Diktat Anreal

8/17/2019 Diktat Anreal

1/32

BILANGAN REAL

Pada tulisan ini akan dibahas sifat-sifat aljabar penting sistem bilangan real. Dalam

uraiannya terlebih dahulu akan dibahas sifat-sifat dasar yang berkaitan dengan bilangan

real dan dilanjutkan dengan menunjukkan bagaimana sifat-sifat lainnya dapat dideduksi

dari sifat-sifat dasar tersebut.

Untuk selanjutnya, R menyatakan himpunan semua bilangan real dan bilangan real

dinyatakan sebagai unsur di R.

A. Sifat-sifat Aljabar

Pada bagian ini akan dibahas tentang struktur aljabar dari sistem bilangan real. Dimulai

dengan menguraikan sifat-sifat dasar penjumlahan dan perkalian pada bilangan real. Sifat

dasar ini merupakan dasar bagi semua sifat aljabar yang penting dari bilangan real. Ini

berarti bahwa semua sifat aljabr yang lainnya dapat dideduksi sebagai teorema-teorema.

Dalam istilah alajabar abstrak, sistem bilangan real mempunyai field terhadap operasi

penjumlahan atau perkalian bias ditulis dengan notasi ( R , + , . ) merupakan field.

Pada R terhadap dua operasi biner masing-masing disebut penjumlahan dan perkalian

yang biasa dinyatakan dengan “ + “ dan “ . “ . kedua operasi ini memenuhi sifat-sifat

berikut.

( J1 ) Sifat komutatif !"jumla#a"

a + b = b + a untuk semua a dan b di R.

( J$ ) Sifat assosiatif !"jumla#a"

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c untuk semua a, b, c di R.

1


2/32

( J% ) Eksist!"si u"sur "ol

Ada 0 di R sehingga a + 0 = a untuk semua a di R.

( J& ) Eksist!"si u"sur-u"sur "!'ati!

Untuk setiap a di R ada –a di R sehingga a + ( -a ) = 0

( 1 ) Sifat komutatif !rkalia"

a . b = b . a untuk semua a dan b di R.

( $ ) Sifat assosiatif !rkalia"

a . ( b . c ) = ( a . b ) . c untuk semua a, b, c di R.

( % ) Eksist!"si u"sur satua"

Ada 1 di R sehingga a . 1 = a untuk setiap a di R.

( & ) Eksist!"si u"sur-u"sur balika"

Untuk setiap a di R , a≠ 0 , adaa

1 di R sehingga 11. =a

a

( * ) Sifat istributi! !rkalia" t!r#aa !"jumla#a"

Untuk semua a, b, c di R berlaku

a . ( b + c ) = a . b + a . c dan ( a + b ) . c = a . c + b . c

e-! sifat di atas dikenal sebagai aksioma filed. Untuk itu R dengan operasi penjumlahan

dan perkalian yang memenuhi aksioma tersebut di atas dikatakan merupakan sebuah field ( lapangan ).

"erikut ini akan dibahas sifat-sifat aljabar bilangan real lainnya. Pertama tentang

ketunggalan unsur nol dan unsur satuan.

#


3/32

Teorema 1. ( i ) Jika z dan a adalah unsur-unsur di R sehingga z + a = a, maka z

=0

( ii ) Jika u dan $≠b adalah unsur-unsur di R sehingga u . b = b, maka

u = .

Bukti .

( i ) Diberikan z , a sebarang dua unsur di R yang memenuhi z + a = a . %enurut ( J& )

ada –a di R sehingga a & ' -a ( ) $ dan bila *a ditambahkan pada kedua ruas z + a

= a diperoleh ( z + a ) = a + ( -a ). Dengan memakai ( J$ ), ( J& ) dan ( J% ) pada

ruas kiri akan diperoleh ( ) ( ) ( )( ) z z aa z aa z =+=−++==+ $

Pada ruas kanan dengan memakai ( J& ) diperoleh ( ) $=−+ aa

+adi, dapat disimpulkan bahwa ) $

( ii ) atihan

"erikut ini dibahas tentang ketunggalan unsur negatif dan unsur balikan bilangan real.

Teorema 2. ( i ) Jika a dan b adalah unsur-unsur di R sehingga a + b = 0, maka b

-a

( ii ) Jika $≠a dan b adalah unsur-unsur di R sehingga a . b = , maka

ab 1=

Bukti.

