Determinan - Official Site of DINA INDARTIdina_indarti.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/46388... · Untuk menghitung determinan ordo n terlebih ... Untuk keperluan menghitung

Determinan

Determinan

Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran

(nxn) dapat dikaitkan dengan suatu skalar yang

disebut determinan matriks tersebut dan ditulis

dengan det(A) atau |A|.

Untuk menghitung determinan ordo n terlebih

dahulu diberikan cara menghitung determinan

ordo 2

Menghitung determinan

3 1

4 2

1 2

2 4

2 1 3

3 1 2

Det(A) = (3) (-2) – (1)(4) = -10

Det(B) = (1)(4) – (2)(2) = 0

Det(C) = tidak didefinisikan

A =

B =

C =

Hitunglah determinan matriks berikut ini:

Aturan Sarrus A1 = Det(A1) = (a11.a22) – (a12.a21)

A2 = Det(A2) = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – (a13.a22.a31 + a11.a23.a32 + a12.a21.a33)

2221

1211

aa

aa

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

2221

1211

aa

aa

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

a11 a12

a21 a22

a31 a32

+ -

+ + + - - -

Aturan Sarrus (lanjt)

M = K =

Pertanyaan: Apakah metode di atas dapat diterapkan pada matriks 4x4, 5x5 dst?

3 1

4 2

3 2 2

1 2 3

4 4 5

3 2

1 2

4 4

- - - + + +

Det(M) = 3.-2 – (1.4) = -10

Det(K) = 3.2.5+2.3.4+2.1.4- (2.2.4 + 3.3.4 + 2.1.5) = 30 + 24 +8 – (16+36+10) = 62 – 62 = 0

Untuk keperluan menghitung ordo n dengan n≥3 perlu lebih dahulu

definisikan pengertian minor dan kofaktor sbb :

Minor Mij adalah determinan matriks A dihapus baris ke i kolom ke j.

Kofaktor C13 adalah (-1)i+j Mij

A =

a11 a12…….a1j ……a1n

a21 a22 ……a2j…….a2n

: : : :

ai1 ai2 ……aij…….. ain

: : : :

an1 an2……anj……. ann

Mij= det

a11 a12…….a1j ……a1n

a21 a22 ……a2j…….a2n

: : : :

ai1 ai2 ……aij…….. ain

: : : :

an1 an2……anj……. ann

Cij =(-1)i+j Mij

MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN KOFAKTOR

Definisi determinan matriks dengan kofaktor

n

ij ij

i=1

a Cn

ij ij

j=1

a C

Definisi: Determinan matriks A (dengan ekspansi baris ke i, atau ekspansi kolom ke j) adalah :

A=

Mij det matriks yang diperoleh dengan menghapus baris ke i kolom ke j matriks A.

Cij=(-1)i+jMij

Det(A) = =

a11 a12…….a1j ……a1n

a21 a22 ……a2j…….a2n

: : : :

ai1 ai2 ……aij…….. ain

: : : :

an1 an2……anj……. ann

Contoh: Minor dan kofaktor

Minor Mij adalah determinan matriks A dihapus baris ke i kolom ke j. Kofaktor C13 adalah (-1)i+j Mij

A = M13 = det

Cij = (-1)i+jMij

C13 = (-1)1+3M13

a21 a22

a31 a32

A = M13 = det

C13 = (-1)1+3M13

a21 a22

a31 a32

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

Contoh: Hitunglah semua minor dan kofaktor matriks berikut ini:

3 0 0

1 2 0

4 4 5

M11=

C22=

M13=

C23=

C32=

M12=

C31=

C21= + - +

- + -

+ - +

C33=

Det 2 0 4 5

= 10

Det 1 0 4 5

= 5

Det 1 2 4 4

= -4

0

15

-12

0

0

6

?

?

?

?

?

?

