Detecção de Correlação entre Séries Temporais Utilizando Espectro Cruzado Wavelet e Coerência Wavelet. Marcus V M Varanis 1 , Robson Pederiva 2 1 Unicamp, Campinas, Brasil, [email protected]2 Unicamp, Campinas, Brasil, [email protected]Resumo: O principal objetivo deste trabalho é aplicar a análise de Espectro Cruzado Wavelet, ou Wavelet Cross Spectrum (WCS) e Coerência Wavelet, ou Wavelet Coherence (WC), para estudar a semelhança e correlação entre dois sinais com relação a tempo e escalas. Palavras-Chave: Espectro Cruzado Wavelet, Coerência Wavelet, Séries Temporais 1. INTRODUÇÃO Existem vários métodos convencionais para detecção e analise de semelhança entre sinais e ou séries temporais. Estes métodos podem ser utilizados no domínio do tempo ou no domínio da freqüência. Entretanto, mostram-se ineficientes quando aplicado na análise de sinais ou series de natureza não-estacionária [4]. A limitação desses métodos na análise de sinais não-estacionários possibilitou o desenvolvimento de diversas técnicas de processamento de sinais como tempo-freqüência (Transformada Rápida de Fourier) e tempo-escala (Transformada Wavelet). A Transformada de Wavelet (WT) é um método efetivo para o processamento de sinais e analise de séries temporais do tipo estacionários e não-estacionários [4,5]. A partir dos estudos da Transformada Wavelet foram desenvolvidos o método do Espectro Cruzado Wavelet (Wavelet Cross Spectrum) e a Coerência Wavelet (Wavelet Coherence) [8]. Este trabalho mostra a aplicação das técnicas de Espectro Cruzado Wavelet e Coerência Wavelet na detecção de semelhanças entre dois sinais. Para isto, faz-se um estudo comparativo através de sinais simulados computacionalmente. 2. ESPECTRO CRUZADO WAVELET E COERENCIA WAVELET A transformada wavelet continua de uma função f(t) é definida como a convolução entre f é a função de dilatação ψ chamada de Wavelet Mãe [4]. dt a b t t f a b a W f ) ( ) ( 1 ) , ( * ∫ ∞ ∞ - - = ψ (1) Onde a é o parâmetro de dilatação que tem papel semelhante à freqüência na análise de Fourier, e b é o parâmetro de translação que corresponde à posição da wavelet no espaço [1]. O espectro cruzado wavelet, definido para cada sinal, é caracterizado pelo módulo e pela fase da transformada wavelet continua obtida utilizando valores complexos [1,3]. Para examinar a relação entre os dois sinais no plano de escala e tempo, define-se o Espectro Cruzado Wavelet como: ) , ( ) , ( ) , ( b a Cy b a Cx b a Cxy = (2) Onde Cx(a,b) e Cy(a,b), representam a transformada wavelet continua de cada um dos sinais ou séries. O produto apresentado na equação (2) possibilita traçar o gráfico de |Cxy(a,b)| 2 [6], o qual resulta em um escalograma, onde torna-se possível a visualização de eventos coincidentes sobre as escalas e freqüências, em cada instante de tempo para os sinais x e y. Neste trabalho, utilizou-se a coerência wavelet que tem a mesma forma da função de coerência baseado em Fourier definida em [1], sabe-se que esta pode apresentar valores em módulo entre 0 e 1, quanto mais próximo do valor de 1, maior é a correlação entre os sinais. Desta forma a Coerência Wavelet pode ser escrita como mostrada na equação (3): ) , ( ) , ( ) , ( )) , ( ( 2 2 b a Cyy b a Cxx b a Cxy b a C = (3) A Transformada Wavelet, o Espectro Cruzado Wavelet permitem representar um sinal ou uma série temporal por meio de um diagrama tempo-freqüência, conhecido como escalograma [4], no qual os coeficientes são representados por meio de intensidade de cores, a cor azul significa menor intensidade do coeficiente wavelet ou energia e a cor vermelha representa maior intensidade dos coeficientes wavelet ou energia. E o escalograma de coerência é definido como [1,6]: 711 http://dx.doi.org/10.5540/DINCON.2011.001.1.0181
