= 0, (5.5.3)

limn1,n2→∞

‖ An1,n2((t21 + t2

2);x,y)− (x2 + y2) ‖ρ= 0, (5.5.4)

atehere, per cdo funksion f ∈Ckρ(R2

+), vlen

limn1,n2→∞

‖ An1,n2 f − f ‖ρ= 0,

dhe ekziston funksioni f ∗ ∈Ckρ(R2

+), per te cilin vlen mosbarazimi

limn1,n2→∞

‖ An1,n2 f ∗− f ∗ ‖ρ≥ 1.

Teoreme 5.5.2. ([12, 13]) Le te jete An1,n2 varg i operatoreve lineare pozitive nga Cρ(R2+)

ne Bkρ(R2

+), dhe le te jete ρ1(x,y)≥ 1 funksion i vazhdueshem per te cilin vlen

lim|v|→∞

ρ(v)ρ1(v)

= 0, (ku v = (x,y)). (5.5.5)

Ne qofte se An1,n2 ploteson konditat e Teoremes 5.5.1 atehere per cdo f ∈Cρ(R2+),

limn1,n2→∞

‖ An1,n2 f − f ‖ρ1= 0.

Ne vazhdim, marrim ne konsiderim vargun e operatoreve lineare pozitive An1,n2 , te perkufizuarme shprehjen:

An1,n2( f ;qn1,qn2,x,y) =

C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

nese (x,y) ∈ Ian1bn2

f (x,y) nese (x,y) ∈ R2+\Ian1bn2

(5.5.6)

ku Ian1 bn2= (x,y) : 0≤ x≤ an1,0≤ y≤ bn2 .

Teoreme 5.5.3. [22] Le te jete An1,n2 varg i operatoreve lineare pozitive i perkufizuar ne(5.5.6). Atehere, per cdo f ∈Cρ(R2

+), kemi

limn1,n2→∞

‖ An1,n2 f − f ‖ρ1= 0,

ku ρ(x,y) = 1+x2+y2, ndersa ρ1(x,y) eshte funksion i vazhdueshem qe ploteson konditat(5.5.5), dhe an1 dhe bn2 jane vargje te numrave reale pozitive qe plotesojne vetitevijuese:

limn1→∞

an1 = limn2→∞

bn2 = ∞ and limn1→∞

an1

[n1]qn1

= limn2→∞

bn2

[n2]qn2

= 0.

93

5.5. VETITE E PERAFRIMEVE ME PESHE

Vertetim. Fillimisht, tregojme qe An1,n2 eshte nga Cρ(R2+) ne Bρ(R2

+). Duke shfrytezuarLemen 5.4.2, mund te shkruajme

‖ An1,n2(ρ;qn1,qn2 ,x,y) ‖ρ≤ 1+[n1 + p1−1]qn1

[n1 + p1]qn1

([n1 +1]qn1+β1)2

(4q4

n1+q3

n1+q2

n1

[3]qn1[2]qn1

)

· sup(x,y)∈Ian1 bn2

x2

1+ x2 + y2 +[n1 + p1]qn1

an1

([n1 +1]qn1+β1)2

(4q3

n1(1+α1)+q2

n1(4α1 +5)+qn1(4α1 +3)

[3]qn1[2]qn1

)

· sup(x,y)∈Ian1 bn2

x1+ x2 + y2 +

[n2 + p2−1]qn2[n2 + p2]qn2

([n2 +1]qn2+β2)2

(4q4

n2+q3

n2+q2

n2

[3]qn2[2]qn2

)

· sup(x,y)∈Ian1 bn2

y2

1+ x2 + y2 +[n2 + p2]qn2

bn2

([n2 +1]qn2+β2)2

(4q3

n2(1+α2)+q2

n2(4α2 +5)+qn2(4α2 +3)

[3]qn2[2]qn2

)

· sup(x,y)∈Ian1 bn2

y1+ x2 + y2 +

a2n1

([n1 +1]qn1+β1)2

([4]qn1

α21 +2α1[3]qn1

+[2]qn1(1+qn1α2

1 )

[3]qn1[2]qn1

)

+b2

n2

([n2 +1]qn2+β2)2

([4]qn2

α22 +2α2[3]qn2

+[2]qn2(1+qn2α2

2 )

[3]qn2[2]qn2

)= θn1,n2 +φn1,n2,

ku θn1,n2 =[n1 + p1−1]qn1

[n1 + p1]qn1

([n1 +1]qn1+β1)2

(4q4

n1+q3

n1+q2

n1

[3]qn1[2]qn1

)

+[n2 + p2−1]qn2

[n2 + p2]qn2

([n2 +1]qn2+β2)2

(4q4

n2+q3

n2+q2

n2

[3]qn2[2]qn2

),

dhe φn1,n2 =[n1 + p1]qn1

an1

([n1 +1]qn1+β1)2

(4q3

n1(1+α1)+q2

n1(4α1 +5)+qn1(4α1 +3)

[3]qn1[2]qn1

)

+[n2 + p2]qn2

bn2

([n2 +1]qn2+β2)2

(4q3

n2(1+α2)+q2

n2(4α2 +5)+qn2(4α2 +3)

[3]qn2[2]qn2

)

+a2

n1

([n1 +1]qn1+β1)2

([4]qn1

α21 +2α1[3]qn1

+[2]qn1(1+qn1α2

1 )

[3]qn1[2]qn1

)

+b2

n2

([n2 +1]qn2+β2)2

([4]qn2

α22 +2α2[3]qn2

+[2]qn2(1+qn2α2

2 )

[3]qn2[2]qn2

).

