Didonwload dari ririez.blog.uns.ac.id 4 BAB I PENDAHULUAN Pada bab sebelumnya telah dibahas rancangan faktorial secara umum, seringkali peneliti berhadapan pada rancangan yang melibatkan sejumlah faktor yang masing-masing faktor hanya terdiri atas dua buah taraf atau level. Oleh karena itu perlu dilakukan rancangan faktorial 2 k , yaitu rancangan faktorial yang menyangkut k buah faktor dengan masing-masing faktor memiliki dua taraf atau level. Banyaknya taraf yaitu 2, ditulis sebagai bilangan pokok dan banyaknya faktor yaitu k, ditulis sebagai pangkat. Apabila rancangan melibatkan dua faktor maka disebut rancangan faktorial 2 2 . Jika rancangan melibatkan tiga faktor maka disebut rancangan faktorial 2 3 . Rancangan melibatkan empat faktor maka disebut rancangan faktorial 2 4 , dan seterusnya. Batasan-batasan: • Faktor-faktor tersebut fixed (tetap) • Merupakan rancangan random lengkap • Asumsi normalitas, independensi dan homogenitas variansi dipenuhi. 1. Asumsi normalitas dipenuhi apabila Normal Probability plot of the Residuals membentuk atau mendekati garis lurus. 2. Asumsi homogenitas variansi dipenuhi jika : a. Residuals versus the Fitted Values tidak membentuk suatu pola tertentu atau acak. 3. Asumsi independensi dipenuhi apabila Residuals versus the order of the data tidak membentuk suatu pola tertentu atau acak.
38
Embed
Didonwload dari ririez.blog.uns.acririez.blog.uns.ac.id/files/2011/01/makalah-fix.pdf · 2.1.1 Estimasi Efek Dalam suatu percobaan rancangan faktorial 2 2 terdapat beberapa efek.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Didonwload dari ririez.blog.uns.ac.id
4
BAB I
PENDAHULUAN
Pada bab sebelumnya telah dibahas rancangan faktorial secara umum, seringkali peneliti
berhadapan pada rancangan yang melibatkan sejumlah faktor yang masing-masing faktor hanya
terdiri atas dua buah taraf atau level. Oleh karena itu perlu dilakukan rancangan faktorial 2k,
yaitu rancangan faktorial yang menyangkut k buah faktor dengan masing-masing faktor
memiliki dua taraf atau level. Banyaknya taraf yaitu 2, ditulis sebagai bilangan pokok dan
banyaknya faktor yaitu k, ditulis sebagai pangkat. Apabila rancangan melibatkan dua faktor
maka disebut rancangan faktorial 22. Jika rancangan melibatkan tiga faktor maka disebut
rancangan faktorial 23. Rancangan melibatkan empat faktor maka disebut rancangan faktorial 24,
dan seterusnya. Batasan-batasan:
• Faktor-faktor tersebut fixed (tetap)
• Merupakan rancangan random lengkap
• Asumsi normalitas, independensi dan homogenitas variansi dipenuhi.
1. Asumsi normalitas dipenuhi apabila Normal Probability plot of the Residuals
membentuk atau mendekati garis lurus.
2. Asumsi homogenitas variansi dipenuhi jika :
a. Residuals versus the Fitted Values tidak membentuk suatu pola tertentu atau acak.
3. Asumsi independensi dipenuhi apabila Residuals versus the order of the data tidak
membentuk suatu pola tertentu atau acak.
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
2.1 Rancangan Faktorial
Rancangan faktorial 2
melibatkan dua faktor dengan masing
Misalkan ada dua faktor, yaitu faktor A dan B dengan masing
rendah dan tinggi, maka percobaan dilakukan sebagai n ulangan, dan kombinasi perlakuan dapat
ditulis sebagai berikut:
A
Rendah (-)
Tinggi (+)
Atau dapat digambarkan sebagai berikut :
Keterangan : taraf rendah dinyatakan 1
taraf tinggi dinyatakan 2
taraf rendah faktor A dan taraf rendah faktor B = A
taraf rendah faktor A dan taraf tinggi faktor B = A
taraf tinggi faktor A dan taraf rendah faktor B = A
taraf tinggi faktor A dan taraf tinggi faktor B = A
1 Faktor
2 1
Faktor B
(1)
b
ac.id
5
BAB II
PEMBAHASAN
Rancangan faktorial 22 merupakan kejadian khusus dari rancangan faktorial dimana
melibatkan dua faktor dengan masing-masing faktor terdiri atas dua buah taraf atau level.
Misalkan ada dua faktor, yaitu faktor A dan B dengan masing-masing terdiri dari dua taraf yaitu
tinggi, maka percobaan dilakukan sebagai n ulangan, dan kombinasi perlakuan dapat
B Rendah (-) Tinggi (+)
111y 112y
.... ny11 121y
...
