Top Banner
Development of the partition of unity finite element method for the 3D analysis of interior sound fields Copyright© (2015) by EAA-NAG-ABAV, ISSN 2226-5147 All rights reserved 1161
5

Development of the partition of unity finite element ... · Title: Development of the partition of unity finite element method for the 3D analysis of interior sound fields Author:

Jul 19, 2020

Download

Documents

dariahiddleston
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Development of the partition of unity finite element ... · Title: Development of the partition of unity finite element method for the 3D analysis of interior sound fields Author:

Development of the partition of unity finiteelement method for the 3D analysis of interiorsound fields

�������� ����� ������ ������������� ����������� �������������� �������� �������� �� ����������� �� ��������� ����������� ������� ��� ����

���� �� � �!" � # � ��������� ����$ %�����

������ ��������&�'�( )*�(��+,�-���( '(#���. � �/� %������ 0����/� "�1 ����� 2/�� %�����3

�������

��� 4��5 � ��������� 4��� ��� �/������� ��/������ �6 �/�� ���/�� 7��� �� �����,����������

������ �� 4���� �������� �������� ��� ������3 �������� ������8/� /�� � ��� %����� '������

������ ��� 5��4� �� �� �$������9 ��������� ����/���������9 4��� ��� 6��8/���9 ������� ���

��/ ������� �� ��4 6��8/���9 �����������3 �� �������� ���� ��:�/���� �� ���������� 6���/������

���� �� ��� &�������� �6 ����9 %����� '������ ������ � �������3 ��� ������ ����� ���������

��� �����$������� 7���� ������� ���� �9 �$������� ��� ���/��� ���/�� �� � �� �6 ����� 4��

����������� �� ����/ ��������� ��� ��� /��� �����3 &�����/��� ��������� � ������ �� ��� 6�� ���

���/���� ����/������ �6 �����9 ���������� �������� 4���� � ��8/���� �9 ��� ������3 ����������

�/��� ��4 ���� ���� 4�� 7���� ������� ����4 �� ����/�� ���/�����9 ��� 4�� 7��� 4��� � �/����

�6 ������ �6 6������ ���� ���9 ���4 8/����������9 4��� ��� 6��8/���9 9������� ������ ���� ���/�����

�������� �� ������� %'�3 ��/�� �6 ��������� ������� ��� ��4� 6�� ��� ��� �6 � �/�� �/���

������ �� � ������������ ���� 4��� �������� ��������3

���� ��� �����

�� ����������

����������� ������ ������ ������ ���� � ��� �!�"#���� ����� �� ��$� ����� ��� ���� !��%��#��#� ��# &�$� ��#� � �! �'#� �$� ������ ��$��$���� ���$� #��(�������� #� �) ��� ���������� �� �� !��� ��� ���� ��� &��#� ����#��� ���� �� ��� � *+����� (���� (�� &�$������� ��� ��%���� &��� #�� � �#�� ��) �����!���� ��& ��������� ��# (����#������#���%� ��$� ���� ��$���(�� �� ��� ��#��� ���� �� �$��#��� ��� ����������� �� � �! ���� ��� ��(��������� �� �'(������ ��� ������# "��� $������� &���� �� �! � #�������� &�$� !�#���� &��#� ��� ��� ��������#�� ������ �� ��� ��$������ �%����� �! ��� (�������) ��� � ��#���%� ��#��� ��� �������� �! ,���������� ������ ������ � ,��� -*.� ��� ,�����/��0!��������� -1.� /�$���� �� ������ -2.� ��� �� #������� 3����0�� ������ -4. ��� ��� 5���������� ������� �! ���(��' 6�� -7.) 8�� �! ��� � ������ #���9�� � ��� ��# ���#���� �� ������ �! !������ #���(���� &��� #��$�������� ��) 8���� ����� ,��

��� ������ ���� ��� � �������

�9�� ��� ��$������ �! ����� $��� ������ �� ��� ���#�� �� �� ��� ���(��� �� ��� �� �� � ��� �� ���� ##� !��� �� �� ��$� �#� ��# &�$� #�������� �� 1��� 2 ����� ��� -:. -;.� <�& �#� ��# ��� ����� &�$�(��(������� (������ -=. ->. -*+.)