Meqenese limn1,n2→∞

θn1,n2 = 2 dhe limn1,n2→∞

φn1,n2 = 0, atehere ekziston konstanta k, e tille

qe per cfaredo numra natyral n1 dhe n2 vlene θn1,n2 +φn1,n2 < k. Prej nga rrjedh,

‖ An1,n2(ρ;qn1,qn2,x,y) ‖ρ≤ 1+ k.

Nga Lema 5.5.1, kemi An1,n2 : Cρ(R2+)→ Cρ(R2

+). Ne qofte se tregojme se plotesohenkonditat e Teoremes 5.5.2, atehere vertetimi i Teoremes 5.5.3 perfundon. Duke shfrytezuarLemen 5.4.2, fitojme relacionet (5.5.1)-(5.5.3). Ne fund, duke shfrytezuar Lemen 5.4.2

94

5.6. GJENERALIZIMI I OPERATOREVE TE TIPIT CHLODOWSKY Q-BERNSTEIN- STANCU-KANTOROVICH

kemi:‖ An1,n2(e20 + e02;qn1,qn2,x,y)− (x2 + y2) ‖ρ≤ φn1,n2,

dhe meqenese limn1,n2→∞

φn1,n2 = 0, atehere plotesohet relacioni (5.5.4), me kete mbaron

vertetimi i teoremes.

Teoreme 5.5.4. [22] Le te jete An1,n2 varg i operatoreve lineare pozitive i perkufizuar ne(5.5.6). Atehere, per cdo funksion f ∈Cρ(R2

+), kemi

limn1,n2→∞

‖ An1,n2 f − f ‖ρ= 0.

Vertetim. Nga relacionet (5.5.1)-(5.5.4), rrjedh se:

limn1,n2→∞

‖ An1,n2(1;qn1 ,qn2,x,y)−1 ‖ρ= 0,

limn1,n2→∞

‖ An1,n2(e10;qn1 ,qn2,x,y)− x ‖ρ= 0,

limn1,n2→∞

‖ An1,n2(e01;qn1,qn2,x,y)− y ‖ρ= 0,

limn1,n2→∞

‖ An1,n2(e20 + e02;qn1 ,qn2,x,y)− (x2 + y2) ‖ρ= 0,

dhe pasi te zbatojme Teoremen 5.5.1, menjehere fitojme rezultatin e deshiruar.

5.6 Gjeneralizimi i operatoreve te tipit Chlodowsky q-Bernstein-Stancu- Kantorovich

Ne kete paragraf jane gjeneralizuar operatoret e tipit Chlodowsky q-Bernstein-Stancu-Kantorovich C(α1,α2,β1,β2)

n1+p1,n2+p2, te cilet mund te perdoren per te perafruar funksionet e vazh-

dueshme me peshe ne hapesirat me te pergjithshme. Per x,y ≥ 0, marrim ne konsiderimfunksionin e vazhdueshem θ(x,y)≥ 1 dhe perkufizojme funksionin

Ff (u,v) = f (u,v)θ(u,v)

1+u2 + v2 .

Le te marrim parasysh pergjithesimin e operatoreve C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

( f ;qn1,qn2,x,y) si vijon:

C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

( f ;x,y)= ρ(x,y)θ(u,v)

n1+p1

∑k1=0

n2+p2

∑k2=0

pk1n1+p1

(x)pk2n2+p2

(y)1∫0

1∫0

Ff (Ψ1(t1)Ψ2(t2))dqn1t1dqn2

t2,

ku (x,y) ∈ Ian1 ,bn2,ρ(x,y) = 1+ x2 + y2 dhe an1, bn2 kane vetite e njejta si ne rastin e

operatoreve te tipit Chlodowsky q-Bernstein-Stancu-Kantorovich.

Teoreme 5.6.1. [22] Nese per funksionin e vazhdueshem f qe ploteson mosbarazimin | f (x,y)|·θ(x,y)≤M f ;x,y≥ 0, vlene lim

|Ψ|→∞

1+|Ψ|2θ(Ψ) = 0, ( ku Ψ = (x,y)) atehere:

limn1,n2→∞

‖ C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

( f ;x,y)− f (x,y) ‖ρ= 0,

ku ρ = 1+ x2 + y2 eshte funksion peshe.

95

5.7. PERAFRIMET E FUNKSIONEVE TE VAZHDUESHME NE HAPESIREN E BOGEL-IT

Vertetim. Qartazi,

∣∣∣C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

( f ;x,y)− f (x,y)∣∣∣= ∣∣∣∣∣1+x2+y2

ϕ(u,v)

n1+p1

∑k1=0

n2+p2

∑k2=0

pk1n1+p1

(x)pk2n2+p2

(y)

1∫0

1∫0

Ff (Ψ1(t1),Ψ2(t2))dqn1t1dqn2

t2−Ff (x,y)

∣∣∣∣∣Rrjedhimisht, kemi

supx,y∈Ian1 ,bn2

∣∣∣C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

( f ;x,y)− f (x,y)∣∣∣

1+ x2 + y2 = supx,y∈Ian1 ,bn2

∣∣∣C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

(Ff ;x,y

)−Ff (x,y)

∣∣∣1+ x2 + y2 .

Ne baze te mosbarazimit | f (x,y)| · φ(x,y) ≤ M f , dhe vazhdueshmerise se funksionit f ,kemi |Ff (x,y)| ≤M f ρ(x,y), ku x,y≥ 0 dhe Ff (x,y) eshte funksion i vazhdueshem ne R2.Duke shfrytezuar Teoremen 5.5.2, menjeher vertetimi i teoremes.