)1(.11 =y by =.12
211y 212y
.... ny21 221y
....
ay =.21 aby =.22
Atau dapat digambarkan sebagai berikut :
taraf rendah dinyatakan 1
taraf tinggi dinyatakan 2
rendah faktor A dan taraf rendah faktor B = A1B1
taraf rendah faktor A dan taraf tinggi faktor B = A1B2
taraf tinggi faktor A dan taraf rendah faktor B = A2B1
taraf tinggi faktor A dan taraf tinggi faktor B = A2B2
2
Faktor A
a
b ab
merupakan kejadian khusus dari rancangan faktorial dimana
masing faktor terdiri atas dua buah taraf atau level.
masing terdiri dari dua taraf yaitu
tinggi, maka percobaan dilakukan sebagai n ulangan, dan kombinasi perlakuan dapat
Tinggi (+) 122y
... ny12
222y
.... ny22
Didonwload dari ririez.blog.uns.ac.id
6
Terdapat kombinasi perlakuan yang ditulis (1), a, b, dan ab, dengan (1) menyatakan
kombinasi perlakuan yang terjadi karena taraf rendah faktor A dan taraf rendah faktor B, a
menyatakan kombinasi perlakuan yang terjadi karena taraf tinggi faktor A dan taraf rendah
faktor B, b menyatakan kombinasi perlakuan yang terjadi karena taraf rendah faktor A dan
taraf tinggi faktor B, ab menyatakan kombinasi perlakuan yang terjadi karena taraf tinggi faktor
A dan taraf tinggi faktor B.
2.1.1 Estimasi Efek
Dalam suatu percobaan rancangan faktorial 22 terdapat beberapa efek. Dimana efek
tersebut antara lain efek faktor dan efek taraf yang masing – masing berjumlah dua buah. Efek
tersebut kemudian diestimasi untuk pengujian lebih lanjut dalam penentuan jumlah kuadrat.
Estimasi efek dapat dilakukan dengan 3 cara, yaitu estimasi efek dengan rata – rata, estimasi
efek dengan kontras, estimasi efek dengan tabel.
2.1.1.1 Estimasi Efek dengan Rata – Rata
Efek faktor A dapat diestimasi dengan rata – rata efek A yang dikombinasikan dengan
B, yaitu saat B rendah dan tinggi, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut :
Efek A dengan B rendah adalah [ ] na /)1(− , efek A dengan B tinggi adalah [ ] nbab /−
Rata-rata efek A dirumuskan ( ) ( )[ ] [ ])1(2
1)1(
2
1 −−+=−+−= baabn
ababn
A
Dengan cara yang sama diperoleh estimasi efek B:
Efek B dengan A rendah adalah [ ] nb /)1(− , Efek B dengan A tinggi adalah [ ] naab /−
Rata-rata efek B dirumuskan ( ) ( )[ ] [ ])1(2
1)1(
2
1 −−+=−+−= ababn
baabn
B
Estimasi efek interaksi AB merupakan rata-rata selisih antara efek A dengan B tinggi dan efek A
dengan B rendah, sehingga dapat dirumuskan
( ) ( )[ ] [ ])1(2
1)1(
2
1 +−−=−−−= baabn
ababn
AB
Metode lain untuk memperoleh formula rata – rata efek di atas, misalkan efek A adalah
dengan menyelisihkan antara rata – rata respon dari 2 kombinasi perlakuan di sisi kanan bujur
sangkar (gambar) +AY dan 2 kombinasi perlakuan di sisi kiri bujur sangkar −AY . Diperoleh
hasil:
Didonwload dari ririez.blog.uns.ac.id
7
−+ −= AA YYA n
b
n
aab
2
)1(
2
+−+= [ ])1(2
1 −−+= baabn
Dengan cara yang sama diperoleh
−+ −= BB YYB = n
a
n
bab
2
)1(
2
+−+ = [ ])1(
2
1 −−+ ababn
Sedangkan untuk efek interaksi AB didapat dari selisih antara rata-rata kombinasi perlakuan
diagonal kanan ke kiri {ab dan (1)} dan rata-rata diagonal kiri ke kanan {a dan b }
n
ba
n
abAB
22
)1( +−+= = [ ]baabn
−−+ )1(2
1
Efek faktor A bernilai positif berarti adanya peningkatan taraf dari rendah ke tinggi akan
meningkatkan respon. Efek faktor B bernilai negatif berarti adanya peningkatan taraf dari rendah
ke tinggi akan menurunkan respon. Efek interaksi AB muncul relatif kecil.
2.1.1.2 Estimasi Efek dengan Kontras
Kombinasi perlakuan ditulis dengan urutan tertentu, yang merupakan urutan baku
(standart) yaitu abba ,,),1( . Dengan urutan standar tersebut, koefisien kontras digunakan untuk
mengestimasi efek. Dimana koefisien kontras biasanya +1 atau -1.
Efek (1) A b Ab
A -1 +1 -1 +1
B -1 -1 +1 +1
AB +1 -1 -1 +1
Perlu diperhatikan bahwa koefisien kontras untuk mengestimasi efek interaksi didapat dengan
mengalikan koefisien antara dua efek utama yang bersesuaian.
2.1.1.3 Estimasi Efek dengan Tabel
Tabel plus minus berikut dapat digunakan untuk menentukan tanda setiap kombinasi
perlakuan. Efek utama A, B, interaksi AB, dan I menunjukkan total atau rata-rata dari jumlah
eksperimen. Di mana I hanya memiliki tanda plus.