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Detecção de Correlação entre Séries Temporais Utilizando … · desenvolvimento de diversas técnicas de processamento de sinais como tempo-freqüência (Transformada Rápida
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Detecção de Correlação entre Séries Temporais Utilizando Espectro Cruzado Wavelet e Coerência
Resumo: O principal objetivo deste trabalho é aplicar a análise de Espectro Cruzado Wavelet, ou Wavelet Cross Spectrum (WCS) e Coerência Wavelet, ou Wavelet Coherence (WC), para estudar a semelhança e correlação entre dois sinais com relação a tempo e escalas. Palavras-Chave: Espectro Cruzado Wavelet, Coerência Wavelet, Séries Temporais
1. INTRODUÇÃO
Existem vários métodos convencionais para detecção e analise de semelhança entre sinais e ou séries temporais. Estes métodos podem ser utilizados no domínio do tempo ou no domínio da freqüência. Entretanto, mostram-se ineficientes quando aplicado na análise de sinais ou series de natureza não-estacionária [4]. A limitação desses métodos na análise de sinais não-estacionários possibilitou o desenvolvimento de diversas técnicas de processamento de sinais como tempo-freqüência (Transformada Rápida de Fourier) e tempo-escala (Transformada Wavelet). A Transformada de Wavelet (WT) é um método efetivo para o processamento de sinais e analise de séries temporais do tipo estacionários e não-estacionários [4,5]. A partir dos estudos da Transformada Wavelet foram desenvolvidos o método do Espectro Cruzado Wavelet (Wavelet Cross Spectrum) e a Coerência Wavelet (Wavelet Coherence) [8].
Este trabalho mostra a aplicação das técnicas de Espectro
Cruzado Wavelet e Coerência Wavelet na detecção de semelhanças entre dois sinais. Para isto, faz-se um estudo comparativo através de sinais simulados computacionalmente.
2. ESPECTRO CRUZADO WAVELET E COERENCIA WAVELET
A transformada wavelet continua de uma função f(t) é definida como a convolução entre f é a função de dilatação ψ chamada de Wavelet Mãe [4].
dta
bttf
abaW f )()(
1),( *
∫∞
∞−
−= ψ (1)
Onde a é o parâmetro de dilatação que tem papel semelhante à freqüência na análise de Fourier, e b é o parâmetro de translação que corresponde à posição da wavelet no espaço [1].
O espectro cruzado wavelet, definido para cada sinal, é
caracterizado pelo módulo e pela fase da transformada wavelet continua obtida utilizando valores complexos [1,3]. Para examinar a relação entre os dois sinais no plano de escala e tempo, define-se o Espectro Cruzado Wavelet como:
),(),(),( baCybaCxbaCxy = (2)
Onde Cx(a,b) e Cy(a,b), representam a transformada
wavelet continua de cada um dos sinais ou séries. O produto apresentado na equação (2) possibilita traçar o gráfico de |Cxy(a,b)|2 [6], o qual resulta em um escalograma, onde torna-se possível a visualização de eventos coincidentes sobre as escalas e freqüências, em cada instante de tempo para os sinais x e y.
Neste trabalho, utilizou-se a coerência wavelet que tem a mesma forma da função de coerência baseado em Fourier definida em [1], sabe-se que esta pode apresentar valores em módulo entre 0 e 1, quanto mais próximo do valor de 1, maior é a correlação entre os sinais. Desta forma a Coerência Wavelet pode ser escrita como mostrada na equação (3):
),(),(
),()),((
2
2
baCyybaCxx
baCxybaC = (3)
A Transformada Wavelet, o Espectro Cruzado Wavelet
permitem representar um sinal ou uma série temporal por meio de um diagrama tempo-freqüência, conhecido como escalograma [4], no qual os coeficientes são representados por meio de intensidade de cores, a cor azul significa menor intensidade do coeficiente wavelet ou energia e a cor vermelha representa maior intensidade dos coeficientes wavelet ou energia.
