12534840 ecuaciones-diferenciales-parciales-elipticas

UNIVERSIDAD NACIONAL“HERMILIO VALDIZAN”- HUANUCO

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURACURSO : MÉTODOS NUMÉRICOS

PROFESORA : Jaimes Reátegui, Sumaya

INTEGRANTES : Domínguez Muños, Jhon H.

Mendoza Santiago, Brigner

Salvador Salazar, Owner H

HUÁNUCO – 2 009

SOLUCIONES NUMÉRICAS PARA LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

CUERPO ISOTROPICOSi la conductividad térmica en cada uno de los puntos es independiente de la dirección del flujo de calor a través del punto. En un punto la Tº se obtiene resolviendo la siguiente ecuación

donde k, c y p son funciones de (x, y, z) y representan, respectiva mente, la conductividad térmica, el calor específico y la densidad del cuerpo en el punto (x, y, z).Cuando k, c y p son constantes, a esta ecuación se le denomina ecuación simple tridimensional del calor, y se expresa como

Si la frontera del cuerpo es relativamente simple, la solución de esta ecuación se obtiene usando la serie de Fourier. En la general si k, c y no son constantes o cuando la frontera es irregular, la solución se obtiene mediante métodos de aproximación.

consideraremos la ecuación diferencial parcial elíptica denominada ecuación de Poisson:

En esta ecuación suponemos que la función f describe los datos del problema en una región plana R cuya frontera denotamos con S. Este tipo de ecuaciones aparece de manera natural en el estudio de diversos problemas físicos dependientes del tiempo; por ejemplo la distribución de calor para estado estable en una región plana, la energía potencial de un punto en un plano sobre el que operan fuerzas gravitacionales y los problemas bidimencionales del estado estable que incluyen fluidos incompresibles.

0

Si la temperaturadentro de la region está determinada por su distribución en la frontera de la región, a las restricciones se les llama condiciones de frontera de Dirichlet. Éstas están dadas por

u(x,y) = g(x, y), para toda (x, y) en S, o sea, la frontera de la

región R. Véase la Fig.  

(x,y):la temperatura se mantiene constante a g(x,y) grados

S

R

x

y

Este método permite el cálculo de la derivada de orden r de señales discretas, a partir de la determinación de las diferencias centrales existentes entre datos consecutivos, la cual viene dada de forma general mediante:

Para el cálculo de la derivada de cualquier orden se sustituye r en la ecuación anterior por el orden de la derivada de interes, obteniéndose para las derivadas de primer, segundo, tercer y cuarto orden las siguientes expresiones que corresponden a los valores de r=1; r=2; r=3 y r=4 respectivamente.

En la forma de diferencias, esto da como resultado el método de las diferencias centrales con un error local de truncamiento del orden ;

2 22

i,j i+1,j i-1,j i,j+1 i,j-1 i j2 + 1 - ( )- ( ) = -h (x , y )h h

w w w w w fk k

Los métodos de Gauss y Cholesky hacen parte de los métodos directos o finitos. Al cabo de un número finito de operaciones, en ausencia de errores de redondeo, se obtiene x* solución del sistema Ax = b.

El método de Gauss-Seidel hace parte de los métodos llamados indirectos o Iterativos. En ellos se comienza con x0 = (x0

1; x02;…; x0

n), una aproximación inicial de la solución. A partir de x0 se construye una nueva aproximación de la solución, x1 = (x1

1; x12;…; x1

n). A partir de x1 se construye x2 (aquí el superíndice indica la iteración y no indica una potencia).

Asi sucesivamente se construye una sucesión de vectores {XK}, con el objetivo, no siempre garantizado, de que

Generalmente los métodos indirectos son una buena opción cuando la matriz es muy grande y dispersa o rala (sparse), es decir, cuando el numero de elementos no nulos es pequeño comparado con n2, numero total de elementos de A. En estos casos se debe utilizar una estructura de datos adecuada que permita almacenar únicamente los elementos no nulos.

En cada iteración del método de Gauss-Seidel, hay n sub iteraciones. En la primera sub iteración se modifica únicamente x1. Las demás coordenadas x2, x3, ..., xn no se modifican. El calculo de x1 se hace de tal manera que se satisfaga la primera ecuación.