8������ ��� � (����#���� ��#���%� ����& � ������#���� �� ��� ����� �! ������ �! !������� ���#��(������ �! ������� �����#� ��%��� ��� ������������ �! ������ � #�������� !�#���� ������� �� �'(��� �$� #��(�������� #� � �� �� ��� ���� �! � ��� ���������� �! ����������� (���� ) ��� � ���������� #���� (��������$� � (�#����� !�� 2� �������� ) ������!���� �$���� ��& ����������� #���� &��� ��$���(���� ��(��$� #��(�����$��� �! ��� ,��) ?������-**.� ����� -*1. ��� 3����� -*2. �� ��� ��$������#� ������� �� ������ ��� �'�#� ����������� �$��� (������) 3����� -*4. �'������ ��� ������ �� $����� �������� ) � @�#��� -*7. (�� ����� � ������ �(�(���#� �� ��� �$������� �! ������� �����#� !�� ��� ���# &�$� #�������� (������ ) A�&�$��� �� ��� ����� B0��&����� �� �� �� �((��� �� ��� ��������� ���������� �((��(����� ����������� ��#���%� !�� ��� #��(������� �! ,�� ������� �����#� �� 2������ ����������� )

Copyright© (2015) by EAA-NAG-ABAV, ISSN 2226-5147All rights reserved

1161

Page 2: Development of the partition of unity finite element ... · Title: Development of the partition of unity finite element method for the 3D analysis of interior sound fields Author:

�� ���� ���� � �� ��� ��������� ���� �� �������� ���� �� ������ ��� ��� ������������� �� ���� ���� � ����������� �� ��������� �� ���������� ��������� �� ���� ������ �� ������� ������ ������� ������� ����� �� ������� ���� �� ����� ����� ����� �� ������������� �� ��� �� ���� � ���! �� ��� ������ ���� ���� ���� "����������� ���� �� ��"����� ������� ������ ���� ������� ������ ����������� ���� #����� �� �������� ����� � ������� �� ��� �� � ����� ���� ����� �� � �!������ ��� ���� �!��!��� ������� �� �� �����

�� ����� � �� ������ � ���

�� ��� ������� "������ �� �� �������� ����p �� �� ��������� $������% "�������

Δp+ k2p = 0 &'(

�� k = ω/c �� �� ������! ��� ω �� �� �������� �"���� �� �� �� �� �� ������� ���������� ���� ��!��� � �� �������� "������ &'( ����� �������� �������� δp� �� ���� �� ��) ��� �� ��$������% "������ ��� ! ����� ���

∫Ω

(∇p · ∇(δp)− k2pδp)dΩ−

∫Γ

∂p

∂nδpdΓ = 0&*(

�� ٠�� � ����� ������������� ������ ����!������ � �� ����� �������� �� ������� ������ ����� � �� �� ���� ���� �� ���� �� ���������� ��� ���� ���� ������� ���� �� �������+

p(x) =4∑

j=1

Nj

Qj∑q=1

Ajq exp(ikdjq · x) &,(

�� djq ���� �� ��������� ����� �� �� �������� !���� ������� �� ��� j� �� �����!����� ������ ���� �������� �� !��� �� �� "��� ��������� ������ �� �� ���� ��� -'./ �� ����� �� ���� '�0�1����� Ajq ���� �� �������� �� ��� ������� ��� � �� ��)����� �� �� ��!���2�� ��!��������� �� �� ���� ��� ������� ��

�� ��) ����������� � �� ���� ����� ���� ��1����� � �!����� ��� �� ��� �� 3 ��������� �� ���� Ωe+

I = −κ2(1 + d′ · d′′)∫Ωe

NpNqφ dΩ

+ iκd′ · ∇Nq

∫Ωe

Npφ dΩ

+ iκd′′ · ∇Np

∫Ωe

Nqφ dΩ

+∇Np · ∇Nq

∫Ωe

φ dΩ,

&3(

�� � ��� φ = exp(iκd ·x) ���� κ = k|d′+d′′| ���d = (d′ + d′′)/|d′ + d′′|� $ ���!��� ′ ��� ′′ ��

������ �� � � ��� ���������� � ������� �� ���� �� ����� ����� ����� �� � ������

������ �� � � ������� �!����� � ���� �� � ��� ������������

�� ���� ��� ��� ���������� �� � � ��� �� �� ��)�������� �� �� ���� ���� ���� ��������� � ������ �� ������� ��� ����� ���� ����� � ���������������� �� �� 4� ���� �� ����� ����������� �� ��������� ����

∫Ωe

F φ = −∫∂Ωe

(εFd+ ε2∇F + ε3�Fd) · nφ

�� ε = i/κ ��� F ������ �� � ��������� � ���� �� "������� �������� ���� ���� �� ����� ���������x = x(ζ1, ζ2, ζ3) &�� ���� ������� !��� �� �������� ���� �� ��������� �� ���� *(� ��������� �� ���������� �� ����� ������ ��� ! ���� ���� ����� ������� ����� ��� ! ���� �� � ����� ��� ������� �������� � ��� �� ���������� �������"����� ���� �� ���������� �!��� �� 3 ������� �� ������� ����� ���� �������� �� �� ��������� ������� "�������

�� ��������� ����

�� ����� �� ���� ������ �� �� ����� �� ��������������� �� �� ������ �����"� �� ��� ��������� ��� ����� ���� $ �� ��� �� ��� ������� �� �� ����� ������ �� ��� ��������������� ��������� �� ���� ����� ���� �� ���

EuroNoise 201531 May - 3 June, Maastricht

M. Yang et al.: Development of...

1162

Page 3: Development of the partition of unity finite element ... · Title: Development of the partition of unity finite element method for the 3D analysis of interior sound fields Author:

����� �� ������ Q���� �� � � ������� �� h���� �� �� ������� ������ ������ ������ �� ���������� ��� ����� ������ ���� �� � �� � �������! ��� ���� � ��"�� ��� �� hj ��� �� � ����� ���� ���� ������ �� ��� j � ��� ���� ������� ���� �� �� �� ��� ���� �� # ��� �������� �� �� � ���� ��� ��� ���� �� �� � ���������� �� ��� ��� ������ ��� $��������� ��%�(khj)

2 �� �� ���

Qj ≈ C(khj)2. &'(

)��*��� � C � ��� �� ������ � �� ���� �� khj

� �� ��� �� �+����� ������ � �� ��� �� �������� � �,������ ������� ��� ������� �� C ����������� �� ��� � ��� ��� � ���$�� �� khj � ����� � �� ������ � ������� ��� �������� ������� ��� ����� �,�� ������� �� ����� ������� ���� ����� �� �� ����� ������� � ���� � �� � ���������� � � ���� �� ��� ��������� ��������� &������� �� ��� ��������� �� �$��(� �� �� ��� � ����� ����� �� ����� ��� � ���� � �� � ��� �������� ������ ����� � �� � �������� ��� ��� �� � ������������ � �� ��� ����� ����� � ����� �� ���� �������� ��������� ��� ��� �%� �� ���������� � ������- ���������� ��� ����� ������� ��� kh = 50 �Q = 276 �� � ��� ���� �� ���� ��� ��� &� ����� 4× 276 = 1104 �� ���� �� ������ ��� ��������� � ��� � ��� ���� �(� ������ . ����� ��� ������ � ������ �������� � ��� �� ����� �� ��������� ����� ����� �� ��� ��� ��� ��������� �� ������� ������ �,������ ������ �� 0.1% � 1%� / ����� ������ ��� ��� �� ������ ���� ������ ���� ������� � . ���� ��� 0��� � �� ��� ����� �������� ���� 1%����� ������ �� ���� � ��� ���� ������� ���� �� ��� ���� ��� ��� �� � ���� �� ��$����� &��� ���( � ����� �� ���� 1% ������ ������ ���� ��� ���������� ���� ���� ������ �� ���� ���� ��� ���*��� �C �� ����� ���� � ��� � ����� 12�3�2�45 � �� � � ������$�� �� �� ��*��� ��� ���� ������ �� ��� ���� ��� ��� � ������ ��� ��� ��� khj < 5 ������ �������� ��� ��� � ��� ����� ���� ������ 6 �������� � �� ���� ���$�� �� �������� � ����� ������ ��� �������� � ��� ���� �� ������� �� ������������ �� ������� ��� &��� ����� �� ������ ����� ���� �������� ���� ���$�� ��( � �� ������ ��������� �������� ������� ���� Qj ∼ 0.1(khj)

2�

�� ������� ��� ���

��� ������ ���� �� ��"� 2 × 2 × 2 ���� . ���� ��&3. ����( �� �� ����� �� ������ � ��"� ����������� ��������

���� ������� � � ���� ����� ���� ��

��� ��� ���� ����� ��� ��� ��� �� ����� ∂p/∂n =1 �� ������ � �� ��� ��� ���� ������ ���� � �

������ �� � �� �� ������� ����� �������� ������� kh =50 �� Q����� ��� ���� ���� �����!�

Kh 0 10 20 30 40 50 60

Val

ue o

f C

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7Tetrahedron 1%Tetrahedron 0.1%Cube 1%

������ "� ���#$���� C �� khj ��� 1% �� 0.1% ����������

���� � ������ '� 7����� ����� �� � ������ �������� �� ���� ������� ��� $����� �� ��� ������� � ��������� �� ���%� � � ��� ��� �� ��� �� ��� ������� ������� �� �� ��� �,�� ������� �� �,������ ���� ������ ���� ����� ������� �� �������� � ������'� ��� ��� ���� k �� �$�� �� 30 �� ���� �� ���������� ���� ���$�� �� ������� 8� � ��� ��� ��� ���� �� �� � ���� ������ �� ��� ��� �� ������� &���� Q9:';( �� �������� �������� �������� � ������� &'( � ��������� � ��� �������� ������ � #��� ����%�� ��� ��� � ����� �� ��� ��� �� ������� �� �,���� 10−2 ����� �� ��������� �� ������� � 3'�222 ���� �� ���� ���� ������ �� �� �������� ��� 1000n3

λ ���� ������ �� ���� ��� ��� �������� ��� � ������� ��������� �� �� �� $������� ��������� � �%� � ��� � �� �� nλ = 15 ������� �������� ��� ����� ���� ���� �� ������ �� ����� ��� ����� � �� �����

���� ������� � � ��� ���� �

��� ���� � �,��� �� ��� � ��� ������� �� ��� � ���� ����� �� � ����� ������ ����� �

EuroNoise 201531 May - 3 June, Maastricht

M. Yang et al.: Development of...

1163

Page 4: Development of the partition of unity finite element ... · Title: Development of the partition of unity finite element method for the 3D analysis of interior sound fields Author:

������ �� �� ������ �� ���� ��������� � �������� �� ����� ������� ��� ! "������ ������� k = 10 � � Q#$�%�

� ������ ����� ��� �� ���� ������ � ������ ������� ��� �� ���� ������ �� �� �������� ����

Δp+ k2p = Aδ(x− x0) ���

����� A � �� ������� �� �� ������ ��� x0 � �������� ������ ���� �� �� x0 = (0.9, 0.8, 1) ���� ������ � �� ����� �� �� ����� �� �������� �������� � �� ���!��� � �����!��� ��� �� ��� ����� �������� �� �������� �� �� "#$%& ������� $���� ������ ���� ������� ������ � k = 15 ���� Q'()*��� Q'+,) ����� ����� �������� -� �.����� ������� !����� ���� ������� ���� ���� ����� �������� ������� Q'+,) ������� ������!�� ������ ������������ ��������� /� �� �������� �� �.�� ������� � ������� ��� �� ���!�� �� ���� ���������� � !� ������ ��0����� ��� � ������ �� ������� ���� ��������� � ���� � ���� ������ ������ �������

�� ��������

/� �� ������ �� �.�� ������� ������ � ����������� �� ��� ��� ������� �������� �� ����� ���������� ������� ����� ���� �� "#$%& ���. ����0���� �������� �� �� 1� ������2 �������/3� ����� ��� ������ ��������� ��� �� 4����3� �������� ������ ������� ���� ����������� �.��������� ���� �� ������� � �������� ������ ������������ ���� � ����� ��� ������� �� ���!�� �� ���������� � ��������� / � ����� �� �� ���!�� ��������� ����������� �� �� ��������� ��� ������� � ����� ������� � �� ��� ���!�� �� ������� ���������� � ��������� � �������� $%&� �� �������� !��� ������ ��� �� �������� �.������� /� !�������� �� ����� � ����� � �������� � �� �.��� ������� $�� �� ���� ���!��� �� � �������������� ������ ����� �� ������� ����� �� �� ������� ����� �� ���� ����� ����� ��� ������� ���� ������!�� �������

�������������

�� ���5�� ��� !��� ������ !� �� 6��� 7���������� 6������

���������

&'( )!� !��� *� +� ,���-*�� .� �������� �� � ��� / �������� � ������ ,�"�� ����� � � ���������� "� 0��1��� !�� 2��� !�� � '3$ �'$$4� 5%$63'7�

&5( .� ���� � � �� !� *� )�� 8������ 0��������� �"1����" �� �� ����� ���* �������� �� ���������� � ) 0��1��� ��" '%5 �5995� 5:674�

&3( � ;��*��"� <� 2��*� =� ;�"���� .� ���� ��"�������� 2 �������� �� '� ����" �� ��"����� =���!���� �' �59'7� ��96�4��

&7( 0� ������ +� ������ >� ��� ��� .� ��"�� �� ���" � 1����� � ������ 0����� !�� 2��� !�� � '$9�599'� 47��647:$�

&�( � ?���� �� >����@A�� ,� B�����"� .� �����"����C.?0 ������� ������� �� ����"���" �������"� )0����� 2���"� '4 �599%� 7%:6�9��

&4( <� >�������� �� ,����""� B��� ���� ������� � �"� �"������ / ��� ����� �"� ) 0����� 2���"� %�'� �5999�'%$65'9�

&:( <� >�������� �� ,����""� � ������1;���� � ).������� � ��� � ���� ��"�" ��� ���� "������� � � ���� ���� "�� "� 0��� D�� !�� � '$ �5993�:'�6:53�

&%( ?)� 2"����� �� E������� B������ "��� ���� ����� �"��� F�� ����"���"� 0����� !�� 2��� !�� � '$7�599�� 37'63�3�

&$( )�1;� 0�A��� ,� D� ��� � ������1;���� � ������1�� ��" �� �� �������� �� � ��� �� ��� ���� �!���� ��� �� ���1���� "�� �� � ���"�" �� � ������"�� � /��� ��� ��"���� � ��������"� )��� �� �� B�� �� � C������� 335 �59'3� '$'%6'$5$�

&'9( )�1;� 0�A��� � ������1;���� � ,� D� ��� .� ���1����� �� � ��� �� ��� ���� � !���� ��� �� ����1���� "������ �� ����" � ��� � � �������"��� ������)��� �� �� 2���"����� B������ �� 2������ '3� �59'7�:576:33�

EuroNoise 201531 May - 3 June, Maastricht

M. Yang et al.: Development of...

1164

Page 5: Development of the partition of unity finite element ... · Title: Development of the partition of unity finite element method for the 3D analysis of interior sound fields Author:

������ �� ����� ���� � � ��� ������ ��� �� � ��� � ������ ��� ��� ������ � ������ ��� � �������� ������ �� k ���� ��� �� ! ������ "��� Q�#$%� ��� �� ! ������ "��� Q�&�$�

'��( )� *�������� � +����� ,� -������� � . ��������� �������� ����� /�� ������ 0������������ 1 ��� ��2��� � /�� 3�������4 �0����� � 5���� 6�� !��� � �7 �#88#� #99:#&��

'�#( � +����� ,� *����� � ;� <���������� +� ���=�)� *�������� ,� -������� �� . �������� � �������� ����� /�� ������ 1 ��� ����� � /�� 3�������4 �0��2��� � > � , 6�� !��� � �� �#889� �9�:��#�

'�9( ?+� @���� � ���21��� �����=������ �� ���A������B23�������4 ������ ����� �/ ��������1���� > - . �� ������ ,��� ��7$�� �78:�7#�

'�&( @� @������ =��� � �������� �/ ���� ����� �=�� � 2���� ������� "��� ���������� �� "���2���� ��������������� 5���� 6�� !��� � #� �#887� #9$:#&��

'��( .� � A������ ;� <���������� 6�������� ������� ��/ ������ "��� ������� � � /��0�� �� ����� �� ����������� �/ � ��� 1 ��� ����� � ������� > � , 6��!��� � $$ �#887� ��&�:���7�

'��( !�, ��C�� ,� -������� � @� 5����� -�� �0��� ���2� � �/ 6 ��� � � � ����� "��� ���������� ���������� 2�/2� ��� "��� ��B������ �������� � . �+�� � �� &8 �#8�&� ��&:�##�

EuroNoise 201531 May - 3 June, Maastricht

M. Yang et al.: Development of...

1165