1 DIKTAT MATA KULIAH KALKULUS II Disusun oleh: Ayu Wulandari, M.Pd STKIP KUSUMANEGARA JAKARTA 2017
1
DIKTAT MATA KULIAH
KALKULUS II
Disusun oleh:
Ayu Wulandari, M.Pd
STKIP KUSUMANEGARA
JAKARTA
2017
2
SILABUS MATA KULIAH KALKULUS II
PROGRAM PERKULIAHAN KARYAWAN (P2K)
INSTITUT TEKNOLOGI BUDI UTOMO (ITBU)
Dosen: Ayu Wulandari, M.Pd
Materi Kalkulus II:
1) Bilangan Kompleks
2) Integral Tak Wajar
3) Barisan dan Deret Tak Hingga
4) Pengantar Diferensial Parsial
5) Persamaan Diferensial Dasar
6) Pengantar Integral Lipat
Literatur:
Stewart, James. 2003. Kalkulus Jilid 1. Ed. Ke-4. Jakarta: Penerbit
Erlangga.
Stewart, James. 2003. Kalkulus Jilid 2. Ed. Ke-4. Jakarta: Penerbit
Erlangga.
Purcell, E. J. dan D. Verberg. 1999. Kalkulus dan Geometri Analitik
Jilid I. Ed. ke-5. Terjemahan I Nyoman Susila, Bana Kartasasmita dan
Rawuh. Jakarta: Penerbit Erlangga.
Purcell, E. J. dan D. Verberg. 1999. Kalkulus dan Geometri Analitik
Jilid 2. Ed. ke-5. Terjemahan I Nyoman Susila, Bana Kartasasmita dan
Rawuh. Jakarta: Penerbit Erlangga.
Buku Lain yang relevan dengan Mata Kuliah Kalkulus II.
Penilaian:
UTS : 30%
UAS : 40%
TUGAS : 20%
ABSENSI : 10%
Catatan:
Nilai keaktifan di kelas akan ditambahkan ke nilai UTS dan UAS.
Tugas individu dikumpul sebanyak dua kali, paling lambat saat UTS dan
UAS dalam kertas polio bergaris.
Apabila terbukti tugas individu dikerjakan oleh orang lain, maka tugas
mendapat nilai 0.
3
Jika nilai UTS < 50, maka mahasiswa harus mengikuti remedial yang akan
diatur oleh dosen.
Untuk mahasiswa yang tidak dapat mengikuti UTS maupun UAS,
secepatnya menghubungi Ketua Jurusan/Program Studi untuk mengikuti
ujian susulan.
4
BAB 1
BILANGAN KOMPLEKS
A. Definisi Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk:
z a bi
Keterangan:
a : bagian real
b : bagian imajiner
1i
2 1i
2 22 2a bi a bi a bi a a bi bi
2 2
2 2
2
2
a abi b
a b abi
22a bi a bi a bi
2 2a b
B. Operasi pada Bilangan Kompleks
a bi c di a c b d i
a bi c di a c b d i
a bi c di a c di bi c di
2ac adi bci bdi
ac adi bci bd
ac bd ad bc i
a bi a bi c di
c di c di c di
(kompleks sekawannya)
2 2 2
2
2 2
a c di bi c di
c d i
ac adi bci bdi
c d
2 2
ac adi bci bd
c d
2 2
ac bd bc ad i
c d
5
2 2 2 2
ac bd bc adi
c d c d
Sifat sekawan:
nn
z w z w
zw z w
z z
Modulus/Nilai Mutlak dari Bilangan Kompleks z a bi :
2 2z a b
C. Bentuk Polar
Bilangan kompleks z a bi dapat dinyatakan sebagai koordinat polar
,r dengan 0r , yaitu:
cos sinz a bi r r i
cos sinr i
Keterangan:
2 2r z a b
tanb
a , dengan disebut argumen dari z.