En la segunda sub iteración se modifica únicamente x2. Las demás coordenadas x1, x3, ..., xn no se modifican. El calculo de x2 se hace de tal manera que se satisfaga la segunda ecuación.

Así sucesivamente, en la n-esima sub iteración se modifica únicamente xn. las demás coordenadas x1, x2, ..., xn-1 no se modifican. El calculo de xn se hace de tal manera que se satisfaga la n-esima ecuación.

La ecuación diferencial parcial elíptica que estudiaremos es la ecuación de Poisson:

U(x, y) = g(x, y); para (x,y) S, donde: Y S denota la frontera de R. Para este

análisis, suponemos que tanto f como g son continuas en sus dominios y que se garantiza una solución única.

2 22

2 2

u(x,y) u(x,y)u(x,y) = + = f(x,y) ; en (x,y) R y

x y

(x,y)R = a < x < b, c < y < d

El método usado es una adaptación de la técnica de diferencias para problemas con valor de frontera. El primer paso h = ( b – a ) / n y k = ( d – c ) / m. La división del intervalo [ a , b ] en n partes iguales de ancho h, y del intervalo [ c , d ] en m partes iguales de ancho k da como resultado una cuadricula en el rectángulo R al trazar líneas verticales y horizontales a través de los puntos con coordenadas , donde

i j(x ,y )

i

i

x = a + ih, para cada i = 0, 1, 2, 3, . . . , n,

= c + jk, para cada j = 0, 1, 2, 3, . . . , m.y

0x = a 1x 2x3x 4x nx = b

0 = cy

1y

2y

= dmy

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

Las líneas son líneas de cuadrícula, y sus intersecciones son los puntos de red de la cuadrícula. En cada punto de red del interior de la cuadrícula con i = 1, 2, …, n-1 y con j = 1, 2, …, m-1, utilizando la serie de Taylor en la variable x alrededor de Xi para generar la fórmula de las diferencias centrales:

Donde También usamos la serie de Taylor en la

variable y alrededor de Yi para generar la fórmula de las diferencias centrales:

Donde

2 2 4i j i + 1 j i j i - 1 j

i j2 2 4

u(x , y ) u(x , y ) - 2*u(x , y ) + u(x , y ) h u = - ( , y ),

12x h x

i i - 1 i +1 (x , x )

2 2 4i j i j+1 i j i j - 1

i j2 2 4

u(x , y ) u(x , y ) - 2*u(x , y ) + u(x , y ) h u = - ( , ),

12xx

k y

i i - 1 i +1 ( , y )y

El uso de estas fórmulas nos permite expresar la ecuación de Poisson en los puntos como:

Para toda i = 1, 2, … , n-1 y j = 1, 2, …, m-1 y las condiciones de frontera como:

i j(x ,y )

2 4 2 4i+1 j i j i-1 j i j+1 i j i j-1

i j i j i j2 2 4 4

u(x , y )-2*u(x , y )+u(x , y ) u(x , y )-2*u(x , y )+u(x , y ) h u h u+ = f(x ,y )+ ( , y )+ ( , )

12 12hx

k x y

o j o j

n j n j

i 0 i 0

i m i m

u(x , y ) = g(x , y ), para cada j = 0, 1, ... ,m,

u(x , y ) = g(x , y ), para cada j = 0, 1, ... ,m,

u(x , y ) = g(x , y ), para cada i = 0, 1, ... ,n - 1,

u(x , y ) = g(x , y ), para cada i = 0, 1, ... ,n - 1.

En la forma de diferencias, esto da como resultado el método de las diferencias centrales con un error local de truncamiento del orden ;

Para toda i = 1, 2, … , n-1 y j = 1, 2, …, m-1, y

Donde aproxima .

