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DETERMINAO DE PATOLOGIAS ESTRUTURAIS
USANDO MODELAGEM NUMRICA E
TRANSFORMADAS DE WAVELET
RAMON SALENO YURE COSTA SILVA
DISSERTAO DE MESTRADO EM ESTRUTURAS
E CONSTRUO CIVIL
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
FACULDADE DE TECNOLOGIA
UNIVERSIDADE DE BRASLIA
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i
UNIVERSIDADE DE BRASLIA
FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
DETERMINAO DE PATOLOGIAS ESTRUTURAIS
USANDO MODELAGEM NUMRICA E
TRANSFORMADAS DE WAVELET
RAMON SALENO YURE COSTA SILVA
ORIENTADOR: LUCIANO MENDES BEZERRA
DISSERTAO DE MESTRADO EM ESTRUTURAS E
CONSTRUO CIVIL
PUBLICAO: E.DM-001A/11
BRASLIA/DF: FEVEREIRO 2011
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ii
UNIVERSIDADE DE BRASLIA
FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
DETERMINAO DE PATOLOGIAS ESTRUTURAIS USANDO
MODELAGEM NUMRICA E TRANSFORMADAS DE WAVELET
RAMON SALENO YURE COSTA SILVA
DISSERTAO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DA FACULDADE DE
TECNOLOGIA DA UNIVERSIDADE DE BRASLIA COMO PARTE DOS
REQUISTOS NECESSRIOS PARA A OBTENO DO GRAU DE
MESTRE EM ESTRUTURAS E CONSTRUO CIVIL.
APROVADA POR:
_________________________________________________
Prof. Luciano Mendes Bezerra, PhD (UnB) (Orientador)
_________________________________________________
Prof. William Taylor Matias Silva, Dr. Ing. (UnB)
(Examinador Interno)
_________________________________________________
Prof. Ney Roitman, DSc. (COPPE-UFRJ)
(Examinador Externo)
BRASLIA/DF, 25 DE FEVEREIRO DE 2011
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iii
FICHA CATALOGRFICA
SILVA, RAMON SALENO YURE COSTA
Determinao de Patologias Estruturais Usando Modelagem Numrica e
Transformadas
de Wavelet. [Distrito Federal] 2011.
xxv, 117p., 210 x 297 mm (ENC/FT/UnB, Mestre, Estruturas e
Construo Civil, 2011).
Dissertao de Mestrado Universidade de Braslia. Faculdade de
Tecnologia. Departamento de Engenharia Civil e Ambiental.
1.Transformada de Wavelet 2.Wavelets
3.Danos 4. Frequncias naturais
I. ENC/FT/UnB II. Ttulo (srie)
REFERNCIA BIBLIOGRFICA
SILVA, R. S. Y. C. (2011). Determinao de Patologias Estruturais
Usando Modelagem
Numrica e Transformadas de Wavelet. Dissertao de Mestrado em
Estruturas e
Construo Civil. Publicao E.DM-001A/11, Departamento de
Engenharia Civil e
Ambiental, Universidade de Braslia, Braslia, DF, 117p.
CESSO DE DIREITOS
AUTOR: Ramon Saleno Yure Costa Silva
TTULO: Determinao de Patologias Estruturais Usando Modelagem
Numrica e
Transformadas de Wavelet
GRAU: Mestre ANO: 2011
concedida Universidade de Braslia permisso para reproduzir cpias
desta dissertao
de mestrado e para emprestar ou vender tais cpias somente para
propsitos acadmicos e
cientficos. O autor reserva outros direitos de publicao e
nenhuma parte dessa dissertao
de mestrado pode ser reproduzida sem autorizao por escrito do
autor.
____________________________________
Ramon Saleno Yure Costa Silva
SHIN CA 11, Lote 7, Casa 09 Lago Norte 71.503-511 Braslia - DF-
Brasil
e-mail: [email protected]
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iv
Dedicatria.
Dedico este trabalho minha me, in memoriam, e
minha av Dil, in memoriam, pelo amor e carinho
incondicional.
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v
AGRADECIMENTOS
Deus por ter sempre me acompanhado nos momentos de alegria e de
tristeza me dando
foras para que pudesse continuar seguindo em frente para alcanar
os meus objetivos com
muita pacincia e humildade.
toda famlia Itapary, em especial, Wanda, Jonas, Circe, Igor,
Cynthia e Vincius pelo
incentivo na tentativa por uma vaga no mestrado da UnB, pelo
acolhimento aqui em
Braslia e por todo apoio e motivao recebido durante o
mestrado.
minha namorada Adriana pelo amor, respeito, companheirismo e
pacincia.
Ao PECC pela vaga concedida no programa de mestrado.
Ao meu orientador Luciano Mendes Bezerra pela disponibilidade,
dedicao,
comprometimento e incentivo na orientao deste trabalho.
Aos professores do PECC, em especial, ao Paul e Graciela pelas
sugestes dadas no meu
seminrio de mestrado e ao professor Taylor pelo estgio de
docncia na graduao.
Ao Professor Quan Wang da Universidade de Manitoba pelos
esclarecimentos e sugestes
dadas no incio desta pesquisa.
Ao CNPQ pelo suporte financeiro.
A Eva por desempenhar muito bem suas atividades como secretria
do PECC contribuindo
para o bom andamento das atividades dirias dos alunos e
professores do programa.
Aos amigos da UnB Iuri, Rogrio, Sebastio, Ceclia, Elaine, Jorge,
Morgana, Patrcia,
Fbio, Alejandro, Marcus Vincius, Urubatan, Abdala, Henrique,
Marcus Alexandre e
Ucha, pelo companheirismo e auxlio durante o mestrado.
E por fim, todos que de alguma forma contriburam para que o
sonho do mestrado um dia
pudesse se tornar uma realidade.
-
vi
Quem vive em zona de conforto, nunca se desenvolve
Autor desconhecido.
-
vii
RESUMO
DETERMINAO DE PATOLOGIAS ESTRUTURAIS USANDO MODELAGEM
NUMRICA E TRANSFORMADAS DE WAVELET
Autor: Ramon Saleno Yure Costa Silva
Orientador: Luciano Mendes Bezerra, PhD
Programa de Ps-graduao em Estruturas e Construo Civil
Braslia, Janeiro de 2011
Nos ltimos anos, observa-se grande interesse por parte da
comunidade cientfica nas
pesquisas associadas deteco de danos em estruturas, utilizando
mtodos numricos
com objetivo de auxiliar as tcnicas no destrutivas aplicadas no
monitoramento do
desempenho, patologia e da sade de estruturas civis. Neste
sentido, o objetivo deste
trabalho contribuir para o estudo de deteco de danos em
estruturas, utilizando
modelagem numrica em elementos finitos e transformadas de
wavelet. Para isto, diversas
situaes de danos foram simuladas numericamente em vigas, trelias
e pontes, e, em
seguida, sinais de deslocamento e modos de vibrao foram
utilizados para avaliar a
eficincia das transformadas de wavelet na deteco de danos para
diferentes condies de
contorno e de carregamentos aplicados nestas estruturas. Alm
disso, foi analisada a
influncia da introduo do rudo nos sinais usados no processo de
deteco do dano. Nas
simulaes numricas os programas ANSYS11.0 e SAP2000 foram
utilizados para gerar
os sinais de deslocamento e, tambm, modos de vibrao de
estruturas danificadas e,
posteriormente, as transformadas de wavelet destes sinais foram
calculadas atravs do
programa MATLAB. Os resultados obtidos mostraram que as
transformadas de wavelet
so capazes de detectar danos, at mesmo, de pequenas dimenses
atravs dos coeficientes
de wavelet que alcanam grandes amplitudes na regio danificada,
distintamente do que
ocorre em regies sem dano onde estes coeficientes no apresentam
grandes amplitudes.
Assim sendo, o uso das transformadas de wavelet mostra-se
promissor no processo de
deteco e monitoramento de danos em estruturas.
-
viii
ABSTRACT
DETERMINATION OF STRUCTURAL PATHOLOGIES USING NUMERICAL
MODELING AND WAVELET TRANSFORM
Author: Ramon Saleno Yure Costa Silva
Supervisor: Luciano Mendes Bezerra, PhD
Programa de Ps-graduao em Estruturas e Construo Civil
Brasilia, February of 2011
In recent years, there is a large interest in the scientific
community in the researches
associated on damage detection in structures using numerical
methods with the goal to help
in the non-destructive techniques applied to performance
monitoring, pathology and
structural health of civil structures. In this sense, the
objective of this research is to
contribute for the study of damage detection in structures using
numerical finite element
modeling and wavelet transforms. For this, many damage scenarios
were simulated
numerically in beams, trusses and bridges and then displacements
signals and mode shapes
were used to evaluate the efficiency of wavelet transforms in
detecting damages for
different boundary conditions and loadings applied to such
structures. Moreover, it was
analyzed the influence of noise introduction in the signals used
for damage detection
process. In the numerical simulations the ANSYS11.0 and SAP2000
programs were used
to generate the signals of displacement and also mode shapes in
damaged structures and
after that, the wavelet transforms of these signals were
computed using MATLAB
program. The results shows that the wavelet transforms are able
to detect even small
damages through wavelet coefficients which achieve large
amplitudes in the damaged
region, differently of what takes place in regions without
damage where these coefficients
do not show large amplitudes. Therefore, the use of wavelet
transform appears to be
promising in the process of detection and monitoring damaged
structures.
-
ix
SUMRIO
1 INTRODUO
...........................................................................................................
1
1.1 MOTIVAO
.........................................................................................................
2
1.2 OBJETIVOS
............................................................................................................
4
1.3 ESTRUTURAO DA DISSERTAO
............................................................. 5
2 REVISO BIBLIOGRFICA
...................................................................................
6
2.1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS
..........................................................................
6
2.1.1 Influncia dos danos numa estrutura
............................................................ 6
2.1.2 Patologias provocadas por processos construtivos
....................................... 6
2.1.3 Patologias provocadas pela ao de cargas externas
.................................... 7
2.2 DESCRIO GENRICA DOS MTODOS DE DETECO DE DANO ...... 8
2.3 USO DAS WAVELETS PARA DETECO DE DANOS
................................ 11
3 MTODOS DE DETECO DE DANOS
.............................................................
17
3.1 MTODOS EXPERIMENTAIS
..........................................................................