( i ) Diberikan a dan b sebarang dua unsur di R yang memenuhi a + b = 0. "erarti ada

–a di R sehingga bila ditambahkan pada kedua ruas $=+ ba akan diperoleh

( -a ) + ( a + b ) = ( -a ) + 0

/


4/32

Dengan memakai ( J$ ), ( J& ) dan ( J% ) pada ruas kiri diperoleh

( )( ) bbbaa =+=++− $ dan memakai ( J% ) pada ruas kanan diperoleh (-a)+0=-a

jadi b = -a.

( ii ) atihan

"erikut dibahas tentang eksistensi dan ketunggalan solusi suatu persamaan yang

berkaitan dengan bilangan real.

Teorema 3. !iketahui a, b sebarang dua unsur di R.

( i ) "ersamaan a + # = b memiliki s$lusi tunggal # = (-a) + b

( ii ) Jika ,$≠a persamaan a . # = b memiliki s$lusi tunggal

ba

# .1=

Bukti. Diberikan a, b sebarang dua unsur di R.

( i ) Dengan memakai ' +# (, ' +0 ( dan ' +/ ( diperoleh a+((-a)+b) = (a+(-a))+b

= 0+b = b yang mengakibatkan #=(-a)+b merupakan solusi persamaan

b #a =+ .

Untuk menunjukkan bahwa solusi tersebut tunggal, misalkan saja bahwa

1 # merupakan solusi lainnya. Ini berarti akan memenuhi persamaan

b #a =+ 1 .

"ila ditambahkan (' a− pada kedua ruas diperoleh

ba #aa +−=++− ('('('1 .Dengan memakai '+#(, '+0( dan '+/( pada ruas

diperoleh

( ) ( ) ( )( ) 1111

$ # # #aa #aa =+=++−=++−

0


5/32

+adi ( ) ba # +−=1

'ii( atihan

Sifat-sifat lain unsur nol dan unsur satuan negatif.

Teorema 4. Jika a adalah suatu unsur di R , maka

'i( a.0 = 0

'ii( '-1( .a = -a

'iii( – '-a( ) a

'i2( '-1(.'-1( ) 1

Bukti.

'i( Dari '/( diketahui a.1 ) a sehingga

a + a.0 = a. + a.0 = a. ( + 0) = a. = a

%enurut 3eorema 1 'i( disimpulkan bahwa $$. =a

'ii( Dengan memakai 'D(, '/( dan 'i( diperoleh

$.$((.1'1'(.1'.1(.1' ==−+=−+=−+ aaaaaa

%enurut 3eorema #. dapat disimpulkan bahwa ( ) aa −=− .1

'iii( Dari '+0( diketahui bahwa ( ) $=+− aa karena itu menurut 3eorema #

dapat disimupulkan bahwa ( ) aa =−−

4


6/32

'i2( Pada 'ii( disubstitusikan ,1−=a diperoleh ( ) ( ) ( )11.1 −−=−−

Selanjutnya, menurut 'iii( akan diperoleh ( ) 11 =−−

+adi ( ) ( ) 11.1 =−−

Sifat lain unsur balikan

Teorema 5. !iketahui a, b, c merupakan unsur-unsur di R

'i( Jika $≠a , maka $1 ≠a dana

a

=1

1

'ii( Jika caba .. = dan $≠a , maka b = c

'iii( Jika $. =ba , maka $=a atau $=b

Bukti.

(i) Diberikan $≠a merupakan unsur di R , akibatnya ada a1 di R

+ika $1 =a

akan berakibat $$.1. == aa

a ini bertentangan dengan

'/(.

+adi haruslah $1 ≠a

Selanjutnya, karena 1.1 =aa

dan 3eorema # berakibata

11

(ii) Diberikan a, b, c merupakan unsur-unsur di R dan $≠a

5


7/32

"erarti ada a1 di R dan bila dikalikan pada kedua ruas caba .. =

akan diperoleh ( ) ( )caa

baa

..1..1 =

caa

baa

..1..1 =

cb .1.1 =

+adi b = c

(iii) 6ukup diasumsikan bahwa jika $≠a maka $=b

arena $.$. aba == dengan memakai 'ii( untuk $.. aba =

Disimpulkan bahwa $=b

7perasi lain di R

Pengurangan didefinisikan oleh ( )baba −+=− untuk a, b di R

Pembagian didefinisikan oleh ba

b

a 1= untuk a, b di % dengan $≠b

"ilangan rasional adalah bilangan real yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi

dua bilangan bulat dengan pembagi tak nol. "erikut ini dibahas tentang eksistensi

bahwa himpunan bilangan rasional merupakan bagian dari himpunan bilangan

real.