Review:
1) Trigonometri
Aturan yang digunakan:
siny
z
cosx
z
sin
tancos
y
x
x
z y
6
1
cottan
x
y
1
seccos
z
x
1
cscsin
z
y
2) Jenis Kwadran
Keterangan:
A = all (semua jenis trigonometri bernilai positif)
S = sinus (termasuk cosecan) yang bernilai positif
T = tangen (termasuk cotangen) yang bernilai positif
C = cosinus (termasuk secan) yang bernilai positif
Kw = kwadran
Konversi Sudut Tiap Kwadran:
Kwadran 1
Kwadran 2 0180
Kwadran 3 0180
Kwadran 4 0360
Catatan:
sin sin4
cos coskwadran
00
/ 3600
900
1800
2700
A
(x+,y
+)
Kw-1
S
(x-,y
+)
T
(x-,y
-)
C
(x+,y
-)
Kw-2
Kw-3 Kw-4
7
3) Sudut Istimewa untuk 0 00 90
0sin 0 0
0 1sin 30
2
0 1sin 45 2
2
0 1sin 60 3
2
0sin90 1
0cos0 1
0 1cos30 3
2
0 1cos 45 2
2
0 1cos60
2
0cos90 0
0tan 0 0
0 1tan 30 3
3
0tan 45 1
0tan 60 3
0tan90
D. Rumus-rumus Penting dalam Bentuk Polar
1 2 1 2 1 2 1 2cos sinz z r r i
1 11 2 1 2 2 2
2 2
cos sin , 0, 0z r
i z rz r
1 1
cos sin , 0, 0i z rz r
8
Contoh:
1) Diketahui:
1
2
4 3
2 6
z i
z i
Ditanyakan:
a) 1 2z z
b) 1 2z z
c) 1 2z z
d) 1
2
z
z
2) Diketahui:
1
2
3 3
2 5
z i
z i
Ubahlah ke bentuk polar dengan 0 2 untuk:
a) 1z
b) 2z
c) 1 2z z
d) 1
2
z
z
e) 1
1
z
9
TUGAS TERSTRUKTUR 1
Petunjuk:
Gantilah huruf ”a” dengan angka 3.
Gantilah huruf ”b” dan ”c” dengan 2 digit terakhir NPM Anda.
Contoh: 2971015089 (b = 8 dan c = 9)
Kerjakanlah soal-soal berikut ini dengan teliti.
1) Diketahui:
1
2
2 1
1
z a b i
z c a i
Ditanyakan:
a) 1 2z z
b) 1 2z z
c) 1
2
z
z
2) Diketahui:
1
2
3 1
3
z a b c i
z b i a c
Ubahlah ke bentuk polar dengan 0 2 untuk:
a) 1z
b) 2z
c) 1 2z z
d) 1
2
z
z
SELAMAT MENGERJAKAN
10
BAB 2
INTEGRAL TAK WAJAR
A. Integral Tak Wajar Jenis I (Selang Tak Terhingga)
1) Jika t
a
f x dx ada untuk setiap bilangan t a , maka:
lim
t
ta a
f x dx f x dx
asalkan limit ini ada (sebagai suatu bilangan terhingga).
2) Jika b
t
f x dx ada untuk setiap bilangan t b , maka:
lim
b b
tt
f x dx f x dx
asalkan limit ini ada (sebagai suatu bilangan terhingga).
3) Jika kedua integral a
f x dx
dan a
f x dx
konvergen, maka
kita definisikan:
a
a
f x dx f x dx f x dx
dengan a adalah bilangan real sembarang.
Catatan:
Integral tak wajar a
f x dx
dan b
f x dx
dikatakan konvergen jika
limit terkait ada dan divergen jika limit tersebut tidak ada.
Contoh:
1) Tentukan apakah integral 1
1dx
x
konvergen atau divergen?
2) Hitunglah 0
xxe dx
3) Hitunglah 2
1
1dx
x
11
B. Integral Tak Wajar Jenis 2 (Integran Tak Kontinu)
1) Jika f kontinu pada ,a b dan tak kontinu di b, maka:
lim
b t
t ba a
f x dx f x dx
asalkan limit ini ada (sebagai suatu bilangan terhingga).
2) Jika f kontinu pada ,a b dan tak kontinu di a, maka:
lim
b b
t aa t
f x dx f x dx
asalkan limit ini ada (sebagai suatu bilangan terhingga).
3) Jika f mempunyai ketakkontinuan di c, dengan a c b , dan baik
c
a
f x dx maupun b
c
f x dx konvergen, maka kita definisikan:
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
Contoh:
1) Hitunglah
5
2
1
2dx
x
2) Tentukan apakah / 2
0
sec x dx
konvergen atau divergen?
3) Hitunglah
3
0
1
1dx
x
bila mungkin.
12
TUGAS TERSTRUKTUR 2
Petunjuk:
Gantilah huruf ”a” dengan angka 3.
Gantilah huruf ”b” dan ”c” dengan 2 digit terakhir NPM Anda.
Contoh: 2971015089 (b = 8 dan c = 9)
Kerjakanlah soal-soal berikut ini dengan teliti.