17
3.2 MTODOS NUMRICOS
...................................................................................
19
3.2.1 Mtodo da mudana de flexibilidade
........................................................... 20
3.2.2 Mtodo da curvatura
.....................................................................................
21
3.2.3 Assinaturas estruturais
.................................................................................
22
3.2.4 MTODOS BASEADOS EM WAVELETS
............................................... 24
3.2.4.1 Wavelets e Transformada de
Fourier.......................................................
25
3.2.4.2 Propriedades das wavelets
.......................................................................
27
3.2.4.3 Wavelets me
...........................................................................................
27
3.2.4.4 Transformada Contnua de Wavelet (TCW)
........................................... 30
3.2.4.5 Transformada Discreta de Wavelet
(TDW)............................................. 32
3.3 DISTRIBUIO DO ERRO
................................................................................
34
3.3.1 Mtodos de regularizao
.............................................................................
36
4 SIMULAES DE DANOS E APRESENTAO DOS RESULTADOS ..........
38
4.1 DETECO DE DANOS EM VIGAS
.................................................................
38
4.1.1 Viga em Balano
............................................................................................
41
4.1.1.1 Anlise esttica
........................................................................................
41
4.1.1.2 Anlise modal
..........................................................................................
47
-
x
4.1.2 Viga Biengastada
...........................................................................................
54
4.1.2.1 Anlise esttica
........................................................................................
54
4.1.2.2 Anlise modal
..........................................................................................
58
4.2 DETECO DO DANO EM UMA
TRELIA................................................... 64
4.2.1 Anlise esttica
...............................................................................................
65
4.2.2 Deteco de dano com sinal regularizado
................................................... 68
4.3 DETECO DO DANO EM UMA PONTE
....................................................... 69
4.3.1 Anlise esttica
...............................................................................................
77
4.3.1.1 Desplacamento na viga principal
.............................................................
79
4.3.1.2 Desplacamento no tabuleiro
....................................................................
81
4.3.2 Anlise modal
.................................................................................................
85
4.3.2.1 Desplacamento na viga principal
.............................................................
88
4.3.2.2 Desplacamento no tabuleiro
....................................................................
90
5 CONCLUSES E SUGESTES
.............................................................................
94
5.1 CONCLUSES GERAIS
.....................................................................................
94
5.2 SUGESTES PARA TRABALHOS FUTUROS
................................................ 95
REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS
............................................................................
97
APNDICE A SCRIPT UTILIZADO PARA GERAO DA ANLISE
ESTTICA DA PONTE SOBRE RIO PADEIRO
....................................................... 103
APNDICE B SCRIPT UTILIZADO PARA GERAO DA ANLISE MODAL
DA PONTE SOBRE RIO PADEIRO
............................................................................
107
APNDICE C ROTEIRO EM MATLAB PARA CALCULAR AS TDW .............
110
ANEXO A - RELATRIO FOTOGRFICO DA PONTE SOBRE O CRREGO
PADEIRO
.........................................................................................................................
112
ANEXO B FICHA DE INSPEO
............................................................................
117
-
xi
LISTA DE TABELAS
Tabela 3.1 Resumo das propriedades das famlias de wavelets
.................... .................. 30
Tabela 4.1- Propriedades das vigas
.....................................................................................
39
Tabela 4.2- Situaes de dano
.............................................................................................
40
Tabela 4.3 - Coeficientes discretos de Wavelet para os casos com
erro, x10-7
................... 47
Tabela 4.4 - Frequncia fundamental (Hz) da viga em balano
.......................................... 48
Tabela 4.5 Frequncia natural (Hz) da viga sem fissura
.................................................. 48
Tabela 4.6 - Frequncia fundamental (Hz) da viga biengastada
......................................... 58
Tabela 4.7 Frequncia natural da viga biengastada sem fissura
(Hz) .............................. 59
Tabela 4.8 Propriedades da trelia
....................................................................................
65
Tabela 4.9 Propriedades dos materiais utilizados na ponte
.............................................. 71
Tabela 4.10 Ocorrncia de Patologias em superestrutura
................................................ 73
Tabela 4.11 Casos de dano utilizados na ponte
................................................................
74
Tabela 4.12 Aes permanentes
.......................................................................................
75
Tabela 4.13 Pesos dos veculos e valores das cargas distribudas
.................................... 75
Tabela 4.14 Caractersticas dos veculos-tipo
..................................................................
76
Tabela 4.15 - Comparao entre as frequncias naturais (Hz)
............................................ 88
-
xii
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 Pontes de destaque no Brasil.
............................................................................
1
Figura 1.2- Rachadura na ponte dos Remdios
....................................................................
2
Figura 1.3- Desabamento de um trecho da ponte Capivari.
.................................................. 2
Figura 2.1- (a) Fissura de retrao por secagem de uma laje,(b)
Vista inferior da laje do
tabuleiro mostrando o desplacamento do concreto e a corroso das
armaduras,(c) ataque
por sultatos em pilares......
................................................................................................
7
Figura 2.2- Representao dos tipos de fissuras que podem ocorrer
no concreto. ................ 8
Figura 2.3- Classificao dos mtodos de deteco de dano.
.............................................. 10
Figura 2.4 Modelo em elementos finitos da viga em balano
fissurada na borda. ........... 11
Figura 2.5 Viga biapoiada com uma fissura e submetida a um
carregamento esttico. ... 12
Figura 2.6 Placa contendo uma fissura
.............................................................................
12
Figura 2.7 Viga em balano contendo uma fissura transversal
........................................ 12
Figura 2.8 Modelo numrico da viga usando elemento SOLID45.
.................................. 13
Figura 2.9 Esquema da viga em balano fissurada
........................................................... 14
Figura 2.10 Viga biengastada submetida carga esttica ou
dinmica............................ 14
Figura 2.11 Prtico submetido carga esttica.
...............................................................
14
Figura 2.12 Viga com molas rotacionais na seo com o dano
........................................ 15
Figura 2.13 Viga utilizada no experimento.
.....................................................................
15
Figura 2.14 Geometria da ponte utilizada como exemplo.
............................................... 16
Figura 3.1- Deteco de danos usando a tcnica de ultrassom.
........................................... 17
Figura 3.2 - Figura Deteco de danos usando a tcnica de raio-x.
................................... 18
Figura 3.3 Problema direto em elastosttica.
....................................................................
20
Figura 3.4 Funo peridica senoidal e funo wavelet de Daubechies
com 10 momentos
nulos
................................................................................................................................
26
Figura 3.5 Wavelet-me Haar
...........................................................................................
28
Figura 3.6 Famlia de wavelets db1 a db9
........................................................................
28
Figura 3.7 - Famlia de wavelets biorthogonais.
..................................................................
29
Figura 3.8- Dilao e translao de funes wavelet.
......................................................... 31
Figura 3.9 - Nmeros aleatrios gerados com distribuio
Gaussiana................................ 36
Figura 4.1 - Modelo da viga em balano.
............................................................................
39
Figura 4.2 Modelo viga
biengastada.................................................................................
39
Figura 4.3-Elemento finito
PLANE42.................................................................................
40
-
xiii
Figura 4.4 Discretizao do modelo em elementos finitos da viga em
balano ............... 40
Figura 4.5 - Discretizao do modelo em elementos finitos da viga
biengastada. .............. 41
Figura 4.6 - Deformada da viga em balano obtida no ANSYS.
....................................... 41
Figura 4.7 - Deflexo da viga em balano submetida carga esttica.
............................... 42
Figura 4.8- Coeficientes de wavelet da situao 1 usando db2
(L/4). ................................. 42
Figura 4.9- Coeficientes de wavelet da situao 1 usando bior6.8
(L/4). ........................... 43
Figura 4.10 Coeficientes de wavelet da situao 2 usando db2
(L/2). ............................. 43
Figura 4.11 Coeficientes de wavelet da situao 2 usando bior6.8
(L/2). ........................ 43
Figura 4.12 Coeficientes de wavelet da situao 3 usando db2
(L/4). ............................. 44
Figura 4.13 Coeficientes de wavelet da situao 3 usando bior6.8
(L/4). ........................ 44
Figura 4.14 Coeficientes de wavelet da situao 4 usando db2
(L/2). ............................. 44
Figura 4.15 Coeficientes de wavelet da situao 4 usando bior6.8
(L/2). ........................ 45
Figura 4.16 Coeficientes de wavelet da situao 1 caso 1usando db2
(L/4). ................... 45
Figura 4.17 Coeficientes de wavelet da situao 1 caso 1usando
bior6.8 (L/4). .............. 46
Figura 4.18- Coeficientes de wavelet da situao 1 caso 2 usando
db2 (L/4). .................... 46
Figura 4.19 Coeficientes de wavelet da situao 1 caso 2 usando
bior6.8 (L/4). ............. 47
Figura 4.20 - Primeiro modo de vibrao da viga em balano obtido
no ANSYS. ............ 49
Figura 4.21 Segundo modo de vibrao da viga em balano obtido no
ANSYS. ............ 49
Figura 4.22 - Terceiro modo de vibrao da viga em balano obtido
no ANSYS. ............. 50
Figura 4.23 - Primeiro modo de vibrao da viga em balano
............................................ 50
Figura 4.24- Segundo modo de vibrao da viga em balano.
............................................ 51
Figura 4.25 - Coeficientes de wavelet da situao 1 usando db2
(L/4). .............................. 51
Figura 4.26 Coeficientes de wavelet da situao 1 usando bior6.8
(L/4). ........................ 52
Figura 4.27 Coeficientes de wavelet da situao 2 usando db2
(L/2). ............................. 52
Figura 4.28 Coeficientes de wavelet da situao 2 usando bior6.8
(L/2). ........................ 52
Figura 4.29 Coeficientes de wavelet da situao 3 usando db2
(L/4). ............................. 53
Figura 4.30 Coeficientes de wavelet da situao 3 usando bior6.8
(L/4). ........................ 53
Figura 4.31 Coeficientes de wavelet da situao 4 usando db2
(L/2). ............................. 53
Figura 4.32 Coeficientes de wavelet da situao 4 usando bior6.8
(L/2). ........................ 54
Figura 4.33 - Deformada da viga biengastada obtida no ANSYS.