Kombinasi Faktorial perlakuan I A B AB
(1) + - - + a + + - - b + - + - ab + + + +
Didonwload dari ririez.blog.uns.ac.id
8
Perlu diperhatikan untuk mencari kontras dengan cara mengalikan tanda (dengan kolom yang
sesuai) terhadap kombinasi perlakuan kemudian dijumlahkan.
Contoh: untuk mengestimasi A, kontrasnya adalah abba +−+− )1(
untuk mengestimasi B, kontrasnya adalah abba ++−− )1(
untuk mengestimasi AB, kontrasnya adalah abba +−−+ )1(
2.1.2 Analisis Variansi
Dalam analisis variansi terdapat perhitungan jumlah kuadrat. Jumlah kuadrat sama
dengan kuadrat kontras dibagi jumlah observasi di setiap total kontras kali jumlah kuadrat
koefisien kontras. Sehingga diperoleh:
JKA = [ ]
4.
)1( 2
n
baab −−+
JKB = [ ]
4.
)1( 2
n
abab −−+
JKAB = [ ]
4.
)1( 2
n
baab −−+
JKT = n
yy
n
k
ijk
ji 4
...2
1
22
1
2
1
−∑∑∑===
JKS = JKT – JKA – JKB - JKAB
Uji hipotesis:
I. Ho : interaksi faktor AB tidak mempengaruhi respon secara signifikan
H1 : interaksi faktor AB mempengaruhi respon secara signifikan
Daerah Kritis : Ho ditolak jika Fhit > ))1(),1)(1(,( −−− nabbaF α
Statistik Uji : Fhitung = S
AB
RK
RK
II. Ho : faktor A tidak mempengaruhi respon secara signifikan
H1 : faktor A mempengaruhi respon secara signifikan
Daerah Kritis : Ho ditolak jika Fhit > ))1(),1(,( −− nabaF α
Statistik Uji : Fhitung = S
A
RK
RK
III. Ho : faktor B tidak mempengaruhi respon secara signifikan
H1 : faktor B mempengaruhi respon secara signifikan
Didonwload dari ririez.blog.uns.ac.id
9
Daerah Kritis : Ho ditolak jika Fhit > ))1(),1(,( −− nabbF α
Statistik Uji : Fhitung = S
B
RK
RK
Tabel Anava
Sumber variasi
JK Db RK F
A JKA =
[ ]4.
)1( 2
n
baab −−+
1−a = 1 RKA =
1AJK
S
A
RK
RK
B JKB =
[ ]4.
)1( 2
n
abab −−+
b – 1 = 1
RKB = 1
BJK
S
B
RK
RK
AB JKAB =
[ ]4.
)1( 2
n
baab −−+
1)1)(1( =−− ba
RKAB = 1
ABJK
S
AB
RK
RK
Sesatan JKS = JKT – JKA – JKB - JKAB
)1( −nab
RKS =
)1( −nab
JK S
Total JKT =
n
YY
n
k
ijk
ji 4
...2
1
22
1
2
1
−∑∑∑===
N-1
2.1.3 Analisis Residual
Residual dari rancangan faktorial 2k dengan mudah dihitung melalui model regresi.
Model regresinya yaitu εβββ +++= 22110ˆˆˆˆ xxy , dimana
1x = variabel kode untuk faktor A
2x = variabel kode untuk faktor B
.β = koefisien regresi
x ditentukan berdasarkan efek yang signifikan dari tabel anava.
Gabungan antara variabel alami faktor A dan B dengan variabel kode antara lain
( )( ) 2/
2/1
+−
+−
++−=AA
AAAx
( )( ) 2/
2/2
+−
+−
++−=BB
BBBx
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
Sehingga akan menghasilkan variabel kode yang bernilai
rendah maka 11 −=x . Apabila faktor A dengan taraf tinggi maka
dengan taraf rendah maka 2x
Intersep merupakan rata
setengah dari estimasi efek faktor yang bersesuaian. Hal ini dikarenakan koefisien regresi
mengukur efek dari perubahan satuan dari x terhadap rata
pada dua satuan perubahan (dari
Model regresi dapat digun
dan residualnya. Residual dapat ditentukan dengan
tiap kombinasi perlakuan sebagai berikut.
(i) Untuk (1) yaitu kombinasi perlakuan fak
taraf rendah, dimana ˆ Iy
(ii) Untuk a yaitu kombinasi perlakuan faktor A dengan taraf tinggi dan faktor B dengan taraf
rendah, dimana 0= βay
(iii) Untuk b yaitu kombinasi perlakuan faktor A dengan taraf rendah da
tinggi, dimana 0 += βby
(iv) Untuk ab yaitu kombinasi perlakuan faktor A dengan taraf tinggi dan faktor B dengan
taraf tinggi, dimana aby
dengan n = banyak replikasi.