E o escalograma de coerência é definido como [1,6]:
711
http://dx.doi.org/10.5540/DINCON.2011.001.1.0181
Detecção de Correlação Entre Séries Temporais Utilizando Espectro Cruzado Wavelet e Coerência Wavelet Marcus V M Varanis, Robson Pederiva.
dttbayCtbaCxa
baC
t
t
xy ),(*),(1
),( ++= ∫∆−
∆−
(4)
3. ANÁLISE
Para entendimento do procedimento de calculo, inicialmente fez-se a simulação de dois sinais de função seno, defasados de π/4, as funções geradoras dos sinais são apresentadas nas equações (5) e (6), em seguida calculou-se a Transformada Wavelet continua, o Espectro Cruzado Wavelet e a Coerência Wavelet, posteriormente os escalogramas e gráficos. Com relação à Wavelet Mãe, utilizou-se a Wavelet de Morlet.
Os procedimentos acima foram utilizados para todas as
simulações apresentadas neste trabalho.
)16sin( tx π= (5)
)4
16sin(π
π += ty (6)
Na figura 1 apresentam-se os sinais x e y no domínio do tempo, e também os escalogramas resultantes da Transformada Wavelet dos sinais x e y. É possível notar que ambos os sinais apresentam valor de escala por volta de 105, durante todo o tempo de analise dos sinais, o que já se esperava em função dos sinais x e y terem a mesma freqüência fundamental.
Figura. 1. Sinais temporais x e y e seus respectivos escalogramas da
CWT.
Na Figura 2 apresenta-se a sobreposição dos sinais no domínio do tempo e o escalograma resultante do calculo do Espectro Cruzado Wavelet (WCS), novamente mostra-se a coincidência do valor de escala durante toda a duração dos sinais.
Figura. 2. Sinais x e y sobrepostos e escalograma da WCS.
Na figura 3 apresenta-se o gráfico de Coerência Wavelet (WC), como já citado, assim como na função coerência baseada na analise de Fourier, pode apresentar valores entre 0 e 1, quanto mais próximo do valor de 1, maior é a correlação entre os sinais. É possível notar na figura 3 que os sinais x e y apresentam coerência 1, ou valor muito próximo, durante todo o tempo dos sinais.
Figura. 3. Gráfico de Coerência Wavelet entre sinais x e y.
Na simulação seguinte utilizaram-se os mesmos sinais apresentados nas equações (5) e (6), porem, adicionou-se um ruído branco a ambos.
Percebe-se que tanto no escalograma da Transformada Wavelet, apresentado na figura 4, quanto no escalograma do Espectro Cruzado Wavelet, que é possível detectar o mesmo valor de escala dos sinais sem a adição do ruído branco.
Figura. 4. Sinais temporais x e y e seus respectivos escalogramas da
CWT.
Figura. 5. Sinais x e y sobrepostos e escalograma da WCS.
Nessa simulação a Coerência Wavelet entre os sinais, apresenta variação grande ao longo do tempo, isso deve-se ao fato da adição do ruído branco aos sinais x e y.
Figura. 6. Gráfico de Coerência Wavelet entre sinais x e y.
Na simulação a seguir utilizou-se o sinal apresentado na equação (5) e um chirp quadrático apresentado na equação (7).
)256sin( 2ty π= (7)
Na figura 7 onde são apresentados os sinais temporais e os escalogramas da Transformada Wavelet, percebe-se que visualmente já não é possível afirmar que exista semelhança entre os sinais. Porém quando aplica-se o Espectro Cruzado Wavelet, é possível ver que no intervalo de 0 a 200 s, existe forte semelhança entre suas escalas, como mostrado na figura 8.
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Figura. 7. Sinais temporais x e y e seus respectivos escalogramas da
CWT.
Figura. 8. Sinais x e y sobrepostos e escalograma da WCS.
A análise feita via Coerencia Wavelet, é possível verificar existência de correlação entre os sinais entre 0 e 1200 segundos, aproximadamente. A diferença que existente nos valores das duas análises, deve-se ao fato da dificuldade de visualização de escalas de baixo valor do sinal defino pela equação (7).
Figura. 9. Gráfico de Coerência Wavelet entre sinais x e y.
