Dialnet ConstruccionesGeometricasConReglaYCompas 3045267 1

8/18/2019 Dialnet ConstruccionesGeometricasConReglaYCompas 3045267 1

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NAHUEL AYALA CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPS

I

Dirección General de Cultura y Educación

De la Provincia de Buenos Aires.

Instituto Superior Fundación Suzuki.

DIPREGEP Nº 3882.

Construcciones geométricas conConstrucciones geométricas conConstrucciones geométricas conConstrucciones geométricas con

regla y compás.regla y compás.regla y compás.regla y compás.

“Pasos”.“Pasos”.“Pasos”.“Pasos”.

Tesina para optar al título de profesor de matemática.

Nahuel Ayala.

San Miguel.

Buenos Aires.

20 diciembre de 2008.


2/74


II

P abee ed ea aa ac, ae a e

e , e ea ee aadecd.

Gaca Mca U ae e a de a

aeca.

Gaca Saa Sad dae bead a bdad

de cea.

Gaca Ca Gade eeae a eea.

Gaca Cad Oe e e ee a e.

Gaca ade abee bdad a e eaac

aa e .


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III

,

. ,

,

!... , , ,

.

; .


4/74


IV

ACAAC D

La eecc de e baa e ca acadade de ee aba:

E a dcc aa e ea, a eeac de aeceeae de a ee ae. N bca abaca d e ea,

e eee aa cce.

E ced e deaa , de a aea e ea ec e

e daeaee, de eede. A, a a ecac de

ea, c a ccc de ee ec a a de a

a e eea ed de edeead

ec. Paa abaa c ee ea a e aeae de a a aea e e

a ceeca de aca; e dec e

a aa. C aa ea a ccc

ede ae e a de a ea e c.

Y , e bca eea e ea c a e eaea

aa ea de a a , dead a e de e e ba

a ee ca. P e ca, e be ea e e

e a de ea ce e e ade a eeca a ee.

Se bca a a aa

aeca e aae .


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V

Ee aba aa a a eaac ecae de a ccce

eaada c ea c de de a edcac de e ecda.

Paa e, de dee eca cce acadade daeae de

ee ea. Y ab, e aaa ae e e dea ea de a, a

da bdade e eea a a a de e eead ec a a de

a a.

A e, aa da a dea de d e e ede c c a ea e c,

e ca a ee deaad a a a. Y a cada e acaa

c a ee acae ae de a ccce.

P , c e be de ca e e ea e ea c a de

ccce bca, e aea a decc de dad e e a de a

edcac ecdaa. A e e c, a a de a ea e c, e ede

eeca ea de aea eca.

ABAC.

T e a eae ad eacee e cc eace a ead a a cae e ecda edca.

F , deed ad ea e daea cce ad a ee. Ad , aae e e ea deee e , ad edc b a ee a e eac, ad e ea e .

A e ae e, ad e a dea ee a ca cc e e ad e a cae, cde eea deeed eae a e. Ad eac e acca e aa ad a cc ae.

Fa, ad c a e ee baccc, cae a dec e a ea e ecda

edca. Tee ee e, a e e ad e a cae, ca d e e ea ae.

Geea.

Db.

Ccce.


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VI

DCC

Ee ee ea e cba eecaee cae eee: a

aeca e ae.Dede ee e ed acdade aa a aeca. Mea

cae adaba e ee eecc e daba e dcee, e

aba abe ead daee. Fe a e eec a dba.

Paa ace a c e e e e baba, a a cadcada,

, a ea, c (d e aba aa aeca) cec

a cea. A c e ea, e c e e aba, e

eeccad. Aed a aeca da a dade e e bdabae e e a de cc, ecea (e

e ce de de). Gaca a e, e a caacdad aa aa

ee aa ceaa. S abe, a a de ee dee, e

eca.

A decb c a aeca ede ae aa cea ae, c e

ae ede a a a aeca. Fe ee ace ace a d, e

dea, a ace, a bdade, a cdad, e ecb

e edade a de cada e c de .

H e e be cdea a ee de , ed aa

c ea aee deedee ee . L d e ea aad

adad ceeca aeca c bead aaa aca. Y e e

a e de a eea.

E e e e caee ea c de. Y e e ca

c dea addaca, e deed de e e eeaa,

e ab e e c ca c ea bdad. Se eda e e

ca, a ede.

Pe e de ad; ed ada a e ec e dad

e a. Y ce e ee aba ede e aa a ee be.


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VII

DAAC

Paa eea a cede e ed de ee aba, e debe

aa e e ce a ecea e a da de a. N ee ae, a de ecea a a aa a de a ca e a ca

e ea c e be de eeaa, a ecea debe aa a a e

dea ea de a. Se debe eaa aa deeee

adecadaee e a cedad aa aeca da a dade e e

e eee.

Se a e eaac a e e de eaa; a a caacdad a e e

ea ea, cece deaae c dd, c ea. Y ee a aa ce e bdae a a cadad dedad de

eeeca de da dae eaa de ac; ea, dae a

ecae.

S eba, e e ca ece ad. E a c e e decde

eca a aec ced de a eeaa a e a de

cdea ecda a aa e de a. Y e e

adce decaee e e e e dd ad

cce a dec aaa de ae . P e

decce de e e e ad dade. E e e

ee caba.

E dea de a ea ede aaae dede a ce

ca. Ha c de a aceca de e eee dd aa

ce c a. Pe eea e ecce cc aec bc

e debe e ad aa ea e adad de cdce ee a de.

Tae aec : c. L eac, cc, c ec.

Aa be, a edda e e deaa a aded abdade a

e cada de e ca; e e e e dea caacdad. De ee

d e de cc caacdade daeae: a caacdad ca e

e eee a ce aac cea ecea aa ea c

b, eeeace e dea, a caacdad eaca e ca deaca c eb ac e ; a caacdad cca e e


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VIII

aea e e d de ec a acce de ae, aac

deee; a caacdad ca e e ee c cc de ae

ecabe e acca de aced a e; Y a caacdad eca e

ace a aeace aca e da dee edae aaecac de a beea. La ea e e aa de ea caacdade

e eda eaa adecadaee ed e dade e

de, ea e edad de cdce, e e ad. N ea

caacad.

Cced e, aa a de da e e ea de ee aba:

ccce c ea c. Y ae a a de e ea.

P eea?