5.7 Perafrimet e funksioneve te vazhdueshme ne hapesirene Bogel-it

Ne kete paragraf, jane konstruktuar GBS operatoret, per operatoret e tipit Chlodowskyq- Bernstein-Stancu-Kantorovich te perkufizuar me relacionin (5.5.5) dhe eshte shqyrtuarshpejtesia e konvergjences ne terma te modulit te perzier te lemueshmerise. Ne [42, 55],Karl Bogel perkufizoi funksionet B-te vazhdueshme dhe B- te diferencueshme. Kuptimindhe perkufizimin e GBS (Generalized Boolean Sum) operatoreve e futen Badea dhe Cottinne [30].Le te jene I dhe J intervale reale kompakte dhe A = I× J. Per cdo funksion f : A→ R dheper cdo (u,v),(x,y)∈ A, le te jete ∆(u,v) f (x,y) operatori i diferences se perzier i perkufizuarme barazimin:

∆(u,v) f (x,y) = f (u,v)− f (u,y)− f (x,v)+ f (x,y).

Shenojme me Bb(A), bashkesine e te gjithe funksioneve B-te kufizuara ne A te pajisurme normen ‖ f ‖B= sup

(x,y),(u,v)∈A|∆(u,v) f (x,y)|. Per te vleresuar shpejtesine e perafrimit te

nje funksioni B-te vazhdueshem duke perdorur operatoret lineare pozitive, nje elementtjeter i rendesishem eshte moduli i perzier i vazhdueshmerise se operatorit. Le te jetef ∈ Bb(Ian1bn2

). Moduli i perzier i vazhdueshmerise se funksionit f eshte funksioni ωB :[0,∞)× [0,∞)→ R, i perkufizuar me relacionin:

ωB( f ;δ1,δ2) = sup∆(u,v) f (x,y) : |u− x| ≤ δ1, |v− y| ≤ δ2, per cdo (u,v),(x,y) ∈ A.

Badea dhe Cottin ne [30] dhane vetite e modulit te perzier te vazhdueshmerise. Vetite emodulit te perzier te vazhdueshmerise provohen ne menyre te ngjashme sikurse ato te mod-ulit te zakonshem te vazhdueshmerise. Le te jete L : Cb(A)→ Bb(A) operator linear pozitiv.Per cdo funksion f ∈Cb(A) dhe (x,y) ∈ A operatori UL : Cb(A)→ Bb(A) i perkufizuar me

96

5.7. PERAFRIMET E FUNKSIONEVE TE VAZHDUESHME NE HAPESIREN E BOGEL-IT

baraziminUL( f (u,v);x,y) = L( f (u,y)+ f (x,v)− f (u,v);x,y),

thuhet se eshte GBS operator (Generalized Boolean Sum operator) ne lidhje me operatorinL. Per cdo funksion f ∈Cb(Ian1bn2

) dhe n1,n2 ∈ N, perkufizojme GBS operatorin, ne lidhje

me operatorin C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

e dhene ne relacionin (5.5.5), me barazimin:

A(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

( f (u,v);qn1,qn2,x,y) =C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

(f (u,y)

+ f (x,v)− f (u,v);qn1 ,qn2,x,y)

(5.7.1)

per cdo (x,y) ∈ Iab.Me fjale tjera, per cdo f ∈ Cb(Ian1bn2

), GBS operatori i tipit Chlodowsky q-Bernstein-Stancu-Kantorovich jepet me:

A(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

( f (u,v);qn1 ,qn2,x,y) =n1+p1

∑k1=0

n2+p2

∑k2=0

pk1n1+p1

(x)pk2n2+p2

(y)

×1∫

0

1∫0

( f (Ψ1(t1),y)+ f (x,Ψ2(t2))− f (Ψ1(t1),Ψ2(t2));qn1,qn2,x,y)dqn1t1dqn2

t2

ku Ψ1(t1) dhe Ψ2(t2) perkufizohen si ne relacionin (5.4.1).

Teoreme 5.7.1. [22] Supozojme se qn1 ,qn2 ∈ (0,1) jane te tille qe limni→∞

qni = 1, i = 1,2.

Atehere per cdo f ∈Cb(Ian1bn2) dhe (x,y) ∈ Iab, vlene:

|A(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

( f (u,v);qn1,qn2 ,x,y)− f (x,y)| ≤ 4ωB( f ;δn1,δn2).

Perafrimet per funksionet e vazhdueshme sipas Bogel-it me ane te klases se funksioneveLipschitz-it. Per 0 < γ ≤ 1, le te jete

LipLγ =

f ∈C(Ian1bn2) : |∆(x,y) f [t,s;x,y]| ≤ L||r− s||γ

,

klasa e funksioneve B-te vazhdueshme sipas Lipschitz-it ku r = (u,v),s = (x,y) ∈ Ian1bn2

dhe ‖ r− s ‖=(u− x)2 +(v− y)2

1/2

eshte norma Euklidiane. Teorema ne vazhdim jep

shpejtesine e konvergjences se operatoreve A(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

( f (u,v);qn1,qn2,x,y) ne terma teklases se funksioneve te Lipschitz-it.

Teoreme 5.7.2. [22] Le te jete (x,y) ∈ Iab. Nese f ∈ LipLγ, atehere kemi∣∣∣A(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

(f (u,v);qn1,qn2 ,x,y

)− f (x,y)

∣∣∣≤ Lδn1(x)+δn2(y)γ/2 ,

ku L > 0, dhe γ ∈ (0,1].