Teorema 6. &idak ada bilangan rasi$nal r sehingga r ' = ' ' 3ugas (

Bukti.

8


8/32

Diandaikan ada bilangan rasional ( p

dengan p, bilangan bulat dan ##

=

( p

Dimisalkan pula bahwa p, bilangan positif dan tidak memiliki faktor

persekutuan bilangan bulat selain 1. arena ###

=(

p berarti ## #( p = dan dari

pengertian genap diperoleh bahwa p' merupakan bilangan genap, akibatnya p juga

bilangan genap 'sebab jika 1# += n p ganjil maka

( ) ( ) 1###1001# #### ++=++=+= nnnnn p juga ganjil (.

arena itu p dan tidak memiliki faktor persekutuan # dan akibatnya mesti

berupa bilangan ganjil.

p genap maka p = 'm untuk suatu bilangan asli m.

arena ## #0 (m = diperoleh##

# (m = yang berarti #( genap dan dengan

argumen serupa seperti di atas disimpulkan bahwa merupakan bilangan genap.

9al ini bertentangan dengan fakta bahwa tidak ada bilangan asli yang genap dan

sekaligus ganjil. Dengan demikian teorema terbukti.

B. Sifat ruta"

Di dalam R terdapat suatu himpunan tak kosong, katakanlah " yang memenuhi

sifat-sifat berikut

i. +ika a,b∈ ", maka a + b∈ "

ii. +ika a,b∈ ", maka a,b∈ "

iii. +ika a∈ %, maka di antara berikut ini hanya satu yang berlaku

a∈ " , a = 0 , -a ∈ " ' Sifat 3ri:hotomi(

;


9/32

Unsur-unsur di " biasa disebut sebagai bilangan real positif dan akan

didefinisikan sebagai bilangan real yang lebih dari $ seperti berikut ini

Definisi 1.

a ∈ " , dikatakan baha a adalah bilangan real p$siti* dan ditulis a 0

-a ∈ " , dikatakan baha a adalah bilangan real negatie dan ditulis a 0

Definisi 2. !iberikan a,b∈ R

i. Jika a – b ∈ " , maka a b atau b a

ii. Jika a – b ∈ " ∪ { }$ , maka a ≥ b atau b a≤

Teorema 3. !iberikan a,b,c ∈ R

'i( Jika a b dan b c , maka a c

'ii( &epat satu ang berlaku / a b , a = b , a b

'iii( Jika a ≥ b dan b ≥ a , maka a = b

Bukti.

'i( a b dan b c berarti a – b ∈ " dan b – c ∈ " sehingga diperoleh

a – c = ( a – b ) + ( b – c ) ∈ " ' menurut sifat bilangan positif (

+adi a c

'ii( Diberikan a,b ∈ R akibatnya a – b = a + (-b) ∈ R dan menurut sifat

3ri:hotomi hanya satu yang satu berlaku di antara berikut ini,

a – b ∈ " , a – b = 0 atau b – a = - ( a – b ) ∈ R

!


10/32

+adi a b , a = b , a b

'iii( Diberikan a ≥ b dan b ≥ a

+ika a

≠ b maka a – b

≠ 0 dan menurut 'ii( berarti

a – b ∈ " atau b – a ∈ "

Diperoleh a b atau b a hal ini bertentangan dengan yang diberikan

di atas. Dengan demikian haruslah a = b

Teorema 4. i. Jika a ∈ R dan a ≠ 0 , maka #a 0

ii. 1


11/32

+adi n 0 untuk setiap n ∈

Teorema 5. !iberikan a,b,c,d ∈ R

'i( Jika a b , maka a + c b + c

'ii( Jika a b dan c d , maka a + c b + d

'iii( Jika a b dan c 0, maka ca cb

Jika a b dan c 0, maka ca cb

'i2( Jika a 0 , maka 1 1a 0

Jika a 0, maka 1 1a 0

Bukti.

