DETERMINAN
DETERMINAN
DETERMINAN
Determinan dari suatu matriks berordo nxn, dinyatakan sebagai det(A) adalah skalar yang diasosiasikan dengan matriks dan didefinisikan secara induktif sebagai :
dimana adalah kofaktor – kofaktor yang diasosiasikan dengan entri – entri dalam baris ke - i dari matriks A.
1n jika
1n jikadet
ininii CaCa
aA
11
11
ijjii MC det 11
2221
1211
aa
aaAA det
MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS ATURAN SARRUS MATRIKS 2X2
2221
1211
aa
aaA
2211aa 2112aaA
Contoh 1.
24
13A
1046
4123
A
MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS ATURAN SARRUS MATRIKS 3X3
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
B
322313312312332211 aaaaaaaaa 332112322311312213 aaaaaaaaa B
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
B
3231
2221
1211
aa
aa
aa
Contoh 2.
544
321
223
B
544
321
223
B
44
21
23
0B
MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKSORDO N>3Jika A adalah matriks kuadrat, maka MINOR aij dinyatakan oleh Mij adalah determinan submatriks A yang didapat dengan jalan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke – j.
MINOR MATRIKS
nnnjnn
inijii
n
nj
aaaa
aaaa
a
aaaa
A
21
21
2
111211
nnnjnn
inijii
n
nj
ij
aaaa
aaaa
a
aaaa
M
21
21
2
111211
CONTOH 3. Diketahui matriks
0810
3300
1121
3110
A
maka
0
80
30
10
080
330
310
080
330
310
22 M
MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKSORDO N>3KOFAKTOR aij dinyatakan oleh Cij didefinisikan sebagai (-1)i+jMij
KOFAKTOR MATRIKS
Jika A adalah matriks berukuran n x n dan Cij adalah kofaktor dari elemen aij, maka matriks
dinamakan matriks kofaktor A dan transpose dari matriks kofaktor A dinamakan adjoin A = adj(A)
nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc
C
21
22221
11211
MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKSORDO N>3 Determinan matriks A yang berorde n x n dapat di hitung dengan cara mengalikan elemen-elemen suatu baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya, kemudian menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkannya
EKSPANSI KOFAKTOR/LAPLACE
Ekspansi kofaktor sepanjang baris- i
n
jijijCaA
1
det
Ekspansi kofaktor sepanjang kolom- j
n
iijijCaA
1
det
OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)
Yang dimaksud dengan operasi elementer pada baris suatu matriks A adalah sebagai berikut
Pertukaran baris - i dengan baris - j Ri Rj
Perkalian suatu baris - i dengan konstanta tak nol
kRi
Penjumlahan kelipatan baris - i pada baris - j
Rj + kRi
CONTOH OBE
A =
1 2 1 3 8 7 2 7 9
R2 R1 ~
1 2 1 2 7 9 3 8 7
R2 + (-2)R1 ~
1 2 1 0 3 7 3 8 7
-2 - 4 -2
R3 + (-3)R1 ~
1 2 1 0 3 7 3 8 7
-3 - 6 -3
1 2 1 0 3 7 0 2 4
SIFAT 1.
Jika A adalah sebarang matriks kuadrat yang mengandung sebaris bilangan nol, maka det(A) = 0
CONTOH 4.
SIFAT – SIFAT DETERMINAN
1 2 1 0 0 0 3 8 7
A = det(A) = 0
SIFAT – SIFAT DETERMINAN SIFAT 2.
Jika A adalah matriks segitiga n x n dimana diagonal utama tak nol, maka det(A) adalah hasil kali entri-entri pada diagonal utama, yakni det(A) = a11a22…ann
CONTOH 5.
A matriks segitiga atas, maka det(A) = 2.3.5.4 =120
4000
3500
5430
7612
A
SIFAT – SIFAT DETERMINAN SIFAT 3.
Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan oleh konstanta k, maka det(A’) = k det(A)
CONTOH 6.
det(A) = 21 dan det(B) = (2)(3) 21 = 126
614
321
342
A
18312
642
342
B = 2 kali baris 2 matriks A
= 3 kali baris 3 matriks A
SIFAT – SIFAT DETERMINAN SIFAT 4.
Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris A dipertukarkan, maka det(A’) = – det(A)
CONTOH 7.
det(A) = 21 dan det(B) = – 21
614
321
342
A
321
614
342
B baris 2 matriks A ditukar dengan baris 3
SIFAT – SIFAT DETERMINAN SIFAT 5.
Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan satu baris A ditambahkan pada baris lain, maka det(A’) = det(A)
A =
2 4 3 1 1 2 3 5 2
A’ =
2 4 3 1 1 2 3 5 2
SIFAT – SIFAT DETERMINAN SIFAT 6.
Jika A adalah sebarang matriks kuadrat, maka det(A) = det(At)
614
321
342
A
633
124
412tA
SIFAT – SIFAT DETERMINAN SIFAT 7.
Misalkan A, A’ dan A” adalah matriks n x n yang hanya berbeda dalam baris tunggal, katakanlah baris ke-r, dan anggap bahwa baris ke r dari A” dapat diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam baris ke-r dari A dan dalam baris ke-r dari A’, maka det(A”) = det(A) + det(A’) [hasil yang serupa juga berlaku untuk kolom]
SIFAT – SIFAT DETERMINAN SIFAT 8.
Jika A dan B adalah matriks kuadrat yang ukurannya sama, maka det(AB) = det(A) det(B)
SIFAT – SIFAT DETERMINAN SIFAT 9.
Sebuah matriks kuadrat dapat dibalik jika dan hanya jika det(A) 0
SIFAT – SIFAT DETERMINAN SIFAT 10.
Jika A dapat dibalik, maka
AAdet
det11
INVERS MATRIKS
DEFINISI Jika pada matriks bujur sangkar A terdapat matriks B sehingga AB = I, dengan I adalah matriks identitas, maka B dinamakan invers matriks A dan ditulis sebagai A–1
Jadi, jika A adalah matriks bujur sangkar tak singular berorde-n, maka terdapat satu invers A–1sehingga AA–1 = A–
1A = I
Invers matriks memiliki sifat, (AB) –1=B–1A–1 dan (A–1) –1 = A
Untuk menentukan invers matriks dapat dilakukan dengan dua cara
1. Metode reduksi
2. Metode determinan
METODE REDUKSI
METODE DETERMINAN
Sebuah matriks memiliki invers jika dan hanya jika det(A) 0. Invers matriks A dapat ditentukan dengan rumus
AadjA
Adet11