97

5.7. PERAFRIMET E FUNKSIONEVE TE VAZHDUESHME NE HAPESIREN E BOGEL-IT

Vertetim. Nga perkufizimi i operatorit A(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

(f (u,v);qn1 ,qn2,x,y

)mund te

shkruajme

A(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

(f (u,v);qn1,qn2,x,y

)=C(α1,α2,β1,β2)

n1+p1,n2+p2

(f (x,u)+ f (v,y)− f (u,v);qn1,qn2,x,y

)=C(α1,α2,β1,β2)

n1+p1,n2+p2

(f (x,y)−∆(x,y) f (u,v);qn1,qn2,x,y

)= f (x,y)C(α1,α2,β1,β2)

n1+p1,n2+p2

(e00;qn1,qn2,x,y

)−C(α1,α2,β1,β2)

n1+p1,n2+p2

(∆(x,y) f (u,v);qn1,qn2 ,x,y

).

Nga supozimi i teoremes, kemi∣∣∣A(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

(f (u,v);qn1,qn2,x,y

)− f (x,y)

∣∣∣≤C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

(∣∣∆(x,y) f (u,v)∣∣ ;qn1,qn2 ,x,y

)≤ LC(α1,α2,β1,β2)

n1+p1,n2+p2(‖ r− s ‖γ ;qn1 ,qn2,x,y) .

Tani, me procedura te ngjashme si ne vertetimin e Teoremes 5.4.2, per u1 = 2γ

dhe v1 =2

2−γ, aplikojme mosbarazimin e Holder-it dhe Lemen 5.4.2, dhe menjehere vijme deri te

vertetimi i teoremes.

Teoreme 5.7.3. [22] Nese f ∈ DB(Ian1bn2) dhe DB f ∈ B(Ian1bn2

), atehere per cdo (x,y) ∈Iab, kemi

∣∣∣A(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

( f (u,v);qn1,qn2,x,y)− f (x,y)∣∣∣≤√δn1(x)δn2(y)

3 ‖ DB f ‖∞ +

(2

+

√δ−2n1 (x)µn1(x)+

√δ−2n2 (y)µn2(y)

)ωmixed( f ;δ

1/2n1 (x),δ 1/2

n2 (y)

,

ku µn1(x) =C(α1,β1)n1+p1

((u− x)4;qn1,x) dhe µn2(x) =C(α2,β2)n2+p2

((v− y)4;qn2,y).

Vertetim. Sipas supozimit, kemi:

∆(x,y) f (u,v) = (u− x)(v− y)DB f (ξ ,η), ku x < ξ < u; y < η < v. (5.7.2)

Me tutje, nga perkufizimi i modulit te perzier te lemueshmerise vlen:

DB f (ξ ,η) = ∆(x,y)DB f (ξ ,η)+DB f (ξ ,y)+DB f (x,η)−DB f (x,y). (5.7.3)

Prandaj, sipas (5.7.2) dhe (5.7.3) kemi∣∣∣A(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

( f (u,v);qn1 ,qn2,x,y)− f (x,y)∣∣∣= ∣∣∣C(α1,α2,β1,β2)

n1+p1,n2+p2

(∆(x,y) f (u,v);qn1,qn2,x,y

)∣∣∣≤C(α1,α2,β1,β2)

n1+p1,n2+p2

(|u− x||v− y||∆(x,y)DB f (ξ ,η)|;qn1 ,qn2,x,y

)+C(α1,α2,β1,β2)

n1+p1,n2+p2(|u− x||v− y|(|DB f (ξ ,y)|+ |DB f (x,η)|+ |DB f (x,y)|;qn1 ,qn2,x,y)

≤C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

(|u− x||v− y|ωmixed(DB f ; |ξ − x|, |η− y|);qn1,qn2,x,y)

98

5.7. PERAFRIMET E FUNKSIONEVE TE VAZHDUESHME NE HAPESIREN E BOGEL-IT

+3 ‖ DB f ‖∞ C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

(|u− x||v− y|;qn1 ,qn2,x,y) (5.7.4)

Tani, duke shfrytezuar vetite e modulit te perzier te lemueshmerise, rrjedh

ωmixed(DB f ; |ξ − x|, |η− y|)≤ (1+δ−1n1|u− x|)(1+δ

−1n2|v− y|)ωmixed(DB f ;δn1,δn2).

(5.7.5)Ne baze te mosbarazimit (5.7.5), me pastaj duke aplikuar mosbarazimin e Cauchy-Schwarz-it ne mosbarazimin (5.7.4) mund te nxjerrim:∣∣∣A(α1,α2,β1,β2)

n1+p1,n2+p2( f (u,v);qn1,qn2,x,y)− f (x,y)

∣∣∣≤ ωmixed(DB f ;δn1,δn2)

·C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

(|u− x||v− y|(1+δ

−1n1|u− x|)(1+δ

−1n2|v− y|);qn1,qn2,x,y

)+3 ‖ DB f ‖∞

C(α1,α2,β1,β2)

n1+p1,n2+p2((u− x)2(v− y)2;qn1,qn2,x,y)

1/2

+

C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

((u− x)2(v− y)2;qn1,qn2 ,x,y

)1/2

+1

δn1

C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

((u− x)2|v− y|;qn1,qn2 ,x,y

)+

1δn2

C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

(|u− x|(v− y)2;qn1,qn2 ,x,y

)+

1δn1δn2

C(α1,α2,β1,β2)n1+p1,n2+p2

((u− x)2(v− y)2;qn1,qn2 ,x,y

)≤ 3 ‖DB f ‖∞ (δn1(x)δn2(y))

1/2

+

[1

δn1

C(α1,α2,β1,β2)

n1+p1,n2+p2

((u− x)4(v− y)2;qn1,qn2,x,y

)1/2

+1

δn2

C(α1,α2,β1,β2)

n1+p1,n2+p2

((u− x)2(v− y)4;qn1,qn2 ,x,y

)1/2ωmixed(DB f ;δn1,δn2)

+1

δn1δn2

+δn1(x)δn2(y)1/2

]= 3 ‖ DB f ‖∞ (δn1(x)δn2(y))

1/2

+

[(δn1(x)δn2)

1/2 +1

δn1

√µn1(x)δn2(y)+

1δn2

√µn2(y)δn1(x)+

1δn1δn2

]. (5.7.6)

Tani duke marre, δn1 = δn1(x) dhe δn2 = δn2(y) , menjehere rrjedh vertetimi i teoremes.