C11= (-1)1+1 10 = 10

C12= (-1)1+2 5 = -5

C13= (-1)1+3 -4 = -4

Menghitung determinan dengan ekspansi baris/kolom

A =

(1 1) (1 2) 1 3

11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )a a a a a a a a a a a a a a a Det(A) =

Det(A) =

Det(A) =

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31a a a a a a a a a a a a a a a a a a

11 11 12 12 13 13a C a C a C

21 21 22 22 23 23a C a C a C

Det(A) =

C11 C12 C13

Ekspansi baris pertama

Ekspansi baris kedua

Menghitung determinan dengan ekspansi baris/kolom

A =

Det(A) =

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

11 11 12 12 13 13a C a C a C

=

=

21 21 22 22 23 23a C a C a C

21 21 22 22 23 23a C a C a C

11 11 21 21 31 31a C a C a C

21 21 22 22 23 23a C a C a C

21 21 22 22 23 23a C a C a C

=

=

=

ekspansi baris pertama

ekspansi baris kedua

ekspansi baris ketiga

ekspansi kolom pertama

?

?

Contoh: 3 0 0

1 2 0

4 4 5

C11= 10

C22= 15

C13= -4 C23= -12

C32= 0 C12= -5

C31= 0

C33= 6

C21= 0

Determinan A dengan ekspansi baris ketiga:

Det(A) = 4x0 + 4x0 + 5x6 = 30

Determinan A dengan ekspansi kolom ketiga:

Det(A) = 5x6 = 30

ada 9 (= 3x3) kofaktor

Determinan matriks 4x4 dengan kofaktor

11 11 12 12 13 13 14 14a C +a C +a C +a C

1

n

ij ij

j

a C

31 31 32 32 33 33 34 34a C +a C +a C +a C

11 12 13

21 22 23

41 42 43

a a a

a a a

a a a

A= M34= det C34=(-1)3+4M34

Ada berapa banyak kofaktor? Ada 16 kofaktor Cij, i, j = 1, 2, 3, 4

Det(A) = ekspansi baris pertama

ekspansi ……… =

Ada ……. cara menghitung determinan A dengan kofaktor

8 baris ke tiga

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

Menghitung determinan matriks 4x4 dengan kofaktor

matriks 4x4 berikut:

Ekspansi baris 1:

11418.130.170.156.1)( ADet

4113

3124

2311

1111

A

1414131312121111 ....)( CaCaCaCaADet

413

312

231

11

C

2100

770

231

210

77 56)7014(

413

314

231

12

C

1080

5110

231

108

511

70)40110(

433

324

211

13

C

1060

560

211

106

56

303060

133

124

311

14

C

860

1160

311

86

116

18)6648(

SIFAT - SIFAT DETERMINAN Sifat 1

det(At) = det(A) Contoh :

det(A) = 7 det(At) = 7

Sifat 2

Jika matriks B adalah hasil dari matriks A dengan menukarkan dua baris sebarang, maka

det(B) = - det(A)

34

25A

32

45tA

Contoh

Diberikan matriks

maka det(A) = 6.

Jika , maka det(B) = -det(A) = -6.

213

312

321

A

213

321

312

B

Sifat 3

Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan mengalikan bil.real k dengan satu baris (kolom) dari matriks A, maka

det(B) = k.det(A)

Contoh:

Diberikan matriks dgn det(A) = 6

Jika det(B) = 2 x det(A) = 2x6 = 12

011

312

321

A

011

624

321

B

Sifat 4

Jika matriks B diperoleh dari matriks A dgn mengalikan satu baris(kolom) dari A dgn bil.real sebarang kemudian menambahkannya ke baris (kolom) lain, maka

det(B) = det(A)

Contoh :

Diberikan matriks , det(A) = 12.

Jika , maka det(B) = det(A) = 12

011

624

321

A

310

624

321

B

Sifat 5

Jika suatu matriks terdiri dari dua baris (kolom) yang elemen – elemennya sama, maka determinannya adalah nol.

Contoh

Matriks determinannya = nol.

Sifat 6

Jika suatu matriks terdiri dari satu baris (kolom) dengan elemen nol, maka determinannya adalah nol.