Tentukanlah apakah integral di bawah ini konvergen atau divergen. Jika
konvergen, hitunglah integral tersebut.
1)
2
1
3 2a
a cdx
a x b
2)
2
5
2
a c xdx
a b c b x
3)
1
2
1
10
2
a c
a b
a
cdx
b x
4) 2
2 1
0
ba x c
xe dx
SELAMAT MENGERJAKAN
13
BAB 3
BARISAN DAN DERET TAK HINGGA
A. Notasi Sigma
Definisi:
Jika 1, ,...,m m na a a adalah bilangan real dan m dan n adalah bilangan bulat
sedemikian sehingga m n , maka:
1 1...n
i m m n n
i m
a a a a a
Teorema 1:
Jika c adalah sebarang konstanta (yakni, konstanta tersebut tidak tergantung
pada i), maka:
n n
i i
i m i m
ca c a
n n n
i i i i
i m i m i m
a b a b
n n n
i i i i
i m i m i m
a b a b
Teorema 2:
Jika c adalah konstanta dan n adalah bilangan bulat positif, maka:
1
1n
i
n
1
n
i
c nc
1
1
2
n
i
n ni
2
1
1 2 1
6
n
i
n n ni
2
3
1
1
2
n
i
n ni
Catatan:
2 2 22a b a ab b
2 2 22a b a ab b
3 3 2 2 33 3a b a a b ab b
14
3 3 2 2 33 3a b a a b ab b
Contoh:
Hitunglah nilai dari jumlah di bawah ini.
1) 25
2
1
52i
ii
2) 80
1
4 2 2i
i i i
3) 10
4
3 2i
i
4) 50
2
3
2 5i
i
B. Barisan dan Deret
1) Barisan dan Deret Aritmatika
Barisan Aritmatika:
Contoh: 1, 4, 7, 10, …
Deret Aritmatika:
Contoh: 1 + 4 + 7 + 10 + …
Rumus suku ke-n:
1nU a n b
Keterangan:
1 suku pertamaa U
beda/selisihb
Rumus jumlah suku ke-n:
2
n n
nS a U
Keterangan:
1 suku pertama
suku ke-n
a U
U n
(divergen)nn S
2) Barisan dan Deret Geometrik
Barisan Geometrik:
Contoh: 1, 3, 9, 27, …
15
Deret Aritmatika:
Contoh: 1 + 3 + 9 + 27 + …
Rumus suku ke-n: 1n
nU ar
Keterangan:
1 suku pertamaa U
rasio/perbandinganr
Rumus jumlah suku ke-n:
1; 1 1
1
1; 1 atau 1
1
n
n n
a rr
rS
a rr r
r
Keterangan:
1 suku pertama
rasio/perbandingan
a U
r
1
1
, 1 1 (konvergen)1
n
n
n
an S ar r
r
Contoh:
1) Diketahui: 3, 13, 23, …
Tentukanlah:
a) 10U
b) 10S
c) S
2) Diketahui: 5, 1, 15
, …
Tentukanlah:
a) 12U
b) 12S
c) S
3) Hitunglah 5
11
3
4
n
nn
.
16
C. Test Konvergensi
1) Uji Divergensi
Jika lim 0nn
a
atau lim nn
a
, maka 1
n
n
a
divergen.
Catatan:
Jika lim 0nn
a
, maka tidak dapat disimpulkan apa-apa dan harus
menggunakan uji lain.
Contoh:
2
21 5 4n
n
n
Akan diuji menggunakan uji divergensi, yaitu:
2
2
2
1 1 1lim lim 0
45 4 5 0 55
n n
n
n
n
sehingga deret tersebut divergen.
2) Uji r
Bentuk Umum:
1
1
, 1 11
n
n
aar r
r
Jika 1 1r , maka deret tersebut konvergen.
Jika 1 atau 1r r , maka deret tersebut divergen.
Contoh:
1
1
5
n
n
Akan diuji menggunakan uji r, yaitu:
1
1 1
1 1 1
5 5 5
n n
n n
a r
karena 1
15
r , maka deret tersebut konvergen.
17
3) Uji Deret p
1
1p
n n
konvergen jika 1p .
1
1p
n n
divergen jika 1p .
Contoh:
1
1
n n
Akan diuji menggunakan uji deret p, yaitu:
1/ 21 1
1 1
n n nn
11
2p sehingga deret tersebut divergen.