2 2o(h + )k2 2

2i,j i+1,j i-1,j i,j+1 i,j-1 i j2 + 1 - ( )- ( ) = -h (x , y )

h hw w w w w f

k k

o j o j

n j n j

i0 i 0

im i m

u = g(x , y ), para cada j = 0, 1, ... ,m,

u = g(x , y ), para cada j = 0, 1, ... ,m,

u = g(x , y ), para cada i = 0, 1, ... ,n - 1,

u = g(x , y ), para cada i = 0, 1, ... ,n - 1.

i,jw i ju(x ,y )

La ecuación común contiene aproximaciones a en los puntos :

Al reducir la parte de la cuadrícula donde estos puntos están situados, se observa que cada ecuación contiene aproximaciones en una región en forma de estrella alrededor de

i+1 j i j i-1 j i j+1 i j-1u(x , y ),u(x , y ),u(x , y ),u(x , y ),u(x , y )

i j(x , y )

a b

c

d

i - 1x ix i + 1x

j - 1 y

jy

j + 1y

XX

X

X

X

u(x,y)

Si utilizamos la información de las condiciones de frontera siempre que sea conveniente en el sistema dado, es decir, en todos los puntos adyacentes al punto de red de

la frontera, tendremos un sistema lineal (n-1)(m-1) por (n-1)(m-1) cuyas incógnitas son las aproximaciones a

en el interior de los puntos de red. 

El sistema lineal que contiene estas incógnitas se expresa más eficientemente en cálculos matriciales, si se introduce un remarcaje de los puntos interiores de la red. Un sistema de marcaje de estos puntos consiste en utilizar

Donde l = i + (m - 1 – j)(n – 1), para toda i = 1, 2, … , n-1 y j = 1, 2, …, m-1. Y así se marcan consecutivamente los puntos de red de izquierda a derecha y de arriba abajo. Por ejemplo, con n = 4 y m = 5 con el remarque se obtiene una cuadrícula cuyos puntos se muestran en el gráfico. Al marcar los puntos de este modo, se garantiza que el sistema necesario para determinar sea una matriz de banda con un ancho de banda máximo de 2n-1.

i j(x , y )

i,jwi ju(x ,y )

l i j l i,jP = (x , y ) y W = ,w

1x 2x3x 4x

1y

2y

ox

0y

3y

4y

5y

1P 2P 3P

4P 5P 6P

7P 8P 9P

10P11P 12P

PROCESOPROCESOa, b, c, d, m, n, f, g(condiciones de frontera), tol, N

X, Y, v,t,F, w

a: Limite inferior de las abscisasb: Limite superior de las abscisasc: Limite inferior de las ordenadasd: Limite superior de las ordenadasn: Numero de particiones del intervalo [a,b]m: Numero de particiones del intervalo [c,d]fun1: La función general, g(x,y)fun2: La función, f(x,y)tol: Tolerancia para las iteracionesN: El numero de iteracionesw(i,j): Variable matricial que aproxima a g(x,y)h: Equidistancia entre los nudos horizontalesk: Equidistancia entre los nudos verticalesl: Contador que asigna el número de iteracionesnorm: Variable estático o valor constanteX: Vector fila que representa a las abscisasY: Vector fila que representa a las ordenadasF: Matriz que representa a los puntos de f(x,y)G: Matriz que representa a los puntos de G(x,y)

Para el comprender mejor el programa se ha realizado un diagrama de flujo, mediante el cual este programa puede ser codificado en cualquier lenguaje de programación, facilitando así a la persona interesada en programar este tema.

INICIOINICIO

abs(w(i-1,m-1)-z)>normabs(w(i-1,m-1)-z)>norm

LEER:a,b,c,d,n,m,fun,fun1,fun2,fun3,fun4,tol,NLEER:a,b,c,d,n,m,fun,fun1,fun2,fun

3,fun4,tol,N

h=(b-a)/n; k=(d-c)/m;X=zeros(1,n+1); Y=zeros(1,m+1);v=zeros(1,n+1); t=zeros(1,m+1);

h=(b-a)/n; k=(d-c)/m;X=zeros(1,n+1); Y=zeros(1,m+1);v=zeros(1,n+1); t=zeros(1,m+1);

FOR i=1: n+1FOR i=1: n+1

X(i)=a+(i-1)*h; X(i)=a+(i-1)*h;

NEXT (i)NEXT (i)

FOR j=1: m+1FOR j=1: m+1

Y(i)=a+(i-1)*k; Y(i)=a+(i-1)*k;

NEXT (j)NEXT (j)

F=zeros(n+1,m+1);F=zeros(n+1,m+1);

FOR i=1: n+1FOR i=1: n+1

y=Y(j); x=X(i); F(i,j)=eval(fun);

y=Y(j); x=X(i); F(i,j)=eval(fun);