...................................... 54
Figura 4.34 Deslocamento da viga biengastada submetida carga
esttica. ................... 55
Figura 4.35 Coeficientes de wavelet da situao 1 usando db2
(L/4). ............................. 55
Figura 4.36 Coeficientes de wavelet da situao 1 usando bior6.8
(L/4). ........................ 56
Figura 4.37 Coeficientes de wavelet da situao 2 usando db2
(L/2). ............................. 56
-
xiv
Figura 4.38 Coeficientes de wavelet da situao 2 usando bior6.8
(L/2). ........................ 56
Figura 4.39 Coeficientes de wavelet da situao 3 usando db2
(L/4). ............................. 57
Figura 4.40 Coeficientes de wavelet da situao 3 usando bior6.8
(L/4). ........................ 57
Figura 4.41 Coeficientes de wavelet da situao 4 usando db2
(L/2). ............................. 57
Figura 4.42 Coeficientes de wavelet da situao 4 usando bior6.8
(L/2). ........................ 58
Figura 4.43 - Primeiro modo de vibrao da viga biengastada obtido
no ANSYS. ............ 59
Figura 4.44 - Segundo modo de vibrao da viga biengastada obtido
no ANSYS. ............ 60
Figura 4.45 -Terceiro modo de vibrao da viga biengastada obtido
no ANSYS. ............. 60
Figura 4.46- Primeiro modo de vibrao da viga biengastada.
........................................... 61
Figura 4.47- Segundo modo de vibrao da viga biengastada.
........................................... 61
Figura 4.48 - Coeficientes de wavelet da situao 1 usando db2
(L/4). .............................. 62
Figura 4.49 Coeficientes de wavelet da situao 1 usando bior6.8
(L/4). ........................ 62
Figura 4.50 Coeficientes de wavelet da situao 2 usando db2
(L/2). ............................. 62
Figura 4.51 Coeficientes de wavelet da situao 2 usando bior6.8
(L/2). ........................ 63
Figura 4.52 Coeficientes de wavelet da situao 3 usando db2
(L/4). ............................. 63
Figura 4.53 Coeficientes de wavelet da situao 3 usando bior6.8
(L/4). ........................ 63
Figura 4.54 Coeficientes de wavelet da situao 4 usando db2
(L/2). ............................. 64
Figura 4.55 Coeficientes de wavelet da situao 4 usando bior6.8
(L/2). ........................ 64
Figura 4.56 Elemento de barra (FRAME).
.......................................................................
65
Figura 4.57 Trelia
analisada............................................................................................
65
Figura 4.58 - Deslocamentos nodais para a trelia linearizada.
.......................................... 66
Figura 4.59 Coeficientes de wavelet para a trelia sem o dano
usando db2. ................... 66
Figura 4.60 - Coeficientes de wavelet para a trelia com o dano
usando db2. .................... 67
Figura 4.61 Diferena dos deslocamentos nodais com o dano e sem o
dano. .................. 67
Figura 4.62 Coeficientes de wavelet aplicado no sinal da
diferena dos deslocamentos
com o dano e sem o dano usando Db2.
...........................................................................
68
Figura 4.63 - Deslocamentos nodais regularizados para =100.
......................................... 68
Figura 4.64 Coeficientes de wavelet aplicado nos deslocamentos
regularizados sem o
dano usando db2.
............................................................................................................
69
Figura 4.65 - Coeficientes de wavelet aplicado nos deslocamentos
regularizados com o
dano usando Db2.
...........................................................................................................
69
Figura 4.66 Planta baixa da ponte sobre o crrego
padeiro.............................................. 70
Figura 4.67 Corte A-A da ponte sobre o crrego padeiro.
............................................... 70
Figura 4.68 Corte B-B da ponte sobre o crrego padeiro.
................................................ 71
-
xv
Figura 4.69 Elemento slido SOLID65.
...........................................................................
71
Figura 4.70 Ponte sobre o Crrego Padeiro.
.....................................................................
72
Figura 4.71 Perspectivas da ponte sobre o Crrego Padeiro.
........................................... 72
Figura 4.72 Discretizao do modelo em elementos finitos da ponte
sobre o Crrego
Padeiro.
...........................................................................................................................
73
Figura 4.73 Caso 1: Desplacamento na viga principal.
.................................................... 74
Figura 4.74 Caso 2: Desplacamento no tabuleiro.
............................................................ 75
Figura 4.75 Caractersticas dos veculos-tipo.
..................................................................
76
Figura 4.76 Trem tipo da NBR:7188(1984).
....................................................................
76
Figura 4.77 Modelo em elementos finitos da ponte sob
carregamento esttico. .............. 77
Figura 4.78 - Deformada da ponte.
......................................................................................
77
Figura 4.79 Tenses normais na direo x (x).
...............................................................
78
Figura 4.80 Deslocamentos verticais na direo y (Uy).
.................................................. 78
Figura 4.81 Deslocamentos nodais da viga principal com e sem
desplacamento. ........... 79
Figura 4.82 Coeficientes de wavelet para desplacamento na viga
principal usando Db2.79
Figura 4.83 - Coeficientes de wavelet para desplacamento na viga
principal com
regularizao usando db2.
...............................................................................................
80
Figura 4.84 - Coeficientes de wavelet para desplacamento na viga
principal com sinal da
diferena com o dano e sem dano usando db2.
...............................................................
81
Figura 4.85 Deformada da ponte com desplacamento no tabuleiro.
................................ 81
Figura 4.86 Tenses normais na direo x com desplacamento no
tabuleiro................... 82
Figura 4.87 Deslocamentos verticais na direo y com desplacamento
no tabuleiro. ...... 82
Figura 4.88 - Deslocamentos nodais no tabuleiro com e sem
desplacamento. ................... 83
Figura 4.89 - Coeficientes de wavelet para desplacamento no
tabuleiro usando bior6.8. ... 83
Figura 4.90 - Coeficientes de wavelet para desplacamento no
tabuleiro com 1% de erro no
sinal esttico e usando bior6.8.
.......................................................................................
84
Figura 4.91 - Coeficientes de wavelet para desplacamento no
tabuleiro com 2% de erro no
sinal esttico e usando bior6.8.
.......................................................................................
84
Figura 4.92 Primeiro modo de vibrao sem o dano.
....................................................... 85
Figura 4.93 Segundo modo de vibrao sem o dano.
....................................................... 85
Figura 4.94 Terceiro modo de vibrao sem o dano.
....................................................... 86
Figura 4.95 - Primeiro modo de vibrao com desplacamento na VP.
............................... 86
Figura 4.96 - Segundo modo de vibrao com desplacamento na VP.
............................... 87
Figura 4.97 - Terceiro modo de vibrao com desplacamento na VP.
................................ 87
-
xvi
Figura 4.98 Primeiro modo de vibrao sem o dano e com o dano na
VP....................... 88
Figura 4.99 - Coeficientes de wavelet para desplacamento na VP
usando db2. ................. 89
Figura 4.100 - Coeficientes de wavelet para desplacamento na VP
com regularizao
usando db2.
.....................................................................................................................
89
Figura 4.101 - Coeficientes de wavelet para desplacamento na
viga principal com sinal da
diferena entre dano e sem dano usando db2.
................................................................
90
Figura 4.102 Primeiro modo de vibrao com desplacamento no
tabuleiro da ponte. .... 90
Figura 4.103 - Segundo modo de vibrao com desplacamento no
tabuleiro da ponte. ..... 91
Figura 4.104 - Terceiro modo de vibrao com desplacamento no
tabuleiro da ponte. ...... 91
Figura 4.105 Primeiro modo de vibrao sem o dano e com o dano no
tabuleiro. .......... 92
Figura 4.106 - Coeficientes de wavelet para desplacamento no
tabuleiro usando bior6.8.. 92
Figura 4.107 - Coeficientes de wavelet para desplacamento no
tabuleiro com 1% de erro no
sinal modal e usando bior6.8.
.........................................................................................
93
Figura 4.108 - Coeficientes de wavelet para desplacamento no
tabuleiro com 2% de erro no
sinal modal e usando bior6.8.
.........................................................................................
93
Figura A.1 Vista frontal estaca inicial
.........................................................................
112
Figura A.2 Vista lateral a montante
................................................................................
112
Figura A.3 Vista inferior da ponte
..................................................................................
113
Figura A.4 Leito do rio
...................................................................................................
113
Figura A.5 Vista do encontro E1
....................................................................................
114
Figura A.6 Vista do encontro E2
....................................................................................
114
Figura A.7 Ferragem exposta na parte inferior do tabuleiro
.......................................... 115
Figura A.8 Tabuleiro com proteao lateral danificada
................................................... 115
Figura A.9 Vista lateral a jusante
...................................................................................
116
Figura A.10 Vista frontal estaca final
..........................................................................
116
-
xvii
LISTA DE SMBOLOS, NOMENCLATURA E ABREVIAES
B - largura da viga
Ca,b - coeficientes de wavelet
E - mdulo de elasticidade do material
F - matriz de flexibilidade
H - altura da viga
I - momento de inrcia;
K - matriz de rigidez
L - comprimento da viga
M - matriz de massa
S- rea da seo transversal
Z - conjunto dos nmeros inteiros
a - parmetro de escala
a - tamanho da fissura
b - parmetro de translao
d - localizao da fissura
i - ndice de escala
k - ndice de translao
m - massa por unidade de comprimento;
t - tempo
- matriz dos modos de vibrao
- matriz diagonal com os quadrados das frequncias naturais de
vibrao;
- frequncias naturais
a,b - funo wavelet
- massa especfica
- porcentagem de erro admitida
- desvio padro
t - wavelet-me
- coeficiente de Poisson
- curvatura da seo
i - mdia dos valores aleatrios
- valores aleatrio de erros
-
xviii
- valores verdadeiros de deslocamento e modos de vibrao obtidos
na anlise
esttica e modal respectivamente
- valores de deslocamento e modos de vibrao obtidos na anlise
esttica e
modal respectivamente somados com o erro aleatrio
- diferena entre os deslocamentos nodais da estrutura intacta
(ui) e da
estrutura danificada (ud)
- quadrados das diferenas entre as frequncias naturais obtidas
com a
estrutura intacta (i e com a estrutura danificada (d)
- parmetro adimensional utilizado para o clculo da frequncia
natural;
CEB - Comit Euro-Internacional do Concreto
COMAC - Coordinate Modal Assurance Criterion
TCW- Transformada Contnua de Wavelet
TDW Transformada Discreta de Wavelet
DNIT - Departamento Nacional de Infraestruturas de
Transportes
EI - Rigidez flexo
ENC - Departamento de Engenharia Civil e Ambiental da UnB
MEC - Mtodo dos Elementos de Contorno
MEF - Mtodo dos Elementos Finitos
NBR Norma Brasileira Regulamentadora
PECC - Programa de Ps-graduao em Estsruturas e Construo
Civil
SHM- Structural Health Monitoring
TF - Transformada de Fourier
UnB- Universidade de Braslia
kN- kilonewton
MPa- megapascal
1D- uma dimenso
2D- duas dimenses
3D- trs dimenses
-
1
1 INTRODUO
As pontes so construes de grande importncia para o
desenvolvimento econmico e
social do pas, visto que as mesmas encurtam caminhos, transpem
obstculos e servem
para dar continuidade s vias, proporcionando o trnsito de
pessoas e o escoamento da
produo de uma regio, ou mesmo, de um pas.