4) Uji Integral
Misalkan f adalah fungsi yang kontinu, positif, dan turun pada 1,
serta na f n , maka:
1
f x dx
konvergen 1
n
n
a
konvergen.
1
f x dx
divergen 1
n
n
a
divergen.
Catatan:
Untuk uji integral, n tidak harus dimulai dari 1.
Contoh:
21
2
1n
n
n
Akan diuji menggunakan uji integral, yaitu: 2
1
2
1
xdx
x
.
Sebelumnya akan diubah terlebih dahulu menjadi integral tak tentu
untuk mempermudah pengerjaan, yaitu: 2
2
1
xdx
x
18
Dengan menggunakan integral substitusi, maka
2 1
2
u x
du xdx
sehingga
2
2
2 1ln ln 1
1
x dudx du u c x c
x u u
.
Dengan mengembalikan ke bentuk semula (integral tentu), maka
diperoleh:
2
1
2
1
xdx
x
2
1ln 1x
sehingga deret tersebut divergen.
5) Uji Perbandingan
Misalkan 1
n
n
a
dan 1
n
n
b
adalah deret dengan suku positif, sehingga
berlaku:
Jika 1
n
n
b
konvergen dan n na b , maka 1
n
n
a
konvergen.
Jika 1
n
n
b
divergen dan n na b , maka 1
n
n
a
divergen.
Contoh:
21
5
2 4 3n n n
Akan diuji menggunakan uji perbandingan, yaitu:
2 2
5 5
2 4 3 2nn
ba
n n n
Kita tahu bahwa 2
1
5
2n n
konvergen sesuai dengan uji deret p, yaitu
2 21 1
5 5 1
2 2n nn n
dengan 2 1p sehingga deret tersebut juga
konvergen.
19
6) Uji Rasio
1lim 1n
nn
aL
a
1
n
n
a
konvergen.
1lim 1n
nn
aL
a
atau 1lim n
nn
a
a
1
n
n
a
divergen.
Catatan:
Jika 1lim 1n
nn
a
a
, maka tidak dapat disimpulkan apa-apa dan harus
menggunakan uji lain.
Contoh: 3
1 3nn
n
Akan diuji menggunakan uji rasio, yaitu:
3
3n n
na dan
3
1 1
1
3n n
na
, maka:
3
11
3
1
3lim lim
3
nn
n nn
n
n
a
na
3
3 1
1 3lim
3
n
nn
n
n
3
3
1 3lim
3 3
n
nn
n
n
31 1
lim3n
n
n
31 1
lim 13n n
31 1 1
1 0 1 13 3 3
sehingga deret tersebut konvergen.
7) Uji Akar
lim 1nn
na L
1
n
n
a
konvergen.
lim 1nn
na L
atau lim n
nn
a
1
n
n
a
divergen.
20
Catatan:
Jika lim 1nn
na
, maka tidak dapat disimpulkan apa-apa dan
harus menggunakan uji lain.
1
lim 1 2,7...
n
ne
n
Contoh:
1
2 3
3 2
n
n
n
n
Akan diuji menggunakan uji akar, yaitu:
2 3
3 2
n
n
na
n
, maka:
2 3lim lim
3 2
n
n nn
n n
na
n
2 3lim
3 2n
n
n
32
lim2
3n
n
n
2 0 2
13 0 3
sehingga deret tersebut konvergen.
Contoh Lain:
Ujilah deret-deret berikut ini.
1) 2
1
1
1i n
2) 5
1n
n
3) 3
21 3n
n
n
4) 2
1
1
3 8n n n
21
5) 2
21
1
2 1
n
n
n
n
6) 1 3
1 3
n
nn
n
7)
7
1
1
8
n
n
8) 2
1 2nn
n
D. Deret Berganti Tanda
Contoh:
1
1
11 1 1 11 ...
2 3 4 5
n
n n
Uji Deret Berganti Tanda
Jika deret berganti tanda 1
1 2 3
1
1 ...n
n
n
b b b b
dengan 0nb
memenuhi:
lim 0nn
b
1n nb b untuk semua n
maka deret tersebut konvergen.
Catatan:
Jika salah satu syarat di atas tidak terpenuhi, maka deret tersebut divergen.
Contoh:
1)
1
1
1n
n n
Misalkan 1
nbn
dan 1
1
1nb
n
, maka:
1
lim lim 0nn n
bn
(memenuhi)
1
1 1
1n nb b
n n
. Hal ini dapat dicek dengan cara:
1 1 11 1
2 1 2n (memenuhi)
22
sehingga deret tersebut konvergen.