NEXT (i)NEXT (i)

FOR j=1:m+1FOR j=1:m+1

NEXT (j)NEXT (j)

w=zeros(n-1,m-1);la=(h^2)/(k^2);mu=2*(1+la); l=1;

w=zeros(n-1,m-1);la=(h^2)/(k^2);mu=2*(1+la); l=1;

WHILE l<=NWHILE l<=N

z=(-h^2*F(2,m)+Y(m)+la*v(2)+la*w(1,m-2)+w(2,m-1))/mu; norm=abs(z-w(1,m-1)); w(1,m-1)=z;

z=(-h^2*F(2,m)+Y(m)+la*v(2)+la*w(1,m-2)+w(2,m-1))/mu; norm=abs(z-w(1,m-1)); w(1,m-1)=z;

FOR i=3: n-1FOR i=3: n-1

z=(-h^2*F(i,m)+la*v(i)+w(i-2,m-1)+w(i,m-1)+la*w(i-1,m-2))/mu;z=(-h^2*F(i,m)+la*v(i)+w(i-2,m-1)+w(i,m-1)+la*w(i-1,m-2))/mu;

NEXT (i)NEXT (i)

norm=abs(w(i-1,m-1)-z);w(i-1,m-1)=z;norm=abs(w(i-1,m-1)-z);

w(i-1,m-1)=z;

FF

VV

AA

FOR j=1: m+1FOR j=1: m+1

FOR i=1: n+1FOR i=1: n+1

x= X(i); v(i)=eval(fun4);x= X(i); v(i)=eval(fun4);

y=Y(j); t(j)=eval(fun2)y=Y(j); t(j)=eval(fun2)

NEXT (i)NEXT (i)

NEXT (j)NEXT (j)

for j=m-1:-1:3 for j=m-1:-1:3

abs(w(n-1,m-1)-z)>normabs(w(n-1,m-1)-z)>norm

z=(-h^2*F(n,m)+t(m)+la*v(n)+w(n-2,m-1)+la*w(n-1,m-2))/muz=(-h^2*F(n,m)+t(m)+la*v(n)+w(n-2,m-1)+la*w(n-1,m-2))/mu

VV

abs(w(1,j-1)-z)>normabs(w(1,j-1)-z)>norm

FF

AA

BB

norm=abs(w(n-1,m-1)-z); w(n-1,m-1)=z; norm=abs(w(n-1,m-1)-z);

w(n-1,m-1)=z;

z=(-h^2*F(2,j)+Y(j)+la*w(1,j)+la*w(1,j-2)+w(2,j-1))/mu

norm=abs(w(1,j-1)-z);w(1,j-1)=z;norm=abs(w(1,j-1)-z);

w(1,j-1)=z;

FF

VV

FOR i=3:n-1 FOR i=3:n-1

abs(w(i-1,j-1)-z)>normabs(w(i-1,j-1)-z)>norm

norm=abs(w(i-1,j-1)-z);w(i-1,j-1)=z;norm=abs(w(i-1,j-1)-z);

w(i-1,j-1)=z;

z=(-h^2*F(i,j)+w(i-2,j-1)+la*w(i-1,j)+w(i,j-1)+la*w(i-1,j-2))/muz=(-h^2*F(i,j)+w(i-2,j-1)+la*w(i-1,j)+w(i,j-1)+la*w(i-1,j-2))/mu

z=(-h^2*F(n,j)+t(j)+w(n-2,j-1)+la*w(n-1,j)+la*w(n-1,j-2))/mu;

NEXT (i)NEXT (i)

VV

FF

BB

abs(w(n-1,j-1)-z)>normabs(w(n-1,j-1)-z)>norm

norm=abs(w(n-1,j-1)-z);w(n-1,j-1)=z;norm=abs(w(n-1,j-1)-z);

w(n-1,j-1)=z;

FF

VV

NEXT (j)NEXT (j)

z=(-h^2*F(2,2)+G(1,2)+la*G(2,1)+la*w(1,2)+w(2,1))/mu;

abs(w(1,1)-z)>normabs(w(1,1)-z)>norm

norm=abs(w(1,1)-z);w(1,1)=z;norm=abs(w(1,1)-z);

w(1,1)=z;