A arte de construir pontes tem evoludo bastante nos ltimos
tempos em funo dos
avanos tecnolgicos que proporcionaram o uso de novos materiais e
criao de
ferramentas computacionais, capazes de realizar anlises
estruturais complexas de
estruturas ousadas com um elevado grau de preciso. De posse
dessas ferramentas, os
arquitetos e engenheiros tm concebido belssimas pontes com
sistemas estruturais
arrojados e desafiadores. Como exemplo aqui no Brasil, podemos
citar: a ponte JK em
Braslia (Figura 1.1a), e a ponte Octavio Frias de Oliveira em So
Paulo (Figura 1.1b).
(a) (b)
Figura 1.1 Pontes de destaque no Brasil: (a) Ponte JK em Braslia
(Flickr,2010), (b) Ponte Octavio Frias de Oliveira em So Paulo
(Conhecasaopaulo, 2010).
Infelizmente, nossos governantes e administradoras de rodovias
ainda no desenvolveram
plenamente a mentalidade estratgica da manuteno e conservao de
pontes, viadutos,
passarelas, entre outras estruturas. Este descaso d-se ainda de
forma mais crtica em nosso
pas, onde a manuteno de pontes no prioritria nem mesmo no DNIT
(Departamento
Nacional de Infraestrutura de Transportes).
A manuteno no Brasil, quando ocorre, geralmente corretiva e s
vem a ser realizada
quando a obra est no limiar do seu estado limite de colapso ou
de utilizao. O tema
conservao s fica em evidncia quando acontece um acidente
estrutural com alguma
obra importante, como foi o caso da ponte dos Remdios sobre o
rio Tiet em So Paulo
-
2
(Figura 1.2) que, em 1997, entrou em processo de colapso pelo
fato de no receber
manuteno desde a sua construo em 1968. Outro acidente de
destaque no Brasil foi o
desabamento de um trecho da ponte sobre a represa de Capivari
(Figura 1.3), na rodovia
Regis Bittencourt (BR-116/PR), com a perda de vidas humanas,
cuja causa foi a ausncia
de manuteno dos aterros das cabeceiras ao longo dos 40 anos de
utilizao (Vitrio,
2008).
Figura 1.2- Rachadura na ponte dos Remdios (Cunha et al.,
1998).
Figura 1.3- Desabamento de um trecho da ponte Capivari
(Folhaonline, 2005).
1.1 MOTIVAO
A performance estrutural de uma ponte diminui ao longo de sua
vida til devido a muitos
processos de deteriorao, entre eles, fadiga, carbonatao,
desplacamento do concreto,
corroso de armaduras, e oxidao de estruturas metlicas. Assim, a
falha de uma
importante parte da estrutura pode causar perdas econmicas
significantes e tambm perda
de vidas humanas, o que mais grave ainda (Estrada, 2008).
Diversas pontes no Brasil apresentam danos supostamente
relacionados ao excesso de
carga rodoviria, pois esto submetidas a carregamentos superiores
queles para os quais
foram projetadas. o caso, por exemplo, das pontes que foram
projetadas at 1981,
-
3
quando o trem-tipo mximo adotado era de 36t. A adoo do trem-tipo
de 45t pela a NBR
7188:1984 foi feita a partir de 1982, sendo que continuam em uso
as pontes antes
projetadas com o trem tipo de 36t. Portanto, uma parcela
significativa das pontes no Brasil
projetadas com cargas mveis defasadas ainda continuam em uso sem
nenhum reforo para
fazer frente ao aumento do trem tipo (Vitrio, 2008).
Segundo Vitrio (2008), das 40 pontes usadas no seu estudo,
destacam-se as seguintes
ocorrncias de patologias na superestrutura: 77,5% das pontes
apresentaram desplacamento
do concreto das vigas principais (VP) e 87,5% nas lajes do
tabuleiro.
Existem diversos mtodos de deteco de danos, entre eles podemos
citar: os ensaios
destrutivos e os no destrutivos, pois tais ensaios permitem
determinar falhas, ou mesmo,
mudanas nas propriedades dos materiais constituintes da
estrutura. Existem ainda os
mtodos numricos para a determinao de danos em diversas
estruturas e que utilizam,
em grande parte, o mtodo dos elementos finitos via clculo da
variao das frequncias
naturais e modos de vibrao, antes e aps o surgimento do dano. De
posse desses
parmetros, podemos detectar um dano em uma estrutura, j que os
mesmos indicam
alteraes nas propriedades de rigidez e de massa da estrutura,
fazendo com que os
parmetros de vibrao tambm sejam alterados.
Para detectar o dano usando mtodos modais, muitas vezes
necessria uma anlise
dinmica completa que, geralmente, realizada pelo mtodo dos
elementos finitos e tal
anlise pode vir a auxiliar na localizao e identificao do dano.
Entretanto, este
procedimento apresenta vrias dificuldades. Nem sempre possvel ou
conveniente medir
a resposta de vibrao da estrutura antes do dano surgir. Muitas
vezes no vivel
conduzir uma anlise dinmica detalhada de toda a estrutura. As
vezes difcil obter com
preciso os dados geomtricos e as propriedades dos materiais e
modelar as ligaes
estruturais para uma anlise dinmica precisa. Tambm, no fcil
extrair informaes
locais causadas por um dano de pequena dimenso, mas no menos
importante detectar o
dano a partir de parmetros modais que caracterizem o
comportamento global da estrutura
(Wang e Deng, 1999).
Entre outras ferramentas de clculo para a determinao do dano,
tem-se o COMAC
(Coordinate Modal Assurance Criterion), mudana de flexibilidade,
curvatura e ndice de
-
4
dano que so mtodos que comparam parmetros estruturais, antes e
aps o surgimento de
um dano. Mtodos que podem detectar dano, somente com informaes
obtidas da
condio danificada da estrutura, seriam mais apropriados, j que a
condio antes do dano
raramente conhecida ou conservada como um dado estrutural. Neste
contexto, a
aplicao dos mtodos baseados em wavelets pode ser muito til, pois
este mtodo pode
detectar singularidades presentes nos parmetros modais ou
deslocamentos causados pelo
dano e, consequentemente, no requerem a condio da estrutura
antes do dano (Estrada,
2008).
Portanto, a motivao deste trabalho a utilizao de wavelets para
se conhecer o
comportamento estrutural de pontes, sob as condies de mecanismos
de deteriorao e,
desta forma, possibilitar uma melhor soluo para recuperao
estrutural. Alm disso,
enfatiza-se que o uso de wavelets para deteco de danos uma
ferramenta alternativa aos
mtodos modais tradicionais que j foram usados por vrios
pesquisadores, inclusive, na
UnB (Honrio, 1997; Brasiliano, 2001; Brito, 2008; Caldeira,
2009), entre outros.
1.2 OBJETIVOS
O presente trabalho tem como objetivo geral contribuir para o
estudo de deteco de danos
em vigas, trelias e pontes, aplicando as transformadas de
wavelet na resposta danificada
da estrutura.
Dentro deste objetivo geral, apresentam-se os seguintes
objetivos especficos:
Simular as patologias que levam ao desgaste de peas de concreto
e de ao;
Detectar danos em vigas com diferentes condies de contorno, por
meio de uma
anlise esttica e modal, utilizando as transformadas de
wavelet;
Detectar danos em trelia plana, utilizando as transformadas de
wavelet;
Detectar danos na superestrutura de pontes, utilizando a
transformada de wavelet.
-
5
1.3 ESTRUTURAO DA DISSERTAO
Para alcanar os objetivos propostos, esta dissertao est
estruturada em cinco captulos.
No primeiro captulo, apresento uma abordagem geral da pesquisa,
com a introduo do
tema, a motivao deste estudo e os objetivos do mesmo.
O segundo captulo mostra alguns conceitos fundamentais
relacionados rea da pesquisa;
uma descrio geral dos mtodos de deteco de danos e, alm disso, so
apresentados
alguns trabalhos j desenvolvidos na rea de deteco de danos,
utilizando as wavelets.
O terceiro captulo relata de forma mais detalhada alguns dos
mtodos tradicionais de
deteco de danos e, em seguida, apresenta os mtodos de deteco de
danos baseados em
wavelets.
O quarto captulo apresenta as propriedades geomtricas e dos
materiais constituintes das
vigas, trelia e de uma ponte, assim como os tipos de elementos
utilizados, carregamentos
aplicados nos modelos numricos e a descrio das diversas simulaes
de danos. Alm
disso, so apresentados e discutidos os resultados obtidos na
aplicao das transformadas
de wavelet na deteco de danos em estruturas.
O quinto e ltimo captulo reporta s concluses obtidas neste
trabalho e s sugestes para
trabalhos futuros.
-
6
2 REVISO BIBLIOGRFICA
2.1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS
2.1.1 Influncia dos danos numa estrutura
Alguns danos em estruturas podem causar diminuio da vida til da
estrutura. Define-se
vida til como o perodo de tempo durante o qual a estrutura capaz
de desempenhar as
funes para as quais foi projetada sem necessidade de intervenes
no previstas CEB-
FIP, (1990). As pontes, por exemplo, esto sujeitas s condies
ambientais que alteram
suas propriedades fsicas e qumicas comprometendo a sua
durabilidade e favorecendo o
surgimento de patologias. A NBR 6118:2003 define durabilidade
como a capacidade da
estrutura resistir s influncias ambientais previstas e definidas
em conjunto pelo autor do
projeto estrutural e o contratante, no incio dos trabalhos de
elaborao do projeto.
