DinamickaCvrstocaTankosjenihKonstrukcija-SKRIPTA

SVEUILITE U ZAGREBU Fakultet strojarstva i brodogradnje Studij zrakoplovtva

DINAMIKA VRSTOA TANKOSTJENIH KONSTRUKCIJA

SKRIPTA Verzija: 1.0 Datum: 09.08.2010.

prof.dr.sc. eljko Boi

SADRAJ 1 UVOD ........................................................................................................................................................... 4

1.1 OPENITA RAZMATRANJA I KRATKI POVIJESNI PREGLED PODRUJA ..................................................... 4 1.2 TRENUTNO STANJE RAZVOJA I PRIMJENE MEHANIKE LOMA................................................................... 4 1.3 TRENUTNO STANJE PRIMJENE NA ZRAKOPLOVNE KONSTRUKCIJE ......................................................... 5 1.4 POSLJEDICE LOMA KOD ZRAKOPLOVNIH KONSTRUKCIJA ...................................................................... 5 1.5 POSLJEDICE LOMA KOD BRODSKIH KONSTRUKCIJA ............................................................................. 11 1.6 POSLJEDICE LOMA KOD OPIH STROJARSKIH KONSTRUKCIJA.............................................................. 12 1.7 KONTROLA LOMA ............................................................................................................................... 17 1.8 DVA CILJA ANALIZE DOPUTENOG OTEENJA ................................................................................... 18 1.9 NAPREDOVANJE PUKOTINE I LOM ....................................................................................................... 20 1.10 DOPUTENO OTEENJE I MEHANIKA LOMA........................................................................................ 22

2 EFEKTI ZAREZA I PUKOTINA: KOLAPS......................................................................................... 24 2.1 PREGLED............................................................................................................................................. 24 2.2 POREMEAJ LINIJA TOKA OPTEREENJA ............................................................................................. 24 2.3 FAKTOR KONCENTRACIJE NAPREZANJA .............................................................................................. 26 2.4 STANJE NAPREZANJA NA MJESTU KONCENTRACIJE NAPREZANJA ........................................................ 27 2.5 POPUTANJE KOD VRHA ZAREZA......................................................................................................... 30 2.6 PLASTINI KOLAPS NA VRHU ZAREZA ................................................................................................. 32 2.7 LOM NA ZAREZU: KRHKO PONAANJE ................................................................................................. 35

3 LINEARNO ELASTINA MEHANIKA LOMA .................................................................................. 37 3.1 NAPREZANJE PRI VRHU PUKOTINE ...................................................................................................... 37 3.2 OPI IZRAZ ZA FAKTOR INTENZITETA NAPREZANJA ............................................................................ 38 3.3 LOMNA ILAVOST............................................................................................................................... 40 3.4 PLASTINA ZONA I RAVNINSKO STANJE NAPREZANJA I DEFORMACIJE ................................................ 40 3.5 OVISNOST LOMNE ILAVOSTI O DEBLJINI............................................................................................ 42 3.6 ENERGETSKI KRITERIJ......................................................................................................................... 43 3.7 PROMJENA ENERGIJE DEFORMIRANJA ................................................................................................. 45 3.8 ZNAENJE ENERGETSKOG KRITERIJA LOMA........................................................................................ 46 3.9 PORAST OTPORNOSTI LOMU: REDEFINICIJA ILAVOSTI........................................................................ 46

4 ELASTO-PLASTINA MEHANIKA LOMA ....................................................................................... 51 4.1 ENERGIJSKI KRITERIJ PLASTINOG LOMA............................................................................................ 51 4.2 KRITERIJ LOMA................................................................................................................................... 52 4.3 PORAST ENERGIJE LOMA ..................................................................................................................... 52 4.4 PARAMETRI KRIVULJE NAPREZANJE-DEFORMACIJA ............................................................................ 53 4.5 H-FUNKCIJE ........................................................................................................................................ 56 4.6 TONOST ............................................................................................................................................ 56 4.7 OGRANIENJA EPFM MODELA ........................................................................................................... 57

5 KONCEPTI ANALIZE RASTA PUKOTINE........................................................................................ 58 5.1 TEMELJNI KONCEPT RASTA PUKOTINE USLIJED ZAMORA MATERIJALA................................................ 58 5.2 UTVRIVANJE FUNKCIJE BRZINE RASTA (NAPREDOVANJA) PUKOTINE ................................................ 60 5.3 JEDNADBE BRZINE RASTA PUKOTINE................................................................................................. 62 5.4 PRIMJER ANALIZE IVOTNOG VIJEKA UZORAKA PLOE ....................................................................... 68

6 LITERATURA .......................................................................................................................................... 72

POPIS OZNAKA a, m - polovina duljina pukotine; a, m - prirast duljine pukotine; B, m - debljina uzorka ili modela ploe; Cp, mp - - Parisove konstante; da/dN m/ciklus - brzina rasta pukotine; E, MPa - Youngov modul elastinosti; G, MPa - modul smicanja; K, MPa - faktor intenzivnosti naprezanja; KI, MPa - faktor intenzivnosti naprezanja za prvi nain otvaranja pukotine; KII, MPa - faktor intenzivnosti naprezanja za drugi nain otvaranja pukotine; KIII, MPa - faktor intenzivnosti naprezanja za trei nain otvaranja pukotine; Kopen MPa - faktor intenzivnosti naprezanja pri kojem se otvara pukotina; K, MPa - raspon faktora intenzivnosti naprezanja; Keff, MPa - efektivni faktor intenzivnosti naprezanja; N, - - broj ciklusa; N, - - prirast broja ciklusa; r, - - koordinate u cilindrinom koordinatnom sustavu; R - - omjer optereenja; u, v, w, - - pomaci u x, y i z smjeru u pravokutnom koordinatnom sustavu; x, y, z, - - koordinate u pravokutnom koordinatnom sustavu; , - - faktor geometrijske korekcije kod faktora intenzivnosti naprezanja; , - kut zakreta fronte pukotine; - - konverzijski faktor izmeu ravninskog stanja deformacija i ravninskog stanja naprezanja; , - - Poissonov koeficijent; , MPa - nominalno naprezanje; max, MPa - maksimalno naprezanje; min, MPa - minimalno naprezanje; open, MPa - naprezanje uslijed kojeg dolazi do otvaranja pukotine; , MPa - raspon naprezanja;

Fakultet Strojarstva i brodogradnje Dinamika vrstoa tankostjenih konstrukcija Studij zrakoplovstva prof.dr.sc. eljko Boi

- 4 -

1 UVOD

1.1 Openita razmatranja i kratki povijesni pregled podruja

Postojanje pukotina u tehnikim konstrukcijama ne moe se nikako onemoguiti. Istovremeno, sve vei zahtjevi za smanjenjem potronje materijala i energije diktiraju projektiranje konstrukcija sa sve manjim rezervama sigurnosti. Posljedino, tonije kvantitativne procjene tolerancije konstrukcije prema grekama sve vie postaju dio procesa prevencije pojave loma kod raznih vrsta nosivih komponenti konstrukcija. Racionalne procedure projektiranja kojima se izbjegavaju velike koncentracije naprezanja, kao i neposredni popravak ili zamjena komponenti u kojima su se pojavile pukotine, do sada su bile razmjerno efikasne u prevenciji katastrofalnih oteenja. Meutim, pojavila su se dva imbenika koji u dananje vrijeme spreavaju primjenu ove tradicionalne strategije. Kao prvo, poboljane procedure nerazornog ispitivanja omoguuju otkrivanje greaka koje bi ranije ostale neprimjeene. Kao drugo, prisutnost pukotina nuno ne znai da je komponenta konstrukcije na ili pri kraju korisnog radnog vijeka. Cijena popravka ili zamjene komponente s grekom stoga se moe balansirati s vjerojatnou da e nastavak koritenja komponente dovesti do oteenja. Novi koncept, nazvan doputeno oteenje, razvijen je da bi omoguio kvantitativno vodstvo u tom smislu, a u velikoj mjeri se zasniva na principima mehanike loma. Strah od pojave loma postoji od davnina. Da Vinci je tokom petnaestog stoljea izvodio eksperimente s ciljem odreivanja vrstoe elinih ica, pri emu je primijetio inverzni odnos izmeu duljine ice i prekidnog optereenja ice konstantnog promjera. Iako bi ovakvo zapaanje moglo implicirati ovisnost vrstoe o duljini ice, pri tome se treba pretpostaviti da je prisutnost pukotina zapravo odreivala naprezanje pri lomu. to je vei volumen ispitivanog materijala, vea je i vjerojatnost postojanja velikih pukotina u njemu, to je zapravo vrlo mogue ukoliko se uzme u obzir ondanja kvaliteta proizvedene ice. Teorije loma utemeljene na rastu pukotine zahtijevaju matematike koncepte naprezanja i deformacije koji nisu postojali do pojave Cauchya i ostalih velikih francuskih matematiara i inenjera devetnaestog stoljea. A. A. Grifith bio je prvi koji je kvantitativno povezao vrstou s duljinom pukotine, iako e se mnogi sloiti da je mehanika loma postala tehnika disciplina kao rezultat fundamentalnih kontribucija Georgea Irwina u godinama nakon drugog svjetskog rata. S obzirom da su istraivanja koja su uslijedila kao direktna posljedica Irwinova rada gotovo u potpunosti bila fokusirana na linearno elastinu mehaniku loma, ini se da postoji jo jedna toka demarkacije u povijesti mehanike loma. Ova toka koincidira s pojavom osnovnih ideja neophodnih za tretiranje nelinearnih problema. 1968. godine J. R. Rice prezentira J-integral, a J. W. Hutchinson pokazuje kako se takav koncept moe iskoristiti za izbjegavanje potrebe za direktnim opisom diskretnih i nelinearnih pojava pri propagiranju pukotine. Metodologija za tretman nelinearnih i dinamikih problema koja se razvila nakon linearno elastine mehanike loma esto se naziva i napredna mehanika loma.

1.2 Trenutno stanje razvoja i primjene mehanike loma

Mehanika loma je tehnika disciplina koja se podjednako zasniva na disciplinama primijenjene mehanike i znanosti o materijalima. U svojem najosnovnijem obliku mehaniku loma moe se primijeniti za uspostavljanje odnosa izmeu najveeg doputenog optereenja komponente konstrukcije i lokacije i veliine pukotine (stvarne ili hipotetske) unutar te komponente. Isto tako moe ju se koristiti za predikciju brzine kojom e pukotina dosei


- 5 -

kritinu veliinu uslijed zamora ili utjecaja okolia te za odreivanje uvjeta pri kojima e brzo propagirajua pukotina biti zaustavljena. Trenutne procedure procjene doputenog oteenja mogu iskoristiti te sposobnosti za materijale koji se inae ponaaju linearno elastino. U sluajevima gdje se ekstenzivna elasto-plastina ili vremenski ovisna deformacija moe pojaviti prije loma, primjena linearno elastine mehanike loma je openito neadekvatna. U dananje vrijeme postaju dostupne procedure kojima se mogu tretirati takvi problemi, kao i jo kompliciraniji problemi pucanja zavara heterogenih materijala (kompoziti), adheziva i drugih visko-elastinih materijala unutar kojih su prisutna znatna zaostala naprezanja.