La eea e deaca eaca ced eaee cceae

de a ceca, c aec e de a da cdaa. Dede ea

aca, aa cce e d e dea, baa e a a de

be, e bcac, e e e c e eaca ee .

Pecb e d e eeca a cdea c a c.

Ta c e eea e a a a, e e ac a. Y ea

deaac a cd a ac aca:

. ,

, ,

, : ,

, (Ce Ce, 1998).

S eba, e ede dcae.

E de ada e ecce caaceca eaa, de ee d

e aca a ce de c aecaa de c debe e eeada a

a. Debe cdea e


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IX

,

, .

: , .

, ,

.

,

, ,

(Ce Ce, 1998).C e, bca dea a ecedad de ca eaa

ee de a eea, e a cdea a ae eaea aa

deaa a caacdad ca e a. Y ee aba ecaee

eea de e ee, eeded e e e e a aea.

P db?

E ee ca e ecea eaa e

(, , ), ;

(, , ,

, .).

(dcca eccdc Ne, 1995). A e e c db ee

deaa a caacdad cca, ca aeca aa de dea e aeca

daee e a aa de a a a a de e ec. Pe e

edade e e e bca a ea cee eceaa. Y e de

e e e ca ece e dea aa, e e da aca. N e

cede e, e abaa dede ea, de a e d a.

S deee Mae, adad a, e e edcada e

ca e a e cca, ca e a a e e, ca e aee.


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X

Y e ede dcae ecaee. S baa ca acdade e

dde ea daeae a aaba ec dad, e

cba a aecac de aea caa; ca ce c ee ea.

Ae e ec deaca e a aaba a, ea acaada de aeaac, ee ed a. A, e deabe e e

dcee ae ea cadade a acdade; e deee a

aea de ace, e de e ee. E a ae de dcee

caee a e acaa e edade aedae.

Pe ab a aa db, e e aea de

ee aec c e e e abaad e aceca a a ea de

cce: a aca. A, de aa e

.

,

( , )

,

(S, 1998).

Ea cac deca ee a ae a eca e eee e a

eeca de e aba, dad e aa a e (a adade

de ea) a eea acaaba a caea de ae; ea e ae de a ee.

S ceca ac ca deee de ece, cadad, de,

ea aa; cae ce e cce de beea. Y de e e ae

e ced de ee aba

E a e e ea ab cea a deaa a caacdad eca e e

a, a ca ee e a e da a a (ae eea e

a deece).

P ccce c ea c?

Y ea a ee de ee aba, c a debe e aaad a e dede

e eeca.

E a ea, debe aa a dea ca de ea: a a de aa ec e eede cba a a cadad de cce


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XI

ec caee e ee a d ec e. Aa

baa ecda cce e a e eead aeee

ecae c e aa db e ee e dea de

a caacdade cca eca; cce ec caaae eae ecea aa e cece c; d

e ecad ba a eac. N ee a e e

ae de a ea e c, a de e a cc ( ca da

cdeae edee), ab ada a ea a caacdade ca

eca. S cec ae eee cce cede ae de a

eea, c e e cea aeace dada de beea. Pe

daea e e a e caacdade e abaa a e, a. A,e a e ecea ee a a aea de aa d a a

eaa, cede e de cada ea, e e cca ec e

cce e ee de ea, aeca a ec c e cea,

ee e ca e bea a acaa, ec. S a de c dea

e e de eecc, de a a ccc.

La eda eeca e eee aee a ae e ce

aba c ea c e a a de a aeca. Fe ac

c e de ee ce bea a e da a ee de adea

ea a de ea aa e d cec. Se, de ce aa

e eae e aa bea ae de a aeca e aaec de.

S caaceca ace acae ba e acce a a

ecce cca, e cc aad de e de a ecc ea, a

ca acedee, e d de eac e eced a cc de e,

ec.; eca a de ae.

Y , a e eaca e a a ea c e c

ec de , aeced e a edda eadad. E a e, de

de de e e (c cede e ca ce

edcaa ae), e ede eea e bde de a be, de

adea c cd e aa aa eca; c aa ee de

cd a a a a aee aad e ee e (e ce) e ce aa cceeca. E ab e e ecad


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XII

e a ccce c ea c e a e e cea ee aba

eee aa daca ( a e ee edda), ca e

ec c a ea c, e dc e cea c e.

Ade, e ab ee e a ccce e eace ed deaa c bc, eed ca c de

eeac. A, a ecea c ec (e ee) ab

ede aeca ee ea aceca a ee e aa c e

ee a a cada. Y e ede e ceead eee c

a cbac e a a de ae c edade e.

De ee d, aee, e aba a a ae e ea aeaa ee aba. Ta aca e e dea de dd,

c e e dea de a aeca, a ab ea a acace de

d, cdea e a ccce c ea c debe aa

a de de a eeaa.


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XIII

La eeca de aa ccce c aedae

e ae de cadad a a ac de

a.

L beec de ae de a ea e c aa a

ec dad.

La eeca de de ca aa eaa a a

ccc.

AC

La ee cedad de a deace.

La deaac edaca de ea.

La a cadad de ccce aa eaada

eeaee.


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XIV

MARCO HISTÓRICO DE LASMARCO HISTÓRICO DE LASMARCO HISTÓRICO DE LASMARCO HISTÓRICO DE LAS

CONSTRUCCIONES CON REGLA YCONSTRUCCIONES CON REGLA YCONSTRUCCIONES CON REGLA YCONSTRUCCIONES CON REGLA Y

COMPÁS.COMPÁS.COMPÁS.COMPÁS.


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XV

A AC .

Paa a e, a aeca ea ae eaba cadac a a e c bea cc de a da daa.

E aae e e de a dd e ca ca deecae be

eccbe: a ea de e, a eea ca (eeda a dea

de a a aa caca e ea e e de a a ce

ec ccd), a ea de aae, a eea ca

ceada e a ccce eca c ea c.

De d e, e e ca e e c e a ead e eca ce ae.

Ee de eea ea, e a cdeac de Pa (Geca, 427347

a.C.), e ae de a ee. S ccec de d de a dea de d

de ed e e eeada decaee e a ccce. E e d

e ecb d da, e d ea, e eca de a ea e c

e a edcd a a e aac e da acaa a e

ad de ec. Pe e e d dea, e e e aea e ea

ee, a ccce eeca aea de aea a a a

beea.

La a de e e ecea e e a eca a cceeca ea a

c a ca eeca bca a a de a cae da a de

ccce ea be. Y eeca e e d c e aba a

a de a ea e c, dead e d.