2) 1
31
4 1
n
n
n
n
Misalkan 3
4 1n
nb
n
dan
1
3 1 3 3 3 3
4 1 1 4 4 1 4 3n
n n nb
n n n
,
maka:
3 3 3 3
lim lim lim 014 1 4 0 4
4n
n n n
nb
n
n
(tidak memenuhi)
Karena ada 1 syarat yang tidak terpenuhi, maka deret tersebut divergen.
Contoh Lain:
Ujilah deret-deret berganti tanda berikut ini.
1) 1
1
11
n
n n
2) 1
5 81
7 20
n
n
n
n
3) 1
21
21
4 5
n
n n
4) 3
1
21
3 11
9 5
n
n
n
n
5) 1
1
5 71
n
n
n
n n
23
TUGAS TERSTRUKTUR 3
Petunjuk:
Gantilah huruf ”a” dengan angka 3.
Gantilah huruf ”b” dan ”c” dengan 2 digit terakhir NPM Anda.
Contoh: 2971015089 (b = 8 dan c = 9)
Kerjakanlah soal-soal berikut ini dengan teliti.
1) Hitunglah
103 2
1
2 2 3a b c
i a
a b i b i c i a c
2) Ujilah deret-deret berikut ini.
a) 4
1
5
3 10a bn
a c
n c n b
b)
1
1
3
3
n n
a bn
a c x
n a
c)
31
11
3 31
2 3
an
b cn
a n a b
b n a c
SELAMAT MENGERJAKAN
24
BAB 4
PENGANTAR DIFERENSIAL PARSIAL
A. Fungsi n Variabel
Suatu fungsi f dari n variabel adalah suatu aturan yang memberikan
kepada masing-masing pasangan terurut bilangan real rangkap n di dalam
daerah asal nD R sebuah bilangan real tunggal yag dinyatakan oleh:
1 2, ,..., nf x x x
Contoh:
1) 2 2, 9f x y x y
2) 2 2 2, ,f x y z x y z
B. Diferensial Parsial dan Diferensial Total
Jika f adalah fungsi 2 variabel, dinotasikan ,f x y , maka
diferensial parsialnya adalah
0
0
, ,, lim
, ,, lim
x x xh
y y yh
f x h y f x yff x y f D f
x h
f x y h f x yff x y f D f
y h
Aturan untuk pencarian diferensial parsial dari ,z f x y :
1) Untuk mencari xf , anggap y sebagai konstanta dan diferensialkan
,f x y terhadap x.
2) Untuk mencari yf , anggap x sebagai kostanta dan diferensialkan
,f x y terhadap y.
Pendiferensialan beserta aturannya ini berlaku juga untuk fungsi 3 variabel
atau lebih.
Untuk fungsi 2 variabel ,z f x y , maka diferensial total dz
didefinisikan oleh:
, ,x y
z zdz f x y dx f x y dy dx dy
x y
25
Untuk fungsi 3 variabel atau lebih, berlaku hampir sama dengan
fungsi 2 variabel. Sebagai contoh untuk fungsi 3 variabel , ,w f x y z ,
maka diferensial total dw didefinisikan oleh:
, , , , , ,x y z
w w wdw f x y z dx f x y z dy f x y z dz dx dy dz
x y z
Contoh:
1) Carilah diferensial parsial pertama beserta diferensial totalnya dari
fungsi berikut.
a) 5 3 2 4, 3 3f x y x x y xy
b) , sin cosf x y x y
c) 2
2 2,
xyf x y
x y
d) 2 3, , 3f x y z xy z yz
e) 2 2 2, ,f x y z x y z
f) , , ,x y
f x y z tz t
2) Carilah diferensial parsial yang ditunjuk berikut ini.
a) xyzf dari 5 4 4 3 2, ,f x y z x x y z yz
b) xyyf dari , sinf x y x y
C. Bidang Singgung
Andaikan f mempunyai diferensial parsial kontinu. Satu persamaan
bidang singgung terhadap permukaan ,z f x y di titik 0 0 0, ,P x y z
adalah
0 0 0 0 0 0 0, ,x yz z f x y x x f x y y y
Contoh:
Carilah persamaan bidang singgung terhadap kurva yang diberikan pada
titik berikut ini!
a) 2 22 , 1,1,3z x y
b) 2 29 6 3 5, 1,2,18z x y x y
c) ln , 3,1,0xz e y
d) ln 2 , 1,3,0z x y
26
TUGAS TERSTRUKTUR 4
Petunjuk:
Gantilah huruf ”a” dengan angka 3.