2.2 Rancangan Faktorial
Rancangan ini melibatkan 3 faktor dengan masing
Misalkan, terdapat 3 faktor A, B, dan C dengan
“rendah” dan “tinggi”. Jika dilakukan percobaan dengan perulangan sebanyak n, maka total
seluruh kombinasi perlakuan dapat disajikan sebagai berikut:
ac.id
10
Sehingga akan menghasilkan variabel kode yang bernilai 1± . Apabila faktor A dengan taraf
. Apabila faktor A dengan taraf tinggi maka 1 =x
1−= . Apabila faktor B dengan taraf tinggi maka
Intersep merupakan rata-rata dari seluruh eksperimen dan koefisien regresi
setengah dari estimasi efek faktor yang bersesuaian. Hal ini dikarenakan koefisien regresi
mengukur efek dari perubahan satuan dari x terhadap rata-rata y dan estimasi efek didasarkan
pada dua satuan perubahan (dari -1 ke +1). Sehingga model regresi dapat ditulis juga dengan
Model regresi dapat digunakan untuk memprediksi nilai y pada kombinasi perlakuan
dan residualnya. Residual dapat ditentukan dengan yye ijk ˆ−= . Dimana perhitungan residual
tiap kombinasi perlakuan sebagai berikut.
1) yaitu kombinasi perlakuan faktor A dengan taraf rendah dan fak
)1()1( 210 −+−+= βββ sehingga diperoleh residual
yaitu kombinasi perlakuan faktor A dengan taraf tinggi dan faktor B dengan taraf
)1()1( 21 −+++ ββ sehingga diperoleh residual
yaitu kombinasi perlakuan faktor A dengan taraf rendah dan faktor B dengan taraf
)1()1( 21 ++−+ ββ sehingga diperoleh residual
yaitu kombinasi perlakuan faktor A dengan taraf tinggi dan faktor B dengan
)1()1( 210 ++++= βββ sehingga diperoleh residual
dengan n = banyak replikasi.
Rancangan ini melibatkan 3 faktor dengan masing-masing faktor mempunyai 2 level.
Misalkan, terdapat 3 faktor A, B, dan C dengan masing-masing mempunyai 2 level, yaitu
“rendah” dan “tinggi”. Jika dilakukan percobaan dengan perulangan sebanyak n, maka total
seluruh kombinasi perlakuan dapat disajikan sebagai berikut:
. Apabila faktor A dengan taraf
1+ . Apabila faktor B
i maka 12 +=x .
rata dari seluruh eksperimen dan koefisien regresi 21,ββ adalah
setengah dari estimasi efek faktor yang bersesuaian. Hal ini dikarenakan koefisien regresi
rata y dan estimasi efek didasarkan
dapat ditulis juga dengan
akan untuk memprediksi nilai y pada kombinasi perlakuan
. Dimana perhitungan residual
f rendah dan faktor B dengan
sehingga diperoleh residual 1.11 yyen −= .
yaitu kombinasi perlakuan faktor A dengan taraf tinggi dan faktor B dengan taraf
sehingga diperoleh residual an yye ˆ.21 −= .
n faktor B dengan taraf
sehingga diperoleh residual bn yye ˆ.12 −=
yaitu kombinasi perlakuan faktor A dengan taraf tinggi dan faktor B dengan
sehingga diperoleh residual abn yye ˆ.22 −=
masing faktor mempunyai 2 level.
masing mempunyai 2 level, yaitu
“rendah” dan “tinggi”. Jika dilakukan percobaan dengan perulangan sebanyak n, maka total
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
A
“rendah”
“rendah”
“tinggi”
Keterangan :
= observasi dengan kombinasi perlakuan dari masing
i = taraf untuk fak
j = taraf untuk fak
Jika level “rendah” dinotasikan “
sedangkan 8 kombinasi perlakuan dapat dinyatakan
dapat dibuat tabel plus-minus dari seluruh kombinasi perlakuan sebagai berikut.
A B
1 -
2 +
3 -
4 +
5 -
6 +
7 -
8 +
Keterangan : - 0 menyatakan tinggi rendahnya
+ 1 taraf faktor
ac.id
11
B “rendah” “tinggi”
C C “rendah” “tinggi” “rendah”
.
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
= observasi dengan kombinasi perlakuan dari masing-masing taraf
i = taraf untuk faktor A : 1, 2 k = taraf untuk faktor C : 1, 2
j = taraf untuk faktor B : 1, 2 l = perulangan : 1, 2, …, n
Jika level “rendah” dinotasikan “-“ dan level “tinggi” dinotasikan dengan “+”,
sedangkan 8 kombinasi perlakuan dapat dinyatakan sebagai (1), a, b, c, ab, ac, bc, abc, maka
minus dari seluruh kombinasi perlakuan sebagai berikut.
B C Komb.perlk A B
- - (1) 0 0
- - A 1 0
+ - B 0 1
+ - Ab 1 1
- + C 0 0
- + Ac 1 0
+ + bc 0 1
+ + abc 1 1
0 menyatakan tinggi rendahnya
taraf faktor
“tinggi”
“tinggi”
.
.
.
.
masing taraf
k = taraf untuk faktor C : 1, 2
l = perulangan : 1, 2, …, n
“ dan level “tinggi” dinotasikan dengan “+”,
sebagai (1), a, b, c, ab, ac, bc, abc, maka
minus dari seluruh kombinasi perlakuan sebagai berikut.