99

5.7. PERAFRIMET E FUNKSIONEVE TE VAZHDUESHME NE HAPESIREN E BOGEL-IT

PERFUNDIME DHE REKOMANDIMENe kete disertacion eshte punuar ne gjetjen e perafrimeve sa me te mira statistikore me disatipe te ri te operatoreve lineare pozitive. Po ashtu jane bere gjeneralizime te shumeta teoperatoreve ekzistues ne hapesira te ndryshme sidomos per te perafruar funksionet e vazh-dueshme ne hapesirat me te pergjitheshme me peshe. Vecanerisht, jane pergjithesuar disatipe te operatoreve per rastin e funksionit me dy variabla ne hapesiren e te gjithe funksion-eve te vazhdueshme sipas Bogel-it. Me ane te shembujve kemi synuar te japim nje pasqyresa me te qarte te perafrimit te ketyre operatoreve kah funksioni. Rezultatet qe jane arriturgjate ketij disertacioni ne te shumten e rasteve jane te peraferta. Perafrimi me i mire i funk-sioneve, eshte krahasuar ne te shumten e rasteve me modulin e lemueshmerise si dhe PeetreK-funksionelen.Qellimi i punes sone ishte perkufizimi i operatoreve te rinj dhe pergjithesimi i atyre aktuale,si dhe shqyrtimi i vetive te perafrimeve, perafrimeve statistikore dhe perafrimeve me pesheme ane te ketyre operatoreve.

Rezultatet e reja te arritura jane ne keto aspekte:

• Klasa e hapesirave ku jane studiuar disa nga keta operatore, eshte me e gjere se klasae funksioneve te vazhdueshme.

• Studimi i vetive te perafrimit jo vetem ne menyre klasike nepermjet operatoreve, poredhe nepermjet perafrimeve statistikore, perafrimeve me peshe si dhe perafrimevesipas klases se funksioneve te vazhdueshme sipas Bogel-it.

• Kushtet e reja te marra ne lidhje me operatoret e perkufizuar ne kete disertacion janezbatuar ne hapesira te ndryshme, duke sjelle rezultate te reja ne kete teori kryesishtnepermjet pergjithesimit te operatoreve ekzistues si dhe duke i cliruar funksionet ngakushti i vazhdueshmerise se zakonshme.

Probleme te hapura mbeten

• Pergjithesimi i ketyre operatoreve ne hapesiren shume dimensionale si dhe shqyrtimii vetive te perafrimit.

• Studimi i shpejtesise se konvergjences se q dhe (p,q)-operatoreve kah funksioni i cilieshte me variacion te kufizuar.

• Studimi i shpejtesise se konvergjences se operatoreve kah funksioni me shume vari-abla i cili eshte me variacion te kufizuar.

• Perkufizimi i (p,q)-operatoreve analoge ne lidhje me operatoret ekzistues qe janepergjithesim i operatoreve klasik si dhe q-operatoreve

• Perkufizimi i (p,q)-max produkt operatoreve si pergjithesim i max produkt opera-toreve.

100

5.7. PERAFRIMET E FUNKSIONEVE TE VAZHDUESHME NE HAPESIREN E BOGEL-IT

• Gjetja e metodave per te marre formulat ne lidhje me kuadraturat duke perdorurfunksionet spline.

• Perkufizimi i ketyre operatoreve ne lidhje me peshen e Jakobit.

Besojme se me keto rezultate ne lidhje me perkufizimin e operatoreve te rinj, si edhepergjithesimi i tyre ne hapesira te ndryshme, ne vecanti perafrimet qe jane bere me ketaoperatore, kemi dhene kontribut modest dhe kemi zgjuar interesin ne lidhje me rezultatet ereja ne te ardhmen.

101

Literatura

[1] A. Cigdem, I. Buyukyazıcı. Approximation by Kantorovich-Szasz Type OperatorsBased on Brenke Type Polynomials. Num. Funct. Anal. Optim. 37.12 (2016): 1488-1502.

[2] A. Aral, V. Gupta, and R.P. Agarwal, (2013). Applications of q-Calculus in OperatorTheory Springer.

[3] A.M. Acu, and C.V. Muraru. ”Approximation properties of bivariate extension ofq-Bernstein–Schurer–Kantorovich operators.” Results in Mathematics 3.67 (2015):265-279.

[4] A. Jakimovski, D. Leviatan, Generalized Szasz operators for the approximation inthe infinite interval. Mathematica (Cluj) 11 (34) (1969) 97–103.

[5] A. Kajla and P. N. Agrawal, Szasz-Durrmeyer type operators based on Charlierpolynimals, Appl. Math. Comput. 268 (2015), 1001-1014 (Elsevier).

[6] A. Kajla and P. N. Agrawal, Approximation properties of Szasz type operators basedon Charlier polynomials, Turkish J. Math. 39(2015), 990-1003.

[7] A. Kajla and P. N. Agrawal, Szasz-Kantorovich type operators based on Charlierpolynomials, Kyungpook Math. J. (in press).

[8] A. Freedman, and J.Sember. ”Densities and summability.” Pacific Journal of Mathe-matics 95.2 (1981): 293-305.

[9] A. Pringsheim, Zur theorie der zweifach unendlichen zahlenfolgen, Math. Ann. 53(1900), 289-321.