1.3 Trenutno stanje primjene na zrakoplovne konstrukcije

U zadnjih dvadesetak godina, potaknuti problemima naruenog strukturnog integriteta zrakoplovnih konstrukcija koje se nalaze u eskploataciji due vrijeme, a naroito onih koje su doivjele veliki broj radnih ciklusa u smislu velikog broja polijetanja i slijetanja zrakoplova sustavno se posveuje panja problemu zamora zrakoplovnih konstrukcija. Ovdje poseban problem predstavlja ivotni vijek orebrenih panela koji su kao takvi postali predmetom brojnih eksperimentalnih i numerikih istraivanja. U zrakoplovnim konstrukcijama orebreni paneli su sastavni dijelovi oplate trupa i krila. Ploe oplate obino se povezuju zakoviastim spojem izvedenim u nekoliko linija zakovica. Do sad su provedena brojna eksperimentalna i numerika istraivanja strukturnog integriteta zakoviastih spojeva panela koja su rezultirala poveanjem ivotnog vijeka orebrenih panela zrakoplovnih konstrukcija, [8, 9, 10]. Niz faktora utjee na ukupni ivotni vijek orebrenog panela izloenog ciklinom optereenju. Jedan od tih faktora je svakako i naprezanje uslijed komponente savijanja superponirano na membransko naprezanje [11]. Istraivanje je pokazalo da je relativno napredovanje pukotina (engl. crack growth rate) znatno vee kod orebrenih panela s naglaenom komponentom savijanja u usporedbi s orebrenim panelima gdje je sekundarno savijanje manje. ivotni vijek orebrenih panela krila zrakoplova izvedenih u integralnom obliku iz jednog dijela ili zavarivanjem, istraen je u [15], gdje je inicijalna pukotina bila u sredini panela ili na mjestu zavara. ivotni vijek orebrenog panela s pukotinama na mjestu ukrepe, pri emu je na mjestu pukotine cijelo rebro prekinuto, istraivano je do sad eksperimentalno i numeriki primjenom metode konanih elemenata gdje su koriteni elementi ljuske, [24, 25]. Pokazano je da vlana komponenta naprezanja uslijed savijanja moe znatno ubrzati napredovanje pukotine. U ovom je radu za eksperimentalni uzorak istraen u [24], primjenom metode konanih elemenata [16], i linearno-elastine mehanike loma [23], utvren utjecaj promijene vrijednosti faktora intenzivnosti naprezanja po fronti pukotine na ivotni vijek orebrenog panela. Simulirani ivotni vijek usporeen je s eksperimentalnim rezultatima

1.4 Posljedice loma kod zrakoplovnih konstrukcija

U orebrenim panelima zrakoplovnih konstrukcija mogu se pojaviti pukotinska oteenja. Ta se oteenja javljaju uslijed ciklikih radnih optereenja. U zrakoplovnim konstrukcijama osnovno cikliko optereenje predstavlja presurizacija putnike kabine. U eksperimentima i simulacijama je pokazano da se osim membranskog naprezanja u orebrenim panelima moe pojaviti i dodatna komponenta naprezanja uslijed savijanja. Komponenta savijanja na strani ploe na kojoj ima pozitivan iznos dodatno poveava vrijednost faktora intenzivnosti naprezanja, iji rast poveava relativno napredovanje pukotine i time smanjuje ivotni vijek panela, odnosno zrakoplovne konstrukcije. Katastrofalne havarije zrakoplovnih konstrukcija uzrokovane oteenjima uslijed zamora utjecale su na razvoj praktinog znanja o


- 6 -

prevenciji slinih kasnijih nesrea. U 20. stoljeu zabiljeeno je nekoliko katastrofalnih havarija zrakoplovnih konstrukcija kao posljedica zamora orebrenih panela. Zrakoplov De Havilland Comet, koji je uao u slubu 1952. godine, bio je prvi putniki mlanjak, Slika 1.1. S kabinom pod tlakom i neujan u letu, Comet je skratio putovanje iz New Yorka u London za 4 sata.

Slika 1.1 Zrakoplov De Havilland DH-106 Comet.

U sijenju 1954. godine, Comet G-ALYP, i travnju te iste godine, Comet G-ALYY, su se raspali u zraku i uzeli mnoge ivote. Ispitivanja i studije ostataka konstrukcije prvog sruenog zrakoplova, Slika 1.2, pokazale su da se pukotina razvila uslijed zamora metala u blizini ADF prozora smjetenog na prednjem dijelu stropa kabine, Slika 1.3 i Slika 1.4. Ta se pukotina s vremenom proirila na prozor i razvila u pukotinu velike duine koja je uzrokovala lokalni kolaps konstrukcije i havariju.

Slika 1.2 Rekonstrukcija trupa i repnog dijela olupine Cometa G-ALYP.

Slika 1.3 Zrakoplov Comet.


- 7 -

Slika 1.4 a) Pukotina na Cometu G-ALPY; b) detaljan prikaz ishodita pukotine na Cometu G-ALYP.

Radi utvrivanja uzroka havarija Cometa G-ALYP i G-ALYY izvrena su opsena ispitivanja, ukljuujui cjelokupnu ponavljanu presurizaciju na zrakoplovu Comet G-ALYU koji je prizemljen. Ispitivanja su se odvijala pod vodom, kako bi se umanjila teta nastala raspadom konstrukcije, Slika 1.5. Zrakoplov je prije ispitivanja imao 1231 ciklus presurizacije. Nakon 1825 ciklusa ispitne presurizacije dolo je do kolapsa konstrukcije. Ispitivanja su pokazala da su pukotine nastale na uglovima prozora i izlaza za evakuaciju te se onda irile gotovo aksijalno po trupu, Slika 1.6 i Slika 1.7.


- 8 -

Slika 1.5 Comet G-ALYU u ispitnom bazenu.

Slika 1.6 Kolaps trupa na ispitivanom modelu Comet G-ALYU.

Slika 1.7 Vjerojatni uzrok kolapsa trupa Cometa G-ALYU; Raspodjela naprezanja izraunata tijekom popravaka.


- 9 -

Mnogo toga je naueno iz istraga nakon ovih nesrea te je Comet redizajniran u robusniju konstrukciju, . Ipak, u etiri godine koliko je trebalo da Comet ponovno dobije dozvolu za let, Boeing je izdao svoju 707 seriju zrakoplova koja je preuzela primat kod putnikih mlanjaka.

Slika 1.8 Napredak u dizajnu konstrukcije prozora zrakoplova Comet.

Nesrea Boeinga 737 zrakoplovnog prijevoznika Aloha takoer je privukla mnogo panje. Na visini od 7300 metara zrakoplov je izgubio velik dio oplate trupa, Slika 1.9. Iako s velikim oteenjem zrakoplov je nastavio let prema zranoj luci.

Slika 1.9 Oteenje na Aloha Airlines 737 zrakoplovu.

Istraga je pokazala da je gubitak trupa prouzroen spajanjem pukotina u nizu u veoma kratkom vremenu. Ovakav tip zamora se naziva viestruka pukotinska oteenja, Slika 1.10, pri emu su pukotine nastale na otrim rubovima provrta za zakovice, Slika 1.11.


- 10 -

Slika 1.10 Viestruka pukotinska oteenja.

Slika 1.11 Skica zakovice i pripadajue zamorne pukotine kod Aloha 737 zrakoplova.

Zrakoplov je bio 19 godina star i imao je 35 496 sati naleta i 89 680 slijetanja i esto je letio na kratkim rutama. Okolina u kojoj se nalazio bila je topla, zrak je esto bio morski, vlaan i sa esticama soli pa je dolo do pojave korozije u spojevima zakovica popraene odvajanjem udvostruivaa (eng. doubler). U kolovozu 1985. Japan Airlines Boeing 747SR bio je na letu od Tokyja do Osake. Pri penjanju na visinu od 24 000 ft popustila je stranja tlana pregrada uslijed ega je dolo do eksplozivne dekompresije koja je uzrokovala gubitak hidraulike pa je zrakoplov postao neupravljiv. Za 30 minuta zrakoplov se sruio u planine. To je tada bila najvea zrakoplovna nesrea, poginulo je 524 putnika, a samo ih je 4 preivjelo. Taj je zrakoplov bio oteen u lipnju 1978. kada je repnim dijelom udario u pistu uslijed ega se otetio donji dio stranje tlane pregrade. Pregrada je bila od tankih ploa aluminijske legure i polusfernog oblika. Ploe su se povezivale zakovicama, a izmeu njih je bio udvostruiva radi vee vrstoe spoja. Pri popravaku oteenja iz 1978. novi donji dio pregrade bio je zakovan na gornju


- 11 -

polovicu. Meutim, dvije polovice nisu bile dobro meusobno spojene. Na gornjoj polovici ploe bio je bio je udvostruiva i ukrepa na unutarnjoj strani pregrade, Slika 1.12. Na donjoj polovici spoja postojao je udvostruiva, no koji je bio odvojen od gornjeg udvostruivaa pa je postojao procijep izmeu dva dijela udvostruiva te je samo ploa prihvaala optereenja. Nadalje, centar poprenog presjeka koji je prenosio optereenje je bio pomaknut prema unutarnjoj strani pregrade. Stoga se optereenje ploe koja je premoivala procijep nije sastojalo samo od vlanog naprezanja, ve i od savijanja. Svaki put kad bi kabina bila stlaena dolo bi do porasta naprezanja u ploi koja premouje procijep. Kao posljedica poveanja tog naprezanja, pojavile su se zamorne pukotine na provrtima zakovica na donjem dijelu pregrade ispod procijepa. Te su se zamorne pukotine naposljetku povezale u dugaku pukotinu koja je na kraju dovela do eksplozivne dekompresije.

Slika 1.12 Stranja tlana pregrada na JAL 747 SR zrakoplovu.

Moe se zakljuiti da se mnogo nesrea dogodilo zbog propusta u projektiranju konstrukcije i odabiru materijala s relativno slabim otporom na zamor. S druge strane, neke su se nesree mogle izbjei da su se testovi simulacije leta proveli s realnijim optereenjima. Bez sumnje, mnogo se moe nauiti iz istraivanja nesrea, ali to je svakako tei nain uenja.

1.5 Posljedice loma kod brodskih konstrukcija

Povijesno gledano, problem krtog loma u brodskim konstrukcijama pojavljuje se od katastrofalnih oteenja, Slika 1.13, konstrukcije Liberty klase brodova tokom i neposredno poslije drugog svjetskog rata. Nekoliko brodova, koji spadaju meu ranije proizvedene primjerke, izgubljeni su tokom eksploatacije uslijed pojave i irenja pukotina u konstrukciji


- 12 -

trupa broda. Tokom drugog svjetskog rata dogodilo se skoro 1500 sluajeva pojave znaajnih krtih lomova. Dvanaest brodova, ukljuujui i tri od ukupno 2710 izgraenih Liberty brodova, raspolovila su se bez ikakve prethodne naznake o mogunosti pojave takve havarije. Isprva se za nesree krivilo brodogradilita koja su esto upoljavala neiskusne radnike, kao i primjenu tada novih tehnika zavarivanja, kako bi se omoguila proizvodnja velikog broja brodova u vrlo kratkome vremenu. Constance Tipper sa sveuilita Cambridgeu pokazala je da pukotine u konstrukciji nisu bile inicirane procesom zavarivanja, ve radi kvalitete koritenog materijala (elika) koji je postao krt uslijed utjecaja uvjeta ambijenta tokom eksploatacije. otkrila je da su brodovi tokom plovidbe sjevernim atlantikom izloeni temperaturama koje su mogle pasti ispod kritine vrijednosti nakon koje se mehanizam kolapsa mijenja iz duktilnog u krti, to relativno olakava pojavu loma kod trupa broda. elina konstrukcija broda izgraena preteno zavarivanjem, a ne zakivanjem, omoguila je neometano irenje pukotina, to je u konanici rezultiralo pukotinama jako velikih dimenzija. Tipino su se pojavljivale pukotine u uglovima pravokutnih grotala koji su koincidirali s zavarenim spojevima, pri emu su i kutovi i zavari imali ulogu koncentratora naprezanja. Razliite vrste modifikacija konstrukcije Liberty brodova primijenjene su kako bi se sprijeili problemi s pukotinama, a naredna klasa trgovakih brodova, Victory klasa, je bila puno vra i manje kruta kako bi bila otpornija na pojavu zamora materijala.