Gantilah huruf ”b” dan ”c” dengan 2 digit terakhir NPM Anda.
Contoh: 2971015089 (b = 8 dan c = 9)
Kerjakanlah soal-soal berikut ini dengan teliti.
1) Carilah diferensial parsial pertama beserta diferensial totalnya dari:
1 2 3 2 4 3 6 3, , a b c a b a a c a b a a cf x y z x y z x y z x y y z .
2) Carilah diferensial parsial dari xxyzf untuk:
6 1 1 2 3 4, , a a b c a c b c a cf x y z x x y z y z
3) Carilah persamaan bidang singgung terhadap kurva yang diberikan pada titik
5 1 13 3 3 , , 5, 5a b c a b az a x b y a x y a b c a b c
SELAMAT MENGERJAKAN
27
BAB 5
PERSAMAAN DIFERENSIAL DASAR
A. Definisi Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial (PD) merupakan persamaan yang mengandung
suatu fungsi yang tidak diketahui dan beberapa turunannya.
Orde merupakan turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan
diferensial.
Contoh:
Model pertumbuhan populasi : dP
kPdt
(orde 1)
Model gerakan pegas : 2
2
d x kx
dt m
(orde 2)
B. Persamaan Diferensial Orde 1
1) PD Variabel terpisah
Bentuk Umum:
dy
g x f ydx
Contoh:
26 2 cos 0x dx y y dy
Persamaan
Diferensial
Solusi/Penyelesaian
Solusi
Khusus
Solusi
Umum
Memerlukan syarat awal
(initial condition)
28
a) Tentukan solusi umumnya!
b) Tentukan solusinya yang memenuhi syarat awal 1f .
Penyelesaian:
a) Solusi umumnya:
2
2
2
2 3
6 2 cos 0
2 cos 6
2 cos 6
sin 2
x dx y y dy
y y dy x dx
y y dy x dx
y y x c
b) 1f 1,x y
2 3
32
2
2
sin 2
sin 2 1
0 2
2
y y x c
c
c
c
sehingga solusinya: 2 3 2sin 2 2y y x .
2) PD Eksak
Bentuk Umum:
Persamaan diferensial , , 0M x y dx N x y dy disebut PD
Eksak jika memenuhi:
M N
y x
Penyelesaian PD Eksak:
Anggap ,F x y c sebagai solusi (c konstanta), maka diferensial
totalnya:
, ,
, ,0
M x y N x y
F x y F x ydx dy
x y
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
a) Carilah M
y
dan
N
x
. Selanjutnya, cek apakah
M N
y x
.
b) Jika M N
y x
, tentukan: ,
x
F M x y dx g y .
29
c) Tentukan F
y
dan gunakan kesamaan ,
FN x y
y
sehingga
diperoleh g y .
d) Tuliskan solusinya: ,F x y c .
Contoh:
Buktikan PD 22 1 0xydx x dy adalah eksak dan tentukan
solusinya!
Penyelesaian:
2
,,
2 1 0
M x yN x y
xy dx x dy
Langkah-langkah:
a)
2
2
Mx
M Ny
y xNx
x
sehingga merupakan PD Eksak
b) ,
x
F M x y dx g y
2
2
x
xy dx g y
x y g y
c) 2 'F
x g yy
Dengan menggunakan kesamaan ,F
N x yy
, maka:
2 2
,
' 1
' 1
1
FN x y
y
x g y x
g y
g y dy y
30
d) Solusi:
2
2
,F x y c
x y g y c
x y y c
3) PD Linear
Bentuk Umum:
dy
P x y Q xdx
Contoh:
1' 2 ' 2
Q x
P x
xy y x y yx
(merupakan PD Linear)
Catatan:
' ' 'uv u v uv
Faktor pengintegral : P x dx
I x e
Langkah-langkah menentukan solusi PD Linear secara umum:
Carilah P x dx
I x e (faktor pengintegral)!
Kalikan kedua ruas dengan faktor pengintegral!
Integralkan kedua ruas!
Contoh:
Tentukan solusi dari 2 2' 3 6y x y x .
