- 1. Pr 3 Resolucin de EDPsMotivacin En matemtica, una derivada
parcial de una funcin de diversas variableses su derivada respecto
a una de esas variables manteniendo las otras constantes.En efecto,
las derivadas parciales son tiles en clculo vectorial y
geometradiferencial. La derivada parcial de una funcin f respecto a
la direccin x se representacon cualquiera de las siguientes
notaciones equivalentes: Ecuacin 1(donde es la letra d redondeada,
conocida como la d de Jacobi). Alrealizar esta derivada obtenemos
la pendiente de dicha funcin paralela al eje de laincgnita respecto
a la cual se ha hecho la derivada. Analticamente, el gradientede
una funcin es la mxima pendiente de dicha funcin en la direccin que
se elija.Mientras visto desde el lgebra lineal, la direccin del
gradiente nos indica haciadonde hay mayor variacin en la
funcin.EjemplosDada una funcin u que depende de x y de y, la
derivada parcial de ucon respecto a x en un punto cualquiera (x,y)
est definido como Ecuacin 2Dada una funcin u que depende de x y de
y, la derivada parcial de ucon respecto a y en un punto cualquiera
(x,y) est definido como Ecuacin 3 Una funcin que involucra
derivadas parciales de una funcin desconocidacon dos o ms variables
independientes, se denomina Ecuacin Diferencial Parcial,o EDP. A
continuacin, se mostrarn algunos ejemplos de ecuaciones
diferencialesparciales: Ecuacin 4 Ecuacin 5 Ecuacin 6 Ecuacin
7Jaime Martnez Verd Pgina 2
2. Pr 3 Resolucin de EDPs Por su amplia aplicacin en ingeniera,
en esta asignatura nos concentramosen la solucin de ecuaciones
diferenciales parciales lineales de segundo orden: Ecuacin 8 donde
A, B, y C son funciones de x y y, y D es una funcin de x, y, u, u/
x y u/ y. Dependiendo de los valores de los coeficientes de los
trminos de la segundaderivada (A, B y C) esta ecuacin se puede
clasificar en elptica, parablica ohiperblica. B2-4ACCategoraEjemplo
Ecuacin de Laplace (en estado estable con dos dimensiones
espaciales) 0 Hiperblica Ecuacin 11Comentario.El orden de una EDP
es el de la derivada ms alta Se dice que una ecuacin diferencial
parcial es lineal, si es lineal en lafuncin desconocida y en todas
sus derivadas, con coeficientes que dependen slo delas variables
independientesMtodos empleados antes da la computacin Antes de la
llegada de las computadoras se utilizaban soluciones analticas
oexactas de ecuaciones diferenciales parciales. Aparte de los casos
ms simples,estas soluciones a menudo requieren gran esfuerzo y
complicacin matemtica.Muchos sistemas fsicos no pueden resolverse
analticamente, por lo quetienen que simplificarse usando
linearizacin, representaciones geomtricassimples, y otras
idealizaciones. Estas soluciones aportan algn conocimiento del
sistema que se estestudiando, sin embargo, estn limitadas por la
fidelidad con que representan larealidad.Jaime Martnez Verd Pgina 3
3. Pr 3 Resolucin de EDPs EDP y aplicacin en la ingeniera Cada una
de las categoras de ecuaciones diferenciales parciales
conformaclases especficas de problemas de ingeniera: Las ecuaciones
elpticas se usan para caracterizar sistemas de estado- estable
(ausencia de una derivada con respecto al tiempo, o trmino
transitorio). Por lo general se emplean para determinar la
distribucin en estado estable de una incgnita en dos dimensiones:
Tw 11 0.9 0.8 0.7 TwS 0.6 1Y(m) 0.5 kTw 0.4 0.3 0.2 0.10 0
0.51TwX(m)Ilustracin 1. Conduccin estable con generacin de calor.