Entende-se ainda por patologia a queda de desempenho de um
produto, componente, ou
construo, ao longo do tempo, devido a erros de: planejamento,
projeto, execuo, uso e
deteriorao proveniente de sua interao com o meio ambiente
(Nepomuceno e Teatini,
2009).
As aes sobre as estruturas so parmetros fundamentais a serem
considerados no projeto
e incidem diretamente na durabilidade, servio, estabilidade e/ou
na resistncia. Por esta
razo, quando nos deparamos com uma falha, essencial determinar a
causa que a origina,
muitas vezes esta causa pode tambm estar associada a uma ao
excessiva sobre a
estrutura (Helene e Pereira, 2007).
2.1.2 Patologias provocadas por processos construtivos
As patologias associadas a processos construtivos no comprometem
o comportamento
mecnico das estruturas, mas afetam a durabilidade e, com o
tempo, aceleram o processo
de degradao.
Dentro deste contexto existem as fissuras provocadas por:
assentamento plstico, retrao
plstica, autgena e por secagem. A presena destas fissuras
facilita o processo de
deteriorao, pois facilita a penetrao de agentes agressivos no
interior do elemento
estrutural degradando tanto o concreto quanto as armaduras.
-
7
Alm destas fissuras, temos quatro fenmenos associados s reaes
qumicas expansivas,
que so: ataque por sulfato, reao lcali-agregado, hidratao tardia
de CaO e MgO livres
e corroso da armadura de concreto.
As Figuras 2.1a, 2.1b e 2.1c ilustram algumas das patologias que
possivelmente podero
ser modeladas.
(a) (b) (c)
Figura 2.1- (a) Fissura de retrao por secagem de uma laje.
Fonte: (Husni, 2005), (b)Vista
inferior da laje do tabuleiro mostrando o desplacamento do
concreto e a corroso das
armaduras, (c) Ataque por sulfatos em pilares (Coutinho,
2001).
2.1.3 Patologias provocadas pela ao de cargas externas
A ao das cargas externas gera um complexo estado de tenses. Se
analisarmos um
elemento qualquer de uma estrutura de concreto armado,
comprovamos que cada uma das
sees est submetida a uma solicitao simples de flexo ou a uma
solicitao composta
por compresso, cisalhamento e toro. A existncia de uma
deficincia em uma estrutura
de concreto armado se manifesta, na maioria dos casos, atravs de
uma configurao de
fissuras que depender do tipo de solicitao atuante (Helene e
Pereira, 2007).
As fissuras provocadas por carregamentos externos comprometem as
estruturas, do ponto
de vista mecnico, podendo levar a mesma runa. A Figura 2.2
ilustra alguns tipos de
fissuras.
-
8
Figura 2.2- Representao dos tipos de fissuras que podem ocorrer
no concreto (Neville,
1997).
2.2 DESCRIO GENRICA DOS MTODOS DE DETECO DE DANO
A implementao de uma estratgia de deteco de danos para a
indstria aeroespacial,
engenharia mecnica e infraestruturas de engenharia civil tambm
conhecida como
Monitoramento da Sade Estrutural (Structural Health Monitoring,
ou SHM) (Sohn et al.,
2003, Leme et al., 2007). Neste contexto, os mtodos de deteco de
danos em estruturas
podem ser classificados em diversos nveis tais como (Rytter,
1993):
Nvel I: deteco do dano;
Nvel II: localizao do dano;
Nvel III: avaliao da severidade do dano;
Nvel IV: determinao da vida til remanescente devido ao dano.
Mtodos nvel I consideram somente a determinao se a estrutura
apresenta dano ou no;
Mtodos nvel II consideram se a estrutura est danificada e a
localizao do dano; no
nvel III, a deteco e localizao devem ser quantificadas em
extenso e severidade e no
nvel IV, a vida til remanescente da ponte deve ser determinada
considerando o dano
quantificado.
Para propor uma avaliao da condio estrutural, o dano definido
como mudanas no
material e/ou das propriedades geomtricas das estruturas, nas
condies de contorno,
-
9
conectividade entre elementos, geometria da seo transversal,
carregamento, propriedades
dos materiais e qualquer outro fator capaz de provocar um
comportamento estrutural
incomum em uma estrutura (Doebling et al., 1996).
Existem diversos mtodos de deteco de danos, entre eles, os
mtodos destrutivos que so
aqueles nos quais se deve extrair parte da estrutura para a
realizao de identificao e
avaliao do dano. Os mtodos de deteco de danos no destrutivos
incluem emisso
acstica, sensores de fibra tica, ondas ultrassnicas guiadas,
radiografia, inspeo visual e
os baseados em vibraes. Estes mtodos podem ser classificados em
local e global
(Estrada, 2010).
Mtodos de deteco de dano local so mais adequados para avaliar a
performance
estrutural em pequenas reas da estrutura, enquanto que os mtodos
de deteco global
tiram vantagem das mudanas globais causadas pelo dano.
Os danos podem ainda ser detectados por mtodos numricos com
formulaes lineares ou
no lineares. Grande parte dos estudos realizados adota mtodos
lineares para a deteco
de danos. Tais mtodos lineares consideram que a estrutura
permanece em regime linear
elstico, mesmo aps o aparecimento do dano. Entretanto, essa
considerao uma
simplificao da realidade, j que na verdade a estrutura apresenta
comportamento no
linear com bastante frequncia devido presena de fissuras,
excesso de cargas, etc.
Os mtodos no lineares de deteco de danos, por sua vez,
consideram que o
comportamento da estrutura passa a ser no linear aps a introduo
do dano. Estes
mtodos representam de forma mais realista o estado da estrutura,
porm apresentam
grandes dificuldades matemticas para a sua resoluo.
Grande parte desses mtodos baseada no monitoramento das vibraes.
Esses mtodos se
fundamentam na suposio de que os danos estruturais causam variao
nos parmetros
estruturais (massa, rigidez, flexibilidade), que provoca uma
mudana nos parmetros
dinmicos da estrutura (frequncias naturais, modos de vibrao,
relao de
amortecimento). No entanto, essas mudanas frequentemente so
muito pequenas para
serem medidas e para o sucesso na identificao do dano. Esses
mtodos, entretanto, vm
sendo crescentemente usados na deteco de danos, pois esto
baseados na variao das
-
10
vibraes e ganharam popularidade devido aos avanos significativos
nos mtodos de
anlise modal e nas tecnologias de monitoramento (Estrada,
2008).
A maioria dos mtodos compara o comportamento da estrutura antes
e aps o
aparecimento do dano, mas existem mtodos de deteco de danos
baseados na anlise
esttica (ou dinmica) e que so capazes de localizar o dano em
estruturas somente com a
informao fornecida pela estrutura j danificada. Os mtodos de
anlise de wavelet esto
nesta ltima categoria. Existem ainda outros mtodos de deteco de
danos que esto
simplificados na Figura 2.3 e cujos detalhes, vantagens e
desvantagens encontram-se na
referncia (Ramos, 2007). Alguns mtodos de deteco de danos so
descritos abaixo.
Figura 2.3- Classificao dos mtodos de deteco de dano (modificado
- Ramos, 2007).
Avaliao do Dano
Local Global
Radar, ultrasnico,
raio-x, fibra tica,
etc
Esttico Baseado em vibrao
No- Linear Linear
Mtodos Baseados em Vibrao
Baseado no modelo No baseado no modelo
Dados modais SHM Dados no modais
Atualizao com MEF Expoente de Hoelder
Anlise de Wavelet Emprico modal
Decomposio
ndice de dano,Curvatura,
Mudana de flexibilidade,
Rigidez direta e COMAC
Condio de linha
base requerida
Condio de linha
base no requerida
-
11
2.3 USO DAS WAVELETS PARA DETECO DE DANOS
A seguir ser apresentada uma reviso da literatura que abrange
vrios estudos anteriores a
fim de selecionar resultados e concluses que contriburam para o
desenvolvimento deste
trabalho.
O primeiro estudo no qual as wavelets foram utilizadas para
executar anlise de deteco
de danos foi de Surace e Ruotolo (1994). Estes autores simularam
uma viga em balano
fissurada submetida a um carregamento dinmico usando um modelo
simples em
elementos finitos, conforme ilustra a Figura 2.4.
Figura 2.4 Modelo em elementos finitos da viga em balano
fissurada na borda (modificado - Surace e Ruotolo, 1994).
A partir do sinal de vibrao obtido na viga, as transformadas de
wavelet foram calculadas
utilizando um cdigo em Fortran desenvolvido pelos autores.
Wang e Deng, (1999) utilizaram as transformadas de wavelet para
detectar o dano em duas
situaes. Primeiro, em uma viga biapoiada, contendo uma fissura
transversal e submetida
a um carregamento esttico e de impacto (Figura 2.5) e, segundo,
em uma placa sob estado
plano de tenso e contendo uma fissura que atravessa a placa
(Figura 2.6). A deflexo na
viga foi obtida, numericamente, usando o mtodo das diferenas
finitas e a resposta de
deslocamento da placa foi obtida analiticamente. Os autores
concluram que as respostas
dos sinais de deslocamento podem ser analisadas com as
transformadas de wavelet, com o
objetivo de detectar danos estruturais.
-
12
Figura 2.5 Viga biapoiada com uma fissura e submetida a um
carregamento esttico (Wang e Deng, 1999).
Figura 2.6 Placa contendo uma fissura (Wang e Deng, 1999).
Wang, Dajun e Xianyue, (1999) utilizaram transformadas de
wavelet para detectar danos
estruturais a partir da resposta de deflexo de uma viga em
balano submetida a um
carregamento esttico e contendo uma fissura transversal. A viga
foi modelada em
elementos finitos utilizando o programa ABACUS e est
esquematizada na Figura 2.7.
Figura 2.7 Viga em balano contendo uma fissura transversal
(Wang, Dajun e Xianyue, 1999).
-
13
A presena da fissura foi detectada por uma sbita mudana na
variao espacial da
resposta transformada, usando os deslocamentos nodais da linha
inferior da viga.
Okafor e Dutta (2000) modelaram vigas de alumnio em balano
usando o ANSYS 5.3
(Figura 2.8) para obter os seis primeiros modos de vibrao para
casos com e sem o dano.