Slika 1.13 Katastrofalno oteenje Liberty klase trgovakih brodova graenih u SAD-u tokom drugog svjetskog rata za ameriku i britansku trgovaku flotu.

1.6 Posljedice loma kod opih strojarskih konstrukcija

Slika 1.14, Slika 1.15 i Slika 1.16 prikazuju sluajeve katastrofalnog loma komponenata konstrukcije uslijed pukotinskih greaka. Na slikama se moe vidjeti da u sva tri razliita sluaja inicijalne greke nisu bile tako velike. Moe se pretpostaviti da su se inicijalne greke mogle detektirati prije nastanka oteenja pri emu bi primjena metoda mehanike loma vjerojatno ukazala na ugrozu. Cijene oteenja vezano uz sline industrijske incidente nije lako odrediti, a pritom su vjerojatno dominantni trokovi zamjene i gubitka zarade jer je postrojenje van pogona tokom zamjene. Meutim, postoje sluajevi koda su ti trokovi zapravo zanemarivi u odnosu na cijenu gubitka ljudskih ivota i imovine u neposrednoj okolici oteenog postrojenja. Pri tome je vjerojatno najspektakularniji sluaj te naravi bilo katastrofalno puknue spremnika ukapljenog prirodnog plina u Clevelandu 1944. godine, kada je 79 kua, 2 tvornice i 217 automobila bilo potpuno uniteno, uz daljnjih 35 kua i 13 tvornica koje su bile znaajno oteene.


- 13 -

Slika 1.14 Oteenje kotla nuklearne energane uslijed pukotine u zavaru.


- 14 -

Slika 1.15 Oteenje konvertera amonijaka uslijed pukotine unutar zone utjecaja topline.


- 15 -

Slika 1.16 Oteenje kotla elektrine centrale uslijed povrinske pukotine.


- 16 -

Iznos ukupne materijalne tete procijenjen je na oko 6 do 7 milijuna tadanjih dolara, to je u dananjim dolarima ekvivalentno iznosima koji su viestruko vei. Redoslijed dogaaja evidentno je zapoet inicijalnim puknuem spremnika, to je omoguilo istjecanje velikih koliina ukapljenog prirodnog plina. Potom je plin na atmosferskom tlaku i temperaturi poeo isparavati, te je nekako dolo do njegovog zapaljenja. Meutim najznaajnija injenica vezano uz ovaj dogaaj je da je pritom ivot izgubilo 130 ljudi, a daljnjih 300 je bilo ozlijeeno. Uzrok ove nesree nikada nije zvanino utvren, meutim smatra se da se radilo o loemu zavaru u kojemu je inicirana zamorna pukotina koja je naknadno propagirala uslijed vibracija od intenzivnog prometa oblinje eljeznice i kovakih postrojenja. Uz ovo, za strukturni materijal konstrukcije tanka koritena je nisko-ugljina legura elika s niklom (3.5%) koju karakterizira niska vrijednost svojstva ilavosti pri radnoj temperaturi od -250 stupnjeva Fahrenheita. 1982. godine ameriki nacionalni ured za standarde inicirao je studiju vezano uz procjenu direktnih i indirektnih trokova uzrokovanih pojavom loma unutar cjelokupne ekonomije SAD-a. Utvreni trokovi, izmeu ostalog, ukljuivali su i potrebu predimenzioniranja konstrukcija uslijed nejednolike kvalitete koritenog materijala, kao i potrebu za provedbom inspekcija, popravaka i zamjena materijala koji su se degradirali tokom eksploatacije. Ukupni trokovi procijenjeni su na oko 120 milijardi dolara godinje. Interesantan aspekt spomenute studije je procjena moguih uteda, pri emu se sugerira da se oko 35 milijardi dolara godinje moe utedjeti ukoliko bi se primijenile trenutno najbolje poznate metode kontrole loma, a daljnjih 28 milijardi dolara primjenom novih znanja za koja se oekuje da e biti razvijena u budunosti.


- 17 -

1.7 Kontrola loma

Kontrola loma (eng. fracture control) konstrukcije je usklaeni trud konstruktora, metalurga, proizvodnih inenjera, inenjera zaduenih za odravanje i strunjaka zatite na radu kako bi osigurali rad sustava bez katastrofalnih pojava kolapsa uzrokovanih lomom. Vrlo rijetko se lom dogaa kao posljedica nepredvienih preoptereenja na neoteenoj konstrukciji. Obino lom nastupa zbog inherentnih strukturnih mana ili pukotina na konstrukciji. Zbog ciklikih ili konstantnih normalnih radnih optereenja pukotina moe napredovati (poevi od inherentne strukturne mane ili koncentracije naprezanja) tj. postepeno rasti. Pukotine i oteenja naruavaju vrstou konstrukcije. Tako uslijed kontinuiranog napredovanja pukotine vrstoa konstrukcije opada sve do razine pri kojoj ne moe podnijeti radna optereenja, nakon ega nastupa lom. Svrha kontrole loma je sprjeavanje loma zbog pukotina i oteenja pri (maksimalnim) optereenjima konstrukcije tijekom eksploatacije. Da bi se lom sprijeio, vrstoa ne smije pasti ispod odreene sigurnosne vrijednosti. To znai da je potrebno sprijeiti napredovanje pukotina do razine koja bi uzrokovala pad vrstoe ispod prihvatljive vrijednosti. U svrhu odreivanja veliine pukotine koja je dopustiva, neophodno je znanje relevantno za kvantificiranje utjecaja pukotina na vrstou konstrukcije (kao funkciju veliine pukotine), a da bi se odredilo razdoblje sigurne eksploatacije, potrebno je znati odrediti vrijeme u kojem pukotina raste do prihvatljive veliine. Da bi to bilo mogue, potrebno je locirati mjesta gdje bi pukotine mogla nastati. Dakle, analizom se trebaju dobiti podaci o vremenima napredovanja pukotine kao i ovisnost vrstoe konstrukcije o veliini pukotine. Ovakva vrsta analize naziva se analiza doputenog oteenja (eng. damage tolerance analysis). Doputeno oteenje je svojstvo konstrukcije da sigurno podnosi oteenja ili pukotine do trenutka kada se uklone. Uklanjanje se moe ostvariti popravkom ili zamjenom napukle konstrukcije ili dijela konstrukcije. U fazi konstruiranja poeljno je odabrati materijal koji je otporniji na nastajanje pukotina ili unaprijediti konfiguraciju konstrukcije, ime se osigurava da pukotine nee postati opasne tijekom oekivanog ekonominog razdoblja eksploatacije. Drugi nain je da se konstrukcija pregledava u odreenim vremenskim intervalima kako bi se u sluaju postojanja pukotine mogla na vrijeme popraviti ili dijelovi konstrukcije zamijeniti. Vremena uklanjanja (zamjene) ili vrste i intervali kontrole odreuju se iz vremena napredovanja pukotine dobivenog iz analize doputenog oteenja. Kontrole se mogu izvoditi nekom od tehnika nerazornog ili razornog ispitivanja. Analiza doputenog oteenja, tj. njeni rezultati ine osnovu za planiranje kontrole loma. Pregledi, popravci i zamjene moraju se racionalno vremenski planirati koritenjem podataka dobivenih analizom doputenog oteenja. Kontrola loma je kombinacija mjera kojima se eli sprijeiti lom uzrokovan pukotinama tijekom eksploatacije. Moe sadravati mjere kao to su: analiza doputenog oteenja, odabir materijala, bolje oblikovanje konstrukcije, ispitivanje konstrukcije i plan odravanja/pregledavanja/zamjene. Opseg mjera kontrole loma ovisi o kritinosti dijela, o ekonomskim posljedicama ukoliko je konstrukcija izvan pogona i o teti koja bi nastala uslijed loma (ukljuujui gubitke ivota). Matematiki alat koji se koristi u analizi doputenog oteenja zove se mehanika loma (eng. fracture mechanics). Mehanika loma daje koncepte i jednadbe vezano uz napredovanje pukotina i njihov utjecaj na vrstou konstrukcije. Iako mehanika loma nije apsolutno tona, svojim je razvojem kroz nekoliko proteklih decenija evoluirala u vrlo praktian inenjerski alat zadovoljavajue tonosti. Netona rjeenja u primjeni mehanike loma su najee rezultat loih ili krivih ulaznih podataka, a ne neadekvatnosti koritenih koncepata.


- 18 -

1.8 Dva cilja analize doputenog oteenja

Planiranje kontrole loma zahtijeva poznavanje utjecaja pukotina na vrstou konstrukcije i vremena potrebnog da pukotine narastu do neprihvatljive vrijednosti. Prema tome, analiza doputenog oteenja ima dva cilja:

odrediti utjecaj pukotina na vrstou; odrediti napredovanje pukotine kao funkciju vremena.

Slika 1.17 Dijagram utjecaja veliine pukotine na vrstou.

Slika 1.17 daje kvalitativni dijagramski prikaz utjecaja veliine pukotine na vrstou. U mehanici loma veliina pukotine se uobiajeno oznaava oznakom a. vrstoa je izraena preko optereenja, F, koje konstrukcija moe izdrati prije nego to nastupi lom (optereenje loma). Pod pretpostavkom da nova konstrukcija nema znaajnih oteenja (a=0), njena vrstoa je jednaka graninoj projektnoj vrstoi (optereenju) Fu. Potrebno je naglasiti da je vrstoa nove, neoteene konstrukcije konana. Lom bi trebao nastupiti kada se konstrukcija podvrgne optereenju Fu, jer se u protivnom konstrukcija smatra predimenzioniranom. U procesu konstruiranja uvijek se koristi neki oblik faktora sigurnosti S. U nekim tehnikim podrujima faktor sigurnosti se vee uz optereenje. Npr., ako je maksimalno predvieno radno optereenje Fs, konstrukcija se projektira da izdri SFs=Fu. Konstrukcija se dimenzionira na nain da moe podnijeti naprezanje jednako ili malo nie od granine vlane vrstoe pod djelovanjem optereenja Fs (provjere plastine deformacije su obino takoer nune). Drugi nain je da se faktor sigurnosti vee uz doputeno naprezanje, tj. ako je vrstoa materijala (granina vlana vrstoa) jednaka Rm, konstrukcija se dimenzionira na nain da je naprezanje pri najveem radnom optereenju Fs manje ili jednako Rm/S. Budui da su optereenje i naprezanje obino proporcionalni, konstrukcija je u stvarnosti sposobna nositi SFs=Fu. Plastinost moe naruiti proporcionalnost, no poto je plastinost uglavnom ograniena na mala podruja oko vrha pukotine i mjesta koncentracija naprezanja, gornji izraz je priblino toan. Konstrukcija se dimenzionira uz faktor sigurnosti tako da podnese optereenja vea od najveeg predvienog radnog optereenja. Faktor sigurnosti se najee nalazi u rasponu izmeu 1,5 (zrakoplovi) i 3 (razne graevinske konstrukcije). Radno optereenje obino varira, ali je uglavnom veinu vremena mnogo manje od Fs. Npr. optereenja na kranovima, mostovima, puinskim plovnim objektima, brodovima i zrakoplovima su obino mnogo manja od Fs. Tek u iznimnim uvjetima (npr. oluje) radno optereenje dosee vrijednost Fs (Slika 1.18a). Preostalo vrijeme radno optereenje moe biti tek dio Fs, tako da je rezerva sigurnosti od loma mnogo vea od faktora sigurnosti S. Radna


- 19 -

optereenja na nekim konstrukcijama, npr. cjevovodima, posudama pod tlakom, rotirajuim strojnim dijelovima uvijek doseu otprilike iste vrijednosti, kako prikazuje Slika 1.18b.