Nesta ultima simulação utiliza-se o sinal descrito pela equação (5) e um sinal complemente aleatório. Na figura 10 observa-se os sinais no domínio do tempo e os escalogramas da Transformada Wavelet Continua. Nota-se que pela análise visual dos escalogramas não é possível estabelecer qualquer correlação entre os sinais analisados.
Figura. 10. Sinais temporais x e y e seus respectivos escalogramas da
CWT.
Já a análise feita via Espectro Cruzado Wavelet, apresentado na figura 11, indica-se a existência de correlação entre os sinais entre 0 e 200 segundos e também no final da descrição dos sinais por volta de 1900-2000 segundos.
Figura. 11. Sinais x e y sobrepostos e escalograma da WCS
A análise feita via Coerencia Wavelet, é possível verificar existência de correlação entre os sinais entre 0 e 400 segundos e também no final da descrição dos sinais por volta de 1700-2000 segundos, aproximadamente.
Figura. 12. Gráfico de Coerência Wavelet entre sinais x e y.
3. CONCLUSÃO
Este trabalho apresentou as técnicas de Espectro Cruzado Wavelet e Coerência Wavelet para detecção de semelhanças ou correlação entre sinais ou séries temporais, principalmente para sinais não-estacionários. Os resultados mostram que as aplicações de tais técnicas são eficientes, como demostrado através de simulações computacionais, feitas em Matlab.
Em alguns casos notou-se que visualmente existe uma
diferença grande entre a análise de Espectro Cruzado Wavelet e Coerência Wavelet, como citado anteriormente, isso deve-se ao fato de existir dificuldade na visualização de escalas de baixo valor através do escalograma.
A eficiência dos métodos utilizados esta fortemente
vinculada a escolha da Wavelet Mãe, um estudo mais detalhado sob esta pode ser vista em [9].
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Detecção de Correlação Entre Séries Temporais Utilizando Espectro Cruzado Wavelet e Coerência Wavelet Marcus V M Varanis, Robson Pederiva.
Um próximo passo testar a essa abordagem com sinais
reais, provenientes de um sistema mecânico, por exemplo. Também pode-se testar a aplicação do método a séries temporais como dados de bolsa de valores e dados climáticos.
Poderia também criar um classificador para analise dos resultados.
AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem ao Capes pelo apoio financeiro.
REFERENCIAS
[1]DOI D.Labbat,“Recent advances in wavelet analyses:Part 1. A review of concepts,” Journal of Hydrology
Volume 314, Issues 1-4, Pages 275-288, 25 November 2005.
[2]DOI C.Torrence,G.Compo,“A Practical Guide to Wavelet
Analysis,” Bulletin of the American Meteorological Society, 79 pp. 61-78, 1998.
[3]DOI A. Grinsted,J.C. Moore, S.Jevrejeva, “Application of the cross wavelet transform and wavelet coherence to geophysical time series,” Nonlinear Processes in Geophysics, Vol. 11, November 2004.
[4]LI S.G.MALLAT “A Wavelet Tour of Signal Processing: The Sparse way”, Academic Press, San Diego, USA, 2009.
[5]LI I.Daubechies,“Ten Lectures on Wavelets,” Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 1992.
[6]DOI J. Bigot, M. Longcamp, F. Dal Maso, D. Amarantini, “new statistical test based on the wavelet cross-spectrum to detect time–frequency dependence between non-stationary signals: Application to the analysis of cortico-muscular interactions,” NeuroImage, Volume 55, Issue 4, Pages 1504-1518, 15 April 2011.
[7]DOI X.Rodó,M.Àngel R.Arias,“A new method to detect transitory signatures and local time/space variability structures in the climate system: the scale-dependent correlation analysis,” CLIMATE DYNAMICS Volume 27, Number 5, 441-458, June 2006.
[8]DOI M. I. Plett “Transient Detection With Cross Wavelet
Transforms and Wavelet Coherence,” Signal Processing, IEEE Transactions on, 1605-1611, May 2007.
[9]DOI R. C. Guido “A note on a practical relationship
between filter coefficients and scaling and wavelet functions of Discrete Wavelet Transforms,” Applied Mathematics Letters, Volume 24, Issue 7, Pages 1257-1259, July 2011.