Penyelesaian:
2 2' 3 6P x Q x
y x y x
Faktor pengintegral: 2
33P x dx x dx xI x e e e
sehingga:
31
3
3 3 3
3 3
3 3
3 3
3
2 2
2 2
2
2
3 6
3 6
6
6
2
2
x
x x x
x x
x x
x x
x
dye x y x
dx
dye x e y x e
dx
de y x e
dx
de y x e dx
dx
e y e c
y ce
Catatan: 326 xx e dx
3
2 233
u x
dudu x dx x dx
maka:
3
3
26 63
2 2
2
x u
u u
x
due x dx e
e du e c
e c
Contoh lain:
1) Tentukan solusi dari PD variabel terpisah berikut!
a) 2' 0y x y
b) 2' 0, 1 3y y f
c) 3 24 ' 0, 2 1xy y e f
d) 1
'x
yxy
e) ' yy xe
f) 2 cos 4
'2
x xy
y
2) Buktikan bahwa PD berikut adalah eksak dan tentukan solusinya!
a) sin cos 2 0x y dx x y y dy
b) 2 3 3 4 0x y dx x y dy
32
c) 2 0x y dx xdy
d) cos sin 0x y x dx xdy
e) 2 3 4 3 4 5 0x y dx x y dy
f) 2 2 2 0x y dx xydy
3) Tentukan solusi dari PD linear berikut!
a) 2 ' 1, 1 2x y xy f
b) ' 2 2 , 0 2xy y e f
c) ' 5 , 0 5y x y f
d) 2
' 2 xy xy xe
e) ' 2 2y yx x
f) ' , 0 0xy y x e f
33
TUGAS TERSTRUKTUR 5
Petunjuk:
Gantilah huruf ”a” dengan angka 3.
Gantilah huruf ”b” dan ”c” dengan 2 digit terakhir NPM Anda.
Contoh: 2971015089 (b = 8 dan c = 9)
Kerjakanlah soal-soal berikut ini dengan teliti.
1) Tentukan solusi dari PD variabel terpisah berikut!
a)
2 1
2'
3
a x a b c
b c
e x xy
y a c
b)
2
5
2
sin 4 1'
6
b x
c
a c
e a x by
aa b y
y
c)
2
5
2 5'
2
x
b c
c
a cy
ay y
y
2) Buktikan bahwa PD berikut adalah eksak dan tentukan solusinya!
5
2 24 12 cos 3 0
xy ye e dx xe y dy
y
3) Tentukan solusi dari PD linear berikut!
3
2 3
23 5 5
' 3x
x x xy x y
e
SELAMAT MENGERJAKAN
34
BAB 6
PENGANTAR INTEGRAL LIPAT
INTEGRAL LIPAT DUA
A. Sifat
1) , , , ,R R R
f x y g x y dA f x y dA g x y dA
2) , , , konstantaR R
cf x y dA c f x y dA c
3) , , , jika , ,R R
f x y dA g x y dA f x y g x y
B. Integral Berulang
Secara umum:
1) , ,
b d b d
a c a c
f x y dydx f x y dy dx
2) , ,
d b d b
c a c a
f x y dxdy f x y dx dy
Teorema Fubini:
Jika f kontinu pada segi empat , , R x y a x b c y d , maka:
, , ,
b d d b
R a c c a
f x y dA f x y dydx f x y dxdy
Catatan:
, , ,
d b b d
R c a a c
f x y dA f x g y dxdy f x dx g y dy R a b c d
Contoh:
1) Hitunglah integral berulang berikut ini.
a) / 2 / 2
0 1
sin cosx y dydx
b) 1 1
20 0
2
4
xydydx
x
35
2) Hitunglah integral lipat dua berikut ini.
a) 2 3 46 5R
x y y dA dengan , 0 3,0 1R x y x y .
b) sinR
y xy dA dengan , 1 2,0R x y x y .
3) Carilah volume benda pejal jika dibatasi oleh:
a) Paraboloid eliptik 2 22 16x y z dan di atas bujur sangkar
0,2 0,2R .
b) Paraboloid eliptik 2 2
14 9
x yz dan di atas bujur sangkar
1,1 2,2R .
C. Integral pada Daerah Umum
1) Jika f kontinu pada daerah D jenis I sehingga
1 2, ,D x y a x b g x y g x
maka:
2
1
, ,
g xb
D a g x
f x y dA f x y dydx
2) Jika f kontinu pada daerah D jenis II sehingga
1 2, ,D x y c y d h y x h y
maka:
2
1
, ,
h yd
D c h y
f x y dA f x y dxdy
Contoh:
1) 1 2
2
0
x
x
x y dydx
2) Hitunglah 2D
x y dA dengan D adalah daerah yang dibatasi oleh
parabola 22y x dan 21y x .
