SUPERFICIES EN MATLAB COMO RECURSO DIDÁCTICO DE COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS DEL CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES Juan Carlos Molina García 1 RESUMEN ____________________________________________________________________________ ___________ La didáctica como el vehículo que permite consolidar los procesos de enseñanza y aprendizaje, es amplia al momento de considerar los recursos que facilitan la apropiación del conocimiento como evidencia de un aprendizaje significativo. Las ayudas visuales a la hora de favorecer las habilidades cognitivas en la comprensión de las relaciones matemáticas en el espacio, son de gran utilidad, ya que permiten de una manera práctica la activación de esquemas a partir de conocimientos previos y de la experiencia de interactuar en un mundo tridimensional. En esta perspectiva, el presente artículo muestra algunos procedimientos que permiten a los lectores hacer una aproximación comprensiva a distintos conceptos del cálculo de varias variables utilizando para esto algunas de las instrucciones básicas del Matlab. PALABRAS CLAVE: Recurso didáctico, entorno computacional, superficies, funciones de varias variables, curvas de nivel, gradiente. ABSTRACT ____________________________________________________________________________ ___________ 1 Docente TC Facultad de Ciencias, INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO. Matemático, Candidato a Magister en Educación. E-mail: [email protected]
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SUPERFICIES EN MATLAB COMO RECURSO DIDÁCTICO DE COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS DEL CÁLCULO DE VARIAS
La maya de graficado sobre el plano XY corresponde a los intersectos en la siguiente maya como se aprecia en la la figura. La maya de graficado en el plano Ver figura 1(a), y en el espacio, Ver figura 1(b)
-3 -2 -1 0 1 2 3-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Eje X
Eje
Y
Maya de Graficado sobre el plano XY
-3 -2 -1 0 1 2 3
-2-1
01
2-0.5
0
0.5
Maya de Graficado sobre el plano XY
Eje XEje Y
(a) (b)Figura 1.
Con el comando mesh obtenemos una aproximación al plano . Ver figura 2
>>mesh(X,Y,Z)
-3-2
-10
12
3
-2
-1
0
1
2-4
-2
0
2
4
6
Figura 2. Plano en el espacio
3 FUNCIONES DE DOS VARIABLES COMO SUPERFICIES
Una función de dos variables se define a través de una ecuación de la forma , de tal manera que, a
cada posible le corresponda un único valor de . De esta manera, para una función definida por
la ecuación , la gráfica de se define como
De la definición se puede observar que la grafica de corresponde al conjunto de puntos en el espacio
tales que con un valor del dominio de . Esta gráfica se denomina superficie.
Para la grafica de la función . Cálculos sencillos muestran por ejemplo que y
que . Con esto se puede decir que las triplas respectivamente pertenecen a la
gráfica de .
De la relación se puede establecer que el dominio de la función es , esto es, para cada
pareja existe el valor que satisface la ecuación. Con los procedimientos y comandos ya planteados se
puede obtener una aproximación a la gráfica de la función Ver Figura 3(a):
Una mejor aproximación de la gráfica se logra al refinar la red de puntos sobre el plano XY. Igualmente, al nombrar los ejes y especificar el gráfico obtenido. Ver Figura 3(b)
>>x=-3:0.1:3;>>y=-3:0.1:3;>>[X,Y]=meshgrid(x,y);>>Z=1./(9+X.^2+Y.^2);>>mesh(X,Y,Z)>>xlabel('Eje X')>>ylabel('Eje Y')>>zlabel('Eje Z')>>title('Grafica de la superficie Z=1/(9+X^2+Y^2)').