Las ecuaciones parablicas determinan cmo vara una incgnita tanto en
espacio como en tiempo (presencia de derivadas especial y
temporal). Tales casos se conocen como problemas de propagacin.
Ilustracin 2. Mediante la ecuacin parablica se obtiene la
propagacin de ondas. Las ecuaciones hiperblicas, tambin representan
problemas de propagacin, sin embargo, se diferencia de las
ecuaciones parablicas en que la incgnita se caracteriza por una
segunda derivada con respecto al tiempo. En consecuencia, la
solucin oscila. Ilustracin 3. Mediante la ecuacin parablica se
obtiene la propagacin de ondas. Jaime Martnez Verd Pgina 4 4. Pr 3
Resolucin de EDPsDiferencias finitas en ecuaciones parablicas
(ME)Las ecuaciones parablicas se emplean para caracterizar
problemasdependientes del tiempo y el espacio. Se emplean
generalmente para caracterizarproblemas dependientes del tiempo
donde se describen problemas de propagacin(difusin y evolucin
suave). Para la solucin de la ecuacin se necesitancondiciones
iniciales y condiciones de borde.Las EDP parablicas pueden ser
resueltas sustituyendo las derivadasparciales por las diferencias
divididas finitas. Sin embargo, ahora hay queconsiderar cambios en
el tiempo as como en el espacio. Mientras las ecuacioneselpticas
estn acotadas en todas las dimensiones, las parablicas
estntemporalmente abiertas en los extremos. Existen dos
aproximacionesfundamentales para la solucin de EDP parablicas:o
Esquema explcitoo Esquema implcito Discretizacin: EDP EDF Mtodos
explcitosu Sencillosu Inestables Mtodos implcitosu Ms complejosu
EstablesEcuacin de conduccin del calorEl ejemplo clsico de una
ecuacin parablica sencilla y con mayor campo deaplicacin en una
dimensin es la ecuacin del calor o ecuacin de difusin.
Esteejercicio se ha modelado para buscar significado fsico a los
resultados y, de estemodo, buscarle un sentido prctico aplicado a
un caso de ingeniera. La esencia delejercicio no cambia puesto que
el sentido matemtico se conserva. Ilustracin 4. Representacin
esquemtica de una barra con extremos a dos Tas.Jaime Martnez Verd
Pgina 5 5. Pr 3 Resolucin de EDPs Se puede usar la conservacin de
calor para desarrollar un balance deenerga en un elemento
diferencial de una barra larga xyz y delgada aislada,considerando
la cantidad de calor que se almacena en un periodo de tiempo t.
Laecuacin a desarrollar, aplicando balances msicos y de energa,
sera la siguiente:Ecuacin 12 Dividiendo entre el volumen y el
elemento diferencial de tiempo:Ecuacin 13 Tomando el lmite:Ecuacin
14 Sustituyendo la Ley de Fourier:Ecuacin 15 Se obtiene la
siguiente ecuacin:Ecuacin 16donde k es la constante de
conductividad trmica y T(0) =(0) y T(L) = (0).La ecuacin del calor
aparece en los modelos matemticos relacionados conproblemas de
difusin y Mecnica de Fluidos, y muchas de las propiedades
ycomentarios que estudiaremos para ella son de gran importancia
para la resolucinde numerosos problemas en ingeniera. Esta ecuacin
modeliza la conduccin del calor en una barra cilndrica delongitud L
cuya seccin transversal es uniforme, pequea y de un
materialhomogneo. La funcin T(x,t) mide la temperatura de la barra
en cada momento deltiempo t > 0 y en cada punto del espacio x
[0,L]. k > 0 es una constante quedepende de las caractersticas
fsicas de la barra. La solucin de esta EDPs se expresa en forma de
serie para ciertos tipos decondiciones iniciales f(x). Nuestro
objetivo en este ejercicio es desarrollar mtodosnumricos que
permitan obtener la solucin del problema de forma aproximada. Jaime
Martnez Verd Pgina 6 6. Pr 3 Resolucin de EDPs Desarrollo matemtico
del Mtodo explicitoEl problema es encontrar la funcin T(x,t) que
satisface las siguientespremisas: Ecuacin 17Aplicaremos las
formulas de las diferencias finitas sobre los puntos de unamalla
uniforme rectangular (xi,tl) con Ecuacin 18 Ecuacin 19 donde es el
tamao del salto en la variable de desplazamiento x y hacereferencia
al paso temporal. Emplearemos la notacin ypara el valor exacto y la
aproximacin numrica en el punto nodal ,respectivamente.Puesto que
la ecuacin del calor es una ecuacin de evolucin y, en
esteejercicio, se necesita obtener una aproximacin empleando un
esquema explcito deforma progresiva en el tiempo, calcularemos,
para todo valor i, los valores apartir de los valores en el
instante de tiempo anterior . Calculemos las frmulasen diferencias
que emplearemos para aproximar las dos derivadas buscadas.