Slika 1.18 Shematski primjeri povijesti radnih optereenja. (a) Uobiajena optereenja puinskih plovnih

objekata, brodova, zrakoplova; (b) uobiajena optereenja rotirajuih strojnih elemenata.

Nova konstrukcija ima vrstou Fu uz faktor sigurnosti S. Njena vrstoa je konana i prema tome vjerojatnost pojave loma nije jednaka nuli. U sluaju da radno optereenje dosegne vrijednost Fu (npr. u oluji) nastupa lom konstrukcije. Vjerojatnost da se to dogodi nije jednaka nuli, ali iskustvo je pokazalo da je prihvatljivo mala. Prisutnost pukotina uzrokuje pad vrstoe ispod vrijednosti Fu. Ta vrstoa, u prisutnosti pukotina, naziva se preostalom vrstoom (eng. residual strength), Fres, a dijagram koji prikazuje Slika 1.17 naziva se dijagramom preostale vrstoe (eng. residual strength diagram). S preostalom vrstoom Fres


- 20 -

napredovanja pukotine, koju prikazuje . Doputena veliina pukotine ap, koju prikazuje Slika 1.17, moe se preslikati u krivulju koju prikazuje Slika 1.19. Pod uvjetom da se moe odrediti krivulja koju prikazuje Slika 1.19, mogue je odrediti razdoblje sigurne eksploatacije H (do postizanja ap), nakon kojeg je nuno zamijeniti oteenu konstrukciju ili njen dio. Interval kontrole konstrukcije mora biti manji od vremena H, obino se uzima kao H/2.

Slika 1.19 Krivulja napredovanja pukotine (shematski prikaz).

1.9 Napredovanje pukotine i lom

Dijagrami preostale vrstoe i napredovanja pukotine su bitno razliiti, ne samo u obliku nego i u znaenju. Lom je krajnji dogaaj koji esto nastupa iznimno brzo i rezultira lomom konstrukcije u vie dijelova. Nasuprot tome, pukotina napreduje sporo tijekom normalnog radnog optereenja. Mehanizmi napredovanja pukotine i nastanka loma su takoer razliiti. Napredovanje pukotine posljedica je jednog od sljedeih pet mehanizama:

zamora (eng. fatigue) uslijed ciklikog optereenja; naponske korozije (eng. stress corrosion) uslijed konstantnog optereenja; puzanja (eng. creep); pucanje u prisustvu vodika (eng. hydrogen induced cracking); pucanje uzrokovano tekuim metalom (eng. liquid metal induced cracking).

Prva dva mehanizma i njihove kombinacije su najuestaliji uzroci napredovanja pukotine. Mehanizam zamornog napredovanja pukotine prikazuje Slika 1.20. Ostali mehanizmi su mogui, ali nisu bitno razliiti. ak i pri malim optereenjima zbog velike koncentracije naprezanja postoji plastina deformacija na vrhu pukotine. Plastina deformacija nastaje klizanjem atomskih ravnina uslijed zbog sminih naprezanja (Slika 1.20, faza B). Kontinuiranim klizanjem komplementarnih ravnina vrh pukotine se zatupljuje (Slika 1.20, faze B-D). Ve prvo klizanje u drugoj fazi uzrokuje jako malo poveanje pukotine a. Prilikom uklanjanja optereenja (ili tlanog optereenja) vrh pukotine ponovno postaje otar. U slijedeem ciklusu optereivanja proces se ponavlja, pukotina raste ponovno za a. Poveanje pukotine po ciklusu, a, je veoma malo, reda veliine 10-1010-6 m, meutim nakon dovoljno velikog broja ciklusa optereivanja konstrukcije, npr. 104108 ciklusa, pukotina moe narasti za 20 do 30 mm. Pukotina moe uzrokovati lom konstrukcije. Postoje tek dva mehanizma nastajanja loma: krhki lom (eng. cleavage) i ilavi lom (eng. rupture). Krhki lom predstavlja razdvajanje atomskih ravnina. Svako zrno ima zasebnu ravninu pogodnu za razdvajanje atomskih ravnina to uzrokuje ravninski lom (Slika 1.21). Ravnine loma su dobri reflektori zraka upadne svjetlosti. Rezultat toga je da krhki lom sjaji dok je svje, dok nakon nekog vremena gubi sjaj uslijed oksidacije.


- 21 -

Slika 1.20 Jedan od moguih mehanizama zamornog napredovanja pukotine.

Slika 1.21 Krhki lom zapoet u vrhu pukotine. Dolje: Lomne ravnine sjaje zbog odbijanja upadne svjetlosti.

Drugi mehanizam, ilavi lom, prikazuje Slika 1.22. Svi konstrukcijski materijali sadre estice i ukljuine. estice su uglavnom sloeni sastojci legirnih elemenata koji se koriste kako bi se poboljala eljena svojstva materijala. Ispoetka estice ili ne prijanjaju, ili


- 22 -

popucaju, ime se formiraju iroke praznine u blizini vrha pukotine. U krajnjoj fazi vie takvih manjih praznina se ujedine u jednu veliku i nastupa ilavi lom. Zbog nepravilne povrine ilavi lom proputa svjetlost zbog ega ima tamno sivu boju.

Slika 1.22 etiri faze napredovanja ilavog loma.

I krhki i ilavi lom su brzi procesi. Krhki lom moe napredovati brzinama do 1600 m/s, dok ilavi lom napreduje brzinama od oko 500 m/s, iako moe biti i sporiji. Lom konstrukcije je stabilan sve dok je uzrokovan nekim od mehanizama napredovanja pukotine. Nakon odreenog vremena nastupaju krhki ili ilavi lom, tj. lom konstrukcije ulazi u nestabilnu fazu.

1.10 Doputeno oteenje i mehanika loma

Metode mehanike loma su razvijene kako bi se omoguilo odreivanje preostale vrstoe konstrukcije i analizu napredovanja pukotine uzrokovanog nekim od mehanizama. Mehanika loma (kao i sve inenjerske mehanike) koriste naprezanja umjesto optereenja. Prema tome, dijagram preostale vrstoe se uobiajeno temelji na naprezanju koje konstrukcija moe podnijeti prije pojave loma, res.

Slika 1.23 Dijagram preostale vrstoe temeljen na nominalnom naprezanju.

Dijagram preostale vrstoe temeljen na naprezanju prikazuje Slika 1.23. Lom nastupa kada se naprezanje izjednai s res. Budui da se dogaanja u vrhu pukotine temelje na


- 23 -

lokalnim naprezanjima u samom vrhu, potrebno je dovesti u vezu ta lokalna naprezanja s primijenjenim naprezanjem. S tim u vezi potrebno je razlikovati tri glavna naina otvaranja pukotine (Slika 1.24).

Slika 1.24 Naini (modovi) otvaranja pukotina.

Naini otvaranja pukotine se uobiajeno oznaavaju rimskim brojevima I, II i III. pri tome vrijedi sprega: odcjepni nain (nain I), smicanje (nain II) i popreno smicanje (nain III). Jednadbe naprezanja u vrhu pukotine su vrlo sline za sva tri moda. U praksi se veina pukotina otvara prema nainu I, dok se druga dva naina ne pojavljuju zasebno, ali se mogu pojaviti kao kombinacija s nainom I, npr. I-II, I-III, ili I-II-III.


- 24 -

2 EFEKTI ZAREZA I PUKOTINA: KOLAPS

2.1 Pregled

Unutar ovog poglavlja razmatrani su uvjeti potrebni za nastanak kolapsa. Kolapsu e prethoditi zarez i nastanak faktora koncentracije naprezanja pri vrhu zareza. Za objanjavanje kolapsa takoer je neophodno razmotriti stanje naprezanja. Pojava faktora koncentracije naprezanja uzrokovati e pojavu ravninskog stanja naprezanja i ravninskog stanja deformacije, to e biti poblie objanjeno u daljnjem tekstu. Uz pojavu zareza vee se i pojava poputanja koja e ovisiti o stanju naprezanja. Naprezanje potrebno za pojavu poputanja pri ravninskom stanju deformacije, tri puta je vee nego li kod ravninskog stanja naprezanja to je objanjeno u odjeljku 2.5. U odjeljku 2.6. prikazana je raspodjela naprezanja koja e uzrokovati pojavu plastinog kolapsa. Na kraju je objanjen krhki lom pri vrhu zareza.

2.2 Poremeaj linija toka optereenja

U prisutnosti diskontinuiteta, suenja, zareza i naroito pukotina u materijalu, doi e do pojave koncentracije naprezanja. Koncentracija naprezanja uzrokovat e pojavu naprezanja viih od nominalnih ili prosjenih. Slika 2.1 prikazuje dvije ipke istih dimenzija i istog materijala. Svaka ipka preuzima pola optereenja, te je deformacija u obje ipke jednaka i uzrokuje produljenje L. U sluaju da se prepolovi lijeva ipka, desna ipka e preuzeti itavo optereenje. Naprezanje i produljenje e u tom sluaju biti dvostruko vee nego prije, odnosno produljenje e iznositi 2L, a naprezanje 2.

Slika 2.1 Efekt presijecanja jedne od dvaju paralelnih ipki.

Slika 2.2 prikazuje dvije ipke koje su spojene (zavarene) te tvore jedno tijelo. U inicijalnom (neoteenom) stanju naprezanje i produljenje e biti isto kao u prethodnom sluaju dvaju optereenih ipki, tj. naprezanje po itavom presjeku iznosi , a produljenje L. U sluaju kada je lijeva ipka presjeena, desna ipka preuzima itavo optereenje u ravnini rascjepa, dok ispod presjeka rascjepa, gdje su obje ipke spojene i neoteene, naprezanje e


- 25 -

biti jednako u obje ipke. Nominalno naprezanje u desnoj ipki na presjeku rascjepa lijeve ipke iznositi e F/A. Naprezanje u desnoj ipki nee biti ravnomjerno rasporeeno ve e najvee naprezanje biti uz sami vrh rascjepa (koncentracija naprezanja) te e postupno opadati s lijeva na desno u desnoj ipki. Ukupno produljenje u ovom sluaju iznosi neto vie od L, ali dosta manje od 2L.

Slika 2.2 Efekt presijecanja jedne od dvaju zavarenih ipki.

Od pomoi je ako se zamisle linije toka optereenja (eng. load-flow lines) koje pokazuju tok jedininog optereenja od jednog hvatita optereenja do drugog. Kod jednolikog optereenja, linije toka optereenja su neporemenene, tj. ravne i ekvidistantno rasporeene, kako prikazuje Slika 2.3a. Ako je naruena cjelovitost optereenog dijela zarezom, linije toka optereenja moraju zaobii rascjep unutar vrlo male irine (Slika 2.3b).

Slika 2.3 Linije toka optereenja.

Pri vrhu zareza linije toka optereenja su meusobno zgusnute, to znai da e se pri vrhu rasjepa javiti vea naprezanja negoli u ostatku optereenog dijela. Pri obilasku vrha rascjepa linije toka optereenja su zakrivljene, tj. tu optereenje mijenja smjer (segment A, Slika 2.3c). Pri vrhu zareza naprezanje e imati vertikalnu i horizontalnu komponentu, odnosno biti e prisutno dvoosno polje naprezanja (x i y) za jednoosno optereenje. Jednoosno polje naprezanja pojavljuje se lokalno.


- 26 -

2.3 Faktor koncentracije naprezanja

U sluaju zareza raspodjela naprezanja je vrlo slina situaciji koju prikazuje Slika 2.3, gdje je vidljivo da e se pri rubovima rascjepa javiti koncentracija naprezanja. Slika 2.4 prikazuje primjere linija toka optereenja te mjesta koncentracije naprezanja s obzirom na diskontinuitete geometrije tijela.

Slika 2.4 Linije toka optereenja oko diskontinuiteta oblika.