111

320

111

A

Sifat 7

Jika matriks A=[aij], 1 i n, 1 j n, adalah matriks segitiga atas (bawah) maka

det(A) = a11.a22. … .ann

Contoh :

Diberikan matriks maka

det(A) = 1.(-2).2 = -4

200

120

321

A

Sifat 8 Jika matriks A dan B dapat dikalikan,maka

det(AB) = det(A).det(B)

Sifat 9 Jika matriks A invertible, maka

det(A-1) = )det(

1

A

Determinan matriks sederhana

a11 a12…a1j …a1n

0 a22 …a2j…a2n

: : : :

0 0 …aij….ain

: : :

0 0… 0 .... ann

a11 0 …0 … 0

0 a22 …0 … 0

: : :

0 0 …aij… 0

: : :

0 0… 0 .... ann

Matriks diagonal

Determinan matriks segitiga sama dengan hasil kali entri diagonal utama.

A= Det(A) = a11a22a33…ann

Setiap hasil kali elementer pasti memuat entri dari baris terakhir

(yaitu 0), kecuali a11a22a33…ann.

Det(B) = a11a22a33…ann

B=

Matriks segitiga

Determinan matriks dengan baris/kolom nol

Pertanyaan: apakah matriks yang tidak mempunyai inverse determinannya no?

Matriks dengan baris / kolom nol

A= Det(A) = 0 Setiap hasil kali elementer pasti memuat entri dari baris terakhir (yaitu 0). Jadi semua hasil kali elementer adalah nol.

Det(B) =0 B=

a11 a12…….a1j ……a1n

a21 a22 ……a2j…….a2n

: : : :

ai1 ai2 ……aij…….. ain

: : : :

0 0…… 0……. 0

a11 0…….a1j ……a1n

a21 0……a2j…….a2n

: : : :

ai1 0……aij…….. ain

: : : :

an1 0……anj……. ann

Contoh :

Hitunglah dengan cepat nilai determinan matriks berikut ini:

12 27 56 11

13 1 23 90

11 35 11 41

0 0 0 0

B

14 98 0 42

15 11 0 54

70 42 0 31

82 74 0 66

K

41 10 14

41 10 14

0 9 1

M

19 0 0

0 0 0

0 0 18

D

Det(D) =0

Det(B) =0

Det(K) =0

Det(M) =0

Determinan dan operasi baris elementer

Pengaruh tukar baris pada nilai determinan

1 3A'

2 4

3 3 6

B' 2 0 1

1 4 2

1 4 2

B 2 0 1

3 3 6

1 3A

2 4

Det(B) = 45

Det(A) = -2

R1 R2

Det(A’) = 2

Det(B’) = -45

R1 R3

menukar dua baris tanda dari setiap hasil kali elementer bertanda

berubah determinannya (-1) kali determinan semula.

det(X’) = -det(X) X X’ dengan tukar baris

Pengaruh perkalian baris dengan skalar pada nilai determinan

1 3A'

20 40

1 4 2

B' 2 0 1

1 1 2

1 4 2

B 2 0 1

3 3 6

1 3A

2 4

Det(B) = 45

Det(A) = -2

R2 10 R2

Det(A’) = -20

Det(B’) = 15 = 1/3 det(B)

R3 1/3 R3

satu baris dikalikan dengan konstanta k setiap hasil kali elementer

bertandanya dikalikan k determinannya adalah k kali determinan matriks

semula.

det(X’) = kdet(X) X X’ dengan mengalikan baris dengan k

Pengaruh jumlahan baris dengan kelipatan baris lain pada nilai determinan

1 3A'

4 10

1 4 2

B' 3 1 3

3 3 6

1 4 2

B 2 0 1

3 3 6

1 3A

2 4

Det(B) = 45

Det(A) = -2

R2 R2 + 2R1

Det(A’) = -2

Det(B’) = 45 = det(B)

R2 R2 +1/3 R3

Penjumlahan baris dengan kelipatan baris yang lain tidak mengubah hasil kali

elementer bertanda, jadi nilai determinannya tidak berubah.

det(X’) = det(X) X X’ dengan menjumlahkan brs dengan kelipatan baris lain:

Pengaruh operasi baris elementer pada nilai determinan

Kesimpulan:

menukar dua baris tanda dari setiap hasil kali elementer bertanda

berubah determinannya (-1) kali determinan semula.

satu baris dikalikan dengan konstanta k setiap hasil kali elementer

bertandanya dikalikan k determinannya adlah k kali determinan matriks

semula.

