DAFTAR ISI
DAFTAR ISI1BAB I PENDAHULUAN2Latar Belakang2Tujuan2Manfaat3BAB
II PEMBAHASAN4Dasar Teori4Permasalahan dan
Pembahasannya7Soal7Jawaban dan Pembahasannya8BAB III
PENUTUP11DAFTAR PUSTAKA12
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar BelakangDiferensiasi Numerik merupakan salah satu
metode yang penting dalam ilmu komputasi. Persoalan perhitungan
turunan fungsi cukup banyak muncul dalam bidang rekayasa, misalnya
dalam bidang pengolahan citra (image processing), turunan fungsi
diterapkan untuk mendeteksi sisi (edge) obyek pada suatu citra.
Sementara dalam perhitungan numerik sendiri, turunan fungsi dalam
orde yang lebih tinggi, f ', f ", f "', ..., kadang-kadang
diperlukan. Misalnya untuk menghitung batas-batas galat interpolasi
polinom atau untuk menghitung galat integrasi numerik dengan aturan
trapesium.Bila persamaan fungsi f(x) diberikan secara eksplisit,
maka kita dapat menentukan fungsi turunannya, f'(x), f"(x), ...,
f(n+1)(x), lalu menggunakannya untuk menghitung nilai turunan
fungsi di x = t. Seringkali fungsi f(x) tidak diketahui secara
eksplisit, tetapi hanya diketahui memiliki beberapa titik data
saja. Pada kasus seperti ini kita tidak dapat menemukan nilai
turunan fungsi secara analitik. Sebaliknya, pada kasus lain,
meskipun f(x) diketahui secara eksplisit tetapi bentuknya rumit
sehingga menentukan fungsi turunannya merupakan pekerjaan yang
tidak mangkus dan tidak praktis.Untuk kedua kasus terakhir,
perhitungan nilai turunan dapat dikerjakan secara numerik
(numerical differentiation atau numerical derivative). Nilai
turunan yang diperoleh merupakan nilai hampiran. Sebagaimana halnya
pada integrasi numerik, perhitungan turunan numerik juga
menggunakan nilai-nilai diskrit. Maka, fungsi dalam bentuk tabel
merupakan bentuk alami untuk perhitungan turunan.Oleh karena itu
saya membuat Laporan Akhir Praktikum Fisika Komputasi menggunakan
pembahasan Diferensiasi Numerik karena metode ini dirasa mampu
menyelesaikan persoalan yang fungsi f(x)-nya tidak diketahui secara
eksplisit.1.2 TujuanTujuan dari dilaksanakannya praktikum Fisika
Komputasi adalah diharapakan praktikan dapat memahami dan
menjelaskan prinsip kerja software MatLab, dapat mengolah data
dengan software MatLab, serta dapat mengerjakan persoalan fisika
menggunakan perhitungan numerik dan melakukan pemodelan dengan
software MatLab.1.3 Manfaat1.3.1 Praktikan dapat memahami dan
menjelaskan prinsip kerja software MatLab.1.3.2 Praktikan dapat
mengolah data dengan software MatLab1.3.3 Praktikan dapat
mengerjakan persoalan fisika menggunakan perhitungan numerik dan
melakukan pemodelan dengan software MatLab.
BAB IIPEMBAHASAN
2.1Dasar TeoriPersoalan turunan numerik ialah menentukan
hampiran nilai turunan fungsi f yang diberikan dalam bentuk tabel.
Meskipun metode numerik untuk menghitung turunan fungsi tersedia,
tetapi perhitungan turunan sedapat mungkin dihindari. Alasannya,
nilai turunan numerik umumnya kurang teliti dibandingkan dengan
nilai fungsinya. Dalam kenyataannya, turunan adalah limit dari
hasil bagi selisih: yaitu pengurangan dua buah nilai yang besar
(f(x+h) - f(x)) dan membaginya dengan bilangan yang kecil (h).
Pembagian ini dapat menghasilkan turunan dengan galat yang besar.
Lagi pula, jika fungsi f dihampiri oleh polinom interpolasi p,
selisih nilai fungsi mungkin kecil tetapi turunannya boleh jadi
sangat berbeda dengan nilai turunan sejatinya. Hal ini masuk akal
sebab turunan numerik bersifat "halus", dan ini berlawanan dengan
integrasi numerik, yang tidak banyak dipengaruhi oleh
ketidaktelitian nilai fungsi, karena integrasi pada dasarnya adalah
proses penghalusan. (Anonymous, 2012)Misal diberikan nilai-nilai x
di x0-h, x0, dan x0+ h, serta nilai fungsi untuk nilai-nilai x
tersebut. Titik-titik yang diperoleh adalah (x-1, f-1), (x0, f0),
dan (x1, f1), yang dalam hal ini x-1= x0-h dan x1= x0+h. Terdapat
tiga pendekatan dalam menghitung nilai f(x0):1. Hampiran
selisih-maju (forward difference approximation)f(x0) = = 2.