O dano foi simulado reduzindo a rigidez de um elemento finito,
alm disso, foi distribudo
gaussianamente um rudo de sinal para simular provveis erros de
medida em condies de
campo.
Figura 2.8 Modelo numrico da viga usando elemento SOLID45
(Okafor e Dutta, 2000).
O dano foi localizado a partir dos coeficientes de wavelet e foi
observado uma correlao
entre a severidade do dano e a magnitude dos coeficientes de
wavelet na regio danificada.
Quek et al., (2001) analisaram a sensibilidade das wavelets na
deteco de fissuras em
vigas. Especificamente, foram estudadas caractersticas tais como
condies de contorno,
wavelets-me diferentes, comprimento e largura da fissura. Os
resultados mostraram que a
transformada contnua de wavelet til para deteco de fissuras em
vigas.
Douka et al. (2003) analisaram o modo de vibrao fundamental de
uma viga em balano
fissurada usando a transformada contnua de wavelet. Eles tambm
investigaram o efeito
do rudo no processo de deteco introduzindo um erro mdio de 1%. A
posio da fissura
foi localizada por uma sbita mudana na variao espacial da
resposta transformada sem
o rudo e a resposta transformada com o rudo apresentou vrios
picos ao longo da viga,
porm a fissura foi localizada na posio onde os coeficientes de
wavelet diminuram
regularmente com a escala.
-
14
Figura 2.9 Esquema da viga em balano fissurada (Douka et al.,
2003).
Ovanesova e Suarz (2000) utilizaram as transformadas de wavelet
contnuas e discretas
para detectar fissuras de diferentes tamanhos e posies em vigas
e prticos planos
(Figuras 2.10 e 2.11) a partir do sinal de resposta dos
carregamentos estticos e dinmicos.
Neste estudo foram utilizadas duas wavelets-me diferentes, Haar
e a Biorthogonal6.8. Os
resultados das simulaes mostraram que o mtodo capaz de extrair
informaes sobre o
dano com uma boa preciso.
Figura 2.10 Viga biengastada submetida carga esttica ou dinmica
(Ovanesova e Suarz, 2000).
Figura 2.11 Prtico submetido carga esttica (Ovanesova e Suarz,
2000).
Zhu e Law (2006) apresentaram um novo mtodo para identificao de
fissuras em vigas
de pontes submetidas a cargas mveis, baseado na anlise de
wavelets. A fissura foi
modelada como uma mola rotacional, conforme mostra a Figura
2.12.
-
15
Figura 2.12 Viga com molas rotacionais na seo com o dano (Zhu e
Law, 2006).
A resposta dinmica da viga foi analisada, usando a transformada
contnua de wavelet e os
resultados mostraram que o mtodo pode detectar com preciso a
posio da fissura,
mesmo adicionando rudo e variando a velocidade da carga
mvel.
Presezniak (2007) fez uma anlise numrica e experimental de uma
viga livre-livre com
uma fissura que foi modelada como uma mola torcional, conforme
ilustrado na Figura
2.13. O dano foi identificado atravs da aplicao da transformada
de wavelet sobre o
primeiro modo de vibrao.
Figura 2.13 Viga utilizada no experimento (Presezniak,
2007).
Estrada (2008) fez uma anlise comparativa detalhada da eficcia
dos mtodos de deteco
de danos em pontes, com uma ateno especial aos mtodos baseados
na anlise de
wavelets. Os mtodos foram avaliados atravs de trs situaes
distintas: cenrios de dano
em modelos numricos de estruturas fissuradas 1D e 2D de vigas e
pontes, realizao de
ensaios experimentais em laboratrio de vigas metlicas e de
concreto armado reforado e
realizao de ensaios dinmicos em pontes de concreto e madeira. A
Figura 2.14 apresenta
-
16
uma das pontes utilizadas no estudo, sendo que a mesma foi
modelada em 1D. O autor
concluiu que a eficcia dos mtodos estudados depende de vrios
fatores como: o nmero
de sensores prximo da zona danificada, o nvel de rudo, a extenso
e intensidade do
dano.
Figura 2.14 Geometria da ponte utilizada como exemplo
(modificado - Estrada, 2008).
Portanto, a partir dos estudos realizados, percebe-se que
ocorreu uma evoluo nos
processos de deteco de danos usando wavelets tanto no que diz
respeito forma de
obteno das respostas das estruturas, como no processo de clculo
dos coeficientes de
wavelet. Alm disso, no foram encontrados trabalhos que
utilizaram transformadas de
wavelet para detectar danos em modelos slidos de pontes
Neste trabalho, um dos estudos de caso a serem analisados ser o
uso de modelo numrico
3D de uma ponte para simular danos e tentar detect-los aplicando
as transformadas de
wavelet nos sinais estticos e modais.
-
17
3 MTODOS DE DETECO DE DANOS
3.1 MTODOS EXPERIMENTAIS
Em mecnica experimental, vrias tcnicas so disponveis para a
realizao de ensaios
no destrutivos de objetos (Halmshaw, 1987; Hull e John, 1988,)
como: inspeo visual,
lquido penetrante, partculas magnticas, corrente de Eddy,
ultrasnico e raio-x.
A inspeo visual e o lquido penetrante podem detectar apenas
danos que chegam a
quebrar at a superfcie, enquanto partculas magnticas podem
detectar danos que
quebram a superfcie e, tambm, dar indicaes dos danos na
subsuperfcie somente em
materiais ferromagnticos. Para inspees de grandes componentes,
usando partculas
magnticas, grandes correntes para gerar grandes campos magnticos
so requeridas, alm
disso, cuidado particular necessrio para evitar um aquecimento
localizado e queima de
superfcie nos pontos de contato eltrico. Tcnicas de corrente de
Eddy(ou Eddy current)
so aplicveis somente em materiais condutores. Testes
ultrassnicos podem, s vezes,
detectar a posio e o tamanho relativo do dano, mas no capaz de
prever a forma, ver
Figura 3.1 (Halmshaw, 1987).
Figura 3.1- Deteco de danos usando a tcnica de ultrassom
(modificado - Bezerra, 1993).
Muitas precaues devem ser tomadas para obter sucesso na aplicao
da tcnica de
ultrassom, por exemplo, a superfcie, onde as sondas so aplicadas
tem
que ser suavizada para evitar efeitos de espalhamento. Em muitos
casos, como na deteco
de defeitos de solda, situaes duvidosas podem surgir e testes de
radiografia so,
geralmente, necessrios para confirmar o defeito suspeito.
Somente as tcnicas de raio-x
(Figura 3.2) so efetivamente capazes de detectar o tamanho,
forma e localizao dos
danos (Broek, 1986).
-
18
Figura 3.2 - Figura Deteco de danos usando a tcnica de raio-x
(modificado - Bezerra,
1993).
Tcnicas radiogrficas, entretanto, possuem diversos contratempos.
Primeiro, elas tendem
a ser mais caras quando comparadas com outras tcnicas no
destrutivas. Segundo, o custo
dos equipamentos fixos de raio-x so muito altos e necessitam de
um espao razovel para
um laboratrio de radiografia, incluindo uma sala escura para
processamento do filme.
Para aparelhos de raio-x porttil, os custos so menores, mas o
espao para processamento
e interpretao do filme tambm necessrio. Terceiro, a inspeo
radiogrfica de
componentes ou estruturas, no local, pode ser um processo lento,
porque o equipamento de
raio-x porttil geralmente limitado a uma emisso de radiao de
baixa energia e,
consequentemente, muitos disparos so necessrios para inspecionar
um objeto. Alm
disso, os custos com uso de tcnicas que utilizam o raio-x podem
ser aumentados devido
necessidade de proteo do pessoal contra os efeitos da radiao. Os
aspectos de segurana
devem ser aplicados no somente para as pessoas diretamente
envolvidas no teste, mas
tambm para todas as pessoas que trabalham nas proximidades do
teste de radiografia.
Finalmente, no possvel detectar todos os tipos de danos atravs
de radiografia. Danos
que se alinham com a direo do raio-x podem escapar da deteco.
Ainda mais, a
inacessibilidade de algumas regies para serem investigadas podem
tambm proibir o uso
de tais mtodos (Bezerra, 1993).
Nos ltimos anos, tem tido um aumento na demanda para desenvolver
procedimentos
computacionais para a identificao do dano, baseado em observaes
discretas internas e
externas (Tanaka et al., 1988).
-
19
A soluo do problema inverso de deteco de danos atravs de mtodos
numricos pode
assim, fornecer uma ferramenta complementar para as tcnicas no
destrutivas de anlise,
monitoramento e diagnstico de estruturas.
3.2 MTODOS NUMRICOS
Conforme visto anteriormente, existem vrias tcnicas no
destrutivas de deteco de
danos em estruturas. Porm, estas tcnicas so caras e requerem uma
anlise precisa de
grande extenso da estrutura.
Os mtodos numricos podem auxiliar nos exames no destrutivos de
estruturas, pois
mesmo que eles no detectem o dano, eles podem mostrar a possvel
localizao do
mesmo, fazendo com que a rea de anlise seja reduzida, tornando
os exames no
destrutivos menos onerosos (Silva, Bezerra e Brito, 2010).
Entre os mtodos numricos mais usados para detectar danos,
destacam-se o mtodo dos
elementos finitos (MEF) e o mtodo dos elementos de contorno
(MEC).
Uma das reas de mtodos numricos bastante desenvolvidas aps a
Segunda Guerra foi
para a resoluo de problemas diretos ou bem-postulados, mas a
utilizao de mtodos
numricos para determinao de um dano um tipo de problema inverso
ou mal-postulado.
Na Figura 3.3, considere o domnio como homogneo, isotrpico,
linear elstico e
representando um slido bidimensional com contorno . Um problema
direto em
elastosttica tem os seguintes itens bem definidos (Kubo,
1988)
O domnio de interesse , e contornos ;
As equaes que governam o domnio ;
As condies de contorno apropriadas pra o contorno inteiro;
As propriedades dos materiais envolvidos nas equaes que regem o
problema;
As foras que agem no slido.
-
20
Figura 3.3 Problema direto em elastosttica (modificado -
Bezerra, 1993).
Se em uma estrutura parte do domnio matemtico ou alguma
propriedade que governa o
problema fosse desconhecido, ento este problema deixa de ser
direto e passa a ser inverso
ou mal-postulado.