Matlab nos muestra la gráfica al unir con segmentos en el espacio los puntos evaluados en la función y obtenidos a partir de la función meshgrid De esta manera, la superficie aparece como una maya sobre la región del
plano XY
-4-2
02
4
-4
-2
0
2
40.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
-4-2
02
4
-4
-2
0
2
40.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
Eje X
Grafica de la superficie Z=1/(9+X2+Y2)
Eje Y
Eje
Z
(a) (b)Figura 3. Superficies en el espacio
El cilindro corresponde igualmente a una superficie en el espacio que se obtiene al recorrer la
parábola con una recta paralela al eje X. Ver la figura 4
>>x=-4:4:4;>>y=-4:0.2:4;>>[X,Y]=meshgrid(x,y);>>Z=9-Y.^2;>>mesh(X,Y,Z)>>xlabel('Eje X')>>ylabel('Eje Y')>>zlabel('Eje Z')>>title('Grafica de la superficie Z = 9-Y^2');
-4-2
02
4
-4
-2
0
2
4-10
-5
0
5
10
Eje X
Grafica del cilindro Z = 9-Y2
Eje Y
Eje
Z
Figura 4. Cilindro parabólico
3.1 CURVAS DE NIVEL DE UNA SUPERFICIE
Dada la superficie , se llama curva o contorno de nivel a los valores para los cuales
corresponde a una constante, esto es, . De esta manera, la curva de nivel se interpreta como la
proyección sobre el plano XY de la curva intersección de la superficie generada por con el plano .
Consideremos la función superficie . Se debe notar que la función está definida para cualquier
valor lo que significa que su dominio es . Igualmente, de la relación
Se puede inferir que la superficie está sobre el plano ya que para cada
al tomar se obtiene la siguiente curva intersección
Representa una circunferencia de centro en el origen y radio uno. De esta manera, se obtiene la curva de nivel
asociada a la intersección de la superfice con el plano . Se debe notar además que, para la curva de
nivel corresponde a un solo punto dado por
De esta manera, los siguientes conjuntos representan algunas curvas de nivel de la función dada para valores
MATLAB simplifica el proceso de construir curvas de nivel a través del comando contour. Para esto tengamos en cuenta las siguientes instrucciones ver figura 5(a).
>>r=-6:0.3:6; >>[X,Y]=meshgrid(r,r);>>Z=sqrt(X.^2+Y.^2)+4;>>cs=contour(X,Y,Z);>>clabel(cs)>>grid on
Si se desea de manera particular conocer algunas curvas de nivel específicas, se definen tales valores de sobre
un vector. Así que para obtener las curvas de nivel de la superficie como intersecciones con los planos con
, se detallan los siguientes comandos. Ver figura 5(b)
(a) (b)Figura 5. Curvas de nivel sobre el plano XY.
Igualmente si se desea obtener un número de curvas de nivel , en el procedimiento anterior se escribe en vez
de y se da el comando . contour(X,Y,Z,n).
Al levantar a una altura las curvas sobre plano XY, las distintas curvas de nivel aproximan la grafica de la
superficie a través de curvas intersección con planos paralelos al plano XY. Esto se logra con la función
contour3. Para esto se escribe el siguiente conjunto de instrucciones. Ver la siguiente secuencia de figuras logradas mediante el editor de gráficos de Matlab. Ver figura 6
Figura 6.Curvas de nivel como intersecciones con planos paralelos al plano XY
De esta manera, la superficie lograda con los procedimientos de graficado anteriores para
se obtiene del siguiente conjunto de instrucciones. Ver figura 7(a)
>>r=-6:0.3:6;>>[X,Y]=meshgrid(r,r);>>Z=sqrt(X.^2+Y.^2)+4;>>mesh(X,Y,Z)>>xlabel('Eje X')>>ylabel('Eje Y')>>zlabel('Eje Z')>>title('Grafica de la superficie Z=sqrt(X.^2+Y.^2)+4')
Si anexamos la instrucción whitebg, se puede cambiar el fondo de graficación a color negro, Ver figura 7(b)
-10-5
05
10
-10
-5
0
5
104
6
8
10
12
14
Eje X
Grafica de la superficie Z=sqrt(X.2+Y.2)+4
Eje Y
Eje
Z
-10-5
05
10
-10
-5
0
5
104
6
8
10
12
14
Eje X
Grafica de la superficie Z=sqrt(X.2+Y.2)+4
Eje Y
Eje
Z
(a) (b)Figura 7. Superficie cónica en el espacio
3.2 CURVAS DE NIVEL Y EL GRADIENTE
3.2.1 EL GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES
Sea la función con . El vector gradiente de se denota y se define por
De esta manera, el gradiente corresponde al operador
Donde corresponden a las derivadas parciales de respecto a y a
respectivamente.