'i( Dari fakta a – b ∈ " diperoleh bahwa 'a + c( * 'b+c( ) a – b " ∈

'ii( " ba ∈− dan " d c ∈− berakibat bahwa

( ) ( ) ( ) ( ) " d cbad bca ∈−+−=+−+

+adi ca + < d b +

'iii( " ba ∈− dan " c∈ berakibat bahwa ( ) " bacbcac ∈−=− ...

+adi c.a c.b

" ba ∈− dan

" c∈− berakibat bahwa

( ) ( ) " bacacbc ∈−−=− ...

+adi c.a c.b

'i2( Untuk a < $ berarti bahwa $≠a sehingga $1 ≠a

11


12/32

+ikaa

1 = $ maka aa ⋅= 11 = $ bertentangan dengan fakta bahwa

1 < $ ini berarti haruslah a1 < $

Untuk a = $ berarti bahwa $≠a sehingga $1 ≠a

+ikaa

1 < $ maka aa ⋅= 11 = $ bertentangan dengan fakta bahwa

1 < $ ini berarti haruslah a1

= $

Teorema 6. Jika a dan b di R dan a b, maka a ( )ba +#

1b

Bukti.

arena a b menurut 3eorema 4.'i(, berlaku aaa +=# < a + b dan a + b

b+ b = 'b atau dengan kata lain 'a a + b 'b

arena ' 0 diperoleh bahwa#

1 < $

+adi ( )aa ##

1

= < ( )ba +#

1

< ( ) bb =##

1

Sifat-sifat elementer dari urutan yang telah diuraikan telah :ukup memperlihatkan bahwa

tidak ada bilangan real positif terke:il. Seperti yang akan dinyatakan berikut ini.

1#


13/32

Teorema 7. +ika a di R dan a 0, maka a #

1a 0

Bukti. Dengan menerapkan teorema 5. dan mengganti $=b

Untuk membuktikan suatu bilangan tak negatif a adalah $, :ukup ditunjukkan bahwa

bilangan a tersebut kurang dari bilangan positif sebarang. Seperti dinyatakan dalam

teorema berikut.

Teorema 8. +ika ∈a R sehingga 0 2 a 3 untuk setiap 3 0 di R , maka a = 0

Bukti.

Diandaikan a 0 sehingga menurut teorema 8 berlaku a a#

1 0

Selanjutnya bila diambil a#

1$ =ε akan diperoleh bahwa a < $ε < $. 9al ini

bertentangan dengan pernyataan bahwa 0 2 a 3 untuk setiap > < $ di R

Ini berarti pengandaian a 0 diatas merupakan pernyataan salah. Dengan

demikian haruslah a = 0

Teorema 9. !iberikan a, b unsur-unsur di R

Jika a b – > untuk setiap bilangn real 3 0, maka a 4 b

Bukti.

Diandaikan a b dan diambil ( )ab −=#

1$ε sehingga ε < $

Diperoleh bahwa ( ) ( )baabbb +=−−=−#

1

#

1ε dan diketahui bahwa

a ( )ba +#

1 b. arena itu berarti bahwa a b – 3. 9al ini bertentangan dengan

peryataan bahwa a b – 3 untuk setiap bilangan real 3 0 jadi haruslah a 4 b

1/


14/32

9asilkali dua bilangan real positif adalah bilangan real positif. epositifan hasilkali dua

bilangan real tidak berarti bahwa kedua bilangan real tersebut positif. 3etapi yang benar

adalah bahwa kedua bilangan real tersebut bertanda sama. Seperti yang dinyatakan dalam

teorema berikut ini.

Teorema 1. Jika ab 0, maka i. a 0, b 0 atau

ii. a 0, b 0

Bukti.

Diberikan ab 0 berakibat $≠a dan b ≠ $ 'ini disebabkan jika $=a atau$=b , maka $=ab (

Dari sifat 3ri:hotomi diperoleh a 0 atau a 0

Untuk a 0 maka a1 < $ dan karena itu diperoleh

aba

baa

bb ⋅=⋅⋅=⋅= 111 < $

Untuk a 0 makaa

1 = $ dan karena itu diperoleh

( ) ( ) aba

baa

bb ⋅=⋅⋅=⋅= 111 = $

!"i#a$ 11. Jika ab $, maka i. a $ , b $ atau

ii. a $ , b $

Bukti. Diberikan ab $ berakibat a≠ $ dan b ≠ $ 'ini disebabkan jika a = $ atau b =$, maka ab = $ (