FF

VV

FOR i=3:n-1FOR i=3:n-1

z=(-h^2*F(i,2)+la*X(i)+w(i-2,1)+la*w(i-1,2)+w(i,1))/mu;

abs(w(i-1,1)-z)>normabs(w(i-1,1)-z)>norm

norm=abs(w(i-1,1)-z);w(i-1,1)=z; norm=abs(w(i-1,1)-z);

w(i-1,1)=z;

FF

VV

NEXT (i)NEXT (i)C

C

z=(-h^2*F(n,2)+t(2)+la*X(n)+w(n-2,1)+la*w(n-1,2))/muz=(-h^2*F(n,2)+t(2)+la*X(n)+w(n-2,1)+la*w(n-1,2))/mu

abs(w(n-1,j1)-z)>normabs(w(n-1,j1)-z)>norm

CC

VV

FF

norm=abs(w(n-1,1)-z);w(n-1,1)=z;norm=abs(w(n-1,1)-z);

w(n-1,1)=z;

norm <= tolnorm <= tol

VV

FF

l=N;l=N;

IMPRIMIR X, Y, v,t, F, w,“Procedimiento terminado con éxito para l”IMPRIMIR X, Y, v,t, F, w,“Procedimiento terminado con éxito

para l”

l==Nl==N

VV

FF

IMPRIMIR X, Y, v,t, F, w, ”Excedió el numero máximo de iteraciones a N”

“Procedimiento terminado sin éxito…”

IMPRIMIR X, Y, v,t, F, w, ”Excedió el numero máximo de iteraciones a N”

“Procedimiento terminado sin éxito…”

l=l+1;l=l+1;

ENDEND

END WHILEEND WHILE

CODIFICACIÓN EN MATLAB

OBSERVACIONES

El numero de particiones; h, k; deben ser mayores o iguales que 3.

El tipo de problema que se presenta es mayormente de temperaturas de placas o semejante a ellos con consideraciones de frontera.

En el grafico que se muestra al ejecutar el programa la parte oscura representa temperatura cero en las tronteras.

El resultado se muestra en una matriz (A) que es lo mismo que (w) que tiene dimensiones de (n-1 x m-1),

EJEMPLO  Consideremos el problema de determinar la distribución de

calor en estado estable, en una placa cuadrada metálica delgada, con las dimensiones 0.5 m por 0.5 m. Conservamos dos fronteras adyacentes de 0º C, mientras el calor en las otras dos fronteras aumenta linealmente de 0º C en una esquina a 100º C en el sitio donde ambos lados se encuentran. Si ponemos los lados con las condiciones de frontera cero a lo largo de los ejes x y y, el problema se expresa así:

Para (x,y) en el dominio ,

con las condiciones de frontera: U(0,y) = 0. U(x,0) = 0, U(x,0.5) = 200x,

U(0.5,y) = 200y.• Si n = m = 4, el problema tiene la cuadrícula que se muestra

y la ecuación de diferencias:

2 2

2 2

u(x,y) u(x,y) + = 0

x y

u(x,y)R = 0 < x < 0.5, 0 < y < 0.5

i,j i+1,j i-1,j i,j+1 i,j-14 - - - - ) = 0w w w w w

Para toda i = 1, 2, 3 y j = 1, 2,3. Expresar esto en una función de los

puntos remarcados de la cuadrícula inferior

implica que las ecuaciones en los puntos

son:

i iW = u(P )

iP

1 1 2 4 0,3 1,4

2 2 3 1 5 2,4

3 3 2 6 4,3 3,4

4 4 5 1 7 0,2

5 5 6 4

P : 4W - W - W = W + W ,

P : 4W - W - W - W = W ,

P : 4W - W - W = W + W ,

P : 4W - W - W - W = W ,

P : 4W - W - W 2 8

6 6 5 3 9 4,2

7 7 8 4 0,1 1,0

8 8 9 7 5 2,0

9 9 8 6 3,0 4,1

- W - W = 0,

P : 4W - W - W - W = W ,

P : 4W - W - W = W - W ,

P : 4W - W - W - W = W ,

P : 4W - W - W = W - W ,

Donde los lados derechos de las ecuaciones se obtienen de las condiciones de frontera.