C e e aeaba a eea e, deada, aca

ecaee bea. Y e aee e, c e be de aeea a,

aeabe cecaa a dea, e a eeac de ecce

abaa a e e da a aa cea a ccce. Ade, Pa

cdeaba e cae e aa ee deede

deaad de d c, dead eead a d de dea eec.

E a e Pa (Geca, V) dcaba e a ccc ede


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XVI

eaae c ea c, cae a c ad ed d

ea aaca.

BA .

L bea a e e e aa ec ed

de a ea e c a cadaa de cc eccac de a

cceeca, a dcac de cb, a ecc de ; a e a

ece e aea a ccc de e ea (e e de

eae be de c c ea c).E eadad, e bea eeaace de bea a

ee e. Pe e cae ede e becad de a

aea eca, ea aa aeae a ecc. S a daa de

cadad e a a ad de cadad ca ea e e dbe e a de e,

e ea a a c d cb. Y e ca de a cadaa ecaa

de de c de bea abae aa e e e

e deba c a a de a a dada de ea a a a a a

dada. P , e aad de e de ee ad e deede

decaee de a bdad ea de c , cadad,

e e eae.

La a caaceca aca de e bea e a ece de

ecad, e ca da eeece de aea eeca a cae b de

eeaa de e a ecda, e eba a ad a a

adad dae de 2000 a. A, e bea ede e cedd

a ea aea a a aeca, e deac e a acace de

c. Y e a ca, ce, ee e dea de aa

eea de a aeca.

Se a ecad ea ce aada c ea c,

ce eaca ad e. Y ae e de

ceeee e e bea ede eee c eda


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XVII

e, daa e e da e aaeced aba ee e

aea abe ecad a edadea c.

CADAA D CC CCAC D A CCCA.

E e bea ca eeca cbabe e ea e e e. E

ec de Pac (Geca, 50100), e dca e Aaa de Caee

(Geca, 430 a.C.) e ecae a c ea eaba e

( aa e e S ea a dedad a aeca eda a

e a La ea e a ea deabada e ecba eeaba a deS). E bea ca e c cadad ca ea ea a a a de

cc ccd.

E a d ee de ca aea, e ee ad

ed, c ee:

Cada de Ha (425 a.C.).

Ea de Aede (287212 a.C.).

Cada de Tcae (16511708).

Ccc eca de D. Sec (1836) e a e c π =

0.8862268 e, a eceee aac c e decae

ee.

Y ab b aa aace e eaa ed de bae aa

e d de eac de Ed de Cd (Geca, 408355 a.C.), cdead

e edece de cc de e aca:

Icc de de e de ad cada e a ae

de A (Geca, V a.C.).

Cccc de de B (Geca, 450 a.C.)

Rec e 1882, Feda Ldea (Aeaa, 18521939) deaa e ea

be c e a eac de π c ea c.

DCAC D CB.


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XVIII

Ha d ee de e de ee bea, e ca ce e

c cb c e ea eaee a dbe de e de cb

ca. La ea e eee a e M, e de Cea, aba edad dce c e aa de a ba (de a cbca) eaada e a a

Gac, de e e dcaa e e de a a.

La a e e de a ba de Eaee (Geca, 284192 a.C.) ace

ec a a ee e aaba a d Aea. Le aba caad a ee a

ca de a bac aeee, ced a a Pece (Geca, 495429

a.C.). P e, e e a a deeac a c dedcad a A e a cdad

de D (de a e ab e cca c e bea de D). Eee ce e aa deee a ee deba deee e aa cbc bcad e

ee e. A aece, aeee dca a edda de ad de

aa a, ca d e e e de e ceeaa c

ece d; a a ee c. Ece e a cae a Pa

e ca, eea e e e c c edd e eadad ea

aa ade, e bcaba caa a e deeca

c eec a a aeca aa de eec aca a eea.

Ee bea e aad ae eae de a a, c

ee: Aa de Tae, Hcae de Q, Eaee de Cee (Geca,

275194 a.C.), Meec (Geca, IV a.C.) Jae Wee (Aeaa,

14621522); e ead eead. A , dca

a ea aa aae.

E e ce Meec Wee, ee a dca e

cb a c e ee bcad ed de a eecc de a

aba c a ba. Wee, e ba Eee de a cca de

1522, c ee a ecace a ccc ea ca a a de

c, de c bee a aba c ea c, de aea

a a a eaada e e a aedad.

E 1837, e Fac Pee Wae baa deaee e e be

dca e cb c ea c.


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XIX

CC D .

P a a ca e a e aaece d bea, cc

Aea ece bea cc: dad aba, c c ea c a a ec de a. A ab

eca c aa deace e e ae de a ac de

e, a c Aede e c a ea e ea

be e c a ea acada.

E Pee Wae daa a ea deac a e

bdad e 1837.

CA D CD.

E aec Ecde (Geca, IVIII a.C.) a e aba de d

aec e aba ecedd e a dad be ecada,

ad a ca de Aee cead de dedc e a de

2000 a e cde eec e ec a aea de ea de a

adad ab a eeaa de a eea e da a ecea de

d. N ee a Eee, ced e e ea

d e cce aec eee e ca. Ee c de ece

ee dedcad a d aec de a aeca, e e ce e

a ee de deace eaada ecaee c ea c. A,

c de ce ce a de bea ec ad

caee e e. Eead e e e e ce

eea be a ccce bca acae, Ecde ac c

e e cea a eaae de a ece e a ca e e abaad: e c

dea , dede ece, e c ecde.

Ade, a de aec ec, Ecde a a cc:

c ecaee cada a e aaba dee e a a

de deead , edae e ce de becc, eabe c c e dbe de ad.


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XX

CACAC D CCC.

La ea cacac e deb a Pa e ce eed e e de

ca eceaa aa eca a c de cada bea. A, e e b

III de Cecc aeca d:

Pbea a: Pede eee ad ae ca aa,

a cae e ce a a de eca cceeca. S a

ca e e ede ca c ea c.

Pbea d: eee a ca da, deace adee a ecce cca e ede beee a a de

c.

Pbea eae: ca a ca eae c a

cadace, a ccde, a cde a eae. Ea ab

ea aada ca ecca e e eceaba ce eca

eeca aa ca.