Penjumlahan baris dengan kelipatan baris yang lain tidak mengubah hasil

kali elementer bertanda, jadi nilai determinannya tidak berubah.

Menghitung determinan dengan operasi baris elementer (OBE)

Det(I) = 1

A mempunyai inverse

A I

Det(A) r kali tukar baris

s kali perkalian baris dengan skalar (k1, k2, k3, …, ks),

t kali jumlahkan baris dengan kelipatan baris lain

Det(I) = (-1)r k1 k2 k3 … ks det(A)

1 = (-1)r k1 k2 k3 … ks det(A)

Det(A) = (-1)r / (k1 k2 k3 … ks)

Bentuk ebt A

A mempunyai inverse maka det(A) ≠ 0

Menghitung determinan dengan operasi baris elementer

Det(A’) = 0

A TIDAK mempunyai inverse

A

Det(A) r kali tukar baris

s kali perkalian baris dengan skalar (k1, k2, k3, …, ks),

t kali jumlahkan baris dengan kelipatan baris lain

Det(A’) = (-1)r k1 k2 k3 … ks det(A)

0 = (-1)r k1 k2 k3 … ks det(A)

Det(A) = 0

0 0 … 0

A TIDAK mempunyai inverse

Bentuk ebt A Mempunyai baris

nol

Contoh: menghitung determinan dengan operasi baris elementer

B2 =

R2 ¼ * R2

R1 R2

B2 direduksi menjadi matriks identitas dengan 2 kali tukar baris, sekali mengalikan dengan konstanta ¼

Det(B2) = (-1) 2 1/( ¼ )

= (+1) . 1/(1/4) = 1/( ¼ ) = 4

0 4 0

0 0 1

1 0 0

R2 R3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0

0 4 0

0 0 1

0 4 0

1 0 0

0 0 1

I

Aplikasi determinan: Aturan Cramer

Aplikasi determinan untuk menyelesaiakan Sistem Persamaan

Linier

Penyajian SPL dengan persamaan matriks

a11x1 + a12x2 + a13x3 +… + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 +…+ a2nxn = b2 :

an1x1 + an2x2 + an3x3 + …+ annxn = bn

x = b =

matriks koefisien

SPL

a11 a12 a13 … a1n

a21 a22 a23 … a2n

:

an1 an2 an3 … ann

x1

x2

:

xn

b1

b2

:

bn

A =

Ax = b

Aturan Cramer

x = b =

a11 a12 … a1j … a1n

a21 a22 … a2j … a2n

:

an1 an2 … anj … ann

x1

x2

:

xn

b1

b2

:

bn

A =

b1 a12 … a1j … a1n

b2 a22 … a2j … a2n

:

bn an2 … anj … ann

A1 =

a11 a12 … b1 … a1n

a21 a22 … b2 … a2n

:

an1 an2 … bn … ann

Det(Aj) =

Penyelesaian SPL:

xj = det(Aj)/ det(A)

j = 1, 2, …, n

Contoh:

SPL

SPL dalam persamaan matriks 1 1 2 2 -1 -1 1 -1 2

x

y

z

1

1

-3

=

A1= A2= 1 1 2 1 -1 -1

-3 -1 2

1 1 2 2 1 -1 1 -3 2

A3=

1 1 1 2 -1 1 1 -1 -3

A

X = det(A1)/det(A) =-10/(-10) = 1

y = det(A2)/det(A) =-20/(-10) = 2

z = det(A3)/det(A) = 10/(-10) = -1

Det(A1) = -10 Det(A2) = -20 Det(A3) = 10

Det(A) = 10

32

12

12

zyx

zyx

zyx

Kapan Aturan Cramer bisa diterapkan

Kapan Aturan Cramer bisa diterapkan? Karena menggunakan determinan matriks koefisien sebagai pembagi, maka Aturan Cramer dapat diterapkan jika matriks koefisiennya persegi dan determinannya tidak nol (atau matriks koefisien mempunyai inverse.

xj = det(Aj)/ det(A) j = 1, 2, …, n

SPL: Ax = b

Dengan Aturan Cramer, penyelesaian dapat diperoleh dengan rumus berikut ini