10


15/32

Dari sifat 3ri:hotomi diperoleh a $ atau a $

Untuk a $ maka a1 = $ sehingga diperoleh

b = 1.b = $..1..1 >= baa

baa

Untuk a $ maka $1 >a

sehingga diperoleh

$..1..1.1


16/32

/. 3entukan 6 ) ? # ∈ R @#

1#

+

+

#

# = 1 A

Penyelesaian

#

1#

+

+⇔∈

#

#6 # = 1

1#

1#−

+

+⇔

#

# = $

( )#

#1#

++−+

⇔ #

# # = $

#1

+−⇔ # # = $

⇔ ' # -1 = $ dan # & # < $ ( atau ' # * 1 < $ dan $#


17/32

Diketahui ( )( )ababab +−=− ## dan ba < berarti $>− ab

Bkibatnya $## >− ab

"egitu pula jika $##

>− ab maka $>− ab

+adi ## baba a dan $>b berakibat $>a dan $>b

arena ( )#aa = dan ( ) #bb =

Diperoleh bahwa baba > ba dan ba ≠ maka

$>a , $>b dan ba ≠ .

Dari 3eorema 0'i(, berlaku ( ) $# >− ba

Selanjutnya, diperoleh $# >−− baba

arena itu berlaku ( )baab +<#

1

+ika a = b maka ( )aaaaa +==#

1

Untuk $,$ >> ba dan ('#

1baab +=

Diperoleh bahwa ## #0 babaab +−=

18


18/32

Sehingga ( ) ### #$ bababa −=+−=

Cang berakibat a = b

/. etaksamaan "ernoulli

+ika ,1−> # maka ( ) n#a # n +≥+1 untuk semua bilangan asli n. "uktinya

menggunakan induksi matematika untuk n = maka ' 1 & # (1 ) 1 & #

Selanjutnya jika untuk n = k berlaku ( ) ( )k# # k +≥+ 11

%aka diperoleh ( ) ( ) ( ) ( )( )k# # # # # k k ++≥++=+ + 11111 1

( ) #11 k# #k +++≥

( ) #k 11 ++≥

+adi ( ) n

#+1 ( )n#+≥ 1 untuk semua Ν∈n

Nilai /utlak

Dari Sifat 3ri:hotomi diketahui bahwa jika ∈a R dan $≠a maka hanya satu diantara

berikut ini yang berlaku

a positif atau a− positif.

ilai mutlak ≠a $ didefinisikan merupakan salah satu diantara bilangan positif

tersebut. ilai mutlak $ didefinisikan merupakan $.

Se:ara formal dinyatakan sebagai berikut

Definisi 1#. Diberikan ∈a R. ilai mutlak a, ditulis dengan a didefinisikan oleh

−

=

a

a

a $

7ika

7ika

7ika

$

$

$

<

=

>

a

a

a

1;


19/32

6ontoh 55 = , ( ) ;;; =−−=− .

Dari definisi tampak bahwa $≥a untuk semua ∈a R.

"erikut ini beberapa sifat dasar.

3eorema 1/. 'i( $=a jika dan hanya jika a ) $

'ii( aa =−

'iii( baba .. =

'i2( +ika $≥c maka ca ≤ jhj cac ≤≤−

'2( Untuk semua ∈a R, aaa ≤≤−

Bukti.

'i( +ika $=a maka $=a

+ika $≠a berarti juga $≠− a , akibatnya $≠a

+adi $=a maka $=a

'ii( Untuk $=a maka $$$ −==

Untuk $>a maka $


20/32

Untuk $,$ ab sehingga ( ) ( ) babaabab .=−−==

'i2( Dimisalkan ca ≤ , berarti ca ≤ dan ca ≤−

Sehingga diperolehca ≤

danac ≤−

yang berarticac

≤≤−Dimisalkan cac ≤≤− berarti ac ≤− dan ca ≤

Sehingga diperoleh ca ≤− dan ca ≤ yang berarti ca ≤

'2( Untuk ac = pada 'i2( diperoleh aaa ≤≤−

"erikut ini sifat nilai mutlak untuk jmlah dan bilangan real yang lebih dikenal dengan

istilah !taksamaa" S!'iti'a.

3eorema 10.

Untuk semua ba, di R , baba +≤+

Bukti.