La eda cacac aaec e 1637 cad Ree Decae (Faca,

15961650) bc ba aada La eea. A bc caca

bea aa eede e aba e cada de e a abe c

cede aa ee. E ce ad e eee a ad de a ecac

aebaca a a e e ea a e ad e bea de a ccc.

Ade, Decae aa a cacac de Pa dee e c a

eca a cceeca eee de a e aa ccc,

ca debe e cdeada ecca. Pe e caa e

ccc deaba de e abaee ea, e deedea de

e deae. Ae e, cc e e c

ee a ee a a ec aeca de aae e

da a ca ee a a aca a a a de e ada.

P , eabec e a ca eca da aea eede eeae ed de a ecac aebaca (de ad ) e X e


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XXI

Y, c e ace e a ccde a cde, ea e a ecca a

da a de ca, c a ea a cada.

S cacac de bea ec e:

S e ad de a ecac e ee a c e d, accc ede eecae c eca cceeca.

S e ad e e ca, debe eeae cca.

Y e ad e e a ca, e eee ca a ccada

e a cca aa aa a c.

C e, Decae e a e a dcac de cb a ecc de

ca ecace cbca, ca ede eee

caee c ea c. La cadaa de cc ed caca.S eba, e ecea eca e deace de a bdad

de c d bea ea e eadad ceca

CA D D.

E 1525, e a aa eacea acad a a aeca, Abe

De (Aeaa, 14711528) bc ba Icc be a edda c

ea c de a aa d. C e eed eea a

aa, e aec de a ca de d aa aa a

eca.

S aca e ecaba e e ed e ee be ea ca

e ea deccda aa a. P ee, De

be cc e a be cc aa bee a

eccde. Pe e ed d e aac de de a

eceaa eaea aebaca.

Tab c e aad de aa eae c ea c, ee a

e e deac a e aaa a a a c be: a ea de De.

Se aa de a ea ca (a a a bca e ee eeada

ece) baada e ec e a ce de Fbac (Iaa, 11751240). Y ca e aeea e a edda a a ea aca.


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XXII

Ade, De c a ccce eaca, c a de

e ea de Pe (Geca, II), c a ae

aada. E e deb a e eaba aaad c a aeca

a a da ee ead eac aad. A, aaece ea ccce aa

eae de ee ce ad, ae eaca dede e. Pe e aa

deaca e d de ccc de ea de ee ad, e e

e ca ad e aa d ce c (e

debea ae 40 aa e eac) dee e e de 1 18.

CCC C A C C.

A a de a a ee c e aa dea e da

a ccce ecdea da eee de aea eca c de

e deae; a e ba a ace.

E e e ccd eeec a Ab Wa a Bda (I, 940

988), e e eeca a ccce a a de a ea c

d.

Va a de, ea dea e eada Lead da Vc (Iaa,

14521519) aa ea cb eae e a cceeca.

Y a a de e, ac e a c. Se ee aa

ee de aea eca bea e a a eaa edcace;

de de cae e deac a ccc de e ea e

aaeca c ececa e a cace.

A, e aba de Nca Faa Taaa (Iaa, 15061557),

Gea Cada (Iaa, 15011576), Gade Fea (Iaa, 14751546)

Gabaa Beede (Iaa, 15301590). Ae e ecea dec e d

e de ee cc e eea e eca a ae a

cae e c d da a ecde.

Ea ecac e e 1673, cad Gee M bc Ced

Ecd C. E ee aaece aae e de ea ea a baede e da ccc ede eaae de aea eca c c.


23/74


XXIII

L ca ea dead dea a a dda e 1794 e a ba Geea

de c de Le Macea (Iaa, 17501800).

Mad ee aba, e 1822 Jea Vc Pcee (Faca, 17881867)

e e da a ccce ecdea aa da eaae c aea caee, e caba ade c a cceeca ccea

ce. E e dead e 1833 Jacb See (Sa, 17961863),

cdead e ade eea de a ca dea. A, e eea

ccd dede ece c de PceeSee de e e ede

ecd aee de c e a eea ecdea, e e a e

ad aa aa a cceeca caea, e be dea de ad

eea caee a ea.Faee, e e XX e cb e ace aa a ea, e ce

de a cceeca ac de aa aba de a a aa eeca

cae ccc.


24/74


XXIV

MARCOMARCOMARCOMARCO T TT TE EE EÓRICO DE LASÓRICO DE LASÓRICO DE LASÓRICO DE LAS




25/74


XXV

BA D CCC.

U bea de ccc ca a de eee a ccd

(ae e cad de aea e a a d cde a e) aa bee eee eead a ee de ea.

Ea ce a cec (aa ea e e de aced e

eeac) a ecedad ca, ca ee

dca caea de ea ea aeca e aec c de bea.

L daea de ea e d ae e e ede c

(ca e ccc ea de deac), de dea

e ecede a e de e e ede ce.La ea a e eea :

caee debe ae ce eee caaee

ded.

Cada de e ede ae e a a

eaee deeada.

La ccce debe eae e de a.

CCC C A C.

E e aad de eca cceeca (a a a aecada

e) a a de ec de a ea c deae. Ee

ade e eee a e e deaace de a ea cae de

d ea. S cce aec abac (c a a cadada de

e), e c. Reeea a eecc de a

ee debe ae aa cea ccce deae, a cae a

ccee c e aeba. E e d ea, e a a de ae,

aca bdeae ee aa de ce

ac; e e a ee aeace ea de ec beea.

Ee e e ee be e e a a ccce: a dc ee e

a e ad de ec de ce aad a eacdde eae


26/74


XXVI

A A DA.

Pee d a aca aba decce; e eede a cea ecea. Caece de aca e be a c ecdaa de

ed aa daca. Y ee c bde ( ea d bde,

ea aa d eca aaea).

S c e aa ee de eca a a de d

ccd a ee a eee.

C DA CD.

S caaceca ca ecae e e e cea a ae de eaae

de ae, dad e ad ad. Y e de ee ea

a abea edeeada ee a aada daca de

aea deca ( ca e ec c c de). S c

e aa cceeca ac de cceeca c cae c

ce de cae ad.

CCC BCA.

Tda a ccce c ea c e a a a de

cea acace de cc ccce bca. Y ea, a e,

a , ee cceeca e e a aad e

a aee. Ea cc ccce :

Taa a eca e aa d .

Taa a cceeca c ce e ad

deead .

Maca e de eecc de d eca.

Maca e de eecc de a cceeca c a

eca. Maca e de eecc de d cceeca.