Geométricamente se tiene que el vector gradiente corresponde al vector que indica la dirección en la
cual crece con mayor rapidez en relación al punto , de acuerdo a esto, el vector indica la
dirección de mayor decrecimiento de la función en el punto. De esta manera el vector gradiente
corresponde a un vector del plano XY perpendicular a la curva de nivel con .
El gradiente es una función que, a cada punto de le asocia un vector
Consideremos la superficie La idea es trazar el vector gradiente sobre la curva de nivel que
pasa por el punto , esto es, se quiere graficar el vector sobre la curva
La curva de nivel de la función está dada por
El vector gradiente esta dado por
De esta manera
Para obtener la visualización grafica del procedimiento, se aplican los siguientes comandos. Ver figura 8
>>y='sin(x)+1';>>ezplot(y)>>hold on>>quiver(pi/6,subs(y,pi/6),-sqrt(3),2)>>axis equal>>text(-1.7,3.7,'Vector gradiente perpendicular a la curva ')>>grid
-6 -4 -2 0 2 4 6
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x
sin(x)+1
Vector gradiente perpendicular a la curva
Figura 8. Vector gradiente perpendicular a una curva de nivel
3.2.2 CAMPO VECTORIAL GRADIENTE
De manera general un campo vectorial corresponde a una función .
De esta manera, para se obtienen campos vectoriales asociados al plano y al espacio
respectivamente.
De manera particular, un campo vectorial en el plano corresponde a una función de valores vectoriales que asocia
a cada punto un vector . Para visualizar un campo vectorial se
dibujan en el plano o en el espacio un conjunto de vectores con punto inicial en .
En matemáticas con frecuencia se estudian los denominados campos gradientes que se caracterizan por ser
campos vectoriales tales que
Esto es, campos definidos como
Donde
De esta manera, la función se denomina, función potencial de .
Consideremos por ejemplo la función como una función potencial de un campo vctorial
gradiente . De esta manera se tiene:
Al considerar la forma
Se tiene que
Para obtener la gráfica del campo vectorial digitamos los siguientes comandos. Ver figura 9
Figura 10. Campo vectorial gradiente perpendicular a las curvas de nivel
3.3 PLANO TANGENTE Y DIFERENCIABILIDAD
Dada una superficie en , , el plano tangente a la superficie en se define como el
plano que pasa por y tiene como vector normal el vector , siempre que .
Si es el vector posición del punto fijo del plano y es el vector posición de un punto
cualquiera del plano, la ecuación vectorial del plano viene dada por
Si la superficie corresponde a , se considera la función
Con lo cual, la ecuación del plano tangente está dado por
De esta manera se puede establecer que la función es diferenciable en sólo en el caso en que
la superficie admita un plano tangente no vertical en el punto
En la práctica, una forma de comprobar que una función es diferenciable en un punto basta
con comprobar que las derivadas parciales existen y son continuas sobre un conjunto abierto
que contiene el punto , lo que implica además, que la función debe ser continua en el punto.
Consideremos por ejemplo la función . Se podría afirmar que es diferenciable en el
punto ya que son continuas y existen para cada . Por tanto,
la superficie admite un plano tangente en el punto dado por:
En Matlab podemos visualizar la situación con los siguientes comandos. Ver figura 11
>>[X,Y]=meshgrid(-5:0.6:5);>>Z=5-4*X.^2-Y.^2;>>surf(X,Y,Z,ones(size(Z)))>>mp=[7/10 7/10 7/10;0 0 1]>>colormap(mp)>>hold on>>ZP=-8*X-4*Y+13;>>mesh(X,Y,ZP,2*ones(size(ZP)))>>xlabel('Eje X')>>ylabel('Eje Y')>>zlabel('Eje Z')>>title('Plano tangente a una superficie')
-5
0
5
-5
0
5-150
-100
-50
0
50
100
Eje X
Plano tangente a una superficie
Eje Y
Eje
Z
Figura 11. Plano tangente a una superficie
3.4 EXTREMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
3.4.1 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARCIAL
Si corresponde a una función continua sobre una región rectangular cerrada R, de lados paralelos a
los ejes coordenados, entonces, tiene un máximo absoluto y un mínimo absoluto sobre dicha región. Esto es,
existe tales que
Consideremos una función continua con primeras derivadas parciales continuas. Se sabe que los
puntos críticos de la función corresponden a los valores para los cuales y
, de tal manera que los puntos críticos corresponden a posibles puntos en los que la función tiene un
extremo.