C
0
0
0
0
1
1
1
1
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
Sebagaimana notasi yang telah dijelaskan sebelumnya, kombinasi perlakuan dapat
dituliskan dengan simbol (1), a, b, c, ab, ac, dan abc. Simbol ini juga menyatakan jumlah
observasi untuk n perulangan dari masing
Rancangan faktorial
berbentuk kubus. Dimana diagr
2.2.1 Estimasi Efek
Estimasi efek sangat diperlukan karena digunakan untuk menghitung jumlah
dalam analisis variansi. Ada 3 cara untuk mengestimasi efek utama. Ketiga cara itu adalah
estimasi efek dengan rata-rata, estimasi efek dengan kontras, estimasi efek dengan tabel.
2.2.1.1 Estimasi Efek dengan Rata
Efek faktor A dapat diestimasi dengan rata
dalam dua level, yaitu
(i) efek A dengan B- C- adalah
(ii) efek A dengan B+ C- adalah
(iii) efek A dengan B- C+ adalah
(iv) efek A dengan B+ C+ adalah
Metode lain untuk memperoleh formula rata
A yang telah dikombinasikan dengan perlakuan pada saat A “tinggi”
����, maka efek faktor A dapat dirumuskan
� � ��� ����
� � � � � � � ���4� ��
ac.id
12
Sebagaimana notasi yang telah dijelaskan sebelumnya, kombinasi perlakuan dapat
dituliskan dengan simbol (1), a, b, c, ab, ac, dan abc. Simbol ini juga menyatakan jumlah
observasi untuk n perulangan dari masing - masing kombinasi perlakuan.
ial dapat direpresentasikan dalam diagram rancangan yang
Dimana diagram rancangannya sebagai berikut:
Estimasi efek sangat diperlukan karena digunakan untuk menghitung jumlah
dalam analisis variansi. Ada 3 cara untuk mengestimasi efek utama. Ketiga cara itu adalah
rata, estimasi efek dengan kontras, estimasi efek dengan tabel.
Estimasi Efek dengan Rata - Rata
dapat diestimasi dengan rata-rata efek A dengan kombinasi B dan C
adalah �������
�
adalah ������
�
C+ adalah ������
�
(iv) efek A dengan B+ C+ adalah ��������
�
Metode lain untuk memperoleh formula rata – rata efek A dengan menyelisihkan rata
A yang telah dikombinasikan dengan perlakuan pada saat A “tinggi” ���
, maka efek faktor A dapat dirumuskan
� ��1� � � � � � ���4� � 1
4� � �1� � � � �
Sebagaimana notasi yang telah dijelaskan sebelumnya, kombinasi perlakuan dapat
dituliskan dengan simbol (1), a, b, c, ab, ac, dan abc. Simbol ini juga menyatakan jumlah
dapat direpresentasikan dalam diagram rancangan yang
Estimasi efek sangat diperlukan karena digunakan untuk menghitung jumlah kuadrat
dalam analisis variansi. Ada 3 cara untuk mengestimasi efek utama. Ketiga cara itu adalah
rata, estimasi efek dengan kontras, estimasi efek dengan tabel.
rata efek A dengan kombinasi B dan C
rata efek A dengan menyelisihkan rata – rata efek
� �� dengan A “rendah”
� � � � �� ���
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
Efek faktor B dapat diestimasi dengan rata
dalam dua level, yaitu :
(i) efek B dengan A+ C- adalah
(ii) efek B dengan A- C+ adalah
(iii) efek B dengan A+ C+ adalah
(iv) efek B dengan A- C- adalah
efek faktor B dapat dirumuskan
Efek faktor C dapat diestimasi dengan rata
dalam dua level, yaitu
(i) efek C dengan A- B- adalah
(ii) efek C dengan A+ B- adalah
(iii) efek C dengan A- B+ adalah
(iv) efek C dengan A+ B+ adalah
Dengan cara yang sama, efek factor C dapat dirumuskan
Efek interaksi AB merupakan setengah selisih dari rata
dengan B rendah. Rata – rata efek A saat B+ adalah
pada saat B- adalah
Maka efek faktor AB dapat dirumuskan
ac.id
13
Efek faktor B dapat diestimasi dengan rata-rata efek B dengan kombinasi A dan C
adalah ������
�
C+ adalah ������
�
B dengan A+ C+ adalah ��������
�
adalah �������
�
efek faktor B dapat dirumuskan
Efek faktor C dapat diestimasi dengan rata-rata efek C dengan kombinasi A dan B
adalah
adalah
B+ adalah
efek C dengan A+ B+ adalah
Dengan cara yang sama, efek factor C dapat dirumuskan
Efek interaksi AB merupakan setengah selisih dari rata – rata efek A pada saat B tinggi
rata efek A saat B+ adalah . Sedangkan rata
.