Generalno je pravilo da e tupi zarezi proizvesti manja lokalna naprezanja, a otriji vea. Nominalno naprezanje nom, pri vrhu zareza biti e uveano za teorijski faktor koncentracije naprezanja kt (eng. theoretical stress concentration factor). Tada se lokalno najvee naprezanje l pri vrhu zareza moe prikazati jednadbom:

nomtl k = (2.1) Za eliptine zareze, Slika 2.5, teorijski faktor koncentracije naprezanja moe se odrediti preko jednadbe:

bakt 21+= (2.2)

gdje a i b definira Slika 2.5. Polumjer zakrivljenosti elipse na kraju poprene poluosi definiran je izrazom =a2/b. pa se teorijski faktor koncentracije naprezanja moe se odrediti pomou jednadbe:

bbkt +=+= 121 (2.3)

gdje predstavlja faktor oblika zareza. U sluaju kada je zarez okruglog oblika, tj. a=b, teorijski faktor koncentracije naprezanja iznositi e kt=3. Faktori koncentracije naprezanja odreeni su za mnoge oblike i mogu se nai u mnogim prirunicima. Gornja jednadba pokazuje da polumjer zakrivljenosti vrha zareza uvelike utjee na faktor koncentracije naprezanja. Ako je vrh pukotine otriji, odnosno polumjer zakrivljenosti manji, kt je vei. Za elipse za koje vrijedi b/a=3 (=b/9), faktor koncentracije naprezanja iznosi kt=7, dok za elipsu a/b=3, faktor koncentracije naprezanja iznosi samo kt=1.67.


- 27 -

Slika 2.5 Eliptini zarezi: (a) visoka koncentracija naprezanja, (b) niska koncentracija naprezanja, (c) plohe

zareza bez naprezanja.

2.4 Stanje naprezanja na mjestu koncentracije naprezanja

Kao to je ve pokazano u odjeljku 2.2, koncentracija naprezanju uzrokuje promjene u stanju naprezanju. Dakle, iako jednoosno stanje naprezanja vrijedi za ostatak tijela, pri vrhu zareza vrijedit e barem dvoosno polje naprezanja. Na slobodnoj plohi (eng. free surface) na kojoj nema vanjskog optereenja, vrijediti e ravninsko stanje naprezanja (na slobodnoj plohi naprezanje je jednako nuli). Lice zareza (Slika 2.5c) predstavlja slobodnu plohu, na kojoj nema naprezanja. Korijen zareza takoer predstavlja slobodnu plohu, to znai da naprezanje u smjeru osi x takoer mora biti nula (x=0). Malo od vrha zareza prema unutra naprezanje e bit razliito od nula u smjeru osi x (x0). Lice optereenog dijela i dalje e predstavljati slobodnu plohu (povrina koju os z sjee okomito) te e i tu naprezanje biti nula (z=0). U takvoj situaciji na maloj udaljenosti od vrha zareza biti e dvoosno stanje naprezanja. Ipak na nekoj udaljenosti od vrha zareza takoer se moe pojaviti naprezanje u sve tri osi (troosno), to e biti objanjeno u daljnjem tekstu. S obzirom da e se javiti naprezanja u smjeru osi x i y (x i y), koja su ujedno i glavna naprezanja (1 i 2), postoje i pripadajue deformacije u smjeru te dvije osi (x i y). Prema Hookovom zakonu x i y uzrokovati e i deformaciju u smjeru osi z (z):

Ev

Ev yxz

= (2.4)


- 28 -

gdje v predstavlja Poissonov koeficijent, uz pretpostavku da je z=0. z predstavlja negativnu deformaciju, odnosno kontrakciju dijela (suavanje oplate) u smjeru osi z. Naprezanja su velika iskljuivo u blizini korijena zareza, dok je dalje od korijena zareza y znatno manje, a naprezanje u smjeru osi x u potpunosti nestaje (x=0). Takoer, odmicanjem od vrha zareza z postaje sve manja dok ne poprimi vrijednost nula. Samo mali dio materijala, u blizini vrha zareza, imati e velike iznose z. Taj dio materijala priblino e biti cilindrinog oblika, kao to je prikazuje Slika 2.6.

Slika 2.6 Kontrakcija pri vrhu zareza.

U sluaju kada je cilindar vrlo dug, odnosno ako je ploa deblja, z nee moi biti velika. Materijal u neposrednoj blizini cilindra nee dopustiti kontrakciju cilindra, osim u jednom malom djelu na licu ploe. S obzirom da okolni materijal spreava kontrakciju cilindra, javiti e se vlana naprezanja u cilindru. Ogranienje kontrakcije zbog okolnog materijala izaziva javljanje vlanog naprezanja z. Ako je kontrakcija u potpunosti sprijeena, tada je z=0:

0==E

vE

vE

yxzz

(2.5)

i nadalje:

)(3.0)( yxyxz v ++= (2.6) Iz jednadbe ( )(3.0)( yxyxz v ++= (2.6) vidi se da se veliko vlano naprezanje javlja u smjeru debljine kada je


- 29 -

kontrakcija onemoguena. Ovo naprezanje izazvano je okolnim materijalom koje ograniava kontrakciju. Iz svega navedenog slijedi da na povrini, odnosno dijelu materijala gdje su naprezanja samo u smjeru osi x i y, prevladava dvoosno stanje. Odmicanjem od vrha zareza pojavljuje se troosno stanje naprezanja, gdje je deformacija z=0 (ravninsko stanje deformacije).

Slika 2.7 Ograniavanje cilindra kod deblje i tanke ploe.

Slika 2.7 prikazuje zarez kod tanke i kod deblje ploe. Kod tanke ploe materijal koji je obuhvaen cilindrom je vee debljine, te e se kontrakcija dogoditi slobodno prema jednadbi (2.4). Kod neto deblje ploe javit e se troosno stanje naprezanja, gdje e kontrakcija biti djelomino ograniena. Pri dovoljno debeloj ploi kontrakcija e biti u potpunosti ograniena, odnosno onemoguena. Moglo bi se konstatirati da stanje naprezanja u korijenu zareza ovisi o duljini cilindra (debljini ploe). Ipak ova ovisnost o debljini ploe je sluajna. Slika 2.8 prikazuje zarez kod kojeg pojava cilindra nije vezena uz debljinu ploe.

Slika 2.8 Sluaj zareza kada cilindar nije povezan s debljinom ploe.


- 30 -

2.5 Poputanje kod vrha zareza

Naprezanje potrebno za plastinu deformaciju ovisi u velikoj mjeri o stanju naprezanja. Pri ravnisnkom stanju naprezanja poputanje nastupa kad je najvee glavno naprezanje jednako granici poputanja materijala. Pri troosnom troosnom stanju naprezanja potrebno je mnogo vee naprezanje za pojavu poputanja. Poputanje je plastina deformacija smicanjem zbog djelovanja sminog naprezanja. Plastina deformacija nee se pojaviti ako smino naprezanje nije dovoljno veliko da uzrokuje pojavu smicanja. U epruveti koja se ispituje na vlano optereenje vlada jednoosno stanje naprezanja, kako prikazuje Slika 2.9a. U ovom sluaju ostvarena je plastina deformacija. Smino naprezanje biti e maksimalno u ravnini pod kutem od 450. Kod kuta od 450, smino naprezanje iznosi =/2. Naprezanje odgovara granici poputanja Fty, mjerenoj statikim vlanim pokusom. Iz navedenog proizlazi da e smino naprezanje potrebno za pojavu poputanja (Slika 2.9a) iznositi ty=Fty/2. U sluaju koji prikazuje Slika 2.9b, situacija je slina kao kod prethodnog sluaja te smino naprezanje potrebno za pojavu teenja iznosi isto ty=Fty/2. Za sluaj koji prikazuje Slika 2.9c, uz pretpostavku da je materijal dvodimenzionalan, smino naprezanje je u oba smjera jednako, te se ponitava. Kada nema sminog naprezanja nema pojave smicanja i nema plastine deformacije. Da bi dolo do plastine deformacije jedno od sminih naprezanja mora biti vee od drugog za Fty. U ovom sluaju to znai da ako je vertikalno naprezanje 3Fty tada horizontalno mora iznositi 4Fty.

Slika 2.9 Odgaanje plastine deformacije uslijed vieosnog naprezanja.


- 31 -

Realni materijali su trodimenzionalni, kao to prikazuje Slika 2.9d, i pojava izvanravninskog sminog naprezanja je mogua. Ipak, jednostavno je primijetiti da u sluaju kada su sva tri naprezanja u sve tri osi jednaka (Mohrova krunica postaje toka) nema smika. Zapravo, da bi dolo do poputanja, razlika izmeu najveeg i najmanjeg glavnog naprezanja mora biti jednaka ili vea od Fty, tj. plastina deformacija e nastupiti kada je:

( ) tyF= 21 ili ( ) tyF= 31 (2.7) Kako je ve spomenuto, pri vrhu zareza moe se javiti troosno stanje naprezanja. Ako razmatramo sluaj ravninskog stanja deformacije, gdje je z dan izrazom (2.6) i pretpostavimo da je x=y, u sluaju vrlo otrog zareza, tada e najmanje glavno naprezanje z biti z=0.33(x+y)=y, a za pojavu plastine deformacije biti e potrebno naprezanje y=3Fty. Slika 2.10 prikazuje sluaj kada pri vrhu zareza lokalno naprezanje iznosi y. Opadanjem optereenja lokalno naprezanje e biti manje od 3Fty te e se u tom sluaju javiti iskljuivo elastina deformacija.

Slika 2.10 Poputanje kod otrog vrha zareza pri ravninskom stanju deformacije.

Slika 2.11 Poputanje kod zareza pri ravninskom stanju naprezanja.

U sluaju koji prikazuje Slika 2.11, odnosno pri ravninskom stanju deformacije plastina deformacije e se pojaviti kada je y=Fty. Razlog tome je (y-z)=(y-0)=y. Kada bi


- 32 -

se dalje poveavalo optereenje, tada bi distribucija naprezanja bila kao u prethodnom sluaju. Poveavanjem optereenja itav dio bi popustio ako se prije ne bi pojavio lom.

2.6 Plastini kolaps na vrhu zareza

Osim velikog lokalnog naprezanja koje moe uslijed zamora materijala dovesti do pukotina, naponska korozija moe postupno dovesti do pojave loma, naroito kada se naponska korozija pojavi pri vrhu otrog zareza. Do oteenja moe doi i uslijed plastinog kolapsa nakon kojeg je uvijek slijedi lom. Ako se distribucije naprezanja, koje prikazuje Slika 2.11 i Slika 2.12, mogu ostvariti prije pojave loma, moe doi do pojave plastinog kolapsa. Presjek koji je obuhvaen utjecajem zareza pri pojavi potpunog poputanja vie ne moe podnijeti nikakvo dodatno optereenje, jer e se poputanje nesputano nastaviti sve do pojave loma. Ovo se zove plastini kolaps.

Slika 2.12 Propagacija pooputanja kod tupog vrha zareza.

Dakle, kod ravninskog stanja naprezanja naprezanje u cijelom presjeku jednako je granici poputanja materijala u trenutku kolapsa, Slika 2.11, a maksimalna nosivost tada je:

Kolaps: tyFaWBF )(max = (2.8) gdje je a dubina zareza, W predstavlja ukupnu irinu dijela, a B je debljina koja u ovom sluaju odgovara debljini ploe. Ovo optereenje (Fmax) naziva se kolapsno optereenje ili granino optereenje. Nominalno naprezanje kroz cijeli dio iznosi =F/BW. Kod dijela koji prikazuje Slika 2.11 dolazi do kolapsa kada je nominalno naprezanje:

Kolaps: tyfc FWaWWP == (2.9)

Ovo je jednadba ravne linije (kao funkcije zareza dubine a). Ako je a=W, tada kolaps nastupa ve pri nominalnom naprezanju fc=0. Ovisnost ovog graninog naprezanja o dubini zareza prikazuje Slika 2.13. Ako lom nastupa kao posljedica kolapsa naprezanje fc e predstavljati preostalu vrstou, kako je opisano u prvom poglavlju. Ako kod materijala dolazi do ovrivanja, na presjeku zareza materijal moe podnijeti vee optereenje. Treba


- 33 -

napomenuti da ne moe doi do situacije kada materijal na presijeku zareza, nosi naprezanje jednako vlanoj vrstoi. Poputanje poinje u korijenu zareza i propagira kroz itavi ligament, zbog ega su deformacije najvee u korijenu zareza (Slika 2.14).