36
D. Integral Berulang pada Koordinat Polar
1) Jika f kontinu pada segi empat polar R yang diberikan oleh
0 a r b , , dengan 0 2 , maka:
, cos , sin
b
R a
f x y dA f r r rdrd
2) Jika f kontinu pada daerah polar berbentuk:
1 2, ,D r h r h
maka:
2
1
, cos , sin
h
D h
f x y dA f r r rdrd
Catatan:
2 2 2x y r
cosx r
siny r
tany
x
0
2 , jika fungsi genap
a a
a
f x dx f x dx f
0, jika fungsi ganjil
a
a
f x dx f
2 1sin 1 cos 2
2x x
2 1cos 1 cos 2
2x x
Contoh:
1) 2 21 D
x y dA dengan , 0 2 ,0 1D r r .
2) Hitunglah 23 4R
x y dA dengan R adalah daerah di setengah bidang
atas yang dibatasi oleh lingkaran 2 2 1x y dan 2 2 4x y .
37
INTEGRAL LIPAT TIGA
A. Teori Fubini untuk Integral Lipat Tiga
Jika f kontinu pada kotak , , ,B a b c d r s , maka:
, , , ,
s d b
B r c a
f x y z dV f x y z dxdydz
B. Integral Lipat Tiga pada Daerah Umum
Jika f kontinu pada daerah E jenis I sehingga
1 2, , , , , ,E x y z x y D u x y z u x y
maka:
2
1
,
,
, , , ,
u x y
E D u x y
f x y z dV f x y z dz dA
Untuk:
1 2 1 2, , , , , ,E x y z a x b g x y g x u x y z u x y
maka:
2 2
1 1
,
,
, , , ,
g x u x yb
E a g x u x y
f x y z dV f x y z dzdydx
Untuk:
1 2 1 2, , , , , ,E x y z c y d h y x h y u x y z u x y
maka:
2 2
1 1
,
,
, , , ,
h y u x yd
E c h y u x y
f x y z dV f x y z dzdxdy
Jika f kontinu pada daerah E jenis II sehingga
1 2, , , , , ,E x y z y z D u y z x u y z
maka:
2
1
,
,
, , , ,
u y z
E D u y z
f x y z dV f x y z dx dA
38
Jika f kontinu pada daerah E jenis III sehingga
1 2, , , , , ,E x y z x z D u x z y u x z
maka:
2
1
,
,
, , , ,
u x z
E D u x z
f x y z dV f x y z dy dA
Contoh:
1) 2
E
x yz dV dengan , , 0 2, 3 0, 1 1E x y z x y z
2) 1
0 0 0
6
z x z
xz dydxdz
3) 12
3 2
1 0 0
yx
x y z dzdydx
C. Integral Lipat Tiga dalam Koordinat Silinder dan Koordinat Bola
Koordinat Silinder
2 2
1 1
cos , sin
cos , sin
, ,
cos , sin ,
E
h u r r
h u r r
f x y z dV
f r r z rdzdrd
Catatan:
1 2, ,r h r h
cosx r
siny r
2 2 2x y r
Koordinat Bola
2
, ,
sin cos , sin sin , cos sin
E
d b
c a
f x y z dV
f d d d
39
Catatan:
, , , ,E a b c d
sin cosx
sin siny
cosz
2 2 2 2x y z
2 sindV d d d
Contoh:
1) 2 2 2
2
0 0
r
r rdzdrd
2) 22 2 4
0 0 0
1
r
rdzdrd
3) /2 /2 1
2
0 0 0
1 sin d d d
4) cos2 /4
2
0 0 0
1 sin d d d
40
TUGAS TERSTRUKTUR 6
Petunjuk:
Gantilah huruf ”a” dengan angka 3.
Gantilah huruf ”b” dan ”c” dengan 2 digit terakhir NPM Anda.
Contoh: 2971015089 (b = 8 dan c = 9)
Kerjakanlah soal-soal berikut ini dengan teliti.
1) Hitunglah
3 3
5 8
0 1
5 8
a b c
b c a b c
a c x
b c y c x dydx
.
2) Hitunglah integral lipat 3 dari:
a) 2 6
5 3
a b c
a a c
E
x ydV
z x
dengan:
, , 0 2,1 3,1 4E x y z x a y b z c .
b) 3 1
0 0 1
a b z a x z
a b c
xz dydxdz
.
c) /4 /2 4
5 2
0 0 1
cos sin
a b c
a b c
a b
d d d
.
SELAMAT MENGERJAKAN