Paraello, emplearemos el mtodo del desarrollo de Taylor tal y como
se muestra acontinuacin: Ecuacin 20 dondePor tanto, de la Ecuacin
20 Ecuacin 20 podemos despejar el valor de la derivada parcial
conrespecto al tiempo: Ecuacin 21 Jaime Martnez VerdPgina 7 7. Pr 3
Resolucin de EDPsPor otra parte, si derivamos la expresin con
respecto a la variable espacial,tenemos que: Ecuacin 22 Ecuacin
23Sumando las dos identidades de la Ecuacin 22 y la Ecuacin 23
Ecuacin22Ecuacin 23 para obtener lo siguiente: donde. Reajustando
la expresin puede obtenerse el valor dela segunda derivada con
respecto a la variable temporal: Ecuacin 24En virtud de las
ecuaciones 21 y 24 y de la definicin del sistema fsico(Ecuacin 17)
se obtiene la siguiente identidad: Ecuacin 25donde, Ecuacin 26Jaime
Martnez Verd Pgina 8 8. Pr 3 Resolucin de EDPsDeshaciendo la
notacin empleada para contemplar la expresin con toda lainformacin
disponible:Ecuacin 27Teniendo en cuenta que T satisface la Ecuacin
17 y despreciando lostrminos y, la formula anterior propone el
esquema en diferenciasfinitas siguiente:Ecuacin 28 Podemos despejar
el valor deexplcitamente en trminos de los valoresen el paso
temporal anterior:Ecuacin 29 donde, ycon valor siempre mayor
quecero. A continuacin, aplicaremos las condiciones de frontera
tipo Neumann:Frontera izquierda (i = 0).Aplicando la primera
condicin de frontera y la propuesta realizada en elenunciado del
problema se lleva a cabo el siguiente ajuste:Si aplicamos la
notaciny acomodamos la expresin, sta setraduce en la siguiente
identidad:Ecuacin 30Frontera izquierda (i = I + 1).Aplicando la
segunda condicin de frontera y la propuesta realizada en
elenunciado del problema se lleva a cabo el siguiente ajuste:Si
aplicamos la notaciny acomodamos la expresin, sta setraduce en la
siguiente identidad:Ecuacin 31 Jaime Martnez VerdPgina 9 9. Pr 3
Resolucin de EDPs Finalmente, imponiendo las condiciones iniciales
y las condiciones defrontera se obtiene la siguiente ecuacin en
diferencias finitas:Ecuacin 32 Los trminos primero y ltimo son
casos especiales por lo que loscalcularemos los primeros:donde . A
continuacin se obtendrn el resto de trminos:Por lo tanto,
matricialmente podemos escribir el sistema recurrente anteriorcomo:
Ec. 33que en forma compacta lo podemos expresar mediante:Ecuacin
34donde ,y y . Obsrvese que la matriz A decoeficientes del sistema
recursivo es tridiagonal.Jaime Martnez VerdPgina 10 10. Pr 3
Resolucin de EDPsDesarrollo matemtico de la estabilidadSealos
valores nodales en el instante tl quese obtienen al ejecutar un
cierto esquema numrico paraobtener una aproximacin numrica de una
ecuacin diferencial parcial.Consideremos los valores nodales en el
instantetl de la solucin exacta y denotemos por el error cometido
en laaproximacin numrica. Es posible afirmar que el mtodo numrico
es establecuando est uniformemente acotada para todo. Dicho de otro
modo,cuando la diferencia entre los valores aproximados y los
reales permanezcanacotados en todo nivel de tiempo. Las potencias
de A estarn uniformemente acotadas si, y slo si, su normaest
acotada: Ecuacin 35 Para todoy donde es una constante arbitraria.