Existem diversos mtodos que auxiliam na resoluo de problemas
inversos, entre eles
podemos citar: inverso direta, mnimos quadrados, regularizao,
algoritmos genticos,
redes neurais, entre outros. Neste trabalho, ser dada nfase ao
mtodo de regularizao,
pois o mesmo foi utilizado para auxiliar no processo de deteco
do dano por diversos
pesquisadores (Beck et al., 1985; Bezerra, 1993; Ferreira, 2007)
.
3.2.1 Mtodo da mudana de flexibilidade
Este mtodo foi proposto por Pandey e Biswas (1994) com o
objetivo de desenvolver um
mtodo de identificao e localizao de danos usando os parmetros
modais da estrutura.
Considerando os modos de vibrao normalizados TM=I, as matrizes
de rigidez e de
flexibilidade sem o dano e com o dano ficam da seguinte
forma:
(3.1)
(3.2)
(3.3)
-
21
Onde, K a matriz de rigidez, M a matriz de massa, =[ ] a matriz
dos
modos de vibrao, a matriz diagonal com os quadrados das
frequncias naturais de
vibrao , n o nmero de graus de liberdade do sistema, so as
frequncias naturais,
F a matriz de flexibilidade e o asterisco sobrescrito denota o
parmetro de dano. A
mudana da matriz de flexibilidade F dada por:
(3.4)
Cada coluna da matriz de flexibilidade representa o deslocamento
produzido por uma fora
unitria aplicada ao grau de liberdade associado.
Um ndice mais apropriado pode ser determinado a partir dos
valores absolutos mximos
dos elementos da coluna de dado por:
(3.5)
Onde so os elementos de e indica o grau de liberdade quando a
mxima
variao de flexibilidade ocorre e indica tambm a localizao do
dano.
O uso dos modos de vibrao para deteco de danos tem alguns
inconvenientes, pois a
presena do dano pode no influenciar significativamente nos modos
de vibrao menores
que so aqueles geralmente medidos. Alm disso, o rudo de sinal e
a escolha dos sensores
utilizados podem afetar consideravelmente a preciso do
procedimento de deteco de
danos (Kim et al., 2003).
3.2.2 Mtodo da curvatura
Este mtodo, proposto por Pandey et al., (1991) , baseado na
evidncia que a curvatura
dos modos de vibrao est relacionada com a rigidez a flexo da
estrutura da seguinte
forma:
(3.6)
-
22
Onde a curvatura da seo, M o momento fletor da seo, E o mdulo
de
elasticidade e I o momento de inrcia da seo.
A introduo de um dano ou uma fissura na estrutura provoca
diminuio na rigidez (EI)
na seo fissurada ou regio danificada e consequentemente, a
magnitude da curvatura na
seo ir aumentar. Essas mudanas na curvatura so locais e podem
ser usadas para
detectar e localizar o dano.
Pandey et al., (1991) mostraram que a curvatura dos modos de
vibrao mais sensvel ao
dano do que o prprio modo de vibrao. A plotagem da diferena da
curvatura modal de
um estado intacto e um danificado um pico no elemento danificado
e indica a presena de
um defeito. Porm, Farrar e Jauregui, (1997) descobriram que o
mtodo da curvatura
detecta o dano em apenas dois ou trs lugares e que o mtodo era
pouco provvel que fosse
to bem sucedido em localizar maiores regies de danos. Alm disso,
para calcular a
curvatura com preciso, um grande nmero de pontos de medio foi
necessrio.
3.2.3 Assinaturas estruturais
As Assinaturas Estruturais so funes que comparam as respostas
estticas e/ou
dinmicas obtidas nas situaes com e sem o dano. O uso destas
comparaes pode
auxiliar no processo de localizao do dano. A seguir so
apresentadas algumas assinaturas
utilizadas por diversos pesquisadores, entre eles, Bezerra e
Saigal, (1993); Brito (2008);
Caldeira, (2009).
A primeira assinatura F1(z) um somatrio de coeficientes entre
variaes de
deslocamentos e as duas primeiras variaes de frequncias naturais
para todos os n ns da
estrutura, conforme descrito na Equao 3.7.
(3.7)
Onde:
: diferena entre os deslocamentos nodais da estrutura intacta
(ui) e da estrutura
danificada (ud) nas direes x e y para os n pontos da
estrutura.
-
23
e : quadrados das diferenas entre as frequncias naturais obtidas
com a estrutura
intacta (i e com a estrutura danificada (d), somente
considerando a primeira e a segunda
frequncia natural de vibrao da estrutura, respectivamente.
Podemos escrever os parmetros e matematicamente da seguinte
forma:
(3.8)
(3.9)
(3.10)
A segunda assinatura F2(z), apresentada na Equao 3.11 utiliza
diferenas de
deslocamentos estticos nas duas direes x e y e diferenas entre
as frequncias (ao
quadrado) da estrutura intacta e da estrutura danificada. A
assinatura computada para
todos os n graus de liberdade e para as k primeiras frequncias
naturais extradas para a
estrutura.
(3.11)
A terceira assinatura F3(z), apresentada na Equao 3.12 calcula o
somatrio do produto
dos quadrados das diferenas entre (estrutura intacta e
danificada) dos n deslocamentos
resultantes e das k primeiras frequncias naturais .
(3.12)
A quarta assinatura F4(z), denominada COMAC (Coordinate Modal
Assurance Criterion),
mede a correlao entre vrios vetores. Se os deslocamentos modais
no n i de uma srie
de modos de vibrao so iguais, o valor do COMAC um para este n.
Caso contrrio, a
perturbao no local do modo de vibrao danificado pode dar valores
de COMAC
menores que um (Ndambi et al., 2002). Este ndice pode ser
expresso por:
-
24
n
1i
n
1i
2*
ij
2
ij
2n
1i
*
ijij
JCOMAC
(3.13)
Onde e so os modos de vibrao para o j-simo n do i-simo modo para
a
estrutura intacta e para a estrutura danificada,
respectivamente.
Dentro deste contexto das assinaturas, vale destacar os
trabalhos do Brito (2008) e Caldeira
(2009). Brito (2008) analisou onze assinaturas diferentes para
localizao de danos em
trelias planas plotando os grficos das funes objeto, e concluiu
que a combinao de
parmetros estticos, como os deslocamentos nodais, juntamente com
os dinmicos, como
as frequncias da estrutura, mostraram uma maior eficincia no
equacionamento de
funes objeto destinadas identificao da localizao do dano. J
Caldeira (2009),
estudou seis assinaturas escritas em termos de caractersticas de
rigidez, deslocamentos s
cargas estticas e modos de vibrar com o objetivo de localizar
danos em vigas e prticos. A
autora concluiu que as assinaturas que utilizam o somatrio das
diferenas de frequncia
ao quadrado mostraram-se mais convenientes no processo de deteco
do
dano.
Existem ainda outros mtodos tradicionais baseados nos parmetros
de vibrao, mas que
no fazem parte desta pesquisa.
3.2.4 MTODOS BASEADOS EM WAVELETS
Embora a literatura sobre deteco de dano tenha sido, at agora,
dominada por estudos
baseados em mtodos que utilizaram a frequncia ou informao da
variao da rigidez,
mtodos baseados na transformada de wavelet, uma recente teoria
matemtica
desenvolvida em anlise de sinal (Mallat, 1989), est
emergindo.
Estes mtodos so baseados em medidas que so feitas de maneira
discreta em alguns
pontos da estrutura. Tais medidas podem estar submetidas a erros
de equipamentos ou a
erros humanos e geralmente seguem uma distribuio normal que ser
abordada no item
3.3 deste trabalho.
-
25
3.2.4.1 Wavelets e Transformada de Fourier
A representao de funes a partir da combinao de diferentes funes
ortogonais existe
desde o incio do sculo XIX, quando Fourier descobriu que poderia
representar sinais
peridicos a partir da soma de senos e cossenos. (Barbosa, 2001).
A srie de Fourier a
expanso de um sinal em uma srie de senos e cossenos, porm a
anlise de Fourier possui
um grande inconveniente, pois na transformao para o domnio da
frequncia, a
informao do tempo perdida (Misiti et al., 2002).
Como forma de tentar corrigir esta deficincia pode-se calcular
os coeficientes da srie de
Fourier em partes do sinal, selecionadas sistematicamente por
uma sequncia de
janelamentos. Assim, a perda da varivel original no total, mesmo
que ao sacrifcio da
informao em frequncia. A esta tcnica dado o nome de transformada
de Fourier em
tempo restrito (Short Time Fourier Transform, ou STFT),
(Loureiro, 2004).
A vantagem da anlise de wavelet sobre a de Fourier, ou anlise
modal, que a
transformada de wavelet decompe um sinal (por exemplo, um sinal
temporal ou espacial)
em uma srie de funes locais de ondas (wavelets) com base no eixo
do tempo (ou
espacial) e, permite a identificao das caractersticas locais de
um sinal a partir de
parmetros como a escala e a posio das wavelets.
Apesar da transformada de Fourier (TF) ser amplamente utilizada,
ela possui grandes
deficincias para a deteco de danos. Para os sinais
no-estacionrios, TF fornece
componentes espectrais, mas no suas posies temporais, uma vez
que a informao
temporal perdida aps a aplicao TF. De forma semelhante, a TF
pode detectar a
presena de perturbaes locais para sinais espaciais, mas no suas
posies efetivas.
A Transformada de wavelet no apresenta estas deficincias, pois
ela pode detectar a
presena e a localizao das perturbaes, bem como o instante de sua
ocorrncia,
simultaneamente (Huang, Meyer e Nasser, 2009).
A transformada de wavelet a expanso de um sinal em uma srie de
pequenas ondas
(wavelets). O termo wavelet usado para descrever uma funo
localizada no espao. Por
localizada entende-se que a wavelet tem suporte compacto (ou
quase compacto, o
importante que sua energia esteja concentrada em uma pequena
regio). Estas
-
26
caractersticas resumem a capacidade de tal expanso em
representar aspectos oscilatrios
de curta durao presentes em um sinal, ver Figura 3.4 (Loureiro,
2004).