Slika 2.13 Kolaps presjeka.

Slika 2.14 Raspodjela naprezanja i deformacije kod zareza (ravninsko stanje naprezanja). (a) deformacija; (b)

naprezanje s horizontalnom krivuljom naprezanje-deformacija; (c) naprezanje s rastuom krivuljom naprezanje-deformacija.

Dokle god je naprezanje u elastinom podruju ponaanja materijala, koncentracija naprezanja dana je jednadbom l=ktnom. Za elastino podruje ponaanja materijal generalno vrijedi =E, iz ega slijedi da je koncentracija deformacija:

nomnomtnom

tl kkEk === (2.10)

gdje k predstavlja koncentraciju deformacija (k=kt). Kada je cijeli ligament popustio koncentracija naprezanja nestaje, ali je jo uvijek prisutna koncentracija deformacija. Neuber


- 34 -

oznaava faktor koncentracije naprezanja sa k i faktor koncentracije deformacija sa k, te postulira:

2tkkk = (2.11)

gdje je kt teorijski faktor koncentracije naprezanja. U elastinom sluaju k=k, dakle tada su oboje jednaki kt. Faktor koncentracije naprezanja k reducira se kada doe do poputanja materijala, dok se faktor koncentracije deformacija poveava. Kod sluaja koji prikazuje Slika 2.14b, gdje je k poprimio vrijednost k=1, faktor koncentracije deformacija iznosi k=kt2/k=kt2/1=kt2. Kod sluaja kt=3 koncentracija naprezanja opada od k=kt=3 u elastinom sluaju, do k=1 kod potpunog plastinog sluaja. S druge strane koncentracija deformacija raste od k=kt=3 u elastinom sluaju, do k=kt2=9 u plastinom sluaju. U sluaju materijala kojeg karakterizira ovrivanje, naprezanje u ligamentu moe porasti iznad Fty. Zaostati e odreena koncentracija naprezanja (Slika 2.14c), ali e zato koncentracija deformacija biti vrlo velika. Kada se itav ligament plastificira, na vrhu zareza (plastina) deformacija biti e mnogostruko vea. Ta vrlo velika deformacija kod vrha zareza uzrokovati e pojavu loma mnogo prije nego to naprezanje u podruju dalje od zareza dosegne vrijednosti vee od Fty. Nastankom loma vrh zareza postaje mnogo otriji, to znai da se situacija pogorava, tj. da lom propagira. Kada zapone rascjepljivanje ili plastini kolaps u vrhu zareza naprezanje je u ligamentu je priblino Fty. Dakle, ak i kod ovrivajueg materijala i ravninskog stanja naprezanja, prosjeno naprezanje u podruju presjeka pukotine ne dosee vrijednost Ftu. Ftu predstavlja vlanu vrstou materijala. Kolaps e nastupiti pri prosjenom naprezanju ligamenta neto veem od Fty, ali manjim od Ftu. Prosjeno naprezanje u ligamentu pri kojem kolaps nastupa naziva se kolapsna vrstoa Fcol. Kod materijala koje ne karakterizira pojava ovrivanja vrijedi Fcol=Fty, ili u najboljem sluaju Fcol=Ftu. Kao to se Ftu i Fty najtonije odreuju preko statikog vlanog testa, tako se i Fcol odreuje testiranjem epruvete sa zarezom. Iznos Fcol ovisi o veliini zareza (k i kt). Za krune provrte s kt=3, kolapsna vrstoa e priblino biti jednaka vlanoj vrstoi materijala (FcolFtu). U sluaju otrog vrha zareza kolapsna vrstoa e priblino biti jednaka granici poputanja materijala (FcolFty). Slijedi da za materijale koje karakterizira ovrivanje vrijedi:

colfc FWaW = (2.12)

Ako je prisutno ravninsko stanje deformacija, ili u sluaju opeg ne-ravninskog stanja naprezanja, raspodjela naprezanja poslije poputanja nije uniformna (Slika 2.12). Gornja diskusija odnosila se iskljuivo na uniformno aplicirano optereenje. Ako se u razmatranje eli dodati i utjecaj savijanja, tada se uvjeti za nastanak kolapsa neto kompliciraju. Potpunu plastinu raspodjelu naprezanja na ligamentu za sluaj savijanja prikazuje Slika 2.15c. Maksimalni moment savijanja dagaa se kada je naprezanje u presjeku jednako Fcol. Moment oko toke A iznosi:

( )2max 41

422 aWBFaWaWBFM colcol =

= (2.13)

Openito, u inenjerskoj praksi sva rjeenja morala bi biti dana preko nominalnog naprezanja. Za sluaj savijanja to je takoer mogue, jer nominalno naprezanje savijanja pri Mmax iznosi =6Mmax/BW2. Uvrtavanjem u gornju jednadbu slijedi:


- 35 -

colfc FWaW 2

23

= (2.14)

Slika 2.15 Analiza kolapsa: centralna pukotina (a); kolapsno naprezanje (b); raspodjela naprezanja za rastui

moment savijanja (c); kolapsna vrstoa (e); kombinacija savijanja i razvlaenja (e).

2.7 Lom na zarezu: krhko ponaanje

Kolapsno optereenje ili granino optereenje predstavlja najvee optereenje koje se moe ostvariti, tj. apsolutni maksimum nosivosti definiran je kolapsnim optereenjem. Lom automatski nastupa kada su ostvareni uvjeti kolapsa. Ipak prijelom moe nastupiti prije negoli su ostvareni uvjeti kolapsa. U sluaju kada lom nastupa uslijed kolapsa, preostala vrstoa odreuje se pomou jednadbe (2.9) ili (2.14): res=cf. Preostala vrstoa nikad ne moe biti vea od toga. Ako lom nastupi prije kolapsa, preostala vrstoa manja je od nominalnog naprezanja pri kolapsu (res


- 36 -

Kolaps nastupa kada naprezanje u cjelom presjeku jo nije jednako granici poputanja materijala. Tada su sve plastine deformacije ograniene na presjek kroz zarez. Ako je kolapsno naprezanje vee od granice poputanja materijala, tada se primjenjuje jednadba (2.12). U tom sluaju naprezanje u cjelom presjeku moe dosei ili prei granicu poputanja materijala, ako je kolapsno naprezanje veliko, a veliina zareza mala. U opem sluaju, meutim, naprezanje pri gubitku nosivosti presjeka biti e ispod granice poputanja materijala. Dakle, u velikoj veini sluaja loma kod zareza i pukotina, plastina deformacija pojavljuje se samo u presjeku zareza. Ograniavanje poputanja na presjek zareza ima znaajni utjecaj na sveukupno produljenje dijela u trenutku loma. Kod statikog vlanog pokusa s ne zarezanom epruvetom deformacija u trenutku pojave suenja je obino 10% ili vie (Slika 2.16). Kod epruvete sa zarezom plastina deformacija nastupa samo u presjeku zareza. Iako e se ovaj presjek deformirati oko 10 % prije nastanka loma, ukupno produljenje biti e znaajno manje u usporedbi s ne zarezanom epruvetom (Slika 2.16). Zbog toga je produljenje nakon loma teko uoljivo kod epruvete sa zarezom. Ako nastupa generalno jako mala deformacija, tada se takav lom smatra krhkim. Lomovi mogu biti duktilni ili krhki, ali s obzirom da veina prijeloma nastupa uz prisutnost zareza veina prijeloma je krhkog karaktera.

Slika 2.16 Krhkost uslijed zareza i pukotina kao rezultat lokalizirane plastine deformacije u podruju visokih

naprezanja.


- 37 -

3 LINEARNO ELASTINA MEHANIKA LOMA

3.1 Naprezanje pri vrhu pukotine

Slika 3.1 prikazuje tijelo proizvoljnog oblika sa pukotinom proizvoljne veliine i proizvoljnog optereenja (mod I). Materijal tijela idealizira se elastinim, tj vrijedi Hookeov zakon. Za takav sluaj teorija elastinosti se moe upotrijebiti za utvrivanje polja naprezanja. Razmatrati e se dvoosno stanje naprezanja s komponentama naprezanja barem u smjeru osi x i y. Moe se razmatrati i troosno stanje naprezanja ako se uzme u obzir spreavanje lokalnog smanjenja debljine.

Slika 3.1 Tijelo proizvoljnog oblika, proizvoljne pukotine i proizvoljnog optereenja prema modu I.

Naprezanja u materijalnom elementu kojeg prikazuje Slika 3.1 moe se odrediti pomou sljedeih jednadbi (zanemarujui ograniavanje smanjenja debljine):

(3.1)

U sluaju kada je =0 (ravnina presjeka s pukotinom) vrijedi (x=r za =0):

(3.2)


- 38 -

Za ravninu y=0 (za koju gornje jednadbe vrijede) poprena i uzduna naprezanja (x i y) su istog iznosa. Naprezanja ovise o udaljenosti x od vrha pukotine (to je vea udaljenost od vrha pukotine naprezanja su manja) i o faktoru intenziteta naprezanja (eng. stress intensity factor) K. K se obino oznaava sa KI, KII, KIII, sukladno modovima optereenja I, II, III, ali s obzirom da se ovdje razmatra samo mod optereenja I, KI e se oznaavati kao K. Jednadbe su izvedene za proizvoljno tijelo, optereenje i pukotinu, stoga jednadbe (3.2) vrijede za bilo koje elastino tijelo i primjenjive su za svu problematiku vezano uz pukotine. Razmatrati e se beskonano velika ploa sa centralnom pukotinom, optereena jednolikim jednoosnim nominalnim naprezanjem (Slika 3.2a).

Slika 3.2 Centralna pukotina s jednolikim optereenjem: (a) beskonana ploa, (b) konana ploa.

Veliina pukotine je 2a. Sve pukotine u mehanici loma koje imaju dva vrha se oznaavaju sa 2a. Sve pukotine sa jednim vrhom se oznaavaju sa a. Naprezanje pri vrhu pukotine biti e proporcionalno narinutom optereenju, a ovisit e i o veliini pukotine (to je vea pukotina, vea e biti i naprezanja), te vrijedi:

(3.3)

gdje je C bezdimenzionalno parametar te za sluaj beskonano velike ploe vrijedi C=1/2, te je stoga:

(3.4)

Iz gornjih jednadbi zakljuuje se da za konfiguraciju koju prikazuje Slika 3.2a vrijedi:

(3.5)

3.2 Opi izraz za faktor intenziteta naprezanja

Pristup koriten za prikaz znaaja K nije limitiran samo na beskonano veliku plou. Kada je u pitanju ploa konane irine (Slika 3.2b) dimenzije e imati utjecaj na naprezanje pri vrhu pukotine, tj. naprezanje e biti vee kada je W manji, a C mora biti funkcija od W i od a. Za konfiguraciju koju prikazuje Slika 3.2b vrijedi:


- 39 -

(3.6)

gdje je L unificirana dimenzija duljine geometrije napuknutog dijela. Ako je a vrlo mali, a W vrlo velik, onda vrijedi (sec(a/W))1/2=1. U praktinoj primjeni gornjih jednadbi svi C su podijeljeni sa 1/2, a funkcija C(a/L)/1/2 je preimenovana u i dobiva se konani izraz za faktor geometrije (eng. geometry factor):

(3.7)

Jednadbe vrijede za sve vrste pukotina jer su izvedene iz proizvoljno odabranog tijela, pukotine i proizvoljnog optereenja moda I. Za svaku pukotinu u praksi potrebno je jedino izvesti vrijednost ili funkciju . Za mnoge sluajeve je ve unaprijed izraunat i moe se nai u raznim prirunicima. U svim jednadbama ovog poglavlja naprezanje je nominalno naprezanje u presjeku bez pukotine. injenica da su naprezanja vea u presjeku sa pukotinom kada se W smanjuje je uzeta u obzir u izrazu za parametar .