Puesto que conocersi la matriz A es uniformemente acotada es una
complicada tarea, se proceder aanalizar la estabilidad de una
matriz D, semejante a la matriz A, que sea mssencilla de estudiar.
Para obtener la expresin matemtica que nos permita conocerla forma
de la matriz utilizaremos la diagonalizacin de la matriz A: Ecuacin
36Las matrices simtricas son siempre diagonalizables como
consecuencia delteorema de Schur. Se ha decidido emplear esta
transformacin porque las matricessemejantes A y D comparten varias
propiedades tales como: poseen el mismo rango, el mismo
determinante, la misma traza, los mismos valores propios (en
general, distintos vectores propios), el mismo polinomio
caracterstico y el mismo polinomio mnimo. De este modo, la potencia
n-sima de la matriz A puede desarrollarse delsiguiente modo:Por
tanto, tenemos que la potencia n-sima de la matriz A es semejante a
lamatriz n-sima de la matriz D: Ecuacin 37Jaime Martnez VerdPgina
11 11. Pr 3 Resolucin de EDPs Comentario. El efecto de la
transformacin de semejanza en los vectores y vectorespropios viene
determinado a continuacin:1. Los valores propios no cambia al
realizar una transformacin de semejanza.1. Los vectores propios son
proporcionales realizar una transformacin desemejanza. Esto implica
que la matrizobtenida por semejanza tiene comovectores
propiossiendo v un vector propio de la matriz A.Aplicando la norma
a la expresin de transformacin de semejanza se tieneuna ecuacin que
relaciona la estabilidad de las dos matrices semejantes:Ecuacin 38
Aplicando la proposicin 2.3a de los apuntes, podemos modificar la
ecuacinanterior del siguiente modo:Ecuacin 39Si empleamos la
norma(de los apuntes de clase), la ecuacin anteriorquedara del
siguiente modo:Ecuacin 40 A continuacin, sabiendo que los valores
propios de las matrices P y PTcoinciden y que los de las matrices P
y P-1 son inversos, procederemos a calcular lasnormas de la matriz
invertible P y P-1: A partir de la norma de la matriz de paso se
tiene:Ecuacin 41 donde . Jaime Martnez Verd Pgina 12 12. Pr 3
Resolucin de EDPsComentario.Los valores propios de una matriz y su
matriz traspuesta coinciden. Comouna matriz y su traspuesta tienen
el mismo determinante entonces resulta que debido a que tanto A
como I son tridiagonal ydiagonal, respectivamente. Para que la
norma de la n-sima potencia de la matriz A est acotada, esbien
sabido que debe acotarse la potencia n-sima de la matriz D. Por
tanto, acontinuacin, calcularemos la norma:Por tanto, la Ecuacin 41
puede expresarse como: Ecuacin 42 donde. Puesto que es una
constante fija, tan slo ha deacotarse el valor . Para acotarlo ha
de satisfacerse que el valor mximo de todoslos valores propios sea
menor o igual que uno, de modo que la exponencial nodiverja a
valores infinitos. Por tanto, ha de cumplirse la siguiente
desigualdad: Ecuacin 43Para el clculo de los valores propios se
emplear una frmula planteadapor Wen-Chyuan Yueh [5]. Los parmetros
, , , y se obtienen comparando lamatriz original del desarrollo de
[5] con la original del problema: Ecuacin 44 A partir de la
comparacin entre ambas matrices (ecuaciones 33 y 44), setiene que
los parmetros tiene el valor de , , ,y .Por tanto, aplicando el