27/74


XXVII

CCC D .

U ea de ce c ea c caee

e de ad e a a a eca de e d ( n2 , c ≤ 0),

a e de Fea (ae c a a 122 +m

, c ≤ 0)

e dc de a eca de e d a de Fea

d ee .

A e a e aeae e e cc, c ccd,

e de Fea e e (3 = 1202+ ), e cc (5

= 1212+ ), e decee (17 = 12

22+ ), e dce ccea ee

(257

= 12

32

+ ) e eea cc e ea ee (65537

= 1242 + ).

Ved a , e abe e:

S ea de ad ede ce c ea

c, ab ede ce de , , , ec. S

a e aa a cceeca ccca a (a

cceeca e ae d ce) ace a

edace de ad. A, a a de (3 ad), e

ede bee e (6 ad), ddec (12 ad), ec.

Y ea de ad ede ce c ea

c, ab ede ce c e de

ad ea d de . baa aa ee ee

ce de e . De ee d, a a de ddec (12

ad), e e ce de 4 e 4 e bee (3


28/74


XXVIII

ad), de 3 e 3 e ea a cadad (4 ad) de 2 e 2 e a

e (6 ad).

C e, a e be aaa ede ce c

ea c, cae :

T e ad = 120

2+

Cadad ca ad 22

Pe cc ad = 121

2 +

He e ad = ×12 ( 12

12 + )

He ee ad ≠ ×n

2 ( 122

+

m

)

E e e e e de ca ccc

e be ad caee ea c, e e e ee

ce a a cedee.

CCC D .

La ccc de e ca e eadad c

ee ca edda ea a a ee e e dade de d.

Uad caee a ea e c e be deea d e

c de e e ea de a a, a ea, a cac, a

d a eacc de ace cadada de e ee. Y ea

eace ede eee da a ece eceaa aa acaa e

e bcad.

S eba, ee e e ea e ee c

ca ccc e ee be ad caee e

e. Ta e e ca de π de a ace c dce a a d e

ea ead acae, cae ee a aca daea

a a a de aaa e a bea e.


29/74


XXIX

CCC D .

Paa e eda ce c ea c, e

deabe e aa de ce e, ce aee ( da) eac ead e e e ede aa c e e. E

decaee eacad c e e ede c c

ecad e de a ee aea: α n

π 2 , e dde α e e

e ce e e e de ad de . E a e e

e de e e ede aa e ad, ca ba

de ada e de eca a c a bea de a ecc de

cae .

BA .

CADAA D CC CCAC D A

CCCA: Eca a edda de ad de cadad ca ea

ea eacaee a a a de cc dad.

Pe e e ea de cc e caca a a de a a π

(ed a d de ad) a de cadad c (ed a

d de ad), e caa e π e π . Pe e a

e π e e e e eda c c ee c, aced

be aa ee de d π , e ca ca e ad de

cadad.

DUPLICACIN DEL CUBO. C e ad de cb c e

ea e dbe e e de cb ca.

A eca c e, e e de cb ca e , e

e de e cb debe ae . Pe c a a aa caca e


30/74


XXX

e de cb e = , e ea a e = 2 a e e ad

debe ed3 32a , 3 2 . Y a e a dcad a bdad de caca

ace c dce a a d caee c ea c.

CC D : dd dad e e ae

ae.

E ee ca debe ee e cea e ee a a

eeaac, a ca acae e a dd ecae.

La deac a a dedad ca (3α)=4

(α)3 (α), e a ca debe eeaae e eed e

abaae aa bee a ecac cbca c ace e ede

ce. Paa e ede ca, e cbae e

de 60 ede ecae, aa e e e e be ace c

de 20.

α αα α = 60° °° °

(3.60)=4 (60)3 (60)

(180)=4 (60)3 (60)

Caca (180) eeaa (60)

1=43

43+1=0

Lea a a ecac cbca e debe e acada aa aa e

ace, a cae debe de ce c a ea e c.

4().(+1)=0

Y a e 1 c e ede ce.


31/74


XXXI

E cab, ace c α=20:

(3.20)=4 (20)3 (20)

(60)=4 (60)3 (60)

(20)=

=43

43=0

Y ea ecac ee ace de de c de e e e

ede c. P a: ede ecae de 20° c

ea c.

CCC C A, C C.

Se eee a e de eaa, ad caee de

d e, da a ccce e Ecde aba ad c

ea c.

E cd a ead e dea a bdad ea de

bee cae ccc cad c e c, ecead

ca e e aad de eca. Se e a e d e ca

a ccc e a acace de c e e ede deeca a

eca ede e ed de dca ccc.

Pe e e ca de a ea, e ab a a cc de e ea eee de aea dda ee eaa da a

ccce; ee, e ede aa ee eaee a

a de a a cadada de e. De a e ded e ea

deabe ca, e, c a cceeca ce

ead e a a. O de ca, e deba ee c de aea

a (ab dead eed c dad) e be aa

cceeca de c ad.


32/74


XXXII

CCC DDA.

Ica a ac de e a de a ea ec, a dcac de e c e de e e aad de

edda.

P eea e eee a a eeac de a ea adada

acada eaee a a ccc, e a d acada dae e

ce aa cea eee ee a deeada daca.

Ea ada ee ceea e e de ccce

be, ae e aaa de a aa eada. A, e a ee ecace cbca, bea de a

dcac de cb a ecc de de aea eca; e

ce a . S eba, a c a ea acada e

ede bee d , ac e a a cadaa de

cc (e a bea e).

A.

E a, dbad de ae aea, eea ca

de c a ccce c ea c. Paa e a ec,

ea cca ce da a ea de bea de ccc; ae

a de ae, acaa ead e a ea e c. E

eadad, a c e a dead, cd aea

e e aa c e c a ea acada. Y e

ab ca e a cadaa de cc ac ede cee

dbad a a de ae.

CC A.

E a deac e e e da a a c adca e ecdeada cae aa de a a a a.


33/74


XXXIII

Se aa de dd ee e d ae deae e de a

a aa be, a ca e a cad a eac ee a

d a e ee a e a a a eac ee e ee

a e e.Ea c ab e cce c (ϕ) e e de ,

eae a (1+ 5 )/2=1,61803398874989484820458683436563...

S a ecc ea e ecea e ec, e e

dea ec e (d de ad de dad

de (+ 5 ) / ) ccc ea eca ad a

ea e c.