Hampiran selisih-mundur (backward difference approximation)f(x0) =
= 3. Hampiran selisih-pusat (central difference approximation)f(x0)
= = Tafsiran geometri dari ketiga pendekatan di atas diperlihatkan
pada Gambar 2.1
backward difference approximationforward difference
approximation
central difference approximation
Gambar 2.1 Tiga pendekatan dalam perhitungan turunan numeric
backward difference approximationbackward difference
approximationRumus-rumus turunan numerik untuk ketiga pendekatan
tersebut dapat diturunkan dengan dua cara, yaitu: 1. Dengan bantuan
deret Taylor 2. Dengan hampiran polinom interpolasi Kedua cara
tersebut menghasilkan rumus yang samaMisalkan diberikan titik-titik
(xi, fi) , i = 0, 1, 2, ..., n, yang dalam hal ini xi = x0 + ih dan
fi = f(xi). Jika kita ingin menghitung f'(x), yang dalam hal ini x
= x0+sh, s R dengan ketiga pendekatan yang disebutkan di atas
(maju, mundur, pusat), maka
1. Hampiran selisih-maju
2. Hampiran selisih-mundur
3. Hampiran selisih-pusat
Perhatikan, bahwa hampiran selisih-pusat lebih baik daripada dua
hampiran sebelumnya, sebab orde galatnya adalah O(h2).
2.2Permasalahan dan Pembahasannya2.2.1 Soal:Sebuah mobil
bergerak beraturan dengan kecepatan v tercatat di berbagai titik
sepanjang jarak x sebagai berikut:t (s)048121620
v (m/s)0246810
Tentukan percepatan mobil dengan menggunakan pendekatan numerik!
Serta bandingkan hasilnya dengan perhitungan secara analitik!2.2.2
Jawaban dan Pembahasannya:1. Secara NumerikSoal ini dapat
diselesaikan dengan menggunakan metode diferensiasi numerik. Dalam
metode ini terdapat tiga macam pendekatan, yaitu forward modeling,
backward modeling dan central modeling. Sedangkan pada laporan
akhir ini saya menggunakan pendekatan forward modeling.Berikut
pseudocode untuk metode diferensiasi numerik:
set xset f(x)i, i=0..nfor i=1 to n dobd(x)i=[f(x)i-f(x)i-1]/xend
for
Pseudocode tersebut diimplementasikan pada software MatLab. Kode
program dijalankan pada command window dengan sebelumnya dituliskan
dalam fungsi script. Berikut implementasi kode program yang
dituliskan pada fungsi script:
Pada kode program n berisikan nilai banyaknya data t; sedangkan
f berisikan data v atau kecepatan mobil. Lalu ada perintah i=1:n-1,
i adalah bilangan yang difungsikan dan masuk dalam perhitungan.
Kemudian terdapat fungsi dari forward difference yaitu
fd(i)=(f(i+1)-f(i))/dt. Setelah difungsikan, dalam kode program
hasil perhitungan akan ditampilkan dalam command window dengan nama
Hasil..Berkut hasil perhitungan yang telah dihitung dengan software
MatLab:
Dari perhitungan yang telah dilakukan menggunakan software
MatLab diketahui bahwa untuk detik ke 0,00; 4,00; 8,00; 12,00;
16,00; dan 20,00 percepatan mobil adalah 0,500 m/s2.2. Secara
AnalitikSetelah dilakukan perhitungan secara numerik, saya
melakukan perhitungan secara analitik untuk membandingkan hasil
perhitungan. Seperti yang telah diketahui bahwa rumus untuk
menghitung besarnya suatu percepatan benda bergerak lurus beraturan
adalah:
(Romo, 2010)
Diketahui:Vt = 10; = 20 = 0,5 m/s2.Hasil perhitungan secara
numerik maupun secara analitik berhasil sama yaitu 0,5
m/s2.Kemudian bila diplot pada Ms. Excel, didapatkan hasil grafik
seperti ini:
Garis lurus pada hasil grafik adalah menunjukkan bahwa gerak
yang dijalankan oleh mobil benar merupakan garak lurus beraturan,
hal itu dikarenakan nilai trend antara kecepatan dan tiap waktunya
memiliki jarak yang selalu sama.
BAB IIIPENUTUP
Kesimpulan yang dapat diambil dari laporan akhir ini adalah
dalam fisika, penurunan problem diferensiasi numerik dapat
menggunakan metode finite difference. Metode ini terdiri dari
pendekatan selisih maju (forward difference), selisih mundur
(backward difference) dan selisih pusat (central difference).
Pendekatan selisih pusat memiliki nilai hasil yang lebih baik
daripada dua pendekatan lainnya karena memiliki nilai error yang
lebih kecil.Dalam laporan ini saya membandingkan hasil perhitungan
secara numeric dan analitik, keduanya memiliki hasil yang sama
yaitu 0,500 m/s2. Tidak hanya itu, saya juga mem-plot pada software
Microsoft Excel untu membuktikan bahwa gerak yang dijalankan oleh
mobil pada permasalahan adalah benar Gerak Lurus Beraturan.
DAFTAR PUSTAKA
Anonymous. (2012). Retrieved January 2014, from
http://informatika.stei.itb.ac.id/rinaldi.munir/Buku.pdfRomo, I.
(2010). Kinematika. Jurnal Fisika .
Laporan AkhirPraktikum Fisika Komputasi1