INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN HUNEDOARA Olimpiada Nat ¸ional˘ a de Matematic˘ a Primul baraj pentru Olimpiada Balcanic˘ a de Matematic˘ a pentru Juniori, Deva, 25 aprilie 2019 Problema 1. Fie n un num˘ar natural nenul dat. Determinat ¸i tot ¸i divizorii d (pozitivi) ai lui 3n 2 pentru care n 2 + d este p˘atrat perfect. Problema 2. Aflat ¸i valoarea maxim˘ a pe care o ia expresia E(a, b)= a + b (4a 2 + 3)(4b 2 + 3) atuncicˆand a, b ∈ R. Problema 3. Fie ABC un triunghi, I centrul cercului s˘ au ˆ ınscris, D punctul de contact al cercului ˆ ınscris cu latura BC , iar E piciorul bisectoarei din A.Dac˘a M este mijlocul arcului BC care ˆ ıl cont ¸ine pe A al cercului circumscris triunghiului ABC ¸ si {F } = DI ∩ AM , demonstrat ¸i c˘a dreapta MI trece prin mijlocul segmentului [EF ]. Problema 4. Ana ¸ si Bogdan joac˘ a urm˘atorul joc: la ˆ ınceput, pe mas˘ a se afl˘ ao gr˘ amad˘aformat˘ a din n (n ≥ 3) pietricele. Cei doi juc˘ atori mut˘ a alternativ, prima mutˆ and Ana. La o mutare, juc˘atorul aflat la mutareˆ ımparte una din gr˘ amezile de pietricele aflate pemas˘aˆ ın dou˘ agr˘amezimaimici, nuneap˘arategale. Cˆa¸ stig˘ a juc˘atorul care, prin mutarea sa, face ca toate gr˘amezile aflate pe mas˘ as˘acont ¸in˘ a cel mult dou˘ a pietricele. ˆ In funct ¸ie de valorile lui n, stabilit ¸i care din cei doi juc˘ atori are strategie cˆ a¸ stig˘ atoare.