∈ba, R maka aaa ≤≤− dan bbb ≤≤−

Sehingga diperoleh bababa +≤+≤−−

atau ( ) bababa +≤+≤+−

yang berarti baba +≤+

Bkibat 14.

Untuk setiap a,b di R, berlaku

'i( baba −≤−

'ii( baba +≤−

Bukti.

#$


21/32

'i( Diberikan a,b di R . Dapat ditulis bbaa +−=

Dengan etaksamaan Segitiga , ( ) bbabbaa +−≤+−=

%engurangkan b pada kedua ruas diperoleh

baba −≤−

"egitu pula ( ) aabaabb +−≤+−= dan abba −≤+− atau

baabba −≤−−=−−

+adi baba −≤− .

'ii( ( ) babababa +=−+≤−+=−

Dengan memanfaatkan induksi matematika, etaksamaan Segitiga dapat diperluas

untuk sejumlah berhingga unsur-unsur di R.

Bkibat 15. Untuk setiap naaa ,...,, #1 di R ,

nn aaaaaa +++≤+++ ...... #1#1

6ontoh pemakaian sifat-sifat nilai mutlak.

1. 3entukan himpunan penyelesaian 5/#


22/32

+awab.

6ara pertama, dengan membagi menjadi tiga kasus

'i( Untuk 1≥ # , maka # # ∈#

1 # % #

6ara lain untuk menyelesaikan soal ini adalah didasarkan pada fakta bahwa

##baba


23/32

Di:ari konstanta sehingga ( ) 8 # * ≤ untuk /# ≤≤ #

Penyelesaian

( ) 1#

1/#

1#

1/# ##

−

++

≤−

+−

= #

# #

#

# # # *

Untuk /≤ # diperoleh #;1/# #

≤++ # #

Untuk #≤ # diperoleh /1# ≥− #

arena itu ( )/

#;≤ # *

Dengan demikian dapat dipilih bahwa/

#;≥ 8

%eskipun demikian bukan berarti bahwa/

#; merupakan bilangan terke:il

sehingga ( ) 8 # * ≤ .

Garis R!al

Interpretasi geometri yang :o:ok untuk sistem bilangan real adalah garis real. Dalam

interpretasi ini , nilai mutlak a dari unsur a di R dipandang sebagai jarak a ke titik $.

Se:ara umum, jarak antara a dan b di R adalah ba − .

"erikut ini akan dibahas pengertian bilangan-bilangan real yang dekat dengan bilangan

real tertentu. +ika a sebuah bilangan real, maka dikatakan bahwa bilangan real # yang

dekat dengan a diartikan sebagaia # −

, yaitu jarak keduanya adalah :ukup ke:il.onteks agar ide dapat dibi:arakan diberikan istilah Persekitaran 'neighborhoods(.

Seperti yang didefinisikan berikut ini.

Definisi. Diberikan ∈a R dan $>ε

#/


24/32

Persekitaran ε − dari a adalah himpunan ( ) { }ε ε


25/32

ε ε ε #=+<

Brtinya, jika ( )a9 # ε ∈ dan ( )b9 . ε ∈ , maka ( )ba9 . # +∈+ ε # .

3entukan ( )a9 ε yang tak termuat di dalam ' $ , 1 (.

Soal 0 soal lati#a"

1. +ika ℜ∈ba, maka buktikanlah hal-hal berikut ini

i. ( ) ( ) ( )baba −+−=+− iii. ( ) aa11 −=

−, $≠a

ii. ( ) ( ) abba =−− . i2. ( ) ( ) baba −=− , $≠b

#. +ika ℜ∈ba, , $≠a , $≠b , makabaab

1.

11= . "uktikan

/. +ika # dan bilangan rasional, maka buktikanlah bahwa . # + dan #. juga

bilangan rasional

0. "uktikan babababa


26/32

!. +ika ℜ∈ba, dan $≠b , tunjukkanlah bahwab

a

b

a=

1$. +ika ℜ∈ba, tunjukkan bahwa baba +=+ jika dan hanya jika $≥ab

11. 6arilah bilangan real # yang memenuhi ketaksamaan berikut

i. 1/40 ≤− # iii. 11 +>− # #

ii. /1#

≤− # i2. #1


27/32

'ii(. Sebuah bilangan ∈, R dikatakan merupakan batas bawah 9 apabila #, ≤ untuk

semua ∈ # 9.