[10] A.Aral, V. Gupta, & R.P. Agarwal. Applications of q-calculus in operator theory.Springer Science & Business Media, 2013.

[11] A. Lupas. ”A q-analogue of the Bernstein operator”, University of Cluj-Napoca,Seminar on numerical and statistical calculus, vol.9, p. 85-92, 1987.

[12] A. Gadjiev.: Positive linear operators in weighted spaces of functions of severalvariables (Russian), izv. akad. nauk Azerbaijan ssr ser. fiz. Tehn. Mat. Nauk, 1:32–37 (1980).

102

LITERATURA

[13] A. Gadjiev, and H. Hacısalihoglu.: Convergence of the sequences of linear positiveoperators. Ankara University (1995).

[14] A.D. Gadjiev and C. Orhan, Some approximation theorems via statistical conver-gence, Rocky Mountain Journal of Mathematics, 32(2002), f.1, 129-138.

[15] A.D. Gadjiev, A. Aral, The estimates of approximation by using a new type ofweighted modulus of continuity, Comput. Math. Appl. 54 (2007) 127-135.

[16] A.K. Gazanfer, and I. Buyukyazıcı.: Approximation by certain linear positive opera-tors of two variables. Abst. Appl. Anal. Vol. 2014. Hindawi Publishing Corporation,2014.

[17] A. D. Gadjiev, On P. P. Korovkin type theorems. Math. Zametki, 20(5) (1976), 781-786.

[18] A.G. Anastassiou, and S. Gal.: Approximation theory: moduli of continuity andglobal smoothness preservation. Springer Science & Business Media.

[19] B. Baxhaku, F. Berisha, Statistical Approximation of Kantorovich Type q-Bernstein-Schurer-Chlodowsky Operators, International Journal of Education, Science, Tech-nology, Innovation, Health and Environment 1(2015), 95–102

[20] B. Baxhaku, F. Berisha, Statistical approximation of Kantorovich type (p,q)-Bernstein Stancu Operators, 3rd International Conference Harmonization of Envi-ronmental Research and Teaching with Sustainable Policy (2015) 67-86.

[21] B. Baxhaku, F. Berisha, Statistical approximation properties of bivariate extensionof q-Lupas-Stancu operators, Union of Mathematicians of Macedonia VI Congresof Mathematicians of Macedonia, 2016 (poster).

[22] B. Baxhaku, and P.N. Agrawal. ”Degree of approximation for bivariate extension ofChlodowsky-type q-Bernstein–Stancu–Kantorovich operators.” Applied Mathemat-ics and Computation 306 (2017): 56-72.

[23] B. Baxhaku and Fevzi Berisha. ”Statistical approximation to Chlodowsky type g-Bernstein-Schurer-Stancu-Kantorovich operators.” MATHEMATICAL SCIENCESAND APPLICATIONS E-NOTES 5 (1) 108-121 (2017) MSAEN

[24] B. Baxhaku and Artan Berisha. ”The Approximation Szasz-Chlodowskytype operators involving Gould-Hopper type polynomials.” Abstract andApplied Analysis Volume 2017 (2017), Article ID 4013958, 8 pageshttps://doi.org/10.1155/2017/4013958

[25] P.N. Agrawal, B. Behar Baxhaku; R. Chauhan. ”The Approximation of Bivari-ate Chlodowsky-Szasz-Kantorovich-Charlier Type Operators.”Journal of Inequali-ties and Applications (2017) 2017:195 DOI 10.1186/s13660-017-1465-1

103

LITERATURA

[26] B. Lenze. On Lipschitz maximal functions and their smoothness spaces. Nederl.Akad. Wetensch. Indag. Math. 50(1) (1988), 53-63.

[27] Bleimann, G., Butzer, P., and Hahn, L.: A Bernstein-type operator approximatingcontinuous functions on the semi-axis. In Indagationes Mathematicae (Proceedings),83, 255–262. Elsevier.

[28] C. Badea, I. Badea, and H. H. Gonska. ”A test function theorem and apporoxima-tion by pseudopolynomials.” Bulletin of the Australian Mathematical Society 34.1(1986): 53-64.

[29] C. Badea, I. Badea, and H. H. Gonska. ”Notes on the degree of approximation ofB-continuous and B-differentiable functions.” (1988).

[30] C. Badea, and C. Cottin. ”Korovkin-type theorems for generalized boolean sum op-erators.” Colloquia Mathematica Societatis Janos Bolyai. Vol. 58. 1990.

[31] C.V. Muraru, . ”Note on q-Bernstein-Schurer operators.” Stud. Univ. Babes-BolyaiMath 56.2 (2011): 489-495.

[32] D. Jackson, Uber die Genauigkeit der Annaherung stetiger Funktionen durch ganzerationale Funktionen gegebenen Grades und trigonometrische Summen gegebenerOrdnung, Ph.D. Thesis, Georg-August Univ. of Gottingen, (1911).

[33] E. Kolk, Matrix summability of statistically convergent sequences, Analysis 13(1993) 77–83.

[34] F. Altomare, M. Campiti, Korovkin type approximation theory and its applications,DeGruyter Studiesin Mathematics, vol.17, Walter de Gruyter, Berlin, New York,1994.

[35] F. Tasdelen, R. Aktas, and A. Altın, “A Kantorovich type of szasz operators includingbrenke-type polynomials,” Abs. Appl. Anal. vol. 2012, Article ID 867203, 13 pages,2012.

[36] F. Moricz, Statistical convergence of multiple sequences, Arch. Math. (Basel) 81(2004), 82-89.