Las condiciones de frontera implican que:

El sistema lineal asociado a este problema tiene la forma:

1P 2P 3P

4P 5P 6P

7P 8P 9P

u( 0 , y ) = 0 u( 0.5 , y ) = 200y

u( x , 0.5 ) = 200x

u( x , 0 ) = 0

0.5

0.5

1,0 2,0 3,0 0,1 0,2 0,3

1,4 4,1 2,4 4,2 3,4 4,3

W = W = W = W = W = W = 0

W = W = 25, W = W = 50, y W = W = 75

En la tabla se muestran los valores de , , … , obtenidos al aplicar a esta matriz el método de Gauss-Seidel.

Las respuestas anteriores son exactas porque la verdadera solución: 

U( x , y ) = 400xy

4 -1 0 -1 0 0 0 0 0

-1 4 -1 0 -1 0 0 0 0

0 -1 4 0 0 -1 0 0 0

-1 0 0 4 -1 0 -1 0 0

0 -1 0 -1 4 -1 0 -1 0

0 0 -1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

W

W

W

W

W

-1 4 0 0 -1 W

0 0 0 -1 0 -1 4 -1 0 W 0 0 0 0 -1 0 -1 4 -1 W 0 0 0 0 0 -1 0 -1 4 W

25

50

150

0

= 0

50

0

0

25

1W 2W9W

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9

18.75 37.50 56.25 12.50 25.00 37.50

6.25 12.50 18.75iW

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES ELIPTICAS

Ingrese la cota menor de las abscisas(a):0Ingrese la cota mayor de las abscisas(b):.5Ingrese la cota menor de las ordenadas(c):0Ingrese la cota mayor de las ordenadas(d):.5Ingrese el numero de particiones de[a,b](n):4Ingrese el numero de particiones de[c,d](m):4Ingrese f(x,y):0Ingrese g(a,y):0Ingrese g(b,y):200*yIngrese g(x,c):0Ingrese g(x,d):200*xIngrese la tolerancia:.0001Ingrese el número máximo de iteraciones:50

X =

0 0.1250 0.2500 0.3750 0.5000

Y =

0 0.1250 0.2500 0.3750 0.5000

v =

0 25 50 75 100

t =

0 25 50 75 100

F =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

w =

6.3973 12.6695 18.9062 12.6695 25.1248 37.5803 18.9062 37.5802 56.2901

Excedió el numero máximo de iteraciones a N= 50.000Procedimiento terminado sin éxito...

EJEMPLO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES ELIPTICAS

Ingrese la cota menor de las abscisas(a):0Ingrese la cota mayor de las abscisas(b):2Ingrese la cota menor de las ordenadas(c):0Ingrese la cota mayor de las ordenadas(d):1Ingrese el numero de particiones de[a,b](n):5Ingrese el numero de particiones de[c,d](m):6Ingrese f(x,y):x*exp(y)Ingrese g(a,y):0Ingrese g(b,y):2*exp(y)Ingrese g(x,c):xIngrese g(x,d):exp(x)Ingrese la tolerancia:.0000000001Ingrese el número máximo de iteraciones:60

X =

0 0.4000 0.8000 1.2000 1.6000 2.0000

Y =

0 0.1667 0.3333 0.5000 0.6667 0.8333 1.0000

v =

1.0000 1.4918 2.2255 3.3201 4.9530 7.3891

t =

2.0000 2.3627 2.7912 3.2974 3.8955 4.6020 5.4366

F =

0 0 0 0 0 0 0 0.4000 0.4725 0.5582 0.6595 0.7791 0.9204 1.0873 0.8000 0.9451 1.1165 1.3190 1.5582 1.8408 2.1746 1.2000 1.4176 1.6747 1.9785 2.3373 2.7612 3.2619 1.6000 1.8902 2.2330 2.6380 3.1164 3.6816 4.3493 2.0000 2.3627 2.7912 3.2974 3.8955 4.6020 5.4366

w =

0.5546 0.7276 0.9078 1.1034 1.3002 0.9752 1.1819 1.4165 1.6744 1.9438 1.4312 1.7129 2.0457 2.4289 2.8583 1.9121 2.2914 2.7464 3.3171 4.0316

Excedió el numero máximo de iteraciones a N= 60.000Procedimiento terminado sin éxito...>>