A partir de los puntos críticos, el criterio de la segunda derivada proporciona elementos para establecer si dicho
punto genera un extremo de la función. Sea un punto crítico de la función y supongamos que las siguientes
derivadas sean continuas y
- CLASIFICACIÓN
Negativo Punto sillaPositivo Positivo Punto de mínimo localPositivo Negativo Punto de máximo localCero El criterio no es concluyente
Consideremos la función . Para esta función
Por tanto los puntos críticos aparecen al resolver el sistema esto es
Para resolver el sistema con MATLAB escribimos
>>[x,y]=solve('3*x^2-6*x-9','3*y^2-6*y','x,y')
x = 3 -1 3 -1, y= 0 0 2 2
Lo que significa que los puntos críticos están dados por
Para aplicar el criterio de la segunda derivada tengamos en cuenta también que:
Con lo cual se deduce la siguiente tabla
- CLASIFICACIÓN
-27 12 Punto silla-31 12 Punto de mínimo local5 -12 Punto de máximo local1 -12 Punto de silla
Con las funciones ya trabajadas podemos establecer la gráfica de la función así. Ver figura 12
>>x=-4:0.4:4;>>y=-4:0.4:4;>>[X,Y]=meshgrid(x,y);>>Z=X.^3+Y.^3-3*X.^2-3*Y.^2-9*X;>>mesh(X,Y,Z)>>xlabel('Eje X')>>ylabel('Eje Y')>>zlabel('Eje Z')>>title('Grafica de la superficie Z=X^3+Y^3-3X^2-3Y^2-9X')
-4-2
02
4
-4
-2
0
2
4-200
-150
-100
-50
0
50
Eje X
Grafica de la superficie Z=X3+Y3-3X2-3Y2-9X
Eje Y
Eje
Z
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-50
5-200
-150
-100
-50
0
50
Eje X
Grafica de la superficie Z=X3+Y3-3X2-3Y2-9X
Eje Y
Eje
Z
Figura 12. Superficies en el espacio
Si se examina la imagen se puede apreciar que la función tiene un mínimo local en y un máximo local en
. Igualmente, un conjunto de curvas de nivel pueden arrojar información de la gráfica sobre sus valores
extremos ver figura 13(a)
>>contour(X,Y,Z)
Al considerar mas curvas de nivel se puede determinar con mayor certeza la naturaleza de los extremos de la función. Veamos por ejemplo con 20 curvas de nivel ver figura 13(b)
>>contour(X,Y,Z,20)
Eje X
Eje
Y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Eje X
Eje
Y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
(a) (b)Figura 13. Curvas de nivel
Una apreciación más clara de los puntos críticos como puntos de extremos locales los obtenemos de experimentar con algunas curvas de nivel en el rango de los valores máximo y mínimo locales de la función. Veamos por ejemplo el comando ( Ver figura 14(a) )
>>contour(X,Y,Z,-31:5)
Para indicar los valores de las curvas de nivel ( Ver figura 14(b) )
>>cs=contour(X,Y,Z,-35:2:6);>>clabel(cs)
Eje X
Eje
Y
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-31
-29
-27
-25
-23
-21
-19
-17-13
-11
-9
-7-3
1
3
3
55
Eje X
Eje
Y
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
(a) (b)Figura 14 Aproximación a valores extremos por curvas de nivel
De la grafica se puede observar que, desplazamientos desde el punto hacia el sur, implican un
crecimiento de las curvas de nivel de la superficie lo que indica que se estaría ascendiendo hacia el punto de
máximo. Igualmente, desplazamientos desde el punto hacia el norte, implican un decrecimiento de las
curvas de nivel de la superficie lo que indica que se estaría descendiendo hacia el punto de mínimo
3.4.2 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
EXTREMO DE UNA FUNCIÓN SUJETA A UNA RESTRICCIÓN
Consideremos por ejemplo un valor máximo de una función sujeto a una restricción . De
manera intuitiva se podría afirmar que este valor máximo ocurre en la curva de nivel más alta que
sea también tangente a la grafica de la función .