A D D.

E a ea ca (a a a bca e ee eeada ece

aa a a a eeae) baada e ec e. La a

e aa baae a a ea aca, a e ea e ce c

ea c.

Sed a ec de Fbac (0, , , , , , , , , , ,) e

a ca cada e e a aa a de d aee, e cea c

cadad a ( ad de a dad) e e a aead

cadad cada e ae e ea ad ec. La

edda de e ec, a edda e e ceea aa, e a

acecad a a de ec e a eac ee e e ea

eabad e e a .Paa aa e, e ecea dd a d de ad

a a d de ad c, beed ccee:

/

/

/,

/,6)

/,

/,

/,

/,0

/,0


34/74


XXXIV

ANÁLISIS DE LO ANÁLISIS DE LO ANÁLISIS DE LO ANÁLISIS DE LOS SS S DATOS:DATOS:DATOS:DATOS:

CONSTRU CONSTRU CONSTRU CONSTRUCCIONES CON REGLA YCCIONES CON REGLA YCCIONES CON REGLA YCCIONES CON REGLA Y


La ee ccce e deaa a a a cdb acaad a ecac eca, bdad a


35/74


XXXV

bdad e a eca de ae caee

db; ea e e a cea e eceda aae

a e db c e a ecac.

O da a ee e cea e e aa ccce eee

de a e a c aedad e e aba aa de

eae. Ae ca e ee e a

dca e e aa e e ec eda bca e a ea

ecac.

Ade, e aa ccce e eea cceeca

cad e eadad e ecea ecce de a a:

ac. E e ace c e be de e ee ca ca e e

ce e ad e cada ca.

P , e eceda e, a e eada a ccc

e e a de bae aa a, e be a aae aa

ea ee e a ee ccc. Y e, de e be, ece ae cadcad aa cba ead ae de

aea e a aa a cadca.


36/74


XXXVI

Dad e ABC.

Paed de ee AB .

C ce e A, aa acceeca de ad AB .

C ce e B, aa acceeca de ad BA ( BA= AB ) e eece a aea cceeca e C D.

Taa a eca e aa C D; eda deeadaa eda, ca eecc

c AB e e ed deee ( E).


37/74


XXXVII

C ce e B, aa acceeca e eece aa eeca BA BC e D E eecaee.

C ce e D, aa acceeca de ad BD .

C ce e E, aa acceeca de ad BE ( BD= BE ) e eece a acceeca c ce e D

e F.

Taa a eeca de e B e cee a F; eae a bec de ABC.


38/74


XXXVIII

Paed de ee B .

Maca ee aee ceca a

ed; aa C.

C ce e C, aa acceeca de ad CA eeeca a ee e A D.

Taa a eca e aa C D, e eeca a

a cceeca e D E.

C e e A, aa aeeca e cee a E; eda deead e ec ee e ee B aeeca c e e A.

Paed de a eca de eeecee a ea.

C ce e A, aa a

cceeca e eece a aeca e d ; aa B C.


39/74


XXXIX

Taa a eda de ee BC (P., XXXVI); edadeeada a eca

eedca a e A.

Paed de a eca de A ee a ea.

C ce e A, aa acceeca e eece a

a eca e d ;aa B C.

C ce e B, aa a

cceeca de ad BA .

C ce e C, aa a

cceeca de ad CA (CA= BA ) e eece a acceeca c ce e Be A D.


40/74


XL

Taa a eca e aa A D; edadeeada a eca

eedca a e A.

(ccc ea Nae Aaa)

Paed de a eca de A ee a ea.

Ree a aa aa aeca eedca a e aa A ( da cca e be a ).

Taa a eca e aa C D, e eeca aa cceeca c ce e Ae e E.


41/74


XLI

Taa a eca e aa A E, eda deeada

a eca aaea a e A.

(ccc ea Nae Aaa)

Paed de a cceeca.

Taa a eca ecae a acceeca e a eecee A B.

C e e A, aa aeeca eedca a aeca ae e eece a acceeca e C.

Taa e ee BC .

Maca e ed deee BC (. XXXVI);eda deead e ce dea cceeca.


42/74


XLII

Paed de ee AB .

C ce e A, aa acceeca de ad AB .

C ce e B, aa acceeca de ad BA ( BA= AB ) e eece a acceeca ae e C D.

Taa ee AC BC ;

eda deead e ABC. S e aa ee AD BD , e ba e ee AB , e bee e b ABCD.

Paed de ee AB .

C e e A, aa aeeca eedca a AB (a a ccc de ec de a . XXXVIII).


43/74


XLIII

C ce e A, aa acceeca de ad AB eeece a a eeca e e C.

C ce e B, aa acceeca de ad BA .

C ce e C, aa acceeca de ad CA eeece a a cceeca cce e B e e D.

Taa ee BD CD ;eda deead e cadad

ABCD.


44/74


XLIV

Paed de a cceecade ce e e A.

Taa d deeedcae (a accc de a ecaeedca e de a . XXXVIII) e

eece a a cceeca e B, C, D E (eea ede).

Maca e ed deee AB (. XXXVI) aa F.

C ce e F, aa acceeca de ad FE eeece a ee AD e e G.

C ce e E, aa acceeca de ad EG eeece a a cceecaa e H e I.


45/74


XLV

C ce e H, aa acceeca de ad HE eeece a a cceecaa e E J.

C ce e I, aa acceeca de ad IE eeece a a cceeca

a e E K.

Taa ee EI , IK , KJ , JH HE ; eda deead e

e EIKJH.

Paed de a cceecac ce e e A, de B eeecee a ea.


46/74


XLVI

C ce e B, aa acceeca de ad BA eeece a a cceecaa e C D.

C ce e C, aa acceeca de ad CB eeece a a cceecaa e B E.

C ce e E, aa acceeca de ad EC e

eece a a cceecaa e C F.

C ce e F, aa acceeca de ad FE eeece a a cceecaa e E G.

Taa ee BC , CE , EF , FG , GD Y DB ; edadeead e eBCEFGD.

Paed de cadad ABCD.


47/74


XLVII

Taa a edace de ad (a edace de ade ccdee).Laa E a de eecc

de a edace.

C ce e E, aa acceeca de ad EA eeece a a edace e F, G, H e Ieecaee.

Taa ee AF , FB , BG , GC , CH , HD , DI e IA ;eda deead e c

AFBGCHDI.