Figura 3.4 Funo peridica senoidal e funo wavelet de Daubechies
com 10 momentos nulos (Loureiro, 2004)
A expanso wavelet de um sinal dada por:
(3.14)
A base formada pela famlia de funes wavelet , responsvel pelo
particionamento
do espao de interesse L (R) em subespaos Wj ortogonais entre si.
Para representarmos
uma funo f(x) contida em L (R), necessrio uma sequncia de
subespaos que
satisfaam:
... (3.15)
Assim o espao L (R) pode ser visto como:
(3.16)
Sendo e uma soma direta.
-
27
3.2.4.2 Propriedades das wavelets
As funes wavelet possuem diferentes propriedades que lhes
permitem ser mais
apropriadas para determinados fins. Segundo Estrada (2008), as
propriedades mais
relevantes que uma funo wavelet precisa para um processo de
deteco de danos so:
Ortogonalidade e biortogonalidade: estas propriedades garantem o
clculo rpido
dos coeficientes de wavelet. Infelizmente, nem todas as funes de
wavelet
possuem estas duas propriedades;
Suporte compacto: esta propriedade significa que a funo wavelet
no assume o
valor zero para intervalos finitos. Esta propriedade permite
representar de forma
mais eficiente os sinais que tm caractersticas localizadas;
Momentos nulos: esta propriedade determina o grau do polinmio
que podem ser
aproximados. Esta propriedade usada para selecionar a wavelet-me
mais
adequada para a deteco de danos;
Regularidade: o nmero de vezes que uma funo diferencivel no
ponto x0.
Singularidades em uma funo podem ser detectadas por essa
regularidade.
De acordo com estas propriedades, as wavelets-me mais conhecidas
so classificadas em
(Ovanesova e Suarez, 2004) da seguinte forma:
A Haar, Daubechies de ordem N(dbN), Meyer, Symlets de ordem
N(symN) e a
Coiflets de ordem N(coifN) so exemplos de wavelets-me
ortogonais;
A Haar, Daubechies de ordem N, Symlets de ordem N e a Coiflets
de ordem N so
wavelets-me que possuem suporte compacto;
A Daubechies de ordem N, Symlets de ordem N e a Coiflets de
ordem N so
wavelets-me que possuem um nmero arbitrrio de momentos
nulos;
A Morlet, Meyer e Gaussian so wavelets-me regulares. Por outro
lado, a
Daubechies de ordem N, a Symlets de odem N e a Coiflets de ordem
N so
wavelets-me que possuem uma regularidade pobre.
3.2.4.3 Wavelets me
As wavelets-me so funes (t) que so utilizadas para o clculo dos
coeficientes de
wavelet. O processo de clculo destes coeficientes bem como o uso
da wavelet-me na
obteno dos mesmos ser abordado no prximo item.
-
28
Neste trabalho, sero utilizadas duas wavelets-me diferentes a
Daubechies(db2) e a
Biorthogonal(bior6.8). Estas duas wavelets-me foram escolhidas
pelo fato das mesmas j
terem sido utilizadas por diversos pesquisadores (Ovanesova,
2000; Estrada, 2008;
Grabowska, Palacz, Krawczuk, 2008, entre outros) e apresentarem
bons resultados no
processo de deteco de danos.
A wavelet-me mais simples foi descoberta por Haar (1910) ver
Figura 3.5, ela representa
a mesma wavelet db1 e definida em termos da funo de Heaviside
H(t) conforme a
Equao 3.17:
(t) = H(t) 2H(t-1/2) + H(t-1) (3.17)
Figura 3.5 Wavelet-me Haar (Misiti et al, 2002)
Ingrid Daubechies inventou as chamadas wavelets ortonormais com
suporte compacto,
tornando vivel a anlise discreta de wavelets. Os nomes da famlia
de wavelets de
Daubechies so escritos dbN, onde N a ordem, e db o sobrenome da
wavelet. A
wavelet db1, como mencionada acima, a mesma wavelet Haar, a
Figura 3.6 apresenta as
funes wavelet psi dos prximos nove membros da famlia.
Figura 3.6 Famlia de wavelets db1 a db9 (Misiti et al.,
2002)
-
29
A famlia de wavelets Biorthogonal (Figura 3.7) exibe a
propriedade de fase linear que
necessria para a reconstruo da imagem e do sinal. Os nomes da
famlia de wavelets
Biorthogonal so escritos biorNr.Nd, onde Nr a ordem de
reconstruo e Nd a ordem de
decomposio. Usando duas wavelets, uma para decomposio (lado
esquerdo) e a outra
para reconstruo (lado direito) em vez de apenas uma,
propriedades interessantes podem
ser derivadas dessas duas wavelets. (Misiti, et al., 2002).
Figura 3.7 - Famlia de wavelets biorthogonais (Misiti et al.,
2002).
Um resumo das famlias de wavelets e as propriedades associadas a
cada uma delas esto
apresentadas na Tabela 3.1
-
30
Tabela 3.1 Resumo das propriedades das famlias de wavelets
(modificado - Misit et al., 2002)
Pela Tabela 3.1, percebe-se que as duas wavelets-me escolhidas
para serem utilizadas,
neste trabalho, apresentam de uma forma geral, as propriedades
que uma wavelet necessita
para ser empregada no processo de deteco de danos. Vale
ressaltar que as wavelets-me
de Coiflets e Symlets mesmo apresentando as mesmas propriedades
da Daubechies e da
Biorthogonal no apresentaram bons resultados nas anlises de
deteco de danos
realizadas nesta pesquisa, portanto no foram aqui
reportadas.
Existem dois tipos de transformadas de wavelet: a contnua e a
discreta. Nos itens a seguir,
sero apresentados os dois tipos de transformada.
3.2.4.4 Transformada Contnua de Wavelet (TCW)
Considerando um sinal (deslocamento, modo de vibrao ou acelerao)
de interesse no
domnio do tempo e da frequncia no intervalo (-;) e (t), os
valores da funo de
wavelet localizado no domnio do tempo e da frequncia. Chamamos
(t) de wavelet me.
As wavelets so geradas a partir da wavelet-me por escala e
translao, conforme abaixo:
(3.18)
A wavelet est associada ao parmetro de escala a e ao parmetro de
translao b.
Ela oscila na frequncia a-1
e est posicionada no tempo (ou espao) b. Como a escala o
inverso da frequncia, para escalas altas temos frequncias baixas
e para escalas baixas
temos frequncias altas. Sendo assim, um pequeno pico no grfico,
corresponde a uma
componente de alta freqncia no sinal, e grandes picos
correspondem a componentes de
baixa frequncia (Polikar, 2010).
-
31
A escala, como uma operao matemtica, dilata ou comprime o sinal.
Escalas maiores
correspondem a sinais dilatados e pequenas escalas correspondem
a sinais comprimidos.
Transladar uma wavelet significa simplesmente atrasar ou
antecipar seu comeo.
Matematicamente, atrasar uma funo f(t) de k representado por
f(t-k).
Os processos de escala e translao de wavelets esto apresentados
na Figura 3.8
Figura 3.8- Dilao e translao de funes wavelet (Ovanesova,
2000).
A transformada contnua de wavelet (TCW) definida como o somatrio
de todos os
tempos ao longo do sinal multiplicado por uma wavelet-me
transladada e escalonada,
como mostra a Equao 3.19.
(3.19)
O resultado desta transformao Ca,b chamado de coeficientes de
wavelet para a wavelet
a,b. Estes coeficientes so muito sensveis a descontinuidades e
singularidades presentes
em um sinal. Considerando esta propriedade, foi descoberto que o
dano devido a uma
perda sbita de rigidez pode ser detectado atravs dos sinais com
os coeficientes de
wavelet que alcanam grandes amplitudes, como um pico ou um
impulso que surge
naturalmente no local do dano. Esta perturbao devido ao dano
mais clara nas finas
escalas da wavelet. Este procedimento a base da deteco de dano
usando wavelets
(Estrada, 2008).
-
32
Durante o clculo dos coeficientes de wavelet, a wavelet
analisada transladada
suavemente sobre todo o domnio da funo analisada at que todo
sinal seja coberto.
Ento a wavelet esticada e o procedimento acima repetido. Para
todos os passos de
translao e dilao, o coeficiente calculado continuamente. Os
coeficientes
constituem os resultados de uma regresso do sinal original
realizada pela wavelet
(Ovanesova, 2000).
As tranformadas de wavelet, em geral, apresentam-se bastante
eficientes na identificao
temporal de frequncias altas de curta durao e na identificao em
frequncia de sinais
longos de baixas frequncias. Sendo assim, a TCW consiste numa
poderosa ferramenta que
corta sinais em diferentes componentes em frequncia e, ento,
estuda cada componente
com a resoluo ajustada para sua escala (Filho, Roitman e
Magluta, 2008).
Um dos inconvenientes da TCW que um nmero muito grande de
coeficientes de wavelet
Ca,b so gerados durante a anlise. Alm disso, poucas wavelets tm
uma expresso
explcita e muitas so definidas com equaes recursivas. A TCW
redundante neste
sentido e necessrio o uso de todo o domnio de Ca,b para
reconstruir o sinal f(t). Portanto,
em vez de usar dilaes e translaes contnuas, valores discretos
destes parmetros so
usados para realizar a Transformada Discreta de Wavelet (TDW)
Ovanesova e Suarz
(2004).
Em funo dos motivos expostos acima, optou-se em utilizar apenas
as transformadas
discretas de wavelet na deteco de danos.
3.2.4.5 Transformada Discreta de Wavelet (TDW)
Wavelets ( ) com parmetros inteiros so, geralmente, usadas nas
transformadas de
wavelet, por exemplo, podem ser geradas de uma wavelet-me usando
valores escalonados
de a e transladados de b baseados na potncia de 2. Este
procedimento reduz o esforo
computacional nos clculos dos coeficientes de wavelet. A escala
a definida como a = 2j
e a translao b = k2j com (j,k) Z. Este processo chamado de
Transformada Discreta de
Wavelet (TDW) e as wavelets so obtidas pela Equao 3.20.
(3.20)
-
33
Onde j e k so os ndices de escala e translao (posio)
respectivamente. Os coeficientes
discretos de wavelet so dados por:
(3.21)
De posse de um modelo numrico de uma estrutura e do conhecimento
da teoria para o
clculo das transformadas de wavelet, os seguintes passos so
necessrios para realizar um
procedimento de deteco de danos utilizando a TDW.
Passo 1: discretizar a estrutura contnu