[37] F. Dirik, K. Demirci. Four-dimensional matrix transformation and rate of A-statistical convergence of Bogel-type continuous functions. Studia UniversitatisBabes-Bolyai, Mathematica. 2011 Sep 1;56(3).

[38] F. Dirik, O. Duman, K. Demirci. Approximation in statistical sense to Bcontinuousfunctions by positive linear operators, Studia Sci. Math. Hungarica DOI 10.1556/SS-cMath.2009.1129.

[39] G.M. Phillips, . ”Bernstein polynomials based on the q-integers.” Annals of Numer-ical Mathematics 4 (1996): 511-518.

104

LITERATURA

[40] G. Bleimann, P. Butzer, , and L.Hahn,(1980). A Bernstein-type operator approximat-ing continuous functions on the semi-axis. In Indag. Math. (Proceedings), volume83, pages 255– 262. Elsevier.

[41] G. Gruss, Uber das Maximum des absoluten Betrages von 1b−a

∫ ba f (x)g(x)dx−

1(b−a)2

∫ ba f (x)dx.

∫ ba g(x)dx, Math Z.,39,1935,215-226.

[42] G.F. Karl and J. Lehn. and H. Schellhaas and H. Wegmann. ”Differentiation vonFunktionen mehrerer Veranderlicher”’. Arbeitsbuch Mathematik fur Ingenieure:Band I: Analysis und Lineare Algebra, 2006, p.316–328.

[43] G. M. Robison, Divergent double sequences and series, Amer. Math. Soc. Transl. 28(1926),

[44] G. C. Jain, Approximation of functions by a new class of linear operators, J. Austral.Math. Soc. 13 (3) (1972), 271-276.

[45] H. Bohman, On approximation of continuous and of analytic functions, Ark. Mat.,2(1952-54), 43-56.

[46] H. J. Hamilton, Transformations of multiple sequences, Duke Math. J. 2 (1936),29-60.

[47] H. Karsli, and V. Gupta. ”Some approximation properties of q-Chlodowsky opera-tors.” Applied Mathematics and Computation 195.1 (2008): 220-229.

[48] H. Fast, Sur la convergence statistique, Colloq. Math. 2 (1951), 241–244.

[49] H. Gonska and G. Tachev, Gruss type inequality for positive linear operators withsecond order moduli, Mat. vesnik 63 (4) (2011), 247-252.

[50] I. Buyukyazıcı. and H. Sharma.: Approximation properties of two-dimensionalq-Bernstein-Chlodowsky-Durrmeyer operators. Numer. Funct. Anal. Optim.,33(12):1351–1371 (2012).

[51] I. Badea. ”Modulul de continuitate ın sens Bogel si unele aplicatii ın aproximareaprintr-un operator Bernstein, Studia Univ.” Babes-Bolyai”, Ser. Math”, Mech 18.2(1973): 69-78.

[52] J. Peetre. (1968). A theory of interpolation of normed spaces, volume 39. Institutode Matematica Pura e Aplicada, Conselho Nacional de Pesquisas.

[53] J. Boos, Classical and Modern Methods in Summability, Oxford University Press,New York, 2000. 50-73.

[54] J. Peetre. A theory of interpolation of normed spaces . Instituto de Matematica Purae Aplicada, Conselho Nacional de Pesquisas, Vol. 39, 1968.

[55] K. Bogel. ”Uber die mehrdimensionale Differentiation.” Jahresbericht derDeutschen Mathematiker-Vereinigung 65 (1962): 45-71.

105

LITERATURA

[56] K. Bogel.: Mehrdimensionale differentiation von funktionen mehrererveranderlichen. Journal fur die reine und angewandte Mathematik 170: 197-217 (1934).

[57] M. Sidharth, N. Ispir, & P. N. Agrawal. (2015). GBS operators of Bernstein–Schurer-Kantorovich type based on q-integers. Appl. Math. and Comp., 269, 558-568.

[58] M. Sidharth, A.M. Acu, and P. N. Agrawal.: Chlodowsky-Szasz-Appell type opera-tors for functions of two variables. Ann. Funct. Anal. accepted.

[59] M. A. Ozarslan and O. Duman, Local approximation behaviour of modified SMKoperators, Miskolc Math. Notes. 11(1) (2010), 87-99.

[60] M. Goyal, V. Gupta and P. N. Agrawal, Quantative convergence Results for a familyof hybrid operators, Appl. Math. Comput. 271 (2015), 893-904.

[61] M. Mursaleen and O.H.H. Edely, Statistical convergence of double sequences, J.Math. Anal. Appl. 288 (2003), 223-231.

[62] M.D. Farcas. ”About approximation of B-continuous and B-differentiable functionsof three variables by GBS operators of Bernstein type.” Creat Math Inform 17(2008): 20-27.

[63] M.Y. Ren, and X.M. Zeng. ”On statistical approximation properties of modifiedq-Bernstein-Schurer operators.” Bulletin of the Korean Mathematical Society 50.4(2013): 1145-1156.

[64] N. Ispir, and C. Atakut.: Approximation by modified Szasz-Mirakjan operators onweighted spaces. Proc. Indian Acad. Sci.(Math. Sci.) 112.4 (2002): 571-578.

[65] N. Ispir, On modified Baskakov operators on weighted spaces, Turkish J. Math.26(3) (2001), 355-365.

[66] N. Asai, Notes on Some Orthogonal Polynomials Having the Brenke Type Gener-ating Functions (Mathematical Aspects of Quantum Fields and Related Topics), pp.41–53. RIMS Kokyuroku, Kyoto University 2014-10 (1921).

[67] N. Ispir, and I. Buyukyazıcı.: Quantitative estimates for a certain bivariateChlodowsky-Szasz-Kantorovich type operators, Math. Comm. 21(1) (2016), 31-44.