Paed de ee ABD.

Taa a edace (. XXXVI) de ad; a

eecc de a edacedeea e ccce C eacabe a cae de.


48/74


XLVIII

E eaed eda deead e ABD ee AC , BC Y DC .

Paed de eea c ce A, B, C, D, E

F (eea e de).

Taa ee FB , BD DF ; eda deeada acaa be de caed.

C ea eada, aa ee AC , AE EC ; edadeead e caed.


49/74


XLIX

Paed de a ccc ee ea c ce B,C, E, F, G D, e cea

A (. LXVI; e e a

ae de a ccc a).

Taa ee AC , AD AF ; eda deeada acaa be de cb.

C ea eada, aa ee AB , AE AG ; edadeead e cb.

Paed de eea c ce A, B, C, D, E

F.


50/74


L

Taa a daae dee; a eecc de adaae deea G

C ce e G, aa acceeca de ad GA .

Taa a eda de ad BC e eeca a acceeca a e H e I (. XXXVI).


51/74


LI

Maca e ed deee DG aa J(. XXXVI).

C ce e J, aa acceeca de ad JH eeece a ee AG e K.

C ce e G, aa acceeca de ad GK eeece a a daae de

e e K, L, M,N, O.


52/74


LII

Taa ee AL , AO , BL , CL , CN , DN , EN , EO , FO , LN , NO OL ; edadeeada a caa be

de caed.

C ea eada, aa ee AK , BK , BM , CM , DM , DÑ , EÑ , FÑ , FK , KM , MÑ KÑ ; eda deead ecaed.

(ccc ea Nae Aaa)

Paed de e

ea ABCDE.


53/74


LIII

Taa a edace de cc ad; a eecc de aedace deea e F.

C ce e F, aa acceeca de ad FA eeeca a a edace e A, G, B, H, C, I, D, J, E K(eea e de).

C ce e A, aa acceeca de ad AB eeeca a a eda de ad AB e L.

C ce e F, aa acceeca de ad FL eeeca a a edace e L, M, N, , O, P, Q, R, S T (eea e de).


54/74


LIV

Taa ee TL , LM , MN , NÑ , ÑO , OP , PQ , QR , RS ,ST (eda deead dec), AT , BM , CÑ , DP

ER ; eda deeada acaa be de ddec.

C ea eada, aa ee GH , HI , IJ , JK , KG ,GL , HN , IO , JQ KS ; edadeead e ddec.

Paed de cadada ABCD ( ad dea dad de d).

Maca e ed de ad B CD , aa E Feecaee (. XXXVI).

C e e A, aa aeeca e cee a B; c e e D, aa a

eeca e cee a C.


55/74


LV

C ce e E, aa acceeca de ad EC e eeca a a eecac e e A e G.

C ce e F, aa acceeca de ad FB e eeca a a eecac e e D e H.

Taa ee AG , GH HD (e a e ad AD );eda deead eec e AGHD.

Paed de cadad a ABCD ( ad de a

dad de d).


56/74


LVI

Ua e ad B c bae c e cadad aEFBA (e a ccc e aa XLII).

Ua e ee FC cad c e cadadFGHC ( ad de ddade).

Ua e ee DH cbae e c ecadad DHIJ ( ad de

e dade).

Ua e ee EJ cad c e cadadLEJK ( ad de cc

dade).


57/74


LVII

Ua e ee LG cbae c e cadadMNGL ( ad de cdade).

Ca de ee d aaacaa e aa deead aaa ea.

C ce e B, aa e acde cceeca de ad BA ee A F.


58/74


LVIII

C ce e C, aa e acde cceeca de adCH ee F H.

C ce e D, aa e acde cceeca de ad DH ee H J.


59/74


LIX

C ce e E, aa e acde cceeca de ad ELee J L.

C ce e G, aa e acde cceeca de adGL ee L N; edadeead e ce de aea de De.


60/74


LX

APLICACIONES DIDÁCTICASAPLICACIONES DIDÁCTICASAPLICACIONES DIDÁCTICASAPLICACIONES DIDÁCTICAS

SUGERIDAS PA SUGERIDAS PA SUGERIDAS PA SUGERIDAS PARA RA RA RA LASLASLASLAS




61/74


LXI

A.

La ea e a edad e ee aa a, e e ecce

eea a e a e a ace c ebada aa, e de a a e aaece dbd c eec a a a

eca, de d e e eba c .

A CA.

D c c eec a aad ce cad

ead e aead eda de .

c c eec a , e , e aead

AO =OB .

D a ca c eec a aad ce

cad d de cada a de ea ee c eec de

ee ce e a a a.

e c de c eec a .

e c de c eec a .

e c de c eec a .


62/74


LXII

A AA.

D c c eec a a eca aada ee cad

e ecea be a a eedca a dca eca edade ea.

c c eec a , e AB e eedca a

AO =OB (O e e de eecc de ee AB a eca ).

D a ca eec de a eca aada ee cad

d de cada a de ea ee c eec de ea eca

e a a a.

e c de c eec a .

e c de c eec a .

e c de c eec a .


63/74


LXIII

DC D ABA

A:

CA:

C: A.

A.

Dec: e a aa de c ee a

ae ae eec de , c eeeca a ea deeada.

A CA.

Dec: e a ea eec de a

e e dea ce de a ea.

CONSTRUCCIN

DEL SIMTRICO DE UN PUNTO CON RESPECTO A

UN CENTRO UTILIZANDO LA REGLA Y EL COMPS:

I a de A ce de

ea O.

II aa a eca e aa A

O.


64/74


LXIV

III c ce e O, aa a cceeca

de ad OA e eeca a a eca e B

e ca e c de A eec de O.

CONSTRUCCIN DEL SIMTRICO DE UNA

FIGURA CON RESPECTO A UN CENTRO

UTILIZANDO LA REGLA Y EL COMPS:

I a de ABC ce de

ea O.

II aa c de A, B C

eec de ce O aa D, E Feecaee.


65/74


LXV

III aa ee DE , EF FD ;

eda deead e DEF c de

ABC eec de ce O.

A AA

Dec: e a ea eec de a ea

eca a a e e dea ee de a ea.

CONSTRUCCIN DEL SIMTRICO DE UN

PUNTO CON RESPECTO A UN EJE UTILIZANDO

LA REGLA Y EL COMPS.

I a de A ee de ea

.


66/74


LXVI

II c ce e A, aa a cceeca

e eece a ee e d aa

B C.