- 40 -

3.3 Lomna ilavost

Lom nastupa kada naprezanje pri vrhu pukotine postane vee nego to materijal moe izdrati. Kako K odreuje cijelo polje naprezanja oko vrha pukotine moe se rei da e pucanje nastupiti kada K postane prevelik za dani materijal. Koliko veliki K moe biti, ovisi o materijalu i mora se utvrditi pokusom. Najvea vrijednost K koju moe izdrati napuknuta komponenta zove se lomna ilavost (eng. toughness) materijala. Jedinica lomne ilavosti je MPam1/2 , tj. naprezanje(duljina pukotine)1/2. Univerzalnost prethodnih jednadbi dolazi do izraaja kada ako imamo dva razliita predmeta od istog materijala koji imaju isti K, jer e naprezanja kod vrha pukotine u oba predmeta biti jednaka. Do loma dolazi kada je K jednak lomnoj ilavosti. Izraz za nominalno naprezanje kod kojeg dolazi od loma:

ailavostLomna

fr = (3.8)

Slika 3.3 Ovisnost fr o duljini pukotine a.

fr predstavlja preostalu vrstou materijala u kojem je prisutna pukotina.

3.4 Plastina zona i ravninsko stanje naprezanja i deformacije

Jednadbe iz prethodnih odjeljaka ovog poglavlja podrazumijevaju da dalje od vrha pukotine (x je velik) x i y postaju nula. Za x to ne udi, ali za y ta tvrdnja nije tona, jer e se dalje od pukotine y izjednaiti s apliciranim optereenjem . Potpuni izraz za y je dan je sljedeim redom:

(3.9)

drugi lan reda naroito osigurava da je y= za veliki x, a kada je x=0 vrijedi y=. to znai da je na samom vrhu pukotine naprezanje beskonano veliko. Takoer, beskonano veliko naprezanje djeluje samo u jednoj toki, a ne na nekom odreenom podruju. Meutim, u nekom realnom materijalu doi e do plastine deformacije pa se naprezanje ne moe puno poveavati nakon to zapone poputanje. Polje naprezanja na zarezima i pukotinama, kao i vrsta stanja naprezanja, ovisit e o debljini razmatranog dijela, jer dolazi do pojave kontrakcije u smjeru debljine visoko napregnutog cilindra kod vrha pukotine. Kontrakcija se moe odvijati slobodno u sluaju


- 41 -

tanke ploe, to odgovara ravninskom stanju naprezanja. Kod debljih ploa kontrakcija je ograniena, to dovodi do ravninskog stanja deformacije. Pri tome je popreno naprezanje x jednako je uzdunom y na vrhu pukotine, pa vrijedi:

(3.10)

to uz 0.33 daje:

(3.11)

Tresca kriterij poputanja definira sljedei uvijet plastine deformacije za ravninsko stanje deformacije:

tyyy F= 66.0 ili tyy F3= (3.12) Dakle, naprezanje y mora biti tri puta vee od granice poputanja Fty da bi se inicirala plastina deformacija. Kod ravninskog stanja naprezanja, kada je z=0, poputanje e zapoeti kada je y=Fty. Slika 3.4 prikazuje raspodjele naprezanja, pod pretpostavkom da se naprezanja ne poveavaju znaajnije nakon poputanja. Na slici se vidi da su unutar odreene udaljenosti od vrha pukotine (tp) zadovoljeni uvjeti za poputanje pa stoga uvijek postoji malo podruje pri vrhu pukotine unutar kojeg e doi do plastine deformacije. To podruje se zove plastina zona, ija se veliina za ravninsko stanje naprezanja (y=Fty) i/ili deformacije (y=3Fty) odreuje prema sljedeim izrazima:

Ravninsko stanje naprezanja: typ

Fr

K =2 ili 22

2 typ F

Kr =

(3.13)

Ravninsko stanje deformacije: typ

Fr

K 32

= ili 22

18 typ F

Kr =

(a) (b)

Slika 3.4 Raspodjela naprezanja (y) na vrhu pukotine: (a) ravninsko stanje naprezanja; (b) ravninsko stanje deformacije.


- 42 -

Realne plastine zone priblino su dvostruko vee u odnosu na iznose dobivene gornjim izrazima radi puno veih stvarnih naprezanja unutar plastine zone, pa se duljina plastine zone obino rauna prema izrazu:

2

2

typ F

Kr = (3.14)

gdje je =2 za ravninsko stanje naprezanja i =6 za ravninsko stanje deformacije.

3.5 Ovisnost lomne ilavosti o debljini

Jednadba (3.14) pokazuje da veliina plastine zone ovisi samo o K. Meutim, raspodjela naprezanja nije ista u sluajevima ravninskog stanja naprezanja i ravninskog stanja deformacije. Treba napomenuti da je jednadba (3.14) nastala samo od prvog lana jednadbe (3.9), a ako se dogodi da je plastina zona dovoljno velika, tada njena veliina nee ovisiti samo o K, nego i o ostalim lanovima reda (tj. C, D, itd.). Ako razmotrimo dvije razliite ploe, od kojih je jedna tanka (ravninsko stanje naprezanja), a druga deblja (ravninsko stanje deformacije) te obije imaju pukotine i karakterizira ih isti KI. Za oekivati je da je lomna ilavost vea kod ravninskog stanja naprezanja nego kod ravninskog stanja deformacije, Slika 3.5a.

Slika 3.5 Ovisnost lomne ilavosti o debljini: (a) Utjecaj debljine na plastinu zonu i stanje naprezanja; (b)

Utjecaj debljine na lomnu ilavost.

Za sluaj ravninskog stanja deformacije lomna ilavost se oznaava sa KIc, dok se u sluaju ravninskog stanja naprezanja, kao i u prijelaznim sluajevima izmeu ta dva stanja naprezanja, lomna ilavost oznaava sa Kc ili KIc. Lomna ilavost kao funkcija debljine moe se mjeriti testovima na epruvetama razliite debljine, te se potom moe koristiti za raunanje preostale vrstoe napuknutih konstrukcija:

(3.15)

Isto tako, debljina pri kojoj dolazi do ravninskog stanja deformacije moe se izraunati koristei sljedei izraz (Slika 3.6):

Q

FKB

DL

ty

Ic>=

2

2

(3.16)


- 43 -

gdje koristei supstituciju Q/=q, dobijamo:

2

2

ty

Ic

FKqB = (3.17)

Vrijednost q se ne moe odrediti matematiki, nego se dobija na temelju mjerenja lomne ilavosti na epruvetama raznih debljina i iznalaenja debljine pri kojoj se krivulja ujednauje. Treba naglasiti da je debljina relevantna samo u sluaju pukotine orijentirane u smjeru debljine ploe.

Slika 3.6 Debljina i stanje naprezanja: utjecaj debljine ploe na kontrakciju.

Lomna ilavost se moe mjeriti na bilo kakvoj epruveti s pukotinom. Lom nastupa kada je jednadba (3.15) zadovoljena. Iako se testovi mogu vriti na bilo kakvom tijelu, nekoliko je vrsta epruveti standardizirano te jednu takvu epruvetu prikazuje Slika 3.7.

Slika 3.7 Standardna KIc epruveta. Lijevo: konfiguracija; Desno: zarez.

3.6 Energetski kriterij

Zakon ouvanja energije nalae da je rad (F) utroen na deformiranje neke konstrukcije jednak akumuliranoj unutarnjoj energiji deformiranja (U), tj.:

FU=0 (3.18)

Rad uslijed djelovanja optereenja jednak je Pd gdje je P vanjsko optereenje, a je pomak hvatita optereenja. U sluaju linearno-elastinog materijala rad i/ili energija deformiranja jednaki su P (Slika 3.8), ali se energija deformiranja takoer moe odrediti i na drugi nain.


- 44 -

Slika 3.8 Dijagram optereenja spram pomaka za linearno-elastino tijelo.

Promatrat e se mali materijalni element jedinine veliine koji je podvrgnut jednoosnom razvlaenju. Ukupni rad naprezanja potreban da se pojavi deformacija veliine d je d, to za linearno-elastini materijal iznosi . Uvodei Hooke-ov zakon u izraz i uzimajui u obzir cjelokupno tijelo ili konstrukciju (integral po cjelokupnom volumenu, odnosno u sva tri smjera), dobiva se:

(3.19)

U sluaju linearno-elastinog tapa optereenog vlano, naprezanje je jednako u svim volumnim elementima te je ukupna energija deformacije jednaka radu jednog materijalnog elementa pomnoenim s volumenom tijela AL, gdje je A povrina poprenog presjeka tapa, a L njegova duljina. Ako se dobivena energija deformacije za razmatrani tap uvrsti u zakon ouvanja energije, dobiva se:

(3.20)

Ova jednadba je openita i vrijedi za sluaj pukotine u konstrukciji duljine 2a (Slika 3.9). U sluaju ograniene plastifikacije odnos optereenja i pomaka je i dalje linearan. Ako konstrukcija sadri pukotinu neto vee duljine a+da, njena krutost je manja (Slika 3.10). Ako se pukotina produlji za da, zakon ouvanja energije sadravati e i dodatni lan koji opisuje rad uslijed irenja pukotine (W).

Slika 3.9 Konstrukcija sa pukotinom.


- 45 -

(3.21)

Gornja jednadba sada opisuje samo promjenu energije, a ne njen apsolutan iznos. Ako lom nije nastupio ova jednadba ne vrijedi, a ako jest, jednadba mora vrijediti. Drugim rijeima, moemo je shvatiti kao kriterij nastanka loma.

Slika 3.10 Dijagram optereenja spram pomaka prilikom nastanka pukotine pri konstanom pomaku i konstantom

optereenju.

3.7 Promjena energije deformiranja

Mogu se razmotriti dva razliita sluaja: prvi, kada se pomak ne mijenja pri pojavi loma preko duljine da i drugi, kada je optereenje konstantno pri pojavi loma preko duljine da. U prvom sluaju je dF=0, poto nema pomaka, dok je u drugom rad jednak razlici pomaka prije i nakon nastanka pukotine. U oba sluaja dobiva se:

(3.22)

Lijeva strana izraza naziva se promjenom energije deformiranja (eng. strain energy release rate), a desna strana energija loma (eng. fracture energy or fracture resistance). Kako je energija deformiranja pod utjecajem pukotine, moe se pisati: U=Ubez pukotine+Uuslijed pukotine. Za vrlo veliku plou jedinine debljine (s centralnom pukotinom duljine 2a) u konanici se dobija izraz:

(3.23)

Ukoliko se izraz derivira po a i uzme u obzir pukotina sa dva vrha, dobija se sljedei izraz po vrhu pukotine i po jedinici debljine:

(3.24)

Tako izraz za kriterij loma postaje:

(3.25)

Pri tome se dW/da naziva otpornost lomu (eng. fracture resistance) i esto oznaava s R, dok se dU/da, tj. promjena energije deformiranja oznaava s G, te vrijedi G=R.