Sebuah bilangan p bukan batas atas 9 jika dan hanya jika terdapat suatu ∈ . 9

sehingga . p < .

Sebuah bilangan bukan batas bawah 9 jika dan hanya jika terdapat suatu ∈ z 9sehingga ( z < .

Perlu di:atat bahwa himpunan bilangan real biasa tidak memiliki batas atas, :ontohnya

R. arena itu jika 9 memiliki batas atas, maka 9 akan memiliki tak terhingga batas atas

sebab jika u merupakan batas atas 9 maka setiap bilangan yang lebih besar dari u akan

merupakan batas atas 9 juga.'9al ini berlaku juga untuk batas bawah(.

Suatu himpunan biasa hanya memiliki batas atas saja atau batas bawah saja. 6ontoh

91 ){ }$E ≥∈ # % # dan 9# ){ }$E


28/32

Definisi di atas dapat dirumuskan kembali agar lebih operasional.

emma /.

Sebuah bilangan u adalah supremum himpunan bilangan real 9 jika dan hanya jika

u memenuhi dua syarat '1( uh ≤ untuk semua ∈h 9

'#( +ika = u, maka ada ∈k 9 sehingga = k.

Untuk bukti emma / silahkan men:oba sendiri menguraikannya. Selanjutnya

tulisErumuskan kembali untuk definisi infimum. Supremum suatu himpunan bilangan real

9 adalah tunggal. Untuk menunjukkan ketunggalan supremum, misalkan saja u1 dan u#

merupakan supremum 9.

"erarti u1 dan u# merupakan batas atas 9.

+ika u1 = u# maka hipotesis bahwa u# merupakan supremum 9 mengakibatkan u1 bukan

batas atas 9. "egitu pula jika u# = u1 hipotesis bahwa u1 merupakan supremum 9

mengakibatkan u# bukan batas atas 9. arena itu haruslah u1 ) u#.

Untuk selanjutnya apabila supremum atau infimum himpunan 9 ada, akan dinyatakan

masing-masing dengan sup9 dan inf9. +ika u merupakan suatu batas atas 9, maka sup9

u≤ atau jika uh ≤ untuk semua ∈h 9, maka sup9 u≤ .

#;


29/32

riteria berikut bermanfaat untuk menguji bahwa suatu batas atas himpunan

adalahEmerupakan supremum.$

emma 0.

Suatu u batas atas himpunan tak kosong 9 'di R ( adalah supremum 9 jika dan

hanya jika untuk setiap $>ε terdapat ∈ε h 9 sehingga ε ε hu ε . arena uu


30/32

+ika = 1, terdapat ∈= 1h 9# sehingga = h.

arena itu berarti bukan batas atas 9# dan karena merupakan sebarang

bilangan yang kurang dari 1, disimpulkan bahwa Sup9#)1.

"egitupula, dapat ditunjukkna bahwa Inf9# ) $. di sini sup9# dan Inf9#

keduanya termuat di 9#.

/. 9impunan 9/ ) { }1$E


31/32

Bkan ditunjukkan bahwa Sup 'a+9( ) a + Sup9.

Pertama, dimisalkan bahwa u = Sup9, sehingga karena u # ≤ untuk setiap


32/32

Ini berarti bahwa ( ) . g merupakan batas atas ( ) ! * dan akibatnya Sup

( ) ≤ ! * ( ) . g untuk setiap ! .∈ . Brtinya Sup ( ) ! * merupakan batas

bawah ( ) ! g jadi Sup ( ) ≤ ! * Inf ( ) ! g .

Sifat Ar2#im!!a"

Bkibat penting sifat supremum adalah bahwa himpunan semua bilangan asli tidak

terbatas di atas R . Ini berarti untuk setiap bilangan real # terdapat bilangan asli n

'bergantung pada #( sehingga # n. Dalam pembuktiannya memakai sifat supremum.

Sifat Br:himedean '3eorema 5(. +ika % #∈ , maka ada 0 n # ∈ sehingga #n # < .

Bukti. Diberikan % #∈

+ika tidak ada 0 n∈ sehingga n # < berarti untuk setiap 0 n∈ , #n ≤ ,

dengan kata lain # merupakan batas atas .

%enurut sifat supremum, memiliki supremum. 3ulis u ) Sup.

arena uu

Diktat Anreal

Documents