III c ce e B, aa a cceeca

de ad BA .

IV c ce e C, aa a cceeca

de ad CA e eeca a a cceeca de

ce B e A D; eda deead e

D c de A eec de ee .


67/74


LXVII

CONSTRUCCIN DEL SIMTRICO DE UNA

FIGURA CON RESPECTO A UN EJE UTILIZANDO

LA REGLA Y EL COMPS:

I a de ABC ee de

ea .

II aa c de A, B C

eec de ee aa D, E F

eecaee.

III aa ee DE , EF FD ;

eda deead e DEF c de

ABC eec de ee


68/74


LXVIII

CONCLUSIONES DE LASCONCLUSIONES DE LASCONCLUSIONES DE LASCONCLUSIONES DE LAS




69/74


LXIX

A a de ee aba e aad de ee, de a a e

caa be, ae de e ecea ecde aa a aa de a ea,

e d de a ccce eca eaada c ea c. E edad e cea e a ee ae e e ea e

eea, e e e cee e ea be abaca d de aea

ca. O a e, de a adecada ccee, ca ea a aa

de ee aca e ea e eeea.

Te da a, a a:

N d cea de aa e aa e cece de ee. De

c e e e a e e. D a a aec e eca de ea a a da de 2000 a de a.

Ced e d ede da de ea, e ea ada a

c ead. Reaa ee e ceace caee c ea. Y

ea dad e a eeaa ecdaa.

E ee, de aa e:

La ccce c ea c aece a dea de a

caacdade ca, cca eca.

La ea e c ce de e,

ca ee e e a acace de d.

La ccce ea e aa eea ea e e

a de a edcac ecdaa.

E ea cea c ee a aeca e ae.

A a a de eea e ea, e deabe dca de e be

dea e d e ede a c ea c, e e ea

ee ace aabe aee aaada.

E a e e dad e e a de a ca e

eeea a ccce c ea c. C ab ab,

a eda c aede de ea, c ece deae. Pe

e aa deede de ede.


70/74


LXX

BIBLIOGRAFÍA SOBREBIBLIOGRAFÍA SOBREBIBLIOGRAFÍA SOBREBIBLIOGRAFÍA SOBRE




71/74


LXXI

CADA:

Bac, Rcad; Ja Saad Gaa; Edce B Aea S.A.;

Aea, 1999 Dcca eccdc Ne; Sea; Eaa, 1990.

Me de Ca Edcac de a Nac; Za Edcaa. E e

aa 10: e eac e a ecea; ebe de 1998. P.2, Ce Ce,

Ceca; Aceca de a eeaa de a Geea, . P. 10, Sa,

Maaa; La a e eac, cee de a eeeac ca.

D CA:

Ade, I; Maeca: a a de e, de b de

eac, Oaac eda Na; Mc, 1979.

Be, Ca; Ha de a aeca; Aaa eda e; Eaa, 1996.

Cee, S.; O Daee, P; Ce, T.; Geea c acace c de

bea; Add Wee Ibeaecaa; Mc, 1998.

Dcca eccdc Oca ; Eda Oca; Eaa, 1995.

Gaca Pad, J; Geea eda ea; Gca

Re; Eaa, 1963.

Ga ecceda ea Eaa Cae; G Eda Paea; Aea,

2005.

Ke, M; E eae aec dede a aedad a e da 1;

Aaa eda; Eaa, 1999.

La, Rbe; Geea aada; Eda Debae; Eaa, 1993.

Me: ecceda eca eda; Eda Oca; Eaa, 1997.

Me de Ca Edcac de a Nac, Seceaa de Paac

Eaac Edcaa; La aac de ea edca: ced

de a edcac; 1996.

Pa, Ja Pab; Lb de aeca a edda; edce Laee;

Aea, 2006.

Ree, Cea; Geea aa ed a de cc bc ecea de

cec; Eda Kae; Aea, 1960.


72/74


LXXII

A D CADA:

://.a.c/eb/dcca/dc/caaa/ca. ://.ebeaca.c/b/d.

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LXXIII

DC

ACLARACIN DEL TTULO..IV

RESUMEN_ ABSTRACT_ DESCRIPTORESV

INTRODUCCINVI

FUNDAMENTACIN.VII

SUPUESTOS LIMITACIONESXIII

MARCO HISTRICOXIV

PENSAMIENTO MATEMTICO GRIEGO.XVLOS PROBLEMAS GRIEGOS..XVI

LOS PROBLEMAS GRIEGOS..XIX

CLASIFICACIN DE CONSTRUCCIONESXX

INFLUENCIA DE DURERO.XXI

CONSTRUCCIONES SLO CON REGLA O SLO CON COMPSXXI

MARCO TERICO.XXIV

PROBLEMAS_ CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPS..XXVLA REGLA IDEAL_ EL COMPS IDEAL_ CONSTRUCCIONES BSICAS...XXVI

CONSTRUCCIN DE POLGONOSXXVII

CONSTRUCCIONES DE NMEROS.XXVIII

CONSTRUCCIN DE NGULOS_ PROBLEMAS GRIEGOS..XXIX

CONSTRUCCIONES SLO CON REGLA, O SLO CON COMPS..XXXI

ORIGAMI_ SECCIN UREA..XXXII

ESPIRAL DE DURERO.XXXIII

ANLISIS DE LOS DATOS: CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPSXXXIV

MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO_ BISECTRIZ DE UN NGULOXXXVI

NGULO RECTO_ RECTA PERPENDICULAR POR UN PUNTO INTERIOR XXXVII

RECTA PERPENDICULAR POR UN PUNTO EXTERNO..XXXIX

RECTA PARALELAXL

CENTRO DE UNA CIRCUNFERENCIAXLI

TRINGULO EQUILTERO _ CUADRADO.XLII


74/74


PENTGONO REGULARXLIV

HEXGONO REGULARXLV

OCTGONO.XLVI

TETRAEDRO..XLVIIOCTAEDRO_ CUBO..XLVIII

ICOSAEDRO.XLIX

DODECAEDROLII

RECTNGULO UREO..LIV

ESPIRAL DE DUREROLV

APLICACIONES DIDCTICAS...LX

DOCUMENTO DE TRABAJO..LXIIICONCLUSIONES..LXIX

BIBLIOGRAFALXXI

A@.

Dialnet ConstruccionesGeometricasConReglaYCompas 3045267 1

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