Maka efek faktor AB dapat dirumuskan
rata efek B dengan kombinasi A dan C
rata efek C dengan kombinasi A dan B
rata efek A pada saat B tinggi
. Sedangkan rata – rata efek A
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
Efek interaksi AC merupakan setengah selisih dari rata
dengan C rendah. Rata – rata efek A saat C+ adalah
pada saat C- adalah
Efek interaksi BC merupakan setengah
dengan C rendah. Rata – rata efek B saat C+ adalah
Sedangkan rata – rata efek B pada saat C
dirumuskan �� � �� ����������
��
� ��� � �� �
Dengan cara yang sama maka efek interaksi ABC adalah
– rata selisih antara interaksi AB pada saat C tinggi dengan C rendah.
2.2.1.2 Estimasi Efek dengan Kontras
Efek utama faktor A dapat juga ditentukan dengan kontras antara kombinasi perlakuan
saat A “tinggi” dengan A “rendah”
Efek faktor A dapat diestimasi d
(i) Efek A dengan B- C- adalah [a
(ii) Efek A dengan B+ C- adalah [ab
(iii) Efek A dengan B- C+ adalah [ac
(iv) Efek A dengan B+ C+ adalah [abc
Maka kontras
(i) kontras
(ii) kontras
ac.id
14
Efek interaksi AC merupakan setengah selisih dari rata – rata efek A
rata efek A saat C+ adalah . Sedangkan rata
. Maka efek faktor AC dapat dirumuska:
Efek interaksi BC merupakan setengah selisih dari rata – rata efek B pada saat C tinggi
rata efek B saat C+ adalah
rata efek B pada saat C- adalah . Maka efek faktor BC dapat
�������� ����������������
� � �� � � � � � �1�� Dengan cara yang sama maka efek interaksi ABC adalah
. Dimana efek interaksi ABC merupakan rata
rata selisih antara interaksi AB pada saat C tinggi dengan C rendah.
Estimasi Efek dengan Kontras
Efek utama faktor A dapat juga ditentukan dengan kontras antara kombinasi perlakuan
dengan A “rendah” . Total efek A untuk n ulangan disebut kontras A.
Efek faktor A dapat diestimasi dengan kombinasi B dan C dalam dua level, yaitu
adalah [a - (1)]
adalah [ab - b]
C+ adalah [ac - c]
Efek A dengan B+ C+ adalah [abc - bc]
. Dengan cara yang sama dipe
rata efek A pada saat C tinggi
Sedangkan rata – rata efek A
rata efek B pada saat C tinggi
. Maka efek faktor BC dapat
Dengan cara yang sama maka efek interaksi ABC adalah
Dimana efek interaksi ABC merupakan rata
Efek utama faktor A dapat juga ditentukan dengan kontras antara kombinasi perlakuan
. Total efek A untuk n ulangan disebut kontras A.
engan kombinasi B dan C dalam dua level, yaitu
. Dengan cara yang sama diperoleh
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
(iii) kontras
(iv) kontras
(v) kontras
2.2.1.3 Estimasi Efek dengan Tabel
Dari efek perlakuan di atas maka dapat dibuat tabel plus
disajikan sebagai berikut:
Komb. Perlk
(1)
(1) +
A +
B +
Ab +
C +
Ac +
Bc +
Abc +
*) Kolom AB merupakan perkalian tanda pada kolom A dan B
Kolom AC merupakan perkalian tanda pada kolom A dan C
Kolom BC merupakan perkalian tanda pada kolom B dan C
Kolom ABC merupakan perkalian tanda pada kolom AB dan C
Tabel di atas memiliki sifat
1. Kecuali kolom 1, setiap kolom punya tanda plus
2. Jumlah perkalian tanda dari 2 kolom selalu nol
3. Kolom 1 dikalikan dengan kolom manapun, kolom tersebut selalu tetap
4. Perkalian 2 kolom hasilnya suatu kolom dalam tabel
2.3 Analisis Variansi
Analisis variansi sangat diperlukan dalam uji statistik, yaitu dalam pengujian hipotesis
tentang pengaruh interaksi ataupun faktor terhadap respon.
ac.id
15
Estimasi Efek dengan Tabel
Dari efek perlakuan di atas maka dapat dibuat tabel plus-minus rancangan
Efek Faktorial
A B AB* C AC* BC*
- - + - + +
+ - - - - +
- + - - + -
+ + + - - -
- - + + - -
+ - - + + -
- + - + - +
+ + + + + +
*) Kolom AB merupakan perkalian tanda pada kolom A dan B
Kolom AC merupakan perkalian tanda pada kolom A dan C
Kolom BC merupakan perkalian tanda pada kolom B dan C
Kolom ABC merupakan perkalian tanda pada kolom AB dan C
iki sifat – sifat tertentu, yaitu :
Kecuali kolom 1, setiap kolom punya tanda plus-minus.