- 46 -

3.8 Znaenje energetskog kriterija loma

Zadnja jednadba pokazuje da se lom pojavljuje kada produkt 2a dosegne vrijednost ER, pri emu 2a predstavlja kvadrat koeficijenta intenzivnosti naprezanja, K. Stoga, moe se zakljuiti da e doi do pojave loma kada vrijedi K=(ER)1/2, pri emu (ER)1/2 predstavlja ilavost Kc, a otpornost lomu jest R=Kc2/E. Moemo zakljuiti da je kriterij loma izveden preko zakona ouvanja energije identian kriteriju loma prethodno izvedenom na temelju naprezanja u vrhu pukotine.

3.9 Porast otpornosti lomu: redefinicija ilavosti

Razumno je pretpostaviti da je R konstantan i neovisan o napredovanju loma. To bi znailo da bi bilo potrebno jednako mnogo energije za nastanak kako prvog da, tako i svakog sljedeeg da, to je prikazano ravnom horizontalnom krivuljom koja predstavlja ovisnost izmeu R i a, kako prikazuje Slika 3.11a.

(a) (b)

Slika 3.11 R-krivulja: (a) Horizontalna; (b) Rastua.

U sluaju da je =1, G(a) je pravac, sa nagibom ovisnim o . Ako se u dijagramu uzmu dvije razliite vrijednosti G za dva razliita naprezanja, oito je G1 manji od R, a G2 je upravo jednak R. Iz toga moemo zakljuiti da se pri naprezanju 1 nee dogoditi lom, dok pri naprezanju 2 hoe, te e G2 prei u G3 (koji je vei od R), tj. pukotina se poinje nekontrolirano iriti. U realnosti R nije horizontalna linija, jer se energija loma poveava kako se pukotina iri kod materijala s niom ilavou (Slika 3.11b), dok kod materijala vee ilavosti R-krivulja bre raste, kako prikazuje Slika 3.12. Slika 3.12 prikazuje da za naprezanje i vrijedi Gi=R, kada je pukotina irine a te da e lom nastati, ali se nee iriti, tj. lom je stabilan. Ako se pukotina pone iriti preko a, G raste od Gi do G1, ali R raste bre, te se pukotina ne moe iriti. Daljnjim poveanjem naprezanja na 2 pukotina se nastavlja iriti, ali je opet G2 jednak R, te se pukotina nee iriti nestabilno. Ako se pak povea naprezanje na fr1, G e rasti bre nego R, te nastupa nestabilni lom, tj. pukotina e se nekontrolirano iriti. Tijekom stabilne faze irenja pukotine, ista se iri od a1 do a2, mada se na prvi pogled ini da konstrukcija sa pukotinom duljine a2 ima vrstou fr, to nije tono. Promjena sa a1 na a2 je uslijed loma, a ne uslijed nekog drugog procesa (npr. naponska korozija ili zamor materijala). Pukotina uslijed zamora materijala e se iriti i na naprezanju manjem od fr.


- 47 -

Pukotina veline a1 nastala uslijed zamora materijala uzrokuje vrstou materijala od fr1. To to pukotina propagira do a2 prije nego to se pone nestabilno iriti je zanemarivo spram konanog rezultata. Analogno tome, pukotina duljine a2 uzrokuje niu vrstou fr2. Zakljuujemo da ako se ne postigne naprezanje loma fr, konstrukcija zadrava svoju cjelovitost pa ak i u sluaju nestabilnog loma.

(a) (b) Slika 3.12 Rastue R-krivulje: (a) Stabilni lom od Gi do G3; (b) Stabilni lom za pukotine razliitih duljina.

Nestabilnost loma dogaa se kada G linija tangira R-krivulju (Slika 3.12), tj. kada imaju isti nagib. Kako je nagib opisan sa prvom derivacijom, uvjet nestabilnosti glasi:

(3.26)

Ako je prva jednadba zadovoljena, dolazi do pojave loma, dok zadovoljavanje druge jednadbe uvjetuje nestabilnost (nekontroliranost) loma. Ove jednadbe imaju vane implikacije pri definiranju ilavosti. Unutar prethodnih poglavlja ilavost se definirala kao intenzitet naprezanja kod kojeg se pojavljuje lom. Sada je razvidno da se (nestabilni) lom moe pojaviti pri razliitim vrijednostima G i za razliite veliine pukotine. Slika 3.12 pokazuje da se pri pukotini veliine a1 lom javlja pri GA, dok se za pukotinu a2 lom javlja pri GB. Kako je K2=(EG)1/2, slijedi da su razliite vrijednosti K prisutne pri pojavi loma u dva sluaja. U prethodnim razmatranjima je pretpostavljeno da se lom javlja uvijek pri jednoj vrijednosti K (nazvali smo je Kc). Oito je da ova pretpostavka nije tona ako se prvo pojavi stabilni lom. Iako ovaj problem moe izazvati komplikacije pri analizi loma, moe se rijeiti na inenjerski nain. Trebalo bi prvo spomenuti da su Slika 3.11 i Slika 3.12 prikazane za vrijednost =1, tj. za beskonanu plou. Za stvarne pukotine u konstrukciji nije jednaka jedinici, tako da su G-linije zakrivljene. Zakrivljenost je vea za vee pukotine, kako prikazuje Slika 3.13. S obzirom da su vrijednosti G (i K) pri lomu vie-manje jednake za pukotine razliitih duljina, moe se zakljuiti da pretpostavka o konstantnom K pri lomu i nije tako nerealna sa inenjerskog stajalita.


- 48 -

Slika 3.13 Priblina konstantnost Gi i Kc: zakrivljene prema ravnim G linijama.

Ukoliko razmotrimo dijagram preostale vrstoe (Slika 3.14), u prisutnosti pukotine veliine jednog palca, lom se javlja pri naprezanju koje odgovara toki A, dok se nestabilnost loma javlja pri naprezanju koje odgovara toki B. To znai da ako je prisutna pukotina od jednog palca, izdrljivost konstrukcije je definirana sa tokom B. To ne znai da je preostala vrstoa konstrukcije sa pukotinom od tri palca definirana sa tokom B. Iz slike se moe zakljuiti da takav lom postaje nestabilan u toki D, koja pak predstavlja preostalu vrstou u tom sluaju. Unato tome to pukotina od jednog palca ukazuje na stabilni lom sve do tri palca, pukotina uslijed zamora bi uzrokovala lom pri D, a ne B.

Slika 3.14 Priblina konstantnost Gi i Kc: krivulje preostale vrstoe za ravninsko stanje naprezanja.

Dvije krivulje koje prikazuje Slika 3.14 mogu biti definirane pomou kritinog intenziteta naprezanja (eng. critical stress intensity). Gornja krivulja je odreena sa kritinim G za nestabilnost loma, a donja linija je definirana za G pri pojavi loma, stoga:

Nastanak loma:

(3.27)

Pojava nestabilnosti:

Na temelju prethodnih jednadbi slijede izrazi za raunanje naprezanja pri pojavi loma i i naprezanja pri pojavi nestabilnog loma c:


- 49 -

(3.28)

Krivulje definirane gornjim izrazima prikazuje Slika 3.15a, kao gornju i donju krivulju. Oito, vrijednost K u gornjim relacijama nije konstantna nego ovisi o veliini pukotine. S druge strane, vrijednost Kc nee znaajnije varirati u realnim konstrukcijama. Niti gornja niti donja krivulja ne definira stvarnu preostalu vrstou. Pokazano je da je stvarna vrstoa konstrukcije sa pukotinom od npr. jednog palca definirana tokom B (Slika 3.14). Kako bi odredili stvarnu preostalu vrstou sa ovom pukotinom, trebali bi prikazati vrstou u B pri poetnoj veliini pukotine, to prikazuje Slika 3.15.

Slika 3.15 Upotreba Kef u analizi loma: (a) Preostala vrstoa i inicijalna duljina pukotine; (b) Predviena

krivulja i eksperimentalni podaci na temelju Kef.

Preostalu vrstou uz prisutnost pukotina nije odreena niti sa donjom niti gornjom krivuljom, ve sa srednjom linijom na istoj slici. Ovoj krivulji mogla bi se pridruiti kritina vrijednost efektivne ilavosti (eng. effective toughness), Kef, koja je opisana sljedeim jednadbama:

(3.29)

U ovim jednadbama ai je duljina pukotine uzrokovana zamorom materijala ili naponskom korozijom, dok je fr vrstoa konstrukcije sa pukotinom. Gornje jednadbe kombiniraju naprezanje i pukotinu koje se ne pojavljuju istovremeno. Kao takve, ove jednadbe se fizikalno pogrene, ali su sa inenjerskog stajalita potpuno prihvatljive sve dok je Kef vie ili manje konstantan (znaajka materijala). Gornja krivulja koju prikazuje Slika 3.15a moe definirati jednadbom:

(3.30)


- 50 -

Ovo bi bila dobra definicija ako bi Kc bio priblino konstantan. Meutim, njenim koritenjem u analizi loma dolo bi do pogrenog koritenja izraza:

(3.31)

Naprezanje raunato pomou gornje jednadbe bilo bi (npr. pukotina od tri palca uslijed zamora koju prikazuje Slika 3.14) odreeno sa tokom B, a stvarno naprezanje je odreeno tokom D. Oito, koritenje Kc bi dovelo do krivog rezultata. Koritenje efektivne vrijednosti Kef bi rezultiralo tonim rjeenjem, ukoliko je inenjerska aproksimacija prihvatljiva. Kao oznaku za ilavost uobiajeno je koristiti Kc, ali s velikim naglaskom da je koritena efektivna vrijednost ilavosti. Gornja diskusija je valjana kako za ravninsko stanje naprezanja, tako i za ravninsko stanje deformacije (kao i za tranzijentne sluajeve). Oito, gornje inenjerske aproksimacije nisu potrebne ako se analiza loma temelji na R-krivulji. U tom sluaju moe se diskutirati o voj tonosti i/ili pouzdanosti rezultata. S akademskog stajalita, rezultat e biti vie pouzdan, dok s praktinog stajalita nije, jer takav pristup podrazumijeva poznavanje R-krivulje koja se moe dobiti mjerenjem propagacije loma. Takva mjerenja su po svojoj prirodi netona, tako da se R-krivulja odreuje aproksimativno. Njezina daljnja upotreba ne prua tonije rezultate od gore navedenog inenjerskog pristupa.


- 51 -

4 ELASTO-PLASTINA MEHANIKA LOMA

4.1 Energijski kriterij plastinog loma

Neovisno o tome razmatra li se materijal u elastinom ili plastinom podruju, zakon ouvanja energije mora vrijediti. U prethodnom poglavlju izveden je kriterij loma:

dU dW ili G Rda da

= = (4.1)

Za elastino ponaanje dobiven je izraz:

2 2a dW ili R GE da

= = (4.2)

Gdje R predstavlja energiju loma, dok G predstavlja promjenu energije deformiranja. U inenjerskoj analizi korisno je prethodnu jednadbu izraziti pomou naprezanja:

2c

frKE R

a a == (4.3)

U sluaju plastinih deformacija geometrijski faktor se mijenja, ali je i dalje bezdimenzionalan te se oznaava sa H. U tom sluaju, izraz za promjenu energije deformiranja glasi:

H a R = (4.4) Nadalje, G se u sluaju nelinearnih materijala oznaava sa J, dok se R kod nelinearnih materijala oznaava sa JR. Time se jednadbe dobivene za elastino ponaanje materijala pretvaraju u jednadbe za plastino ponaanje materijala:

RJ JH a J=

= (4.5)

Na umu treba imati da su to iste jednadbe dobivene iz zakona ouvanja energije, samo su se promijenile pojedine oznake. Iako je u prethodnom poglavlju koriten Hookeov zakon za linearno ponaanje materijala (linearna veza izmeu naprezanja i deformacije), iste jednadbe se mogu primijeniti

DinamickaCvrstocaTankosjenihKonstrukcija-SKRIPTA

Documents