teorema 5 [5] donde se suponen , entonceslos valores propios de la
matriz vienen dados por: Ecuacin 45donde.Jaime Martnez Verd Pgina
13 13. Pr 3 Resolucin de EDPs Modificando la nomenclatura para
ajustar la expresin anterior a nuestranotacin, los valores propios
resultan del siguiente modo: Ecuacin 46 donde. basndose en el tipo
de matriz siguiente:Para obtener los mximos y/o mnimos relativos de
la expresin, se iguala laprimera derivada a cero: Tal y como se
observa, parase obtiene un valor propio unitario, que nodepende de
mientras que el otro caso no es posible puesto que el valor mximo
de es . Tal y como puede observarse en la grfica, el valor a
estudiar debera ser elanterior ms cercano a . El resto estarn
contenidos dentro de los dosextremos. Por ello, si acotamos los dos
extremos, tendremos acotados los valoresintermedios.Ilustracin 5.
Representacin grfica de la funcin 1 cos(x) con x entre 0 y . Jaime
Martnez VerdPgina 14 14. Pr 3 Resolucin de EDPsCuando van dndose
valores a I, se tiene:Arreglando las expresiones, se tiene: Se
puede observar que a medida que aumentamos la cantidad de los
nodosexiste una tendencia a que. Esto resulta evidente observando
lasiguiente expresin: donde se comprueba la tendencia a -1 de la
funcin coseno cuando I tomavalores grandes.Jaime Martnez VerdPgina
15 15. Pr 3 Resolucin de EDPsUna vez deducido el comportamiento de
los valores propios, es posiblecomprobar la veracidad de. Por
supuesto, si observamos el caso lmite podemos observar que para
unvalor de entre 0 y 0.5 tendramos asegurada la estabilidad del
sistema. Adems de la estabilidad existen un grupo de conceptos
dignos de serestudiados:Convergencia: Este parmetro significa que
conforme x y ttienden a cero, los resultados de la tcnica por
diferencias finitas seaproximan a la solucin verdadera.Estabilidad:
Este parmetro significa que los errores en cualquieretapa del
clculo no son amplificados, sino que son atenuadosconforme el
clculo avanza.Consistencia: Un esquema numrico consistente es
convergente si, ysolo si, es estable.Se ha demostrado que el mtodo
explcito es convergente y estable si < 1/2,o, por otro lado,
Si1/2 la solucin oscila Si1/4 la solucin no oscila Si1/6 los
errores por truncamiento se minimizanLa restriccin de convergencia
y estabilidad impone fuertes limitaciones, porejemplo, si se reduce
a la mitad x (para mejorar la aproximacin de la segundaderivada
espacial), el tamao de t debe reducirse en un cuarto para mantener
laconvergencia y la estabilidad. O sea, reducir x a la mitad
aumenta en ocho vecesel nmero de clculos. Jaime Martnez Verd Pgina
16 16. Pr 3 Resolucin de EDPs Desarrollo de software en MatLab A
continuacin, mostramos el cdigo de programacin en MatLab:
Midiffin_explicito.mfunction T =
midiffin_explicito(f,g1,g2,L,tf,k,n,m)%---------------------------------------------------------------------%midiffin_explicito
Solucin en diferencias finitas para ec. delcalor.% Llamada simple%
T = midiffin_explicito(f,g1,g2,L,t,k,n,m)% Inputs% fNombre de la
funcin condicin inicial% g1 Nombre de la funcin condicin frontera
1% g2 Nombre de la funcin condicin frontera 2% LAncho del intervalo
[0 L]: 0