DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA INTEGRANTES DEL EQUIPO: Omar Edrei Castillo Medina Jezrael Alejandro Vázquez Puente Fernando Piña López Víctor Hugo.

DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA

INTEGRANTES DEL EQUIPO:

•Omar Edrei Castillo Medina•Jezrael Alejandro Vázquez Puente•Fernando Piña López•Víctor Hugo Villicaña Duarte•Jairo Yaed Suarez Bueno•Edgar Baltazar Loera Ortiz

DIFERENCIACIÓN: DATOS CONTINUOS

Nos encontramos:

)(2

2

xQdx

dk

DIFERENCIACIÓN: DATOS CONTINUOS

Dividimos el dominio en N segmentos

La longitud de cada segmento es h

Q(x) nos queda evaluada en N+1 puntos

x0 = 0 x1 x2 x3 xN-2 xN-1 xN = L

x x x x x

DIFERENCIACIÓN: DATOS CONTINUOS

Aproximando Φ(x) mediante una expansión de Taylor:

!2)´´(

!1)´()()(

!2)´´(

!1)´()()(

2

2

hx

hxxhx

hx

hxxhx

NNNN

NNNN

xxNxN-h

Φ(xN-h)

(dΦ(xN)/dx)

Φ(xN)Φ(xN-h)

xN+h

DIFERENCIACIÓN: DATOS CONTINUOS

Restamos ambas ecuaciones, y despejamos Φ´(xN) con lo que obtenemos:

1

)12()12(

)!12(

)(

2

)()()´(

j

jNj

NNN h

j

x

h

hxhxx

Con un h suficientemente pequeña, podemos despreciar la sumatoria

DIFERENCIACIÓN: DATOS CONTINUOS

Finalmente obtenemos:

22

2 )()(2)()(

2

)()()(

h

hxxhx

dx

xd

h

hxhx

dx

xd

NNNN

NNN

DIFERENCIACIÓN: DATOS DISCRETOS

1. Interpolamos en el intervalo de interés

2. Calculamos la derivada del polinomio interpolante

DIFERENCIACIÓN: DATOS DISCRETOS

Ejemplo:

tenemos x0,x1,x2

y sus correspondientes f0,f1,f2

DIFERENCIACIÓN: DATOS DISCRETOS

Construimos el polinomio de Lagrange:

))((

))((

))(()(

102

201

2102

xxxxa

xxxxa

xxxxaxP

DIFERENCIACIÓN: DATOS DISCRETOS

21202

10

12101

20

02010

212

))((

))((

))((

))((

))((

))(()(

fxxxx

xxxx

fxxxx

xxxx

fxxxx

xxxxxP

• Construimos el polinomio de Lagrange:

DIFERENCIACIÓN: DATOS DISCRETOS

Derivamos el polinomio de Lagrange:

21202

10

12101

20

02010

212

))((

2

))((

2

))((

2)(

fxxxx

xxx

fxxxx

xxx

fxxxx

xxxxP

DIFERENCIACIÓN: DATOS DISCRETOS

Derivamos el polinomio de Lagrange:

... y ya podemos evaluar la derivada!!!

21202

10

12101

20

02010

212

))((

2

))((

2

))((

2)(

fxxxx

xxx

fxxxx

xxx

fxxxx

xxxxP

DIFERENCIACIÓN: PROBLEMAS?

¿Qué sucede si h no es suficientemente pequeño?

¿Y los errores numéricos para cuando elegimos un h muy pequeño?

INTEGRACIÓN

E:\Compu_II\01_Material_de_Catedra\01_Temas\10_Calculo_Numerico\01_Teoria\Libro_Calculo_Numerico\CAP5.pdf

INTEGRACIÓN NUMÉRICA: TRAPEZOIDALTenemos que

hallar el area debajo la curva f(x)

Utilizamos un polinomio de 1er orden (Lagrange)

Sea x0 = a y x1 = b, entonces

NEWTON-COTES: TRAPEZOIDAL

Aproximamos f(x) como:

La integral estará dada por:

1

0

1

0

)()()( 101

00

10

1x

x

x

x

dxxfxx

xxxf

xx

xxdxxf

01

01

10

10 )()()(

xx

xxxf

xx

xxxfxf p

NEWTON-COTES: TRAPEZOIDAL

Resolviendo:

Generalizando:

)()(2

)( 10

1

0

xfxfh

dxxfx

x

b

a

N

kkxfbfaf

hxf

1

1

)(2)()(2

)(

NEWTON-COTES: SIMPSON

Ahora el polinomio interpolador es de segundo orden:

dxxfxxxx

xxxx

xfxxxx

xxxx

xfxxxx

xxxxdxxf

x

x

x

x

)())((

))((

)())((

))((

)())((

))(()(

21202

10

12101

20

02010

212

0

2

0

NEWTON-COTES: SIMPSON

Recordamos la integración por intervalos y resolvemos:

)()4)...

)()4))()4)3

)(...)()()(

12

432210

2

4

2

2

0

NNN

x

x

x

x

x

x

b

a

xff(xf(x

xff(xf(xxff(xf(x h

dxxfdxxfdxxfdxxfN

N

NEWTON-COTES: SIMPSON

Reacomodamos y simplificamos:

)()(2)(4)(

3)(

1)2/(

12

2/

112 bfxfxfaf

hdxxf

N

ii

N

ii

b

a

INTEGRACIÓN: MÁS PUNTOS?

Al evaluar más puntos de la función en el intervalo dado, podemos obtener mayor exactitud

Pero los polinomios de alto orden nos traen problemas numéricos...

REGLAS COMPUESTAS: SIMPSON

Interpolar f(x) en cada intervalo [xk, xk+3]

El resultado es:

b

a

kk

kk

kk

NN

N

xfxf

xfbfafh

dxxf3

33

3

33

023

013

13

)(3)(3

)(2)()(

8

3)(

INTEGRACIÓN NUMÉRICA:CUADRATURA DE GAUSSLas integrales anteriores se resuelven

sobre intervalos equiespaciados y la función es “pesada” con ciertos coeficientes, que son elejidos a conveniencia.

La idea de la Cuadratura Gaussiana es darnos la libertad de elegir no solo los coeficientes de peso, sino que también la localización de las abscisas en la que vamos a evaluar la función

INTEGRACIÓN NUMÉRICA:CUADRATURA DE GAUSS

Estamos buscando los wi coeficientes de la siguiente ecuación:

a

b

N

iji xfwdxxfxW

1

)()()(

)()()( 1100

1

1

xgwxgwdxxg

INTEGRACIÓN NUMÉRICA:CUADRATURA DE GAUSSNecesitamos resolver las cuatro incógnitas.

Pero:

3

3

3

3)(

1

1

ffdxxf