Jumlah perkalian tanda dari 2 kolom selalu nol
Kolom 1 dikalikan dengan kolom manapun, kolom tersebut selalu tetap
Perkalian 2 kolom hasilnya suatu kolom dalam tabel tersebut
Analisis variansi sangat diperlukan dalam uji statistik, yaitu dalam pengujian hipotesis
tentang pengaruh interaksi ataupun faktor terhadap respon. Dalam analisis variansi terdapat
minus rancangan yang
BC* ABC*
+ -
+ +
- +
- -
- +
- -
+ -
+ +
Kolom 1 dikalikan dengan kolom manapun, kolom tersebut selalu tetap
Analisis variansi sangat diperlukan dalam uji statistik, yaitu dalam pengujian hipotesis
Dalam analisis variansi terdapat
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
perhitungan jumlah kuadrat yang sangat berguna
estimasi efek di atas dapat dihitung jumlah kuadratnya baik itu jumlah kuadrat total, sesatan,
efek.
Perhitungan jumlah kuadrat total adalah J
a*b*c*n. a merupakan banyak taraf pada fact
pada faktor C, sedangkan n adalah banyak replikasi atau perulangan pada tiap taraf. Jumlah
kuadrat efek dapat dihitung dengan kontras yang mempunyai derajat bebas 1 untuk n perulangan
maka
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
Tabel Anava :
Variasi Db
A (a–1) = 1
B (b-1) = 1
C (c-1) = 1
AB (a-1) (b-1) = 1
AC (a-1) (c-1) = 1
BC (b-1) (c-1) = 1
ABC (a-1)(b-1)(c
ac.id
16
perhitungan jumlah kuadrat yang sangat berguna untuk pengujian hipotesis. Dari perhitungan
estimasi efek di atas dapat dihitung jumlah kuadratnya baik itu jumlah kuadrat total, sesatan,
Perhitungan jumlah kuadrat total adalah J
a*b*c*n. a merupakan banyak taraf pada factor A, b banyak taraf pada faktor B, c banyak taraf
pada faktor C, sedangkan n adalah banyak replikasi atau perulangan pada tiap taraf. Jumlah
kuadrat efek dapat dihitung dengan kontras yang mempunyai derajat bebas 1 untuk n perulangan
JK RK
1) = 1
1) = 1
1) = 1
1) = 1
1) = 1
1) = 1
-1) = 1
untuk pengujian hipotesis. Dari perhitungan
estimasi efek di atas dapat dihitung jumlah kuadratnya baik itu jumlah kuadrat total, sesatan,
. Dimana N =
or A, b banyak taraf pada faktor B, c banyak taraf
pada faktor C, sedangkan n adalah banyak replikasi atau perulangan pada tiap taraf. Jumlah
kuadrat efek dapat dihitung dengan kontras yang mempunyai derajat bebas 1 untuk n perulangan
F0
/ RKs
/ RKs
/ RKs
/ RKs
/ RKs
/ RKs
/ RKs
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
Sesatan N-8
Total N-1
N = a.b.c.n = 2.2.2.n = 8
Uji hipotesis :
a. Interaksi ABC
H0 : Tidak ada interaksi A, B, dan C terhadap respon.
H1 : Ada interaksi A, B, dan C terhadap respon.
F0 : / RKs
H0 ditolak jika F0 > Ftabel
b. Interaksi AB
H0 : Tidak ada interaksi A dan B terhadap respon.
H1 : Ada interaksi A dan B terhadap respon.
Daerah kritis : H0 ditolak jika F
Statistik uji : F0 :
c. Interaksi AC
H0 : Tidak ada interaksi A dan C terhadap respon.
H1 : Ada interaksi A dan C terhadap respon.
F0 : / RKs
H0 ditolak jika F0 > Ftabel
d. Interaksi BC
H0 : Tidak ada interaksi B dan C terhadap respon.
H1 : Ada interaksi B dan C terhadap respon.
Daerah kritis : H0 ditolak jika F
Statistik uji : F0 :
e. Faktor A
H0 : Tidak ada pengaruh faktor A terhadap respon.
H1 : Ada pengaruh faktor A terhadap respon.
Daerah kritis : H0 ditolak jika F
ac.id
17
JKs RKs
JKT
N = a.b.c.n = 2.2.2.n = 8 n
: Tidak ada interaksi A, B, dan C terhadap respon.
: Ada interaksi A, B, dan C terhadap respon.
tabel =
: Tidak ada interaksi A dan B terhadap respon.
: Ada interaksi A dan B terhadap respon.
ditolak jika F0 > Ftabel =
/ RKs
: Tidak ada interaksi A dan C terhadap respon.
: Ada interaksi A dan C terhadap respon.
tabel =
: Tidak ada interaksi B dan C terhadap respon.
: Ada interaksi B dan C terhadap respon.
ditolak jika F0 > Ftabel =
/ RKs
: Tidak ada pengaruh faktor A terhadap respon.
: Ada pengaruh faktor A terhadap respon.
ditolak jika F0 > Ftabel =
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
Statistik uji : F0 : / RKs
f. Faktor B
H0 : Tidak ada pengaruh faktor B terhadap respon.
H1 : Ada pengaruh faktor B terhadap respon.
Daerah kritis : H0 ditolak jika F
Statistik uji : F0 : / RKs
g. Faktor C
H0 : Tidak ada pengaruh faktor C terhadap respon.
H1 : Ada pengaruh faktor C terhadap respon.
Daerah kritis : H0 ditolak jika F
Statistik uji : F0 :
Jika setelah diuji, maka faktor
Misal dari masalah di atas setelah diuji yang signifikan adalah A, B, C, AB, dan ABC.