[68] O. Szasz, Generalization of S. Bernstein’s polynomials to the infinite interval, J. ofResearch of the Nat. Bur. of Standards, 45(1950), 239-245.

[69] O. T. Pop and M. D. Farcas. ”About the bivariate operators of Kantorovich type.”Acta Math. Univ. Comenianae 78.1 (2009): 43-52.

[70] O. Duman, and C. Orhan. ”Statistical approximation by positive linear operators.”Studia Mathematica 161.2 (2004): 187-197.

106

LITERATURA

[71] P. L. Butzer and H. Berens.: Semi-groups of operators and approximation, volume145 . Springer Science & Business Media (2013).

[72] P.N. Agrawal, Z. Finta, and A. S. Kumar. ”Bivariate q-Bernstein-Schurer-Kantorovich operators.” Results in Mathematics 67.3-4 (2015): 365-380.

[73] P.N. Agrawal, and N. Ispir: Degree of Approximation for Bivariate Chlodowsky–Szasz– Charlier Type Operators. Results. Math. 69.(3) (2016) 369-385.

[74] P.N. Agrawal, N. Ispir and A. Kajla.: GBS Operators of Lupas–Durrmeyer TypeBased on Polya Distribution. Results. Math. 69.3-4 (2016): 397-418.

[75] P.N. Agrawal. and M. Sidharth.: Approximation of Bogel continuous functions byGBS operators of Bivariate Lupas- Philips- Bernstein type.

[76] P.P. Korovkin, On convergence of linear positive operators in the space of continuousfunctions (Russian), Dokl. Akad. Nauk SSSR, 90(1953), 961-964.

[77] P.P. Korovkin, Linear Operators and Approximation Theory, translated from the Rus-sian ed.1959, Russian Monographs and Texts

[78] R. A. DeVore and G. G. Lorentz, Constructive approximation, volume 303 ofGrundleheren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles ofMathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, 1993.

[79] R.P. Agarwal, and V. Gupta. ”On q-analogue of a complex summation-integral typeoperators in compact disks.” Journal of Inequalities and Applications 2012.1 (2012):111.

[80] R.A. DeVore and G. G. Lorentz, Constructive approximation, volume 303 ofGrundleheren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles ofMathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, 1993.

[81] S. Guo , Q. Qi and G. Liu, The central approximation theorems for Baskakov−Bezier operators, J. Approx. Theory, 51(2) (1987) 182-193.

[82] S.N. Bernstein, Demonstration du theoreme de Weierstrass fondee sur le calcul desprobabilites, Communications de la Societe Mathematique de Kharkov, 13, 1913,1-2.

[83] S. Varma, S. Sucu, G. Icoz, Generalization of Szasz operators involving Brenke typepolynomials, Comput. Math. Appl. 64 (2012) 121–127.

[84] T. Acar, A. Aral, I. Rasa, The new forms of Voronovskaja’s theorem in weightedspaces, Positivity 20(2016), 25–40.

[85] S. G. Gal and H. Gonska, Gruss and Gruss-Voronovskaya-type esstimates for someBernstein-type polynomials of real and complex variables,Jaen J. Approx. 7 (2015),97-122.

107

LITERATURA

[86] T. Acar, Quantitative q-Voronovskaya and q-Gruss-Voronovskaya-type results forq-Szasz Operators, Georgian Math. J. 23(4)(2016), 459-468.

[87] T. Vedi, and M. A. Ozarslan. ”Chlodowsky-type q-Bernstein-Stancu-Kantorovichoperators.” Journal of Inequalities and Applications 2015.1 (2015): 91.

[88] T. Popoviciu, Asupra demonstrapiei teoremei lui Weierstrass cu ajutorul poli-noamelor de interpolare, Lucrarile Sesiunii Gen. Acad. Romane, 2-12 iunie 1950,Editura Academiei Republicii Populare Romane, 1951, pp. 1664-1667.

[89] Q. Lin. ”Statistical Approximation of-Bernstein-Schurer-Stancu-Kantorovich Oper-ators.” Journal of Applied Mathematics 2014 (2014). s

[90] Z. Ditzian and V. Totik. ”Moduli of Smoothness, Springer Series in ComputationalMathematics.” Berlin, itd: Springer Verlag 9 (1987).

[91] V.V. Zhuk, Functions of the Lip1 class and S.N.Bernstein’s polynomials, VestnikLening. Univ. Mat. Mekh. Astronom.1 (1989) 25–30 (Russian)

[92] V. Gupta and R.P. Agarwal. Convergence estimates in approximation theory.Springer Science & Business Media, 2014.

[93] V. Gupta and C. Radu. ”Statistical approximation properties of q-Baskakov-Kantorovich operators.” Open Mathematics 7.4 (2009): 809-818. APA

[94] Verma, S., and Tasdelen, F.: Szasz type operators involving Charlier polynomials.Math. Comput. Modelling, 56(5-6) (2012), 118-122.

[95] V. I. Volkov.: On the convergence of sequences of linear positive operators in thespace of continuous functions of two variables. Dokl. Akad. Nauk. SSSR (N.S.) 115(1957).

[96] V. Gupta and N. Malik, Direct estimations of new generalized Baskakov-Szasz op-erators, Publications Del’ institut Mathematique Nouvelle serie. tome 99 (2016),265-279.

[97] V. Gupta and G. C. Greubel, Moment estimations of new Szasz-Mirakyan-Durrmeyer operators. Appl. Math. Comput. 271(2015), 540-547.

[98] Z. Ditzian and V. Totik, Moduli of smoothness, volume 9 of Springer Series in Com-putational Mathematic, Springer-Verlag, New York, 1987.

108