De esta manera, si es un punto de máximo se tiene que los vectores , y son perpendiculares en el
punto a las curvas y , respectivamente. Por tanto, si se tiene que ,
y son paralelos. De esta forma se cumple la relación
De acuerdo a lo indicado, para evaluar los extremos de sujeta a la restricción se debe
resolver el sistema
Así que, los puntos donde tiene un extremo se encuentran en las soluciones del sistema.
Al valor
Por ejemplo, para determinar los extremos de sujetos a se define, a partir de la
restricción, la función . de esta manera, se trata de hallar un valor máximo sobre la curva
intersección de la superficie con el cilindro
Veamos en MATALAB una secuencia de comandos que nos permiten tener una idea gráfica de la situación. Ver figura 15
>>[X,Y]=meshgrid(-6:6);>>Z=9-X.^2-Y.^2;>>surf(X,Y,Z,ones(size(Z)))>>mp=[7/10 7/10 7/10;0 0 1];>>colormap(mp);>>hold on>>[YY,ZZ]=meshgrid(-8:8);>>XX=2-YY;>>mesh(XX,YY,ZZ)>>xlabel('Eje X')>>ylabel('Eje Y')>>zlabel('Eje Z')>>title('Plano prependicular a una superficie')
-10
-5
0
5
10
-10-5
05
10
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Eje X
Plano prependicular a una superficie
Eje Y
Eje
Z
Figura 15. Intersección de superficie con un plano vertical
Para obtener el valor máximo tengamos en cuenta que
De acá se obtiene que lo que significa, que el máximo con restricción se da en el punto
y corresponde al valor esto es, la curva de nivel que pasa por , correspondiente a
es tal que, es tangente a la relación restricción en el punto
Veamos una visualización gráfica de la situación con los siguientes comandos. Ver figura 16
>>r=-2*pi:pi/80:2*pi;>>[X,Y]=meshgrid(r);>>Z=9-X.^2-Y.^2;>>V=[-3 -1 1 3 5 7 9 11];>>cs=contour(X,Y,Z,V);>>clabel(cs)>>hold on>>YR=sym('-x+2');>>ezplot(YR)>>grid on>>axis equal>>xlabel('EJE X');>>ylabel('EJE Y');>>title('Restricción sobre curvas de Nivel')
-3
-1
1
3
5
7
9
EJE X
Restricción sobre curvas de Nivel
EJE
Y
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-4
-2
0
2
4
6
8
Figura 16.Extremo de superficie sobre una restricción proyectada sobre el plano XY
7 CONCLUSIONES
Las herramientas informáticas son indispensables, no solo a la hora de ejecutar extensas operaciones
matemáticas, sino también en el análisis de las variaciones y aplicaciones de los distintos conceptos y
procedimientos matemáticos. Un software para trabajar en matemáticas como el Matlab, permite disponer de un
recurso didáctico que puede hacer parte del conjunto de actividades que apoyan la elaboración de un concepto en
el proceso de búsqueda de contextos de aplicación y verificación. De esta manera, mediante la activación de
esquemas a partir de la visualización de resultados de procedimientos conceptuales, se confrontan las estructuras
cognitivas activando el conocimiento previo, por lo que los nuevos conceptos y teorías resultan más fáciles de
aprender ya que el entorno computacional permite realizar variaciones en los datos y procedimientos lo que
implica finalmente una gran variedad en los resultados para contrastar.
8 BIBLIOGRAFÍA:
Alvarez R. Yolanda y DIAZ L. Gloria M. Funciones reales con Matlab. Serie Textos Académicos Instituto Tecnológico Metropolitano. 2007.
Beltran, Jesús. Estrategias de aprendizaje. En Revista de Educación. Número 332 (2003)
Arboleda Q. Dairon. ALVAREZ J. Rafael. Matlab Aplicaciones a las matemáticas básicas. Sello Editorial Universidad de Medellín. 2006.
Dennis G Zill. Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica. 2002
James Stewart.Cálculo Conceptos y Contextos. International Thompson editors. 2003
Matlab Desktop tools and development environment, Version 7, The mathworks, Inc, 2004
Matlab. Edición del estudiante, Guía de Usuario. The Math-Works, inc., Prentice Hall
Pratap Rudra. Getting Started With Matlab 7. New York- Oxford University Press. 2006.
Using Matlab Graphics, Version 7, The mathworks, Inc, 2004