Sedangkan A, B, dan C masing
menjadi
dimana
masing-masing adalah variabel kode utuk A, B, C.
Cara menentukan variabel kode :
Hasil dari perhitungan di atas adalah
Residual dapat ditentukan dengan
ac.id
18
/ RKs
: Tidak ada pengaruh faktor B terhadap respon.
: Ada pengaruh faktor B terhadap respon.
ditolak jika F0 > Ftabel =
/ RKs
: Tidak ada pengaruh faktor C terhadap respon.
: Ada pengaruh faktor C terhadap respon.
ditolak jika F0 > Ftabel =
/ RKs
Jika setelah diuji, maka faktor-faktor yang signifikan berarti mempengaruhi respon.
Misal dari masalah di atas setelah diuji yang signifikan adalah A, B, C, AB, dan ABC.
Sedangkan A, B, dan C masing-masing dinotasikan sehingga model persamaa
masing adalah variabel kode utuk A, B, C.
Cara menentukan variabel kode :
Hasil dari perhitungan di atas adalah -1 dan +1.
Residual dapat ditentukan dengan
faktor yang signifikan berarti mempengaruhi respon.
Misal dari masalah di atas setelah diuji yang signifikan adalah A, B, C, AB, dan ABC.
sehingga model persamaannya
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
3.1 Contoh aplikasi faktorial
Sebuah mesin industri dipakai untuk botol minuman yang mementingkan pengaruh dari dua tipe botol 32 ons yang dikirim 12 peti botol dari sebuah produksi. Dua jenis tersebut adalah kaca dan plastik. Dua pekerja digunakan untuk menjalankan tugas tertentu yang terdiri dari memindahkan 40 peti dari 50 barisan dalam jenis ukuran dari gerbong tangan
dan menimbun peti. Empat replikasi daridiperlihatkan pada tabel di bawah
Tipe botol
Kaca 5.12 4.98
Plastik 4.95 4.27
Penyelesaian : AB A B Komb.+ - - (1)- + - A - - + B + + + Ab
a. Uji hipotesis - Kontras A : -(1) + a – b +ab =
- Kontras B : -(1) - a + b + ab =
- Kontras AB : (1) - a - b + ab = 19.99
-
-
-
ac.id
19
BAB III
CONTOH APLIKASI
faktorial
Sebuah mesin industri dipakai untuk botol minuman yang mementingkan pengaruh dari dua tipe botol 32 ons yang dikirim 12 peti botol dari sebuah produksi. Dua jenis tersebut adalah kaca dan plastik. Dua pekerja digunakan untuk menjalankan tugas tertentu yang terdiri dari memindahkan 40 peti dari 50 barisan dalam jenis ukuran dari gerbong tangan
Empat replikasi dari rancangan faktorial diperlihatkan pada tabel di bawah ini. Analisis data dan gambarkan kesimpulannya..
a + b + ab = -19.99 - 17.90 + 23.93 + 19.65 = 5.69
b + ab = 19.99 - 17.90 - 23.93 + 19.65 = - 2.19
Sebuah mesin industri dipakai untuk botol minuman yang mementingkan pengaruh dari dua tipe botol 32 ons yang dikirim 12 peti botol dari sebuah produksi. Dua jenis botol tersebut adalah kaca dan plastik. Dua pekerja digunakan untuk menjalankan tugas tertentu yang terdiri dari memindahkan 40 peti dari 50 barisan dalam jenis ukuran dari gerbong tangan
ditampilkan, dan kan kesimpulannya..
Total 19.99 17.90 23.93 19.65
81.47
6.37
17.90 + 23.93 + 19.65 = 5.69
2.19
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
-
-
Tabel anava
Sv A (tipe botol) B (pekerja) AB (interaksi) Sesatan Type equation here.Total
# Uji hipotesis efek interaksi tipe botol dan pekerja dalam
a. 01 : tidak terdapat efek interaksi tipe botol dan pekerja dalam industri.
0�: terdapat efek interaksi tipa botol dan pekerja dalam industri.
b. 3 � 0.05
c. Daerah kritis : 01 ditolak jika
d. Statistik uji :Dari tabel anava diperoleh F
e. Kesimpulan
Karena F= 2.411 < 6�1.17
interaksi tipe botol dan pekerja dalam
# Uji hipotesis efek interaksi tipe botol dalam
a. 01 : tidak terdapat efek tipe botol
0� : terdapat efek tipe botol dalam pengembangan industri
b. 3 � 0.05
c. Daerah kritis : 01 ditolak jika
d. Statistik uji : Dari tabel anava diperoleh F =
e. Kesimpulan
Karena F= 20.40 > 6�1.17
dalam pengembangan industri.
ac.id
20
Db JK RK 1 2.5361 2.53611 2.0235 2.02351 0.2988 0.298812 1.4910 0.1243
Total 15 6.3504
Uji hipotesis efek interaksi tipe botol dan pekerja dalam industri #
efek interaksi tipe botol dan pekerja dalam industri.
terdapat efek interaksi tipa botol dan pekerja dalam industri.